Численное моделирование движения льда в стратифицированной жидкости тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 25.00.28, кандидат наук Мортиков, Евгений Валерьевич

• Мортиков, Евгений Валерьевич
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Мортиков, Евгений Валерьевич

Содержание

Введение

Глава 1. Обзор современного состояния описания динамики льда

1.1 Ледовая поверхность и плотностная структура вод полярных областей

1.2 Подводный рельеф ледовой поверхности

1.3 Динамика морского льда

1.4 Моделирование дрейфа айсбергов

1.5 Постановка задачи для оценки влияния стратификации на силу сопротивления льда

Глава 2. Численная модель течения вязкой жидкости в областях со сложной геометрией

2.1 Система уравнений движения вязкой жидкости

2.2 Численный метод

2.2.1 Численное интегрирование по времени

2.2.2 Пространственная дискретизация

2.2.3 Численный метод решения конечно-разностного

уравнения Пуассона

2.2.4 Метод погруженной границы

2.3 Программная реализация на параллельных вычислительных системах

2.3.1 Вычислительная архитектура центрального процессора

2.3.2 Вычислительная архитектура графического процессора

Глава 3. Вычислительные эксперименты для верификации численной

модели

3.1 Численное моделирование двумерных течений вязкой несжимаемой жидкости в областях с фиксированной геометрией

3.1.1 Течение в каверне

3.1.2 Двумерное течение вокруг кругового цилиндра

3.2 Численное моделирование двумерных течений вязкой несжимаемой жидкости в областях с подвижными границами

3.2.1 Вынужденные колебания кругового цилиндра в потоке

3.2.2 Маятниковые колебания кругового цилиндра под воздействием потока жидкости

3.3 Численное моделирование трехмерных течений вязкой несжимаемой жидкости

3.3.1 Трехмерное течение вокруг кругового цилиндра

3.3.2 Течение вокруг сферы

Глава 4. Численное моделирование движения ледяного киля в стратифицированной жидкости

4.1 Влияние стратификации на силу сопротивления и динамику льда

4.2 Постановка вычислительных экспериментов

4.3 Сила сопротивления льда в однородной

и стратифицированной жидкостях

4.4 Профиль волнового возмущения в двухслойной жидкости

4.5 Оценка значимости эффектов стратификации для динамики льда

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численное моделирование движения льда в стратифицированной жидкости»

Введение

Актуальность работы

Полярные области Земли существенно влияют на глобальные климатические процессы и вместе с этим недостаточно изучены. Очевидным индикатором чувствительности полярных областей к климатическим изменениям является состояние снежного и ледового покрова в Северном Ледовитом океане. Уменьшение ледовой поверхности с 1950-х гг. подтверждается данными наблюдений и численного моделирования [226] в рамках различных международных программ по изучению полярного климата (IPCC - Intergovernmental Panel on Climate Change, AOMIP - Arctic Ocean Model Intercomparison Project и др.). При этом данные моделирования в среднем занижают наблюдаемое уменьшение ледовой поверхности. Наблюдения показывают, что среднее уменьшение площади ледовой поверхности в десятилетие составляет 7.77 ± 0.60 %, что более чем в три раза превышает [226] осредненное по численным моделям программы IPCC (AR 4 - Четвертый оценочный доклад) значение 2.55 ±0.16 %.

Сложное взаимодействие системы «атмосфера-лед-океан» обуславливает интерес к оценкам того, насколько отступление ледовой границы в летние месяцы сопровождается уменьшением общего объема льда Северного Ледовитого океана [95]. На сегодняшний день основным источником информации по распределению толщины льда со значимым, но ограниченным пространственным и временным интервалом исследования, являются данные подводных наблюдений. В частности данные проекта SCICEX (Scientific Ice Expeditions) за 1993-1999 гг. подтверждают уменьшение средней толщины льда в летние месяцы [249]. Возможность повышения точности оценок связана с развитием современных методов спутникового наблюдения для измерения именно толщины льда. Предварительные данные проекта ESA CryoSat-2 [132] свидетельствуют о том, что отступление ледовой границы в летние месяцы сопровождается уменьшением средней толщины льда, которое превышает численные оценки.

В этой связи одной из важных задач современных полярных исследований является оценка достижимости в ближайшем будущем такого состояния климатической системы, при котором Северный Ледовитый океан будет полностью свободен от ледовой поверхности в летние месяцы. Наблюдаемое отступление ледовой границы делает Арктику все более доступной для судоходства, что уменьшает протяженность транспортных маршрутов и стоимость перевозок. Наличие обширных запасов природных ресурсов делает актуальным анализ экономической целесообразности добычи полезных ископаемых в этом регионе. Таким

образом, необходимо достоверное прогнозирование условий в северных полярных областях и возможных природных и социо-экономических последствии, вызванных свободным ото льда в летние месяцы Северным Ледовитым океаном.

Прогнозирование будущего состояния Арктики и климата Земли требует понимания динамических и термодинамических механизмов эволюции системы «атмосфера-лед-океан». Данные наблюдений и измерений ограничены в связи с удаленностью полярных областей и сложностью природных условий. Применение численных моделей представляется наиболее привлекательным подходом к изучению Арктики. Однако моделирование изменчивости ледового покрова требует не только увеличения пространственного разрешения климатических моделей, но и уточнения физических механизмов, определяющих взаимодействие атмосферы, морского льда и океана, оценки роли динамических и термодинамических механизмов.

Зависимость климатических процессов от площади ледовой поверхности обусловлена наличием устойчивых взаимосвязей между атмосферой, океаном и морским льдом. Постоянный ледовый покров ответственен за сохранение низкоэнергетического состояния океана полярных областей, выраженного в увеличении поверхностного альбедо и подавлении обмена теплом между атмосферой и океаном. Модели общей циркуляции предсказывают усиление эффектов потепления именно в Арктике за счет механизмов обратных связей, определяемых состоянием ледовой поверхности [34, 156]. Можно выделить ряд особенностей полярных областей, связанных с наличием постоянного ледового покрова.

Высокое альбедо морского льда и снежного покрова относительно свободной поверхности океана приводит к уменьшению доступной солнечной энергии и температуры воздуха вблизи льда [257]. Низкая температура в свою очередь способствует дальнейшему формированию льда. Уменьшение ледовой поверхности сопровождается увеличением площади свободной поверхности океана, что способствует увеличению температуры океанических вод.

Морской лед представляет собой подвижную, деформируемую среду, изменчивость которой обусловлена совместным действием термодинамических и динамических процессов. Как промежуточный слой, ледовый покров изменяет механизм переноса тепла и импульса между атмосферой и океаном.

Процессы ледообразования за счет меньшей концентрации солей в морском льду приводят к повышению солености прилегающего слоя жидкости, что изменяет вертикальную устойчивость и способствует ее перемешиванию [47]. Таяние же льда в летние месяцы определяет добавочный поток относительно пресной воды, что усиливает стратификацию и ограничивает вертикальное перемешивание. Оба потока влияют на плотностную структуру океана и изменяют динамику жидкости пограничного слоя в системе «лед-океан». По всем этим причинам в современных климатических моделях требуется достаточно сложное описание

динамики и термодинамики морского льда, механизмов взаимодействия атмосферы и океана при наличии ледовой поверхности.

Описание дрейфа льда представляет очевидный интерес для краткосрочного прогноза ледовых условий, важных для полярной морской навигации, расчета прочности морских сооружений и оценки распространения загрязнений в областях с подвижной ледовой поверхностью [189]. Можно отметить задачу прогнозирования дрейфа (под воздействием ветра и океанических течений) айсбергов, которые представляют опасность для судоходства и осложняют проведение разведывательных работ и разработку месторождений в шельфовых зонах. Практический интерес представляет и задача оценки силы, которая необходима для изменения траектории и скорости айсбергов при буксировке [13, 73]. Обеспечение безопасности в районах с интенсивным движением айсбергов зависит от достоверности прогноза дрейфа и, как следствие, корректного описания действующих на айсберг сил.

Движение льда со сложной формой нижней поверхности может приводить к генерации внутренних волн [152]. Современные модели динамики морского льда, модели прогнозирования дрейфа айсбергов и ледовых условий явно не учитывают влияние стратификации при условии сопоставимости глубины подводной части торошенного льда и толщины перемешанного слоя. Распространение внутренних волн в данном случае может изменять силу сопротивления льда, что подтверждается данными наблюдений [174, 175] и лабораторными экспериментами [192, 255]. Измерения показывают, что увеличение силы сопротивления наиболее выражено при наличии неглубокого и сильного пикноклина, устойчивость которого поддерживается таянием льда. В зимние месяцы увеличение толщины перемешанного слоя, напротив, может сопровождаться уменьшением силы сопротивления.

Чувствительность моделей динамики льда [25], моделей краткосрочного прогноза дрейфа айсбергов [116] к величине коэффициента сопротивления обуславливает необходимость достоверного описания обмена импульсом в системе «лед-океан». В этой связи важным вопросом является оценка значимости волновой компоненты силы сопротивления льда с учетом стратификации вод полярных областей и характеристик ледовой поверхности. Имеющиеся на настоящий момент численные расчеты на основе двумерных моделей [62, 113] неверно описывают зависимость силы сопротивления от геометрии льда и параметров стратификации, а также недостаточно точно воспроизводят волновое возмущение. Таким образом, актуальными являются разработка новых трехмерных численных моделей движения неоднородного ледового покрова в стратифицированной жидкости и количественная оценка соответствующей силы сопротивления.

Цели и задачи диссертационной работы

Главная цель настоящей работы состоит в том, чтобы разработать математическую модель дрейфа льда в стратифицированной жидкости и исследовать на ее основе характеристики сопротивления течению в зависимости от плотностной стратификации и ледового рельефа. Для того чтобы достичь целей диссертационной работы, в ней решаются следующие задачи:

1. Построение трехмерной математической (численной) модели для воспроизведения течения вязкой жидкости в приближении Буссинеска, учитывающей неоднородную форму нижней поверхности льда.

2. Разработка эффективной программной реализации модели для выполнения расчетов при высоком пространственном разрешении и воспроизведения значимых характеристик рассматриваемых течений.

3. Верификация численной модели, оценка достоверности расчетов силы сопротивления для течений в областях со сложной геометрией и подвижными границами.

4. Численное моделирование движения льда сложной формы в однородной и стратифицированной жидкостях и сравнение расчетных характеристик течения с данными лабораторных экспериментов и аналитическими оценками.

5. Определение зависимости силы сопротивления от геометрии нижней поверхности льда и условий стратификации, выявление значимости волновой компоненты силы сопротивления для различных моделей льда.

Метод исследования

Систематические оценки силы сопротивления при различных условиях стратификации и характеристик поверхности предполагают проведение большого числа экспериментов. Поэтому необходима разработка эффективной математической (численной) модели, способной достоверно воспроизводить наиболее значимые волновые эффекты и динамику движения жидкости. В диссертационной работе рассматривается численная модель, основанная на конечно-разностной дискретизации системы уравнений вязкой жидкости в приближении Буссинеска и системы уравнений Навье-Стокса на прямоугольной сетке. Допускается возможность локального увеличения пространственного разрешения вблизи стенок за счет сгущения расчетной сетки. Для аппроксимации граничных условий, заданных на криволинейных поверхностях, используется метод погруженной границы [168], предложенный в статье [227]. Рассматривается модификация данного подхода для воспроизведения потоков в

областях с нестационарной геометрией, выраженная в виде переопределения операторов сеточной интерполяции.

Численная модель на основе метода погруженной границы позволяет проводить вычислительные эксперименты для различной формы поверхности льда. Применение прямоугольных сеток обеспечивает возможность эффективного распараллеливания вычислений на системах с распределенной памятью. Относительная независимость метода погруженной границы от способа дискретизации уравнений на прямоугольной сетке допускает возможность усложнения численной модели для будущих исследований.

Положения, выносимые на защиту

1. Разработана численная математическая модель для воспроизведения течений стратифицированной жидкости в областях со сложной геометрией. Методика позволяет описывать структуру течения, волновые возмущения и рассчитывать силу сопротивления для тел различной формы. На основе проведенных вычислительных экспериментов для верификации численной модели показано, что метод погруженной границы применим для моделирования течений в областях со сложной и нестационарной геометрией.

2. Численная модель реализована в виде комплекса программ для современных параллельных вычислительных систем, что позволяет проводить расчеты с высоким пространственным разрешением, в частности, за счет выбора математических методов и применения метода погруженной границы для описания криволинейных границ, несогласованных с расчетной сеткой.

3. Проведено численное моделирование движения ледовых образований, имеющих различную форму, в стратифицированной жидкости и установлена зависимость силы сопротивления от параметров стратификации, определяемых числом Фруда. Выявлено увеличение силы сопротивления в стратифицированной жидкости по сравнению с однородным по плотности течением. Показано, что локальный максимум в силе сопротивления зависит от геометрии нижней поверхности модельной формы льда.

4. На основе выполненных расчетов установлено, что волновая компонента силы сопротивления движущегося льда может быть существенна. Приведенные в работе оценки свидетельствуют о том, что данный эффект необходимо учитывать при описании динамики ледовой поверхности и динамики айсбергов.

Научная новизна

В настоящей работе разработана новая численная математическая модель для воспроизведения течений в областях со сложной геометрией, позволяющая описать взаимодействие движущегося льда со стратифицированной жидкостью методом погруженной границы.

Автором проведено трехмерное численное моделирование для исследования влияния стратификации и связанных с ней волновых процессов на гидродинамическое сопротивление подводной части торошенного льда и впервые получена достаточная согласованность расчетов с данными лабораторных экспериментов.

Для выполнения целей диссертационной работы впервые была разработана программная реализация на графических процессорах численной модели течения вязкой несжимаемой жидкости в областях с подвижными границами на основе метода погруженной границы и показана возможность эффективного выполнения расчетов на данной вычислительной архитектуре.

Практическая значимость результатов

Рассматриваемые в работе результаты расчета силы сопротивления для нижней поверхности торошенного льда свидетельствует о важности эффектов генерации и распространения внутренних волн. Изменение величины силы сопротивления в стратифицированной жидкости необходимо учитывать в моделях описания динамики ледовой поверхности и прогноза дрейфа айсбергов. Совершенствование таких моделей представляет значительный практический интерес. Разработанный комплекс программ при этом позволяет оценить данные эффекты и их зависимость от условий стратификации и формы поверхности льда.

Развитие графических процессоров в последнее десятилетие вызвало рост интереса к возможности использования графических карт в качестве математических сопроцессоров для проведения расчетов, связанных с численным моделированием. Распространение специализированных сред программирования способствует появлению реализаций математических моделей, в которых перенос вычислений на новую архитектуру связан не с задачей визуализации обрабатываемых данных, а с задачей ускорения программ для расчета моделируемых явлений. Данная вычислительная платформа представляет особый интерес в связи с развитием суперкомпьютерных технологий, существенно уменьшая стоимость вычислений (с точки зрения энергопотребления), и для ряда задач приводит к значительному ускорению расчетов. В списке ТОР500 наиболее производительных систем за ноябрь 2013 г.,

составленном по результатам теста LINPACK, 53 системы включают ускорители или сопроцессоры. В частности, суперкомпьютер «Titan», занимающий второе место в указанном списке, использует 18688 графических процессоров. Суперкомпьютер «Ломоносов» Суперкомпьютерного центра МГУ также содержит раздел из 954240 графических ядер. В этой связи имеет практическую значимость оценка эффективности реализаций гидродинамических моделей на архитектуре графических процессоров, что отражено в настоящей диссертации и опубликованных работах ее автора.

Достоверность полученных результатов

Достоверность результатов численного моделирования и вычислительных экспериментов базируется на корректном применении математических методов и подтверждается согласованностью полученных результатов с известными аналитическими и экспериментальными данными.

Публикации по теме диссертации

По теме диссертации опубликовано 9 работ, в том числе 3 статьи в рецензируемых журналах из списка ВАК (еще 1 статья находится в печати), 4 тезисов докладов на российских и международных конференциях. Материалы работы использовались при подготовке 2 учебных пособий.

Личный вклад автора

Результаты диссертации получены автором лично. Разработка численной модели и программной реализации, а также представленные в работе расчеты выполнены автором самостоятельно. В опубликованных статьях в журналах из списка ВАК Мортиков Е.В. является единственным автором.

Апробация работы

Материалы диссертации были представлены в виде докладов на следующих конференциях и семинарах: Международная суперкомпьютерная конференция «Научный сервис в сети Интернет», Новороссийск, 2010 - 2012; XI всероссийская конференция «Прикладные технологии гидроакустики и гидрофизики», Санкт-Петербург, 2012; 54-ая научная конференция МФТИ «Проблемы фундаментальных и прикладных, естественных и технических наук в современном информационном обществе. Проблемы современной физики», Москва, 2011; научная конференция «Ломоносовские чтения», секция вычислительной

математики и кибернетики, Москва, 2010 - 2011; семинар «Математическое моделирование геофизических процессов - прямые и обратные задачи», Москва, НИВЦ МГУ и ИВМ РАН, 2012; семинар Лаборатории гидрологических процессов, Москва, ИО РАН, 2012; заседание Ученого совета Физического направления, Москва, ИО РАН, 2013; семинар Сектора вычислительной аэроакустики, Москва, ИПМ РАН, 2013.

Структура и объем диссертации

Работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы.

В первой главе рассматривается задача описания динамики льда в современных моделях. На основе обзора литературы составляется характеристика плотностной структуры вод полярных областей и подводной поверхности льда в Арктике. Обзор в первой главе позволяет уточнить постановку задачи для исследования влияния стратификации на силу сопротивления течения при движении льда и определить требования к разрабатываемой численной модели.

Во второй главе приведено описание математической модели, включающее следующие составляющие: формулировка системы уравнений, изложение конечно-разностного метода дискретизации, итерационного метода решения систем линейный уравнений и метода погруженной границы для аппроксимации граничных условий на криволинейных поверхностях, несогласованных с расчетной сеткой. Во второй главе также рассматриваются особенности программной реализации численной модели.

Третья глава посвящена верификации численной модели на примере решения ряда гидродинамических задач. Целью вычислительных экспериментов является оценка применимости разработанного комплекса программ для достоверного воспроизведения течений в двумерных и трехмерных областях со сложной и нестационарной геометрией. Особое внимание уделяется корректному описанию зависимости силы сопротивления от параметров течения при использовании метода погруженной границы на прямоугольных сетках. Результаты третьей главы свидетельствуют о том, что численный метод на основе метода погруженной границы достоверно воспроизводит течения в областях со сложной геометрией. Вывод подтверждается сравнениями расчетных характеристик течений с данными лабораторных и численных исследований, опубликованными в литературе.

В четвертой главе рассматривается влияние стратификации на силу сопротивления льда. Основная часть данной главы посвящена решению задачи о численном воспроизведении движения льда различной формы в однородной и стратифицированной жидкости с помощью разработанной численной модели. Приводится сравнение расчетной величины силы сопротивления с экспериментальными данными и аналитическими оценками, описывается

структура волнового возмущения в двухслойной жидкости. На основе результатов численного моделирования, лабораторных экспериментов и данных наблюдений обсуждается значимость волновых эффектов для динамики льда с учетом стратификации вод полярных областей и характеристик ледовой поверхности.

В заключении приведены основные результаты работы и возможные направления дальнейших исследований.

Общий объем диссертации составляет 167 страниц, включая 43 иллюстрации и 12 таблиц. Список литературы состоит из 275 источников на 18 страницах.

Список публикаций

1. Мортиков Е.В. Применение метода погруженной границы для решения системы уравнений Навье-Стокса в областях сложной конфигурации // Вычислительные методы и программирование. Новые вычислительные технологии (Электронный научный журнал). — 2010. - Т. 11.-№ 1.-С. 32-42.

2. Мортиков Е.В. Численное моделирование влияния стратификации на силу сопротивления при движении ледяного киля в двухслойной жидкости // Фундаментальная и прикладная гидрофизика. - 2012. - Т. 5. - № 3. - С. 12-22.

3. Мортиков Е.В. Применение графических процессоров для численного моделирования течения вязкой несжимаемой жидкости в областях сложной конфигурации методом погруженной границы // Вычислительные методы и программирование. Новые вычислительные технологии (Электронный научный журнал). - 2012. - Т. 13. - № 1. - С. 177-191.

4. Мортиков Е.В. Численное моделирование движения ледяного киля в стратифицированной жидкости // Известия РАН. Физика атмосферы и океана (в печати).

5. Мортиков Е.В. Реализация метода погруженной границы для моделирования несжимаемой жидкости в областях сложной конфигурации на графических процессорах // Труды международной суперкомпьютерной конференции «Научный сервис в сети Интернет: суперкомпьютерные центры и задачи». - М.: Изд-во МГУ, 2010. - С. 672-673.

6. Мортиков Е.В. Численное моделирование течения вязкой несжимаемой жидкости в областях сложной конфигурации с помощью метода погруженной границы на графических процессорах // Труды 54-й научной конференции МФТИ «Проблемы фундаментальных и прикладных, естественных и технических наук в современном информационном обществе». - М.: МФТИ, 2011. - С. 77-78.

7. Мортиков E.B. Численное моделирование коэффициента сопротивления при движении ледяного киля в двухслойной стратифицированной жидкости // Труды XI Всероссийской конференции «Прикладные технологии гидроакустики и гидрофизики». - СПб: Наука, 2012. -С. 248-251.

8. Мортиков Е.В. Применение графических процессоров для численного моделирования двухслойной стратифицированной жидкости и оценки влияния внутренних волн на коэффициент сопротивления ледяного киля // Труды международной суперкомпьютерной конференции «Научный сервис в сети Интернет: поиск новых решений». - М.: Изд-во МГУ, 2012.-С. 690-692.

9. Лыкосов В.Н., Глазунов A.B., Кулямин Д.В., Мортиков Е.В., Степаненко В.М. Суперкомпьютерное моделирование в физике климатической системы. - М.: Изд-во МГУ, 2012. 408 с.

10. Боресков A.B., Харламов A.A., Марковский Н.Д., Микушин Д.Н., Мортиков Е.В., Мыльцев А.А, Сахарных H.A., Фролов В.А. Параллельные вычисления на GPU. Архитектура и программная модель CUDA. -М.: Изд-во МГУ, 2012. 336 с.

Благодарности

Автор выражает глубокую признательность Андрею Васильевичу Глазунову, научному руководителю Евгению Васильевичу Семенову и Николаю Геннадьевичу Яковлеву за сотрудничество и постоянное внимание к работе. Автор также хотел бы поблагодарить Василия Николаевича Лыкосова и коллектив Лаборатории суперкомпьютерного моделирования природно-климатических процессов НИВЦ МГУ за ценные замечания к диссертационной работе и регулярное обсуждение результатов.

Глава 1. Обзор современного состояния описания динамики льда 1.1 Ледовая поверхность и плотностная структура вод полярных областей

Северный Ледовитый океан в течение всего года покрыт льдом, причем площадь ледового покрова изменяется от 4.3><10б км2 в летние месяцы до 15.7х 106 км2 зимой [67]. Несмотря на относительно малую площадь Северного Ледовитого океана и ограниченность вод сушей, наличие постоянной ледовой поверхности представляется важной чертой Арктики, которую необходимо учитывать при исследовании полярного климата и глобального климата планеты в целом. Средняя глубина вод Северного Ледовитого океана составляет около ИЗО метров, а глубины вод центральной Арктики могут достигать 5000 метров [2, 202, 248]. Значительную часть Арктики при этом занимают мелководные окраинные моря - Баренцево море, Карское море, море Лаптевых, Восточно-Сибирское море и Чукотское море, где средняя глубина составляет около 200 метров [34].

В плотностной структуре вод Северного Ледовитого океана можно выделить поверхностный перемешанный слой, ограниченный снизу тонким пикноклином, и расположенный ниже слабо стратифицированный слой, простирающийся до дна океана. Поверхностный слой, имеющий с учетом сезонной и пространственной изменчивости толщину 10-50 метров, характеризуется слабой соленостью, что обусловлено речным стоком [2] и в меньшей степени переносом из Тихого океана через Берингов пролив [202]. Поток пресной воды дополняется в летние месяцы таянием ледового покрова. Краткосрочная изменчивость плотностной структуры и толщины перемешанного слоя непосредственно связана с процессами таяния и ледообразования.

Ниже поверхностного слоя выделяется слой резкого увеличения солености - галоклин, толщиной 100-250 метров [202], в котором температура постоянна и, как правило, близка к точке замерзания. На глубинах от 200 до 900 метров расположен Атлантический слой [34], связанный с Северно-Атлантическим течением, проходящим через Норвежское море, характеризующийся высокой соленостью и повышенной относительно поверхностного слоя температурой. Здесь соленость увеличивается до глубины около 400 метров, а ниже жидкость становится относительно однородной [34].

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Мортиков, Евгений Валерьевич, 2013 год

Список литературы

1. Боресков A.B., Харламов A.A., Марковский Н.Д., Микушин Д.Н., Мортиков Е.В., Мыльцев A.A., Сахарных H.A., Фролов В.А. Параллельные вычисления на GPU. Архитектура и программная модель CUDA: учебное пособие. М.: Изд-во Московского университета, 2012. 336 С.

2. Бурков В.А., Кошляков М.Н., Степанов В.Н. Общие сведения о мировом океане. В книге: Океанология. Физика океана. Т. 1. Гидрофизика океана (Под ред.: Каменкович В.М., Монин A.C.). М.: Наука, 1978. С. 11-84.

3. Бушуев A.B., Волков H.A., Лощилов B.C. Атлас ледовых образований. Л.: Гидрометеоиздат, 1974. 138 С.

4. Василевский Ю.В., Ольшанский М.А. Краткий курс по многосеточным методам и методам декомпозиции области. Москва, 2007. 103 С.

5. Воеводин В.В., Воеводин Вл.В. Параллельные вычисления. СПб.: БХВ-Петербург, 2004. 608 С.

6. Гилл А. Динамика атмосферы и океана. В 2-х томах. М.: Мир, 1986. 396, 415 С.

7. Гордиенко П.А. Дрейф льдов в центральной части Северного Ледовитого океана // Проблемы Севера. 1958. Т. I. С. 3-29.

8. Доронин Ю.П., Хейсин Д.Е. Морской лед. Л.: Гидрометеоиздат, 1975. 319 С.

9. Зубов H.H. Льды Арктики. М.-Л.: Изд-во Главсевморпути, 1945. 360 С.

10. Кириллов A.A. Учет торосистости при определении объема льда // Проблемы Арктики и Антарктики. 1957. Т. 2. С. 53-58.

П.Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. VI Гидродинамика. М.: Физматлит, 2006.736 С.

12. Лыкосов В.Н., Глазунов A.B., Кулямин Д.В., Мортиков Е.В., Степаненко В.М. Суперкомпьютерное моделирование в физике климатической системы: учебное пособие. М.: Изд-во Московского университета, 2012. 408 С.

13. Марченко A.B. Устойчивость буксировки айсбергов // Труды Центрального научно-исследовательского института им. академика А.Н. Крылова. 2010. Т. 51, № 335. С. 69-79.

14. Миронов Е.У., Порубаев B.C. Статистическая модель морфометрии гряды тороса в юго-западной части Карского моря //Проблемы Арктики и Антарктики. 2011. № 3(89). С. 49-61.

15. Миропольский Ю.З., Монин A.C. Внутренние волны. В книге: Океанология. Физика Оксана. Т. 2. Гидродинамика океана (Под ред.: Каменкович В.М., Монин A.C.) М.: Наука, 1978. С. 182-228.

16. Мортиков E.B. Применение метода погруженной границы для решения системы уравнений Навье-Стокса в областях сложной конфигурации // Вычислительные методы и программирование. 2010. Т. 11, № 1. С. 32-42.

17. Мортиков Е.В. Применение графических процессоров для численного моделирования течения вязкой несжимаемой жидкости в областях сложной конфигурации методом погруженной границы // Вычислительные методы и программирование. 2012. Т. 13, № 1. С. 177-191.

18. Музылев C.B. Внутренние волны под ледяным покровом // Доклады Академии Наук. Океанология. 2008. Т. 418, № 3. С. 397-400.

19. Ольшанский М.А. Лекции и упражнения по многосеточным методам. М.: изд-во Моск. унта, 2003.176 С.

20. Ортега Дж. Введение в параллельные и векторные методы решения линейных систем. М.: Мир, 1991. 367 С.

21. Смирнов В.Н. Северный полюс-20 //ДАН. 1972. Т. 206, № 5. С. 1106-1108.

22. Смирнов В.Н., Савченко В.Г. О свободных внутренних волнах в море, покрытом льдом // Вопросы Полярной Океанологии. 1972. Т. 306. С. 108-122.

23. Фельзенбаум А.И. Теория установившегося дрейфа льдов и расчет среднего многолетнего дрейфа в центральной части Арктического бассейна // Проблемы Севера. 1958. Т. 2. С. 1647.

24. Четверушкин Б.Н. Прикладная математика и проблемы использования высокопроизводительных вычислительных системы // Труды МФТИ. 2011. Т. 3, № 4. С. 5567.

25. Яковлев Н.Г. Моделирование климата океана и морского льда Северного Ледовитого океана с помощью конечно-элементной модели FEMAO: К вопросу о понимании роли различных физических процессов в формировании наблюдаемого состояния и воспроизведении их в моделях глобального климата // Проблемы Арктики и Антарктики. 2008. № 1 (78). С. 17-26.

26. Яковлев Н.Г. Воспроизведение крупномасштабного состояния вод и морского льда Северного Ледовитого Океана в 1948-2002 гг. Часть 1: Численная модель и среднее состояние // Известия РАН. Физика атмосферы и океана. 2009. Т. 45. № 3. С. 383-398.

27. Яковлев Н.Г. Восстановление крупномасштабного состояния вод и морского льда Северного Ледовитого Океана в 1948-2002 гг. Часть 2: Состояние ледового и снежного покрова. // Известия РАН. Физика атмосферы и океана. 2009. Т. 45. № 4. С. 1-18.

28. Adams N.A., IIickel S., Domaradzki J.A. Approximate deconvolution. In: Implicit large-eddy simulation. Computing turbulent fluid dynamics (Ed.: Grinstein F.F., Margolin L.G., Rider W.J.). Cambridge: Cambridge University Press, 2007. 546 P.

29. Almgren A.S., Bell J.P., Colella P., Marthaler T. A Cartesian grid projection method for the incompressible Euler equations in complcx geometries // SIAM J. Sci. Comput. 1997. V. 18, N 5. P. 1289-1309.

30. Arya S.P.S. A drag partition theory for determining the large-scale roughness parameter and wind stress on Arctic pack ice // J. Geophys. Res. 1975. V. 80, N 24. P. 3447-3454.

31. Baines P.G. A unified description of two-layer flow over topography // J. Fluid Mech. 1984. V. 146. P. 127-167.

32. Balaras E. Modeling complex boundaries using an external force field on fixed Cartesian grids in large-eddy simulations // Comput. Fluids. 2004. V. 33, N 3. P. 375-404.

33. Barnes P., Lien R. Icebergs rework shelf sediments to 500 m off Antarctica // Geology. 1988, V. 16, N 12. P. 1130-1133.

34. Barry R.G., Serreze M.C., Maslanik J.A. The Arctic sea ice-climate system: Observations and modeling // Rev. Geophys. 1993. V. 31, N 4. P. 397-422.

35. Batchelor G.K. An Introduction to Fluid Mechanics. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1967.

36. Beckmann A., Birnbaum G. Coupled sea ice-ocean models. In: Encyclopedia of Ocean Sciences 2nd Ed. Academic Press, 2009. V. 1. P. 688-698.

37. Berthelsen P.A., Faltinsen O.M. A local directional ghost cell approach for incompressible viscous flow problems with irregular boundaries // J. of Comp. Phys. 2008. V. 227, N 9. P. 4354-4397.

38. Beyer R.P., Leveque R.J. Analysis of a one-dimensional model for the immersed boundary method // SIAM J. Numer. Anal. 1992. V. 29, N 2. P. 332-364.

39. Bharti R.P., Chhabra R.P., Eswaran V. A numerical study of the steady forced convection heat transfer from an unconfined circular cylinder // Heat Mass Transfer. 2007. V. 43. P. 639-648

40. Bigg G.R., Wadley M.R., Stevens D.P., Johnson J.A. Prediction of iceberg trajectories for the North Atlantic and Arctic Oceans // Geophys. Res. Letters. 1996. V. 23, N 24. P. 3587-3590.

41. Bishop R.E.D., Hassan A.Y. The lift and drag forces on a circular cylinder oscillating in a flowing fluid // Proc. of the Royal Society. 1964. V. A277. P. 51-75.

42. Bitz C.M. Numerical modeling of sea ice in the climate system. 2010. Lecture notes from IPY Sea Ice Summer School, 2007. 22 P.

43. Blackburn H.M., Govardhan R.N., Williamson C. A complementary numerical and physical investigation of vortex-induced vibration // J. of Fluids and Structures. 2000. V. 15, N 3. P. 481 -488.

44. Blackburn I I.M., Henderson R.D. A study of two-dimensional flow past an oscillating cylinder // J. Fluid Mech. 1999. V. 385, N 1. P. 255-286.

45. Bonfigli G. High-order finite-difference implementation of the immersed-boundary technique for incompressible flows // Computers and Fluids. 2011. V. 46, N 1. P. 2-11.

46. Bourke R.H., McLaren A.S. Contour mapping of the Arctic Basin ice draft and roughness parameters//J. Geophys. Res. 1992. V. 97.NC11.P. 17715-17728.

47. Brandon M.A., Cottier F.R., Nilsen F. Sea ice and oceanography. In: Sea Ice, 2nd Ed. (Ed.: Thomas D.N., Dieckmann G.S.). Oxford: John Wiley & Sons Ltd, 2010. P. 79-111.

48. Breuer M., Peller N., Rapp Ch., Manhart M. Flow over periodic hills - Numerical and experimental study in a wide range of Reynolds numbers // Computers and Fluids. 2009. V. 38, N 2. P.433-457.

49. Bruneau C.-H., Saad M. The 2D lid-driven cavity problem revisited // Computers and Fluids. 2006. V. 35, N3. P. 326-348.

50. Bringley T.T. Analysis of the immersed boundary method for Stokes flow. PhD Thesis, New York University, 2008. 264 P.

51. Brown D.L., Cortez R., Minion M.L. Accurate projection methods for the incompressible Navier-Stokes equations // J. of Comp. Phys. 2001. V. 168, N 2. P. 464-499.

52. Calhoun D. A Cartesian grid method for solving the two-dimensional streamfunction-vorticity equations in irregular regions //J. of Comp. Phys. 2002. V. 176, N 2. P. 231-275.

53. Castro I.P., Snyder W.H., Baines P.G. Obstacle drag in stratified flow // Proc. Royal Soc. of London. Series A, Math, and Phys. Sci. 1990. V. 429, N 1876. P. 119-140.

54. Choi J.-I., Oberoi R.C., Edwards J.R., Rosati J.A. An immersed boundary method for complex incompressible flows // J. of Comp. Phys. 2007. V. 224, N 2. P. 757-784.

55. Chronopoulos A. A class of parallel iterative methods implemented on multiprocessors. PhD Thesis, University of Illinois, 1987. 116 P.

56. Chung M.H. Cartesian cut cell approach for simulating incompressible flows with rigid bodies of arbitrary shape // Computers and Fluids. 2006. V. 35, N 6. P. 607-623.

57. Clift R., Grace J.R., Weber M.E. Bubbles, Drops and Particles. Academic Press, 1978.

58. Colony R., Rigor I. Arctic Ocean buoy program data report. Applied Physics Laboratory, University of Washington, Technical Memo APL-UW TM 10-91, 1991. 142 P.

59. Colony R., Thorndike A.S. An estimate of the mean field of Arctic sea ice motion // J. Geophys. Res. 1984. V. 89, N C6. P. 10623-10629.

60. Coutanceau M., Bouard R. Experimental determination of the main features of the viscous flow in the wake of a circular cylinder in uniform translation. Part 1. Steady flow // J. of Fluid Mech. 1977. V. 79, N2. P. 231-256.

61. Cummins P.F. Numerical simulations of upstream bores and solitons in a two-layer flow past an obstacle//J. of Phys. Oceanography. V. 25, N 6. 1995. P. 1504 - 1515.

62. Cummins P.F., Topham D.R., Pite H.D. Simulated and experimental two-layer flows past isolated two-dimensional obstacles//Fluid Dyn. Res. 1994. V. 14, N3. P. 105-119.

63. Davis N.R., Wadhams P. A statistical analysis of Arctic pressure ridge morphology // J. Geophys. Res. 1995. V. 100, NC6. P. 10915 - 10925.

64. Davis R.E. The two-dimensional flow of a stratified fluid over an obstacle // J. Fluid Mech. 1969. V. 36, N l.P. 127-143.

65. DeLong M.A. SOR as a preconditioner. PhD Thesis, University of Virginia, 1997. 101 P.

66. Dennis S., Chang G.Z. Numerical solutions for steady flow past a circular cylinder at Reynolds numbers up to 100 // J. of Fluid Mech. 1970. V. 42, N 3. P. 471-489.

67. Dieckmann G.S., Hellmer H.FI. The importance of sea ice: An overview. In: Sea Ice, 2nd Ed. (Ed.: Thomas D.N., Dieckmann G.S.). Oxford: John Wiley & Sons Ltd, 2010. P. 1-22.

68. Diemand D. Icebergs. In: Encyclopedia of Ocean Sciences 2nd Ed. Academic Press, 2009. V. 3. P. 181-190.

69. Ding H., Shu C., Cai Q.D. Applications of stencil-adaptive finite difference method to incompressible viscous flows with curved boundary // Computers and Fluids. 2007. V. 36, N 40. P. 786-793.

70. Ding H., Shu C., Yeo K.S., Xu D. Numerical simulation of flows around two circular cylinder by mesh-free least square-based finite difference methods // Int. J. for Num. Meth. in Fluids. 2006. V. 53, N2. P. 305-332.

71.Drazin P.G., Moore D.W. Steady two-dimensional flow of a fluid of variable density over an obstacle // J. Fluid Mech. 1967. V. 28, N 2. P. 353-370.

72. Droge M. Cartesian grid methods for turbulent flow simulation in complex geometries. PhD Thesis, University of Groningen, 2007.

73.EikK., Marchenko A. Model tests of iceberg towing//Cold Reg. Sei. Technol. 2010. V. 61. P. 1328.

74. Ekman V.W. On dead water //Norwegian North Polar Expedition, 1893-1896: Scientific Results. 1904. V. 5, N 15. P. 1-152.

75. Erturk E., Corke T.C. & Gökföl C. Numerical solutions of 2-D steady incompressible driven cavity flow at high Reynolds numbers // Int. J. for Num. Meth. in Fluids. 2005. V. 48, N 7. P. 747774.

76. Fadlun E.A., Verzicco R., Orlandi P., Mohd-Yusof J. Combined immersed-boundary finite-difference methods for three-dimensional complex flow simulations // J. of Comp. Phys. 2000. V. 161. N 1. P. 35-60.

77. Feng, Z. G., Michaelides, E. E. A numerical study on the transient heat transfer from a sphere at high Reynolds and Peclet numbers // Int. J. of Heat and Mass Transfer. 2000. V. 43, N 2. P. 219229.

78. Gao T., Tseng Y.-H., Lu X.-Y. An improved hybrid Cartesian/immersed boundary method for fluid-solid flows// Int. J. for Num. Meth. in Fluids. 2007. V. 55, N 12. P. 1189-1211.

79. Garrett C., Munk W.H. Internal waves in the ocean // Annu. Rev. Fluid Mech. 1979. V. 11. P. 339369.

80. Ghia U., Ghia K.N., Shin C.T. High-Re solutions for incompressible flow using the Navier-Stokes equations and a multigrid method Hi. of Comp. Phys. 1982. V. 48, N 3. P. 387-411.

81.Ghias R., Mittal R., Dong H. A sharp interface immersed boundary method for compressible viscous flows Hi. of Comp. Phys. 2007. V. 225, N 1. P. 528-553.

82. Goedecker S., Hoisie A. Performance optimization of numerically intensive codes. Philadelphia: SIAM, 2001. 173 P.

83. Goldstein D., Handler R., Sirovich L. Modeling a no-slip flow boundary with an external force field Hi. of Comp. Phys. 1993. V. 105, N 2. P. 354-366.

84. Golub G.H., Van Loan C.F. Matrix computations. London: The Johns Hopkins University Press, 1996.694 P.

85. Govardhan R., Williamson C. Modes of vortex formation and frequency response of a freely vibrating cylinder//J. of Fluid Mech. 2000. V. 420, N 85. P. 85-130.

86. Gow A.J., Tucker W.B. Physical properties of sea ice discharged from Fram Strait // Science. 1987. V. 236, N 4800. P. 436-439.

87. Griffin O.M. Vortex-induced vibrations of marine structures in uniform and sheared currents. 1992. NSF Workshop on Riser Dynamics, Univ. of Michigan.

88. Griffin O.M., Ramberg S.E. Some recent studies of vortex shedding with application to marine tubular and risers //ASME Journal of Energy Research and Technology. 1982. V. 104. P. 2-13.

89. Griffith B.E., Luo X., McQueen D.M., Peskin C.S. Simulating the fluid dynamics of natural and prosthetic heart valves using the immersed boundary method // Int. J. of Applied Mech. 2009. V. 1, N 1. P. 137-177.

90. Gu W., Chyu C., Rockwell D. Timing of vortex formation from an oscillating cylinder // Phys. of Fluids. 1994. V. 6, N 11. P. 3677-3682.

91. Guilmineau E., Queutey P. A numerical simulation of vortex shedding from an oscillating circular cylinder// J. of Fluids and Structures. 2002. V. 16, N 6. P. 773-794.

92. Gusdal Y., Brostrom G. Sensitivity of iceberg modeling. Norwegian Meteorological Institute report N 18/2012. 2012. 21 P.

93. Guy R.D., Hartenstine D.A. On the accuracy of direct forcing immersed boundary methods with projection methods // J. of Comp. Phys. 2010. V. 229, N 7. P. 2479-2496.

94. Gyure B., Janosi I.M. Stratified flow over asymmetric and double bell-shaped obstacles // Dynamics of Atmospheres and Oceans. 2003. V. 37, N 2. P. 155-170.

95. Haas C. Dynamics versus thermodynamics: The sea ice thickness distribution. In: Sea Ice, 2nd Ed. (Ed.: Thomas D.N., Dieckmann G.S.). Oxford: John Wiley & Sons Ltd, 2010. P. 113-151.

96. Hachmeister L.E., Rigby F.A. Laboratory studies of stratified flow interaction with topography // Proc. of the Second International Symposium on Stratified Flows (Ed.: Carstens T., McClimans T.). Tapir, Trondheim, Norway, 1980. P. 623-635.

97. Hackbusch W. Multi-grid methods and applications. Second printing. Berlin: Springer, 2003. 377 P.

98. Ham F.E., Lien F.S., Strong A.B. A fully conservative second-order finite difference scheme for incompressible flow on nonuniform grids//J. ofComp. Phys. 2002. V. 177, N l.P. 117-133.

99. Hanazaki H. A numerical study of three-dimensional stratified flow past a sphere // J. Fluid Mech. 1988. V. 192. P. 393-419.

100. Hanazaki H. On the three-dimensional internal waves excited by topography in the flow of a stratified fluid Hi. Fluid Mech. 1994. V. 263. P. 293-318.

101. Harlow F.H., Welch J.E. Numerical calculation of time-dependent viscous incompressible flow of fluid with free surfaces // Phys. Fluids. 1965. V. 8, N 12. P. 2182-2189.

102. Harris M.J. Real-time cloud simulation and rendering. PhD Thesis. University of North Carolina. Chapel Hill, 2003. 150 P.

103. Harten A., Engquist B., Osher S., Chakravarthy S.R. Uniformly high order accurate essentially non-oscillatory schemes, III//J. ofComp. Phys. 1997. V. 131, N l.P. 3-47.

104. Henderson R.D. Unstructured spectral element methods: parallel algorithms and simulations. PhD Thesis, Princeton University, 1994.

105. Henderson R.D. Details of the drag curve near the onset of vortex shedding // Phys. of Fluids. 1995. V. 7, N9. P. 2102-2104.

106. Hestenes M.R., Stiefel E. Methods of conjugate gradients for solving linear systems // J. Res. Natl. Bur. Stand. 1952. V. 49, N 6. P. 409-436.

107. Hibler III W.D. A dynamic thermodynamic sea ice model // J. Phys. Oceanogr. 1979. V. 9, N 4. P. 815-846.

108. Hibler III W.D., Weeks W.F., Mock S.J. Statistical aspects of sea-ice ridge distributions // J. of Geophys. Res. 1972. V. 77, N 30. P. 5954-5970.

109. Hilmer M., Harder M., Lemke P. Sea-ice transport: A highly variable link between Arctic and North Atlantic // Geophys. Res. Lett. 1998. V. 25, N 17. P. 3359-3362.

110. Holland M.M., Curry J.A., and Schramm J.L. Modeling the thermodynamics of a sea ice thickness distribution: 2. Sea ice/ocean interactions // J. Geophys. Res. 1997. V. 102, N C10. P. 23093-23107.

111. Hunkins K. An estimate of internal wave drag on pack ice // AIDJEX Bull. University of Washington, Seattle, 1974. V. 26. P. 141-152.

112. Ingram D.M., Causon D.M. Mingham C.G. Developments in Cartesian cut cell methods // Math. Comput. Simul. 2003. V. 61, N 3-6. P. 561-572.

113. Jameel M.I., Rowe R.D., Topham D.R. Stratified flow under an ice keel - a numerical approach//Int. J.Numer. Meth. Fluids. 1993. V. 16, N 5. P. 353-364.

114. Jauvtis N., Williamson C.H.K. The effect of two degrees of freedom on vortex-induced vibration at low mass and damping // J. Fluid Mech. 2004. V. 509. P. 23-62.

115. Jiang G.-S., Peng D. Weighted ENO schemes for Hamilton-Jacobi equations // SIAM J. Sci. Comput. 2000. V. 21, N 6. P. 2126-2143.

116. Keghouche I., Bertino L., Lisaster K.A. Parameterization of an iceberg drift model in the Barents Sea // J. Atmos. Oceanic Technol. 2009. V. 26, N 10. P. 2216-2227.

117. Keghouche I., Counillon F., Bertino L. Modeling dynamics and thermodynamics of icebergs in the Barents Sea from 1987 to 2005 //J. Geophys. Res. 2010. V. 115, C12062.

118. Khalak A., Williamson C. Motions, forces and mode transitions in vortex-induced vibrations at low mass-damping // J. of Fluids and Structures. 1999. V. 13, N 7. P. 813-851.

119. Kim J., Kim D., Choi H. An immersed-boundary finite-volume method for simulations of flow in complex geometries//J. of Comp. Phys. 2001. V. 171, N 1. P. 132-150.

120. Kim J., Moin P. Application of a fractional-step method to incompressible Navier-Stokes equations // J. of Comp. Phys. 1985. V. 59, N 2. P. 308-323.

121. Kim Y.-J., Arakawa A. Improvement of orographic gravity wave parameterization using a mesoscale gravity wave model//J. Atmos. Sci. 1995. V. 52, N 11. P. 1875-1902.

122. Kirkpatrick M.P., Armfield S.W., Kent J.H. A representation of curved boundaries for the solution of the Navier-Stokes equations on a staggered three-dimensional Cartesian grid // J. Comp. Phys. 2003. V. 184, N I. P. 1-36.

123. Kottmeier C., Sellmann L. Atmospheric and oceanic forcing of Weddell Sea ice motion // J. Geophys. Res. 1996. V. 101, N C9. P. 20809-20824.

124. Kovacs A. On pressured sea ice. In Sea ice (ed T. Karlsson). 1972. Reykjavik, Iceland, International Sea Ice Conference. P. 276-295.

125. Kovacs A., Weeks W.F., Ackle S., Hibler W.D. Structure of a multi-year pressure ridge // Arctic. 1973. V. 26, N 1. P. 22-31.

126. Kravchenko A.G., Moin P., Shariff K. B-spline method and zonal grids for simulations of complex turbulent flows // J. Comp. Phys. 1999. V. 151, N 2. P. 757-789.

127. Kreyshner M., Harder M., Lemke P., Flato G.M. Results of the Sea Ice Model Intercomparison Project: Evaluation of sea ice rheology schemes for use in climate simulations // J. Geophys. Res. 2000. V. 105, N C5. P. 11299-11320.

128. Kubat I., Sayed M., Savage S., Carrieres T. An operational model of iceberg drift // Int J. of Offshore and Polar Engineering. 2005. V. 15, N 2. P. 125-131.

129. Lai M.-C., Peskin C.S. An immersed boundary method with formal second-order accuracy and reduced numerical viscosity // J. of Comp. Phys. 2000. V. 160, N 2. P. 705-719.

130. Larsson J., Lien F.S., Yee E. Conditional semicoarsening multigrid algorithm for the Poisson equation on anisotropic grids // J. of Comp. Phys. 2005. V. 208, N 1. P. 368-383.

131. Lawrence G.A. The hydraulics of steady two-layer flow over a fixed obstacle // J. Fluid Mech. 1993. V. 254. P. 605-633.

132. Laxon S.W., Giles K.A., Ridout A.L., Wingham D.J., Willatt R., Cullen R., Kwok R., Schweiger A., Znang J., Haas C., Hendricks S., Krishfield R., Kurtz N., Farrell S., Davidson M. CryoSat-2 estimates of Arctic sea ice thickness and volume // Geophys. Res. Lett. 2013. V. 40, N 4. P. 732-737.

133. Lee D.S., Ha M.Y., Kim S.J., Yoon H.S. Application of immersed boundary method for flow over stationary and oscillating cylinder // J. Mech. Science and Tech. 2006. V. 20, N 6. P. 849-863.

134. Leontini J.S, Thompson M.C., Hourigan K. The beginning of branching behavior of vortex-induced vibration during two-dimensional flow // J. of Fluids and Structures. 2006. V. 22, N 6-7. P. 857-864.

135. Lepparanta M. Sea ice dynamics. In: Encyclopedia of Ocean Sciences 2nd Ed. Academic Press, 2009. V.5.P. 159-169.

136. Lepparanta M. The drift of sea ice, 2nd Ed. Berlin: Springer, 2011. 347 P.

137. Levine M.D. Internal waves under the Arctic pack ice during the Arctic Internal Wave Experiment: The coherence structure // J. Geophys. Res. 1990. V. 95, N C5. P. 7347-7357.

138. Levine M.D., Paulson C.A., Morison J.H. Observations of internal gravity waves under the Arctic pack ice // J. Geophys. Res. 1987. V. 92, N C1. P. 779-782.

139. Lichey C., Hellmer H.H. Modeling giant-iceberg drift under the influence of sea ice in the Weddell Sea, Antarctica//J. Glaciol. 2001. V. 47, N 158. P. 452-460.

140. Lilly D.K., Nicholls J.M., Kennedy P.J., Klemp J.B., Chervin R.M. Aircraft measurements of wave momentum flux over the Colorado Rocky Mountains // Q.J.R. Meteorol. Soc. 1982. V. 108, N 457. P. 625-642.

141. Lima E Silva A.L.F., Silveira-Neto A., Damasceno J.J.R. Numerical simulation of two-dimensional flows over a circular cylinder using the immersed boundary method // J. of Comp. Phys. 2003. V. 189, N 2. P. 351-370.

142. Liu C., Zheng X., Sung C.H. Preconditioned multigrid methods for unsteady incompressible flows // J. of Comp. Phys. 1998. V. 139, N 1. P. 35-57.

143. Liu X.-D., Osher S., Chan T. Weighted essentially non-oscillatory schemes // J. of Comp. Phys. 1994. V. 115, N LP. 200-212.

144. Lu P., Li Z., Cheng B., Lepparanta M. A parameterization of the ice-ocean drag coefficient // J. Geophys. Res. 2011. V. 116, N C7, C07019.

145. Lu X.Y., Dalton C. Calculation of the timing of vortex formation from an oscillating cylinder // J. of Fluids and Structures. 1996. V. 10, N 5. P. 527-541.

146. Marchenko A., Kulyakhtin A., Eik K. Icebergs drift in the Barents Sea: data analysis of ice tracking buoy and numerical simulations // 20th LAHR International Symposium on Ice. Lahti, Finland, June 14 to 18, 2010. 15 P.

147. Martinson D.G., Wamser C. Ice drift and momentum exchange in winter Antarctic pack ice // J. Geophys. Res. 1990. V. 95, N C2. P. 1741-1755.

148. Massom R.A., Eicken H., Haas C., Jeffries M.O., Drinkwater M.R., Sturm M., Worby A.P., Wu X., Lytle V.I., Ushio S., Morris K., Reid P.A., Warren S.G., Allison A. Snow on Antarctic Sea Ice // Rev. Geophys. 2001. V. 39, N 3. P. 413-445.

149. McPhee M.G. Turbulent stress at the ice/ocean interface and bottom surface hydraulic roughness during SHEBA drift //J. Geophys. Res. 2002. V. 107, N C10, 8037.

150. McPhee M.G. A spectral technique for estimating turbulent stress, scalar flux magnitude, and eddy viscosity in the ocean boundary layer under pack ice // J. Phys. Oceanogr. 2004. V. 34, N 10. P. 2180-2188.

151. McPhee M. Air-ice-ocean interaction. Turbulent boundary layer. Exchange processes. Springer, 2008.215 P.

152. McPhee M.G., Kantha L.H. Generation of internal waves by sea ice // J. Geophys. Res. 1989. V. 94, N C3. P. 3287-3302.

153. McPhee M.G., Kikuchi T., Morison J.H., Stanton T.P. Ocean-to-ice heat flux at the North Pole environmental observatory // Geophys. Res. Lett. 2003. V. 30, N 24, 2274.

154. McPhee M.G., Maykut G.A., Morison J.H. Dynamics and thermodynamics of the ice/upper ocean system in the marginal ice zone of the Greenland Sea // J. Geophys. Res. 1987. V. 92, N C7. P. 7017-7031.

155. McPhee M.G., Smith J.D. Measurements of the turbulent boundary layer under pack ice // J. Phys. Oceanogr. 1976. V. 6, N 5. P. 696-711.

156. Meehl G.A., Washington W.M. C02 climate sensitivity and snow-sea-ice albedo parameterization in an atmospheric GCM coupled to a mixed layer ocean model // Climatic Change. 1990. V. 16, N 3. P. 283-306.

157. Melling H., Johnston P.M., Riedel D.A. Measurements of the underside topography of sea ice by moored subsea sonar// J. Atmos. Oceanic Technol. 1995. V. 12, N 3. P. 589-602.

158. Melling H., Riedel D.A. The underside topography of sea ice over the continental shelf of the Beaufort Sea in the winter of 1990//J. Geophys. Res. 1995. V. 100,NC7. P. 13641-13653.

159. Melling H., Topham D.R., Riedel D. Topography of the upper and lower surfaces of 10 hectares of deformed sea ice // Cold Reg. Sci. Technol. 1993. V. 21, N 4. P. 349-369.

160. Mellor G.L., Kantha L.H. An ice-ocean coupled model // J. Geophys. Res. 1989. V. 94, N C8. P. 10937-10954.

161. Melville W.K., Helfrich K.R. Transcritical two-layer flow over topography // J. Fluid Mech. 1987. V. 178. P. 31-52.

162. Meneghini J.R., Sahara F., Siqueira C., Ferrari J.A. Numerical simulation of flow interference between two circular cylinder in tandem and side-by-side arrangements // J. of Fluids and Structures. 2001. V. 15, N 2. P. 327-350.

163. Menemenlis D., Farmer D.M. Path-averaged measurements of turbulence beneath ice in the Arctic//J. Geophys. Res. 1995. V. 100,NC7. P. 13655-13633.

164. Miller M.J., Thorpe A.J. Radiation conditions for the lateral boundaries of limited-area numerical methods // Quart. J. R. Met. Soc. 1981. V. 107, N 453. P. 615-628.

165. Mittal R. A Fourier-Chebyshev spectral collocation method for simulating flow past spheres and spheroids // Int. J. for Num. Meth. in Fluids. 1999. V. 30, N 7. P. 921-937.

166. Mittal R., Dong H., Bozkurttas M., Najjar F.M., Vargas A., Loebbecke A. A versatile sharp interface immersed boundary method for incompressible flows with complex boundaries // J. of Comp. Phys. 2008. V. 227, N 10. P. 4825-4852.

167. Mittal R., Balachandar S. On the inclusion of three-dimensional effects in simulations of two-dimensional bluff body wake flows // Proc. of ASME Fluid Eng. Div. Summer Meeting. Vancouver BC, Canada, 22-26 June 1997.

168. Mittal R., laccarino G. Immersed boundary methods // Annu. Rev. Fluid Mech. 2005. V. 37. P. 239-261.

169. Mittal S., Kumar V., Raghuvanshi A. Unsteady incompressible flows past two cylinders in tandem and staggered arrangements // Int. J. for Num. Meth. in Fluids. 1997. V. 25, N 11. P. 13151344.

170. Mock S.J., Hartwell A.D., Hibler W.D. Spatial aspects of pressure ridge statistics // J. Geophys. Res. 1972. V. 77, N 30. P. 5945-5953.

171. Mohd-Yusof J. Combined immersed boundary/B-splitie methods for simulations of flow in complex geometries // CTR Annual Res. Briefs, Center for Turbulence Research, NASA Ames/Stanford Univ., 1997. P. 317-327.

172. Mori Y., Peskin C.S. Implicit second-ordcr immersed boundary methods with boundary-mass // Comp. Meth. in Applied Mech. and Eng. 2008. V. 197, N 25-28. P. 2049-2067.

173. Morinishi Y., Lund T.S., Vasilyev O.V., Moin P. Fully conservative higher order finite difference schemes for incompressible flows//J. of Comp. Phys. 1998. V. 143, N l.P. 90-124.

174. Morison J., Goldberg D. A brief study of the force balance between a small iceberg, the ocean, sea ice, and atmosphere in the Weddell Sea // Cold Reg. Sci. and Technol. 2012. V. 76-77. P. 6976.

175. Morison J.H., McPhee M.G., Maykut G.A. Boundary layer, upper ocean, and ice observations in the Greenland Sea Marginal Ice Zone // J. Geophys. Res. 1987. V. 92, N C7. P. 6987-7011.

176. Muench R.D., Hachmeister L.E. Internal wave forced on ice keels in marginal ice zone: Some preliminary laboratory results // MIZEX Bull. 3. CRREL Spec. Rep., 84-7. U.S. Army Cold Reg. Res. and Eng. Lab., Hanover, N.H., 1984. P. 83-90.

177. Nakamura I. Steady wake behind a sphere // Physics of Fluids, 1976. V. 19. P. 5.

178. Nash J.D., Moum J.N. Internal hydraulic flows on the continental shelf: High drag states over a small bank // J. Geophys. Res. 2001. V. 106, N C3. P. 4593-4611.

179. Noor D.Z., Chern M.-J., Horng T.-L. An immersed boundary method to solve fluid-solid interaction problems // Comp. Mech. 2009. V. 44, N 4. P. 447-453.

180. Norberg C. An experimental investigation of the flow around a circular cylinder: influence of aspect ratio Hi. of Fluid Mech. 1994. V. 258, N l.P. 287-316.

181. Ol'shanski M.A., Staroverov V.M. On simulation of outflow boundary conditions in finite difference calculations for incompressible fluid // Int. J. Num. Meth. in Fluids. 2000. V. 33, N 4. P. 499-534.

182. Pacheco-Vega A., Pacheco J.R., Rodic T. A general scheme for the boundary conditions in convective and diffusive heat transfer with immersed boundary methods // J. of Heat Transfer. 2007. V. 129, N 11. P. 1506.

183. Park J., Kwon K., Choi H. Numerical solutions of flow past a circular cylinder at Reynolds numbers up to 160 //J. of Mech. Science and Tech. 1998. V. 12,N6. P. 1200-1205.

184. Persillon H., Braza M. Physical analysis of the transition to turbulence in the wake of a circular cylinder by three-dimensional Navier-Stokes simulation // J. of Fluid Mech. 1998. V. 365. P. 2388.

185. Peskin C.S. Flow patterns around heart valves: A numerical method // J. Comp. Phys. 1972. V. 10, N2. P. 252-271.

186. Peskin C.S. The fluid dynamics of heart valves: experimental, theoretical and computational methods//Annu. Rev. Fluid Mech. 1982. V. 14. P. 235-259.

187. Peskin C.S. The immersed boundary method // Acta Numerica. 2002. V. 11. P. 479-517.

188. Peskin C.S., Printz B.F. Improved volume conservation in the computation of flows with immersed elastic boundaries // J. of Comp. Phys. 1993. V. 105, N 1. P. 33-46.

189. Pfirman S.L., Eicken H., Bauch D., Weeks W.F. The potential transport of pollutants by Arctic sea ice//Science of the Total Environment. 1995. V. 159, N 2-3. P. 129-146.

190. Pinelli A., Naqavi I.Z., Piomelli U., Favier J. Immersed-boundary methods for general finite-difference and finite-volume Navier-Stokes solvers // J. of Comp. Phys. 2010. V. 229, N 24. P. 9073-9091.

191. Pisarevskaya L.G., Popov I.K. Free-drifting icebergs and thermohaline structure // Glaciers-Ocean-Atmosphere Interactions, Proceedings of the Int. Symp. Held at St. Petersburg, September 1990. IAHS Publ. no. 208, 1991. P. 447-454.

192. Pite H.D., Topham D.R., van Hardenberg B.J. Laboratory measurements of the drag force on a family of two-dimensional ice keel models in a two-layer flow // J. Phys. Oceanogr. 1995. V. 25, N 12. P. 3008-3031.

193. Placzek A., Sigrist J.-F., Hamdouni A. Numerical simulation of an oscillating cylinder in a cross-flow at low Reynolds number: forced and free oscillations // Computers and Fluids. 2009. V. 38, N LP. 80-100.

194. Posdziech O., Grundmann R. A systematic approach to the numerical calculation of fundamental quantities of the two-dimensional flow over a circular cylinder // J. of Fluids and Structures. 2007. V. 23, N 3. P. 479-499.

195. Rigby F.A. Theoretical calculations of internal wave drag on sea ice // AIDJEX Bull. University of Washington, Seattle, 1974. V. 26. P. 129-140.

196. Roshko A. On the development of turbulent wakes from vortex streets. NACA Technical Report N 1191. 1954.

197. Roshko A. Experiments on the flow past a circular cylinder at very high Reynolds number // J. of Fluid Mech. 1961. V. 10, N3. P. 345-356.

198. Roma A.M., Peskin C.S., Berger M.J. An adaptive version of the immersed boundary method // J. Comp. Phys. 1999. V. 153, N 2. P. 509-534.

199. Romanov I.P. Atlas of ice and snow of the Arctic Basin and Siberian Shelf Seas (Ed.: Tunic A.). Backbone Publishing Company, 1995. 278 P.

200. Roos, F. W., Willmarth, W. W. Some experimental results on sphere and disk drag // AIAA Journal. 1971. V. 9, N2.

201. Rossinelli D., Bergdorf M., Cottet G.-I I., Koumoutsakos P. GPU accelerated simulations of bluff body flows using vortex particle methods // J. of Comp. Phys. 2010. V. 299, N 9. P. 33163333.

202. Rudels B. Arctic Ocean circulation. In: Encyclopedia of Ocean Sciences, 2nd Ed. Academic Press, 2009. V. 1. P. 211-225.

203. Russel D., Wang Z.J. A Cartesian grid method for modeling multiple moving objects in 2D incompressible viscous flow//J. ofComp. Phys. 2003. V. 191,N l.P. 177-205.

204. Saad Y. Iterative methods for sparse linear systems. Philadelphia: SIAM, 2003. 528 P.

205. Saiki E.M., Biringen S. Numerical simulation of a cylinder in uniform flow: Application of a virtual boundary method//J. ofComp. Phys. 1996. V. 123, N2. P. 450-465.

206. Sandven S., Johannessen O.M. High-frequency internal wave observations in the marginal ice zone // J. Geophys. Res. 1987. V. 92, N C7. P. 6911 -6920.

207. Schmidt B.K. Observations of hydraulic roughness and form drag in the wake of a deep ice keel in the Arctic Ocean. M. Thesis. Naval Postgraduate School. Monterey, California. 2012. 83 P.

208. Seim K.S., Fer I., Avlesen H. Stratified flow over complex topography: A model study of the bottom drag and associated mixing // Continental Shelf Research. 2012. V. 34. P. 41-52.

209. Seo J.H., Mittal R. A sharp-interface immersed boundary method with improved mass conservation and reduced spurious pressure oscillations // J. of Comp. Phys. 2011. V. 230, N 19. P. 7347-7363.

210. Sharman B., Lien F.S., Davidson L., Norberg C. Numerical predictions of low Reynolds number flow over two tandem circular cylinders // Int. J. for Num. Meth. in Fluids. 2005. V. 47, N 5. P. 423-447.

211. Sheppard P.A. Airflow over mountains // Q.J.R. Meteorol. Soc. 1956. V. 82, N 354. P. 528529.

212. Shiels D., Leonard A., Roshko A. Flow-induced vibration of a circular cylinder at limiting structural parameters//J. of Fluids and Structures. 2001. V. 15, N 1. P. 3-21.

213. Shimada K., Carmack E.C., Hatakeyama K., Takizawa T. Varieties of shallow temperature maximum waters in the Western Canadian Basin of the Arctic Ocean // Geophys. Res. Lett. 2001. V. 28, N 18. P. 3441-3444.

214. Skyllingstad E.D., Paulson C.A., Pegau W.S., McPhee M.G., Stanton T. Effects of keels on ice bottom turbulence exchange // J. Geophys. Res. 2003. V. 108, N C12, 3372.

215. Smith R.B. A measurement of mountain drag //J. Atmos. Sci. 1978. V. 35, N 9. P. 1644-1654.

216. Smith R.B. The influence of mountains on the atmosphere// Adv. Geophys. 1979. V. 21. P. 87230.

217. Smith S.D. Hindcasting iceberg drift using current profiles and winds // Cold Reg. Sci. Technol. 1993. V. 22, N l.P. 33-45.

218. Snyder W.H., Thompson R.S., Eskridge R.E., Lavvson R.E., Castro I.P., Lee J.T., Hunt J.C.R., Ogawa Y. The structure of strongly stratified flow over hills: dividing-streamline concept // J. Fluid Mech. 1985. V. 152. P. 249-288.

219. So R.M.C., Liu Y., Lai Y.G. Mesh shape preservation for flow-induced vibration problems // J. of Fluids and Structures. 2003. V. 18, N 3-4. P. 287-304.

220. Solomon H. Wintertime surface layer convection in the Arctic Ocean // Deep-Sea Res. 1973. V. 20. P. 269-283.

221. Spring W. Ice data acquisition program: Summary report. Tech. Rep. File 472-37, Mobile Research and Development Corporation, Dallas E&P Engineering. 1994. 90 P.

222. Stansby P.K., Slaouti A. Simulation of vortex shedding including blockage by the random-vortex and other methods//Int. J. for Num. Meth. in Fluids. 1993. V. 17, N 11. P. 1003-1013.

223. Steiner N. Introduction of variable drag coefficients into sea-ice models // Annals of Glaciology. 2001. V. 33, N LP. 181-186.

224. Steiner N., Harder M., Lemke P. Sea-ice roughness and drag coefficients in a dynamic-thermodynamic sea-ice model for the Arctic // Tellus A. 1999. V. 51, N 5. P. 964-978.

225. Stockie J.M. Analysis and computation of immersed boundaries, with application to pulp fibres. PhD Thesis, Institute of Applied Mathematics, University of British Columbia, 1997. 145 P.

226. Stroeve J., Holland M.M., Meier W., Scambos T., Serreze M. Arctic sea ice decline: Faster than forecast // Geophys. Res. Lett. 2007. V. 34, L09501.

227. Su S.-W., Lai M.-C., Lin C.-A. An immersed boundary technique for simulating complex flows with rigid boundary // Computers and Fluids. 2007. V. 36, N 2. P. 313-324.

228. Sutherland R.B. Large-amplitude internal wave generation in the lee of step-shaped topography //Geophys. Res. Lett. 2002. V. 29, N 16. P. 15321-15325.

229. Taira K., Colonius T. The immersed boundary method: A projection approach // J. of Comp. Phys. 2007. V. 225, N 2. P. 2118-2137.

230. Thorndike A.S., Colony R. Sea ice motion in response to geostrophic winds // J. Geophys. Res. 1982. V. 87, N C8. P. 5845-5852.

231. Timco G.W., Burden R.P. An analysis of the shapes of sea ice ridges // Cold Reg. Sci. Tech. 1997. V. 25, N l.P. 65-77.

232. Tolke J., Krafczyk M. TeraFLOP computing on a desktop PC with GPUs for 3D CFD // Int. J. of Comp. Fluid Dynamics. 2008. V. 22, N 7. P. 443-456.

233. Topham D.R., Pite H.D., Johnston P.J., Richards D.L. Stratified flows generated by an Arctic ice keel // Preprints of Third Int. Symp. on Stratified Flows, ASCE. 1987. P. 975-984.

234. Topham D.R., Pite H.D., Johnston P.J., Richards D.L., Birch J.R. Field observations of flow patterns generated by an ice keel in stratified flow. Canadian Data Report of Hydrography and Ocean Sciences, No. 57. Inst. Of Ocean Sciences. Sydney, 1988. 230 P.

235. Tritton D.J. Experiments on the flow past a circular cylinder at low Reynolds numbers // J. of Fluid Mech. 1959. V. 6, N 4. P. 547-567.

236. Trottenberg U., Oosterlee C.W., Schiiller A. Multigrid. London: Academic Press, 2001. 631 P.

237. Tseng Y.-H., Ferziger J.H. A ghost-cell immersed boundary method for flow in complex geometry // J. Comp. Phys. 2003. V. 192, N 2. P. 593-623.

238. Uhimann M. An immersed boundary method with direct forcing for the simulation of particulate flows // J. of Comp. Phys. 2005. V. 209, N 2. P. 448-476.

239. van der Vorst H.A. BiCGstab: A fast and smoothly converging variant of Bi-CG for the solution of non-symmetric linear systems // SIAM J. Sci. Stat. Comput. 1992. V. 13, N 2. P. 631644.

240. van der Vorst H.A. Iterative Krylov methods for large linear systems. Cambridge: Cambridge University Press, 2003. 221 P.

241. Vasilyev O.V. High order finite difference schemes on non-uniform meshes with good conservation properties //J. of Comp. Phys. 2000. V. 157, N 2. P. 746-761.

242. Villar M.M., Silveira Neto A., Roma A.M. The multigrid method for the unsteady incompressible Navier-Stokes equations: Comparative analysis between different cycles and smoothers // Escola de Primavera de Transi^ao e Turbulencia, 2004. Rio de Janeiro, RJ: ABCM, 2004.

243. Vliegenthart A.C. On finite-difference methods for the Korteweg-de Vries equation // J. Eng. Math. 1971. V. 5, N2. P. 137-155.

244. Vosper S.B. Three-dimensional numerical simulations of strongly stratified flow past conical orography//J. Atmos. Sci. 2000. V. 57, N22. P. 3716-3739.

245. Vosper S.B., Castro I.P., Snyder W.H., Mobbs S.D. Experimental studies of strongly stratified flow past three-dimensional orography // J. Fluid Mech. 1999. V. 390. P. 223-249.

246. Wadhams P. The underside of Arctic sea ice imaged by sidescan sonar //Nature. 1988. V. 333. P. 161-164.

247. Wadhams P. Sea-ice thickness distribution in the Greenland Sea and Eurasian Basin, May 1987 Hi. Geophys. Res. 1992. V. 97, N C4. P. 5331-5348.

248. Wadhams P. Ice in the Ocean. P. 351. Amsterdam: Gordon and Breach Science Publishers, 2000.

249. Wadhams P. Sea ice. In: Encyclopedia of Ocean Sciences, 2nd Ed. Academic Press, 2009. V. 5. P.141-158.

250. Wadhams P., Davy T. On the spacing and draft distributions for pressure ridge keels // J. Geophys. Res. 1986. V. 91, N C9. P. 10697-10708.

251. Wadhams P., Hörne R.J. An analysis of ice profiles obtained by submarine sonar in the Beaufort Sea// J. of Glaciology. 1980. V. 25, N 93. P. 401-424.

252. Wadhams P., Wilkinson J.P., McPhail S.D. A new view of the underside of Arctic sea ice // Geophys. Res. Lett. 2006. V. 33. L04501.

253. Wang Z., Fan J., Cen K. Immersed boundary method for the simulation of 2D viscous flow based on vorticity-velocity formulations // J. of Comp. Phys. 2009. V. 228, N 5. P. 1504-1520.

254. Warren S.G., Rigor I.G., Untersteiner N., Radionov V.F., Bryazgin N.N., Aleksandrov Y.I., Colony R. Snow depth on Arctic seaice//J. ofClimate. 1999. V. 12,N6. P. 1814-1829.

255. Waters J.K., Bruno M.S. Internal wave generation by ice floes moving in stratified water: Results from laboratory study//J. Geophys. Res. 1995. V. 100, N CI. P. 13635-13639.

256. Waters J.K., Bruno M.S., Herrington T.O., Rankin K.L. A laboratory investigation of sea ice dynamics in a stratified waterbody. Preliminary Results. Tech. Rep. SIT-DL-93-9-2695. 1993. 98 P.

257. Weeks W.F. Sea ice: Overview. In: Encyclopedia of Ocean Sciences, 2nd Ed. Academic Press, 2009. V. 5. P. 170-178.

258. Weeks W.F., Kovacs A., Hibler W.D. Pressure ridge characteristics in the Arctic coastal environment // Proceedings of the 1st Int. Conf. on Port and Ocean Eng. under Arctic Conditions. 1971. Trondheim, Norway. P. 152-183.

259. Weiß C. Data locality optimizations for multigrid methods on structured grids. PhD Thesis, 2001. Technische Universtät München. 181 P.

260. Wesseling P. Cell-centered multigrid for interface problems // J. of Comp. Phys. 1988. V. 79, N 1. P. 85-91.

261. Wesseling P. An introduction to multigrid methods. New York: Wiley, 1992. 248 P.

262. Weymouth G.D., Yue D.K.P. Boundary data immersion method for Cartesian-grid simulations of fluid-body interaction problems //J. of Comp. Phys. 2011. V. 230, N 16. P. 6233-6247.

263. Wieselsberger C. New data on the laws of fluid resistance. NACA Technical Report N 84, 1922.

264. Williams E., Swithinbank C., Robin G. de Q. A submarine sonar study of Arctic pack ice // J. of Glaciology. 1975. V. 15, N73. P. 349-362.

265. Williamson C. Oblique and parallel modes of vortex shedding in the wake of a circular cylinder at low Reynolds numbers // J. of Fluid Mech. 1989. V. 206. P. 579-627.

266. Williamson C.H.K. Vortex dynamics in the cylinder wake // Annu. Rev. Fluid. Mech. 1996. V. 28. P. 477-539.

267. Winters K.B., D'Asaro E.A. Three-dimensional wave instability near a critical level // J. Fluid Mech. 1994. V. 272. P. 255-284.

268. Wright B., Hnatiuk J., Kovacs A. Sea ice pressure ridges in the Beaufort Sea // Proceedings of IAHR Ice Symposium, Lulea, Sweden. 1978. P. 249-271.

269. Wu Y.L., Shu C. Application of local DFD method to simulate unsteady flows around an oscillating circular cylinder // Int. J. for Num. Meth. in Fluids. 2008. V. 58, N 11. P. 1223-1236.

270. Yang J. An embedded-boundary formulation for large-eddy simulation of turbulent flows interacting with moving boundaries. PhD Thesis. 2005.

271. Yang J.M., Balaras E. An embedded-boundary formulation for large-eddy simulation of turbulent flows interacting with moving boundaries // J. of Comp. Phys. 2006. V. 215, N 1. P. 1240.

272. Yang X., Zhang X., Li Z., He G.-W. A smoothing technique for discrete delta functions with application to immersed boundary method in moving boundary simulations // J. of Comp. Phys. 2009. V. 228, N 20. P. 7821-7836.

273. Ye T., Mittal R., Udaykumar H.S., Shyy W. An accurate Cartesian grid method for viscous incompressible flows with complex immersed boundaries // J. of Comp. Phys. 1999. V. 156, N 2. P. 209-240.

274. Zhang J., Jackson T.L. A high-order incompressible flow solver with WENO // J. of Comp. Phys. 2009. V. 228, N 7. P. 2426-2442.

275. Zhou C.Y., So R., Lam K. Vortex-induced vibrations of an elastic circular cylinder // J. of Fluids and Structures. 1999. V. 13, N 2. P. 165-189.