Исследование газодинамических процессов с учетом стока массы и энергии тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.07, кандидат физико-математических наук Дарьин, Н.А.

• Дарьин, Н.А.
• кандидат физико-математических наук
• 1984

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Дарьин, Н.А.

ВВЕДЕНИЕ.

Глава I. Задача о поршне в газовой динамике с учетом источника (стока) энергии и стока массы

§1. Автомодельные задачи газовой динамики с источником (стоком) энергии

1.1 Постановка задачи о поршне.

1.2 Анализ автомодельных решений в случае, когда интегрируется уравнение энергии

1.3 Анализ автомодельных решений в общем случае

1.4 Автомодельные решения в случае постоянной скорости поршня

§2. Автомодельные задачи двухтемпературной газовой динамики с источником (стоком) энергии.

2.1 Постановка задачи. Условия автомоде л ьно с ти

2.2 Анализ автомодельных решений

2.3 Численные примеры автомодельных решений.

§3. Пример автомодельного решения задачи о поршне с учетом объемного стока массы

Глава II. Регулярные режимы в газовой динамике с источником (стоком) энергии и стоком массы.

§1. Регулярные режимы разлета и сжатия в газовой динамике с источником (стоком) энергии

1.1 Постановка задачи

1.2 Анализ временных и пространственных функций.

1.3 Автомодельные регулярные режимы. . •

1.4 Пример численного расчета

§2. Регулярные режимы в газовой динамике с учетом стока массы

2.1 Постановка задачи

2.2 Качественный анализ регулярных режимов со стоком массы.

Глава III. Инвариантные решения уравнений газовой динамики с источником (стоком) энергии

§1. Классификация инвариантных решений

§2. Инвариантные решения типа бегущей и "логарифмической" бегущей волны

§3. Автомодельное решение уравнений газовой динамики с учетом источника энергии, описывающее режимы с обострением.

§4. Гомотермическое сжатие и разлет газа с учетом источников (стоков) энергии

Глава 1У. Численное решение уравнений двухтемпературной магнитной гидродинамики с учетом объемных стоков энергии и массы.

§1. Семейство полностью консервативных разностных схем магнитной гидродинамики с учетом стока массы.

§2. Вычислительные эксперименты по тетапинчу с учетом концевых потерь

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование газодинамических процессов с учетом стока массы и энергии»

I. В настоящее время в связи с решением шюблемы управляемого термоядерного синтеза весьма актуальными являются задачи, связанные с исследованием физики плотной высокотемпературной плазмы. Сложность указанной птэоблемы и разнообразие физических эффектов в плотной горячей плазме породили различные концепции управляемого термоядерного синтеза, основанные на магнитном или инерционном удержании •

Одна из концепций в УТС связана с удержанием высокотемпературной плазмы в системах типа тета-пинча . Детальное теоретическое исследование тета-пинча приводит к необходимости учета многих нелинейных процессов: газодинамического движения; диффузии магнитного поля; джоулева нагрева при проводимости, зависящей от температуры; электронной и ионной теплопроводности; объемных потерь энергии и других эффектов. Как показывают эксперименты [З-Т] , на динамику процесса в тета-пинчах существенным образом могут влиять "концевые" потери: стоки массы, импульса и энергии через торцы плазменного шнура. Для исследования тета-пинча с концевыми потерями необходима постановка по крайней мере двумерной задачи. Однако для качественного анализа процессов целесообразно рассмотреть и одномерную задачу, моделируя концевые потери объемными стоками массы, импульса и энергии [в] .

Одним из наиболее эффективных способов теоретического анализа упомянутых выше задач является вычислительный эксперимент на ЭВМ [9] - численное моделирование физических экспериментов, прогнозируемых устройств и конструкций.

Вычислительный эксперимент состоит не только в разработке численных алгоритмов и их реализации на ЭВМ. Он включает в себя также анализ применимости различных физико-математических моделей, усовершенствование этих моделей и численных методов их реализации на ЭВМ с помощью сравнения с физическими экспериментами и качественного анализа отдельных закономерностей исследуемых процессов. Предварительное знание основных качественных закономерностей изучаемых явлений позволяет выбрать наилучшую в каждой конкретной ситуации методику численного интегрирования, значительно сократить количество расчетов на ЭВМ, сделать вычислительный эксперимент более целенаправленным. В связи с этим важны традиционные методы математической физики - изучение асимптотик, анализ размерностей, построение инвариантных, в том числе автомодельных, решений и т.д.

В физике плазмы весьма ценными являются "автомодельные методы" исследования: построение автомодельных решений исходной системы уравнений в частных производных. Автомодельные решения обычно получают с помощью анализа размерностей [ю] . С другой стороны они являются частным случаем т.н. инвариантных решений [11-12] .

Во многих случаях автомодельные решения дают описание процесса и когда не выполняются условия автомодельности, позволяют выяснить характер его зависимости от параметров задачи. По существу в случае, когда требуется учитывать большое число нелинейных эффектов, построение и анализ автомодельных решений является практически единственным методом исследования изучаемых явлений. Существует также ряд примеров, когда какой-либо реальный физический процесс, неавтомодельный на начальной стадии по времени, при t —* выходит на автомодельный режим. Примерами таких задач являются известная задача о сильном точечном взрыве [10,13-14] , анализ процессов кумуляции [15-19] , локализации тепла [20] и т.д.

Большую роль автомодельные решения играют также в качестве тестов для опробывания численных методов решения системы уравнений газовой динамики и магнитной гидродинамики.

2. Настоящая работа посвящена исследованию газодинамических процессов с учетом стока массы и энергии. Применение численных методов сочетается с построением автомодельных и ряда других инвариантных решений. Основное внимание уделяется анализу влияния на движение газа источника или стока энергии. Качественный анализ отдельных эффектов в большинстве случаев проводится с помощью часто рассматриваемой в газовой динамике задачи о движении газа перед поршнем. Полученные качественные результаты используются при решении ряда конкретных задач о тета-пинче. Численное моделирование процессов, происходящих в тета-пинчах, проводилось совместно с рядом сотрудников Сухумского физико-технического института. Задача о тета-пинче исследовалась с помощью численных методов в предположении осевой симметрии в од-ножидкостном двухтемпературном магнитогидродинамическом приближении. Учитывалась электронная и ионная теплопроводность, джоу-лев нагрев, потери энергии за счет продольной теплопроводности, а также потери массы, импульса и энергии через торцы плазменного шнура. Эти потери моделируются объемными стоками массы, импульса и энергии. Показано, что в динамике процессов, происходящих в тета-пинчах, проявляются эффекты, исследованные с помощью инвариантных решений. Часть результатов расчетов сравнивалась с результатами физических экспериментов, проведенных ранее в сет [21]

3. Автомодельным задачам о движении газа перед поршнем посвящена обширная литература ¡22-2б], см. также [13,14] и библиографию в этих работах.

В работах [22-24] рассматривалась задача о движении поршня в случае адиабатического течения. Показано, что при степенной зависимости скорости поршня V от времени вида у решение задачи при не существует, т.к. в этом случае давление на поршне обращается в бесконечность и поршень при вдвигании должен совершать бесконечную работу. При по>~з существует решение задачи с ударной волной, движущейся впереди поршня. При этом в случае температура и плотность газа вблизи поршня обращаются либо в нуль, либо в бесконечность соответственно в зависимости от знака показателя .

В работах [25-27^ исследовалось влияние концевых потерь на примере решения одномерных задач газовой динамики с учетом в среде объемных стоков массы. Проведенный в этих работах анализ показал, что в зависимости от характера первоначального распределения плотности среды и мощности стока имеют место различные режимы распространения ударной волны и распределения параметров за ее фронтом.

При этом показано, что значения газодинамических функций вблизи поршня зависят от значения энтропии системы в начальный момент времени. А именно, если энтропия в начальный момент времени вблизи поршня мала, то на поршне температура обращается в нуль, а плотность в бесконечность; если же энтропия в начальный момент времени вблизи поршня велика, то температура на поршне обращается в бесконечность, а плотность в нуль.

В работах [28-33] дан анализ автомодельных решений уравнений газовой динамики с учетом нелинейной теплопроводности. Показано, что в зависимости от изменения параметров существуют два класса решений, описывающих различные режимы распространения тепловых волн в движущейся среде.

Частным случаем инвариантных решений являются решения, описывающие бегущие волны. В большинстве работ (см. например [34-391 ) метод бегущих волн используется для анализа структуры фронта ударных волн, определяемой различными диссипативными процессами. В работах [28,40,41] задача о бегущей волне связывается с задачей о поршне с тепловым режимом. Благодаря такому подходу рассматривается более общий вид бегущих волн, существенно связанный с нестационарным тепловым и гидродинамическим режимом на поршне.

Важным классом решений уравнений газовой динамики являются т.н. регулярные режимы, или режимы типа М - схи^Л ^ где /у „ масса исследуемого слоя газа. (см. [42-47] ). Функции, описывающие регулярный режим, представляются в виде В работах [42-44] рассматривались регулярные режимы разлета конечной массы плазмы при наличии в среде источников тепла, нелинейным образом зависящих от температуры и плотности. Автомодельные регулярные режимы в случае, когда ^¿("Ь) являются степенными функциями времени, использовались для качественного изучения известного в магнитной гидродинамике явления Т-слоя [45,48,49] ; высокотемпературного самоподдерживающегося образования, связанного с фиксированными частицами среды, которое возникает и развивается в плазме при определенных условиях в процессе ее взаимодействия с магнитным полем. В работах [46,47] изучались автомодельные регулярные режимы сжатия конечной массы плазмы с учетом большого числа диссипативных процессов, объемных источников и стоков энергии. Отметим интересную работу [50] » в которой изучались явление локализации и газодинамические структуры при адиабатическом сжатии конечной массы газа в режиме с обострением [20] .

В настоящей работе рассмотрены автомодельные решения, решения типя. бегущих волн и решения, описывающие регулярные режимы уравнений газовой динамики с учетом объемного источника или стока энергии. Решена задача групповой классификации уравнений газовой динамики по виду зависимости нелинейного источника (стока) энергии от плотности и давления. Для степенной зависимости источника (стока) энергии от плотности и давления построены все существенно различные инвариантные решения. Дан детальный анализ и построены численные и аналитические примеры автомодельных решений, описывающих режимы с обострением. Проведен также анализ инвариантных решений типа бегущей волны и "логарифмической" бегущей волны, а также инвариантного решения, описывающего гомотермическое сжатие и разлет газа в регулярном режиме.

Для анализа рассмотренных в работе автомодельных и инвариантных решений, описывающих существенно нелинейные процессы, аналогично [28,29,32,33] используются как численные, так и чисто теоретические методы. При этом важным является построение автомодельных и инвариантных, решений путем установления соответствующих автомодельных режимов численным решением исходной системы в частных производных. Такие расчеты, с одной стороны, подтверждают существование (устойчивость) автомодельных решений и, с другой стороны, позволяют судить о точности используемых численных методов.

4. Как указано в работе [51] в задачах с учетом стока массы лагранжевы массовые переменные не удобны, т.к. лагранжева массовая переменная гц зависит от времени. Поэтому по методике, предложенной в работе [51] , система уравнений магнитной гидродинамики записывается в т.н. квазилагранжевых координатах [51]. Ниже приводится описание постановки задачи о тета-пинче с учетом стока массы через торцы системы.

Рассмотрим систему уравнений магнитной гидродинамики в двухтемпературном приближении с учетом электронной и ионной теплопроводности, конечной проводимости, обмена энергией между ионами и электронами и объемных потерь энергии (например, за счет тормозного излучения) в геометрии тета-пинча, т.е. в предположении, что напряженность магнитного поля имеет отличную от нуля компоненту //г , направленную вдоль оси цилиндра, напряженность электрического поля - отличную от нуля азимутальную компоненту Еу> . Движение по углу У7 является симметричным.

Пусть £ - плотность, 1ГЬ , У^. - радиальная и осевая ком ' ^ с поненты скорости; /% , , ¿е , , \а/г , , , И^ , т~е , Тс » ^е > ^ ~ соответственно, электронные и ионные компоненты давления, внутренней энергии, радиальных и осевых потоков тепла, температуры, коэффициенты теплопроводности; - плотность тока, - "скорость" обмена энергией между ионами и электронами, С - мощность тормозного излучения.

Систему уравнений магнитной гидродинамики в переменных Эйлера £ , £ и ~Ь можно записать в следующем безразмерном" виде [52] : г г?г с/ зг 1 г tfjí=<?, г г ъъ / эг + ■г* гг г гн / к щ п (1.1) + v ?£< кг1 жъ) ^ уу1-, п и а, . 9И46' и-шм е-^е^.Т.), " *г (711 ъ).

Аналогично [в] , предположим, что плотность потока массы вдоль оси цилиндра изменяется в зависимости от 2 по линейному закону, т.е.

1.2) где Х(ъ ~ мощность стока массы. Величина X может быть, например, Функцией температуры и плотности [8,56^ . Из (1.2) получаем 1ГЪ~ . Будем считать, что все остальные функции не зависят от переменной И. .

Предположим, что теплопроводность ионов по оси цилиндра отсутствует, а электронная теплопроводность вдоль оси 2 есть

21~\ » где ^ " Длина тета-пинча.

Производную будем моделировать следующим образом 21 й р (7 2 гДе ^ " длина плазменного шнура. ^ С'

Тогда из (1.1) получим следующую систему уравнений: ! ънг

1.3)

При исследовании одномерных нестационарных задач магнитной гидродинамики часто вводятся лагранжевы массовые координаты УУ1 и £л ^52] • Как отмечено в работе [51] в задачах с учетом стока массы переменные (М , ~ЬА) не удобны, т.к. величина М зависит от времени. Поэтому аналогично [51] в качестве пространственной координаты будем рассматривать параметр ^ , который определяется начальным распределением массы:

М(0)= (1.4)

1с(о)

Введем в рассмотрение функцию У вида: гц,*) = ш ■ (1.5)

Функция У выражает долю оставшейся массы в данном элементе течения.

Используя первое уравнение в (1.3) и учитывая (1.5), получим следующее уравнение:

Полагая V-О для случая плоской симметрии, для случая осевой симметрии, 'Щ , Е=Е^ , ^ ~и опуская в дальнейшем индекс "I" у параметра ~ЬА , систему (1.3) в переменных , запишем в следующем виде: - суг 21-тг

V /и,пг) ^ О о г н* е+ян-пг,

1.7) — СГ

Из системы (1.7) можно получить следующие уравнения:

Й = - г& = нг 7>(г'у) г о

Ыч>(£ + ЦГ+ М-Л] = -Ггр+ Л~) у^тА-Ш+У (кг * вя$и -I П V (1.8)

-2-/щ + г щ\ч7г) г £ + ^ 1

Здесь использованы обозначения ¿ = ¿e+£¿ , + »

Интегральные аналоги уравнений (1.8) описывают балансы, соответственно, кинетической магнитной и полной энергии для элемента течения газа.

Систему уравнений (1.7) можно записать также в следующей эквивалентной форме: т-у н <л>

2е + у у т; г л у л f }

П 7 Г Г Т

Ж р* ГV ЪЩ п. щ

Из (1.9) получим уравнения, определяющие изменение со временем, соответственно, кинетической, магнитной и полной энергии единицы массы газа: у, тгг) г ! ~ у + у т, = Л Эе. Нг 7>(тУтт) г//г ж//~ ^р ^ + ±2-Г/р+Л?:\ур7г7 у ж £ (1.10) т г /у/ г /М] у-4 + •

Система уравнений (1.7) решается в области 0<с£< ( 0 < Ъ < ), где - радиус разрядной камеры, а через

М0 обозначена начальная масса плазмы в одном радиане и в единице длины плазменного шнура.

При ( Т = О ) задаются условия симметрии: тг(о,±) = 0, ег(0,-ъ)=0; (1.И) I у при <р= ( То) задаются условия: где 7(Ь) - разрядный ток - определяется из уравнений электротехнической цепи [52] : ь л (1.13) = -iс(€ С0 ? (1.14) при начальных условиях 1(о)~о , У0 .

Здесь I- , К, , - соответственно индуктивность, сопротивление и емкость во внешней цепи, (У0 - начальное напряжение.

5. Диссертация состоит из Введения, четырех глав и заключения.

Заключение диссертации по теме «Вычислительная математика», Дарьин, Н.А.

Основные результаты, изложенные в настоящей главе, опубликованы в работах [57,58] .

§ I. Классификация инвариантных решений.

Систему уравнений газовой динамики с источником (стоком) энергии (1.1) Главы I запишем в следующем эквивалентном виде: а.» где Я- $(уГ> Р) - мощность источника или стока энергии.

Используя методику, изложенную в [и] , проведем для системы (1.1) групповую классификацию по виду зависимости мощности источника (стока) энергии от плотности и давления.

При произвольном система (1.1) допускает основную алгебру Ш ¿.о размерности 3 со следующим базисом операторов:

V - X - у - ■ дП7 > Э7Г (1.2)

Все случаи расширения алгебры Ли ¡-о перечислены в ниже следующей таблице I. Здесь в первом столбце даны специализации , при которых происходит расширение основной группы , во втором - размерность г расширяющей алгебры [п] ¿г , г в третьем - базис в (— , где использованы следующие обозначения:

О ^ ^ с)

9 9 ь (1.3)

В четвертом столбце приведена пополнительная информация.Здесь

Н-)

- произвольная Функция своего аргумента. В дальнейшем ограничимся рассмотрением мощности источника (стока) степенного вида.

Для нахождения существенно различных инвариантных решений [п] необходимо решить задачу о перечислении всех неподобных подалгебр размерности I алгебры Ли инфинитезимальных операторов /Х^} . Ее решением является система линейных комбинаций базисных операторов ^С , получаемая с использованием внутренних автоморфизмов допускаемой группы . Получаемая система подгрупп существенно зависит от.значений К и п , определяющих вид зависимости мощности источника энергии от плотности и давления.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Перечислим основные результаты, представленные в диссертации.

1. Для системы уравнений магнитной гидродинамики, рассматриваемой в квазилагранжевых координатах в одномерном двухтемператур-ном приближении с учетом объемных потерь энергии и массы, построено семейство полностью консервативных разностных схем.

Проведены вычислительные эксперименты по тета-пинчу с учетом торцевых потерь массы и энергии. Численные расчеты сравниваются с экспериментами, выполненными в (ЖИ на установке КП-1М. Расчетные и опытные данные удовлетворительно согласуются между собой.

2. Исследованы новые автомодельные решения задачи о поршне с учетом источника (стока) энергии в одно- и двухтемпературном приближении. Показано, что для некоторых значений параметров автомодельное решение не существует, несмотря на формальное выполнение условий автомодельности. Проведенные численные расчеты показывают, что в этом случае за конечное время после начала сжатия температура (при наличии источника) или плотность газа (при наличии стока энергии) могут обращаться в бесконечность вместе с мощностью источника (стока) энергии.

3. Исследованы регулярные режимы в газовой динамике с источником (стоком) энергии, зависящем от температуры и плотности по степенному закону. Проведено качественное исследование поведения временных функций для широкого диапазона параметров. Показано, что автомодельные регулярные резкими могут быть как устойчивыми, так и неустойчивыми.

4. Проведен групповой анализ системы уравнений газовой динамики с источником (стоком) энергии. Решена задача групповой классификации по виду зависимости мощности источника (стока) энергии от давления (температуры) и плотности. Для степенной зависимости построены все существенно различные инвариантные решения ранга I. Подробно исследован ряд инвариантных решений, в которых температура либо плотность газа вблизи поршня обращаются в бесконечность за конечное время, т.е.: имеет место режим с обострением. Получено в аналитическом виде инвариантное решение, описывающее гомотермическое сжатие и разлет газа с учетом источников (стоков) энергии.

5. Исследованные в работе автомодельные решения использовались как для понимания отдельных деталей процессов, происходящих в высокотемпературной плазме при учете объемных источников (стоков) массы и энергии и в частности торцевых потерь в тета-пин-чах, так и для проверки точности соответствующих численных методов.

Указанная выше методика численного расчета реализована в программе НЕКА-& в рамках пакета прикладных программ САФРА.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Дарьин, Н.А., 1984 год

1. Арцимович J1.А. Управляемые термоядерные реакции. - М. : Атом-издат,1963. - 496 с.

2. Хеглер М., Кристиансен М. Введение в управляемый термоядерный синтез. М.: Мир, 1980. - 232 с.

3. Spadling I.J. Nucl. Fusion, 1968, 8, p.161.

4. Green T.S., Fisher D.L., Gabriel A.N., Morgan F.J., Newton A.A. Phys. Fluids, 1967, 10, p.1663.

5. Кварцхава И.Ф., Зукакишвили Г.Г., Матвеев Ю.В. и др. Нагрев и устойчивость плазмы в комбинированном пинче. Phis, and Contr. Nucl. Fus. Res. IAEA, Vienna, 1971, т.1, p.451.

6. Malone R.S., Morse R.L. Phys. Rer. Lett. ,1977,39,No.3, p.134-. Coramisso R.I., Ekdahl C.A., Freese K.B., McKenna K.F.,

7. Quinn W.E. Phis. Rev. Lett., 1977, 39, No.3, p.137.

8. Волосевич П.П., Гордезиани Д.Г., Курдюмов С.П. и др. О задачахгидродинамики и магнитной гидродинамики с учетом источников (стоков) массы, импульса и энергии. М., 1978 - 36 с. (Препринт/ ИПМ АН СССР, № 45).

9. Самарский A.A. О математическом моделировании и вычислительном эксперименте в физике. Вест. АН СССР, 1979, № 5, с. 38-49.

10. Седов Л.И. Методы подобия и размерности в механике. М.: Наука, 1981. - 448 с.

11. Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. -М.: Наука, 1978. 400 с.

12. Овсянников Л.В. Групповые свойства дифференциальных уравнений. Изд. СО АН СССР, 1962.

13. Коробейников В.П., Мельникова Н.С., Рязанов Е.В. Теория точечного взрыва. М.: Физматгиз, 1961. - 332 с.

14. Коробейников В.П. Задачи теории точечного взрыва в газах.

15. M.: Наука, 1973. 278 с. (Труды Мат. ин-та АН СССР им. Сте-клова, т. 119).

16. Зельдович Я.Б., Райзер Ю.П. Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений. М.: Наука, 1966.

17. G.Guderley. Starke Kudelige und Zylindrische Verdichtungsstose in der Nahe des Kudelmittelpunktes bzw. der Zylinderasche, Luftfahrtforschung, 19(1942) 302.

18. Забабахин Е.И. Кумуляция энергии и ее границы. УФН, 1965, т. 85, № 4, с. 721-726.

19. Брушлинский К.В., Каждая Я.М. Об автомодельных решениях некоторых задач газовой динамики. УМН, 1963, т. 18, № 2, с.3-23.

20. Баренблатт Г.И., Зельдович Я.Б. Промежуточные асимптотики в математической физике. УМН, 1971, т. 26, № 2, с. II5-I29.

21. Курдюмов С.П. Собственные функции горения нелинейной среды и конструктивные законы построения ее организации. В кн.: Современные проблемы математической физики и вычислительной математики. - М.: Наука, 1982. - 334 с.

22. Бусурина JI.H., Волосевич П.П., Зукакишвили Г. Г. и др. Численные эксперименты по тета-пинчу. Физика плазмы, 1982, т. 8, вып. 5, с. I053-1062.

23. Крашенинникова Н.Л. О неустановившемся движении газа, вытесняемого поршнем. Изв. АН СССР. Отд. техн. наук, 1955, № 8,с. 22-36.

24. Григорян С.С. Задача Коши и задача о поршне для одномерных неустановившихся движений газа (автомодельные движения). -Прикл. матем. и механ., 1958, т. 22, вып. 2, с. 179-187.

25. Кочина H.H., Мельникова Н.С. О неустановившемся движении газа, вытесняемого поршнем, без учета противодавления. Прикл. матем. и механ., 1958, т. 22, вып. 4, с. 444-451.

26. Волосевич П.П., Леванов Е.И., Схиртладзе Н.М., Лацабидзе Г.С. Автомодельная задача о движении поршня с постоянной скоростью с учетом в среде источников и стоков. М., 1976 - (Препринт/ ИПМ АН СССР, № 37).

27. Волосевич П.П., Леванов Е.И., Схиртладзе Н.М., Лацабидзе Г.С. Движение поршня с ускорением и замедлением в среде с объемными стоками массы. М., 1976 - (Препринт/ ИПМ АН СССР, Р 92).

28. Самарский A.A., Курдюмов С.П., Волосевич 'П.П. Бегущие волны в среде с нелинейной теплопроводностью. ЖВМиМФ, 1965, т. 5,2, с. 199-217.

29. Волосевич П.П., Курдюмов С.П., Бусурина Л.Н., Крус В.П. Решение одномерной плоской задачи о движении поршня в идеальном теплопроводном газе. ЖВМиМФ, 1963, т. 3, № I, с. 159-169.

30. Волосевич П.П., Курдюмов С.П., Леванов Е.И. Различные режимы теплового нагрева при взаимодействии мощного потока излучения с веществом. ПМТФ, 1972, Р 5, с. 41-48.

31. Неуважаев В.Е. Неадиабатические движения в идеальном газе (автомодельные решения) Труды МИАН, 1973, т. 122, с. 24-51.

32. Волосевич П.П. Автомодельные решения задач двухтемпературной газовой динамики и магнитной гидродинамики. М., 1982 - 30 с. (Препринт/ ИПМ АН СССР, № 205).

33. Бусурина Л.Н., Волосевич П.П., Галигузова И.И., Леванов Е.И., Царева Л.С. Различные режимы теплопереноса в двухтемпературной газовой динамике. Диф. ур., 1983, W 7, с. II22-II3I.

34. Куликовский А.Г., Любимов Г.А. Магнитная гидродинамика. М.: Физматгиз, 1962. - 246 с.

35. Becker В. Stobwell und Detonation.- Z. Phys., 1922, No.8, p.321-362.

36. Шафранов В.Д. Структура ударной волны в плазме. ЖЭТЗ>, 1957, т. 32, № 6, с. 1453-1459.

37. Маршалл У. Структура магнитно- гидродинамической ударной волны. В.сб.: Проблемы современной физики, М.: изд-во ин. лит., 1957, вып. 7, с. 78-86.

38. Имшенник B.C. 0 структуре ударных волн в высокотемпературной плотной плазме. ЖЭТФ, 1962, т. 42, № I, с. 236-246.

39. Имшенник B.C. Численное интегрирование дифференциальных уравнений структуры ударной волны в плазме. ЖВМиМФ, 1962, т. 2, №2, с. 206-216.

40. Курдюмов С.П. Бегущие температурно-гидродинамические волны, движущиеся по фону с постоянным давлением. М., 1971. - (Препринт/ ИПМ АН СССР, № 45).

41. Курдюмов С.П. Изучение взаимодействия гидродинамических и нелинейных тепловых процессов с помощью бегущих волн. М. ,1971, (Препринт/ ИПМ АН СССР, № 55 и Р 56).

42. Немчинов И.В. Разлет плоского слоя газа при постепенном выделении энергии. ПМТФ, 1961, № I, с. 17-26.

43. Немчинов И.В. Разлет подогреваемой массы газа в регулярном режиме. ПМТФ, 1964, W 5, с. 18-29.

44. Немчинов И.В. О движении плоского слоя нагреваемого газа и его асимптотиках. В кн.: Механика сплошной среды и родственные проблемы анализа. - М.: Наука, 1972, с. 337-369.

45. Тихонов А.Н., Самарский A.A., Заклязминский Л.А. и др. Эффект Т-слоя в магнитной гидродинамике. М.: ИПМ АН СССР, 1969. -182 с.

46. Змитренко H.B., Курдюмов С.П. Автомодельный режим сжатия конечной массы плазмы. М., 1973. - 71 с. (Препринт/ ИПМ АН СССР, № 16).

47. Змитренко Н.В., Курдюмов С.П. Автомодельный режим сжатия конечной массы плазмы в задачах Z-и #-пинча. М., 1974. -70 с. (Препринт/ ИПМ АН СССР, Р 19).

48. Демидов М.А., Михайлов А.П. Локализация и структуры при адиабатическом сжатии конечной м^ссы газа в режиме с обострением. М., 1983. - 24 с. (Препринт/ ИПМ АН СССР, № 8).

49. Повещенко Ю.А., Попов Ю.П. Некоторые задачи газовой динамики при наличии источников. ЖВМиМФ, 1978, 4, с. 1048-1056.

50. Самарский A.A., Попов Ю.П. Разностные методы решения задач газовой динамики. М.: Наука, 1980. - 352 с.

51. Дарьин H.A. Автомодельные задачи газодинамики с источником и стоком энергии. В кн.: Труды МФТИ, сер. Аэрофизика и прикл. математика, М., 1981, с. 147-149.

52. Волосевич П.П., Дарьин H.A., Леванов Е.И. Задача о поршне в- но газе с источниками энергии. ЖВМиМФ, 1983, Р 3, с. 693-701.

53. Волосевич П.П., Дарьин H.A. Автомодельные задачи двухтемпера-турной газовой динамики с источниками и стоками энергии. -M., 1983. 26 с. (Препринт/ ИПМ АН СССР, W 2).

54. Волосевич П.П., Дарьин H.A., Карпов В.Я., Круковский А.Ю. К расчету задач магнитной гидродинамики с источниками и стоками массы в квазилагранжевых координатах. M., 1984. - 21 с. (Препринт/ ИПМ АН СССР, W 7).

55. Дарьин H.A. Об инвариантных решениях уравнений одномерной газовой динамики с источником (стоком) энергии. В кн.: Численные методы решения задач математической физики: Тез. докл. Всесоюзной школы молодых ученых (г. Львов). - M., 1983.

56. Волосевич П.П., Дарьин H.A., Ермолин Е.В., Леванов Е.И., Му-хамбетжанов С.Г. Инвариантные решения уравнений газовой динамики с учетом теплопроводности и источника (в лагранжевых координатах). M., 1984. - (Препринт ИПМ АН СССР, № 29).

57. Волосевич П.П., Дарьин H.A., Леванов Е.И., Лацабидзе Г.С. Автомодельные задачи двухтемпературной магнитной гидродинамики. M., 1980. - 32 с. (Препринт/ ИПМ АН СССР, № 131).

58. Фроммер М. Интегральные кривые обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка в окресности особой точки, имеющей рациональный характер. УМН, 1941, № 9, с. 212.

59. Баутин H.H., Леонтович E.A. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости. М.: Наука, 1976.

60. Самарский A.A. Теория разностных схем. М.: Наука, 1977.

61. Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений / Под ред. Дж. Холла, Дж. Уатта. М.: Мир, 1979, 312 с.

62. Ракитский Ю.В., Устинов С.М., Черноруцкий И.Г. Численные методы решения жестких систем. М.: Наука, 1979.

63. Ромашкевич Ю.И. О расчете течений неравновесной плазмы методом С.К.Годунова. ЖВМиМФ, 1980, т. 20, № 3.

64. Волосевич П.П., Соколов B.C. Автомодельная задача о разлете электропроводного газа в среду с заданным осевым магнитным полем. МГ, 1967, W I.

65. Гайфулин С.А., Захаров A.B., Змитренко Н.В. и др. САФРА. Функциональное наполнение. FLORA . Программа расчета уравнений одномерной газовой динамики с теплопроводностью. (Инструкция). М., 1982. - 52 с. (Препринт/ ИПМ АН СССР).

66. Дородницын В.А. Об инвариантных решениях одномерной магнитной гидродинамики с конечной проводимостью. М., 1976. - (Препринт/ ИПМ АН СССР, № 143).

67. Ануфриева М.А., Михайлов А.П. Локализация газодинамических процессов в изоэнтропических автомодельных режимах сжатия с обострением. М., 1982. - 32 с. (Препринт/ ИПМ АН СССР, № 56).

68. Змитренко Н.В., Курдюмов С.П. Автомодельные режимы сжатия плазмы поршнем. Доклад на 1У Всесоюзном совещании по тепло- и массообмену. В кн.: Тепло- и массоперенос, т.УП1, Минск, Ин-т тепло- и массообмена АН БССР, 1972 г.

69. Змитренко Н.В., Курдюмов С.П. Автомодельный режим сжатия конечной массы плазмы. ДАН СССР, 1974, т. 218, № 6, с. 1306.

70. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика сплошных сред. М.: Гостех-издат, 1953.

71. Самарский A.A., Волосевич П.П., Волчинская М.И., Курдюмов С.П. Метод конечных разностей для решения одномерных нестационарных задач магнитной газодинамики. ЖВМиМФ, 1968, № 8, с. 1025.

72. Яненко H.H., Неуважаев В.Е. Один метод расчета газодинамических движений с нелинейной теплопроводностью. Тр. Матем. ин-та АН СССР, I, 1966, 74, с. 138-140.

73. Брагинский С.И. Явления переноса в плазме. В кн.: Вопросы теории плазмы / Под ред. Леонтовича М.Л. - М.: Атомиздат, 1963, вып. I, с. 183.

74. Дьяченко В.Ф., Имшенник B.C. К магнитогидродинамической теории пинч-эффекта в высокотемпературной плазме. В кн.: Вопросы теории плазмы / Под ред. Леонтовича М.Л. - М.: Атомиздат, 1967, вып. 5, с. 394.

75. Попов Ю.П., Самарский A.A. Полностью консервативные разностные схемы. ЖВМиМФ, 1969, № 9, с. 953.

76. Мирнов В.В., Рютов Д.Д. Динамическое описание плазмы в гофрированном магнитном поле. Новосибирск, 1971. - 28 с. (Препринт/ ШФ: 69-71).- из cl- г.

77. Фиг. II. Плоскость ( I ,n0).о