Некоторые вопросы объединения гравитационного и электромагнитного полей в рамках теории типа Калуцы-Клейна тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Попов, Александр Дмитриевич

• Попов, Александр Дмитриевич
• кандидат физико-математических наук
• 1984

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Попов, Александр Дмитриевич

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. МНОГОМЕРНЫЕ ТЕОРИИ ПОЛЯ ТИПА КАЛУВД - КЛЕЙНА

§ 1.1. Единые теории гравитации и электромагнетизма.

Первоначальный вариант 5-мерной теории

§ 1.2. Обобщение теории Калуцы-Клейна на случай переменной компоненты

§ 1.3. Дальнейшее развитие теории Калуцы-Клейна

§ 1.4. Обобщение теории Калуцы-Клейна на неабелевы калибровочные поля.

§ 1.5. Спиноры в многомерных теориях поля

ГЛАВА 2. ПЯТИМЕРНАЯ ТЕОРИЯ ГРАВИТАЦИИ, ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМА

И СКАЛЯРНОГО ПОЛЯ.'.

§ 2.1. Основные принципы построения 5-мерной теории

§ 2.2. Эффективный 4-мерный лагранжиан. Уравнения поля

§ 2.3. Уравнения движения заряженных частиц в пятимерной теории.

§ 2.4. Некоторые точные решения 5-мерной теории поля

§ 2.5. Решение уравнений 5-мерной теории с условием квазицилиндричности по 5-ой координате

ГЛАВА 3. ШЕСЖ/1ЕРНАЯ ТЕОРИЯ ГРАВИТАЦИИ, ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМА И СКАЛЯРНОГО ПОЛЯ.

§ 3.1. "Минимальное" обобщение 5-мерной теории

§ 3.2. 6-мерная теория поля и двухпотенциальное описание электродинамики

§ 3.3. Уравнения геодезических в 6-мерной теории

§ 3.4. Массы и заряды скалярных волновых функций

ГЛАВА 4. АЛГЕБРЫ КЛШШРДА И СПИНОШ.

§ 4.1. Основные свойства, матричные представления и классификация алгебр Клиффорда

§ 4.2. Скалярные произведения спиноров и группы автоморфизмов скалярного произведения

§ 4.3. Представления вещественного и комплексного типа

§ 4.4. Представления кватернионного типа

§ 4.5. Условие Майорана

ГЛАВА 5. УРАВНЕНИЕ ДИРАКА В ШОГОМЕРНЫХ ТЕОРИЯХ ПОЛЯ . . НО

§ 5.1. Уравнение Дирака в пространствах произвольной размерности.НО

§ 5.2. Операции зарядового сопряжения и инверсии осей в пространстве спиноров

§ 5.3. Уравнение Дирака в 5-мерной теории поля

§ 5.4. Уравнение Дирака в 6-мерной теории поля

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Некоторые вопросы объединения гравитационного и электромагнитного полей в рамках теории типа Калуцы-Клейна»

По другому пути пошел Т.Калуца /4/, предложивший в 1921 году перейти для описания гравитации и электромагнетизма к 5-мерному риманову многообразию, на метрические свойства которого наложены некоторые ограничения. Ццея Калуцы вызвала широкий интерес, достаточно сказать, что в середине 20-х годов к ней обратились Клейн /5/, Мандель /6,7/, Эйнштейн /8/, Де Бройль /9/, В.А.Фок /10/ и другие, придавшие точный математический смысл предположениям Калуцы и значительно развившие его теорию. Отметим, что именно идея Калуцы привела Клейна и Фока к уравнению, известному теперь как уравнение Клейна-Фока. Дальнейшим развитием теории Калуцы-Клейна (КК) занимались Эйнштейн /II/, Бергман /12/, Паули /13,14/, Йордан /15/, Ю.Б.Румер /16/, Лихнерович /17/, Тоннела /18,19/ и многие другие исследователи.

К классическим результатам этого направления следует отнести получение уравнений Эйнштейна-Максвелла из 5-мерных уравнений Эйнштейна и уравнений движения заряженных частиц в искривленном пространстве-времени из 5-мерных уравнений геодезических.

После экспериментального подтверждения единой теории электрослабых взаимодействий широкое внимание привлекла теория калибровочных полей, введенных впервые Янгом и Миллсом. Одновременно в 60-х, начале 70-х годов теория КК была обобщена на неабелевы калибровочные поля /20,21,22/. Вскоре стало ясно, что теория типа Ка-луцы-Клейна является геометризованной теорией калибровочных полей, трактуемых на современном математическом языке как связность в расслоенном пространстве, структурой которого обладает многомерное пространство-время Калуцы-Клейна. Интерес к теории КК особенно возрос после того, как было показано, что интенсивно развивавшаяся в конце 60-х, начале 70-х годов теория струн /23/, первоначально созданная для объяснения феноменологии сильных взаимодействий, наиболее естественно и непротиворечиво формулируется в пространстве-времени десяти измерений, а расширенные суперсимметричные теории Янга-Миллса и расширенные теории супергравитации удобнее всего получать размерной редукцией минимальных теорий,формулируемых как теории типа КК в пространстве-времени размерности больше четырех /24,25,31/.

Основные этапы развития теории КК проанализированы в первой главе, имеющей, в основном, обзорный характер. Рассмотрены различные варианты обобщения первоначальной схемы Калуцы-Клейна, предлагавшиеся разными авторами, обсуждены основные физические следствия этих вариантов теории, выявлены их недостатки.

Как показано Ю.С,Владимировым /26/, можно получить различные варианты 5-мерной теории, задавая разными способами конформное соответствие между 4-метриками, непосредственно получающимися при 4+1 расщеплении исходного 5-мерного риманова многообразия, и 4--метриками физического пространства-времени. При этом наибольшее соответствие уравнений 5-мерной теории стандартным достигается при использовании конформно-киллинговых 5-мерных многообразий, когда имеется пространственно-подобный конформный вектор Киллинга ^д , удовлетворяющий уравнению = & Q с

А i В

В этом варианте 5-мерной теории условие независимости от 5-й координаты (условие цилиндричности Калуцы) заменяется условием ква-зицилиндричности, когда от X5 зависит только конформный фактор.

Переход от 5-мерной теории к 4-мерной основан, во-первых, на процедуре 1+4 - расщепления (введение структуры расслоения) и, во-вторых, на специальном способе исключения (усреднения) из получающихся уравнений 5-й координаты (переход к эффективному лагранжиану). Получению эффективного лагранжиана, уравнений поля и уравнений движения посвящены первые три параграфа 2-й главы.

В 5-мерной теории 15 уравнений Эйнштейна сводятся к системе 4-мерных уравнений типа Эйнштейна-Максвелла-Клейна-Фока, описывающей взаимодействующие гравитационное, электромагнитное и скалярное поля. Поэтому значительный интерес представляет получение и исследование точных решений 5-мерных уравнений Эйнштейна. Интересный метод генерирования электровакуумных решений уравнений Эйнштейна из вакуумных решений с помощью 5-мерной теории поля был предложен A.A.Рослым /27/. Метод Рослого можно применить к скаляр-но-вакуумным решениям уравнений Эйнштейна, что позволит получить новый класс решений с электромагнитным и скалярным полями.

В рамках 4-мерной ОТО Ньюменом и другими /28/ был развит метод, называемый часто "методом выхода в комплексную плоскость", позволяющий из сферически-симметричных стационарных решений получать решения типа Керра. Этим методом было получено, например, решение Керра-Ньюмена. Представляется интересным использовать этот метод для получения решения типа Керра 5-мерных уравнений Эйнштейна, используя известное сферически-симметричное решение Крамера /29/. Эти вопросы рассматриваются в двух последних параграфах

2-й главы.

Характерной и нежелательной особенностью 5-мерной теории поля является жесткая связь между зарядом Cj , гравитационной постоянной К и массой покоя заряженной частицы вида: Ш- причем масса и заряд возникают у скалярных полей за счет их зависимости от пятой координаты ос5 . Подобная связь между массами и зарядами характерна для всех теорий типа КК, включая и обобщение на неабелевы калибровочные поля. Так, ®ьюджи показал /30/, что при достаточно общих предположениях, делающихся обычно в теориях типа КК, после перехода к четырехмерной теории между массами и зарядами полей возникает указанное соотношение, причем, если С} ра

-5 вно заряду электрона, то У?1> ~10 г. - очень большая масса по сравнению с массами реальных элементарных частиц. Массы скалярных полей в 5-мерной теории связаны с пространственнойяодобной пятой компонентой 5-мерного импульса. Поэтому, если ввести временно- подобное шестое измерение, появляется возможность перенормировать значения масс до масс покоя любой элементарной частицы. Обсуждению возможностей и основных физических следствий б-мерной теории гравитации, электромагнетизма и электрически заряженной материи посвящена глава 3. В ней, в частности, рассмотрены уравнения поля и уравнения движения заряженных частиц, обсуждена связь между шестимерным подходом и двухпотенциальным описанием электромагнитного поля /108/.

Введение заряженного скалярного поля является лишь первым шагом в описании материи в рамках теории типа КК. Следующим необходимым этапом является рассмотрение ферми-полей, описываемых спинорными волновыми функциями. Для введения спиноров в многомерном пространстве V^' необходимо рассмотреть матричное представление алгебры Клиффорда и его тип в зависимости от размерности \<Ъ = р + Cj и сигнатуры p-c¡ пространства

Для записи лагранжиана спинорного поля необходимо рассмотреть скалярное произведение в пространствах спиноров различного типа. Представляет интерес изучение возможности наложения на спиноры условий Майорана, псевдо-Майорана и Вейля, описание перехода от ква-тернионнозначных спиноров к комплексным. Эти вопросы рассматривав ются в 4-й главе.

Для задания динамики спинорных полей необходимо обобщить уравнение Дирака на пространства произвольной размерности и сигнатуры. Чтобы описать заряженные фермионы в 5-мерной и 6-мерной теории гравитации нужно произвести размерную редукцию уравнения Дирака в 5- и б-мерном многообразии к 4-мерному пространству-времени. Рассмотрению и обсуждению этих вопросов посвящена 5-я, заключительная глава.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Попов, Александр Дмитриевич

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В рамках проведенного в данной работе исследования возможностей геометрического подхода к объединению гравитационного и электромагнитного полей в рамках теории типа Калуцы-Клейна были получены следующие результаты:

1. В новом варианте 5-мерной теории, базирующемся на рассмотрении конформно-киллинговых 5-мерных многообразий, получены 4-мерные уравнения поля и уравнения движения заряженных частиц. Показано, что эффективный 4-мерный лагранжиан описывает систему взаимодействующих гравитационного, электромагнитного и заряженного скалярного полей, причем источники гравитационного и электромагнитного полей появляются геометрически. Установлено, что уравнения движения заряженных частиц в гравитационном и электромагнитном полях тлеют стандартный вид, если потребовать движения частиц по изотропным геодезическим 5-мерного многообразия.

2. Предложенный А.А.Рослым метод генерирования решений 5-мерных уравнений Эйнштейна из вакуумных решений 4-мерных уравнений Эйнштейна применен к скалярно-вакуумным решениям 4-мерных уравнений Эйнштейна. Получен класс решений с электромагнитным и скалярным полями. Получено и исследовано решение типа Керра 5-мерных уравнений Эйнштейна, являющееся в тоже время скалярно--вакуумным решением типа Керра 4-мерной ОТО. Найдены новые решения с зависимостью от пятой координаты.

3. Предложен и проанализирован 6-мерный вариант теории гравитации, электромагнетизма и заряженного скалярного поля. Получен эффективный 4-мерный лагранжиан, уравнения поля и уравнения движения заряженных частиц. Показано, что введение шестого временно-подобного измерения позволяет регуляризовать планковские значения масс 5-мерной теории. В предложенном варианте 6-мерной теории поля после 4 + I + I расщепления возникает, вообще говоря, два абелевых калибровочных поля. На основе изучения уравнений поля и уравнений движения сделан вывод о том, что 6-мерная теория поля приводит к двухпотенциальному описанию электродинамики с электрическими и магнитными источниками ларморовского типа. Доказано, что для постоянства электрических и магнитных зарядов вдоль мировых линий частиц необходимо постулировать движение частиц по изотропным геодезическим 6-мерного многообразия, а для получения стандартного вида уравнений движения и согласования их с уравнениями поля необходимо потребовать пропорциональности двух потенциалов «fljtt и на уравнениях движения.

4. Изучен вопрос о соотношении между массами и зарядами полей в 5- и 6-мерной теории. Сформулирована изопериметрическая задача о нахождении экстремумов функционалов масс при постоянстве функционалов зарядов. Получено решение изопериметрической задачи и показано, что массы нелинейно зависят от номера гармоники при разложении в ряд по вертикальному пространству. Указано, что соответствующие этим массам частицы не могут двигаться по изотропным геодезическим 6-мерного пространства.

5. Проведено изучение спиноров в многомерных теориях поля. Выписаны полезные для приложений свойства у -матриц, получены формулы их преобразования при комплексном сопряжении, транспонировании и эрмитовом сопряжении в пространствах V^ произвольной размерности И= p+q и сигнатуры p-q . Показано, что псевдовещественные спиноры являются образом кватернионно-значных спиноров при гомоморфизме GL(\P ,Н) GL(2 0 ,С). Выявлено, что известная дополнительная глобальная SU(2)-инвариантность уравнений Дирака для псевдовещественных спиноров является следствием инвариантности уравнения Дирака для кватернионных спиноров относительно группы Ы(1;Н) - §p(I) - SU(2;C). Указаны размерность и сигнатура пространств , в которых возможно наложение условий Майорана и псевдо-Майорана.

6. Уравнение Дирака рассмотрено в новых вариантах 5-мерной и 6-мерной теории поля. После размерной редукции этих уравнений к 4-мерному пространству-времени в уравнениях Дирака возникают дополнительные члены, описывающие электрический и магнитный ди-польный моменты фермиона. Показано, что в 5-мерной теории возможно существование двух типов фермионов:

-32. а) обладающих очень мальм дипольным моментом порядка ТО е-см (нормальных);

-13 б) обладающих очень большим дипольным моментом порядка 10 е- см (экзотических).

7. Показано, что нормальный и экзотический спинор могут быть объединены в один 8-компонентный спинор, подчиняющийся уравнению Дирака в 6-мерной теории поля, развитой в третьей главе. Установлено соответствие изученного варианта теории и теории развиваемой В.Г.Кадашевским на основе 5-мерного импульсного пространства де Ситтера. Показано, что конечный вид уравнений Дирака и уравнений Максвелла обеих теорий совпадает, а нормальный и экзотический спиноры соответствуют разному выбору массовой матрицы.

Таким образом, учитывая проведенное нами и другими авторами изучение достижений и трудностей теорий типа Калуцы-Клейна, можно сделать вывод об эффективности 5-мерного и 6-мерного подхода к проблеме объединения гравитации и электромагнетизма. Тщательное изучение 6-мерной теории поля говорит о возможной глубокой связи 6-мерия с физической структурой мира. Все это требует дальнейших исследований в данной области и можно надеяться, что полученные в данной работе результаты окажутся необходимыми и полезными. Основные результаты диссертации представлены в работах: 80, 88, 91, 99, 109,110, 141, 144, 145 /

Б заключение автор хотел бы выразить сердечную благодарность своему научному руководителю старшему научному сотруднику, доктору физико-математических наук Ю. С. Владимирову за помощь в постановке исследованных в диссертации задач и обсуждении встречавшихся в процессе их решения вопросов.

Автор также весьма признателен заведующему кафедрой теоретической физики проф. И.М.Тернову за большой интерес к работе и прекрасные условия для научной работы на кафедре. Кроме того, хочется отметить полезные дискуссии по некоторым результатам диссертации с А.А. Рослым,,В.Н.Ефремовым, В.В.Кисловым, А.Ю.Турыги-ным, О.Е.Карповым и Б.Г.Алиевым.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Попов, Александр Дмитриевич, 1984 год

1. Вейль Г. Гравитация и электричество. - В кн.: Альберт Эйнштейн и теория гравитации, М., Мир, 1979, с.513-527.

2. Картан Э. Об обобщении понятия римановой кривизны и о пространствах с кручением. В кн.: Альберт Эйнштейн и теория гравитации, М., Мир, 1979, с.535 - 537.

3. Эйнштейн А. Релятивистская теория несимметричного поля. -Эйнштейн А., Собр. соч.: в 4 т., М., 1965-1966, т.2, с.849- 873.

4. Калуца Т. К проблеме единства физики. В кн.: Альберт Эйнштейн и теория гравитации, М., Мир, 1979, с.529 - 534.

5. KLeík, 0. Quanie^íkeoxie und jju^diyyieh^oytod FieitbíivL-fc«Lbfckeo*ae . Ze.it. fr. P 1ьу*.,191б, ЬЫ.ЪТ, s.2Ъ5- 9oe .

6. Mandeí H • U&ex ZwiULyyime^hc^к.^ zueilen, de'с

7. Tke.oAt¿e de.i Fcr-и. pasuL.ltetLA'snu-^ иих^ de.'b i меткой. a-liM. FeCcílkemie . - Zet-fc . PUyi. , 4 32.Q , Ы.5& , 4. - S44.

8. Mcutde£ И. Zu't Hetdei.éuk.g det ¿k dcy.

9. R.eC>A¿LYi-fr¿LUéheoi¿e . ZoU. PÍ^i. , 6oí. 39 , -J. <2>G-4AS .

10. Эйнштейн А. К теории связи гравитации и электричества Калуцы.- Эйнштейн А., Собр. соч.: в 4 т., М., 1965-1966, т.2, с.190- 192.9. de Ebtoejke Л. ClnÁvet.^ о- diyntK^ie^^ е£ ¿«l1. Д, , 65 73 .

11. Фок В.А. Некоторые применения идей неевклидовой геометрии Лобачевского к физике. В кн.: Котельников А.П.,Фок В.А., Некоторые применения идей Лобачевского в механике и физике, М.-Л., ГЙТ-ТЛ, 1950, с.48-87.

12. Эйнштейн А. К теории связи гравитации и электричества Калу-цы.П. Эйнштейн А., Собр. соч.: в 4 т., М., Наука, 1965-1966, т.2, с.193-197.

13. Бергман П.Г. Введение в теорию относительности. М., ИЛ, 1947. - 380 с.

14. P. de«. p^oj^fc-tí-ve^L Re/6^í.vi ¿¿Шкеогиг. Аии. de/t P^.,4947, <s .М-ЖЪ.

15. Б^мер Ю.Б. Исследования по 5-оптике. М. ,ГЙТ-ТЛ, 1956. -- 152 с.17. <(.£.екксА- плЫЛ'^иЛиб ¿г. ¿ои с^чл-усЬ¿Ы^сш.г. - Ра-^ : Мл^б^к, ^д 54.-2.4 9 р.

16. Тоннела М.-А. Основы теории электромагнетизма и теории относительности. М., ИЛ, 1962. - 483 с.

17. ТоИ.т¡^¿Олиел ииллЛ^хХ^лЛ ¿а. ('■е^с.^Ма.^-^.¿Ьиые. с'-е ¿л- (д^ь^У^л^ист . — Р<ЛА*Л: &а.иЪк.'иг.'х.-УМоал , 4965. ~ р.

18. Ке.'Ч.и.е.'*. £ . беке.<глХсг<гь-Ьс«>'и. с^ KdL.Ccсъа-

19. ЬЬслги^ ^олс «2-й- еис^И'ЬлЛА^ И^уи. Д И>е£<.л.и. до^и^е.

20. Аии. Н. Ройисл/сг , Л 9 <2*, V. А 9, р.-14 3

21. Коноплева Н.П.,Попов В.Н. Калибровочные поля. М., Атомиз-дат, 1972. - 240 с.

22. Ыь<о У. М . Нсукеъ им.ь^^^-И'^^с^ьсл'ьЪвЛ:^ О^хсИ ^а-и^г- . . НеАЬ . Р1и$л.,4975", V. ЛМО, р. Л059- ^0 35" .

23. Sekwa/vz Э.Н. -tkeo^. Plt^. Re^rt^.y- p.2.Ä3

24. N ¿eu-w/e/n.l'u/il^e/vt. P. . — P^t^i. ?25. £окехЛс1гг\/ ñ,. Su-pe^ß^c^vci^ аил! ^а^алЛ шлЛрСсоЛСол^.- JLivt. Wote/> РЦ*. , 4 , V. AZA , р. 54 < 5 M .

25. Владимиров Ю.С. Совмещение 5-мерной теории Калуцы и единой теории Вейля. В кн.: Тез. докл. Всесоюз. конф. "Современные теоретические и экспериментальные проблемы теории относительности и гравитации" (Москва,IÖ8I), М., Изд. МГУ, 1981, с.123.

26. Рослый A.A. Точные электровакуумные решения,найденные при помощи 5-мерия. В кн.: Проблемы теории гравитации и элементарных частиц, Вып.13, М., Бнергоиздат, 1982, с.86-93.

27. NewKacbH. £ .Т. е.-Ь оЛ . cu /botoJíLu^ еЬлм^еАl^txM . 3". Matk РЦр. , А9 6 5 , v- ô , (Sf б , р. 942- дчд .29. К/б<5ьи1С/с íO. Дхсл/^тe/c P/böj.e.k£i.vea*. Fc¿¿tUi¿yue- . — Ас±л. Ркч^. ?otcvi . , v.b^-j f. 6 , 4.80T-844.

28. Fujii Y. Ои. ikiZ. Жй-м «ttícL-biOb. ¿K. -tkx.ex-terciad ICet^iíi kíoin. Ыл. - Pky/s. «tett. } 438-i, v. |nT3, p. >(? 9 - -185. 31. Ni ¿coCa-l H. ^K.tWu.ü-tСy^u-pesc^M-víb^ . Ac,t¿v. Ркул. Au-btn. з <1923, Su.ppC.a5, p . T-t - Чо o .

29. Cot/bttíx-K ê . Stet £ел vostL¿-be*> cohhcxíou a^¿n.e0, hh-¿o/tie. de. Ccl -tlvlte ^елла^л^г^ . /^ии. &cotc.v. p. J 4 , V. 4 4 , p. 2.5"-,

30. Л 9 Л5 , y. 4 2. , p. 88 .

31. Родичев В. PI. Пространство с кручением и нелинейные уравнения поля. ЖЭГФ, 196I, т.40, № 5, с.1469-1472.34. Ке^нс/6 R. аbWfjrU^ : tkfi. £ iM-tuit C.0^0^ -Ькс^ч^ о^-с/г, o.

32. U^W^ . Дии.с£к<yt. Й. VoiweoJxL , 4954, ч.ЪЧА, ИЧ , p- /<зт ~ .

33. C. , C.A., R.o^L P. Mo-ite/t ff-ьЫб <^лАyyi Ы/члС. de^o^cmCetiоъ.4 1\л. l^u/ticl Сыел^Лсогих! Ufu.£tcd Ь1ииУи.м. Аии. РЦ^- , 4 v. 44T , р. 324 - 364 .

34. Владимиров 10.С. Системы отсчета в теории гравитации. М., Энергоиздат, 1982. - 256 с.

35. Даниэль М., Виалле С.М. Геометрический подход к калибровочным теориям типа Янга-Миллса. -УШ, 1982, т. 136, Р 3, с. 377-419.

36. УМе^л О. PtajActive Re.tailvlta~t4 tUeotCe.

37. SptiHeje«. ? Ibtstlin ? 9 2>3 . ZSZ S.39. dehnet. G. Uvii^inA ^¿zid -Utztyt^ опл. tUx. (осщАл о£ IrLu. pxöjec^ve *jtte>J:Lvl-ty . Pk^ • £> •4 383., V-Z5 } p. äiioii - ЗДМТ .

38. Sc-kn-) и£г.е/с. ¿1 . А ие.\д/ tö pt^jecfdvc vit^.<9 К : AE^/ULC^ CavL-tlÄ.&u.-tdjd Ptfup^/j £0/*. tkx. ^ ¿4 tajl^'loaa. G/Wbcp : v.3, iX -tU Jmt. (XAA-d 0гьс~У/1Ьех.Ыалл , Gß Я , 3 е/м-л., А 9 ? о , р. 634-6*3.

39. Владимиров Ю.С.,Антонов В.И. 5-мерная скалярно-тензорная теория гравитации. Вестн. МГУ, Шизика,Астрономия, 1974, Р I, с.54-64.

40. Pi.Cje<cLuxi P. Uvù.^LJul Cu, pe^tc^div^ Ькьо^сц .- FUp-U. M Plup. , 4 97î, v.^ , лГЛ , p. 5. 6 4 . A и «Ai/ 5- éivnbvi.'blovudL fyu>j fictive uvafeicd lUttraj ^ CLïid 4с.<яЛог(А.луу1 . Jn. : Uvuffiod

41. СеЛб bUjuytic*, c^ vwenjL -Ньолл. 4 <dL mел+.'Ц (ш.ъ едд,etрлс^с . -¿Кл «0n.fc • s>c.hooi e>£ Co-îfwtféog^ (ft/nd 6-bû.viba.fctfru. , ёлХсе, , 19П, p. 8<~ ЛЪЧ .

42. Алиев Б.Г.,Владимиров Ю.С.,Недопекин B.C. Х^ -инвариантная 5-мерная теория гравитации. Изв. ВУЗов, Шизика, 1974, Р 8, с.71-76.

43. Антонов В.И.,Владимиров Ю.С. Несингулярные космологические модели в скалярно-тензорной теории гравитации. В кн.: Проблемы теории гравитации и элементарных частиц, Вып.6, М., Атомиздат, 1975, с.121-129.

44. Антонов В.И. »Владимиров Ю.С. Фундаментальные константы в 5-мерной теории поля. В сб.: Классическая и квантовая теория гравитации, Минск, Изд. йнст.физики АН БССР, 1976, с. 92-95.

45. Владимиров Ю.С.,Кислов В.В. Квантование однородной изотропной космологической модели в 5-мерной теории поля. ТМ®, 1982, т.53, № I, с.43-54.

46. Владимиров Ю.С.,Кислов В.В. К вопросу об изменении в пятимерной теории гравитации, электромагнетизма и скалярного поля. Вест.Моск.Ун-та, сер.З, Шизика,Астр., 1982, т.23, К? 6, с.18-21.

47. СЬьо Y. M. &>ius>ta.Lw tcL^^oexA^io-^

48. Yan-g icu^tbCLM^LoAA* . - Plu¿¿ . Rw/. Я), \<h ч бг y.,p. ¿5¿<< £ 52b".

49. W. , Maçje/i. M.£ . F¿&ul iw íkexyticb . . Ai oîaô Pl-t^ , , ; v. £ т .- 2 p.

50. Тоыс-Ô 6. H. é-vurí^odu.cb'cyv^ ¿ec.-éu.te-6 сж. ^t&te.

51. ОмА topology ^ûAt, pivyôitisÀt . R<V Nuovo Cim.ji-SZOjY-'ïj йЦ^А-иЪ .58. Xu-C.

52. Mtfcü¿. Pk^ô. , -Г9Г<?, v. В 43 Г, NM , p. 4U- лзо.

53. A., SivcUkdee. Л. Он. K^cùt. -Lkeo*u¿ -Аии . p 4 92 Z, Y. 44 < , p. 3 К-35Л.60. Cte^mmet. <ö . j Sc. Ite^lc J. 5poH--ta-HСл>г*4.р<з>.а.-&^Сс<а-

54. ЫСИА, с^ елс-btси clLMovuo . — Pí-w^., 4 STT, v. Bí-lí^ , p. 6 4- 3 .

55. CUodß-ь Д., S. Vt/e/t*. Ы-ul

56. Иае/ц.'Яоы.йи^ с^ол^е. 1 PUa#>. R.ÉA/. Çb 7 <98 o, y. , , p. Ä.KT- О •

57. Мг^И/fcok. N.S. A hew Лсх- dimen-^onfl-ê бх.рр'чхха-ск to tkt. Wei-vtêe^ S«-2(CLvvt mode?. - Nu.cE. Pky^., 79 , v. B-lsrff, M ^ j p. -153.

58. FeU/tke D. fb. WC^-b ли,с( -£¿tc. dcíc*.WT.¿vvcL.tíob. IUa. «AtgÉe . Ркул. «U*fc. , 4<ЭТЗ, у. ** В, tf p. 97 - ^oo.

59. Appe£fju.î^t T. , С ko ci os A. Qua-whuYn ^^гл.- PJt^. Rw. dLcH. , <в v. So, hl Ъ ,p. im ЛЧ5 . 65 Appzt^UÍ T. , СкоеМ А. ОилкЫиf. nz- ч*ч .

60. RtcfeCn. M. А., В«лЬл Roik в.». TWpe^-fcc^w.in ^e-ilów^W fc^K. ¿twvy . N/uusg.1. РЦл. , v. tfjL, p.

61. Tùtt^vt^ V(/. F ¿ve íüwe^fUoí^i -¿йхо^ае^ еч/tW CP- yioicjtiоъu . Л cteb Ptw^J. ^u-ррЛ ÍX , p.J¿S~&- ÍL4 \ .

62. TW. tuck oví, ^¿ve- dimz^^oi^aZ ^tí^-bivi-h^ . Jk :

63. Тке ¿'<S c^uCjs^p-fcLo^t, o^ МаЛи^сс, -e-cj. Кекч-а. ,

64. P. SDoYflirec^t , < 9 73 , p. 4 99- 2.04.

65. В>л/члс£ A-0. ЗЬе^Уйи-Ьсо^ c^ Оуи.с( u/e<a-t £o/c<u.<i CkecK. 3. РЦ^- , 4 S í 2. , Y- ß 3Í. , p • 3TD ЗТЧ .70. ftowokot G. ? Köv&^i- СожоЫ S. -¿gwiы^бл^^гp. 3c?ßо Ъое.ч .

66. KttM-W. R . C-0v&-<b¿<a/n.-fc O^j-ect сх-и-о/ 'ÎH-i/ib^li^-i- иоа-ЫылЛ о>1л, ÇUtu. . 3. Ha-ib. P Wfr. , 4 SÍO, V. Ä-i > Wp. 2553 ¿5 5 9.

67. FUK.&XH, P- è vctfscvve-l ^Mwût^Êd -Ыл^о^ел1. N"6 , p. e¿¿í .

68. Wkitx-^iek С. M ¿X-4^ -SpLKo/M ¿И. толе bUcL-^L. ^ou/cdim елъ.'иоы.'Ъ . Mueí . plw^í . , 4 9^3, v. ВЯ^, лМ/^ p. W77- 4 ¿Я .

69. Mecí<.Ч1лл.&ин^ W. Ze/Члэ v^u>deA с^ fcí-ui iln.-fc//r ЪИгмь,с-fS^Ä, У- Af6, p- 4 3 2.9 .

70. Wettc-^c.k с . QiyntsvL/UohscJi ¿ObcluAtLoi*. Wz^t }

71. M ô-jcux-vux- «Vn^i M (УЪО-vui. . — Ni . p lu^i v-{9;? S , v. ßaaa, p. suo~ м а/ .76.ил. G. , R. öinie^'vio^ü.ß Yjtdu-t-bic**. (кллАte-yot. ùUistcutLt^ . . PÍm^ó . ; 4 9 2 Z , v. ^ кГД ,p. 4 ß-f А 8Ъ .

72. M cl и. "to u, M. S. CL и. oí pasUiV lotcx-bicxu.

73. Ockevnei. Nt^e^. PMyî>. , 4 9¿4, v- ь 193 > p. 50a- 54 б .78. We-ti^oLcU, С . CLuvcMiutaction*, og ÇvcVbioïL* . 1. ЛГ-1 , p. 12.0 .

74. Ь w. cía-I. le L P. O^ сок/^то^г <Jp¿^ ^eo^«^^ : о^ь C^eek. PU^. ^ -iôiâ, v. B3X , N4 , p. •

75. Попов А.Д. Вариант 5-мерной скалярно-тензорной теории гравитации и электромагнетизма. В кн.: Исследования по классической и квантовой теории гравитации, Днепропетровск, Изд. ДГУ, 1983, с.21-28.

76. Алиев Б.Г. Монадные и диадные методы в некоторых задачах общей теории относительности и ее модификаций. Дисс. . канд. физ.-мат. наук, М., 1980. - 132 с.

77. Соловьев О.й. Уравнения движения в единой 5-мерной геометризованной теории. Изв. ВУЗов, зкзика, 1983, Р 12, с.21-24.

78. Хокинг С. Интегралы по траекториям в приложении к квантовой гравитации. В кн.: Общая теория относительности, М., Мир, 1983, с. 363-406.

79. Алиев Б.Г. Поведение заряженных частиц в 5-мерной теории гравитации. В кн.: Современные проблемы общей теории относительности, Минск, Изд. Инст-та физики АН БССР, 1979, с.154--158.

80. Легкий А. И. Точное статическое сферически-симметричное решение 5-мерных уравнений Эйнштейна. В кн.: Проблемы теории гравитации и элементарных частиц, Вып.10, М., Атомиздат, 1979, с.149-153.

81. Гладуш В.Д. Статическое сферически-симметричное решение для взаимодействующих скалярного, электромагнитного и гравитационного полей. Изв.ВУЗов, Физика, 1980, № 3, с.74-80.

82. Фо&Ю^С-к Р. , МалЛОК. "53. ЯЬсиЫоьишЪу , SpU-G.iyLccL.tty-уз ¿ои-Ы сллЪ о^ Зй'-се/гхн'Ч -Ыл с^онл^ ^Аих^уИ^ Олъс(ерАсЬьоыл^ихЛс^т . ££ е > ЛЭЯ2 , V. 4М , , р. &34- 3-М 3.

83. Владимиров 10.С.,Попов А.Д. Некоторые точные решения 5-мерной теории поля. В кн.: Проблемы теории гравитации и элементарных частиц, М., Вып.13, Энергоиздат, 1982, с.66-75.

84. Точные решения уравнений Эйнштейна (Д.Крамер, Х.Штефани,М.Мак--Каллум,Э.Херльт, под ред. Э.Шмутцера). М.,Энергоиздат,1982. 416 с.

85. V. , Ru^i-Hi R. О-и. clxIo.^^ m W ot^c. -ъоЬ&ь&ч.леЬиЫ СУ1Л. of "tUx ACo-itxyc. — Vt-C-tо/с. — tсл^оП. ¿ц.y^cj^oJL njLtcJclvih^ . J.U.I. Ч.8Я. В, Ш .

86. OfsaJijzsyL С . . 7 P<a~u/tl М. £ро и.-Ь е<э ил covn.t>o. Олл. ,

87. Cuu/fZ. y^Wim Ь&ид (КплА -LUJL \!Ч>-\ЛЛЛ\Л Lk^ o^ t UJL Wb&LeX^CjedL Cowy1аллА. . PLtfi. ItAt. , 4 92-f , (\f 3 , p. 4*6 - 4 9o.

88. Волков Д.В.,Сорокин Д.П.,Ткач В.И. Калибровочные поля в механизмах спонтанной компактификации подпространств. ТМф, 1983, т.56, Р 2, с.171-179.94. l^lcckttVL&uSLC^ W. ЫУелл. с/i е/м.л*. Ovt^xd .- R-сл/. P., 4 3$ О } v. 2.4 ^ Mi, p.

89. Se-ke^ Sckw^-z V.H. Нам/ -bo g^t ил^м -¿/ч^и*1. PkyA. , И9Т6,p. .

90. S,otoi-tiotA<> with, кию-^и^с-'с ¿Vi^ «¿CC^tcC.dUo^v^e^ iu. ¿L (k-t-M") ^QSOVIA CA^VLC -LUJ-OSV^- РЦ/ь Rev. v. , Л/4-г, p. 32/От .

91. Попов А.Д. Спектр масс мезонов в пятимерной теории гравитации, электромагнетизма и скалярного поля. Вестн. Моск. Ун-та, сер.З, Шизика, Астр., 1983, т.24, IIo- 6, с.60-65.

92. Синюков Н.С. Геодезические отображения римановых пространств.- М., Наука, 1979. 256 с.

93. Петров А.З. Новые методы в общей теории относительности.- М., Наука, 1966. 496 с.

94. Владимиров Ю.С., Козленков A.A. Изв. ВУЗов, шизика, (в печати) .

95. Стражев В.И. Симметрии электромагнитных взаимодействий и дионная модель адронов. Ш АН БССР, Препринт № 92, Минск, 1975. - 44 с.

96. Косневски Ч. Начальный курс алгебраической топологии. М., Мир, 1983. - 304 с.

97. Дубровин Б.А.,Новиков С.П.,Фоменко А.Т. Современная геометрия: методы и приложения. М., Наука, 1979. - 760 с.

98. Цлаф JI.H. Вариационное исчисление и интегральные уравнения.- М., Наука, 1966. 176 с.

99. Коша А. Вариационное исчисление. М., Высш.¡ж., 1983. -279с.

100. Стражев В. И., Томильчик JI.M. Электродинамика с магнитным зарядом. Минск, Наука и Техника, 1975. - 336 с.

101. Попов А.Д. Метод размерной редукции и спектр масс мезонов в единой многомерной теории поля. Изв. ВУЗов, Физика, 1984, № 4, с.53-58.

102. Popov м tx^Vi 4pec¿*0<-<™ hre-iO-vM ги {i ve d i m t^^lov^t ¡jieJLol thecoq. - <$n. : Рс-.Э Ct-i ÍO--LU. ¿IAÁ.ал 6е/и . . evwcí G^ux-vlt^tio^r (.■Pcudova. Fb) , vM ,p . С Л Ä. 6 л s .

103. O/b^cJifLAí е. A. Gtocfc^ia Wioblo»t i-и M uJLtldl упемл^сжсА

104. U-Vbi^icA fftx-KjQe. tU CUO^ÍX-CA . — N iaovo du*i. } Л iL} Y. 6., tí , p. 4 s2> hoz. .

105. Шерк Дк. Расширенная суперсимметрия и теория расширенной супергравитации. В кн.: Геометрические идеи в физике. Сб. статей, М., Мир, 1983, с.203-239.

106. Хыозмоллер Д. Расслоенные пространства. М., Мир, 1970.- 442 с.

107. Бурбаки Н. Алгебра (модули, кольца, форды), М., Наука, 1966. 556 с.

108. Каруби М. К-теория (введение). М., Мир, 1981. - 360 с.

109. Л^и^лк M.F. ? e>o-tt R. , Zk^piAvo А . dti^ofbd WboduJUsb . --Tapotofly , y.S, StA-jope. 4 } p. 3- 32 .

110. Мо-мде К-Л . Co^^L^iu.e/VL-b-} WibU. p4<oc/ix.CA. tut

111. U/vU^vnodsJL. Pkp. lat-t . , 4 9*4 ; Y. 40S&, bSZ/3??.44o- «ИС .118. м. Опл. tUx. C&lt,0^ (Xyuud hUzUt. /U.£gJ;IiS>u. bo Лр'ил^К in. Vt d I v*i . —- U. M сЛи . „ A22SL, v. N4 , f- Л- 7.

112. R. M odu.to S pe.tlodiclii^ 0( Сй^с^Ааме( p£Ui,tic.@c pU^^Cc.^ . Pkyi ■ , ¿Sii,v. 4.4S 6 5 fJF, p. 3SQ- 3S5- .

113. Виноградов Й.М. Основы теории чисел. М., Наука, 1981.- 176 с.121. <Lou,Ht/>to P. Z>ocJl<x.K. -4O/Vte( Cu^i. -Са'ЬсмЫ^ж. г^ 1 Wa-tL . - Fou-iW. 9 ¿9S4 , v. , tJ 9/4 0 , p- ТЯ.И - <74o .

114. Постников M.M. Группы и алгебры Ли. М., Наука, 1982.- 448 с.

115. Кириллов JI.A. Элементы теории представлений. М., Наука,1978. 344 с.

116. Уэллс P.O. Комплексные многообразия и математическая физика. В кн.: Твисторы и калибровочные поля. Сб.статей.- М., Мир, 1983, с.28-77.

117. Желобенко Д.П.,Штерн А.И. Представление групп Ли. М., Наука, 1983. - 360 с.

118. Тг-Ь$ и . ТаЛгИель zu d&u. evn. Сл<1~ Lie. G^OLppt^L lASVT- c( ¿(tAccn^ 'Dojoiitllu.^b^. . <Lcc.t. Ыо-Ьсл Ил-tu. 4 9C9, v. 4 о, p.

119. KiAgo T. , T<oWK.*e/n.ci P. St-t. pc^v^ v-и Ht estfbtj fl/лс! -fctrc ci t-v i-Vtovt-•ax^fcê/u^ • Nm.c£. PUi^. ,49*5, v. 6»2iM , p. ВГ7 - o.

120. Боголюбов H.H. ,111ирков Д.В. Введение в теорию квантованных полей. М., Наука, 1976. - 480 с.

121. Ахиезер А.И.,Берестецкий В.Б, Квантовая электродинамика. -М., Наука, 1969. 624 с.

122. Мищенко А.С.,Фоменко А.Т. Курс дифференциальной геометрии и топологии. М., Изд. Моск. ун-та, 1980. - 439 с.131. "3 . А divy\ Слл.л1слл.аЛ. -^«-рЫ^рл-СС. ¿xf> -Ьо e^ito^dej . - Uu.et. Pkofri. , 6222, Р. 349-337.

123. Кобаяси Ш. ,Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии.Т.П.- М., Наука, 1981. 416 с.

124. Гриффите ,Харрис Дд. Принципы алгебраической геометрии.- M., Мир, 1982. т.1. 496 с.

125. Soko-ickeA/ &.Ç,. ^ : Su-pew-^f^C-G. «uJе^Ь. S.W. Motw^vt.^ tfvMil M.ftooek, Co-v^Wolge >p- 4 9Т/

126. Швингер Ю. Частицы, источники, поля. М., Мир, 1973, т.1.- 502 с.

127. Донков А.Д. и др. Квантовая теория поля и новый универсальный масштаб в области высоких энергий. Поля Дирака. Препринт 0ШИ, Р2-84-265, Дубна, 1984. - 32 с.137.

128. Р- va** MCetf/ovtU/t-tLet/t/i. . SLX ¿tcfcu-'хлл cut -LUc T^c^tc. 'f 9S4 и* и* </? -cCUoot cvu. y^u.pM.^a^-vib^ . : р-г-ос . efa fcK^. 4-tU. Sw-jat/t^iiU/it^йал^&'Ч/Ыде , <3 î!l , p. 4 4 <£ .

129. Барут А.,Рончка P. Теория представлений групп и ее приложения. М., Мир, 1980. - т.1.: 455 с. , т.2: 395 с.

130. Шок В.А. Геометризация Дираковской теории электрона. В кн.: Альберт Эйнштейн и теория гравитации, М., Мир, 1979, с.415- 432.140. 'ьс.иоиЛьи. ~3. А. А ЯК/члс -е^ ^.-Ьиуи.^ ¿к.-Ц.МоЛ-и. чкауЛ ? ¡ЛЪЪЛ, V.<0J р. о.%Ъ-Х87.

131. Попов А.Д. Спиноры в 5-мерной теории поля. В кн.: Тез. докл. всесоюз. конф. "Современные теоретические и экспериментальные проблемы теории относительности и гравитации" (У! Советская гравитационная конференция), М., Изд. УДН, 1984, с. 278-279.

132. Кадашевский В.Г. Новый подход к теории электромагнитных взаимодействий. ЭЧАЯ, 1980, т. II, вып.1, с.5-39.

133. Т. 7Гиске*с Я .\л/. А -¿ксо^ е(с£ и/СЬк- v. & 2/0 р.2*7-2 33.