Массы фермионов и методы алгебраической классификации в объединенных геометрических теориях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Болохов, Сергей Валерьевич

• Болохов, Сергей Валерьевич
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Болохов, Сергей Валерьевич

Введение.

Глава 1 Гравитация и электромагнетизм в рамках 5-мерной теории Калуцы.

1.1 Системы отсчета и монадный метод.

1.1.1 Определение системы отсчета.

1.1.2 Хронометрическая калибровка.

1.1.3 Физико-геометрические тензоры.

1.1.4 Операторы дифференцирования.

1.2 5-мерная теория Калуцы.

1.2.1 Формализм 4+1-расщепления

1.2.2 Калибровка монады.

1.2.3 Физико-геометрические тензоры.

1.2.4 Операторы дифференцирования.

1.2.5 Геометрические уравнения в монадном виде.

1.2.6 Переход к электродинамике и ОТО.

1.2.7 Негеометрические поля в теории Калуцы.

1.3 Связь между гравитацией и электромагнетизмом на алгебраическом уровне.

1.3.1 Эвристические аналогии.

1.3.2 Соотношения дуальности и электровакуум Эйнштейна-Максвелла

1.3.3 Алгебраическая классификация Петрова в гравитации и электромагнетизме.

1.3.4 Алгебраическая классификация при наличии электромагнитных полей

1.3.5 Алгебраическая классификация систем отсчета в ОТО

1.3.6 Интерпретация с позиций 5-мерной теории Калуцы.

Глава 2 8-Мерная геометрическая модель грави-сильных взаимодействий.

2.1 Фундамент и ключевые особенности 8-мерной теории.

2.2 Основные соотношения 8-мерной геометрической теории.

2.2.1 Формализм 4-fl+l+l-f 1-расщепления.

2.2.2 Физико-геометрические тензоры и операторы диферен-цирования.

2.2.3 Структура полей, действие и размерная редукция.

2.2.4 Редукция в бозонном секторе теории.

2.3 Фермионный сектор 8-мерной геометрической теории.

2.3.1 Матрицы Дирака и алгебра Клиффорда в N измерениях.

2.3.2 Спинорные поля в 8 измерениях.

2.3.3 Ковариантная производная спинора в N измерениях.

2.3.4 Расщепленный фермионный лагранжиан.

2.3.5 Редукция в фермионном секторе.

Глава 3 Массовый сектор геометрической теории.

3.1 Конформные (вейлевские) преобразования.

3.1.1 Определение вейлевской группы

3.1.2 Конформные преобразования: бозонный сектор

3.1.3 Конформные преобразования: фермионный сектор

3.1.4 Лемма о факторизации.

3.2 Массовый сектор фермионов.

3.2.1 Процедура усреднения.,.

3.2.2 Унитарное вращение.

3.2.3 Интерпретация

3.3 Редукция на 7-мерие.

3.3.1 Основные принципы 7-мерной теории.

3.3.2 Частичная размерная редукция.

3.3.3 Массы фермионов в 7-мерии

Глава 4 Реляционный подход к описанию взаимодействий

4.1 Математический аппарат реляционной теории.

4.1.1 Два множества элементов.

4.1.2 Фундаментальная симметрия

4.1.3 Элементарный базис.

4.1.4 Фундаментальные отношения и финслеровы спиноры

4.1.5 Описание элементарных частиц.

4.1.6 Пространство скоростей.

4.2 Взаимодействия в реляционной теории

4.2.1 Действие Фоккера-Фейнмана.

4.2.2 Обобщение принципа Фоккера.

4.2.3 Базовое (6,6)-отношение.

4.2.4 Обменный характер взаимодействий, U-, V-состояния

4.2.5 Взаимодействия в терминах U-, V-состояний.

4.3 Алгебраическая классификация взаимодействий.

4.3.1 Структура А-матрицы для V- и U-состояний.

4.3.2 Классификация электрослабых и сильных взаимодействий

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Массы фермионов и методы алгебраической классификации в объединенных геометрических теориях»

Поиск и построение объединенной теории физических взаимодействий - одна из ключевых задач современной теоретической физики. Исследования в данной области сопряжены с целым кругом смежных задач: описание спектра известных (или предсказываемых теорией) элементарных частиц, выявление механизма генерации их масс, прояснение природы пространства-времени и существующей иерархии взаимодействий на различных масштабах (вплоть до масштаба объединения), включая космологические приложения, и т.д. Представленная работа посвящена анализу и развитию методов геометрического и реляционного подходов к описанию взаимодействий. Охарактеризуем специфику предлагаемых подходов, рассмотрев их в историческом контексте развития физических идей двадцатого столетия, связанных, прежде всего, с успехами общей теории относительности и квантовой теории.

Анализируя весь исторически накопленный к настоящему моменту комплекс идей, касающихся задачи описания и объединения взаимодействий, выделим три ключевых подхода, различающихся по ряду концептуальных предпосылок, что дает основание отнести эти подходы к различным физическим парадигмам [1].

1. Калибровочный подход.

Идея калибровочного подхода к описанию взаимодействий исторически возникла как результат переосмысления и обобщения принципа градиентной инвариантности, присущего электромагнитным явлениям. Прообразом для формирования калибровочной концепции (включая соответствующую терминологию) послужили работы Г.Вейля [25, 26, 27].

Как известно, современная калибровочная трактовка взаимодействий исходит из требования инвариантности лагранжианов относительно локализованных групп преобразований полей. (Так, градиентной инвариантности электромагного поля отвечает абелева группа U(1) фазовых вращений.) При этом векторное поле-переносчик взаимодействий возникает как результат модификации («удлинения») частных производных, компенсирующей нарушение групповой симметрии в процессе её локализации. В связи с этим в работах Д.Д.Иваненко для калибровочных полей был предложен альтернативный термин "компенсирующие поля".

В 1954 году Янг, Миллс [28] обобщили калибровочную трактовку электромагнетизма на случай неабелевых групп симметрий. Соответствующие калибровочные поля получили название полей Янга-Миллса. Первоначально они были введены в рамках классической теории, однако позднее был развит последовательный формализм квантования этих полей [29].

Работы Янга и Миллса стало важной вехой в физике элементарных частиц, прежде всего в физике слабых взаимодействий. Ранее для описания этих взаимодействий использовались феноменологические модели: V-A-теория четы-рехфермионного взаимодействия [30, 31] и теория с промежуточным массивным векторным бозоном [32]. Обе эти модели являлись неперенормируемыми. Открытие калибровочного принципа позволило не только построить перенормируемую теорию слабого взаимодействия, но и объединить его с электромагнитным в рамках неабелевой группы SU(2) xU( 1), получив так называемую Стандартную Модель электрослабых взаимодействий Вайнберга - Салама -Глэшоу [32, 33, 34]. При этом существенным для описания массивных векторных бозонов являлось использование механизма Хиггса [37], основанного на идее спонтанного нарушения симметрии.

Перенормируемость теорий Янга-Миллса со спонтанным нарушением симметрии была доказана Т'Хофтом [35, 36]. Механизм Хиггса в настоящее время считается общепринятым способом введения масс элементарных частиц в рамках калибровочного подхода, предсказывая при этом существование новой скалярной частицы (хиггсовского бозона). Надо отметить, что экспериментальное обнаружение хиггсовского бозона пока что (2006) не увенчалось успехом, несмотря на активно продолжающиеся поиски.

Распространение калибровочного подхода на случай сильных взаимодействий привело к формулировке квантовой хромодинамики - калибровочной теории, в которой сильные взаимодействия описываются безмассовыми век-ф торными полями группы SU (3) (глюонами). В рамках этой теории оказалось возможным описать явление асимптотической свободы, а также выдвинуть соображения в пользу существования шестого (t-) кварка, исходя из требования сокращения квантовых аномалий.

С формальной точки зрения объединение теорий электрослабых и сильных взаимодействий достигается путем перехода к так называемой минимальной группе SU( 3) х SU (2) xU( 1), что и составляет основу современной стандартной модели в физике элементарных частиц в низкоэнергетическом приближении. Однако остается неясным вопрос о применимости стандартной модели на масштабах, значительно превышающих 100 ГэВ [40].

Более последовательный взгляд на «объединение» предполагает, что сильные и электрослабые взаимодействия являются проявлениями единого фундаментального взаимодействия, существующего на более высоком энергетическом масштабе («масштаб объединения» порядка 1019 ГэВ) [32]. В литературе предлагался ряд калибровочных моделей (так называемых теорий Великого Объединения), описывающих данное гипотетическое взаимодействие в рамках достаточно широких калибровочных групп, включающих в себя минимальную группу стандартной модели. Назовем в качестве наиболее известных примеров теорию Джорджи - Глэшоу, основанную на группе SU(5) [38], а также модели с группами £0(10) [39] и Eq. Во всех этих моделях электрослабые и сильные взаимодействия возникают как результат цепочки спонтанных нарушений симметрии при спуске на более низкие энергетические масштабы. Объединение взаимодействий в рамках этой концепции должно эффективно выражаться в слиянии констант связи на масштабе объединения. На основе этих теорий делается ряд предсказаний. Так, в модели SU(5) вследствие несохранения барионного числа становится возможным распад протона, что имеет определенные космологические следствия, связанные с барионной асимметрией [32]. В число наименее проясненных вопросов описанных теорий входит выбор сценария нарушения симметрии, а также наличие чрезвычайно обширного мультиплета хиггсов.

Новый виток в развитии калибровочных теорий берет начало с появлением концепции суперсимметрии [41, 40]. В настоящее время идея суперсимметрии является весьма популярной. Построены суперсимметричные расширения янг-миллсовских теорий, стандартной модели и упомянутых теорий Великого Объединения, сформулированы принципы построения супергравитации. Наибольшее звучание идея суперсимметрии приобрела в связи с теорией струн [42, 43, 44] и М-теорией [45]. Несмотря на это, стоит отметить, что экспериментальный статус суперсимметричных теорий в настоящее время остается неясным из-за отсутствия доказательств существования суперпартнеров элементарных частиц.

В контексте калибровочного подхода следует упомянуть также работы по калибровочной теории гравитации [46, 54], в которых делались попытки истрактовать гравитационное взаимодействие в духе локализации группы Лоренца или Пуанкаре.

В целом калибровочный подход, наиболее интенсивно развивавшийся во второй половине XX века, оказался весьма плодотворным и успешно зарекомендовал себя в физике элементарных частиц. Однако по-прежнему остается неясным, как в рамках данного подхода построить целостную и непротиворечивую объединенную теорию, включающую в себя гравитацию. Гравитационное взаимодействие стоит особняком в ряду прочих видов взаимодействий, свидетельством чего является вот уже более чем полувековые безуспешные попытки проквантовать гравитацию (это не удается сделать по стандартным рецептам квантования янг-миллсовских теорий).

Указанная трудность имеет, по-видимому, концептуальный характер и отражает известную и насущную проблему совмещения двух главных физических теорий XX века - общей теории относительности и квантовой теории, что неоднократно подчеркивалось рядом авторов.

2. Геометрический подход.

Факт исключительной природы гравитации наводит на мысль о другом возможном подходе к построению объединенных теорий. Он заключается в том, чтобы описывать остальные виды взаимодействий по аналогии с гравитацией как проявление нетривиальных метрических или топологических свойств пространственно-временного многообразия в соответствии с духом общей теории относительности [1]. Иными словами, данный подход предполагает геометрическую природу фундаментальных взаимодействий.

Одной из самых плодотворных идей, выдвинутых в русле данного подхода, является увеличение размерности пространства-времени, иными, словами, идея многомерия. Основы математического аппарата, адекватно отражающего представления о многомерных пространствах в рамках дифференциальной геометрии, были заложены в трудах Б. Римана [65], Г. Грассмана, А. Кэли и др.

Следующий важный шаг в этом направлении был сделан Т. Калуцей, который в своей классической работе 1921 г. [55] предложил геометризовать электромагнетизм, объединив его с гравитацией путем повышения размерности пространства-времени на единицу. Электромагнитные взаимодействия связывались с этим дополнительным пространственно-подобным измерением. Математически это отражено в структуре пятимерного метрического тензора, компоненты Gъц (м = 0.3) которого имели смысл векторного потенциала Ац электромагнитного поля, в то время как 4-мерная часть 5-мерной метрики Gab отвечала метрике физического 4-мерного пространства-времени ОТО.

При этом имеет место ряд удивительных фактов (названных Саламом " чудесами Калуцы"), свидетельствующих о нетривиальном физическом содержании теории. Так, 15 пятимерных уравнений Эйнштейна автоматически распадаются на 10 обычных гравитационных уравнений, 4 уравнения для векторного поля, тождественные максвелловским, а оставшееся уравнение для компоненты G55 допускает ряд далеко идущих физических интерпретаций. Кроме того, спроецированные на 4-мерие уравнеия Эйнштейна автоматически содержат в правой части тензор энергии-импульса электромагнитного поля с правильным знаком.

В работе Калуцы использовалось условие цилиндричности метрики по 5-й координате, которое позднее было ослаблено в работах Эйнштейна, Бергмана, Баргмана [66, 67] и заменено условием периодичности. К этим работам восходит также идея о замкнутости мира по пятой координате (что соответствует топологии вида V4 х S1, где V4 - физическое 4-мерное пространство-время). Фактическая ненаблюдаемость пятой координаты связывалась с чрезвычайной малостью периода компактификации, сравнимого с масштабами планковских длин.

Вслед за Калуцей 5-мерную теорию развивали и другие авторы, в частности, О.Клейн [68], заслуга которого состоит в обобщении линеаризованного варианта Калуцы на общий случай, а также в попытке использовать 5-мерие для геометризации массивных полей. Сегодня многомерные теории объединенных взаимодействий носят название теорий Калуцы - Клейна.

Пятимерная теория Калуцы стимулировала развитие ряда математических методов, в частности, монадного формализма l+n-расщепления, впервые использованного в трудах Бергмана [69] и Эйнштейна, Бергмана [66] и фактически заложившего основы метода систем отсчета в теории гравитации (см. главу 1 настоящей работы).

Наряду с калуцевским вариантом 5-мерия существовала и другая ветвь многомерного подхода, основанная на проективной диффренциальной геометрии. Было предложено описывать 4-мерное многообразие посредством пяти однородных координат. Цикл работ в этом направлении, выполненный Ван Данцигом [71], Схоутеном [72], Гофманом, Вебленом [73], привел к построению проективной теории гравитации и электромагнетизма. Упомянем также работы Э. Шмутцера [74, 75]. Впоследствии оказалось, что между классическим вариантом Калуцы и проективным вариантом существует взаимно однозначное соответствие.

Результаты, полученные в рамках перечисленных работ, вскрыли глубокую связь между гравитацией и электромагнетизмом. Как оказалось, общность этих понятий проявляется не только на геометрическом, но и на алгебраическом уровне, примером чего могут служить более поздние работы Райнича (см. [76]), где устанавливалась алгебраическая связь между тензором Риччи Нци и тензором электромагнитного поля для уравнений типа Эйнштейна-Максвелла. В первой главе настоящей работы также анализируется определенный класс алгебраических и геометрических аналогий между гравитацией и электромагнетизмом, после чего дается их интерпретация с позиций 5-мерной теории Калуцы.

Следующий всплеск интереса к 5-мерию наблюдался в 40х - 50х гг. [70] и был связан с работами П. Иордана [78, 79], предложившего интерпретировать величину Ст55 как дополнительное скалярное поле. В ряде исследований [80, 81] были изучены физические возможности и следствия 5-мерных теорий с дополнительным скалярным полем, что впоследствии послужило толчком для создания целого класса моделей типа скалярно-тензорной теории Иордана - Бранса - Дикке. Из отечественных исследований того периода следует упомянуть цикл работ Ю.Б.Румера [63, 64] по 5-оптике.

В 70-х годах интерес к многомерию возрос во всем мире в связи с развитием теории полей Янга-Миллса. Довольно быстро было осознано, что многомерные теории типа Калуцы - Клейна можно понимать как геометризацию классических калибровочных полей [60, 54]. Для этого необходимо выбрать пространственно-временное многообразие нужной размерности и подходящей топологии внутреннего пространства дополнительных измерений. Было выполнено значительное число работ по геометризации известных на тот момент калибровочных теорий (см., например, [83, 84]). Широко стали использоваться пространства большего, нежели пять, числа измерений

82, 62, 48]. Данный ракурс исследований был явно сориентирован на сочетание калибровочного и многомерного подходов, поскольку предполагалось, что компактное пространство дополнительных измерений априори должно иметь группу изометрий,. соответствующую геометризуемой калибровочной группе. В контексте объединения электрослабых и сильных взаимодействий Э.Витттеном были проклассифицированы типы топологии компактного пространства дополнительных измерений, группа изометрии которых включала бы в себя минимальную группу стандартной модели [62]. В частности, минимальное пространство такого типа обозначается М001 и имеет топологию CP2 х S2 х S1. Приведем примеры других, неминимальных, пространств: мю 1 = s5x S2, Мои = CP2 х S\

В связи с развитием концепции суперсимметрии были построены модели калуцы - клейновской супергравитации (см. [62]). Сегодня идеи многомерных теорий Калуцы - Клейна приобрели широкое звучание в контексте теории суперструн [42, 43], поскольку было показано, что непротиворечивая теория струн существует только в пространстве высшего числа измерений, часть из которых в соответствии с духом теорий Калуцы - Клейна свернута в особый тип компактных многообразий, называемых пространствами Калаби-Яу [44]. При этом считается, что классический вариант теорий Калуцы-Клейна можно рассматривать как низкоэнергетическое приближение суперструнной теории или М-теории.

Надо сказать, что геометрический подход не исчерпывался одним лишь многомерием. В качестве геометрической характеристики, отвечающей за проявления электромагнетизма, можно было взять не размерность, а, например, неметричность Qa^ = V7 </«/?• Данный вариант был использован Вейлем [26] при построении единой теории гравитации и электромагнетизма, которая долгое время конкурировала с теорией Калуцы. Впоследствии в теории Вейля обнаружился ряд критических недостатков [2], что нисколько не умаляет её важное историческое и математическое значение: фактически, именно в рамках этой теории впервые были введены вейлевские конформные преобразования и предложена калибровочная трактовка электромагнетного потенциала как поля, компенсирующего нарушение локальной (конформной) симметрии И

Среди дополнительных возможностей геометрического подхода следует назвать также использование геометрий с кручением [2, 4]. Существуют также теории (напр., геометродинамика Уилера), где предлагается радикальным образом геометризовать также и материю, лишив ее независимого статуса и трактуя как совокупность определенных топологических особенностей единого искривленного пространственно - временного фона [1, 53]. Геометрические идеи проникли и непосредственно в калибровочные теории Янга-Миллса, которые стали формулироваться в терминах форм связностей на главных расслоенных многообразиях в духе дифференциальной геометрии [46, 29], что оказалось существенным в попытках построения калибровочных теорий гравитации [46].

Среди отечественных исследований конца XX века в области классических многомерных теорий следует выделить цикл работ научной группы Ю.С.Владимирова [1-22]. Ракурс этих исследований был ориентирован на максимально последовательное проведение геометрического подхода с использованием методов задания систем отсчета [23] и формализма 4+п-расщепления. Рассматривался ряд пяти-, шести-, семи- и восьмимерных теорий, так или иначе связанных с задачей описания известных видов взаимодействий. Оказалось, что геометрическая трактовка полей-переносчиков взаимодействий может быть проведена без привнесения калибровочной идеологии на уровень компактных внутренних пространств: достаточно брать их в форме топологии тора. При этом калибровочная симметрия эффективно восстанавливается в ходе размерной редукции на 4-мерие. Во второй главе представленной работы формулируется 8-мерная теория грави-сильных взаимодействий, в рамках которой исследуется вопрос о механизме описания масс фермионных полей с учетом вейлевских конформных преобразований (что представляет собой геометрический аналог механизма Хиггса), а также решается проблема перенормировки планковских масс. Данное направление исследований в области классического многомерия представляет собой концептуальный интерес в связи с отсутствием экспериментальных свидетельств в пользу существования хиггсовских бозонов и суперпартнеров.

Кроме того, в упомянутых работах развит формализм частичной размерной редукции, позволяющей эффективно свести 8-мерный случай сильных взаимодействий к 7-мерному варианту теории электрослабых взаимодействий [1, 20] и таким образом уменьшить общее число измерений, необходимых для описания всех видов взаимодействий, с одиннадцати до восьми.

В последнее время многомерный подход получил распространение еще в одном ракурсе - в свете многомерной космологии и идеологии миров на бра-не (Brane World), где снимается требование обязательной копактификации дополнительных измерений. В среде отечественных ученых этот подход анализировался в ряде работ в научных группах К.А.Бронникова, В. Н. Мельникова, В.Д.Иващука [115, 116, 117]. Это направление представляет собой самостоятельный интерес в контексте современной космологии, однако обсуждение данного подхода выходит за рамки настоящей работы.

Надо отметить, что геометрический подход, как и калибровочный, не решает всех проблем, связанных с описанием физических процессов на планковских масштабах длин и энергий. На сцену вновь выходит проблема корректного совмещения принципов теории относительности с квантовой теорией, которая формулируется как проблема «квантования гравитации». Многолетние

4»

10 безуспешные попытки её решения заставляют предположить, что искомая теория, возможно, должна быть сформулирована на совершенно иных концептуальных предпосылках, значительно корректирующих наши представления о природе пространства-времени, материи и фундаментальных взаимодействий. В связи с этим рассмотрим ещё один возможный подход к объединению взаимодействий, не столь широко известный в настоящее время, но истоки которого можно усмотреть в работах классиков теоретической физики XX века - Фоккера, Фейнмана, Уилера [51, 52], Хойла, Нарликара и др.

3. Реляционный подход.

Реляционный подход к построению теории физических взаимодействий принципиально отличен от двух предыдущих. Основная концептуальная предпосылка данного подхода проявляется в особом понимании природы пространства-времени как совокупности отношений (relations) между материальными частицами. Если в стандартных физических теориях, таких, как квантовая теория поля и ОТО, пространство-время представляет собой априори постулируемый непрерывный фон (многообразие, обладающее свойствами бесконечной делимости и гладкости), который может быть расширен и обобщен до многомерных пространств, расслоений, суперпространств и т.д., то в теории, основанной на реляционном подходе, пространство-время имеет вторичный характер. В качестве первичной категории вводится понятие • отношения между реальными физическими объектами микромира, которое задает в конечном итоге всю динамику их взаимодействий. Пространство-время же (равно как и поля-переносчики взаимодействий) трактуется как эффективный фон, возникающий в результате специфического усреднения характеристик микроскопических процессов с участим больших ансамблей частиц.

Известно, что в XX веке предпринимался ряд попыток построения физики микромира без привлечения координатного пространства. Для примера назовем идею описывать все физические процессы на языке S-матрицы в импульсном пространстве [87] или твисторную программу Р. Пенроуза [88, 89]. Стимулом для развития такого рода теорий являлась неудовлетворенность сложившейся квантовополевой парадигмой, в которой обнаруживался ряд известных проблем вроде расходимостей. (Заметим, что вопрос о физической приемлемости теории, требующей процедуры перенормировок, до сих пор является в определенном смысле дискуссионным. Вполне вероятно, что бесконечности - неизбежный изъян всякой теории, опирающейся на принцип локальности.)

В настоящее время даже в рамках квантовополевых теорий делается утверждение о принципиальной неприменимости пространственно-временных представлений на масштабах порядка планковской длины, в связи с чем формулируются гипотезы о зернистой, дискретной структуре пространства. Для примера упомянем направление "петлевая квантовая гравитация" (Ли Смолин, Аби Аштекер), где пространство-время имеет дискретный характер и описывается в рамках особой конструкции, получившей название "спиновых сетей". Иными словами, сейчас все больше укрепляется мнение, что физическая теория, претендующая на адекватное описание микромира, должна как минимум выявить те пределы, в которых допустима привычная трактовка пространства-времени. Это обстоятельство заставляет по-особому взглянуть на реляционную программу как на перспективный путь, отвечающий существующим идейным запросам.

Идея о макроскопической природе пространства-времени как некоторой суперпозиции отношений между объектами отнюдь не нова [90], однако вплоть до нашего времени не получала адекватного математического отражения. Отчасти это связано с тем, что привычный всем аппарат математического анализа и дифференциальных уравнений невозможен без традиционного понимания пространства как бесконечно делимого и гладкого многообразия. Исторически утвердилась именно традиционная парадигма пространства-времени, которая допускает наиболее эффективную математику. Реляционный подход же, не имея возможности обратиться к аппарату анализа, должен опираться на комплекс совершенно иных математических понятий, лежащих, скорее всего, в области алгебр дискретных множеств.

Если затрагивать вопрос о физических взаимодействиях, то традиционное понимание пространства-времени неразрывно связано с концепцией близко-действия, наиболее ярко воплотившейся в полевых уравнениях Максвелла. В противоположность этому, реляционная парадигма, устраняя наряду с непрерывным пространством (допускающим непосредственную близость точек) саму идею поля, с необходимостью влечет за собой концепцию дальнодействия (оно может иметь место на световом конусе, как, например, в теории Фоккера-Фейнмана [106]). В этой парадигме фундаментальные взаимодействия должны рассматриваться не иначе как на базе отношений между частицами, взятых вне пространственно-временного фона.

Упомянем ряд ключевых идей, так или иначе имеющих отношение к реляционной парадигме. Во-первых, это принцип Маха, согласно которому масса и инерционные свойства материи обусловлены влиянием всех частиц окружающего мира [1]. Во-вторых, это теория прямого межчастичного взаимодействия Фоккера-Фейнмана, в которой оказывается возможным придать понятию поля эффективный характер [108, 52]. Сюда же примыкает идея А. Сахарова об индуцированном характере гравитации [91].

В работах Ю.С.Владимирова и Ю.И.Кулакова был сформирован математический аппарат, который, как представляется, адекватно отражает суть реляционного подхода к описанию взаимодействий. Речь идет о так называемой теории физических структур, первоначально открытых в новосибирской группе математиков и развитых в последующих циклах работ (см., напр., [104, 105, 106, 109, 110, 111, 112, 113]). Данная математическая теория представляет собой формулировку геометрии на языке отношений между точками абстрактных дискретных множеств. Был открыт принципиально новый класс геометрий - бинарных геометрий (см. главу 4). В работах Ю.С.Владимирова было показано, что бинарная геометрия в сочетании с принципами Фоккера-Фейнмана и идеями Калуцы-Клейна позволяет эффективных образом переформулировать основные закономерности электрослабых и сильных взаимодействий на языке теории отношений.

Мотивация и цели работы На сегодняшний день исследования в области объединенных теорий взаимодействий нацелены на решение целого ряда актуальных вопросов, таких как описание спектра частиц, выявление механизма генерации их масс, а также прояснение природы пространства-времени и существующей иерархии взаимодействий на различных масштабах (вплоть до масштаба объединения) и др. Наблюдается повышенный интерес к многомерным теориям, что обусловлено, в частности, интенсивным развитием суперструнных моделей.

В связи с этим представленная работа нацелена на следующий круг задач:

1)развитие и анализ возможностей геометрического подхода к объединению фундаментальных взаимодействий в рамках многомерных теорий типа Калуцы-Клейна (в частности, упомянутых 8- и 7-мерных теорий сильных и электрослабых взаимодействий, включая процедуру частичной размерной редукции).

2)выход на ряд смежных задач, имеющих непосредственное отношение к геометрическому подходу в рамках 4-мерия: анализ алгебраических соотношений и эвристических аналогий между гравитацией и электромагнетизмом, интерпретация этих результатов с позиций 5-мерной теории Калуцы, а также связанная с этими вопросами задача алгебраической классификации систем отсчета в ОТО;

3)анализ фермионного сектора 8- и 7-мерных геометрических теорий, описание механизма генерации масс элементарных частиц с учетом конформных преобразований вейлевского типа, а также сопряженный с этим вопрос перенормировки планковских масс заряженных полей;

4)описание взаимодействий в рамках реляционного подхода, основанного на теории бинарных систем комплексных отношений [105], что можно рассматривать как распространение принципов геометрического подхода на более широкий класс геометрий - бинарных. При этом оказывается возможным придать различным каналам взаимодействий алгебраическую трактовку на основе принципов алгебраической классификации Петрова [92].

Цели и задачи данной работы представляются актуальными в контексте современных многомерных объединенных теорий, а методы и специфика предложенных в работе подходов к описанию масс и взаимодействий (в рамках геометрической и реляционной парадигм) - имеющими теоретический и методологический интерес.

3. Схема и план работы.

В первой главе, носящей вводный характер, изложены ключевые понятия и математический аппарат, которые используются в последующих главах. Описан монадный метод задания систем отсчета и формализм 4+1-расщепления, в рамках которых изложена классическая 5-мерная теория Калуцы. Некоторое внимание уделено вопросам алгебраической связи между гравитацией и электромагнетизмом, существующей на 4-мерной уровне, и интерпретации их с позиций 5-мерной теории Калуцы, в рамках чего оказывается возможным выход на задачу классификации систем отсчета в ОТО.

Вторая глава посвящена изложению основных принципов 8-мерной геометрической теории грави-сильных взаимодействий, развитой в работах [1, 19, 20], включал доказательство ряда вспомогательных утверждений и анализ фермионного сектора.

В третьей главе решается вопрос о механизме генерации масс в фермион-ном секторе 8-мерной теории с учетом возможности вейлевских конформных преобразований. Анализируется также проблема планковских масс.

Четвертая глава нацелена на обоснование возможности реляционного подхода к описанию взаимодействий на базе бинарных систем копплексных отношений с применением принципов алгебраической классификации Петрова.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Болохов, Сергей Валерьевич

Основные результаты опубликованы в работах [93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100, 101, 102, 103].

В заключение автор хотел бы выразить глубокую благодарность доктору физ.-мат. наук, профессору Юрию Сергеевичу Владимирову за предложенную тему, руководство работой и оказанную помощь. Также автор выражает благодарность участникам семинара "Геометрия и физика" (особенно Соловьеву Антону Васильевичу) и членам Российского Гравитационного Общества за плодотворное обсуждение проблем, затронутых в данной работе, и за ряд ценных критических замечаний.

Заключение

Подведем итоги всего вышеизложенного. Представленная работа была нацелена на развитие и анализ методов геометрического и реляционного подходов к описанию взаимодействий, а также приложению этих методов в ряде смежных задач. Перечислим основные результаты, полученные в рамках данной работы.

В первой главе исследован вопрос алгебраической связи и эвристических аналогий между гравитацией и электромагнетизмом на 4-мерной уровне, а также дана их интерпретация с позиций 5-мерной теории Калуцы. В контексте этой задачи сформулирован ряд лемм, фиксирующих алгебраические свойства определенного класса решений уравнений Эйнштейна-Максвелла. Исследован вопрос об алгебраической классификации электромагнитных полей, на основе чего сформулирована и решена задача аналогичной классификации систем отчета в ОТО. Показано, что различные системы отсчета, характеризуемые тремя физико-геометрическими тензорами, могут быть отнесены к различным подтипам Петрова некоторой комплексной матрицы, построенной из компонент соответствующих тензоров.

Во второй главе изложены основные принципы 8-мерной геометрической теории грави-сильных взаимодействий, выделены ключевые особенности, определяющие фундамент и специфику этой теории. Сформулирован и доказан ряд вспомогательных соотношений, используемых в формализме 4+1+1+1+1-расщепления. Исходя из набора естественных постулатов и свойств алгебры Клиффорда, явно получен вид ковариантной производной спинора в 8-мерии, соответствующий известным коэффициентам Фока-Иваненко в 4-мерии. На основе явно полученного матричного представления алгебры Клиффорда С (1,7) произведено расщепление лагранжиана фермионного сектора с учетом выбранной процедуры вложения биспинорных полей в 16-компонентное спинорное поле, фигурирующее в исходном лагранжиане. Произведена размерная редукция в кинетическом секторе фермионов и секторе взаимодействия фермионов с векторными бозонами, в ходе чего получено явное соответствие со стандартной фермионной частью лагранжиана КХД, записанной в базисе Картана-Вейля.

В третьей главе проанализирован механизм генерации масс фермионных полей. Данная задача сопряжена с вопросом перенормировки планковских масс векторных бозонов [56] и решаемой с помощью конформных (вейлевских) преобразований. Рассмотрена модификация фермионного сектора с учетом возможности такого рода преобразований для спинорных полей произвольного конформного веса. Для специального вида конформного фактора доказана лемма о факторизации, облегчающая задачу размерной редукции в фермион-ном секторе в произвольном порядке по малым параметрам конформного фактора. Произведена размерная редукция в массовом секторе фермионов. Полученное выражение для масс фермионных полей в общем случае содержит в себе собственную и конформную массовые части, что указывает на комбинированный механизм генерации масс в данной теории. Указаны также условия, при которых генерация масс может быть обусловлена чисто конформными преобразованиями. Проанализирована возможность возникновения планков-ских масс в фермионном секторе, а также получен ряд условий на константы теории, приводящий к устранению (перенормировке) этих масс.

В четвертой главе изложены основные принципы реляционной теории пространства-времени и взаимодействий. Указана принципиальная возможность переформулировки основных соотношений теории поля на языке теории бинарных систем комплексных отношений. В рамках данной теории предложена и обоснована концепция обменного взаимодействия. Проанализирована наиболее общая функциональная связь между вводимыми классами состояний частиц с учетом инвариантности относительно неприводимого представления группы SL(3,C), после чего произведена алгебраическая классификация Петрова различных каналов известных видов взаимодействий (аналогичная рас-смотреной в первой главе в контексте геометрического подхода). Показано, что нейтральные и заряженные каналы сильных и электрослабых взаимодействий можно отнести к различным подтипам Петрова специальной матрицы, характеризующей внутренние состояния частицы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Болохов, Сергей Валерьевич, 2006 год

1. Владимиров Ю.С. Геометрофизика. - М.: БИНОМ, 2005.

2. Владимиров Ю.С. Размерность физического пространства-времени и объединение взаимодействий. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1987.

3. Владимиров Ю.С. Пространство-время: явные и скрытые размерности.- М.: Наука, 1989.

4. Владимиров Ю.С. Новая интерпретация поля кручения // Известия вузов. Физика. 1963 - No 2. - с.133-140.

5. Владимиров Ю.С. The unified field theory combining Kaluza's 5-dimensional and Weyl's conformal theories // GRG. 1982. - V.14, No 12. - p. 1167-1181.

6. Владимиров Ю.С. Нейтральные векторные поля в 7-мерной теории грави-электрослабых взаимодействий. Препринт физич. ф-та Моск. унта. - N 16/1986, 1986.

7. Владимиров Ю. С. 6-мерное объединение теории Калуцы-Клейна и модели Вайнберга-Салама. Препринт физич. ф-та Моск. ун-та. - N 16/1985, 1985.

8. Владимиров Ю. С. Планковские массы и многомерные теории поля // Проблемы теории гравит. и элем. част. М.: Энергоатомиздат. - 1986.- Вып. 17. с.66-74.

9. Владимиров Ю.С., Антонов В.И. Связь локальных и глобальных свойств материи в 5-мерной теории поля // Проблемы теории грае, и элем, част. — М.: Атомиздат. 1977. - Вып. 8. - с. 162-168.

10. Владимиров Ю.С., Антонов В.И. 5-мерная скалярно-тензорная теория гравитации // Вестник Моск. ун-та. Сер. физ. и астр. 1974. - N.1. -с. 54-64.

11. Владимиров Ю.С., Мамонтов С.И. Symmetry in a 6-dimensional geometric model of gravi-electroweak interactions // Grav. and Cosmol. 1996. - V.2, N.3(7). - p. 235-243.

12. Владимиров Ю.С., Миньков А.Г. 7-Dimensional geometric model of gravi-electroweak interactions // Grav. and Cosmol. 1998. V.4, N.2. - p. 103-106.

13. Владимиров Ю.С., Миньков А.Г. Particle test masses in multidimensional geometric models // Grav. and Cosmol. 1998. - V.5, N.2(18). - p.121-126.

14. Владимиров Ю.С., Кислое В.В. Квантование однородной изотропной космологической модели в пятимерной теории поля // ТМФ. 1982. - т.53, N.1. - с.43-54.

15. Владимиров Ю.С., Кислое В.В. К вопросу об изменении е/т в пятимерной теории гравитации, электромагнетизма и скалярного поля. // Вестник Моск. ун-та. Сер. физ. и астр. 1982. - N.6. - с. 18-21.

16. Владимиров Ю.С., Попов А. Д. Некоторые точные решения 5-мерной теории поля // Проблемы грае, и элем. част. — М.: Энергоиздат, 1982. -вып. 13. с.66-75.

17. Владимиров Ю.С., Попов А.Д. Уравнение Дирака в 5- и 6-мерных искривленных пространственно-временных многообразиях // Вестник Моск. ун-та. сер. физ. и астр. 1984. - т.25, N.5. - с. 47-52.

18. Владимиров Ю.С., Козленков А.А. 6-Оптика и единая теория гравитации и электромагнетизма // Известия вузов. Физика. 1984. - N. 12. -с. 36-40.

19. Владимиров Ю.С., Губанов А.Н. 8-Dimensional geometric model of gravi-• strong interaction // Grav. and Cosmol. 1998. - V.4, N.3(15). - p. 193-198.

20. Владимиров Ю.С., Губанов А.Н. Unification of gravi-electroweak and strong interactions in an 8-dimensional theory // Grav. and Cosmol. 1999.- V.5, N.4(20). -p.277-280.

21. Гаврилов В.P. Дополнительный нейтральный векторный бозон в 7-мерной теории грави-электро-слабых взаимодействий // Вестник Моск. ун-та, Сер. физ. и астр. 1988. - т. 29, N.1. - с. 26-30.

22. Гаврилов В.Р. 7-мерная модель грави-электрослабых взаимодействий с нетривиальной топологией // Тезисы VII Советской гравитационной конференции. Ереван: Изд-во ЕГУ, 1988. - с. 180-182.

23. Владимиров Ю.С. Системы отсчета в теории гравитации. М.: Энергоиздат, 1982.

24. Зелъманов А.Л. Хронометрические инварианты и сопутствующие координаты в общей теории относительности. // Доклады АН СССР. 1956.- т. 107. с.815-819.

25. Weyl П. Elektron und Gravitation // Z.f.Physik. 1929. - V.56. - p.330-352.

26. Вейлъ Г. Гравитация и электричество // Альберт Эйнштейн и теория гравитации. М.: Мир, 1979. - с.513-528.

27. Вейлъ Г. Пространство, время, материя. М.: Янус, 1996.

28. Yang C.N., Mills R. Conservation of isotopic spin and isotopic gauge invariance. // Phys. Rev. 1954. - V. 96, No.l. - p. 191-195.

29. Славное А.А., Фаддеев JI. Д. Введение в квантовую теорию калибровочных полей. М.: Наука, 1978.

30. Feynman R. P., Gell-Mann М. Theory of the Fermi Interaction // Phys. Rev. 1958. - V.109. - p.193-198.

31. Sudarshan E.C.G., Marshak R.E. Chirality Invariance and the Universal Fermi Interaction // Phys. Rev. 1958. - V.109. - p.1860-1862.

32. Cheng T.-P., Li L.-F. Gauge theory of Elementary Particle Physics. -Clarendon Press, Oxford, 1984.

33. Weinberg S. A Model of Leptons // Phys. Rev. Lett. 1967. - V.19. - p.1264-1266.

34. Вайнберг С. Идейные основы единой теории слабых и электромагнитных взаимодействий // УФН. 1980. - т.132. - с.201-217.

35. T'Hooft G. Renormalization of massless Yang-Mills fields // Nucl. Phys. -1971. V.B33. - p.173-199.

36. T'Hooft G. Renormalizable Lagrangians for massive Yang-Mills fields // Nucl. Phys. 1971. - V.B35. - p.167-188.

37. Рудаков В.А. Классические калибровочные поля. М.:Эдиториал УРСС, 1999.

38. Georgi Н., Glashow S.L. Unity of All Elementary-Particle Forces // Phys. Rev. Lett. 1974. - V.32. - p.438-441.

39. Fritzsch H., Minkowski P. Unified interactions of leptons and hadrons // Ann. Phys (NY). 1975. - V.93. - p.193-266.

40. Уэст П. Введение в суперсимметрию и супергравитацию. М.: Мир, 1989.

41. Весе Ю.} Беггер Дж. Суперсимметрия и супергравитация. М.: ИО НФ-МИ, 1998.

42. Грин М., Шварц Дж., Виттен Э. Теория суперструн. Том 1. Введение.- М.: Мир, 1990.

43. Грин М., Шварц Дж., Виттен Э. Теория суперструн. Том 2. Петлевые амплитуды, аномалии и феноменология. М.: Мир, 1990.

44. Каку М. Введение в теорию суперструн. М.: Мир, 1999.

45. Taylor W. (M)atrix theory: matrix quantum mechanics as a fundamental theory // Rev. Mod. Phys. 2001. - V.73. - p. 419-461.

46. Иваненко Д.Д., Пронин ИИ., Сарданашвили Г.А. Калибровочная теория гравитации. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1985.

47. Гаврилов В.Р., Карнаухов А.В. О соответствии последних вариантов 5-мерных теорий // Известия вузов. Физика. 1984. - N.8. - с. 45-50.

48. Ходос А. Теории Калуцы Клейна: общий обзор // УФН. - 1985. - т.146.- с. 647 654.

49. Кречет В.Г. Geometrization of physical interactions, 5-dimensional theories and the many world problem // Grav. and Cosmol. 1995. - V.l, N.3. -p.199-203.

50. Кречет В.Г. Спинорный анализ и физические свойства фермионов // Известия вузов. Физика. 1986. - N. 10. - с.20-25.

51. Wheeler J.A., Feynmann R.P. Classical electrodynamics in terms of direct interparticle action // Rev. Mod. Phys. 1949. - V. 24. - p. 425-433.

52. Wheeler J.A., Feynmann R.P. Interaction with the absorber as the mechanism of radiation // Rev. Mod. Phys. 1945. - V. 17. - p. 157-181.

53. Уилер Дж. Гравитация, нейтрино и Вселенная. М.: Издат. иностр. литры, 1962.

54. Blagojevic М. Gravitation and gauge symmetries. Institute of physics, Belgrade, Yugoslavia, 1999.

55. Калуца Т. К проблеме единства физики // Сб. «Альберт Эйнштейн и теория гравитации». М.: Мир, 1979. - с. 529-534.

56. Klimenkov V.A., Vladimirov Yu.S. The renormalization of Planck masses of vector bosons in the eight-dimensional geometric theory // Grav. and Cosmol. 2004. - V.10, N. 1-2 (37-38). - p. 77-82.

57. Klimenkov V.A. Generally covariant method of a many-dimensional Riemann tensor's decomposition // Grav. and Cosmol. 2004. - V.10, N.4(40). - p. 313-318.

58. Birrell N.D., Davies P.C.W. Quantum fields in curved space. Cambridge Univ. Press, 1982.

59. Fock V.A., Ivanenko D.D. On a possible geometric interpretation of relativistic quantum theory // Zeits. fur Phys. 1929. - Bd.54, S.798.

60. Salam A., Strathdee J. On Kaluza-Klein theory // Ann. of Phys. 1982. -V. 141. - p.316-352.

61. Salingaros N. On the classification of Clifford algebras and their their relation to spinor in n dimensions // Joum. Math. Phys. 1982. - V. 23, N.l. - p.1-7.

62. Duff M.J., Nilsson B.E.W., Pope C.N. Kaluza-Klein Supergravity // Phys. Rep. 1986. - V.130. - p.1-142.

63. Румер Ю.Б. Физический смысл пятимерного пространства в 5-оптике // ЖЭТФ. 1953. - т.24, вып.З. - с. 312-318.

64. Румер Ю.Б. Исследования по 5-оптике. М.: ГИТТЛ, 1956.

65. Риман Б. О гипотезах, лежащих в основании геометрии // Альберт Эйнштейн и теория гравитации. М.: Мир, 1979. - с. 18-33.

66. Эйнштейн А., Бергман П. Обобщение теории электричества Калуцы (1938) // Эйнштейн А. Собрание научных трудов. М.: Наука, 1966. - т.2. - с. 492-513.

67. Эйнштейн А., Баргман В., Бергман П. О пятимерном представлении гравитации электричества (1941) // Эйнштейн А. Собрание научных трудов. М.: Наука, 1966. т.2. - с. 543-554.

68. Klein О. Quantentheorie und fiinfdimensionale Relativitatstheorie // Zeits. f. Physik. 1926. - Bd.37. - S.895-906.

69. Бергман П. Введение в теорию относительности. М.: ИЛ, 1947.

70. Бергман П. Единые теории поля. УФН. 1980. - т. 132, N.1. - с. 177-190.

71. Van Dantzig D. Die projektive Relativitatstheorie. // Proc. Nederl. Akad. Wetensch. Amsterdam. 1932. - Bd.35. - S. 524-534.

72. Schouten J.A., van Dantzig D. Generelle Feldtheorie // Zeits. f. Physik. -1932. Bd. 78. - S. 639-667.73 7475