Асимптотические оценки для осциллирующих интегральных операторов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.00.00, кандидат физико-математических наук Комеч, Андрей

• Комеч, Андрей
• кандидат физико-математических наук
• 1997

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Комеч, Андрей

СОДЕРЖАНИЕ

СПИСОК ИЛЛЮСТРАЦИЙ.и

БЛАГОДАРНОСТИ .ш

Введение

Часть А

Асимптотические оценки для осциллирующих интегральных операторов

1. Сингулярные интегральные операторы.

2. Асимптотические оценки

3. Почти ортогональные разбиения.

4. Оценки вне критического множества.

5. Оценки на критическом множестве

6. Соотношения почти-ортогональности

Часть Б

Преобразование Мелроуза-Тейлора

7. Преобразование Мелроуза-Тейлора в теории рассеяния

8. Свойства регулярности.

9. Регулярность обощенных преобразований Радона.

10. Ассоциированное каноническое соотношение

11. Препятствие допускающее касательные плоскости точного порядка

12. Препятствие с асимптотически малой секционной кривизной

13. Односторонние почти-ортогональные разбиения

14. Индивидуальные оценки около критического множества.

15. Свойства регулярности оператора Р.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Асимптотические оценки для осциллирующих интегральных операторов»

Основной предмет данной монографии составляют осциллирующие интегральные операторы:

Тхи{х) = J eils^y(x,ú)u(ú)dú, x,úe R".

Свойства непрерывности таких операторов хорошо известны для случая, когда фазовая функция S(x,&) невырождена: dct.S'n<) ф 0. Такие операторы являются естественным обобщением преобразования Фурье. Если у/(х,$) - символ порядка ноль (по отношению к переменной $), то, как и преобразование Фурье, 7\ оказывается непрерывным в L2, причем его норма допускает оценку ||7\|| < const Х~п/2. Упомянем основополагающую статью JT. Хёрмандера [Нбг71], а также статью К. Асады и Д. Фудживары [AF75], где рассмотрен случай операторов с некомпактными носителями.

Нас будут интересовать операторы, фазовая функция которых вырождена на некотором критическом множестве, которое является гладким подмногообразием коразмерности 1, и когда проекции с ассоциированного канонического соотношения удовлетворяют некоторым геометрическим условиям. Главный вопрос - каков оптимальный показатель убывания нормы оператора когда X велико. Эта задача возникает при изучении операторов Фурье с сингулярными каноническими соотношениями. Упомянем статьи И. Пана и К. Corra [PS90], Д. Фонга и Э. Стейна [PS86, PS91, PS92, PS94a, PS94b, PS94c], А. Гринлифа и А. Зигера [GS94] и С. Кукканьи [Сис97].

Во многих случаях требуется нарезать носитель осциллирующего оператора на маленькие кусочки и использовать подобающие оценки для операторов с носителями на этих кусочках (прибегая к принципу почти-ортогональности М. Котлара [Cot55]; смотрите Приложение). Для осуществления такой программы требуется иметь полный набор асимптотик норм осциллирующих интегральных операторов. Первое, что приходит в голову - асимптотики, соответствующие величине невырожденности (значение детерминанта смешанного Гессиана фазовой функции) и размеру носителя интегрального ядра.1

В первой части монографии мы формулируем асимптотики оценок для случая, когда обе проекции с канонического соотношения являются складками Уитни, причем одна из них становится асимптотически вырожденной. Мы выводим асимптотики, соответствующие кривизне вырождающейся складки и величине носителя осциллирующего интегрального оператора. Полученные асимптотики позволяют интерполяцию между случаями, рассмотренными Мелроузом и Тейлором в [МТ85] (обе проекции - складки Уитни), и случаем рассмотренным Гринлифом и Зигером [GS94] (одна проекция - складка Уитни; свойства другой проекции не оговорены).

Развитая техника асимптотических оценок позволяет нам исследовать определенные случаи, когда одна из проекций не является складкой Уитни в некоторых точках, но тем не менее удовлетворяет некоторым условиям кривизны.

Во второй части монографии мы рассматриваем конкретный оператор Фурье с сингулярным каноническим соотношением, который возникает в теории рассеяния: обобщённое преобразование Радона, которое изучалось Р. Мелроузом и М. Тейлором в [МТ85]. В этой работе они рассматривали рассеяние на выпуклом препятствии с выпуклой границей со хМы всегда предполагаем, что все участвующие функции и их производные ограничены. 2 строго положительной Гауссовой кривизной. Рассмотрение было основано на факте, что двусторонняя складка Уитни может быть приведена к нормальному виду.

Если отбросить предположение, что кривизна границы строго положительна, то проекции с границы рассеивателя (точнее, с канонического соотношения) могут не быть складками Уитни. Вследствие этого, приведение к нормальному виду невозможно. Для преодоления этой трудности требуется альтернативный аналитический подход.

Техника, разрабатываемая в первой части диссертации, позволяет выводить свойства непрерывности обобщённого преобразования Радона, рассмотренного Мелроузом и Тейлором, в случае, когда граница рассеивателя допускает касательные плоскости с точным касанием конечного порядка к (глава 11).

Можно также вывести оценку соответствующую асимптотически малому значению секционной кривизны границы (глава 12).

В главах 13 и 14 манускрипта мы выводим точные свойства регулярности обобщённого преобразования Радона, рассмотренного Мелроузом и Тейлором, для рассеяния на произвольном выпуклом препятствии с гладкой границей. Результат формулируется в терминах максимального порядка касания касательных прямых с границей препятствия.

Данное научное исследование представляет собой ещё один шаг к пониманию связи сингулярных интегральных операторов, кривизны и ортогональности.

Часть А

Асимптотические оценки для сингулярных интегральных операторов