Некоммутативные произведения функций и их операторные представления тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.03, кандидат физико-математических наук Григорьев, Олег Николаевич

• Григорьев, Олег Николаевич
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Григорьев, Олег Николаевич

Введение

Глава 1. Ассоциативное квантовое произведение.

1.1 Уравнение для интегрального ядра квантового произведения

1.2 Начальные условия.

1.3 Метод ВКБ.

Глава 2. Квантование симметрических пространств.

2.1 Симметрические пространства и квантовое произведение.

2.1.1 Определение и свойства симметрических пространств.

2.1.2 Фундаментальный гамильтониан и отображения симметрий

2.2. Квантование плоскости с нестандартной связностью.

2.2.1 Плоскость с нестандартной связностью.

2.2.2 Фундаментальный гамильтониан и симплектический группоид.

2.2.3 Уравнение Гамильтона-Якоби для фазы интегрального ядра.

2.2.4 Амплитуда квантового произведения (нециклический вариант).

2.2.5 Условие ассоциативности.

2.2.6 Асимптотическое разложение.

2.3 Квантование с помощью квантайзера.

2.3.1 Квантайзер и квантовое произведение.

2.3.2 Квантайзер для плоскости с нестандартной связностью.

2.3.3 Свойства квантайзера.

2.3.4 Плоскость Лобачевского.

Глава 3. Квантование в а>-аффинных координатах.

3.1 Вейлевское произведение и w-аффинные координаты.

3.1.1 Определение а;-аффинных координат.

3.1.2 Построение w-аффинных координат.

3.1.3 Свойства w-аффинных координат.

3.1.4 Регулярное представление для вейлевского произведения.

3.2 Плоскость Лобачевского в цьаффинных координатах.

3.2.1 Аффинные координаты для плоскости Лобачевского.

3.2.2 Когерентные состояния и сингулярное уравнение Шредингера.

3.2.3 Квантайзер для плоскости Лобачевского.

3.3 Симплектическая структура, зависящая от одной переменной.

3.4 Квантование симплектической плоскости с особенностями.

3.4.1 Определение и геометрические характеристики.

3.4.2 Симплектический группоид.

3.4.3 Фундаментальный гамильтониан и отображения симметрий.

3.4.4 Ассоциативное квантовое произведение функций

3.4.5 Квантайзер и квантовое произведение

3.4.6 Свойства квантайзера

3.4.7 Геометрия и особенности фазы интегрального ядра.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Некоммутативные произведения функций и их операторные представления»

Одной из важных задач современной математики и математической физики является задача квантования симплектических многообразий. В самом широком смысле под квантованием обычно понимается переход от классической системы к соответствующей квантовой. При этом требуется сформулировать квантовую теорию, для которой исходная классическая система будет пределом в некотором смысле. Однако, хорошо известно, что не каждая квантовая система имеет соответствующую ей разумную классическую систему и разные квантовые системы могут сводиться к одной и той же классической теории. На протяжении ряда лет теория квантования была включена в такие математические разделы, как дифференциальная и симплектическая геометрия, теория представлений, функциональный анализ и другие.

В настоящее время математические методы, используемые для решения задачи квантования, разделились на несколько направлений, таких как деформационное, геометрическое квантование, квантование Березина, асимптотическое квантование и т.д.

Исходная концепция квантования (которая теперь обычно называется каноническим квантованием) принадлежит Вейлю, фон Нейману и Дираку [61] [116] [152]. Она заключается в попытке сопоставить наблюдаемым классической механики, которые являются действительными функциями f(p,q) переменных (р, g) = (pi,., рп, q\,., qn) € К." х Е." (фазовое пространство), самосопряженные операторы Qj на гильбертовом пространстве L2(Rn) так, чтобы были выполнены соотношения ql) соответствие / Qf линейно; q2) Qi = /, где 1 является единичной функцией, а I - единичным оператором; (q3) для любой функции ф : R. —> R для которой определены Q<j>0f и 4>{Qf) выполнено

Qtoj = Ф{Я})', q4) операторы Qpj и Qq} соответствующие координатным функциям pj, qj (j = 1,., п) имеют вид:

Qoj-Ф = QPii' = -ih щ для ф £ C£°(Rn). (0.1)

Условие (q3) обычно называется правилом фон Неймана). Область определения отображения Q : f И- Qf называется пространством квантовых наблюдаемых. В идеале хотелось бы, чтобы это пространство было достаточно большим (по крайней мере, содержало бы бесконечно дифференцируемые функции).

Теорема Стоуна и фон Неймана [116] утверждает, что с точностью до унитарной эквивалентности операторы (0.1) являются единственными операторами, действующими на гильбертовом пространстве L2 и удовлетворяющими условию неприводимости и коммутационным соотношениям

Qpj, QPt] = [QV,Q*] = о, [Q^Qpj] = ib&iui. (0.2)

С учетом некоторых дополнительных физических соображений [61] отсюда следует, что при квантовании должно быть выполнено еще одно условие q5) Для всех квантуемых функций fug

Qf,Qg] = ihQ[f,g}, (0.3) где ( Я/А Ё1ЁЕ.)

0qjdpj dpjdqjJ есть скобка Пуассона функций / и д.

К сожалению оказывается, что аксиомы (ql) - (q5), взятые в совокупности, не являются согласованными.

Во-первых, используя аксиомы (ql) - (q4) можно вычислить оператор Qj для функции f(p,q) = plql двумя различными способами с различными результатами (см. [68], или статью Аренса и Баббитта [33]).

Во-вторых, как показали исследования Грюнволда [81], позднее развитые ван Ховом [86], аксиома (q5) нарушается, если выполнены (ql) и (q4) и пространство квантуемых функций содержит все полиномы переменных р, q степени не выше четвертой.

В-третьих, можно показать, что можно получить противоречие, даже если принять аксиомы (q3), (q4) и (q5) и отбросить аксиому (ql) (линейность) (см. [63]).

Традиционно существует два подхода для преодоления описанных трудностей. Первый подход состоит в том, чтобы оставить аксиомы (ql), (q2), (q4) и (q5) (отказавшись только от аксиомы фон Неймана (q3)), но ограничить пространство квантуемых функций. Например, можно рассматривать только функции, линейные по переменной р: f(p,q) = fo(q) + Y,fM)Ph fJi € с°°(1П, 3 и положить

Qf = fo(q) +1 + QpjfMl з здесь q соответствует оператору Qq). Аналогично, можно рассмотреть только функции линейные по переменной q или более обще, по линейной комбинации ар + bq для некоторых фиксированных констант а и Ь.

Во втором подходе предлагается оставить аксиомы (ql),(q2) и (q4), но потребовать, чтобы аксиома (q5) была выполнена только асимптотически по параметру h при h —» 0. Тогда оператор Q/ можно записать как осциллирующий интеграл:

Qfg{x) = (2*h)-nff f(p, e^-^hg(y)dydp.

Это знаменитое исчисление Вейля псевдодифференциальных операторов (см. Хёрман-дер [85], Шубин [26], Тейлор [139]). Здесь обычно Qf обозначается через Wj. Последняя формула позволяет определить Wj как оператор из пространства Шварца <S(Rn) в пространство <S'(R") медленно растущих функций. В частности, если f,g 6 <S'(Rn) такие, что операторы Wj и Wg отображают пространство <S(Rn) в себя (например, если fi9 € <S(Rn)), то их композицию можно записать как WfWg = Wf$g для некоторой функции /Ц <7 G <S'(R2n), которая называется квантовым произведением Вейля функций fug. Разложение этого произведения по параметру ft имеет вид fh-9U = ih{f,9} + 0{h2) при ft 0. (0.4) и является асимптотической версией аксиомы (q5). Кроме того, если функция ф является полиномом, то можно получить асимптотическую версию аксиомы фон Неймана (q3) (детали см. [68]).

Основная проблема квантования состоит в том, чтобы расширить два описанных выше подхода с пространства R2n на произвольное симплектическое многообразие. Первый поход приводит к геометрическому квантованию, а второй - к деформационному квантованию. Но, прежде, чем перейти к рассмотрению этих подходов, остановимся на некоторых обобщениях канонического квантования.

Одно из первых таких обобщений было предложено Сигалом [130] для квантования конфигурационного пространства X в духе канонического квантования. Макки [108] был разработан теоретико-групповой метод, в котором использовались результаты теории индуцированных представлений конечномерных групп. Более общий метод, в котором были объединены подходы Сигала и Макки, позднее разрабатывался, например, в [57, 58, 114]. Он не может быть применен к произвольному симплектическому многообразию, а только к кокасательным расслоениям. Причина этого заключается в существенном различии переменных q £ X конфигурационного пространства и переменных "момента" р 6 Т*Х. Функции f(q) при этом квантуются операторами умножения: (/Ф){я) = /(ч)Ф(<1) на L2(X,fi) с некоторой мерой /х, а векторные поля X квантуются так:

Хф = -гЦХф + \ divM X • ф)

L* дополнительное слагаемое div,,X обеспечивает формальную самосопряженность one

S А ратора X в пространстве L (Х,ц)). Теперь можно получить коммутационные соотношения

X,Y] = -ih{xy), [.xj) = -ihxj, [lg} = 0, которые являются обобщением канонических коммутационных соотношений (0.2), (0.3).

Метод, использующий конечномерные группы диффеоморфизмов, полученных из локальных алгебр на физическом пространстве был предложен Голдиным (см. [74, 75]). Связь квантования с группами диффеоморфизмов конфигурационного пространства была также замечена Сигалом, который в своей работе [130] фактически перенес теорию квантования на кокасательное расслоение Т*Х и тем самым предвосхитил теорию геометрического квантования. Сигал также заметил, что число неэквивалентных квантований связано с первым классом когомологий пространства X.

Перейдем теперь к методу геометрического квантования. Отправной точкой здесь является действительное симплектическое многообразие X (фазовое пространство) размерности 271 с симплектической формой и). Для произвольной функции / на X соответствующее гамильтоново векторное поле Xf задается соотношением ui(-,Xf) = df. Скобка Пуассона двух функций определяется соотношением {/, <7} = —и>(Х/,Хд). Целью геометрического квантования является сопоставление каждому многообразию (X, ш) се-парабельного гильбертова пространства С и отображения Q : / Qj из пространства М{Х) (настолько большого, насколько возможно) квантуемых действительных функций на X, которое является алгеброй Ли относительно скобки Пуассона, в пространство самосопряженных линейных операторов на С так, чтобы было выполнено:

Ql) Q1 = I, где 1 - единичная функция, а/ - тождественный оператор на £; (Q2) отображение / Q; линейно;

Q3) [QhQa] = ihQu,gh V/.flr 6 М(Х);

Q4) отображение является функториальным в том смысле, что для двух симплекти-ческих многообразий (.T^^a/1'), (3^2',с</2)) и диффеоморфизма ф из З^1* в который переводит о^1) в и/2', композиция с ф должна отображать М(Хв М(Х^) и должен существовать оператор Цф из С™ в £(2) так, чтобы было выполнено Я(?иф V/ €

Q5) для (£,u;) = К2п со стандартной симплектической формой мы должны получить операторы Qqj, QPj (0.1).

Замечание. Требования (Q4) и (Q5) являются в некотором смысле заменой требования (q4) в стандартной формулировке квантования, которое сложно интерпретировать для произвольного симплектичсского многообразия (где уже нет глобального разделения координат на координаты q и р). Другая часто используемая возможность состоит в требовании, чтобы для некоторого выделенного класса функций / соответствующие операторы Qf действовали неприводимо на С. Однако, здесь не существует общего рецепта, как выбирать этот выделенный класс функций. Требование, чтобы любое нетривиальное подпространство в С было бы инвариантно для всех <?/,/£ М{Х) не является корректной заменой (см. статью Туйнмана [144]). Также, мы отбросили аксиому фон Неймана (q3), хотя оказывается, что она обычно восстанавливается в определенной мере (см. [78]).

Построение отображения О было впервые выполнено Костантом [100] и Сурьо [134] на базе пионерских исследований Кириллова по методу орбит (см. [15]). Оно состоит из двух шагов: предквантования и поляризации. Предквантование начинается с введения комплексного эрмитова линейного слоения L на X со связностью V, форма кривизны которой удовлетворяет соотношению curvV = w/h (для пространства (£, V) для выполнения этого соотношения необходимо, чтобы класс когомологий ш/2ттН в Н2(Х,Ж) был целочисленный; это условие известно как условие квантования). Теперь для каждой функции / € С°°(Х) можно определить дифференциальный оператор

Qf = -ihVx, + /. где последнее слагаемое означает операцию умножения на /. Очевидно. >тн операторы удовлетворяют аксиомам (Ql),(Q2) и (Q4), и простое вычисление показывает, что они также удовлетворяют аксиоме (Q3).

При этом, к сожалению, аксиома (Q5) явно нарушается. Фактически для X = R2n эти операторы действуют не на L2(R"), а на L2(R2n), так что мы должны как-то избавиться от половины переменных. Более точно, можно показать, что для X = R2n введенные операторы задаются соотношением з/ = -«£ - + (/ так что ограничение операторов Qf на функции, зависящие только от переменных г/, дает желаемые операторы (0.1). Для общего симплектического многообразия (Х,и>) чтобы придать смысл выражению "функции, зависящие только от половины переменных", необходимо иметь поляризацию, т.е. грубо говоря выбрать некоторым способом подрас-слоение V комплексной размерности v в комплексификации касательного расслоения ТХС и затем ограничить функции на X. которые постоянны вдоль слоев Р. Это решает вопрос о "зависимости от половины переменных". Кроме того, для задания гильбертовой структуры нужен аналог свойства "квадратичной интегрируемости". Простейшим решением является использование полу-плотностей, которые однако не дают корректного квантования для гармонического осциллятора. Поэтому требуется применение ме-таплектических поправок, которые позволяют использовать не полу-плотности, а полуформы и дают правильный ответ для гармонического осциллятора (но не в некоторых других случаях: см. [143]). Окончательно, для функций /. которые не выводят из V. т.е. [X/, V) С V, соответствующий оператор Qf отображает функцию постоянную вдоль V в другую такую же функцию, и, следовательно, получаются требуемые квантовые операторы.

Заметим, что в случае, когда пространство X является коприсоединенной орбитой группы Ли G, которая действует на X диффеоморфизмами, сохраняющими симплекти-ческую форму со, геометрическое квантование тесно связано с теорией представления групп (метод орбит) (см. работы Кириллова [15] и Вогаил [117]).

Более детально проблемы геометрического квантования разбираются в работах Туйн-мана [140], классической работе Вудхауса [153] (см. также новую редакцию [154]), Сни-атского [133]; книга Гилмина и Стернберга [82] и работа Харта [87] немного более ориентированы на теорию интегральных операторов Фурье и теорию представлений соответственно. Есть также много других интересных статей: Сниатского [132], Блат-тнера и Ронсли [4G] [47], Чижа [55], Гаведского [71], Гесса [83], Ронсли и Робинсона [122], Робинсона [129]. Блатнера [42] [43] [44], Туйнмана [143] [144] [141] [142]. Ронсли [120]. Костанта[101] [102] [100] и Сурьо [134], иследование Блатнера [45]. Али [29]. Упомянем также недавно вышедшие книги Бейтса и Вайнстайна [35] и Пута [119] и более старую Симмса и Вудхауса [131].

Несмотря на то, что метод геометрического квантования является довольно успешным, у него имеются свои недостатки. Во-первых, его конструкция зависит от многих составляющих: выбора слоения предквантования, метаплектической структуры и поляризации. Во-вторых (и это наиболее важно), пространство квантуемых функций довольно маленькое (например для случая X — IR2", где поляризация задается координатами qi,.,qn, пространство М(Х) состоит из функций, линейных пи переменной ]> и, следовательно, не включает кинетическую ■энергию i!j/'jj2).

В методе деформационного квантования пытаются преодолеть трудности геометрического квантования путем смягчения аксиомы (Q3):

Qf,Qg] = -ihQ{f>g} + 0(h2).

По аналогии с асимптотическим разложением квантового произведения Вейля, можно попытаться построить формальное ассоциативное некоммутативное; квантовое произведение */i (*-произведение) такое, что в некотором смысле; оо 3=о при h -> 0, где билинейные операторы Cj удовлетворяют соотношению

C0(f,g) = fg, Cx(f,g)-Cx(g.f) = -i{f.!j}. Cj{fA) -0,(1./) II V, >1.

Термин "формальное" здесь означает, что квантовое произведение f*ng не обязательно существует для любого заданного значения h, но мы только требуем, чтобы коэффициенты Cj : М(Х) х М(Х) -4 М(Х) были корректно определенными отображениями для некоторого пространства функций М(Х) на X и удовлетворяли бы соотношениям, которые делают произведение ассоциативным. На втором шаге ищется аналог исчисления Вейля, т.е. пытаются сделать квантовое; произведение настоящим (а не только формальным) отображением М(Х) х М(Х) М(Х) и ищут линейное соответствие функции / £ М{Х) с оператором Qf на сепарабельном гильбертовом щзостранстве С, самосопряженным, если / - действительная функция и удовлетворяющим соотношению

Q}Qa = Qf**g- (0.5)

Более того, требуется, чтобы было выполнено условие ковариантности (Q4). и для случая X = R2n произведение должно сводиться или быть в определенном смысле эквивалентным произведению Вейля.

Первый шаг, описанный выше, является предметом формальной теории деформационного квантования, основателями которой являются Березин [2] и Байен, Флато, Фронсдал, Лишнеровиц и Стернхаймер [36]. А именно, рассматривается кольцо А = С°°(3£)[[Й]] формальных степенных рядов по параметру К с коэффициентами из С°°(Х) и ищется ассоциативное С[[Я]]-линейное отображение * : А х А —± А, такое, чтобы были выполнены условия на коэффициенты Cj. Эта чисто алгебраическая проблема была решена Герстенхабером [77], который показал, что единственным ограничением для построения квантового произведения является некоторый класс когомологий Хошхильда с,, € Н3(А,А) (конструкция возможна тогда и только тогда, когда класс с„ нулевой).

Позднее де Вильд и Лекомт [СО] показали, что формальней; квантовое; произведение существует на любом симплектическом многообразии (таким образом, когомологические ограничения фактически не возникают). Более геометрическая конструкция была предложена Федосовым [64] (см. также его книгу [65]) и Омори, Маеда и Иошиока [117], но оставался открытым вопрос, существует ли квантовое произведение на произвольном пуассоновом многообразии. Этот вопрос был полностью решен в работе Концевича [99]. Другой подход к формальному деформационному квантованию на симплектическом многообразии был найден Карасевым и Масловым [13]. где впервые был предложен сам термин "деформационное квантование". Квантовое произведение с некоторыми дополнительными свойствами обсуждалось Коном, Флато и Стернхаймером [52] и Флато и Стсрнхаймером [67], а результаты, связанные с классификацией, можно найти в работах [38],[59],[115].

Второй шаг деформационного квантования, т.е. сопоставление каждой функции / операторов Qf на гильбертовом пространстве, является более сложным. Во-первых, требуется, чтобы функция / д действительно существовала на пространстве X для некоторого (сколь угодно малого) значения параметра h. Часто этот факт довольно трудно установить для формальных квантовых произведений. Обычно применяют обратную операцию: начинают с некоторой геометрической конструкции операторов Qf, а затем проверяют, что операция, определенная формулой (0.5) является квантовым произведением. Другими словами, требуется построить соответствие / (-» Qf, зависящее от параметра К, функций / £ С°°(Х) и операторов Qf на гильбертовом пространстве £, так, чтобы при h —> 0 было выполнено асимптотическое соотношение з=о

Для кэлеровых многообразий обе эти проблемы существенно продвинуты методами квантования Березина-Теплица (см. [2, 3, 92, 50]). Для общих симплектических многообразий (или пуассоновых) аналогичная конструкция пока неизвестна. Интересный метод построения неформальных квантовых произведений на общих симплектических многообразиях, использующий интегрирование по некоторым двумерным поверхностям (мембранам) в комплексификации J£c ~ X х X пространства был недавно предложен Карасевым [90].

Остановимся более подробно на методе квантования Березина. Напомним, что гильбертово пространство Н, элементы которого являются функциями на множестве D, называется гильбертовым пространством воспроизводящих ядер, если для каждого х € D отображение ф ф(х) является непрерывным на Н. По теореме Рисса-Фишера это означает, что существуют вектора Кх £ Н, такие, что ф{х) = (Кх.ф) Чф£Н.

Функция

K{x,xj) = (КХ,КУ) x,yeD называется воспроизводящим ядром на Н. Для произвольной функции /, такой, что /Я £ L2(D,fi) (например. fH £ L°°(£),/i)), можно определить оператор Теплица на Н по формуле

Т/ф(х) = (Кх,/ф) = [ ФШ(у)К(х,у)<1ц(у).

J d

При этом функция / называется ковариантным символом оператора Г/. Дальше можно определить при некоторых дополнительных условиях некоммутативое произведение *я o){v) — [ f(y,x)9(x,y№*'y)l* dii(z). Jd Щу.у) где /(ж, у),д(х, у) - функции на D х D, голоморфные по ж и у, и такие, что /(ж, х) = /(;'-') и д{х,х) =д\х).

Основная задача теперь состоит в том, чтобы подобрать подходящую меру (1ц так, чтобы это произведение удовлетворяло всем условиям квантового произведения (аксиомам квантования). Березин построил такую меру для случая D = С™ со стандартной кэлеровой формой и> = i Y^j dzjAdzj. Проблема меры в общем случае является открытой [92].

Идеи Березина получили дальнейшее применение для квантования симметрических (однородных пространств), т.е. на которых транзитивно действует группа Ли преобразований (см. Морено [112], Морено и Ортега-Наварро [113], Арнал, Казн и Гутт [28]). Некоторые связи со С'-алгебраической теорией Риффела можно найти в работе Радуле-ску [123]. Формальные произведения Березина и Березина-Теплица для произвольных кэлеровых многообразий изучались Карабеговым [88], Решетихиным и Тахтаджяном [124]. См. также Хокинс [84].

Систематический подход к построению неформальных квантовых произведений был предложен Риффелом [125]. Он определяет точное деформационное квантование [12G] [127] (его иногда называют С*-алгебраическим деформационным квантованием, см. Ландс-ман [106]) как плотную *-подалгебру Л в С°°(Х) снабженную, для достаточно малых положительных значений параметра Я, нормой || • инволюцией *ft и ассоциативным произведением х^, непрерывным относительно нормы || • так, что выполнены соотношения:

• Отображение h i-> Ли является пополнением (Л.'1'. <п) относительно нормы || • jj г, в непрерывном поле С*-алгебр;

• Операции х0 и || • ||о являются соответственно комплексным сопряжением, точечным произведением и супремум-нормой на С°°(3£);

• ||(/ хпд-д xft/) + tft{/,0}||»i = O.

Теперь используя теорему Гельфанда-Неймарка можно представить С'-алгебры Лп как алгебры операторов, действующих в гильбертовом пространстве, и таким образом появляется требуемое квантование f ^ Qf.

Точное квантование удается построить также для симплектических многообразий с плоской симплектической связностью (см. [34]), для кокасательных расслоений над аффинными многообразиями без сопряженных точек (см. [146, 62, 49, 104]) и для пространств с магнитной симплектической формой [93, 94].

Недавно в теории квантования появились новые идеи, связанные с конструкцией сим-плектических группоидов, предложенной Карасевым [11] (см. Вайнстайн [149], Карасев-Маслов [14], Закревский [155], Литвинов [17], Ландсман [103] [105]; книгу Ландсмана [104] и Вайнстайна, Канна де Сильва [51]). Калибровочно-инвариантный метод квантования, который по словам авторов "объединяет геометрические, деформационное квантования и квантование Березина" с подходом Баталина-Вилковысского, был предложен в работах Фрадкина и Леницкого [70] и Фрадкина [69].

Помимо описанных выше методов квантования существует еще много других методов. Не вдаваясь здесь в подробности, опишем основные идеи, лежащие в их основе, и дадим некоторые ссылки на соответствующую литературу.

Основные идеи квантования методом феймановских интегралов по путям изложены в работе Фейнмана и Хиббса [GG] и в работе Глимма и Джаффе [73]. Также можно указать недавний обзор Гроше [76]. Конструкция квантования с помощью интегралов но путям обсуждается в книге Березина [3] и работах Смолянова [23, 24]. Локальная формула деформационного квантования, схожая с феймановским разложением в квантовой теории поля, лежит также в центре конструкции Концевича [99] квантового произведения на произвольном пуассоновом многообразии (более точно, формула Концевича является разложением некоторого интеграла Фейнмана в седловой точке, см. статью Каттанео и Фелдера [53]). Связи между фейнмановскими интегр.члами по путям, когерентными состояниями и квантованием Березина обсуждаются и работах К.>четовл и Ярушина [98], Клаудера [97], в книге Березина и Шубина [3] (параграф 5). статьях Маринова [109], Шарля [54] и Бодмана [48]. В контексте геометрического квантования фейнмановские интегралы по путям обсуждаются в работе Гаведского [72], Вигмана [148], и в книге Вудхауза [154].

Другой известный метод - это метод асимптотического квантования Карасева и Маслова [92]. Он может быть использован для квантования произвольного симнлекти-ческого (или даже пуассонового) многообразия, даже если на нем не существует поляризации и, следовательно, метод геометрического квантования не применим. При этом под квантованием понимается построение ассоциативной некоммутативной алгебры М(Х), зависящей от параметра h, которая связана с пуассоновой алгеброй функций F(X) и группой пуассоновых преобразований (?(£) пространства X. А именно, существуют отображения 7гп : F(X) М(Х) и Щ : G(X) М(Х) такие, что

• 7Гд - линейно И 7Г^(1) = I,

• Ы/Ыд) = Mfg - ТifM + 0 Щ(71)Щ(72) = е1СЩ(7172) + 0(/L2), тг,(/)Щ(7) = Пй(7М7*Я +

• г-^Щ(7})=тгл(/)Щ(7}) + 0(Я2), где с = с(Й,71,7г) € К1, а - гамильтонов поток для функции /. Этот метод базируется на сшивании областей с координатами Дарбу, проквантованых по Вейлю. В результате получается правило квантования, сопоставляющее произвольной функции / 6 С°°(Х) некоторый интегральный оператор типа Фурье, действующий на пучке функциональных пространств над X так, что выполнено условие квантования. Основным техническим моментом является использование канонического оператора Маслова [19]. Основное неудобство этой процедуры в том, что она носит асимптотический характер: операторы, склеивающие локальные предпучки в пучок, определены только по модулю 0(h) и поэтому почти все результаты также носят асимптотический характер (при этом точность может быть увеличена до 0(h°°)). Идеи Карасева и Маслова получили дальнейшее развитие в их книге [14] (см. также работу Карасева [91]), в статьях Альбеверио и Далецкого [27], и Маслова и Шведова [111]. Также представляет интерес статья Патисера и Дазорда [56]. в которой разъясняются некоторые вопросы, поставленные в [13]. Сравнение метода асимптотического квантования с методами геометрического и деформационного квантований привидится в [13]. и статье Патисера [118] и в книге [14].

В заключение упомянем метод квантовых состояний Сурьо [136]. Он строится на понятиях диффеологического пространства и диффеологической группы, введенных в работе [135], которые являются довольно сложными, чтобы описать их здесь, и использует комбинацию гармонического и выпуклого анализа. Основные результаты этого подхода изложены в [137]. В настоящее время связь этого метода с другими подходами к квантованию остается невыясненной (см. Блаттнер [45]).

В данной работе исследуется новый, предлженный в [95], метод построения квантовых произведений над симплектическим многообразием X, основанный на использовании для квантовых объектов динамических уравнений в частных производных. Квантовое произведение будем строить в виде интеграла = —[ I<r:.v(u)f (.г);,(!,) d.r,{,j (O.G) (2пп)" J относительно стандартной меры на X. Здесь интегральное ядро Kh сингулярно при h —> 0 так, что имеется слабый предел

Формула типа (0.6) может быть применена и к Я-зависимым функциям, например, к быстро осциллирующим, что делает возможным использование произведения (0.6) в квантово-динамических задачах с фазовым пространством X.

Возникает проблема вычисления ядра Kh. Известно, что для произвольного пуассо-нова многообразия X функции Kh соответствует лагранжево подмногообразие в некотором симплектическом пространстве £ х £ х £ над конфигурационным пространством X х X х X. Это лагранжево подмногообразие график операции умножения симплекти-ческого группоида £ над X [10. 11]. Поэтому квазиклассическую асимптотику ядра I\h в общем пуассоновом случае можно вычислять с помощью модификации теории канонического оператора Маслова на случай общих симплектических многообразий [13, 14]. Однако, в высших приближениях получающиеся формулы не "геометричны".

Можно использовать другой подход к вычислению ядра Кп. Он состоит в следующем: из условия ассоциативности квантовой алгебры мы получим для Кп систему дифференциальных уравнений в частных производных типа Шредингера [95]

0-7) с некоторым гамильтонианом "Н^. зависящим от "времени" у G А*. Гамильтониан Н^ является 1-формой на коэффициентами которой служат функции на Л': nT;{x) = 4r^x).drf , хех. Эти коэффициенты регулярно зависят от Я: ип = Н(0) + m(i) + h2U(2) + (() 8) где . - квантовые поправки к старшей части. Эти поправки можно вычислить, зная регулярное представление квантовой алгебры и старшую часть Н^ из свойства ассоциативности квантового произведения.

Мы рассмотрим два способа построения старшей части гамильтониана (он называется также фундаментальным гамильтонианом).

Первый способ применим, если дополнительно известно, что пространство Л' симметрическое, т.е. на нем задано некоторое семейство канонических отоорлж'-нии s,. : X —> X, которые обладают некоторыми специальными свойствами и называются отображениями симметрии [156]. В этом случае фундаментальный гамильтониан Иу^ определяется как гамильтониан, соответствующий отображениям симметрии на X как каноническим. При этом главная часть операторов левого регулярного представления L, представленных как псевдодифференциальные, определяется фундаментальным гамильтонианом с помощью некоторого неявного уравнения.

Второй способ состоит в использовании специальных координат, называемых uj-аффинными (или просто аффинными). С помощью таких координат можно асимптотически вычислить операторы регулярного представления L и затем, наоборот, из главной части этой асимптотики найти фундаментальный гамильтониан "Ну0'.

Наличие аффинных координат дает еще один способ вычисления интегрального ядра Kh квантового произведения, основанный на применении квантайзера - некоторого семейства самосопряженных операторов Sx, которое задает гомоморфизм алгебры символов в алгебру операторов по формуле [79. 138]

7= , * / f(x)Sxdx.

J (2тгh)n J JK '

В а>-аффинных координатах квантайзер S^ можно построить с помощью преобразования Фурье, если известно какое-нибудь неприводимое представление пуассоновой алгебры функций на X (в ряде примеров такое представление можно найти). Тогда, при некоторых дополнительных условиях на квантайзер интегральное ядро строится в виде

В данной работе в качестве исходного многообразия мы возьмем пространство А* == М™ четной размерности т = 2п, наделенное симплектической формой и> и симплекти-ческой связностью (без кручения) Г. Этот топологически тривиальный случай тем не менее представляет интерес, т.к. мы будем рассматривать нетривиальную связность Г.

Опишем теперь кратко содержание работы. Глава 1 посвящена выводу системы уравнений в частных производных (0.7) для интегрального ядра Kh. Предполагая, что известно регулярное представление квантовой алгебры, из условия ассоциативности выводится система уравнений, а затем выписываются "краевые" условия для что» сис темы так, чтобы единичная функция была единицей в квантовой алгебре (см. (ql)). Выводится условие разрешимости полученных уравнений (уравнение нулевой кривизны). Далее ищется асимптотическое решение системы (0.7) в виде ВКБ Кп ~ е*ф<р. Для фазы Ф и главного слагаемого асимптотического разложения амплитуды tp выписываются соответственно системы уравнений Гамильтона-Якоби и переноса. Приводится решение этих систем в случае, когда размерность исходного пространства X равна 2 методом характеристик. С помощью метода стационарной фазы строится слабая асимптотика полученного квантового произведения.

В главе 2 реализуется первый способ построения фундаментального гамильтониана для случая симметрических пространств. Сначала дается определение симметрических пространств (через семейство отображений симметрии) и приводятся основные геометрические свойства этих пространств (отображение центральной точки, инвари-атная связность и т.д.). Затем доказывается, что фундаментальный гамильтониан может быть построен как гамильтониан, соответствующий отображениям симметрий как каноническим. Показана связь фазы Ф интегрального ядра 1\г' квантового произиеде-ния, построенной в главе 1 с отображениями симметрий. а также ее связь с парным симплектическим группоидом над X.

Далее рассматривается пример квантования плоскости с нестандарной связностью, которая является следующим по сложности примером симплектического симметрического пространства после евклидовой плоскости. Для нее найдены фаза Ф и главная часть асимптотики амплитуды ip интегрального ядра Kh. Более того, доказано, что полученная формула является точной, т.е. поправки порядка 0{h) отсутствуют. Затем приведена схема квантования, основанная на применении квантайзера. Дается определение квантайзера и выводится формула для интегрального ядра Кп квантового произведения через квантайзер. На основе системы уравнений для Kh получается система уравнений для квантайзера. Для плоскости с нестандартной связностью эта система решается, и с помощью найденного квантайзера строится еще одно интегральное ядро квантового произведения, которое отличается от найденного видом амплитуды <р. Для обоих квантовых произвений построены слабые асимптотики по h типа (0.1) до второго порядка включительно. Полученные результаты сравниваются затем с результатами, полученными для этого примера П. Белявским методом точного деформационного квантования [39, 40]. Затем рассматривается пример квантования плоскости Лобачевского модель Пуанкаре) как симметрического пространства. Для нее строится фаза Ф интегрального ядра Kh. Пример плоскости Лобачевского интересен тем. что чта фаза имеет фокальные точки. Эти точки подробно исследуются с геометрической точки зрения.

Глава 3 посвящена квантованию в w-аффинных координатах. Дается определение ш-аффинных координат и указывается их связь с вейлевским квантовым произведением функций. Затем приводится процедура построения и;-афинных координат исходя из уже имеющихся некоторых координат, которая сводится к решению некоторой системы нелинейных ОДУ. Устанавливается связь о>-аффинных координат с внутренней геометрией исходного пространства X: геодезическими и римановой кривизной. Далее приводятся формулы для левого регулярного представления вейлевского квантового произведения в виде псевдодифференциальных оператоов (выписаны первые два слагаемых асимптотического разложения символов этих операторов). Здесь реализуется второй способ построения фундаментального гамильтониана Приводится явная формула для квантайзера, использующая квантование пуассоновой структуры на исходном пространстве X.

Затем ш-аффинные координаты строятся для плоскости Лобачевского. Находится неприводимое представление пуассоновой алгебры. Вычисление; соответствующего квантайзера приводит к сингулярному уравнению Шредингера. Решение этого уравнения строится с помощью обобщенных когерентных состояний.

Далее рассматривается пример квантования в а>-аффинных координатах области на двумерной плоскости, матрица симплектической структуры которой зависит только от одной координаты. Находится неприводимое представление пуассоновой алгебры и строится соответствующий квантайзер. Вычисляется интегральное ядро Кл квантового произведения, отвечающего квантайзеру. Доказывается, что в данном примере фаза Ф интегрального ядра не имеет фокальных точек. Однако фаза может, том не мене»;, иметь особенности, когда имеются особенности у отображений рефлексии (аналоги отображений симметрии для несимметрических пространств).

Затем берется частный пример симметрического пространства в о>-аффинных координатах (симплектическая плоскость с особенностями), в котором имеются особенности фазы Ф интегрального ядра и который, с другой стороны, дает обозримые результаты. Строятся фундаментальный гамильтониан, отображения симметрий и интегральное ядро Kh квантового произведения с помощью уравнения Шредингера. Далее строится неприводимое представление пуассоновой алгебры, вычисляется квантайзер и с его помощью строится еще одно ядро, которое вне особенностей совпадает с найденным ранее. При этом возникает однако ограничение на класс допустимых символов, которое связано с наличием особенностей у интегрального ядра. Сами же особенности также исследуются и строится соответствующяя поверхность особенностей. Исследуется поведение фазы Ф интегрального ядра в окрестности поверхности особенностей и ее связь с геометрией исходного пространства.

Заключение диссертации по теме «Математическая физика», Григорьев, Олег Николаевич

Заключение

Задача квантования симплектических многообразий остается сложной и актуальной проблемой современной математики и математической физики. Метод квантования, предложенный профессором М.В. Карасевым и разработанный в рамках дайной работы, позволяет осуществить процедуру квантования для некоторых важных классов примеров. Этот метод также позволяет установить связь полученных квантовых объектов с внутренней геометрией исходного многообразия.

В диссертации получены следующие результаты, определяющие ее научную новизну и значимость для решения задачи квантования:

1. Для интегрального ядра ассоциативного квантового произведения функций на симплектическом пространстве, диффеоморфном евклидовой плоскости, получена система уравнений в частных производных типа Шредингера. Построено асимптотическое решение данной системы в ВКБ-форме. Для гладких Л-нсзависимых функций асимптотика такого квантового произведения согласуется с теорией деформационного квантования, однако, это квантовое произведение может применяться также к быстро осциллирующим по параметру h функциям.

2. С помощью полученных уравнений построено квантовое произведение для симплектических симметрических пространств и указана связь фазы интегрального ядра квантового произведения с внутренней геометрией рассматриваемых пространств.

3. Получено квантовое произведение для пространств со специальными (ы-аффинны-ми) координатами, отвечающими вейлевскому квантовому произведению. Указан способ построения таких координат и подробно изучены их свойства. Для плоскости Лобачевского (модель Пуанкаре) построена фаза интегрального ядра квантового произведения в а>-аффинных координатах и описаны ее фокальные точки.

4. Для плоскости с нестандартной связностью (как симметрического пространства) построено два квантовых произведения - нециклическое (с помощью отображений симметрии) и циклическое (с помощью квантайзера). При этом полученные формулы являются точными (не асимптотическими).

5. Подробно изучено квантование области двумерной плоскости, симплектическая структура которой зависит только от одной переменной. В частности, показано, какие особенности ядра квантового произведения могут появлятся в данном классе примеров. В частном примере симплектической симметрической плоскости с особенностями двумя различными способами (с помощью уравнения для интегрального ядра и с помощью квантайзера) построено точное квантовое произведение в а>-аффинных координатах. Описано поведение ядра квантового произведения в окрестности поверхности особенностей и показано, как особенности интегрального ядра квантового произведения влияют на допустимый класс квантуемых функций.

Таким образом, метод, разработанный в диссертации позволяет осуществлять квантование симметрических пространств с использованием динамических уравнений,т.е. связывает квантование с внутренней динамикой на исходном пространстве. Однако, остается открытым вопрос о расширении данного метода на произвольное гладкое сим-плектическое (или даже пуассоново) многообразие.

Также представляется актуальной и интересной задача изучения особенностей квантовых произведений, возникающих в более сложных, по сравнению с разобранными в диссертации, классах симплектических пространств.

Другим возможным продолжением данного исследования является установление связи полученных формул для интегрального ядра квантового произведения с теорией точного деформационного квантования (эта задача решена в диссертации для часнтого случая плоскости с нестандартной связностью).

Личное участие автора. Вывод основного уравнения для интегрального ядра квантового произведения, а также постороение специальных координат, отвечающих квантовому произведению Вейля проведены автором совместно с профессором Карасевым М.В. Вклад автора заключается в точном доказательстве всех теоретических результатов работы, а также в детальной разработке примеров применения полученных результатов и методов.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Григорьев, Олег Николаевич, 2005 год

1. В.И. Арнольд, Математические методы классической механики, М.: Наука, 1974.

2. Ф.А. Березин Квантование, Изв. Акад. Наук СССР Сер. Мат. 38 (1974). по. 5; 1109-1165.

3. Ф.А. Березин, М.А. Шубин. Уравнение Шредингера. Изд. Моек. У нив. 1983.

4. B.C. Владимиров, Уравнения математической физики, М.: Наука, 1988.

5. О.Н. Григорьев, М.В. Карасев, Динамическое уравненгье для квантового произведения в аффинных координатах на симплектическом пространстве, Мат. Заметки, 77 (1), 2005, 42 52.

6. Б.А. Дубровин, С.П. Новиков, А.Т. Фоменко, Современная геометрия. Методы и приложения гп.1, Эдиториал УРСС, 2002.

7. В.А. Ильин, Э.Г. Позняк, Аналитическая геометрия, М.: Наука, Физматлит, 1999.

8. М.В. Карасев, Формулы некооммутативного анализа, Изд. МИЭМ, 1976.

9. М.В. Карасев. Вейлевское исчисление. Мат. Заметки. 1985.

10. М.В. Карасев, Квантование нелинейных скобок Л и-Пуассона в кым а ила t ч: a ut с ком приближении, Инст. Теор. Физ., Киев, Препринт N ITP-85-72P, 1985.

11. М.В. Карасев, Аналоги объектов тс ори грапп Ли для нелгтейных скобок Пуассона,. Изв. АН СССР, Сер. Мат. 50 (1986), 6, 508-538.

12. М.В. Карасев, В.П. Маслов, Глобальные асимптотические операторы регулярного представления, ДАН СССР 257 1 (1981), 33 38.

13. М.В. Карасев, В.П. Маслов, Асимптотическое и геометргсческое квантование, Успехи Мат. Наук 39 (1984), по. 6, 115-173.

14. М.В. Карасев, В.П. Маслов, Нелинейные скобки Пуассона. Геометрия и квантовать, Москва, Наука, 1991.

15. А.А. Кириллов, Элементы теории представлений. М.: Наука. 1972.

16. Ш. Кобояси, К. Номидзу, Основы дифференциальной геометрии. М.: Наука. 1974.

17. Г.Л. Литвинов. О двойных топологических алгебрах и алгебрах Хопфа, Тр. сем. по вект. и тенз. анализу., М: Изд-ов МГУ, 1978, т.18, 372-375.

18. О. Лоос, Симметрические пространства, М.: Наука, 1978.

19. В.П. Маслов, Теория возмущений и асимптотические методы. Изд. Моск. Унив-та, 1965.

20. В.П. Маслов, Опреаторные методы, Москва, Наука, 1973.

21. В.П. Маслов, М.В. Федорюк, К в азпклассичсско е приближение для уравнений квантовой механики, М.: Наука, 1976.

22. А.Б. Переломов, Обобщенные когирентные состояния и их применение, М.: Наука, 1974.

23. О.Г. Смолянов, Е.Т. Шавгулидзе, Формулы Фейнмана для решений бесконечномерных уравнений Шредингера с полиномиальными, потенциалами. Докл. РАН (2003). т.390 N3. 321 324.

24. О.Г. Смолянов, А. Трумен, Интегралы Фейнмана по траекториям на римановых многообразиях, Докл. РАН (2003), т.392, N2, 174 179.

25. А.Т. Фоменко, Дополнительные главы дифференциальной геометргш, Эдиториал УРСС, 2002.

26. М.А. Шубин, Псевдодифференциальные операторы и спектральная теория. М.: Наука, 1978.

27. S. Albeverio, A.Yu. Daletskii, Asymptotic quantization for solution manifolds of some infinite-dimensional Hamiltonian systems, J. Geom. Pliys., vol. 19 1996, 31-46.

28. D. Anial, M. Cahen, S. Gutt, Representation of compact Lie groups and quantization by deformation, Acad. Roy. Belg. Bull. Cl. Sci. (5), vol. 74 1988, 123-141.

29. S.T. Ali.Survey of quantization methods. Classical ami quantum systems (Guslar 1991). 29-37. World Scientific. River Edge. N.J. 1993.

30. Alfredo M. Ozorio de Almeida, The Weyl representation in classical and quantum mechanics, Pliys. Reports 295 (1998), 265-342.

31. O. Arratia, M. A. Martin, M. A. del Olino, Moyal quantization and group theory, arXiv: quant-pli/9611055. 1996.

32. O. Arratia. M. A. Martin. M. A. del Olino. Deformation in phase space. arXiv: niatli-ph/9805016, 1998.

33. R. Arens, D. Babbitt, Algebraic difficulties of preserving dynamical relations when forming quantum-mechanical operators, J. Math. Pliys., vol.6, 1965, 1071-1075.

34. I. A. Batalin, I.V. Tyutin, Quantum geometry of symbols and operators, Nucl. Pliys. В 345. 1990. 645 G58.

35. S. Bates, A. Weinstein Lectures on the geometry of quantization. Berkeley Mat hematics Lecture Notes, vol.8, Amer. Math. Soc., Providence, 1997.

36. F. Bayen, M. Flato, C. Fronsdal, A. Lichnerowicz, D. Sternheimer, Deformation theory and quantization, Lett. Math. Pliys., vol. 1 , 1977 , 521-530 , Ann. Pliys., vol. Ill, 1978, 61-110 (part I), 111-151 (part II).

37. М. Berry, Semi-classical mechanics in phase space: a study of Wigner's function, Pliilos. Trans. Roy. Soc. London Ser. A 287 (1977), 237-271.

38. M. Bertelson, M. Cahen, S. Gutt, Equivalence of star products, Class. Quant. Grav. .vol.14 , 1997, A93-A107.

39. P. Bieliavsky, Strict quantization of solvable symmetric .spaces. arXiv: math-qa/0010004.

40. P. Bieliavsky, A. Rieffel, Strict deformation quantization, arXiv: matli-qa/0010004.

41. P. Bieliavsky, M. Cahen, and S. Gutt, Symmetric symplectic manifolds and deformation quantization, in: Modern Group Theor. Methods in Phys. (J. Bertrand et al., eds.), Kluwer Acad., 1995, pp. 63-73.

42. R.J. Blattner, Quantization and representation theory . Harmonic analysis on homogeneous spaces (Williamstown. 1972) . 117 165. Pmc. Symp. Pure Math., vol. XXVI, Amer. Math. Soc., Providence, 1973.

43. R.J. Blattner, Pairing of half-form spaces, Geometric symplectique et physique mathematique (Aix-en-Provence, 1974), 175-186, CNRS, Paris, 1975.

44. R.J. Blattner, The metalinear geometry of non-real polarizations. Differential geometrical methods in mathematical physics (Bonn, 1975) , 11-45. Lecture Notes in Math., vol.570. Springer, Berlin. 1977.

45. R.J. Blattner. Some remarks on quantization. Symplectic geometry and mathematical physics (Aix-en-Provence, 1990), 37-47, Progr. Math., vol.99, Birkhauser, Boston, 1991.

46. R.J. Blattner, J.H. Rawnsley, Quantization of the action ofU(k,l) on J. Funct. Anal., vol.50, 1983, 188-214.

47. R.J. Blattner. J.H. Rawnsley. A cohomoloyical construction of half-forms for non positiv<-polarizations. Bull. Soc. Math. Belg. Ser. B. vol.38. 19SG. 109 130.

48. B.G. Bodmann . Construction of self-adjoint Derezin-Toeplit.z operators on Kdhler manifolds and a probabilistic representation of the associated semigroups ,info preprint, arXiv: inatli-ph/0207026.

49. M. Bordemann, N. Neumaier, S. Waldmann, Homogeneous Fedosovs star-products on cotangent bundles, arXiv: q-alg/9707030.

50. M. Calien, S. Gutt, J. Rawnslcw, Symplectic symmetric spaces with Ricci tyhe curvature, Math. Phys. Studes, vol.22(2), 81 93, 2000.

51. A. Cannas da Silva, A. Weinstein, Geometric models for noncommutative algebras, Berkeley Mathematics Lecture Notes, vol.10, AMS, Providence; Berkeley Center for Pure and Applied Mathematics, Berkeley. 1999.

52. A.S. Cattaneo, G. Felder, A path integral approach to the Kontsevich quantization formula, Comm. Math. Pliys., vol.212, 2000, 591-611, arXiv: matli-qa/9902090.

53. J. Czyz, On geometric quantization and its connections with the Maslov theory, Rep. Math. Pliys., vol.15, 1979, 57-97; On geometric quantization of compact, complex manifolds, Rep. Math. Pliys., vol.19, 1984, 167-178.

54. P. Dazord, G. Patissier. La premiere classe de Chern comme obstruction d la quantification asym.ptot.ique, Symplectic geometry, grupoids. and iutegrnUe systems (Berkeley, CA, 1989), 73-97, Math. Sci. Res. Inst. Publ. vol.2U. Spiingei. New York. 1991.

55. H.D. Doebner, P. St'ovicek and J. Tolar , Quantization of kinematics on configuration manifolds, Rev. Math. Pliys., vol.13, 2001, 1-47, arXiv: math-ph/0104013.

56. H.-D. Doebner, P. Nattermann, Borcl quantization: kinematics and dynamics. Acta Pliys. Polon. B, vol.27, 1996, 2327-2339.

57. P. Deligne, Deformations de I'algebre des fonctions d'une variete symplectiquc: comparaison entre Fedosov et Dewilde, Lecomte, Sel. Math., vol.1 (4), 1995, 667-697.

58. M. Dewilde, P.B.A. Lecomte , Existence of star products and of formal deformations of the Poisson Lie algebra of arbitrary symplectic manifolds, Lett. Math. Pliys., vol.7, 1983, 487-496.

59. P.A.M. Dirac The principles of quantum mechanics. 3rd edition. Oxford. London. 1947.

60. G.G. Emcli, Quantum and classical mechanics on homogeneous rimanien manifolds, J. Math. Pliys., 1982, vol.23, 1785 1791.

61. M. Englis, A no-go theorem for nonlinear canonical quantization, Comm. Theor. Pliys., vol.37. 2002, 287-288.

62. B.V. Fedosov, A simple geometric construction of deformation qu.antiza.tion. .]. Diff. Geo., vol.40, 1994, 213-238.

63. B.V. Fedosov, Deformation quantization and index theory , Mathematical Topics, vol.9, Akademie Verlag, Berlin, 1996.

64. R.P. Feynman, A.R. Hibbs, Quantum, mechanics and path integrals, McGraw-Hill, New York, 1965.

65. M. Flato, D. Sternlieimer , Closedness of star products and cohomologies, Lie theory and geometry, in honor of B. Kostant, Birkhauser, Boston, 1994.

66. G.B. Folland. Harmonic analysis in phase spare. Annals of Mathematics Studies. vol.122, Princeton University Press. Princeton. 10S0.

67. E.S. Fradkin, Towards a quantum field theory in curved phase space, Proceedings of the Second International A.D. Sakharov Conference on Physics (Moscow, 1996), 746-756, World Scientific, River Edge, 1997.

68. E.S. Fradkin. V. Ya. Linetsky. BFV approach to geometric quantization , Nuclear Pliys. B, vol.431, 1994, 569-621; BFV quantization on Hermitian symmetric spaces . Nuclear Pliys. B, vol.444, 1995, 577-601.

69. K. Gaw§dzki , Fourier-like kernels in geometric quantization , Dissertationes Math., vol.128, 1976.

70. K. Gaw^dzki , Geometric quantization and Feynman path integrals for spin,Differential geometric methods in mathematical physics (Proc. Sympos. Univ. Bonn. Bonn. 1975). 67-71, Lecture Notes in Math., vol.570. Springer. Berlin. 1977.

71. J. Gliiinn, A. .Jaffe, Quantum physi.es. A functional integral point oj view. Springer-Verlag, New York-Berlin, 1987.

72. G.A. Goldin , Non-relativistic current algebras as unitary representations of groups, J. Math. Pliys., vol.12, 1971, 462-487.

73. G.A. Goldin, R. Menikoff and D.H. Sharp, Particle statistics from induced, representations of a local current group . J. Math. Pliys. vol.21. 1980. 650-664.

74. C. Grosche, An introduction into the Feynman jrnth integral, arXiv: hcp-th/9302097.

75. M. Gerstenhaber, On deformations of rings and algebras, Ann. Math., vol.79, 1964, 59-103.

76. M.J. Gotay, H.B. Grundling, G.M. Tuynman, Obstruction results in quantization theory, J. Nonlinear Sci., vol.6. 1996. 469-498.

77. J. M. Gracia-Bondia, Generalized, Moyal quantization on homogeneous symplectic spaces. in: Deformation Theory and Quantum Groups (M. Gerstenhaber and J. Stasheff, eds.), Contemp. Math. 134 (1992), 93-114.

78. O.N. Grigoryev, M.V. Karasev, Intrinsic quantum dynamics and int operator representation over a plane with a nonstandard connection, Russ. J. Math. Pliys. 10 (2003), no.4, 422 435.

79. H.J. Groenewolcl, On the principles of elementary quantum, mechanics , Physica, vol.12, 1946, 405-4G0.

80. V. Guillemin, S. Sternberg, Geometric asymptotics, Math. Surveys, vol.14, AMS, Providence, 1977.

81. H. Hess , On a geometric quantization scheme generalizing those of Kostant-Souriau and Czyz, Differential geometric methods in mathematical physics (Clausthal-Zellerfeld, 1978) , 1-35, Lecture Notes in Phys., vol.139, Springer, Berlin-New York, 1981.

82. E. Hawkins. The correspondence between geometric quantitation ami formal, <leformation quantization, arXiv: math/9811049. 1998.

83. L. Hormander, The Weyl calculus of pseudodifferential operators, Comm. Pure Appl. Math., vol.32, 1979, 359-443.

84. L. van Hove, Sur certaines representations unitaires d'un groupe infini de transformations , Mem. Acad. Roy. de Belgique. Classe des Sci., vol.26. 1951. no. G.

85. N.E. Hurt, Geornetric quantization in action. Dordrecht. Reidel. 1983.

86. A.V. Karabegov , Deformation quantization with separation of variables on a Kahlcr manifold, Comm. Math. Phys., vol.180, 1996, 745-755.

87. A.V. Karabegov, M. Schlichenmaier, Identification of Berezin-Toeplitz deformation quantization,J. reine angew. Math., vol. 540, 2001, 49-76, arXiv: math-qa/0006063.

88. M.V. Karasev, Simple quantization formula. Symplectic geometry and mathematical physics (Aix-en-Provence, 1990) , 234-244, Progr. Math., vol.99, Birkhauser, Boston, 1991.

89. M.V. Karasev, Quantum surfaces, special functions and tunneling effect, Lett. Math. Phys., 56 (2001), 229 269.

90. M. V. Karasev, T. Osborn, Symplectic areas, quantization, and dynamics in. elcctromaynetic fields, J. Math. Phys. 43 (2002). no. 2. 750 7SS: arXiv: quant-ph/0002041.

91. M. V. Karasev, T. Osborn, Quantum magnetic algebra and magnetic qurvature, arXiv: quant-pli/0311053, 2003.

92. E.A. Kochetov, V.S. Yarunin, Coherent-state path integral for transition amplitude: a theory and applications, Phys. Scripta, vol.51, 1995, 46-53.

93. M. Kontsevich, Deformation quantization of Poisson ■maniftdds. arXiv: q-alg/9709040. 1997.

94. B. Kostant, Quantization and unitary representations. Lecture Notes in Math., vol.170, Springer, Berlin, 1970.

95. B. Kostant, Sym2)lectic spinors, Symposia Mathematica, vol.14, 139-152, Academic Press, London, 1974.

96. B. Kostant. On the definition of quantization. Geometric syiuplertique et physique mathematique (Aix-en-Provence, 1974), 187-210, Colloq. Internat. CNRS, vol.237. Editions Centre Nat. Recherche Sci., Paris, 1975.

97. N.P. Landsman, Classical and quantum representation theory , Proc. Seminar 19891990 Mathem. Struct, in Field Theory (Amsterdam), 135-163, CWI Syllabi, vol.39, Math. Centrum, Centrum Wisk. Inform. Amsterdam, 1996.

98. N.P. Landsman . Mathematical, topics between classical and i/uanfirm ■mechanics. Springer, New York, 1998.

99. N.P. Landsman, Lie grupoid C"-algebras and Weyl quantization, Comm. Math. Phys., vol.206, 1999, 367-381.

100. N.P. Landsman, Quantization and the tangent grupoid, Operator algebras and mathematical physics (Constanta, 2001), 251-265, Theta. Bucharest, 2003. arXiv: math-ph/0208004.

101. Robert G. Littlejohn, Semiclassical structures of trace formulas, Theor. Phys. Inst., TPI-MINN-90/11-Т, 1990.

102. G.W. Mackey, Induced representations of groups and quantum mechanics,Benjamin, New York, 1968.

103. M.S. Marinov, Path integrals on homogeneous manifolds. Л. Math. Phys. vol.36. 1995. 2458-2469.

104. М. Marinov, An alternative to the Hamilton-Jacobi approach in classical mechanics, J. Pliys. A 12 (1979), no. 1, 31-47.

105. V.P. Maslov, O.Yu. Slivcdov . Geometric <ju.ant.ization in the Foil.: space. Topics in statistical and theoretical physics, 123-157 . AMS Transl. Ser. 2. vol.177. AMS. Providence, 199G.

106. C. Moreno, P. Ortega-Navarro, Deformations of the algebra of functions on Hermitian symmetric spaces resulting from quantization, Ann. Inst. H. Poincare Sect. A (N.S.), vol.38, 1983, 215-241.

107. P. Nattermann , Dynamics in Borel quantization: Nonlinear Schrodinger equations vs. Master Equations , doctoral dissertation, Tecliiiisclie Universitat Clausthal, Clausthal, 1997.

108. R. Nest. B. Tsygan . Algebraic index theory . Comm. Math. Pliys. vol.172. 1995. 223-2G2, Algebraic index theory for families, Adv. Math., vol.113, 1995, 151-205.

109. J. von Neumann ,Mathematical foundations of quantum mechanics, Princeton University Press, Princeton, 1955.

110. H. Omori, Y. Maeda, A. Yoshioka . Weyl manifolds and deformation quantization. Adv. Math., vol.85. 1991. 224-255.

111. G. Patissier, Quantification d'un variete symplectique, Semiiiaire de geonietrie, 19851986. 35-54. Publ. Dep. Math. Nouvelle Ser. B, 86-4, Univ. Claude-Bernard, Lyon, 1986.

112. M. Puta, Hamiltonian mechanical systems and geometric quantization, Mathematics and its Applications, vol.260, Kluwer, Dordrecht, 1993.

113. J.H. Rawnsley. On the pairing of polarizations. Comm. Math. Phys. vol. 58. 1978. 1 8.

114. J.H. Rawnsley, A nommitary pairing of polarizations for the Kepler problem, Trans. Amer. Math. Soc., vol.250, 1979, 167-180.

115. J.H. Rawnsley, P.L. Robinson, The metaplectic representation, Mp° structures and geometric quantization , Mem. Amer. Math. Soc., vol.81, 1989, no. 410, iv+92 pp.

116. N. Reslietikliin, L. Takhtajan, Deformation quantization of Kahlcr manifolds, L.D. Faddeev's seminar 011 mathematical physics, 257-276, Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2, vol. 201, Amer. Math. Soc., Providence 2000, arXiv: matli/9907171.

117. M.A. Rieffel, Deformation quantization and operator algebras, Operator theory: operator algebras and applications (Durham, NH, 1988), 411-423, Proc. Symp. Pure Math., vol.51. 1990.

118. M.A. Rieffel , Quantization and C"-algebras, C'-algebras: 1943 1993 (San Antonio, 1993), 66-97. Contemp. Math., vol.167, AMS, Providence, 1994.

119. M.A. Rieffel , Deformation quantization for actions of Rd , Mem. Amer. Math. Soc., vol.106, 1993.

120. M.A. Rieffel , Questions on quantization, Operator algebras and operator theory (Shanghai 1997). 315-326, Contemp. Math., vol.228. AMS. Providence. 199S.

121. P.L. Robinson, A cohomological pairing of half-forms, Trans. Amer. Math. Soc., vol.301, 1987, 251-261.

122. I.E. Segal. Quantization of nonlinear systems, J. Math. Phys., vol.1, 1960, 468-488.

123. D.J. Siinms, N.M.J. Woodhouse, Lectures on geometric quantization, Lecture Notes in Physics, vol.53. Springer, New York, 1976.

124. J. Sniatycki, On geometric quantization of classical system*. Mathematical foundations of quantum theory (Loyola Univ., New Orleans, 1977), 287-297, Acad. Press, New York, 1978.

125. J. Sniatycki. Geometric quantization and quantum mechanics, Springer-Verlag, Berlin, 1980.

126. J.-M. Souriau,Structure des systemes dynamiqu.es. Dunod. Paris 1969. English translation, Structure of dynamical systems, Progr. Math., vol.149, Birkhauser, Boston, 1997.

127. J.-M. Souriau, Groupes differentiels, Differential geometrical methods in mathematical physics, (Aix-en-Provence/Salamanca, 1979), 91-128, Lecture Notes in Math., vol.836, Springer, Berlin-New York, 1980.

128. J.-M. Souriau, Quantification geometriquc. Physique qiiuntiquc ct geometric. (Paris. 1986), 141-193. Travaux en Corns, vol.32. Hermann. Paris. 19SS.

129. J.-M. Souriau, Des partiexdes aux ondes: quantification geometriquc, Huyghen's principle 1690-1990: theory and applications (The Hague and Scheveningen, 1990), 299-341, Stud. Math. Pliys., vol.3, North-Holland, Amsterdam, 1992.

130. R. Stratonovich, On distributions in representation space, Zh. Exper. Teoret. Fiz. 31 (1956), 1012-1020; English transl. Soviet Phys. JETP 4 (1957). 110. 6. 891 80S.

131. M.E.Taylor, Pseudodijferential operators, Princeton University Press, Princeton, 1981.

132. G.M. Tuynman,Geometric quantization, Proceedings Seminar 1983-1985: Mathematical structures in field theories. Vol. 1. CWI Syllabus, vol.8. Math. Centrum, CWI, Amsterdam, 1985.

133. G.M. Tuynman, Generalized Bergman kernels and geometric quantization, J. Math. Phys., vol.28, 1987, 573-583.

134. G.M. Tuynman, Quantization: towards a comparison between methods , J. Math. Pliys., vol.28, 1987, 2829-2840.

135. G.M. Tuynman. What is pn quantization. ami what is i/t mm tr/r quantization'?. Mathematical Structures in Field Theory (Proc. Seminar 1989 1990). CWI Syllabi, vol.39, Math. Centrum, CWI, Amsterdam, 1-28, 199G.

136. G.M. Tuynman, Prequantization is irreducible, Pub. IRMA, Lille, vol.37, 1995 (XV), 1-13, Indag. atli. (N.S.), vol.9, 1998, G07-G18.

137. G. Tuynman and P. Rios, Weyl quantization from geometric quantization. 2002. arXiv: math-ph/0201044.

138. J. Underbill, Quantization on manifolds with connection, J. Matli. Pliys., 1978, vol.19, 1932 1935.

139. D.A. Vogan, Jr., Noncommutative algebras and unitary representations, The mathematical heritage of Hermann Weyl (Durham, NC, 1987), 35-60, Proc. Symp. Pure Math., vol.48, AMS, Providence, 1988.

140. P.D. Wiegmann. Multivalued. Junctionals ami geometrical approach for quantization oj relativist/ic particles and strings, Nuclear Pliys. B, vol.323. 1989. 311 329.

141. A. Weinstein, Symplectic grupoids, geometric quantization, and irrational rotation algebras, Symplectic geometry, grupoids, and integrable systems (Berkeley, 1989), 281290, Math. Sci. Res. Inst. Publ., vol.20, Springer, New York, 1991.

142. A. Weinstein, Symplectic groupoids and Poisson manifolds. Bull. Amor. Math. Soc. 16 (1987). 101 104.

143. A. Weinstein, Traces and Triangles in Symmetric Symplectic Spaces, Contemp. Math. 179 (1994), 262-270.

144. H. Weyl , The theory of groups and quantum mechanics, Dover, New York, 1931.

145. N. Woodhouse, Geometric quantization. Clarendon Press. Oxford. 1980.fl54l N.M.J. Woodhouse. Geometric quantization. 2nd edition. Oxford Math. Monographs. Clarendon Press, Oxford University Press. New York. 1992.