Вероятностно-статистические методы анализа и обработки сигналов при обращении интегральных преобразований радоновского типа тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.05, доктор физико-математических наук Шестаков, Олег Владимирович

• Шестаков, Олег Владимирович
• доктор физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Шестаков, Олег Владимирович

Оглавление

Обозначения

Введение

1 Предельные теоремы для оценок риска при пороговой обработке вейвлет-коэффициентов

1.1 Вейвлет-разложение функции

1.2 Пороговая обработка вейвлет-коэффициентов и оценка среднеквадратичного риска

1.3 Универсальный порог и метод У^иЭЬппк

1.4 Оценки скорости сходимости в предельных теоремах для оценки риска пороговой обработки в методе УхвиЗЬппк

1.5 Предельные теоремы для оценки риска пороговой обработки в методе ЗигеЭЬппк

1.6 Оценивание дисперсии по независимой выборке

1.7 Обобщенная кросс-валидация

1.8 Асимптотическая нормальность функции обобщенной кросс-валидации при выборе адаптивного порога

2 Предельные теоремы для оценок риска при обращении линейных однородных преобразований

2.1 Подходы к решению обратных статистических задач

2.2 Особенности оценивания среднеквадратичного риска при обращении линейных однородных преобразований

2.3 Асимптотическая нормальность оценки риска при использовании универсального порога

2.4 Асимптотическая нормальность оценки риска в методе SureShrink

2.5 Асимптотическая нормальность оценки риска при выборе порога на основе обобщенной кросс-валидации

2.6 Применение пороговой обработки при обращении преобразования Радона

3 Оценки точности реконструкции функции по конечному числу интегральных

преобразований радоновского типа

3.1 Задача обращения классического преобразования Радона

3.2 Оценки точности реконструкции функции по конечному числу проекций в веерной схеме сканирования

3.3 Оценки точности реконструкции функции при обращении экспоненциального преобразования Радона

3.4 Точность реконструкции функции при обращении преобразования Радона с поглощением

3.5 Оценки точности реконструкции функции при обращении сферического преобразования Радона

3.6 Точность реконструкции функции при наличии информации о значениях интегрального сферического среднего на конечном отрезке

3.7 Оценки точности реконструкции функции, описывающей коэффициент преломления в задачах дифракционной томографии

4 Реконструкция вероятностных характеристик случайных функций по вероятностным характеристикам интегральных преобразований радоновского типа

4.1 Особенности задачи обращения интегральных преобразований радоновского типа

от случайных функций

4.2 Реконструкция вероятностных характеристик случайной функции при обращении преобразования Радона

4.3 Разложение случайной функции по конечному базису

4.4 Реконструкция вероятностных характеристик случайной функции в веерной схеме сканирования

4.5 Случай счетного числа состояний

4.6 Стохастическая эмиссионная томография: однородная поглощающая среда

4.7 Стохастическая эмиссионная томография: неоднородная поглощающая среда

4.8 Реконструкция вероятностных характеристик случайной функции при обращении сферического преобразования Радона

4.9 Реконструкция вероятностных характеристик случайной функции при обращении интегрального сферического среднего

4.10 Стохастическая дифракционная томография

Заключение

Литература

Обозначения

Р(Л) вероятность события Л;

1(Л) индикатор события А;

ЕХ математическое ожидание случайной величины Х\

ОХ дисперсия случайной величины X;

Ф(ж) функция распределения стандартной нормальной случайной величины;

ф(х) плотность стандартной нормальной случайной величины; сходимость по распределению;

р

—> сходимость по вероятности;

2 множество целых чисел;

К множество действительных чисел;

С множество комплексных чисел;

г число, комплексно сопряженное к

(■>•) скалярное произведение;

|| • ||х2 ГЛнорма;

|| • № ¿2-норма;

|| • ||хг(р) Ь2(Р)-норма: Н^Н^р) = (ЕХ2)1^2 для случайной величины Х\

Ь2(Р) множество случайных величин с конечной Ь2(Р)-нормой;

[а] наибольшее целое т такое, что т ^ а;

[а] наименьшее целое т такое, что т > а;

п.в. почти всюду;

V/ градиент функции /;

К* оператор, сопряженный к оператору К\

/(ж) = д(х) функции /(х) и д(х) совпадают всюду за исключением множеств

нулевой лебеговой меры;

Хм ~ Ум последовательности случайных величин Хм и Ум имеют одинаковый предел

в смысле сходимости по распределению при N —> оо;

ам х Ьм Ит = 1;

оо

= I е^х2'1 йх - гамма-функция Эйлера; 1(и>\,

■7-, ОО ОО

/(«!,

ОО оо ^

V / —оо —со

б

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Вероятностно-статистические методы анализа и обработки сигналов при обращении интегральных преобразований радоновского типа»

Введение

Актуальность темы. За последние 40 лет томографические методы реконструкции характеристик поглощающих, излучающих и отражающих объектов и сред получили широкое распространение в самых разнообразных областях, включая медицину, биологию, физику плазмы, газовую динамику, геофизику, астрономию и радиолокацию (см., например, [5], [18], [29], [39], [40], [41], [146], [181] и [196]). Все основные виды томографических экспериментов по свойствам изучаемых объектов можно разделить на два класса: трансмиссионную томографию и эмиссионную томографию. В трансмиссионной томографии внешнее излучение проходит через неизлучающий объект, частично поглощаясь им. В эмиссионной томографии изучаемый объект представляет собой излучающую среду. Современная томография для получения информации использует излучение самой различной физической природы. Это ультразвук, радио- и оптические сигналы, рентгеновские и 7-лучи, явление ядерного магнитного резонанса и т.д. Для каждого вида излучения характерны свои специфические особенности, которые проявляются в постановке томографического эксперимента и в его аппаратурной реализации. Наличие этих особенностей приводит к необходимости использования различных математических моделей для описания томографических экспериментов. Среди этих моделей наиболее распространенными являются классическое преобразования Радона, используемое в трансмиссионной (в частности, рентгеновской) томографии (см. [39]), экспоненциальное преобразование Радона, используемое для описания эмиссионного томографического эксперимента в однородной поглощающей среде (см. [41]), преобразование Радона с поглощением, являющееся обобщением экспоненциального преобразования Радона на случай неоднородной поглощающей среды (см. [175]), сферическое преобразование Радона, используемое в теормоакустических и фотоакустических томографических экспериментах (см. [156] и [206]), интегральное сферическое среднее, используемое в радиолокации (см. [196]), и дифракционное преобразование, используемое в ультразвуковой и оптической томографии (см. [146]).

В реальных экспериментах данные всегда регистрируются с некоторой случайной погрешностью, которая возникает из-за дискретизации исходной информации, несовершенства оборудования, характеристик используемого излучения (например, его полихроматичности), случай-

ного характера процессов, сопровождающих прохождение излучения через вещество анализируемого объекта, случайного характера регистрации прошедшего излучения, наличия фонового излучения и внутренних шумов приемника и т.д. Эти погрешности необходимо учитывать при построении и анализе статистической модели наблюдаемых данных. И поскольку задачи обращения интегральных преобразований радоновского типа при наличии случайного шума относятся к классу некорректно поставленных статистических задач, непосредственное применение формул обращения может привести к очень большим ошибкам. Для решения статистических задач такого рода применяются методы регуляризации (см. [38]) часто в сочетании с сингулярным разложением (см., например, [91] и [92]). Сингулярное разложение представляет собой весьма популярный инструмент. Более того, в работах [144] и [145] показано, что оконное сингулярное разложение при надлежащем выборе окна позволяет строить асимптотически наилучшие в минимаксном смысле оценки. Однако сингулярное разложение обладает некоторыми недостатками, которые налагают ограничения на его использование при анализе и обработке пространственно неоднородных функций (см. [73] и [110]). В последние десятилетия значительно возросла популярность нелинейных методов подавления шума с помощью аппарата вейвлет-анализа. Объясняется это тем, что вейвлет-анализ позволяет гораздо более эффективно исследовать нестационарные сигналы и изображения, чем традиционный Фурье-анализ. В частности, чтобы обойти ограничения, присущие сингулярному разложению, в работе [112] предложен метод так называемого вейвлет-вейглет разложения, а в работе [73] - альтернативный метод вейглет-вейвлет разложения. Указанные методы вейвлет-анализа применяются для обращения линейных однородных преобразований, к которым относится преобразование Абеля, лежащее в основе математической модели томографического анализа объектов, обладающих круговой симметрией (см. [41]). Кроме того, оказывается, что классическое преобразование Радона обладает многими свойствами линейных однородных преобразований, позволяющими применять методы вейвлет-анализа для его обращения.

В сочетании с методами вейвлет-разложений для подавления шума широко применяются нелинейные процедуры пороговой обработки коэффициентов разложения (см., например, [79] и [168]). Их привлекательность заключается, во-первых, в быстроте алгоритмов построения оценок, а во-вторых, в возможности лучшей, чем линейные методы, адаптации к функциям, имеющим на разных участках различную степень регулярности. Практическая ценность последнего свойства заключается в том, что такие методы хорошо приспособлены для работы с

нестационарными сигналами и изображениями. Пороговая обработка коэффициентов вейвлет-разложений применяется не только в томографических приложениях, но и во многих других прикладных и теоретических областях, например, при анализе и обработке радиосигналов, изображений и видеопотоков, анализе сейсмических данных, квантовой механике, компьютерной графике, при построении оценок в задачах непараметрической регрессии, построении оценок плотностей вероятностных распределений и т.д. Помимо подавления шума пороговая обработка также позволяет решать задачу «сжатия», т.е. экономного представления данных, что может играть критическую роль при передаче данных по каналам с ограниченной пропускной способностью. Основной проблемой в процедурах пороговой обработки является стратегия выбора порога (см. [26], [83], [84], [99], [103], [111], [113], [114], [115], [116], [117], [127], [128], [135], [141], [142], [174] и [205]). При обосновании выбора порога главным критерием является величина риска пороговой обработки, т.е. погрешности, к которой приводит использование данного метода. Сам риск вычислить нельзя, так как неизвестны незашумленные данные, однако молено изучить его асимптотические свойства. Кроме того, можно построить оценку риска непосредственно по наблюдаемым данным (см. [114], [118] и [142]). Изучение свойств оценки риска также представляет важную задачу, поскольку эта оценка дает возможность количественно оценить погрешность метода подавления шума, основываясь только на наблюдаемых данных. Однако, если свойства теоретического риска достаточно хорошо изучены, свойствам его оценок до сих пор уделялось мало внимания (см. [22], [114], [143] и [142]). Одной из задач данной диссертации является восполнение этого пробела и изучение свойств оценок риска пороговой обработки при различных стратегиях выбора порога.

Помимо наличия случайных погрешностей при обращении интегральных преобразований радоновского типа следует учитывать еще тот факт, что в реальных томографических экспериментах можно зарегистрировать лишь конечное число проекционных данных. Это обстоятельство усиливает некорректность задачи обращения. В работах [130], [147], [149], [160] и [194] приведены примеры неединственности решения задачи обращения преобразования Радона, приводящие к так называемому парадоксу вычислительной томографии: с одной стороны, теоретически задачу реконструкции изображений по конечному числу проекций решить нельзя, с другой стороны, томографы реконструируют приемлемые для практических целей изображения. В работах [149] и [71] приводится решение этого парадокса, основанное на оценках близости в равномерной метрике между функционалами от изображений, имеющих конечное

число совпадающих или близких проекций. Для классического преобразования Радона проблема реконструкции функции по конечному набору проекций рассматривалась также работах [100], [153] и [164]. В [100] рассматривается сингулярное разложение и исследуется вопрос о влиянии количества проекций на разрешение томографических изображений. В [153] получены оценки точности реконструкции по конечному числу проекций в метрике Золотарева, а в [164] - в метрике Ь2. Также практические аспекты влияния количества проекций на качество реконструируемых изображений исследуются в работах [137], [195] и [203]. В данной диссертации решается задача получения количественных оценок точности реконструкции функции по конечному числу проекционных данных радоновского типа.

Кроме случайности, обусловленной наличием шума, в томографических экспериментах может возникать случайность, связанная с особенностями самого объекта изучения. В таких ситуациях строится вероятностная модель объекта, и основной интерес представляют собой вероятностные характеристики случайной функции, описывающей объект. Проблема восстановления вероятностных характеристик случайной функции по вероятностным характеристикам ее интегральных преобразования радоновского типа возникает в ряде задач микробиологии, газовой динамики и физики плазмы (см. [2], [162], [163], [179] и [201]). При этом основной особенностью является то обстоятельство, что разным проекциям (точнее, реализациям проекций) соответствуют разные реализации случайной функции, т.е. от каждой отдельной реализации случайной функции регистрируется, вообще говоря, только одна проекция. Функция может иметь несколько (даже бесконечное множество) состояний, которые меняются случайным образом во время процесса получения проекций. Это приводит к тому, что восстановление даже одного состояния случайной функции обычными методами обращения невозможно.

На практике такие ситуации могут возникать по нескольким причинам. Во-первых, исследуемый объект может меняться во времени случайным образом, и время, в течение которого регистрируются все проекции, существенно больше, чем время изменения структуры объекта. Такая ситуация может возникнуть в эмиссионной томографии, газовой динамике и физике плазмы, а также при формировании радиолокационных изображений, например, в случаях, когда в процессе получения сигналов радара объекты на местности перемещаются случайным образом. В работах [11], [101], [179], [208] рассматриваются параметрические модели томографических изображений, оцениваемые с помощью метода максимального правдоподобия и его модификаций. Например, в эмиссионной томографии излучение моделируется пуассоновским

процессом (см. [101]) или процессом Эрлаига (см. [11]), а в газовой динамике, электромагнитной томографии или физике плазмы поток моделируется с помощью стохастического уравнения конвекции-диффузии (см. [179]).

Во-вторых, в томографическом эксперименте изучаемый объект может быть настолько чувствительным к просвечивающим его радиационным лучам, что любой метод сбора данных, основанный на просвечивании одного объекта под разными углами, оказывается неприемлемым. Такая ситуация типична для биологии при исследования структуры макромолекул. Для решения этой проблемы было предложено несколько методов (см., например, [163] и [180]), которые основаны на использовании множества однотипных объектов таким образом, что различные проекции получаются при просвечивании различных объектов. Поскольку каждый объект имеет какие-то свои индивидуальные особенности, а проекции выбираются случайным образом, объект должен описываться случайной функцией.

В данной диссертации рассматривается вопрос о возможности восстановления вероятностных характеристик случайной функции при наличии информации о вероятностных характеристиках ее интегральных преобразований радоновского типа без использования какой-либо параметрической модели для описания изображений. Рассмотрены все основные типы интегральных преобразований, используемые в томографических и радиолокационных приложениях. Впервые такая постановка задачи встречается в работах [162] и [163]. Для классического преобразования Радона первые содержательные результаты были получены в работе [34].

Объект исследования. Диссертация посвящена исследованию интегральных преобразований радоновского типа от случайных функций и количественным оценкам точности методов их обращения.

Цель работы: Разработка методов вероятностного анализа характеристик случайных функций при наличии информации о вероятностных характеристиках интегральных преобразований радоновского типа и изучение свойств статистических оценок погрешностей методов подавления шума в проекционных данных.

Задачи диссертационной работы, решаемые для достижения поставленной цели:

1. Доказательство предельных теорем для оценок среднеквадратичного риска пороговой обработки вейвлет-коэффициентов функции, описывающей наблюдаемые данные (сигнал), при различных стратегиях выбора порога и получение оценок скорости сходимости в этих теоремах.

2. Доказательство предельных теорем для оценок среднеквадратичного риска пороговой обработки при обращении линейных однородных преобразований и преобразования Радона и получение оценок скорости сходимости в этих теоремах.

3. Получение количественных оценок точности реконструкции функции по конечному числу проекционных данных радоновского типа при наличии погрешностей.

4. Разработка методов реконструкции вероятностных характеристик случайных функций по вероятностным характеристикам интегральных преобразований радоновского типа.

Методы исследования. В работе используются современные методы теории вероятностей и математической статистики, теория случайных процессов, методы анализа Фурье и вейвлет-анализа, теория аналитических функций, теория интегральных преобразований, методы решения обратных задач, теория интегральной геометрии, методы математического и функционального анализа, а также теория интерполирования функций алгебраическими и тригонометрическими многочленами.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

1. Доказана асимптотическая нормальность оценок среднеквадратичного риска пороговой обработки вейвлет-коэффициентов оценки функции в задаче непараметрической регрессии при различных стратегиях выбора порога.

2. Доказана асимптотическая нормальность оценок среднеквадратичного риска пороговой обработки коэффициентов разложения функции в задаче обращения линейных однородных преобразований и преобразования Радона.

3. Получены оценки скорости сходимости в предельных теоремах для оценок среднеквадратичного риска.

4. Получены количественные оценки точности реконструкции функции по конечному числу проекционных данных радоновского типа при использовании линейного метода регуляризации с функцией окна.

5. Разработаны методы реконструкции вероятностных характеристик случайных функций по вероятностным характеристикам интегральных преобразований радоновского типа.

Теоретическая и практическая значимость. Результаты диссертации носят теоретический характер, однако они могут быть использованы для решения различных практических задач анализа и обработки сигналов и изображений, в частности, вычислительной и стохасти-

ческой томографии и их приложений.

Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на научно-исследовательских семинарах «Современные методы обработки сигналов и изображений» (факультет ВМК МГУ), «Теория риска и смежные вопросы» (факультет ВМК МГУ), «Математическое моделирование волновых процессов» (РосНОУ), большом семинаре кафедры теории вероятностей (механико-математический факультет МГУ), 5-м всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (2004 г.), международных семинарах по проблемам устойчивости стохастических моделей (2003, 2004, 2005, 2007, 2011, 2012 гг.), 2-м международном конгрессе «Ультрасовременные телекоммуникации и системы управления ICUMT-2010» (2010 г.), 2-й школе молодых ученых ИПИ РАН (2011 г.) и научной конференции «Ломоносовские чтения» (ВМК МГУ, 2012 г.).

Работа поддержана грантами РФФИ (11-01-00515-а и 11-01-12026-офи-м), а также министерством образования и науки РФ (государственный контракт № 14.740.11.0996).

Публикации по теме. Основные результаты диссертации получены лично автором и представлены в 34 печатных работах [15]-[17], [35]—[ЗТ], [50]—[54], [56]—[70], [157], [158], [188]-[193]: статьях, тезисах докладов и трудах конференций, причем 23 из них - [15]-[17], [35]—[37], [50], [52]—[54], [56], [58]—[63], [65]~[70] - опубликованы в журналах, входящих в список ВАК «Перечень ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертации на соискание ученой степени доктора и кандидата наук».

Структура и объем работы. Диссертация состоит из оглавления, перечня основных обозначений, введения, четырех глав, разбитых на параграфы, заключения и списка литературы, включающего в себя 208 наименований. Используется тройная нумерация формул: через точку указывается номер главы, номер параграфа и порядковый номер в этом параграфе. Также используется двойная нумерация определений, теорем, лемм, утверждений, следствий и замечаний: через точку указывается номер главы и порядковый номер в этой главе. Основной текст занимает 234 страницы.

В первой главе приводятся основные сведения теории вейвлет-анализа, описывается метод пороговой обработки вейвлет-коэффициентов разложения функции сигнала. Получены оценки скорости сходимости оценки среднеквадратичного риска пороговой обработки к нормальному закону в методе VisuShrink при различных способах оценивания дисперсии шума. Установле-

ны достаточные условия на гладкость функции сигнала для сходимости оценки среднеквадратичного риска пороговой обработки к нормальному закону в методе ЗигеБЬппк и получены оценки скорости этой сходимости при различных способах оценивания дисперсии шума. Эти условия существенно зависят от свойств используемой оценки дисперсии шума. Рассмотрены случаи оценивания дисперсии шума по независимой выборке и по вейвлет-коэффициентам разложения функции сигнала. Рассмотрен метод выбора порога на основе минимизации функции обобщенной кросс-валидации, позволяющий избежать использования оценки дисперсии шума. Установлены достаточные условия для сходимости оценки среднеквадратичного риска к нормальному закону при выборе такого порога и получены оценки скорости этой сходимости.

Во второй главе рассматривается задача обращения линейных однородных преобразований в условиях наличия шума. Описываются основные подходы к решению обратных статистических задач и обосновывается выбор метода вейглет-вейвлет разложения. Доказывается асимптотическая нормальность оценки среднеквадратичного риска при различных стратегиях выбора порога и использовании различных методов оценивания дисперсии шума. Получены оценки скорости сходимости к нормальному закону. Рассматривается задача обращения преобразования Радона в модели с аддитивным шумом. Предлагается метод разложения функции, описывающей проекционные данные, в ортогональный ряд по Фурье-вейвлет базису и доказывается устойчивость базиса, по которому раскладывается функция изображения. Приводятся условия, при которых имеет место асимптотическая нормальность оценки среднеквадратичного риска в предложенном методе.

В третьей главе рассматриваются интегральные методы обращения преобразований ра-доновского типа в условиях неполноты данных и линейные методы регуляризации с помощью функции окна. Исследуются преобразование Радона в веерной схеме сканирования, экспоненциальное преобразование Радона, преобразование Радона с поглощением, сферическое преобразование Радона, интегральное сферическое среднее и дифракционное преобразование. Получены количественные оценки точности реконструкции функции при наличии конечного числа ее проекций радоновского типа.

В четвертой главе исследуется задача реконструкции вероятностных характеристик случайных функций по вероятностным характеристикам проекций радоновского типа. Описываются особенности этой задачи, приводятся примеры отсутствия единственности ее решения. Для всех преобразований радоновского типа, рассмотренных в третьей главе в классе дискретных

случайных функций разрабатываются методы реконструкции вероятностных распределений случайных функций по распределениям проекций. Приводятся количественные оценки устойчивости предложенных методов.

Благодарности. Автор выражает глубокую признательность академику РАН Ю.В. Прохорову и профессорам В.Г. Ушакову и В.Ю. Королеву за разностороннюю помощь, оказанную во время исследований и работы над диссертацией.

Заключение диссертации по теме «Теория вероятностей и математическая статистика», Шестаков, Олег Владимирович

Основные результаты, выносимые на защиту, заключаются в следующем:

• Доказана асимптотическая нормальность оценок среднеквадратичного риска при удалении шума с помощью пороговой обработки вейвлет-коэффициентов функции сигнала при различных стратегиях выбора порога.

• Доказана асимптотическая нормальность оценок среднеквадратичного риска при удалении шума с помощью пороговой обработки коэффициентов разложения функции в задачах обращения линейных однородных преобразований и преобразования Радона.

• Получены оценки скорости сходимости в предельных теоремах для оценок среднеквадратичного риска.

• Получены количественные оценки точности реконструкции функции по конечному числу проекционных данных радоновского типа.

• Разработаны методы реконструкции вероятностных характеристик случайных функций по вероятностным характеристикам проекционных данных радоновского типа.

Заключение

В диссертации разработаны методы вероятностного анализа характеристик случайных функций при наличии информации о вероятностных характеристиках проекционных данных радо новского типа, изучены асимптотические свойства статистических оценок погрешностей методов подавления шума в проекционных данных и получены количественные оценки точности методов обращения интегральных преобразований радоновского типа.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Шестаков, Олег Владимирович, 2012 год

Литература

[1] Александров А.Ф., Днцман С.А., Лукьянов Ф.А., Орликовский H.A., Pay Э.И., Сенов P.A. Электронно-зондовая неразрушающая бесконтактная диагностика приборных структур микроэлектроники // Микроэлектроника, 2010. Т. 39. Xа 5. С. 327-336.

[2] Аристов В.В., Ушаков Н.Г., Ушакова А. П. Стохастическая томография // Доклады РАН, 1998. Т. 359. № 4. С. 464-466.

[3] Астафьева Н.М. Вейвлет-анализ: основы теории и примеры применения // УФН, 1996. Т. 166. № 11. С. 1145-1170.

[4] Воскобойников Ю.Е., Гочаков A.B., Колкер A.B. Фильтрации сигналов и изображений: фурье и вейвлет алгоритмы (с примерами в Mathcad). - Новосибирск: НГАСУ (Сибстрин), 2010.

[5] Бейтс Р.Х.Т., Гарден К.Г., Питере Т.М., Реконструктивная вычислительная томография: Современные достижения и перспективы развития // ТИИЭР, 1983. Т. 71. С. 84-104.

[6] Гончаров В,Л. Теория интерполирования и приближения функций. - М.-Л.: ГТТИ, 1934.

[7] Добеши И. Десять лекций по вейвлетам. - Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001.

[8] Дремин И.М., Иванов О.В., Нечитайло В.А. Вейвлеты и их использование // УФН, 2002. Т. 171. № 5. С. 465-500.

[9] Захарова Т.В., Шестаков О.В. Вейвлет-анализ и его приложения. Учебное пособие. -М.: МАКС Пресс, 2009.

[10] Каннинг Р., Росси. X. Аналитические функции многих комплексных переменных. -М.: Мир, 1969.

[11] Каримов М.Г. Радоиовская томография нелинейной и стохастической сред с использованием преобразования Хартли. Дисс. докт. физ.-матем. наук. - Махачкала: ДГУ, 2000.

[12] Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы. - М.: Мир, 1971.

[13] Колмогоров А.Н., Тихомиров В.М. е-энтропия и е-емкость множеств в функциональных пространствах // УМН, 1959. Т. 14. № 2(86). С. 3-86.

[14] Крамер Г. Математические методы статистики. - М: Мир, 1975.

[15] Кудрявцев A.A., Шестаков О.В. Асимптотика оценки риска при вейглет-вейвлет разложении наблюдаемого сигнала // T-Comm — Телекоммуникации и Транспорт, 2011. № 2. С. 54-57.

[16] Кудрявцев A.A., Шестаков О.В. Асимптотическое распределение оценки риска пороговой обработки вейглет-коэффициентов сигнала при неизвестном уровне шума // T-Comm — Телекоммуникации и Транспорт, 2011. № 5. С. 24-30.

[17] Кудрявцев A.A., Шестаков О.В. Реконструкция томографических изображений с помощью пороговой обработки коэффициентов разложения проекционных данных по ортогональному базису // T-Comm — Телекоммуникации и Транспорт, 2012. № 3. С. 63-68.

[18] Левин Г.Г., Вишняков Г.Н. Оптичекая томография. - М.: Радио и связь, 1989.

[19] Лидбеттер М., Линдгрен Г., Ротсен X. Экстремумы случайных последовательностей и процессов. - М.: Мир, 1989.

[20] Луис А,К., Наттерер Ф. Математические проблемы реконструктивной вычислительной томографии // ТИИЭР, 1983. Т. 71. С. 111-125.

[21] Луитт P.M. Алгоритмы реконструкции с использованием интегральных преобразований // ТИИЭР, 1983. Т. 71. С. 125-147.

[22] Маркин A.B. Предельное распределение оценки риска при пороговой обработке вейвлет-коэффициентов // Информатика и ее применения, 2009. Т. 3. № 4. С. 57-63.

[23] Маркин A.B. Статистические свойства оценок сигналов и изображений при пороговой вейвлет-обработке в моделях с аддитивным шумом. Дисс. канд. физ.-матем. наук. -М.: МГУ имени М.В. Ломоносова, 2010.

[24] Маркин A.B., Шестаков O.B. Асимптотики оценки риска при пороговой обработке вейвлет-вейглет коэффициентов в задаче томографии // Информатика и ее применения, 2010. Т. 4. № 2. С. 36-45.

[25] Маркин A.B., Шестаков О.В. О состоятельности оценки риска при пороговой обработке вейвлет-коэффициентов // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн., 2010. № 1. С. 26-34.

[26] Марусина М.Я., Анодина-Андриевская Е.М. Вейвлетный анализ в обработке томографических изображений // Научное приборостроение, 2011. Т. 21. № 1. С. 71-75.

[27] Натансон И.П. Конструктивная теория функций. - M.-JL: ГИТТЛ, 1949.

[28] Петров В.В. Предельные теоремы для сумм независимых случайных величин. - М: Наука, 1987.

[29] Пикалов В.В. Преображенский Н.Г. Реконструктивная томография в газодинамике и физике плазмы. - Новосибирск: Наука, 1987.

[30] Привалов A.A. Теория интерполирования функций. - Саратов: Изд-во Саратов, ун-та, 1990.

[31] Привалов И.И. Граничные свойства аналитических функций. - М.: ГИТТЛ, 1950.

[32] Сунклодас И. Аппроксимация распределений сумм слабо зависимых случайных величин нормальным распределением // Итоги науки и техн. Сер. Соврем, пробл. мат. Фундам. направления, 1991. Т. 81. С. 140-199.

[33] Ульянов В.В., Кристоф Г., Фуджикоши Я. О приближениях преобразований хи-квадрат распределений в статистических приложениях // Сиб. матем. жури., 2006. Т. 47. № 6. С. 1401-1413.

[34] Ушаков В.Г., Ушаков Н.Г. Восстановление вероятностных характеристик многомерных случайных функций по проекциям // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн., 2001. № 4. С. 32-39.

[35] Ушаков В.Г., Шестаков О.В. Экспоненциальное преобразование Радона случайных функций // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн., 2005. № 1. С. 49-55.

[36] Ушаков В.Г., Шестаков О.В. Восстановление вероятностных характеристик случайных функций в задачах однофотонной эмиссионной томографии // Информатика и ее применения, 2009. Т. 3. № 1. С. 20-24.

[37] Ушаков В.Г., Шестаков О.В. Реконструкция распределений случайных функций в задачах однофотонной эмиссионной томографии при помощи аппроксимации экспоненциального множителя тригонометрическими многочленами // Информатика и ее применения, 2011. Т. 5. № 3. С. 17-21.

[38] Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. - М.: Наука, 1974.

[39] Тихонов А.Н., Арсенин В.Я., Тимонов A.A. Математические задачи компьютерной томографии. - М.: Наука, 1987.

[40] Троицкий И.Н. Статистическая теория томографии. - М.: Радио и связь, 1989.

[41] Федоров Г.А. Терещенко С.А. Вычислительная эмиссионная томография. - М.: Энерго-атомиздат, 1990.

[42] Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. - М.: Мир, 1984.

[43] Фильчаков П.Ф. Справочник по высшей математике. - Киев: Наукова Думка, 1974.

[44] Хелгасон С. Преобразование Радона. - М.: Мир, 1983.

[45] Хьюбер П. Робастность в статистике. - М.: Мир, 1984.

[46] Чуй Ч. Введение в вейвлеты. - М.: Мир, 2001.

[47] Шестаков О.В. Влияние погрешностей в проекционных данных на алгоритм восстановления распределения случайной функции из распределений ее проекций // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн., 2002. № 2. С. 35-40.

[48] Шестаков О.В. Томографические методы анализа стохастических полей. Дисс. канд. физ,-матем. наук. - М.: МГУ имени М.В. Ломоносова, 2002.

[49] Шестаков О.В. О единственности восстановления вероятностных характеристик многомерных случайных функций по вероятностным характеристикам их проекций // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн., 2003. № 3. С. 37-41.

[50] Шестаков О.В. Алгебраические методы восстановления вероятностных характеристик многомерных случайных функций // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и ки-берн., 2004. № 3. С. 32-36.

[51] Шестаков О.В. Алгебраические методы восстановления вероятностных характеристик многомерных случайных функций // Обозрение прикладной и промышленной математики, 2004. № 2. С. 428.

[52] Шестаков О,В. Оценка точности восстановления функции по ее экспоненциальному преобразованию Радона при использовании конечного числа проекций // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн., 2006. № 4. С. 22-25.

[53] Шестаков О.В. Об устойчивости метода восстановления распределений многомерных случайных функций по распределениям проекций // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн., 2007. № 3. С. 25-30.

[54] Шестаков О.В. Точность реконструкции томографических изображений при использовании веерной схемы сканирования // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн.,

2008. № 3. С. 20-23.

[55] Шестаков О.В. Вероятностные модели в томографии. Учебное пособие. - М.: МАКС Пресс, 2008.

[56] Шестаков О.В. Об устойчивости реконструкции изображений в задачах эмиссионной томографии // Информатика и ее применения, 2009. Т. 3. № 3. С. 47-51.

[57] Шестаков О.В. О проблеме восстановления коэффициента преломления в задачах дифракционной томографии // Сборник статей молодых ученых факультета ВМК МГУ,

2009. № 6. С. 158-162.

[58] Шестаков О.В. Реконструкция распределений случайных функций в задачах стохастической дифракционной томографии // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем, и киберн., 2009. № 3. С. 36-39.

[59] Шестаков О.В. Аппроксимация распределения оценки риска пороговой обработки вейвлет-коэффициентов нормальным распределением при использовании выборочной дисперсии // Информатика и ее применения, 2010. Т. 4. № 4. С. 73-81.

[60] Шестаков О.В. Восстановление вероятностных распределений стохастических радиолокационных изображений // Вести. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн., 2010. № 3. С. 23-29.

[61] Шестаков О.В. О скорости сходимости распределения выборочного абсолютного медианного отклонения к нормальному закону // Информатика и ее применения, 2011. Т. 5. № 3. С. 74-80.

[62] Шестаков О.В. Оценки погрешности при реконструкции радиолокационных изображений // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн., 2011. № 2. С. 8-13.

[63] Шестаков О.В. О единственности восстановления вероятностных характеристик стохастических изображений, формируемых радаром с синтезированной апертурой // Т-Сотт -Телекоммуникации и транспорт, 2011. № 4. С. 32-34.

[64] Шестаков О.В. Минимизация функции обобщенной кросс-валидации для выбора порога при мягкой пороговой обработке коэффициентов вейвлет-разложения сигнала // Вторая школа молодых ученых ИПИ РАН. Сборник докладов. - М.: ИПИ РАН, 2011. С. 31-36.

[65] Шестаков О.В. Асимптотическая нормальность оценки риска пороговой обработки вейвлет-коэффициентов при выборе адаптивного порога // Доклады РАН, 2012. Т. 445. № 5. С. 513-515.

[66] Шестаков О.В. О точности приближения распределения оценки риска пороговой обработки вейвлет-коэффициентов сигнала нормальным законом при неизвестном уровне шума // Системы и средства информатики, 2012. Т. 22. № 1. С. 142-152.

[67] Шестаков О.В. О скорости сходимости оценки риска пороговой обработки вейвлет-коэффициентов к нормальному закону при использовании робастных оценок дисперсии // Информатика и ее применения, 2012. Т. 6. № 2. С. 122-128.

[68] Шестаков О.В. Регуляризация метода реконструкции функции по ее сферическому преобразованию Радона // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн., 2012. № 1. С. 23-27.

[69] Шестаков О.В. Зависимость предельного распределения оценки риска пороговой обработки вейвлет-коэффициентов сигнала от вида оценки дисперсии шума при выборе адаптивного порога // T-Comm - Телекоммуникации и Транспорт, 2012. № 1 С. 46-51.

[70] Шестаков О.В. О свойствах оценки среднеквадратичного риска при регуляризации обращения линейного однородного оператора с помощью адаптивной пороговой обработки коэффициентов вейглет-вейвлет разложения // Вестн. Тверск. ун-та. Сер. Прикладная математика, 2012. № 8. С. 117-130.

[71] Шестаков О.В., Савенков Т.Ю. Оценка расстояния между плотностями вероятностных мер, имеющих близкие проекции // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн., 2001. № 4. С. 44-46.

[72] Abramovich F., Bailey Т.С., Sapatinas Т. Wavelet analysis and its statistical applications // The Statistician, 2000. Vol. 49. P. 1-29.

[73] Abramovich F., Silverman B.W. Wavelet Decomposition Approaches to Statistical Inverse Problems // Biometrika, 1998. Vol. 85. No. 1. P. 115-129.

[74] Agranovsky M.L., Quinto E.T. Injectivity sets for the Radon transform over circles and complete systems of radial functions // J. Funct. Anal., 1996. Vol. 139. P. 383-413.

[75] Alexander K. Pobability inequalities for empirical processes and a law of the iterated logarithm // Ann. Pobab., 1984. Vol. 12. No. 4. P. 1041-1067.

[76] Alsaidi M. Altaher, Mohd T. Ismail, A Comparison of Some Thresholding Selection Methods for Wavelet Regression // World Academy of Science, Engineering and Technology, 2010. No. 62. P. 119-125.

[77] Ambartsoumian G., Kuchment P. On the injectivity of the circular Radon transform arising in thermoacoustic tomography // Inverse Problems, 2005. Vol. 21. P. 473-485.

[78] Andersson L.-E. On the determination of a function from spherical averages // SIAM J. Math. Anal., 1988. Vol. 19. No. 1. P. 214-232.

[79] Antoniadis A., Bigot J., Sapatinas T. Wavelet estimators in nonparametric regression: A comparative simulation study //J. Stat. Softw., 2001. Vol. 6. No. 6. P. 1-83.

[80] Antoniadis A., Fan J. Regularization of Wavelet Approximations //J. Amer. Statist. Assoc., 2001. Vol. 96. No. 455. P. 939-967.

[81] Antoniadis A., Fryzlewicz P. Parametric modelling of thresholds across scales in wavelet regression // Biometrika, 2006. Vol. 93. No. 2. P. 465-471.

[82] Arbuzov E.V., Bukhgeim A.L., Kazantsev S.G. Two-dimensional tomography problems and the theory of A-analytic functions // Siberian Adv. Math., 1998. Vol. 8. P. 1-20.

[83] Averkamp R., Houdre C. Wavelet thresholding for non-necessarily Gaussian noise // Ann. Statist., 2003. Vol. 31. No. 1. P. 110-151.

[84] Ayat S. A New Method for Threshold Selection in Speech Enhancement by Wavelet Thresholding // Proceedings of International Conference on Computer Communication and Management, 2011. Vol. 5. P. 451-455.

[85] Bahadur R.R. A note on quantiles in large samples // Ann. Statist. 1966. Vol. 37. No. 3. P. 577-580.

[86] Belisle C., Masse J.C., Ransford T. When is a probability measure determined by infinitely many projections? // Ann. Prob., 1997. Vol. 25. P. 767-786.

[87] Basu S., Bresler Y. Uniqueness of tomography with unknown view angles // IEEE Trans. Image Processing, 2000. Vol. 9. No. 6. P. 1094-1106.

[88] Basu S., Bresler Y. Feasibility of tomography with unknown view angles // IEEE Trans. Image Processing, 2000. Vol. 9. No. 6. P. 1107-1122.

[89] Bennett G. Probability inequalities for sums of independent random variables // J. Amer. Statist. Assoc., 1962. Vol. 57. P. 33-45.

[90] Berman S.M. Sojournes and Extremes of Stochastic Processes. Wadsworth, Reading, MA, 1989.

[91] Bertero M. Linear Inverse and Ill-Posed Problems. Advances in Electronics and Electron Physics. - NY: Academic Press, 1989.

[92] Bertero M., De Mol C., Pike E.R. Linear Inverse Problems with Discrete Dada I: General Formulation and Singular System Analysis // Inverse Problems., 1985. No. 1. P. 935-957.

[93] Boggess A., Narkowich F. A First Course in Wavelets with Fourier Analysis. - Upper Saddle River: Prentice Hall, 2001.

[94] Boisset N., Penczek P., Taveau J.-C., Lamy J., Frank J., Lamy J. Three-dimensional reconstruction of Androctonus australis hemocyanin labeled with a monoclonal Fab fragment // J. Struct. Biol., 1995. Vol. 115. No. 1. P. 16-29.

[95] Boisset N., Taveau J.-C., Lamy J., Wagenknecht T,, Radermacher M., Frank J. Three-dimensional reconstruction of native Androctonus australis hemocyanin //J. Mol. Biol., 1990. Vol. 216. P. 743-760.

[96] Boman J., Stromberg J-O. Novikov's Inversion Formula for the Attenuated Radon Transform - A New Approach // J. Geom. Anal., 2004. Vol. 14. P. 185-198.

[97] Breiman L., Peters S. Comparing automatic smoothers (a public service enterprise) // Int. Statist. Rev., 1992. Vol. 60. P. 271-290.

[98] Breiman L., Friedman J.H., Olshen R.A., Stone C.J. Classification and Regression Trees. -Monterey: Wadsworth, Inc., 1984.

[99] Cai T., Brown L.D. Wavelet shrinkage for nonequispaced samples // Ann. Statist., 1998. Vol. 26. No. 5. P. 1783-1799.

[100] Caponnetto A., Bertero M. Tomography with a finite set of projections: singular value decomposition and resolution // Inverse Problems, 1997. Vol. 13. P. 1191-1205.

[101] Champley K. Algorithms for High-Resolution Positron Emission Tomography. PhD Thesis, Electrical Engineering. - University of Washington, 2010.

[102] Chang S.G., Yu B., Vetterli M. Adaptive Wavelet Thresholding for image Denoising and Compression // IEEE Trans. Image Processing, 2000. Vol. 9. No. 9. P. 1532-1546.

[103] Chinna Rao B., Madhavi Latha M. Reconfigurable Wavelet Thresholding for Image Denoising while Keeping Edge Detection // IJCSNS International Journal of Computer Science and Network Security, 2011. Vol. 11. No. 3. P. 222-226.

[104] Cohen A., Daubechies I., Vial P. Wavelets on the Interval and Fast Wavelet Transforms // Appl. Comput. Harmon. Anal., 1993. Vol. 1. No. 1. P. 54-81.

[105] Cormack A.M. Representation of a Function by Its Line Integrals, with Some Radiological Applications // J. Appl. Phys., 1963. Vol. 34. No. 9. P. 2722-2727.

[106] Cormack A.M. Representation of a Function by Its Line Integrals, with Some Radiological Applications II // J. Appl. Phys., 1964. Vol. 35. No. 10. P. 2908-2912.

[107] Danzak M., Wolter K.-J., Rieske R., Roth H. Application of Computer Tomography in Electronic Technology // Proc. ISSE, 2003. P. 108-111.

[108] DasGupta A. Asymptotic values and expansions for the correlation between different measures of spread // Journal of statistical planning and inference, 2006. Vol. 136. No. 7. P. 2197-2212.

[109] Devaney A.J. The limited-view problem in diffraction tomography // Inverse Problems, 1989. Vol. 5. P. 501-521.

[110] Donoho D. Interpolating wavelet transform, 1992. Technical Report 408. Dept. of Statistics, Stanford Univ.

[111] Donoho D. Denoising by soft-thresholding // IEEE transactions on information theory, 1995. Vol. 41. No. 3. P. 613-627.

[112] Donoho D. Nonlinear solution of linear inverse problems by wavelet-vaguelette decomposition // Applied and Computational Harmonic Analysis, 1995. Vol. 2. P. 101-126.

[113] Donoho D., Johnstone I.M. Ideal Spatial Adaptation via Wavelet Shrinkage // Biometrika., 1994. Vol. 81. No. 3. P. 425-455.

[114] Donoho D., Johnstone I.M. Adapting to Unknown Smoothness via Wavelet Shrinkage //J. Amer. Stat. Assoc., 1995. Vol. 90. P. 1200-1224.

[115] Donoho D., Johnstone I.M. Neo-classical minimax problems, thresholding and adaptive function estimation // Bernoulli, 1996. Vol. 2. No. 1. P. 39-62.

[116] Donoho D., Johnstone I.M. Minimax estimation via wavelet shrinkage // Ann. Statist., 1998. Vol. 26. No. 3. P. 879-921.

[117] Donoho D., Johnstone I.M., Kerkyacharian G., Picard, D. Wavelet Shrinkage: Asymptopia? // J. R. Statist. Soc. Ser. B., 1995. Vol. 57. No. 2. P. 301-369.

[118] Eldar Y.C. Generalized SURE for exponential families: Applications to regularization // IEEE Transactions on Signal Processing, 2009. Vol. 57. No. 2. P. 471-481.

[119] Eubank R.L. Nonparametric Regression and Spline Smoothing. 2nd Edition. - NY: Marcel Dekker, 1999.

[120] Falk M. Asymptotic independence of median and MAD // Statistics and Probability Letters, 1997. Vol. 34. P. 341-345.

[121] Finch D., Haltmeier M. Inversion of spherical means and the wave equation in even dimensions // SIAM. J. Appl. Math. 2007. Vol. 68. No. 2. P. 392-412.

[122] Finch D., Patch S., Rakesh. Determining a function from its mean values over a family of spheres // SIAM J. Math. Anal., 2004. Vol. 35. No. 5. P. 1213-1240.

[123] Frank J. Classification of macromolecular assemblies studied as 'single particles' // Q. Rev. Biophys., 1990. Vol. 23. P. 281-329.

[124] Frank J., Liu W., Boisset N. Classification and 3D variance estimation: complementary tools in the 3D reconstruction of macromolecules // Proc. 10th European Congress on Electron Microscopy. 1992. Spain. P. 427-429.

[125] Frank J., Verschoor A., Boublik M. Computer averaging of 40S ribosomal subunits // Science, 1981. Vol. 214. P. 1353-1355.

[126] Friedman J.H. Multivariate Adaptive Regression Splines // Ann. Statist., 1991. Vol. 19. No. 1. P. 1-67.

[127] Gao H.-Y. Wavelet Shrinkage Denoising Using the Non-Negative Garrote //J. Comput. Graph. Statist., 1998. Vol. 7. No. 4. P. 469-488.

[128] Gao H.-Y., Bruce A.G, Waveshrink with firm shrinkage // Statist. Sinica, 1997. Vol. 7. No. 4. P. 855-874.

[129] Green P.J., Silverman, B.W. Nonparametric regression and generalised linear models. -London: Chapman & Hall, 1994.

[130] Gutman S., Kemperman J.H.B., Reeds J.A, Shepp L.A. Existence of probability measures with given marginals // Ann. Prob., 1991. Vol. 19. No. 4. P. 1781-1797.

[131] Hall P., Welsh A. H. Limits theorems for median deviation // Annals of the Institute of Statistical Mathematics. 1985. Vol. 37. No. 1. P. 27-36.

[132] Hamaker C., Smith K.T., Solmon D.C., Wagner S.L. The divergent beam X-ray transform // Rocky Mountain J. Math., 1980. Vol. 10. No. 1. P. 253-283.

[133] Hardle W. Applied Nonparametric Regression. - Cambridge: Cambridge University Press, 1990.

[134] Harman G.G. Nondestructive Tests used to ensure the integrity of semiconductor devices, with emphasis on acoustic emission techniques. NBS Spec. Publ. 400-59. - Washington: U.S. Government Printing Office, 1979.

[135] Hedaoo P. Godbole S. Wavelet thresholding approach for image denoising // International Journal of Network Security k Its Applications, 2011. Vol. 3. No. 4. P, 16-21.

[136] Hellsten H. Inverse scattering analysis of diffraction limited SAR // IEEE. Trans. Ant. Prop., 1990. Vol. 38. No. 10. P. 1517-1522.

[137] Herman G.T., Davidi R. On Image Reconstruction from a Small Number of Projections // Inverse Problems, Vol. 24. No. 4. P. 45011-45028.

[138] Jaffard S. Pointwise smoothness, two-microlocalization and wavelet coeffcients // Publicacions Matematiques, 1991. Vol. 35. P. 155-168.

[139] Jansen M. Noise Reduction by Wavelet Thresholding. - Springer Verlag, Lecture notes in Statistics. Vol. 161. 2001.

[140] Jansen M. Minimum risk methods in the estimation of unknown sparsity // Technical report, 2010. U.L.B.

[141] Jansen M., Bultheel A. Asymptotic behavior of the minimum mean squared error threshold for noisy wavelet coefficients of piecewise smooth signals // TW Report 294, 1999. Department of Computer Science, Katholieke Universiteit Leuven, Belgium.

[142] Jansen M., Malfait M., Bultheel A. Generalized Cross Validation for wavelet thresholding // Signal Processing, 1997. Vol. 56. No. 1. P. 33-44.

[143] Johnstone I.M. Wavelet shrinkage for correlated data and inverse problems adaptivity results // Statist. Sinica, 1999. Vol. 9. P. 51-83.

[144] Johnstone I.M., Silverman B.W. Speed of estimation in positron emission tomography and related inverse problems // Ann. Statist., 1990. Vol. 18. P. 251-280.

[145] Johnstone I.M., Silverman B.W. Discretization effects in statistical inverse problems //J. Complexity, 1991. No. 7. P. 1-34.

[146] Kak A.C., Slaney M. Principles of Computerized Tomographic Imaging. - NY: IEEE Press, 1988.

[147] Katz M.B. Questions of uniqueness and resolution in reconstruction from projections // Lect. Notes Biomath., 1978. Vol. 26. Berlin-Heidelberg-New York: Springer Verlag.

[148] Keinert F. Inversion of £>plane transforms and applications in computer tomography // SIAM Review, 1989. Vol. 31. P. 273-298.

[149] Khalfin L.A., Klebanov L.B. A solution of the computer tomography paradox and estimating the distances between the densities of measures with the same marginals // Ann. Prob., 1994. Vol. 22. P. 2235-2241.

[150] Kiefer J. On Bahadur's Representation of Sample Quantiles // Ann. Math. Statist., 1967. Vol. 38. No. 5, P. 1323-1342.

[151] Klebanov L.B., Kozubowski T.J., Rachev S.T. Ill-Posed Problems in Probability. - NY: Nova Science Publishers, Inc. 2006.

[152] Klebanov L.B., Rachev S.T. On a special case of the basic problem in diffraction tomography // Stochastic Models, 1996. Vol. 12, No. 2. P. 181-197.

[153] Klebanov L.B., Rachev S.T. Computer Tomography and Quantum Mechanics // Adv. Appl. Prob., 1997. Vol. 29. P. 595-606.

[154] Kolaczyk E.D. Wavelet Methods for the Inversion of Certain Homogeneous Linear Operators in the Presence of Noisy Data. PhD Thesis. - Stanford University, 1994.

[155] Kolaczyk E.D. A wavelet shrinkage approach to tomographic image reconstruction //J. Am. Statist. Assoc., 1996. Vol. 91. P. 1079-1090.

[156] Kruger R.A., Miller K.D., Reynolds H.E., Kiser W.L., Reinecke D.R., Kruger G.A. Breast cancer in vivo: contrast enhancement with thermoacoustic ct at 434 mhz-feasibility study // Radiology, 2000. Vol. 216. P. 279-283.

[157] Kudryavtsev A. Shestakov 0. Central limit theorem for risk estimate of vaguelette-wavelet signal decomposition // Transactions of XXIX International Seminar on Stability Problems for Stochastic Models. 2011. P. 33-34.

[158] Kudryavtsev A. Shestakov O. Reconstruction of tomographic images using Fourier-wavelet decomposition // Transactions of XXX International Seminar on Stability Problems for Stochastic Models. 2012. P. 51-53.

[159] Kunyansky L. Explicit inversion formulas for the spherical mean Radon transform // Inverse Problems, 2007. Vol. 23. P. 373-383.

[160] Leahy J.V., Smith K.T., Solomon D.C. Uniqueness, non-uniqueness and inversion in the x-ray and Radon problems // Preceedings of the international symposium on ill-posed problems. Newark, 1979.

[161] Lee N. Wavelet-vaguelette decompositions and homogenous equations: PhD dissertation. Purdue University, 1997.

[162] Liu W., Frank J. Estimation of variance distribution in three-dimensional reconstruction. I. Theory // J. Opt. Soc. Am. A, 1995. Vol. 12. P. 2615-2627.

[163] Liu W., Boisset N., Frank J. Estimation of variance distribution in three-dimensional reconstruction. II. Applications // J. Opt. Soc. Am. A, 1995. Vol. 12. P. 2628-2635.

[164] Logan B.F. The uncertainty principle in reconstructing functions from projections // Duke Math. J., 1975. Vol. 42. No. 4. P. 661-706.

[165] Louis A.K., Quinto E.T. Local tomographic methods in Sonar // Surveys on solution methods for inverse problems, Springer-Verlag, Vienna, 2000. P. 147-154.

[166] Luisier F., Blu T., Unser M. A new SURE approach to Image Denoising - Inter-scale Ortonormal Wavelet Thresholding // IEEE Transactions on Image Processing, 2007. Vol. 38. No. 5. P. 13231342.

[167] Mallat S. Multiresolution approximations and wavelet orthonormal bases of L2(R) // Transactions of Amer. Math. Soc., 1989. Vol. 315. No. 1. P. 69-87.

168] Mallat S. A Wavelet Tour of Signal Processing. - NY: Academic Press, 1999.

169] Markoe A. Fourier inversion of the attenuated x-ray transform // SIAM J. Math. Anal., 1984. Vol. 15. P. 718-722.

1701 Marron J.S., Adak S., Johnstone I.M., Neumann M.H., Patil P. Exact Risk Analysis of Wavelet Regression // J. Comput. Graph. Stat., 1998. Vol. 7. P. 278-309.

1711 Mazumder S., Serfling R. Bahadur representations for the median absolute deviation and its modifications // Statistics and Probability Letters, 2009. Vol. 79. No. 16. P. 1774-1783.

172] Mersereau R.M., Oppenheim A.V. Digital reconstruction of multidimensional signals from their projections // Proc. IEEE, 1974. Vol. 62. P. 1319-1338.

1731 Muller H.-G., Stadtmuller U. Variable Bandwidth Kernel Estimators of Regression Curves // Ann. Statist., 1987. Vol. 15. No. 1. P. 182-201.

174] Nason G.P. Wavelet shrinkage using cross validation. J. R. Statist. Soc., Ser. B. 1996. Vol. 58. P. 463-479.

175] Natterer F. The Mathematics of Computerized Tomography. - NY: John Wiley & Sons. 1986.

176] Natterer F. Inversion of the attenuated Radon transform // Inverse Problems, 2001. Vol. 17. P. 113-119.

177] Norton S.J. Reconstruction of a two-dimensional reflecting medium over a circular domain: Exact solution // J. Acoust. Soc. Amer. 1980. Vol. 67. P. 1266-1273.

1781 Novikov R.G. An inversion formula for the attenuated X-ray transformation // Ark. Mat., 2002. Vol. 40. P. 145-167.

179] Pikkarainen H.K. Stochastic approach to electric process tomography // Proceedings of the Inverse Problems, Design and Optimization Symposium, 2005. Vol. 2. P. 93-100.

180] Radermacher M. Three-dimensional reconstruction of single particles from random and non-random tilt series // J. Electron Microscopy Technique, 1988. Vol. 9. P. 359-394.

[181] Redding N.J. SAR Image Formation via Inversion of Radon Transforms // Proceedings of the International Conference on Image Processing, Singapore. 2004. P. 13-16.

[182] Redding N.J., Newsam G.N. Inverting the circular radon transform // DSTO Publications Online. 2001. DSTO-RR-0211 (http://hdl.handle.net/1947/3375).

[183] Senatov V.V. Normal Approximation: New Results, Methods, and Problems. - Utrecht: VSP, 1998.

[184] Serfling R. Approximation theorems of mathematical statistics. - NY: John Wiley & Sons. 1980.

[185] Serfling R., Mazumder S. Exponential probability inequality and convergence results for the median absolute deviation and its modifications // Statistics and Probability Letters, 2009. Vol. 79. No. 16. P. 1767-1773.

[186] Shen X., Wong W.H. Convergence rate of sieve estimates // Ann. Statist., 1994. Vol. 22. No. 2. P. 580-615.

[187] Shestakov O.V. An algorithm to reconstruct probabilistic distributions of multivariate random functions from the distributions of their projections // J. Math. Sci., 2002. Vol. 112. No. 2. P. 4198-4204.

[188] Shestakov O.V. Fan-beam stochastic tomography // Systems and Means of Informatics. Special Issue. Mathematical and Computer Modeling in Applied Problems., 2008. P. 62-78.

[189] Shestakov O.V. Reconstruction of probability distributions of stochastic SAR images // Transactions of International Congress on Ultra Modern Telecommunications and Control Systems and Workshops (ICUMT). Moscow. 2010. P. 1062-1064.

[190] Shestakov O.V., Ushakov V.G. Reconstruction of Probabilistic Distributions of Multivariate Random Functions from Distributions of Their Projections // Proceedings of the XXIII Seminar on Stability Problems for Stochastic Models. 2003. Spain. P. 60.

[191] Shestakov O.V., Ushakov V.G. Approximating projections with orthogonal polynomials to reconstruct distributions of multivariate random functions // Transactions of the XXIV Seminar on Stability Problems for Stochastic Models. 2004. Latvia. P. 60.

[192] Shestakov O.V., Ushakov V.G. Inversion of exponential Radon transform of random functions // Transactions of XXV Seminar on Stability Problems for Stochastic Models. 2005. Italy. P. 264-269.

[193] Shestakov O.V., Ushakov V.G. Stability of reconstruction in stochastic tomography settings // Transactions of XXVI International Seminar on Stability Problems for Stochastic Models. 2007. Israel. P. 185-191.

[194] Smith K., Solmon D., Wagner S. Practical and mathematical aspects of the problem of reconstructing objects from radiographs // Amer. Math. Soc., 1977. Vol. 83. No. 6. P. 12271270.

[195] Smith P.R., Peters T.M., Bates R.H.T. Image reconstruction from finite numbers of projections // J. Phys. A: Math. Nucl. Gen., 1973. Vol. 6. P. 361-382.

[196] Soumekh M. Synthetic Aperture Radar Signal Processing with MATLAB Applications. - NY: John Wiley & Sons, 1999.

[197] Stein C. Estimation of the mean of a multivariate normal distribution // Ann. Statist., 1981. Vol. 9. No. 6. P. 1135-1151.

[198] Terrell G.R., Scott D.W. Variable Kernel Density Estimation // Ann. Statist., 1992. Vol. 20. No. 3. P. 1236-1265.

[199] To A.C., Moore J.R., Glaser S.D. Wavelet denoising techniques with applications to experimental geophysical data // Signal Processing, 2009. Vol. 89. P. 144-160.

[200] Tretiak O., Metz C. The exponential Radon Transform // SIAM J. Appl. Math., 1980. Vol. 39. No. 2. P. 341-354.

[201] Ushakov N.G., Ushakova A.P. 3-D reconstruction from projections for stochastic objects (stochastic tomography) // Electronics Letters, 1998. Vol. 34. No. 6. P. 512-514.

[202] Vaart A.W., Wellner J.A. Weak convergence and empirical processes. - NY: Springer Verlag, 1996.

[203] van Daatselaar AN, van der Stelt PF, Weenen J. Effect of number of projections on image quality of local CT // Dentomaxillofac Radiol., 2004. Vol. 33. No. 6. P. 361-369.

[204] Vidacovic B. Statistical Modeling by Wavelets. - NY: John Wiley & Sons, 1999.

[205] Wang Y. Function Estimation via Wavelet Shrinkage for Long-Memory Data // Ann. Statist., 1996. Vol. 24. No. 2. P. 466-484.

[206] Wang X.D., Pang G., Ku Y.J., Xie X.Y., Stoica G., Wang L.-H.V. Noninvasive laser-induced photoacoustic tomography for structural and functional in vivo imaging of the brain // Nature Biotechnology, 2003. Vol. 21. P. 803-806.

[207] Weyrich N., Warhola G.T. De-noising using wavelets and cross validation // Approximation Theory, Wavelets and Applications, 1995. Vol. 454 of NATO ASI Ser. C. P. 523-532.

[208] Williams R., Beck M. Process Tomography, Principles, Techniques and Applications. -Oxford: Butterworth-Heinemann Ltd., 1995.