Дифракция акустических и электромагнитных волн в клиновидных и конусовидных областях с граничными условиями импедансного типа тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.03, доктор физико-математических наук Лялинов, Михаил Анатольевич

• Лялинов, Михаил Анатольевич
• доктор физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Лялинов, Михаил Анатольевич

0 ВВЕДЕНИЕ

1 Метод возмущений в дифракции на клине

1.1 Интегралы Зоммерфельда и теорема Малюжинца

1.1.1 Асимптотический анализ интеграла.

I 1.1.2 О падающей и поверхностных волнах.

1.1.3 О поведении интегралов Зоммерфельда вблизи вершины

1.2 Функционально-разностные уравнения.

1.2.1 Общая теория ФР уравнений (Малюжинца).

1.2.2 Функция Малюжинца и ее основные свойства.

1.2.3 Решение однородных уравнений.

1.2.4 Решение неоднородных уравнений.

1.2.5 Модифицированное преобразование Фурье и ¿>-интегралы

1.2.6 Непосредственное использование интегралов.

1.3 Дифракция плоской электромагнитной волны на клине с анизотропными поверхностными импедансами

1.3.1 Введение.

1.3.2 Формулировка задачи и сведение к системе линейных уравнений второго рода.

1.3.3 Метод'возмущений

1.3.4 Равномерная асимптотика дальнего поля и результаты расчета волны примесной поляризации.

1.4 Задача дифракции плоской волны, наклонно падающей на ребро клина с анизотропным импедансом

1.4.1 Формулировка задачи.

1.4.2 О единственности решения.

1.4.3 Предварительная редукция задачи.

1.4.4 Случаи точного решения.

1.4.5 Равномерная асимптотика решения.

1.4.6 Частные случаи.

1.5 Метод возмущений в задаче дифракции наклонно падающей плоской волны на ребро импедансного клина.

1.5.1 Почти скользящее к ребру падение, sin в0 <С 1.

1.5.2 Дифракционные коэффициенты.

1.5.3 Почти нормальное падение, cosflo 1.

Разностные уравнения и дифракция на клине

2.1 Дифракция плоской волны на тонкой диэлектрической полуплоскости, разделяющей внешность импедансного клина.

2.1.1 Введение.

2.1.2 Постановка задачи.

2.2 О существовании и единственности решения.

2.2.1 Редукция задачи

2.3 Разностное уравнение второго порядка.

2.4 Фредгольмово интегральное уравнение второго рода.

2.5 Аналитическое продолжение и особенности спектральных функций. Асимптотика решения при г —> оо.

2.5.1 Аналитическое продолжение. Вычисление полюсов и вычетов в

2.5.2 Неравномерная и равномерная по углу асимптотика дальнего поля.

2.5.3 Принцип предельного поглощения.

2.6 Результаты численного моделирования.

2.6.1 Вычисление спектральных функций

2.6.2 Результаты расчета дальнего поля

2.7 Наклонное падение на ребро импедансного клина.

2.7.1 Постановка задачи

2.7.2 Функциональные уравнения.

2.7.3 Об особенностях спектральных функций в полосе П(—7Г —Ф, 7Г+Ф)

2.7.4 Преобразование уравнений (2.68),(2.69).

2.7.5 Сведение к интегральным уравнениям.

2.7.6 Определение постоянных.

2.7.7 Неравномерная и равномерная асимптотика решения и явление Вейля-Ван-дер-Поля для клиновидной области.

Дифракция акустических волн на выпуклом импедансном конусе

3.1 Дифракция плоской волны на выпуклом импедансном конусе.

3.2 Классическое решение задачи.

3.2.1 О единственности классического решения.

3.2.2 Рассеяние плоской волны и интегральное представление для решения

3.3 Краевая задача для спектральной функции и^ш, loq)

3.3.1 Существование и единственность. Круговой конус.

3.4 Представление решения интегралами Зоммерфельда

3.4.1 Аналитические свойства Ф(а,^,ш0), Ф(а,и>,и>0).

3.4.2 Задачи для трансформант Зоммерфельда.

3.5 Координатная асимптотика в задаче дифракции плоской волны на и мпедансном конусе.

3.5.1 Асимптотика волнового поля в "оазисе", к >

3.5.2 Область, освещенная отраженными лучами.

3.5.3 Лучевое разложение для спектральной функции.

3.5.4 Вычисление сингулярности Ф для вещественных а.

3.5.5 Координатная асимптотика вне "оазиса". Отраженная волна

3.6 Поверхностные волны. Осесимметричное падение на круговой импе-дансный конус.

3.6.1 Поведение Ф(а, со, ш0) в окрестности полюса и выражение для поверхностной волны.

3.6.2 Поверхностная волна как лучевое решение.

3.6.3 Явление Вейля-Ван-дер-Поля.

3.7 Формулы для дифракционных коэффициентов в области в'(и>,ш0) < ж и представления в форме интегралов Абеля-Пуассона.

3.8 Дифракция на узком импедансном конусе. Асимптотика диаграммы рассеяния. . .-.

3.8.1 Сшивание асимптотик.

3.8.2 Задачи для старших членов и первых поправок.

3.8.3 Вычисление Vi и B2j

3.8.4 Основная формула для дифракционного коэффициента в случае узкого конуса.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Дифракция акустических и электромагнитных волн в клиновидных и конусовидных областях с граничными условиями импедансного типа»

5.2 Поле волны возмущения.248

5.2.1 Постановка задачи с плоской невозмущенной волной.248

5.2.2 Задача Дирихле вМз и метод Смирнова-Соболева.

Задача Неймана.250

5.2.3 Импедансное условие.253

5.2.4 Задачи Дирихле и Неймана между конусами в М4.254

5.2.5 Рассеяние плоской электромагнитной волны равномерно расширяющейся абсолютно проводящей сферой.256

5.3 Единственность решения.258

5.3.1 Единственность для импедансного условия .259

5.4 Решение задачи в Мз.260

5.4.1 Отделение псевдорадиальной переменной и спектральная задача 260

5.4.2 Уравнение теории потенциала.262

5.4.3 Граничное импедансное условие для спектральной функции . . 263

5.4.4 Осесимметричный случай.263

5.4.5 Разделение переменных для импедансного граничного условия . 266

5.5 Рассеяние волн медленно расширяющимся цилиндром.268

5.5.1 Асимптотическое решение.269

5.5.2 Асимптотика для медленно расширяющегося импедансного цилиндра .274

5.6 Модельная задача. Условие Дирихле.276

5.7 Приложение 1. К постановке задачи о расширяющемся цилиндре в электромагнитной теории.279

5.7.1 Граничные условия.281

5.8 Приложение 2. Редукция спектральной задачи к сингулярному интегральному уравнению в случае импедансного цилиндра.282

5.9 Заключение.284

Литература

284

Глава О

ВВЕДЕНИЕ

Общая характеристика работы. В широком круге задач математической теории дифракции и распространения волн изучение канонических задач для рассеивателей с ребром или конической точкой, поверхность которых описывается импедансными граничными условиями (условиями третьего рода) и их обобщениями, играет особую роль. Такие канонические задачи имеют ключевое значение при использовании геометрической теории дифракции и ее модификаций, так как являются вполне реалистичными, а с другой стороны на основе принципа локальности доставляют возможность использования дифракционных коэффициентов, называемых также диаграммами рассеяния, найденных в модельной задаче, для гораздо более общих ситуаций инженерной и исследовательской практики.1)

Некоторые важные канонические задачи, такие как дифракция на импедансном клине при нормальном падении плоской волны на ребро или дифракция на круговом конусе с идеальными условиями, могут быть решены явно. Однако, подавляющий класс задач в этой области не допускает явного решения. Тем не менее, применение разнообразных методов математической физики и математической теории дифракции как ее части позволяет получить эффективное "решение"задачи в следующем смысле. Удается построить удовлетворительную математическую модель дифракционных явлений (изучить соответствующую краевую задачу), исследовать ее аналитически и численно, используя разнообразный арсенал методов математической физики. На этом пути получение соответствующих интегральных представлений, исследование их свойств, обеспечение возможности эффективного вычисления того или иного дифракционного коэффициента или коэффициента возбуждения, изучение новых дифракционных эффектов являются наиболее значимыми результатами исследования.

Очевидно, чем сложнее физическая модель, например, применяемые граничные условия, тем разнообразнее и сложнее дифракционные явления в рассматриваемых Заметим, что диаграмма рассеяния является одним из основных объектов изучения и в математической теории рассеяния. канонических задачах. Представляется, что построение соответствующей математически обоснованной теории и развитие новых методов для изучения таких более сложных и вместе с тем реалистичных задач теории дифракции является актуальной задачей.

Целью диссертации является разработка новых подходов для всестороннего и строгого исследования целого круга канонических задач дифракции акустических и электромагнитных волн в клиновидных или конусовидных областях с условиями импедансного типа на границе, получение эффективных (асимптотических или точных) формул для решений задач, изучение свойств решений и их применение для расчетов полей. В отличие от явно решаемых моделей изучаются более сложные канонические задачи (главы 1,2,3,4) в клиновидной или конусовидной области, которые, по-видимому, не допускают явного решения. Кроме того, рассмотрена задача дифракции волны на равномерно расширяющихся гладких объектах (глава 5). Такая задача, хотя и выглядит как задача другого типа, сводится, по-существу, к исследованию задачи для волнового уравнения между двумя конусами в пространстве Минковского.

Для достижения поставленной цели представляется разумным

• сформулировать замкнутые постановки задач рассеяния волн в клиновидных и конусовидных областях с граничными условиями импедансного типа и доказать единственность их решения

• предложить интегральные представления для решения (типа интегралов Зоммерфельда, Конторовича-Лебедева, Фурье и т.п.) с целью неполного отделения естественно выделенной (радиальной) переменной

• изучить задачи для трансформант (спектральных функций), входящих в,интегральные представления и зависящих от угловых переменных, в частности, задачи для векторных функциональных (разностных) уравнений в специальных классах функций, либо краевые задачи для оператора типа Лапласа-Бельтрами на области единичной сферы (или псевдосферы в Гл. 5) с нелокальными (или локальными) краевыми условиями на границе

• провести редукцию упомянутых задач к интегрально-функциональным, интегральным и т.п. уравнениям,, использовав или разработав адекватные для их исследования подходы

• на основе интегральных представлений изучить координатные асимптотики (т.е. асимптотики волнового поля на больших расстояниях от сингулярной точки границы) решения задач рассеяния

• получить явные (например, в квадратурах) представления для дифракционных коэффициентов или коэффициентов возбуждения волн через спектральные функции

• изучить физические следствия'аналитических результатов и привести некоторые расчеты, демонстрирующие эффективность аналитических результатов

При изучении задач в клиновидной области разумно различать задачи трех уровней сложности. Это более простые задачи типа задачи Малюжинца, допускающие решения в квадратурах. Второй круг задач состоит из тех, что сводятся к векторным функционально-разностным (ФР) уравнениям, т.е. не имеют в общем случае явного решения (например, из-за сложных граничных условий), однако, задачи являются односкоростными (волновое число в уравнениях одно и то же). Наконец, наиболее трудными являются задачи с двумя скоростями в клиновидных областях, когда сложность и разнообразие волновых процессов, появляющиеся в том числе из-за сингулярной точки границы, увеличиваются возможностью распространения волн с двумя различными скоростями. При этом аналитические трудности исследования задач естественным образом возрастают в соответствии с разнообразием и сложностью волновых процессов.

Примерно также можно классифицировать и задачи дифракции в конусовидных областях.

В данной работе мы изучаем задачи второго уровня сложности. Оказывается, что такие задачи не только реалистичны, но являются вполне содержательными и с аналитической точки зрения.

Структура и объем»диссертации. Работа состоит из Введения, пяти глав и Приложений к ним, Заключения и списка литературы из 172 названий. Общий объем работы - 304 страниц, включая 22 рисунка и список литературы.

Заключение диссертации по теме «Математическая физика», Лялинов, Михаил Анатольевич

Основные результаты диссертационной работы состоят в следующем.

Предложены новые подходы для вычисления дифракционных коэффициентов в клиновидных и конусовидных областях с граничными условиями импедансного типа. Построена математически обоснованная теория волновых явлений для такого класса задач.

Предложен и обоснован метод возмущений для решения спаренных функциональных уравнений Малюжинца. Получены новые результаты для задач дифракции в угловых областях, не допускающих решение в квадратурах. Исследована асимптотика дальнего поля.

Предложен метод исследования одного класса задач дифракции в сложных угловых областях сведением задач для парных ФР уравнений к разностному уравнению второго порядка, а затем к фредгольмовым интегральным уравнениям. Доказана теорема единственности. Предложена эффективная схема их численного решения. Построена равномерная по углу асимптотика дальнего поля, в частности; описаны поверхностные волны, распространяющиеся от ребра клиновидной области, в условиях, когда задача не допускает явного решения в квадратурах. Обоснован принцип предельного поглощения для такого сорта задач.

Изучены волновые явления в задаче дифракции акустических волн на выпуклом импедансном конусе. Предложено обоснование решения задачи дифракции плоской волны. Получены выражения для дифракционного коэффициента для узкого конуса. Исследованы условия возникновения поверхностных волн рэлеевского типа и явления Вейля-Ван-дер-Поля.

Разработан метод вычисления электромагнитных дифракционных коэффициентов в задаче рассеяния плоской волны на конусе с анизотропным и изотропным поверхностным импедансом. Доказана теорема единственности. Построена система интегральных уравнений и предложена численная схема их решения для кругового конуса. Представлены результаты вычислений. Изучена асимптотика дифракционных коэффициентов для узкого конуса. Получены выражения для дальнего поля, в частности, для поверхностных волн рэлеевского типа. Построен старший член асимптотики волнового поля в переходной зоне вблизи границы области, освещенной отраженными лучами.

Исследован класс задач рассеяния плоской волны на равномерно расширяющемся гладком теле. Обсуждаются вопросы корректной постановки. Исследована асимптотика решения для медленного расширения и приведены формулы для волны возмущения. Проведены тестовые расчеты. Построена модель типа потенциала нулевого радиуса.

5.9 Заключение.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Лялинов, Михаил Анатольевич, 2004 год

1. 1.D. Abrahams, J.В. Lawrie, Travelling waves on a membrane: reflection and transmission at a corner of arbitrary angle I, II. Proc. R. Soc. bond., A451, A452, 657-683, 1649-1677, 1995, 1996.

2. M. Abramowitz, I. Stegun et.al. Handbook of mathematical functions, Dover Publications (1972).

3. Ахиезер H.И. и И. M. Глазман, Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве, Москва, Наука, 1966.

4. S. Albeverio, Analytische Lôsung eines idealisierten Stripping- oder Beugungsproblems, Helv. Phys. Acta, 40, 1967, 135-184.

5. Andronov, I. V., Low-frequency models for fractures in composite electromagnetic coverings, Proc. of the 4-th International Seminar on Mathem. Methods in Electromagnetic Theory, 255-259, Test-Radio, Kharkov-Alushta, Ukraine, April, 1991.

6. Y.A. Antipov, "Diffraction of a plane wave by a circular cone with an impedance boundary condition", SIAM J. on Appl. Math., Vol.62, 4, pp. 1122-1152 (2002).

7. Y.A. Antipov, V.V.Silvestrov, "Second-order functional difference equations I. Method of Reimann-Hilbert problem on Riemann surfaces", Q. Jl. on Mech. and Appl. Math., Vol.57, 2, pp. 245-265 (2004).

8. A.D. Avdeev, On a special function in the problem of diffraction by a wedge in an anisotropic plasma, J. Commun. Techn. Electr., 39(10), 70-78, 1994.

9. Babich V. М. and V. S.Buldyrev, Asymptotic methods in short-wave length diffraction theory, Springer-Verlag, 1991.

10. Бабич B.M., B.C. Булдырев и И.А. Молотков, Пространственно-временной лучевой метод: линейные и нелинейные волны, Ленинград, Ленинградский университет, 1985.

11. Бабич В.М. и М.А. Лялинов, О рассеянии волн расширяющейся поверхностью, Записки Научн. Семинаров ПОМИ, Матем. Инст. им. В.А. Стеклова РАН, С. Петербургское Отделение, Вопросы теории распростр. волн, 27, Том 250, 35-49, 1998.

12. Бабич В.М., М.А. Лялинов, В.Э.Грикуров, Метод Зоммерфельда-Малюжинца в задачах дифракции, С.Петербург, С.Петербургский университет, 2004.

13. Бабич В.М. Скин-эффект в случае провода произвольного поперечного сечения, Записки Научн. Семинаров ПОМИ, Матем. Инст. им. В.А. Стеклова РАН, 128, Вопросы теории распростр. волн, 13, 13-20, 1983.

14. V.M. Babich, D.B. Dement'ev and B.A. Samokish, "On diffraction of high frequency waves by a cone of arbitrary shape", Wave Motion, 21, pp. 203-207 (1995).

15. V.M.Babich, V.P.Smyshlyaev, D.B.Dement'ev, B.A.Samokish, Numerical calculations of the diffraction coefficients for an arbitrary shaped perfectly conducting cone, IEEE trans. AP, 44(5), pp.740-747, (1996)

16. V.M. Babich, D.B. Dement'ev , B.A. Samokish and V.P. Smyshlyaev, "On evaluation of the diffraction coefficients for arbitrary 'non-singular' directions of a smooth convex cone", SI AM on Appl. Math., 60(2), pp. 536-573, (2000).

17. Бабич B.M., М.И. Иванов, Длинноволновые асимптотики в задачах рассеяния упругих волн, Записки Научн. Семин. ЛОМИ, 156, Математические вопросы теории распространения волн, 16, 6-19, 1986.

18. Белинский, Б. П., О единственности решения гранично-контактных задач акустики, Вестник Ленинградского университета, Метем, и Мех. N 13, 5-10, 1983.

19. Белинский, Б. П., Д. П. Коузов и В.Д. Чельцова, О дифракции акустической волны на пластинах, сочлененных под прямым углом, Прикл. Матем. и Механ., Том 37, 273-281, 1973.

20. Б.П. Белинский, Д.П. Коузов, В.Д. Чельцова, Рассеяние изгибной волны на Т-образном соединении упругих пластин, помещенных в жидкость. Труды VII Всесоюзной конференции по физической и технической акустике, Ленинград, 75-77, 1973.

21. Березин Ф. А. и Л. Д. Фаддеев, Замечание об операторе Шредингера с сингулярным потенциалом, ДАН СССР Том. 137(5), 1011-1014, 1961.

22. М.Ш. Бирман, М.З. Соломяк, Спектральная теория самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве, Л. Изд. ЛГУ, 1980.

23. М.Ш. Бирман, Три задачи теории сплошных сред в многогранниках, Записки Научн. Семин. ПОМИ им. В.А.Стеклова, Т.200, стр. 27-37, 1992.

24. Бродская А.Л., А.В. Попов и С.А. Хозиосский, Асимптотика волны, отраженной конусом в полутеневой зоне, 6-й Всесоюзный симозиум по дифракции и распространению волн, Т.1, 227-231, 1973.

25. Bernard, J. M. L., Diffraction by a metallic wedge covered with a dielectric material,. Wave motion. Vol. 9, 543-561, 1987.

26. J.-M.L. Bernard, Méthode analytique et transformées fonctionnelles pour la diffraction d'ondes par une singularité conique: équation intégrale de noyau non oscillant pour le cas d'impédance constante, rapport CEA-R-5764, Editions Dist-Saclay (1997).

27. J.M.L. Bernard, Diffraction at skew incidence by an anisotropic impedance wedge in electromagnetism theory: a new class of canonical cases, J. Phys. A, Math. Gen., V. 31, pp.595-613 (1998).

28. J.M.L. Bernard and M.A. Lyalinov, The leading asymptotic term for the scattering diagram in the problem of diffraction by a narrow circular impedance cone, J. Phys. A: Math. Gen. 29, (1999).

29. J.-M. L. Bernard and M.A. Lyalinov, Diffraction of acoustic waves by an impedance cone of an arbitrary cross-section, Wave Motion, 33, 2001, 155-181.

30. J.M.L. Bernard and M.A. Lyalinov, "The leading asymptotic term for the scattering diagram by a narrow impedance cone", Proceedings of the IEEE AP-S conference of Salt Lake City, pp. 398-401,(2000).

31. J.M.L. Bernard and M.A. Lyalinov, "Spectral domain solution and asymptotics for the diffraction by an impedance cone ", IEEE Trans. AP, Vol. 49, 12, pp.1633-1637 (2001).

32. J.-M.L. Bernard, M.A. Lyalinov, Electromagnetic scattering by a smooth convex impedance cone, IMA Journ. Appl. Math., 96, 285-333, (2004).

33. Berntsen, Sv., Diffraction of an electric polarized wave by a dielectric wedge, SIAM J. Appl. Math., 43(1), 186-211, 1983.

34. S. Blume and U. Uschkerat, "The Radar cross-section of the semiinfinite elliptic cone Numerical evaluation", Wave Motion, 22, pp. 311-326 (1995).

35. Благовещенский А.С. и К.К. Лаврентьев, Трехмерный лапласиан с граничными условиями на оси, Вестник Ленинградского Университета, N 1, 9-15, 1977.

36. М.С. Бобровников и В.В. Фисанов, Дифракция волн в угловых областях, Томск, Томский университет, 1988.

37. В.А. Боровиков, Дифракция на многоугольниках и многогранниках, Наука, Москва, (1966).

38. Borovikov, V. A. and В. Е. Kinber, Geometrical Theory of Diffraction, vol. 37 of IEE Electromagnetic waves series, The Institution of Electrical Engineers, London, 1994.

39. J.J. Bowman, T.B.A. Senior, L.E. Uslenghi Electromagnetic and acoustic scattering by simple shapes, North-Holl., Amsterdam (1969)

40. Brown, W. P., On the asymptotic behavior of electromagnetic fields scattered from convex cylinder near grazing incidence, J. Mathem. Analysis and Appl. Vol. 15(2), 355-385, 1966.

41. Bucci, О. M. and G. Franceschetti, Electromagnetic scattering by a half plane with two face impedances, Radio Sci. Vol. 11, 49-59, 1976.

42. Будаев, Б. В., Дифракция плоской электромагнитной волны на клиновидном включении, Записки Научн. Семин. ПОМИ РАН, 195, Математ. Вопросы Теории Распр. Волн, 21, 29-39, 1991.

43. Budaev В. V. and D. В. Bogy, Rayleigh wave scattering by a wedge, II, Wave Motion, 24(3), 307-314, 1996.

44. Budaev B.V., Diffraction by Wedges, Pitman research notes in mathematics series 322, Longmann, Essex, 1995.

45. Булдырев, В. С. и М. А. Лялинов, Асимптотическое граничное условие на поверхности поглощающего выпуклого тела, Вестник Ленинградского Университета, Физ. Хим., Вып.2(11), 10-16, 1987.

46. Buldyrev, V. S. and M. A. Lyalinov, The diffraction of optic radiation by metallic bodies: Asymptotic theory, Radio Sci. Vol. 27(2), 145-149, 1992.

47. Булдырев, B.C., M.A. Лялинов и др., Дифракция оптического излучения на металлических телах, Ж. Эксперим. и Теор. Физики. Том. 97(3), 733-744, 1990.

48. Buldyrev V.S., M.A. Lyalinov, Mathematical methods in modern electromagnetic diffraction theory, V.l, Intern, monographs on advanced electromagnetics, Science House, Tokyo, 2001.

49. Буслаев, B.C., Об асимптотическом поведении спектральных характеристик внешних задач для уравнения Шредингера, Известия АН СССР, Мат: Том. 9, 139-223, 1975.

50. V.S. Buslaev, A.A. Fedotov, On the difference equations with periodic coefficients, Adv. Theor. Math. Phys., 5, 1105-1168, 2001.

51. M. Cessenat Mathematical method in electromagnetism : linear theory and applications, World Scientific, 41 (1996).

52. J. Cheeger and M.E. Taylor, "Diffraction of waves by conical singularities", Comm. Pure Appl. Math., 35(3,4), pp.275-331, pp.487-529 (1982).

53. D. Colton, R. Kress, Integral equations method in scattering theory, Jone Wiley and Sons, New York, 1983.

54. J.-P. Croisille, G. Lebeau, Diffraction by an immersed elastic wedge, Lecture Notes in Math., 1723, Springer-Verlag, 1999.

55. С. Demetrescu, С.С. Constantinou, M.J. Mehler and B.V. Budaev, Diffraction by a resistive sheet attached to a two-sided impedance plane, Electromagnetics, 18, 315332, 1998.

56. C. Demetrescu, C.C. Constantinou and M.J. Mehler, Diffraction by a right-angled resistive wedge, Radio Science, 33, 39-53, 1998.

57. A. Dmitrieva et al, Extended Class of Dubrovin's equations related to the one-dimensional quantum three-body problem, Computers Math. Applic., 34(5/6), 1997, 571-585.

58. A. Erdelyi et. al. Tables of integral transforms, McGraw-Hill (1954).

59. Feinberg, E. L., On the propagation of the radio waves along an imperfect surface, J. Phys. USSR. Vol. 10, 410-418, 1946.

60. Федорюк, M.В., Метод перевала, Наука, Москва, 1987.

61. B. Felsen, "Plane wave scattering by small-angle cones", IRE Trans. Antennas Propagation, 5, pp.121-129, (1957).

62. B. Felsen, N. Marcuvitz Radiation and scattering of waves, Prentice Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1973.

63. Fock, V. A., Electromagnetic Diffraction and Propagation Problems, Pergamon, Oxford, 1965.

64. M. Gaudin and B. Derrida, Solution exacte d'un problème modèle a trois corps. Étet lié, J. d. Physique 36, 1975, 1183-1197.

65. Глазман И.M., Прямые методы качественного анализа сингулярных дифференциальных операторов, Москва, Физматгиз, 1963.

66. Gradshteyn I.S. and Ryzhik I.M. Tables of Integrals, Series and Products (Academic Press) 1980.

67. Grikurov, V. E. and M. A. Lyalinov, Gaussian beam diffraction by a wedge with thin mateial coatings, Abstr. Trans. Black See Region Symposium on Appl. Electromagnetics, DISK-9, Metsovo, Epirus-Hellas, April 17-19, 1996.

68. Hoppe, D. J. and Y. Rahmat-Samii, Impedance Boundary Conditions in Electromagnetics, Taylor and Francis, Washington DC, 1995,

69. R. Jost, Lineare Differenzengleichungen mit periodischen Koeffizienten, Comm. Math. He.lv., 28, 1954, 173-185.

70. Ильин А. М., Согласование асимптотических разложений решений краевых задач, Москва, Наука, 1989.

71. Ильинский А.С. и Ю.Г. Смирнов, Дифракция электромагнитных волн на проводящих тонких экранах, Радиотехника, Москва, 1996.

72. R. Jost, Mathematical analysis of a simple model for the stripping reaction, Z. Angew. Math. Phys., 6, 1955, 316-326.

73. D.S. Jones, The eigenvalues of V2u + Xu = 0 when the boundary conditions are given on semi-infinite domains, Proc. Camb. Phil. Soc., 49, 1953, p. 668.

74. D.S. Jones, "Scattering by a cone", Quaterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics, 50, pp. 499-523 (1997).

75. D.S. Jones, The theory of electromagnetism, Pergamon Press, London (1964).

76. Класс В.A., B.H. Красильников, К формальному решению задачи дифракции на сферах и цилиндрах с меняющимися во времени радиусами, Известия ВУЗов, Радиофизика, Т. 18, №12, стр. 1855, (1975).

77. I.V. Komarov, Various approaches to spectral problems for integrable systems in the QISM, Intern. J. of Modern Physics, A, 12(10), 79-87, 1997.

78. J.B. Keller, R.M. Lewis, B.D. Seckler,"Asymptotic solutions of some diffraction problems", Comm. Pure Appl. Math., 9, pp. 207-265, (1956).

79. B.B. Камотский, Вычисление некоторых интегралов, описывающих волновые поля Зап. Научн. Сем. С.Петербург. Отдел. Матем. Инст. Стеклова, Т. 257,стр. 44-55, (1999).

80. Kong J. A., Electromagnetic wave theory, John Willey and Sons, New York, 1986.

81. Коузов, Д.П., Дифракция плоской гидроакустической волны на соединении двух упругих пластин, Прикл. Матем. Механ. , Том 27(3), 806-815, 1963.

82. Красильников, В.Н., О решении некоторых гранично-контактных задач линейной гидродинамики, Прикл. Матем. Механ. , Том 25(4), 1961.

83. Красильников, В.Н., Параметрические волновые явления в классической электродинамике , С.Петербург, С.Петербургский университет, 1996.

84. Kouyoumjian, R. G. and P. Н. Pathak, A uniform geometrical theory of diffraction for an edge in a perfectly conducting surface, Proc. IEEE. Vol. 62, 1448-1461, 1974.92