Следы интегральных операторов Фурье на подмногообразиях и их приложения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат наук Сипайло Павел Андреевич

• Сипайло Павел Андреевич
• кандидат наук
• 2020

Оглавление диссертации кандидат наук Сипайло Павел Андреевич

Введение

Глава 1. Предварительные сведения

1.1 Основные обозначения

1.2 Интегральные операторы Фурье

1.2.1 Локальная конструкция

1.2.2 Глобальное определение и главный символ

1.2.3 Квантованные канонические преобразования

1.2.4 Вычисление локальной амплитуды в канонических координатах

1.3 Операторы Фурье-Меллина и их связь с ИОФ

1.4 Следы операторов на подмногообразиях

Глава 2. Следы интегральных операторов Фурье на подмногообразиях

2.1 Следы, сосредоточенные на конечном множестве точек .... 78 2.1.1 Пример: след оператора поворота

2.2 Общая теория следов ИОФ

2.3 Следы ИОФ, ассоциированных с конормальными расслоениями

2.4 Следы квантованных канонических преобразований

2.4.1 Следы, которые также являются квантованными каноническими преобразованиями

2.4.2 След оператора, ассоциированного с геодезическим потоком, на вполне геодезическом подмногообразии

Глава 3. Приложения к нелокальным задачам Соболева

3.1 Задача Соболева с ИОФ в граничном условии

3.1.1 Классическая задача Соболева

3.1.2 Нелокальная задача Соболева

3.2 Задача Соболева с оператором сферического среднего в гранич-

ном условии

3.2.1 Оператор сферического среднего

3.2.2 След оператора сферического среднего на вполне геодезическом подмногообразии

3.2.3 Нелокальная задача Соболева с оператором сферического среднего

3.3 Примеры

Литература

Введение

Актуальность темы

След оператора на подмногообразии [15, 16] — центральное понятие относительной эллиптической теории [27,29,68], т.е. теории операторов на гладком многообразии, на котором в качестве дополнительной структуры выделено некоторое подмногообразие. По своему происхождению относительная теория восходит к одной важной задаче в теории дифференциальных уравненийс частными производными (и по-прежнему находит в ней одно из своих главных применений) — задаче Соболева [24,27], которая ставится как (псевдо)дифференциальная задача на гладком замкнутом многообразии с граничными условиями, заданными на некотором подмногообразии произвольной коразмерности. Конструкция следа оператора оказывается ключевой при исследовании такой задачи — а именно, следы возникают при сведении её на границу (в частности, участвуют в формулировке условий её фредгольмовости). Здесь одним из первых результатов явилось наблюдение о том, что след псевдодифференциального оператора на подмногообразии снова является псевдодифференциальным оператором, и это позволило построить эллиптическую теорию задач Соболева в достаточно завершённом виде. Однако в ситуации, когда граничные условия отличаются от псевдодифференциальных (являются нелокальными) [14,18] или когда на граничном подмногообразии имеются особенности [17,19,20,26], следы на подмногообразии могут оказаться операторами совсем иной природы, чем псевдодифференциальные. Например, след на подмногообразии оператора сдвига (при некоторых условиях типа трансверсальности) является сосредоточенным на инвариантном относительно отображения сдвига подпространстве. (Оператор называется сосредоточенным на заданном множестве, если он является компактным вне любой окрестности этого множества.) Таким

образом, следы нелокальных операторов требуют дополнительных исследований.

Одним из наиболее широких классов операторов на гладких многообразиях (включающим в себя и псевдодифференциальные операторы как частный случай) являются интегральные операторы Фурье [13,31,49, 57] (далее — ИОФ). Помимо псевдодифференциальных операторов (далее — ПДО) этот класс содержит операторы, индуцированные отображениями многообразий (такие как оператор ограничения на подмногообразие), разрешающие операторы гиперболических уравнений, различные интегральные преобразования и многие, многие другие. Особо важную роль играют квантованные канонические преобразования [13] — ИОФ, ассоциированные с каноническими преобразованиями (т.е. однородными диффеоморфизмами кокасательного расслоения с удалённым нулевым сечением в себя, сохраняющими стандартную симплектическую форму). Эти последние операторы являются одними из наиболее хорошо изученных видов ИОФ, а также исключительно важны для приложений: именно они наиболее часто возникают в задачах дифференциальных уравнений и математической физики. Кроме того, они обладают рядом свойств, для общих ИОФ выполненных не всегда: в частности, они действуют ограниченно во всей шкале пространств Соболева и замкнуты относительно композиции. Отметим, что изначально эти операторы возникли в математической физике как квантование канонических преобразований в фазового пространства [54] (чему и обязаны своим названием). Они также естественно возникают в микролокальном анализе псевдодифференциальных операторов [6].

Отметим, что с теорией ИОФ тесно связана теория канонического оператора Маслова [10-12]. Изначально теореия канонического оператора была разработана В.П. Масловом в качестве инструмента для исследования асимптотических решений дифференциальных уравнений с вещественными характеристиками. Как оказалось, конструкция Маслова определяет те же

объекты, что и теория ИОФ (а именно, лагранжевы распределения). Подробнее о связи ИОФ и канонического оператора см. [3,67,77]. См. также параграф 1.2 настоящей работы.

ИОФ часто участвуют в нелокальных условиях для самых различных краевых задач. Естественно ставить и задачи Соболева с нелокальными граничными условиями, заданными с помощью ИОФ. И здесь, поскольку исследование задачи Соболева существенно опирается на теорию следов, возникает общая задача об описании следов ИОФ на подмногообразиях. Эта задача ранее не исследовалась.

В диссертационной работе изучается ситуация, когда след ИОФ на подмногообразии снова является ИОФ. Ввиду обширности класса ИОФ такая постановка представляется весьма актуальной и интересной. Помимо общих условий, когда это выполнено, отдельно рассматриваются и специальные случаи, которые включают следы квантованных канонических преобразований, следы ИОФ, ассоциированных с конормальными расслоениями (в частности, ПДО), а также следы, являющиеся сосредоточенными на конечном множестве точек. (Последние операторы известны как операторы Фурье-Меллина; они естественно возникают на многообразиях с точечными особенностями, а также в задачах Соболева с граничными условиями, отвечающими сдвигам с конечным числом неподвижных точек, лежащих на подмногообразии [17,26].) В диссертации также рассматриваются приложения к некоторым задачам Соболева с нелокальными граничными условиями. Отдельно рассматривается задача Соболева на римановом многообразии с граничными условиями, заданными оператором взвешенного сферического среднего. Установленные результаты обобщают и расширяют многие результаты относительной эллиптической теории, полученные ранее Б.Ю. Стерниным и его школой.

Теория ИОФ и канонического оператора активно развивается и в настоящее время (см., напр., [4,5,37,45,52,53,58,61,64, и др.]). Отметим также,

что различные конструкции следа (прежде всего мы имеем в виду те, что связаны с классическим понятием следа ядерного оператора1) достаточно широко исследуются как для ПДО [62,63,65,69,70,72, и др.], так и для ИОФ [39,41,43,44,50,56, и др.]. Уместно упомянуть работу [28], где вычисление классического следа ИОФ (более точно, квантованного канонического преобразования) занимает центральную роль. О связи конструкций классического следа и следа на подмногообразии см. ниже замечание

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Следы интегральных операторов Фурье на подмногообразиях и их приложения»

Цель работы

Целью работы является исследование следов на подмногообразиях интегральных операторов Фурье в ситуации, когда эти следы снова являются интегральными операторами Фурье; более детальное изучение структуры этих операторов в некоторых специальных случаях; приложения полученных результатов к задачам Соболева с нелокальными условиями.

Методы исследования

В работе широко используется аппарат микролокального анализа, классические результаты теории ИОФ, теории канонического оператора Маслова, методы дифференциальной геометрии. Для исследования задач Соболева используются результаты и методы относительной эллиптической теории и функционального анализа.

Основные результаты. Научная новизна

Результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем.

1) Получены условия, при которых след на подмногообразии ИОФ снова является ИОФ.

1 Напомним, что для ПДО и ИОФ существуют и другие конструкции следа (т.н. экзотические следы), которые на ядерных операторах зануляются; см. подробнее [63,69] и цитированную литературу.

2) Получены условия, при которых след квантованного канонического преобразования является ИОФ, сосредоточенными на конечном множестве точек. Получено представление такого следа в виде оператора Фурье-Меллина.

3) Получены условия, при которых след квантованного канонического преобразования также является квантованным каноническим преобразованием.

4) Результаты предыдущего пункта применены к задачам Соболева с нелокальными граничными условиями.

5) Исследована задача Соболева на римановом многообразии с граничными условиями, заданными с помощью оператора сферического среднего. В рамках решения такой задачи было получено представление оператора сферического среднего в виде ИОФ, ассоциированного с двусторонним геодезическим потоком.

Теоретическая значимость

Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы в относительной эллиптической теории (в том числе, для операторов на многообразии с особенностями и для операторов, ассоциированных со свдигами), теории ИОФ и в исследованиях по теории дифференциальных уравнений с частными производными.

Апробация диссертационной работы

Результаты диссертации докладывались на следующих семинарах:

• Семинар под руководством Э. Шроэ в институте Анализа университета Ганновера (дважды — в 25.07.2017 и 23.08.2018).

• Научный студенческий семинар по дифференциальным уравнениям под руководством Б.Ю. Стернина и А.Ю. Савина, РУДН (неоднократно, 2016-2019).

• Научный семинар Математического института им. С.М. Никольского РУДН по дифференциальным и функционально-дифференциальным уравнениям под руководством А.Л. Скубачевского, РУДН, 07.11.2017.

• Научный семинар "Дифференциальные операторы на сингулярных пространствах, алгебраически интегрируемые системы и квантование," руководители: А.Б. Жеглов, Ф.Ю. Попеленский, Г.И. Шарыгин, А.И. Шафаревич, В.Л. Чернышев; МГУ, 11.03.2019.

• Научный семинар "Перспективные математические технологии" под руководством В.Г. Данилова, МИЭМ НИУ ВШЭ, 13.03.2019.

• Научный семинар лаборатории механики природных катастроф института проблем механики им. А.Ю. Ишлинского "Асимптотические методы в математической физике" под руководством С. Ю. Доброхотова, 19.03.2019.

• Научный семинар "Некоммутативная геометрия и топология," руководители: А.С. Мищенко, И.К. Бабенко, В.М. Мануйлов, А.А. Ирматов; МГУ, 12.12.2019.

Результаты диссертации докладывались на следующих международных конференциях.

• Международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых учёных «Ломоносов-2017», Москва, 10-14 апреля 2017.

• Международная конференция, посвященная 100-летию со дня рождения Селима Григорьевича Крейна, Воронеж, 13-19 ноября, 2017.

• 60-я Научная конференция МФТИ, Долгопрудный, 20-26 ноября, 2017.

• Международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых учёных «Ломоносов-2018», Москва, 9-13 апреля, 2018.

• VIII международная конференция «Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения VIII», Ростов-на-Дону, 22-27 апреля, 2018.

• Конференция 'Analysis and PDE', Leibniz Universität Hannover, October 7-9, 2019.

• Конференция «Понтрягинские чтения - XXXI» в рамках Воронежской весенней математической школы «Современные методы теории краевых задач», Воронеж, 3-9 мая 2020.

Публикации

Результаты диссертации опубликованы в 9 работах, из них 4 статьи в научных журналах и 5 — в тезисах докладов на международных конференциях. Их список приведён в конце автореферата. Результаты совместной работы [66], включённые в диссертацию, получены автором лично.

Структура диссертации

Диссертация состоит из введения, трёх глав и списка литературы из 78 наименований. Общий объем диссертации составляет 167 страниц.

Краткое содержание работы

Глава 1. Предварительные сведения. В первой главе напоминаются основные факты теории ИОФ и относительной теории, а также доказывается ряд вспомогательных результатов, используемых в дальнейшем.

В §1.1 фиксируются некоторые обозначения и вводятся основные геометрические объекты.

В §1.2 напоминаются базовые понятия теории ИОФ, в том числе приводится конструкция их символьного исчисления. Указывается связь между ИОФ и каноническим оператором Маслова [10,67].

В §1.3 рассматриваются ИОФ, сосредоточенные на конечном множестве точек. (Оператор A на X, действующий в пространствах Соболева Hs(X) ^ Hs-X(X), называется сосредоточенным на подмножестве S С X, если операторы fA и Af являются компактными для любой функции f Е CTO(X) с носителем, не пересекающимся с S.) Показывается, что при определённых условиях на порядок амплитуды такие ИОФ являются операторами Фурье-Меллина (см. ниже определение 1.3.1). Именно, доказывается следующее

Предложение 0.0.1. Пусть Ф: CTO(X) ^ D'(X) — ИОФ порядка о^Ф = d < — dimX/2, ассоциированный со слоем T0*(X х X)|{Х0}Х{Х0} кокасатель-ного расслоения многообразия X xX, в окрестности точки (х0,х0) Е X xX заданный ядром Шварца

Кф(х, х') = (2n)-3dimX/2 JJ eixp—ix'p' a(p,p') dp dp',

где амплитуда a — классический символ порядка d — dim X/2. Тогда для всех s, удовлетворяющих d + dim X/2 < s < dim X/2, оператор Ф продолжается до ограниченного оператора в пространствах

Hs(X) -^ Hs-d-dimX/2(X)

и по модулю операторов, сглаживающих в этих пространствах, имеет вид оператора Фурье-Меллина порядка d + dim X/2 с символом

К (Z) Td+dim X/2'

где К(Z) — аналитическая функция в окрестности весовой прямой rs-d = {Re Z = s — d}, принимающая значения в компактных операторах L2(SdimX-1) ^ L2(SdimX-1), действующих по формуле

К(Z) у(ш) = (2п)-dimX/2 J [ J tz+d-dimX/2 aoM-V) J ] v(u') dJ.

gdim X-1 R+

Здесь a0 — главный член в асимптотическом разложении амплитуды a.

В §1.4 вводится понятие следа оператора на подмногообразии и исследуются его микролокальные свойства. Именно, пусть г: X ^ М — гладкое вложение замкнутых многообразий коразмерности ео&шм X = V, А — оператор на объемлющем многообразии М.

Определение 0.0.2. След г!(А) оператора А на подмногообразии X есть композиция

г!(А) = г* А г*,

где г* — граничный оператор, сопоставляющий функции на М её сужение на X, а г* — кограничный оператор, определённый двойственным образом к г* и сопоставляющий функции на X распределение на М, сосредоточенное на X.

Из теории пространств Соболева известно, что оператор ограничения г* понижает соболевский порядок гладкости на v/2, где V = ео&шм X. Отсюда немедленно следует, что если А действует ограниченно в пространствах Соболева Нв(М) ^ Нв—Л(М), причём если выполнено й + v/2 < 0, й — Л — v/2 > 0, то след г!(А) корректно определён как ограниченный оператор

г!(А): Н^'2^) —^ Нs—Л—vl2(X). (0.0.1)

Микролокальные условия существования следа г!(А) описываются следующим образом.

Определение 0.0.3. Пусть Ь — подмножество в Т0*(М х М). Обозначим через Ь|ХхХ пересечение

Ь|ххХ = Ь П Т*(М х М)|ххХ

и через пХхХ — проекцию

ПХхХ: т*(М х М)|ххХ - ^ Т*^ х X), (0.0.2)

индуцированную вложением г х г: X х X ^ М х М. Следом множества Ь называется множество

г!(Ь)= пххХ(Ь|ххХ) С Тх X). 12

Предложение 0.0.4. Пусть А: СТО(М) ^ Р'(М) — непрерывный линейный оператор, и пусть его ядро Шварца Ка £ Р'(М х М) удовлетворяет свойству

WF/(KA) П N0(X х X) = 0,

где WF/(KA) — скрученный волновой фронт2 распределения К а, N х X) — конормальное расслоение3, отвечающее вложению X х X ^ М х М. Тогда след г!(А) оператора А на X корректно определён как непрерывный линейный оператор ) ^ ^^), заданный ядром Шварца

К (А) = (г х г)*КА,

где в правой части стоит обратный образ распределения К а относительно вложения г х г (т.е. сужение К а на X х X). При этом имеем

WF/(Kг!(A)) С г!^(КА)).

Применяя предложение 0.0.4 к случаю, когда А есть ИОФ Ф = Ф(Л), ассоциированный с лагранжевым подмногообразием4 Л С Т0* (М х М), получаем следующее

Следствие 0.0.5. Пусть Л П ^^ х X) = 0. Тогда след г!(Ф) на X корректно определён как непрерывный линейный оператор С) ^ ^^) и скрученный волновой фронт его ядра Шварца содержится в г!(Л):

WF/(K¿!(ф)) С г!(Л).

На этом завершается первая глава.

2Напомним, что скрученный волновой фронт WF/(KA) есть подмножество в То (Х х Х), полученное из волнового фронта WF(KA) путём обращения знака у копеременной во втором сомножителе произведения Т* (М х М) ~ Т*М х Т*М.

3Индекс "0" у расслоений везде далее обозначает выбрасывание нулевого сечения.

4Везде далее предполагается, что на Т*(М х М) задана симплектическая форма п*шм — п*шм, где шм — стандартная симплектическая форма на Т*М, П1,П2: Т*(М х М) ^ Т*М — естественные проекции на первый и второй сомножитель произведения Т*(М х М) ~ Т*М х Т*М, соответственно. Аналогично вводится симплектическая структура на Т* (Х х Х).

Глава 2. Следы интегральных операторов Фурье на подмногообразиях. Во второй главе содержатся результаты о следах, ассоциированных с вложением i: X ^ M, для различных видов ИОФ на M.

В §2.1 исследуются следы квантованных канонических преобразований, сосредоточенные на конечном множестве точек (и являющиеся операторами Фурье-Меллина). Пусть на объемлющем многообразии M задана система координат (x,y), в которой X = {у = 0}, и пусть на подмногообразии X выделена точка x0 Е X, в указанных координатах заданная как x0 = (0, 0). Предположим также, что X является подмногообразием средней размерности, т.е. dim X = codimM X = dim M/2. Рассмотрим однородное каноническое преобразование g: T0M ^ T0M (здесь и далее индекс "0" обозначает выбрасывание в расслоении нулевого сечения), удовлетворяющее условиям.

A) Преобразование g оставляет инвариантным слой над точкой x0, иначе говоря, выполнено g(T0M|^}) = 70M

B) Выполнено соотношение g(T0*M|X) П T0M|X = T0M|{Х0}, причём пересечение указанных подмногообразий трансверсально.

C) Выполнено соотношение g(N0X|{Х0}) П N0X|{Х0} = 0 (здесь и далее N0X — конормальное расслоение, отвечающее вложению X ^ M).

Пусть Ф = Ф^гарИд) — квантованное каноническое преобразование на M, ассоциированное д, т.е. ИОФ, ассоциированный с графиком

graphд = { (g(w'),w') | w' Е T0*M } С T0(M х M).

Ставится задача об описании следа Ф на подмногообразии X.

Исходя из следствия (0.0.5), имеет смысл сначала вычислить след i! (graph g).

Предложение 0.0.6. Пусть преобразование g удовлетворяет условиям A)-C). Тогда имеет место равенство

(graphg)|XxX = graphg П T*(M x M)|

{x0}x{x0},

причём указанное множество является коническим подмногообразием в T*(M х M)|{x0}x{x0}- Более того, сужение проекции (0.0.2) на это подмногообразие определяет однородный диффеоморфизм

а: graphg П T*(M х M)|WxM T?(X х X)|Wx{xo}. (0.0.3)

Обозначим через (p, q) двойственные по отношению к (x,y) координаты в слоях расслоения T*M в окрестности выделенной точки х0. Вообще, через

(x,y,p,q; x',y/,p/,q/) (0.°.4)

будем обозначать координаты на T*(M х M), происходящие из координат (х,У).

Далее показывается, что в указанных координатах в окрестности точки x0 Е M ядро Шварца оператора Ф(graph g) с точностью до гладких функций можно записать в виде

Кф(х,у,х/,у/) = (2п)-dim м JJ a(x,y,p/,q/) dp/ dq/,

где S — производящая функция канонического преобразования g (см. [11, стр. 114]), а a — классический символ порядка d = о^Ф. Предложение 0.0.7. В указанных выше предположениях след г(Ф) оператора Ф на X корректно определён как линейный непрерывный оператор CTO(X) ^ D/(X) и является ИОФ порядка d + dim X/2, ассоциированным со слоем T0*(X х X)|{Ж0}х{Ж0}/ в окрестности точки (х0,х0) Е X х X его ядро Шварца (с точностью до гладких функций) имеет вид

Кг!(ф)(х,х/) = (2n)-3dimХ/2 JJ b(p,p/) dpdp/,

где b — классический символ порядка d, главный член асимптотического разложения которого равен

bo(p,p/) = (2п)-dimХ/2 eтsgnH(w) |det H(w)|-1/2 ao(w),

w = [пххХ]-1(0,p,0,p/). (0.0.5)

Здесь a0 — главный член асимптотического разложения амплитуды a, H — матрица Гессе функции

(x,x',p', q') -—> S(x, 0,p',q') — x'p'

и nXxX — диффеоморфизм (0.0.3).

Объединяя предложения 0.0.7 и 0.0.1, получаем следующий результат. Теорема 0.0.8. Пусть d = о^Ф < — dim X. Тогда при s, удовлетворяющих неравенствам d + dim X < s < dim X/2, след г(Ф) продолжается до оператора, ограниченного в пространствах Hs(X) ^ Hs—d—dim X (X), и является оператором Фурье-Меллина порядка d + dim X с символом

К(Z) ^с—dimX,

где К(Z) — аналитическая функция в окрестности весовой прямой

rs—d—dimx/2 = { Re Z = s — d — dim X/2 }

со значениями в компактных операторах L2(SdimX—1) ^ L2(SdimX—1), действующих по формуле

К (Z) v(u) = (2n) — dim X/2 J [J tz+d b0(u,t—1u ) J ] v(J) dJ.

Sdim X-1 R+

Здесь функция b0 задана формулой (0.0.5).

Параграф §2.2 посвящён общей ситуации, когда след ИОФ на подмногообразии снова является ИОФ. Здесь аналогом условий A), B) предыдущего параграфа является понятие чистого пересечения.

Напомним, что для подмногообразий M1 и M2, вложенных в многообразие M3, пересечение M1П M2 называется чистым, если оно само является подмногообразием в M3 и, кроме того, для любой точки w Е M1 П M2 выполнено

Tw(M1 П M2) = TwM1 П TwM2. 16

Целое неотрицательное число е называется эксцессом чистого пересечения М1 П М2 С М3, если

еodiш М1 + еodiш М2 = codim(M1 П М2) + е.

В частности, значение е = 0 даёт условие трансверсальности.

Следующая теорема является основным результатом параграфа §2.2. Теорема 0.0.9. Пусть Ф: СТО(М) ^ Р/(М) — ИОФ, ассоциированный с коническим лагранжевым подмногообразием Л С Т0* (М х М), удовлетворяющим условиям.

A) Пересечение Л|ХхХ = ЛПТ*(М хМ)|ХхХ является чистым в Т*(М х М) с эксцессом е.

B) Выполнено Л П ^^ х X) = 0.

Тогда справедливы следующие утверждения.

1) Отображение

пххХ : Л|ХхХ —^ г!(Л), (0.0.6)

индуцированное проекцией (0.0.2), является расслоением с компактными слоями размерности е, при этом след г!(Л) подмногообразия Л есть погруженное коническое лагранжево подмногообразие в Т*^ х X).

2) След г!(Ф) оператора Ф корректно определён как непрерывный линейный оператор ) ^ ^^) и является ИОФ, ассоциированным с г!(Л):

г!(Ф(Л)) = Ф(г!(Л)). Порядки операторов г! (Ф) и Ф связаны друг с другом соотношением

оМ г!(Ф) = о^ Ф + 1(еodiшM X + е).

2

Далее приводится формула для амплитуды ядра Шварца оператора г!(Ф) в терминах локальных канонических координат на г!(Л). Именно,

пусть на T*(M x M) заданы координаты (0.0.4), и пусть ядро Шварца КФ оператора Ф задано осциллирующим интегралом

^(x,y,x',y') = (2n)—(dimM+N)/2 J e^(x'y'x'y'0) a(x,y,x',y',Q) dQ,

где ф Е CTO(M x M x ) — невырожденная фазовая функция, параметризующая Л в окрестности Лф С Л, a — амплитуда порядка d + (dim M — N)/2 (d = о^Ф — порядок оператора Ф). Расслоению (0.0.6) отвечает расслоение (а при подходящем выборе фазовой функции ф и совпадает с ним)

XxX : СФ| Xx X

ПЛф), (0.0.7)

обладающее теми же свойствами; здесь

Cфlхxх = { (x, x', Q) Е X x X x RN | доф^, 0, x', 0, Q) = 0 },

а отображение Yф|XxX действует по правилу

14>Uxx : (x, x', Q) {x, дxф; x', —dx,ф) Е T*(X x X),

где производные функции ф вычисляются в точке (x, 0,x', 0,Q). (Координаты на T*(X x X) имеют вид (x,p; x',p').) При этом можно считать, что переменные Q допускают такое разбиение на две группы

Q = (Q',Q''), Q' е rn—e, Q'' Е Re,

при котором слои Fw = (7ф|хxX)—1(w), w Е i!(Л) отображения (0.0.7) задаются уравнениями

Fw = { (x, x', Q) Е Cф | (x, x', Q') = const }

(константа зависит от точки w), тем самым отождествляются с компактными областями в Re с координатами Q''. Наконец, пусть набор координатных функций

w = (x/ ,p/,x/, ,p/,) (0.0.8)

образует локальные координаты на i!(А), отвечающие координатам (0.0.4) (канонические координаты), и пусть S = S(w) — соответствующая производящая функция на i!(A).

Предложение 0.0.10. В условиях теоремы 0.0.9 и в сделанных выше предположениях ядро Шварца оператора г(Ф) с точностью до гладких функций имеет вид

K!(ф)(х,х/) = (2n)-(dimX+|I|+|P|)/2 ^ eiSM+ipfxf-i^4, b(w) dp/dp/,,

где b — классический символ, главный член асимптотического разложения которого равен

b0(w) = (2п)-(codimMX+e)/2y efsgnfe-VЯ |det (Жт, x'j,,^/)|-1/2 x

F

w

x ao(x/, Ж/, 0, xj,, x^,, 0,Ж 0")

Здесь w E i!(A^) — точка с координатами (0.0.8), a0 — главный член асимптотического разложения амплитуды a, — матрица Гессе

функции (x,x/,0) ^ ф(х, 0,x/, 0,0) по переменным (xj, xj,а набор значений переменных (Ж/, хж//,, 0/) определяется по w и 0// условием

7ф|ХхХ (х/, ж/, xj,, хж//,,ж, ) = w.

В завершение §2.2 теорема 0.0.9 применяется к случаю, когда Ф — квантованное каноническое преобразование.

Следствие 0.0.11. Пусть Ф = Ф(#): CTO(M) ^ D/(M) — квантованное каноническое преобразование, ассоциированное с каноническим преобразованием g: T0*M ^ T0*M, и пусть g удовлетворяет свойствам.

A) Пересечение T0*M|X П g(T0*M|X) является чистым в T*M с эксцессом e;

B) Выполнено N0*X П g (N0*X) = 0.

Тогда след i! (graph g) графика graph g есть погруженное лагранжево подмногообразие в T0(X x X), при этом след i!(Ф) оператора Ф корректно определён как непрерывный линейный оператор C<X(X) ^ D'(X) и является ИОФ, ассоциированным с i!(graph g):

i!(Ф(graph g)) = Ф(i!(graph g)). Порядки операторов г(Ф) и Ф связаны друг с другом соотношением

ord г(Ф) = ord Ф + -(codimM X + e).

2

В параграфе §2.3 изучается ситуация, когда условие A) теоремы 0.0.9 не выполнено, вместо этого подмногообразие Л устроено специальным образом: именно, требуется, чтобы Л отвечало конормальному расслоению некоторого подмногообразия в M x M (или, что то же самое, обладало структурой линейного подпространства при ограничении на слои расслоения T*(M x M)). Более точно, для подмногообразия в S С X x X обозначим через NqS расслоение, которое получается из N0*S обращением знака у ко-переменных во втором множителе в X x X: если (x,x') — координаты в X x X, а (p,p') — двойственные координаты в слоях T*(X x X), то положим

N0S = { (x,p; x',p') | (x,p; x', —p') Е N0S }.

Теорема 0.0.12. Пусть Ф — ИОФ на M, ассоциированный с расслоением N0S, где S С M x M — подмногообразие, и пусть пересечение S|хxX = S П X x X является чистым в M x M с эксцессом е. Предположим, что Ф действует ограниченно в пространствах

Ф: Hs(M) —> Hs—A(M),

где s + codimM X/2 < 0, s — Л — codimM X/2 > 0, при этом порядок оператора Ф удовлетворяет соотношению

ord Ф < ^(dim M — dim S) — e.

Тогда след ¿!(Ф) действует ограниченно в пространствах

¿!(Ф)" нв+со^тмX/2(X)_> нв-л-сой1тмх/2(х)

и является ИОФ, ассоциированным с расслоением N*(£|ххх ^ X х X). Порядки операторов г(Ф) и Ф связаны друг с другом соотношением

о^ ¿!(Ф) = о^ Ф + -(codimм X + е).

2

Условиям теоремы 0.0.12 (но не теоремы 0.0.9!) удовлетворяют ПДО (в этом случае 3 — это просто диагональ в произведении М х М). Так, из неё непосредственно следует, что след ПДО порядка 1 на подмногообразии X является ПДО порядка 1 + codimм X. Это — классический результат относительной эллиптической теории (см. [16,29]).

Последний в главе 2 параграф §2.4 посвящён ситуации, когда след квантованного канонического преобразования снова является квантованным каноническим преобразованием. Пусть д: Т0*М ^ Т0*М — однородное каноническое преобразование на М. Наложим на д следующие условия:

A) подмногообразия Т0*М|х и д(Т0*М |х) в Т0*М пересекаются трансвер-сально;

B) естественная проекция пх: Т*М|х ^ Т*X индуцирует диффеоморфизмы

Т*М|х П д-1(Т*М|х) T0*X, Т0*М|х П д(Т0*М|х) T0*X.

Определение 0.0.13. Преобразованию д, удовлетворяющему условиям А) и В), сопоставим отображение г(д): ТО^ ^ ТО^, равное композиции

г(д): Т^ Т0*М|х П д-1(Т0*М|х) Т0*М|х П д(Т^М|х) ^ T0*X,

в которой стрелки пх1 и пх суть обратный и прямой диффеоморфизмы из условия В), а средняя стрелка — преобразование д. Отображение г (д) будем называть следом преобразования д.

Ясно, что след г(д) является однородным диффеоморфизмом Т0*X ^ Т0*Х. Теорема 0.0.14. Пусть преобразование д удовлетворяет условиям определения 0.0.13. Тогда его след г(д) является однородным каноническим преобразованием Т0*Х ^ Т0*Х. Если Ф = Ф(д) — квантованное каноническое преобразование на М, ассоциированное с д, то след г(Ф) является квантованным каноническим преобразованием на X, ассоциированным с ¿!(д). Порядки операторов г(Ф) и Ф связаны друг с другом соотношением

о^ ¿!(Ф) = о^ Ф + 1 codimм X.

2

Далее положим codimм X = V, о^ Ф = Замечание 0.0.15. Оператор г(Ф) из теоремы 0.0.14, будучи квантованным каноническим преобразованием порядка г(Ф) = d + v/2, действует в шкале пространств Соболева с соболевским порядком, равным также d + v/2; тем самым в пространствах

Н(X) -> н¡'I(X),

предписанных формулой (0.0.1) (где теперь Л = d), он оказывается сглаживающим оператором. Мы наблюдаем эффект падения порядка: соболевский порядок следа г(Ф) оказывается меньше, чем сумма соболевских порядков операторов, входящих в композицию, определяющую след. Это существенно отличает ситуацию, описываемую теоремой 0.0.14, от случая, когда рассматриваются следы ПДО, и оказывает значительное влияние на теорию задач Соболева с соответствующими нелокальными граничными условиями.

Оставшаяся часть §2.4 отводится вычислению следа квантованного канонического преобразования, отвечающего геодезическому потоку, на вполне геодезическом подмногообразии. Именно, пусть на многообразии М задана риманова метрика , и пусть

: Т0*М —> Т0*М 22

— геодезический поток на М за время ±£. Рассматриваются полуволновые операторы — квантованные канонические преобразования, ассоциированные с СМ и амплитудой (главным символом), тождественно равной 1. Напомним, что при малых £ эти операторы совпадают с унитарными в Ь2(М, дМ) операторами однопараметрической группы , порождён-

ной (самосопряжённым) оператором у/дм , где дм — положительный оператор Лапласа на М. Итак, положим

фМ = Ф(СМ', 1) = , (0.0.7)

где Ь > 0 мало.

На подмногообразии %: X — М зафиксируем индуцированную рима-нову метрику дх = %*ди. Напомним, что подмногообразие X называется вполне геодезическим, если всякая геодезическая на X является геодезической и на М.

Пусть А — ПДО на М с главным символом а (А). Метрическим следом %т(А) (см. [68]) оператора А на подмногообразии X называется ПДО на X, заданный главным символом а[%т(А)] = %та(А), где %т: ТО^ — Т0*М — вложение, индуцированное римановой метрикой. Предложение 0.0.16. Пусть %: X — М — вполне геодезическое подмногообразие коразмерности V, А — ПДО на М. Тогда при малых Ь > 0 по модулю операторов меньшего порядка справедливо равенство

%!(АФм) = (2п£Г/2 е^/4 Дх/4 %т(А)Ф±*.

Глава 3. Приложения к нелокальным задачам Соболева. Последняя глава посвящена эллиптической теории нелокальных задач Соболева.

В §3.1 рассматривается общая постановка задач Соболева с нелокальными условиями. Именно, пусть %: X — М — гладкое вложение замкнутых

многообразий. Положим dim M = n и codimM X = v. Для пары (M, X) рассмотрим следующую задачу

Du = 0 на M \ X,

(0.0.8)

i*Bu = h E Hs-6(X), где

• неизвестная функция u ищется в пространстве Hs(M);

• D — ПДО на M порядка d;

• B — квантованное канонические преобразование порядка b, ассоциированное с каноническим преобразованием, удовлетворяющим условиям определения (0.0.13).

• h E Hs-6(X) — заданная функции.

Также предполагается, что числа d, s удовлетворяют соотношениям

0 < d - s - v/2 < 1.

Замечание 0.0.17. Задача (0.0.8) отличается от классической задачи Соболева [24,27], в которой функция h принадлежит пространству Hs-b-v/2(X) (что, казалось бы, естественно, поскольку граничный оператор г* понижает соболевский порядок гладкости на v/2). Однако в силу эффекта падения порядка, описанного в замечании 0.0.15, задача с h E Hs-b-v/2(X) оказывается некорректно поставленной. Поэтому требуется новая постановка. Определение 0.0.18. Обозначим через

Hs-d(M, X) = { u E Hs-d(M, X) | supp u С X }

подпространство распределений из Hs-d(M), сосредоточенных на подмногообразии X. Задаче (0.0.8) сопоставим оператор

i*B: ker(QD) Hs-6(X), (0.0.9)

где Б рассматривается в пространствах Нв(М) ^ Нв ^(М), а Q — проекция

Q: Н5-^(М) —> Н5-^(М)/Н^(М^).

Задача (0.0.8) называется фредгольмовой, если оператор (0.0.9) корректно определён (т.е. (г*В)(кег^Б)) С Н^^)) и является фредгольмовым.

Следующая теорема является основным результатом параграфа §3.1. Теорема 0.0.19. Пусть В — квантованное каноническое преобразование, ассоциированное с каноническим преобразованием, удовлетворяющим условиям определения 0.0.13, а Б — эллиптический ПДО. Если след г!(В) является эллиптическим ИОФ порядка Ь + v/2, то задача (0.0.8) фред-гольмова.

В завершение §3.1 рассматривается пример задачи (0.0.9), в которой В = АФМ, где А — ПДО на М, а ФМ — полуволновой оператор (0.0.7). Теорема 0.0.19 и предложение 0.0.16 дают

Следствие 0.0.20. Пусть г: X ^ М — вполне геодезическое подмногообразие. Пусть число £ > 0 мало и операторы Б и гт(А) являются эллиптическими ПДО. Тогда задача (0.0.8) с В = АФМ фредгольмова.

В §3.2 изучается задача Соболева, в которой граничный оператор В включает в себя (взвешенный) оператор сферического среднего. Остановимся на этом операторе подробнее (временно не касаясь структуры подмногообразия).

Пусть (X, — замкнутое риманово многообразие, р — функция расстояния на X. Оператор сферического среднего М*(д) с весом д Е Сх X), отвечающий радиусу £ > 0, определяется по формуле

[М*(д) и] (ж) = J д(ж, ж') и(ж') dVtДж/), и Е ),

где 5^(ж) = {ж' Е X | р(ж,ж') = £} — геодезическая сфера на X радиуса £ с центром в точке ж Е X, dVt,ж — форма объёма на (ж), индуцированная римановой метрикой.

Ниже, для работы с этим оператором в контексте нелокальных задач Соболева, нам понадобится его представление в виде ИОФ, ассоциированного с (двусторонним) геодезическим потоком. Этот результат представляет интерес и сам по себе. Отметим, что тот факт, что такое представление существует, хорошо известен: см. [75,78]. Однако формулу для коэффициентов этого представления в случае общих римановых многообразий найти в литературе автору не удалось. Поэтому искомая формула была получена отдельно.

Пусть Ф^ = Ф(С±г, 1): L2(X,q) ^ L2(X,q) — полуволновые операторы на X. На время предположим, что dim X = n. Пусть J: TX ^ R — гладкая функция, для каждой точки x Е X заданная в слое TxX формулой

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Сипайло Павел Андреевич, 2020 год

Литература

[1] В. И. Арнольд. О характеристическом классе, входящем в условия квантования. Функц. анализ и его прил, 1(1):1—13, 1967.

[2] Г. Бейтмен и А. Эрдейи. Таблицы интегральных преобразований. Преобразования Фурье, Лапласа, Меллина. Том 1. Преобразования Фурье, Лапласа, Меллина. Наука, Москва, 1969.

[3] В. Г. Данилов и Ле Ву Ань. Об интегральных операторах Фурье. Машем. сб., 110(152)(3(11)):323-368, 1979.

[4] С. Ю. Доброхотов, В. Е. Назайкинский и А. И. Шафаревич. Новые интегральные представления канонического оператора Маслова в особых картах. Изв. РАН. Сер. матем, 81(2):286-328, 2017.

[5] В. Е. Назайкинский и А. И. Шафаревич. О каноническом операторе Маслова в задачах о локализованных асимптотических решениях гиперболических уравнений и систем. Матем. заметки, 106(3):424-435, 2019.

[6] Ю. В. Егоров. Канонические преобразования и псевдодифференциальные операторы. Труды Моск. Мат. общ-ва, 24:3-27, 1971.

[7] Ю. В. Егоров. Микролокальный анализ. Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления, 33:5-156, 1988.

[8] Ш. Кобаяси и К. Номидзу. Основы дифференциальной геометрии. Том 1. Наука, Москва, 1981.

[9] С. Ленг. Алгебра. Мир, 1968.

[10] В. П. Маслов. Теория возмущений и асимптотические методы. МГУ, Москва, 1965.

[11] В. П. Маслов и М. В. Федорюк. Квазиклассическое приближение для уравнений квантовой механики. Наука, Москва, 1976.

[12] А. С. Мищенко, Б. Ю. Стернин и В. Е. Шаталов. Лагранжевы многообразия и метод канонического оператора. Наука, Москва, 1978.

[13] В. Е. Назайкинский, В. Г. Ошмян, Б. Ю. Стернин и В. Е. Шаталов. Интегральные операторы Фурье и канонический оператор. Успехи матем. наук, 36(2):81-140, 1981.

[14] Л. Л. Нгуен. Задачи Соболева для действий конечных групп. Труды МФТИ, 4(4):125-133, 2012.

[15] С. П. Новиков и Б. Ю. Стернин. Следы эллиптических операторов на подмногообразиях и К-теория. Докл. АН СССР, 170(6):1265-1268, 1966.

[16] С. П. Новиков и Б. Ю. Стернин. Эллиптические операторы и подмногообразия. ДАН СССР, 171(3):525-528, 1966.

[17] А. Ю. Савин и Б. Ю. Стернин. Эллиптические трансляторы на многообразиях с точечными особенностями. Дифф. уравн., 48(12):1612-1620, 2012.

[18] А. Ю. Савин и Б. Ю. Стернин. О нелокальных задачах Соболева. Докл. АН, 451(3):259-263, 2013.

[19] А. Ю. Савин и Б. Ю. Стернин. Эллиптические трансляторы на многообразиях с многомерными особенностями. Дифф. уравн., 49(4):513-527,

2013.

[20] А. Ю. Савин и Б. Ю. Стернин. Индекс задач Соболева на многообразиях с многомерными особенностями. Дифф. уравн., 50(2):229-241,

2014.

[21] П. А. Сипайло. Следы квантованных канонических преобразований, сосредоточенные на конечном множестве точек. Дифф. уравн., 54(5):701-712, 2018.

[22] П. А. Сипайло. О следах интегральных операторов Фурье на подмногообразиях. Мат. заметки, 104(4):588-603, 2018.

[23] С. Л. Соболев. Об одной краевой задаче для полигармонических уравнений. Матем. сб., 2(3):465-499, 1937.

[24] Б. Ю. Стернин. Эллиптические и параболические задачи на многообразиях с границей, состоящей из компонент различной размерности. Труды Моск. Мат. общ-ва, 15:346-382, 1966.

[25] Б. Ю. Стернин. Квазиэллиптические операторы на бесконечном цилиндре. МИЭМ, Москва, 1972.

[26] Б. Ю. Стернин. Эллиптическая теория на компактных многообразиях с особенностями. МИЭМ, Москва, 1974.

[27] Б. Ю. Стернин. Относительная эллиптическая теория и проблема С. Л. Соболева. Докл. АН СССР, 230(2):287-290, 1976.

[28] Б. Ю. Стернин и В. Е. Шаталов. Теорема Лефшеца о неподвижной точке для квантованных канонических преобразований, Функц. анализ и его приложения, 32(4):35-48, 1998.

[29] Б. Ю. Стернин и В. Е. Шаталов. Относительная эллиптическая теория и задача Соболева. Матем. сборник, 187(11):115-144, 1996.

[30] М. Тейлор. Псевдодифференциальны операторы. Мир, Москва, 1985.

[31] Ф. Трев. Введение в теорию псевдодифференциальных операторов и интегральных операторов Фурье. Том 2. Мир, Москва, 1984.

[32] Л. Хёрмандер. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными 1. Теория распределений и анализ Фурье. Мир, Москва, 1986.

[33] Л. Хёрмандер. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными 3. Псевдодифференциальные операторы. Мир, Москва, 1987.

[34] Л. Хёрмандер. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными 4. Интегральные операторы Фурье. Мир, Москва, 1988.

[35] В. А. Шарафутдинов. Геометрическое исчисление символов псевдодифференциальных операторов. I. Матем. тр., 7(2):159-206, 2004.

[36] М. А. Шубин. Псевдодифференциальные операторы и спектральная теория, 2ое изд.. Добросвет, Москва, 2003.

[37] U. Battisti, S. Coriasco and E. Schrohe. Fourier integral operators and the index of symplectomorphisms on manifolds with boundary. J. Funct. Anal., 269(11):3528-3574, 2015.

[38] M. Berger, P. Gauduchon and E. Mazet. Le spectre d'une variété Riemannienne. Lecture Notes in Math. Springer, 1971.

[39] S. Bishop. Schatten class Fourier integral operators. Appl. Comput. Harmon. A., 31(2):205-217, 2011.

[40] Y. Canzani and B. Hanin. Scaling limit for the kernel of the spectral projector and remainder estimates in the pointwise Weyl law. Anal. PDE, 8(7):1707-1731, 2015.

[41] D. Cardona. On the nuclear trace of Fourier integral operators. Integracién - UIS, 37(2):219-249, 2019.

[42] J. Chazarain and A. Piriou. Introduction to the Theory of Linear PDE. North-Holland, 1982.

[43] F. Concetti and J. Toft. Schatten-von Neumann properties for Fourier integral operators with non-smooth symbols, I. Ark. Mat. 47, 295, 2009.

[44] F. Concetti and J. Toft. Trace ideals for Fourier integral operators with nonsmooth symbols, I. Fields Ins. Comm., 52:255-264, 2007.

[45] S. Coriasco and M. Ruzhansky. Global L continuity of Fourier integral operators. Trans. Amer. Math. Soc., 366:2575-2596, 2014.

[46] Chung Wu Ho. A note on proper maps. Proc. Amer. Math. Soc., 51:237241, 1975.

[47] J. Delgado and M. Ruzhansky. Schatten classes on compact manifolds: Kernel conditions. J. Funct. Anal., 267(3):772-798, 2014.

[48] S. Yu. Dobrokhotov, G. Makrakis and V. E. Nazaikinskii. Fourier integrals and a new representation of Maslov's canonical operator near caustics. In

E. Khruslov, L. Pastur, and D. Shepelsky, editors, Spectral Theory and Differential Equations: V. A. Marchenko's 90th Anniversary Collection, pages 95-117, AMS, 2014.

[49] J. J. Duistermaat. Fourier Integral Operators. Birkhauser, 1996.

[50] J. J. Duistermaat and V. W. Guillemin. The spectrum of positive elliptic operators and periodic bicharacteristics. Invent. Math., 29:39-79, 1975.

[51] J. J. Duistermaat and L. Hormander. Fourier integral operators. II. Acta Math., 128:183-269, 1972.

[52] R.Felea and A. Greenleaf. An FIO Calculus for Marine Seismic Imaging: Folds and Cross Caps. Comm. PDE, 33(1):45-77, 2008.

[53] R.Felea, A. Greenleaf and M. Pramanik. An FIO calculus for marine seismic imaging, II: Sobolev estimates. Math. Annal., 352:293-337, 2012.

[54] V. Fock. On the canonical transformation in classical and quantum mechanics. Acta Physica Acad. Scient. Hungaricae, 27(1-4):219-224, 1969.

[55] A. Grigis and J. Sjostrand. Microlocal Analysis for Differential Operators. An Introduction. Cambridge University Press, 1994.

[56] T. Hartung and S. Scott. A generalized Kontsevich-Vishik trace for Fourier Integral Operators and the Laurent expansion of (-functions. arXiv:1510.07324v2, 2016.

[57] L. Hormander. Fourier integral operators. I. Acta Math., 127:79-183, 1971.

[58] Yu. A. Kordyukov. Egorov's theorem for transversally elliptic operators on foliated manifolds and noncommutative geodesic flow Math. Phys. Anal. Geom., 8(2):97-119, 2005.

[59] S. Lang. Fundamentals of Differential Geometry. Springer, 1999.

[60] A. Laptev, Y. Safarov and D. Vassiliev. On global representation of Lagrangian distributions and solutions of hyperbolic equations. Commun. Pur. Appl. Math., 47(6):1411-1456, 1994.

[61] J.-M. Lescure and S. Vassout. Fourier integral operators on Lie groupoids. Adv. Math, 320:391-450, 2017.

[62] M. Lesch and C. Neira Jimenez. Classification of traces and hypertraces on spaces of classical pseudodifferential operators. J. Noncommut. Geom, 7:457-498, 2013.

[63] C. Levy, C. Neira Jimenez and S. Paycha. The canonical trace and the noncommutative residue on the noncommutative torus. Trans. Amer. Math. Soc., 368:1051-10957, 2016.

[64] V. Mathai and R. B. Melrose. Geometry of Pseudodifferential Algebra Bundles and Fourier Integral Operators. Duke Math. J. 166(10):1859-1922, 2017.

[65] L. Maniccia, E. Schrohe and J. Seiler. Uniqueness of the Kontsevich-Vishik trace Proc. Amer. Math. Soc., 136:747-752, 2008.

[66] V. E. Nazaikinskii, A. Yu. Savin and P. A. Sipailo. Sobolev problems with spherical mean conditions and traces of quantized canonical transformations. Russ. J. Math. Phys, 26(4):483-498, 2019.

[67] V. Nazaikinskii, B.-W. Schulze and B. Sternin. Quantization methods in differential equations. Taylor and Francis, London and New York, 2002.

[68] V. Nazaikinskii and B. Sternin. Relative elliptic theory. In J. Gil, Th. Krainer and I. Witt, editors, Aspects of Boundary Problems in Analysis and Geometry, pages 495-560, Basel-Boston-Berlin, Birkhauser, 2004.

[69] R. Ponge. Noncommutative Residue and Canonical Trace on Noncommutative Tori. Uniqueness Results. SIGMA, 16, 061, 31pp, 2020.

[70] R. Ponge. Traces on pseudodifferential operators and sums of commutators. J. Anal. Math., 110:1-30, 2010.

[71] A. Savin, E. Schrohe and B. Sternin. Elliptic operators associated with groups of quantized canonical transformations. Bull. Sci. Math., 155:141167, 2019.

[72] S. Scott. Traces and determinants of pseudodifferential operators. Oxford University Press, New York, 2010.

[73] P. A. Sipailo. Traces of quantized canonical transformations on submanifolds and their applications to Sobolev problems with nonlocal conditions. Russ. J. Math. Phys, 26(1):135-138, 2019.

[74] C. D. Sogge. Fourier Integrals in Classical Analysis. Cambridge University Press, 1993.

[75] T. Tsujishita. Spherical means on Riemannian manifolds. Osaka Journal of Mathematics, 13(3):591-597, 1976.

[76] Th. H. Wolff. Lectures on Harmonic Analysis. AMS, 2003.

[77] A. Yoshikawa. On Maslov's canonical operator. Hokkaido Math. J., 4:8-38, 1975.

[78] S. Zelditch. Eigenfunctions of the Laplacian on a Riemannian Manifold. AMS, 2017.