Аппроксимативно компактные множества в банаховых пространствах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Пятышев, Илья Алексеевич

• Пятышев, Илья Алексеевич
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Пятышев, Илья Алексеевич

Введение

Глава I. Операции над аппроксимативно компактными множествами

§1. Теоретико-множественные операции

§2. Алгебраические суммы

§3. Прямые суммы

§4. Пересечение и сумма в решетках

Глава II. Связь между аппроксимативной компактностью и другими свойствами множеств

§1. Выпуклое аппроксимативно компактное тело в Со

§2. Выпуклое аппроксимативно компактное тело в с

§3. Связь с антипроксиминальными множествами

§4. Связь с локальной компактностью

§5. Множество точек аппроксимативной компактности имеет тип Gs

§6. Не аппроксимативно компактное множество существования с конечнозначной метрической проекцией.

Глава III. Аппроксимативная компактность подпространств банаховых пространств

§1. Подпространства конечной коразмерности

§2. Подпространства в пространстве L\

§3. Подпространства конечной коразмерности в CA(D)

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Аппроксимативно компактные множества в банаховых пространствах»

Диссертация посвящена вопросам теории приближений в банаховых пространствах, связанным с понятием аппроксимативной компактности. В ней исследуется сохранение свойства аппроксимативной компактности при различных операциях над множествами; исследуется связь между аппроксимативно компактными и локально компактными множествами; построены примеры аппроксимативно компактных множеств с различными дополнительными свойствами в конкретных банаховых пространствах; получены критерии аппроксимативной компактности подпространств конечной коразмерности в некоторых функциональных пространствах.

Пусть X — линейное нормированное пространство, М — непустое подмножество X, р(х, М) := inf{||a; — у\\:у€ М} — расстояние от элемента х € X до М, Рм{х) = {у 6 М : Цж—у\\ — р(х, М)} — метрическая проекция элемента х на множество М. Оператор Рм : х —» Рм(х), вообще говоря, неоднозначен и определен не на всем X. В случае, если Рм определен на всем пространстве X, М называется множеством существования, а если Рм однозначен на своей области определения, то М называется множеством единственности. Если М является одновременно множеством существования и множеством единственности, то есть для любого х G X в М существует ровно один элемент наилучшего приближения Рм(х), то М называется чебышевским множеством.

Свойства множества быть множеством существования, единственности или чебышевским множеством относятся к числу основных аппроксимативных свойств.

Основными в теории приближения в нормированных пространствах являются задачи следующих типов:

1) получение геометрических, топологических и аналитических характеристик множеств МСХ, обладающих некоторым заданным аппроксимативным свойством в пространстве X,

2) описание линейных нормированных пространств X, в которых заданный класс множеств М CI обладает заданным аппроксимативным свойством.

Теория приближений в нормированных пространствах берет свое начало в классической работе П.Л.Чебышева [25] (1859), в которой, в частности, доказана чебышевость множества Рп алгебраических многочленов степени не выше п и множества Rmv рациональных функций со степенью числителя не выше т и степенью знаменателя не выше п в пространстве С[а,Ь] функций, непрерывных на отрезке [а, Ь]. В этой же работе П.Л.Чебышев описал оператор метрического проектирования на множества Рп и Rmn (теорема об альтернансе). В дальнейшем геометрические вопросы теории приближений в пространстве С изучались А.Хааром (1918), А.Н.Колмогоровым (1948), Е.Я.Ремезом (1953). Окончательное становление геометрической теории приближений произошло в конце 50-х и в 60-е годы благодаря работам И.Зингера, В.Кли, Н.В.Ефимова и С.Б.Стечкина, В.И.Бердышева, Л.П.Власова, А.Л.Гаркави, Е.В.Ошмана, С.Я.Хавинсона, Д.Вульберта, Б.Крипке, Дж.Линденштраусса, П.Морриса, Т.Ривлина, У.Рудина, Р.Фелпса, Р.Холмса, Э.Чини и др. (см. обзорные работы [15], [40], [41], [11], [3], [24]). В дальнейшем существенный вклад в развитие геометрической теории приближений внесли В.С.Балаганский, С.В.Конягин, И.Г.Царьков, Л.Зайичек.

Значительная часть опубликованных работ по геометрической теории приближений группируется вокруг следующей проблемы В.Кли-Н.В.Ефимова-С.Б.Стечкина: доказать (или опровергнуть), что в бесконечномерном гильбертовом пространстве любое чебышевское множество выпукло (об этой проблеме см. [3], [14]). Важную роль в этих исследованиях играет понятие аппроксимативной компактности, введенное в 1961 году Н.В.Ефимовым и С.Б.Стечкиным.

Пусть М — некоторое подмножество банахова пространства X. Последовательность {уп}™=1 С М называется минимизирующей для элемента х £ X, если ||уп — ж|| —> р(ж, М) при п —» оо.

Определение (Н.В.Ефимов, С.Б.Стечкин [17]). Множество М аппроксимативно компактно, если для любого х G X всякая минимизирующая последовательность содержит подпоследовательность, сходящуюся к элементу из М.

Понятие аппроксимативной компактности не зависит от линейной структуры X и может рассматриваться в любом метрическом пространстве.

Аппроксимативно компактное множество М замкнуто, а также является множеством существования.

Для произвольной точки вне множества помимо ближайших точек можно брать точки на чуть большем расстоянии, захватывая таким образом часть множества. Положим Pm,s(%) — {у £ М : ||ж — у|| ^ р(х,М) + Введем расстояние d(M,N) между множествами M,N как sup{/?(a;, N) : х £ М}.

Л.П.Власов [12] доказал эквивалентность следующих условий: а) множество М аппроксимативно компактно; б) для всякого х £ X всякая минимизирующая последовательность сходится к Рм(х) и Рм(х) компактно; в) для всякого х £ X d(PM,5(x), Рм{х)) —> 0, при 5 —» 0+ и Рм{%) компактно; г) для всякого х £ X и е > 0 существует такое 5 > 0, что Рм^{х) имеет конечную £-сеть.

Произвольное множество М в банаховом пространстве не обязано быть аппроксимативно компактным, но для него можно определить множество АС(М) = {ж : V минимизирующей последовательности {уп} С М 3уПк —» у G М} точек аппроксимативной компактности.

В связи с упомянутой проблемой была доказана

Теорема А (Н.В.Ефимов, С.Б.Стечкин [17]). Пусть X — гладкое, равномерно выпуклое банахово пространство. Для того, чтобы чебы-шевское множество М С X было выпукло, необходимо и достаточно, чтобы оно было аппроксимативно компактно. напомним, что пространство называется равномерно выпуклым, если для любого е > 0 найдется такое <5 > 0, что для любых ху у £ X, ||ж|| = ||?/|| = 1, из условия > 2 — 5 вытекает \\х — у\\ < е\ гладкость пространства означает единственность опорной гиперплоскости в каждой точке единичной сферы).

В дальнейшем теорема А обобщалась Л.П. Власовым [11].

Кроме того, Н.В.Ефимов и С.Б.Стечкин показали, что в равномерно выпуклом банаховом пространстве из секвенциально слабой замкнутости множества следует его аппроксимативная компактность (множество М секвенциально слабо замкнуто, если всякая точка — слабый предел последовательности {уп} С М, также принадлежит М).

После работы [17] аппроксимативно компактные множества и подпространства изучались многими авторами. Общая задача описания аппроксимативно компактных множеств в большинстве самых употребительных банаховых пространств не решена. В достаточно "хороших" пространствах X аппроксимативно компактными являются все выпуклые замкнутые множества. Такие пространства называются пространствами Ефимова-Стечкина.

Определение (И.Зингер [38]). Банахово пространство X называется пространством Ефимова-Стечкина, если для любой последовательности {жп} С X, ||a;n|| = 1, из того, что / G X*, ||/|| = 1, f(xn) —» 1, следует существование у {хп} сходящейся подпоследовательности.

Теорема В (И.Зингер [38]). Следующие условия эквивалентны:

1) X — пространство Ефимова-Стечкина;

2) всякое выпуклое замкнутое множество в X аппроксимативно компактно;

3) всякая замкнутая гиперплоскость в X аппроксимативно компактна;

4) всякое слабо замкнутое множество в X аппроксимативно компактно;

5) X рефлексивно и удовлетворяет следующему условию: если последовательность {хп} такова, что ||х'п|| —> ||ж|| и {геп} слабо сходитСЯ 7С 00« тогда существует сходящаяся подпоследовательность хп. —» х.

Другие характеристики пространств Ефимова-Стечкина см. в [21].

В дальнейшем было показано, что в произвольном рефлексивном пространстве можно ввести эквивалентную норму, относительно которой пространство является пространством Ефимова-Стечкина (см.

И).

Но при этом в любом банаховом пространстве можно ввести эквивалентную норму, относительно которой пространство не является пространством Ефимова-Стечкина (см. [21]).

Примерами пространств Ефимова-Стечкина служат пространства Lp, 1 < р < оо. В силу теоремы В задача описания выпуклых аппроксимативно компактных множеств содержательна для пространств, не являющихся пространствами Ефимова-Стечкина, в первую очередь для пространств Li, L^ и пространства С (К) функций, непрерывных на (хаусдорфовом) компакте К.

Понятие аппроксимативной компактности можно ослабить, введя понятие аппроксимативно слабой компактности.

Определение (W.W.Breckner [28]). Множество М слабо аппроксимативно компактно, если для любого х Е X всякая минимизирующая последовательность содержит подпоследовательность, слабо сходящуюся к элементу из М.

При'этом если множество аппроксимативно слабо компактно, то оно является множеством существования и замкнуто (см. [28], [11]).

Пусть Q — бикомпакт, C(Q) — пространство непрерывных веще-ственнозначных функций с нормой ||ж|| = sup{|a;(i)| : t G Q}.

Теорема С (Л.П.Власов [13]). Пусть Y — собственное подпространство существования в С(<3), codimY < оо. Тогда а) если бикомпакт Q бесконечен, то AC(Y) = Y; б) если Q несчетен, то в C(Q) \ Y нет точек слабой аппроксимативной компактности.

В частности, отсюда следует, что всякое собственное подпространство конечной коразмерности в I^ не аппроксимативно компактно.

В работе [9] доказано, что в пространстве с нет бесконечномерных собственных аппроксимативно компактных подпространств, то есть пространство с является антиподом пространств Ефимова-Стечкина.

В III главе настоящей работы получен критерий аппроксимативной компактности для подпространств конечной коразмерности в произвольном банаховом пространстве, а также в некоторых функциональных пространствах.

В любом бесконечномерном банаховом пространстве существует не аппроксимативно компактное множество существования — единичная сфера. Это невыпуклое множество.

Е.В.Ошман [23] доказал следующий результат: для того чтобы в банаховом пространстве X всякое выпуклое множество существования было аппроксимативно компактным, необходимо и достаточно, чтобы X удовлетворяло условию (CDL) (банахово пространство X удовлетворяет условию (CDL), если из условий ||а;п|| — 1,п = 1,2,., ||ж0|| = 1,/ Е X*, II/H = l,f(x0) = 1 = lim f(xn), следует, что последова

71—ЮО тельность {хп} имеет предельную точку). Нетрудно видеть, что всякое пространство Ефимова-Стечкина удовлетворяет условию (CDL).

В любом банаховом пространстве двухточечное множество аппроксимативно компактно, но не является чебышевским. Можно привести пример чебышевского множества, которое не является аппроксимативно компактным (см., например, пример 4 в §2 Главы III).

Если же множество М в банаховом пространстве X аппроксимативно компактно и чебышевское, то оператор метрической проекции Рм непрерывен на всем X (I.Singer [38]).

Аппроксимативно компактные чебышёвские множества в с0 охарактеризованы А.Р.Алимовым [26].

В работе [36] доказано следующее утверждение. Пусть М — чебышевское множество в банаховом пространстве X со свойством: для любого х Е X, ||ж|| = 1, каждая последовательность {уп}, \\Уп\\ < 1, с условием ||уп — х\\ —* 2, имеет сходящуюся подпоследовательность. Тогда М аппроксимативно компактно тогда и только тогда, когда проекция Рм непрерывна в X.

Отметим также один результат Браесса [27]. Пусть Q — бикомпакт.

Если множество М С C(Q) аппроксимативно компактно и чебышев-ское, то оно является строгим солнцем. (Напомним, что множество называется строгим солнцем, если оно множество существования со следующим свойством: если х £ М,у 6 М, р(х, М) = ||я; — г/||, то для всех z, принадлежащих лучу ху — {х + Х(у — х), А > 0} справедливо равенство p{z: М) = ||z — г/||.)

Очевидно, если множество М ограниченно компактно (то есть его пересечение с любым замкнутым шаром является компактным), то оно аппроксимативно компактно. Обратное, вообще говоря, неверно.

Теорема D (П.А.Бородин [6]). В произвольном бесконечномерном сепарабельном банаховом пространстве существует аппроксимативно компактное, но не ограниченно компактное мноэ/сество.

В работе [8] доказано, что в любом рефлексивном банаховом пространстве существует выпуклое ограниченное аппроксимативно компактное тело. Проблема существования (ограниченного) аппроксимативно компактного тела не решена ни для какого класса пространств более широкого, чем класс рефлексивных пространств, а также ни для какого из пространств Li[a, 6], С [а, Ь], с. В пространстве h аппроксимативно компактным является единичный шар [8].

В главе II настоящей работы построен пример ограниченного аппроксимативно компактного тела в пространстве Со, а также пример неограниченного аппроксимативно компактного тела в пространстве с.

Отметим еще результат М.-Б.А.Бабаева [2]. Пусть d,l € N,d < I, х = (ж1,., xd), у = (xd+1,., xl), I = [0,1]. Рассмотрим класс били

ТП нейных форм G™ = {д = £ ф^х)^(у) : ф{ £ Lp(Id): ipt в Lp(Il~d)}, где i=1 m > 0,1 < р < оо — фиксированы. М.-Б .А.Бабаев доказал, что множество билинейных форм G™ является аппроксимативно компактным в пространстве Lp(Il).

Помимо описания аппроксимативно компактных подпространств и выпуклых множеств интересен вопрос об аппроксимативной компактности дополнений к выпуклым телам — каверн.

Л.П.Власов [10] доказал, что в банаховом пространстве не существует аппроксимативно компактных и аппроксимативно выпуклых множеств вида Х\М, где М — ограниченное множество (множество М называется аппроксимативно выпуклым, если для каждого х метрическая проекция Рм(х) не пуста и выпукла).

В этой же работе Л.П.Власов получил следующее обобщение теоремы А: в банаховом пространстве X, которое равномерно гладко по каждому направлению, всякое аппроксимативно компактное и аппроксимативно выпуклое множество выпукло. Банахово пространство X называется равномерно гладким по направлению h Е X, если lim при t —> 0 существует равномерно по всем х с ||а;|| = 1.

Кроме аппроксимативно компактных множеств, изучались свойства множеств аппроксимативно компактных точек.

Следующая теорема принадлежит С.В.Конягину [20]. Пусть X — пространство Ефимова-Стечкина, и при некотором а > 0 выполняется условие: для любых двух последовательностей {sn} и {hn}, ||s;|| = \\hi\\ = l,i — 1,2,., неравенства ||sm — hn\\ ^ 2 — а влекут lim ||sn +

71—ЮО hn|j < 2. Тогда ЛС(М) связно для любого замкнутого М С X.

Кроме того, С.В.Конягин [22] доказал эквивалентность следующих условий:

1) АС(М) плотно в X для любого замкнутого М С X;

2) АС(М) имеет вторую категорию для любого замкнутого М С Х\

3) X — пространство Ефимова-Стечкипа;

4) АС(М) связно для любого замкнутого М С X. Здесь множество II категории — это дополнение к счетному объединению нигде не плотных множеств.

Во II главе доказано, что множество точек аппроксимативной компактности АС(М) имеет бэровский тип для любого замкнутого М в любом банаховом пространстве X.

Приведем аналогичные результаты для множества Е(М) = {ж : Рм(х) ф 0} точек, для которых в М есть ближайшая.

Для того, чтобы для любого замкнутого множества М С X множество Е(М) было связно, необходимо и достаточно, чтобы X было пространством Ефимова-Стечкина (С.В.Конягин [22]).

Пусть рефлексивное пространство X обладает свойством: для любой последовательности {ж,,}, слабо сходящейся к х, из условия ||жп|| —> || re || следует, что хп —> х. Тогда для каждого замкнутого М С X множество Е(М) имеет II категорию (К.-С.Лау [34]).

Обозначим Т{М) = {х : \Рм(х)\ = 1} — множество точек, для которых существует и единственна ближайшая в М точка. В работе [42] С.Б.Стечкин доказал, что для замкнутого множества М в равномерно выпуклом пространстве множество Т(М) имеет II категорию. Для локально равномерно выпуклых и рефлексивных строго выпуклых пространств это неверно (см. [30] и [33]). Если же пространство X локально равномерно выпукло и рефлексивно, то для каждого замкнутого М С X множество Т(М) имеет II категорию (К.-С.Лау [34]).

Обозначим В(х,г) — открытый шар с центром в ее, радиуса г.

Для замкнутого множества М обозначим W(M) = АС{М) П Т(М). Тогда если пространство X* сепарабельно, норма в X* дифференцируема по Фреше, а норма в X равномерно дифференцируема по Фреше, то множество X \ W(M) — <т-пористо [43]. ( Множество М С X называется пористым, если существуют такие 0 < а ^ 1,го > 0, что для любых х G X и 0 < г < rQ найдется такое г/, что В (у, аг) с В(х,г) П (X \ М). Множество М называется сг-пористым, если оно является счетным объединением пористых множеств. Понятия пористости и а-пористости введено Е.П.Долженко). Ясно, что всякое а-пористостое множество имеет I категорию. В равномерно выпуклом пространстве для замкнутого множества М множество X \ W(M) также является сг-пористым см. [31].

В некотором смысле антиподом аппроксимативно компактным множествам являются антипроксиминальпые множества. Напомним, что множество М называется антипроксилшналъным, ссли Рм(%) — 0 Для любого х ф М.

Антипроксиминальпым множествам посвящены работы многих авторов. Наиболее яркие результаты получены В.С.Балаганским. Пусть Q — бесконечный бикомпакт. В пространстве X = C(Q) существует ограниченное замкнутое выпуклое тело, которое является антипрок-симинальным для X (см. [4]).

В бесконечномерном пространстве X = Li(S,T,,fi) с а—конечной мерой В.С.Балаганским [5] доказано существование такого центрально-симметричного антипроксиминального множества М, что X \ М выпукло и ограничено.

В главе II показывается, что в пространстве с, в определенном смысле "плохой", сферой замыкание дополнения к выпуклому аппроксимативно компактному телу является антипроксиминальным множеством.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы из 48 наименований. Общий объем диссер

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Пятышев, Илья Алексеевич, 2008 год

1. Андреев В. И. О непрерывности метрической проекции и аппроксимативной компактности подпространств в Li(S, Е, р) // Теория приближений функций (Третья Междунар. конф. по теории приближения функций, Калуга, июль 1975). М.: Наука, 1977. С. 13-20.

2. Бабаев М.-Б. А. О наилучшем приближении билинейными формами // Матем. заметки. 1989. Т. 46. № 2. С. 21-33.

3. Балаганекий B.C., Власов Л.П. Проблема выпуклости чебышев-ских множеств // Успехи матем. наук. 1996. Т. 51, № 6. С. 125-188.

4. Балаганекий B.C. Антипроксиминальные множества в пространствах непрерывных функций // Матем. заметки. 1996. Т. 60, № 5. С. 643-657.

5. Балаганекий В. С. Аппроксимативные свойства множеств с выпуклым дополнением //Труды Института математики и механики. 1998. Т. 5. Екатеринбург: УрО РАН. С. 174-195.

6. Бородин П.А. Пример ограниченного аппроксимативно компактного множества, не являющегося компактным // Успехи матем. наук. 1994. Т. 49, № 4. С. 157-158.

7. Бородин П.А. О линейности оператора метрического проектирования на чебышевские подпространства в пространствах Li и С // Матем. заметки. 1998. Т. 63, вып. 6. С. 812-820.

8. Бородин П.А. О выпуклых аппроксимативно компактных множествах и пространствах Ефимова-Стечкина // Вести. Моск. ун-та. Сер. 1, Матем. Мех. 1999. № 4. С. 19-21.

9. Бородин П. А. Аппроксимативные свойства подпространств в пространствах типа с // Вести. Моск. ун-та. Сер. 1, Матем. Мех. 2002. № 5. С. 54-58.

10. Власов Л.П. Аппроксимативно выпуклые множества в равномерно гладких пространствах // Матем. заметки. 1967. Т. 1, № 4. С. 443-450.

11. Власов Л.П. Аппроксимативные свойства множеств в линейных нормированных пространствах // Успехи мат. наук. 1973. Т. 28, № 6. С. 3-66.

12. Власов Л.П. Понятие аппроксимативной компактности и его варианты // Матем. заметки. 1974. Т. 16, № 2. С. 337-348.

13. Власов Л.П. Аппроксимативные свойства подпространств конечной коразмерности в C(Q) // Матем. заметки. 1980. Т. 28, № 2. С. 205-222.

14. Власов Л.П. О непрерывности метрической проекции // Матем. заметки. 1981. Т. 30, № 6. С. 813-818.

15. Гаркави А.Л. Теория наилучшего приближения в линейных нормированных пространствах // Итоги науки. ВИНИТИ АН СССР. Математический анализ. 1969. С. 75-132.

16. Данфорд П., Шварц Дою. Линейные операторы. Общая теория. М., 1962.

17. Ефимов П.В., Стечкин С.Б. Аппроксимативная компактность и чебышевские множества //Докл. АН СССР. 1961. 140, N 3. С. 522-524.

18. Кириллов А.А., Гвишиани А.Д. Теоремы и задачи функционального анализа. М.:"Наука", 1988.

19. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.:"Наука", 1989.

20. Конягин С. В. Связность множеств в задачах наилучшего приближения //Докл. АН СССР. 1981. 261, № 1. С. 20-23.

21. Конягин С.В., Царьков И.Г. Пространства Ефимова-Стечкина // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1, Матем. Мех. 1986. N 5. С. 20-27.

22. Конягин С. В. Об аппроксимативных свойствах произвольных замкнутых множеств в банаховых пространствах// Фундаментальная и прикладная математика. 1997. Т.З, № 4. С. 979-989.

23. Ошман Е.В. Чебышевские множества, непрерывность метрической проекции и некоторые геометрические свойства единичной сферы в пространстве Банаха // Известия высших учебных заведений 1969, Т. 83 № 4. С. 38-46.

24. Царьков И. Г. Геометрическая теория приближения в работах С.Б.Стечкина // Известия Тульского государственного университета, 2005, Т.11, Вып.1, Математика, С.236-260.

25. Чебышев П.Л. Вопросы о наименьших величинах, связанных с приближенным представлением функций //1859. в кн.: Чебышев П.Л. Поли. собр. соч. Т.2. М.-Л., изд-во АН СССР, 1947. С. 151235.

26. Alimov A.R. Characterizations of Chebyshev sets in Co // Journal of Approx. Theory, 2004, V.129(2), P. 217-229.

27. Braess D. Geometrical characterizations for nonlinear uniform approximation // Journal of Approx. Theory, 1974, V.ll, №3, P. 260274.

28. Breckner W. W. Bemerkungen uber die Existenz von Minimallosungen in normierten linearen Raumen // Mathematica (Cluj) 10(33). 1968, P. 223-228.

29. Cheney E.W., Wulbert D.E. The existence and unicity of best approximations // Math. Scand. 1969. V.24. № 1. P. 113-140.

30. Cobzas S. Antiproximinal sets in Banach spaces // Math. Balkanica 4 (1974). P. 79-82.

31. De Blasi F.S., Myjak J., Papini P.L. Porous sets in best approximation theory j j J. London Math. Soc. (2) 44 (1991), no.l, P.135-142.

32. Dunham C.B. Chebyshev Sets in C{0,1] which are not suns// Canad. Math. Bull, 18(1) (1975), P.35-37.

33. Edelstein M. Weakly proximinal sets // J. Approximation Theory 18 (1976) P. 1-8.

34. Lau K.-S. Almost Chebyshev subsets in reflexive Banach spaces // Indiana Univ. Math. J. 1978. V. 27. № 5. P. 791-795.

35. Morris P.D. Metric projection onto subspaces of finite codimension // Duke Math. J. 1968. 35, № 4, P. 799-808.

36. Panda B.B., Kapoor O.P. Approximative compactness and continuity of metric projections j J Bull. Austral. Math. Soc. 1974. V.ll, № 1. P. 47-55.

37. Singer I. Caracterisation des elements de meilleure approximation dans un cspace de Banach quelconque // Acta Sci. Math. Szeged., 1956. V. 17. P. 181-189.

38. Singer I. Some remarks on approximative compactness //Rev. roum. math, pures et appl. 1964. 9, № 2. P. 167-177.

39. Singer I. Cea mai buna aproximare in spatii vectoriale normate prin elemente din subspatii vectoriale // Bucuresti, Acad. Rep. Soc. Romania. 1967

40. Singer I. Best Approximation in Normed Linear Spaces by Elements of Linear Subspaces // Acad. SRR, Bucharest; Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York, 1970.

41. Singer I. The theory of best approximation and functional analysis // CBMS 13/ Philadelphia: SIAM. 1974.

42. Stechkin S.B. Approximation properties of sets in normed linear spaces // Rev. Math. Pures. Appl. 1963. 8, P. 5-18.

43. Zajicek L. On the Frechet differentiability of distance functions // Rend. Circ. Mat. Palermo (2) 1984, no. Suppl.5, P. 161-165.

44. Пяты шее И. А. Пример выпуклого аппроксимативно компактного тела в пространстве с0 // Вестн. Моск. ун-та. сер.1 Матем. Мех. 2005. № 3. С. 57-59.

45. Пятышев И. А. Пример выпуклого аппроксимативно компактного тела в пространстве с0 // Современные методы теории функций и смежные проблемы. Материалы Воронежской зимней математической школы. Воронеж. Изд-во Воронежского ун-та. 2005. С. 190-191.

46. Пятышев И.А. Операции над аппроксимативно компактными множествами j j Матем. заметки 2007. Т. 82, № 5. С. 729-736.

47. Пятышев И А. Пример ограниченного аппроксимативно компактного множества, не являющегося локально компактным // Успехи мат. наук. 2007. Т. 62, № 5. С. 163-164.

48. Пятышев И А. Об аппроксимативно компактных множествах в банаховых пространствах // Международная летняя математическая школа С.Б.Стечкина по теории функций (Алексин, 2007). Издательство Тульского университета. С. 115-118.