Геометрические и аппроксимативные свойства слабо выпуклых множеств в пространствах с несимметричной полунормой тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.09, кандидат наук Лопушански, Мариана Сергеевна

• Лопушански, Мариана Сергеевна
• кандидат наук
• 2018

Оглавление диссертации кандидат наук Лопушански, Мариана Сергеевна

Оглавление

Введение

Глава 1. Свойства проекции на слабо выпуклые множества в пространствах с несимметричной полунормой

1.1. Определения и обозначения

1.2. Вспомогательные результаты

1.3. Свойства М-проекции для М-слабо выпуклых множеств

Глава 2. Сильно и слабо выпуклые множества относительно квазишара

2.1. Классы М-замкнутых и М-квазиограниченных множеств

2.2. Cвойства сильно и слабо выпуклых множеств в пространствах с несимметричной полунормой

2.3. Корректность задачи о ближайших точках

2.4. Теоремы об исчислении параметров выпуклости и о замкнутости суммы Минковского двух множеств

Глава 3. Теорема отделимости и ее приложения

3.1. Теорема об отделимости

3.2. О слабой выпуклости относительно слагаемого квазишара

3.3. О непрерывности пересечения многозначных отображений в пространствах с несимметричной полунормой

Глава 4. Нормальная регулярность слабо выпуклых множеств

4.1. Двойственные отображения

4.2. Описание ограниченно равномерно гладкого квазишара

4.3. Нормальная регулярность слабо выпуклых множеств

Заключение

125

Список литературы

126

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Геометрические и аппроксимативные свойства слабо выпуклых множеств в пространствах с несимметричной полунормой»

Введение

Актуальность темы исследования и степень ее разработанности.

Выпуклый анализ играет важную роль при решении задач оптимизации и аппроксимации. Для задач выпуклой оптимизации разработаны гораздо более эффективные алгоритмы решения, чем для задач невыпуклой оптимизации. Тем не менее, для многих практических задач классическое понятие выпуклости недостаточно информативно, оно носит лишь качественный характер: множество (или функция) либо выпукло, либо нет. Гораздо более информативное описание свойств выпуклости функций и множеств дает интенсивно развивающийся в последние годы параметрически выпуклый анализ. В рамках параметрически выпуклого анализа, включающего в себя теории сильно и слабо выпуклых функций и множеств, рассматриваются количественные параметры, показывающие, насколько множество или функция сильно выпуклы или насколько они отличаются от выпуклых.

Понятие сильно выпуклой функции было введено Б.Т. Поляком в 1966 году в работе [41], в которой он доказал сходимость алгоритмов решения задач условной оптимизации. Функция д : Е ^ К и называется

сильно выпуклой с константой С > 0, если функция д(х) — ^||ж||2 является выпуклой функцией. Позже было показано, что алгоритмы минимизации сильно выпуклых функций сходятся значительно быстрее алгоритмов минимизации выпуклых функций (см., например, монографию Ю.Е. Нестерова [37]). В 1975 году А. Плиш [88] ввел понятие сильно выпуклых множеств (А. Плиш называл эти множества Д-регулярными) и использовал их для исследования множеств достижимости нелинейных управляемых систем. Множество называется Я-сильно выпуклым, если оно представимо в виде пересечения замкнутых шаров радиуса Я. В работах Г.Е. Иванова и Е.С. Половинкина [29, 30] теория сильно выпуклых множеств была приме-

нена для построения высокоэффективных алгоритмов поиска оптимальных стратегий в дифференциальных играх. Другие приложения сильно выпуклых множеств описаны в работах С. Лоджасевича [79], Х. Франковской и Ч. Олеха [71], М.А. Красносельского и А.В. Покровского [33]. Подробно свойства сильно выпуклых множеств изучены в статье Е.С. Половинкина [39] и в его книге в соавторстве с М.В. Балашовым [40].

Условия сильной выпуклости в практических задачах позволяют использовать алгоритмы, которые сходятся быстрее, чем стандартные алгоритмы выпуклой оптимизации, не использующие сильную выпуклость. Задача минимизации сильно выпуклой функции на выпуклом множестве подробно рассмотрена в монографии Ю.Е. Нестерова [37]. Задача минимизации выпуклой функции на сильно выпуклом множестве рассмотрена М.В. Балашовым и М.О. Голубевым в работе [48], а также в диссертации М.О. Голубева [11], где доказана сходимость метода проекции градиента со скоростью геометрической прогрессии. В работе [46] М.В. Балашов доказал сходимость этого метода с такой же по порядку скоростью для задач оптимизации невыпуклых, но гладких функций на сильно выпуклом множестве. Таким образом, условия сильной выпуклости (по сравнению с классическими условиями выпуклости) дают возможность строить более эффективные алгоритмы решения оптимизационных задач.

Другая часть параметрически выпуклого анализа - теория слабо выпуклых множеств и функций, - позволяет применять методы выпуклого анализа к невыпуклым объектам, обладающим некоторыми ослабленными свойствами выпуклости. К таким объектам относятся гладкие (в определенном смысле) множества и функции. Одним из важнейших вопросов теории оптимизации является вопрос о применимости алгоритмов для численного решения той или иной задачи (например, для того, чтобы использовать метод проекции градиента необходимо доказать существование

проекции точки на множество, но, как известно, в случае произвольного множества проекции может не существовать). На практике возникают невыпуклые объекты, для которых классические методы и теоремы выпуклого анализа неприменимы. Теория слабо выпуклых множеств и функций позволяет применить методы выпуклого анализа и известные численные методы для решения задач оптимизации к невыпуклым объектам. Так, например, в работе [47] М.В. Балашов доказал сходимость метода проекции градиента при решении задачи минимизации сильно выпуклой функции на слабо выпуклом множестве при определенном соотношении констант сильной и слабой выпуклости.

В настоящей работе предлагается единый подход, позволяющий объединить теории слабо выпуклых множеств и слабо выпуклых функций и получить принципиально новые результаты, важные для решения задач оптимизации и аппроксимации.

Пусть Е - нормированное пространство,

р(х, А) = т£ Цх — а||

аеА

- расстояние от точки х е Е до множества А с Е,

Р(х, А) = {а е А : Цх — а|| = р(х, Л)}

- метрическая проекция точки х на множество А.

Чебышевским слоем радиуса Я > 0 множества А называется такое множество

и (Я, А) = {х е Е : 0 < р(х, А) < Я},

что метрическая проекция Р (х,А) любой точки х е и (Я, А) состоит ровно из одного элемента. Если множество А имеет чебышевский слой любого радиуса, то оно называется чебышевским множеством.

В 1959 году, в связи с исследованием чебышевских множеств, в работе [14] Н.В. Ефимов и С.Б. Стечкин ввели понятие а-выпуклого множества, впоследствии названного слабо выпуклым по Ефимову-Стечкину. Множество А в нормированном пространстве Е называется слабо выпуклым по Ефимову-Стечкину с константой R > 0, если существует такое непустое множество X с Е, что

А = П (Е \ int BR(x)),

хеХ

где Br(x) - замкнутый шар радиуса R с центром в точке х.

Так же 1959 году в работе [69] Г. Федерер определил множества положительной достижимости. Множество А с Rn является множеством положительной достижимости, если reach (Л) > 0, где

reach (Л) = supjr > 0 | Р(х, А) одноэлементно Ух е Е : 0 < д(х, А) < г}.

Очевидно, что множество А является множеством положительной достижимости тогда и только тогда, когда оно обладает чебышевским слоем ненулевого радиуса. В 1983 году Ж.-Ф. Виаль в работе [98] ввел понятие слабо выпуклых множеств в конечномерном пространстве. Множество А с R называется слабо выпуклым (по Виалю) с константой R> 0, если для любых двух точек х0,х1 е А таких, что 0 < \х1 — ж0\\ < 2R множество D(x0,x1) \ {х0,х1} имеет непустое пересечение с А, где множество

D(x0,xi)= f| BR(d)

deRn: {х0,хЛ}сВд(d)

называется сильно выпуклым отрезком. Позже было показано, что замкнутое множество А с Rn обладает чебышевским слоем радиуса R тогда и только тогда, когда оно слабо выпукло по Виалю с константой R. В неевклидовом пространстве понятия множества, слабо выпуклого по Виалю и множества с положительным чебышевским слоем различны.

В работе [60] 1995 года Ф. Кларк, Р. Штерн и П. Воленски обобщили понятие множества положительной достижимости на гильбертовы пространства, введя понятие проксимально гладкого множества - т.е. множества А, для которого существует такое число Я > 0, что функция расстояния р(^,А) непрерывно дифференцируема в и (Я, А).

В 1996 году Р. Поликвин и Р. Рокафеллар [89] рассматривали прокс-регулярные множества в гильбертовом пространстве. Р. Поликвин, Р. Рокафеллар и Л. Тибо доказали, что класс равномерно прокс-регулярных множеств совпадает с классом проксимально гладких множеств. Далее в 2006 году Ф. Бернард, Л. Тибо и Н. Златева рассматривали прокс-регуляр-ные и проксимально гладкие множества в равномерно выпуклых и равномерно гладких банаховых пространствах [52]. В частности, они доказали, что в данных пространствах равномерная прокс-регулярность множества А эквивалентна проксимальной гладкости А, а также тому, что А имеет чебышевский слой положительного радиуса, в котором метрическая проекция непрерывно зависит от проецируемой точки.

В монографии Г.Е. Иванова [19] 2006 года подробно исследуются слабо выпуклые по Виалю множества в гильбертовом пространстве. Доказано, что если замкнутое множество А слабо выпукло по Виалю с константой Я > 0, то оно обладает чебышевским слоем величины Я. В той же книге показано, что обратное утверждение верно в случае локальной компактности множества А. Если же множество А не является локально компактным, но обладает чебышевским слоем радиуса Я, то вопрос о том, является ли оно слабо выпуклым по Виалю, открыт, также как и известный вопрос о выпуклости чебышевских множеств. Так же в работе Г.Е. Иванова [17] доказано, что в гильбертовом пространстве из слабой выпуклости по Виалю следует слабая выпуклость по Ефимову-Стечкину, и приведен пример, что обратное неверно. В работе М.В. Балашова и Г.Е. Иванова [6] доказано,

что метрическая проекция точки на слабо выпуклое множество липшицева относительно точки и гелдерова с коэффициентом 2 относительно множества.

В статье [8] 2009 года М.В. Балашов и Г.Е. Иванов исследовали различные понятия слабой выпуклости в равномерно гладких и равномерно выпуклых банаховых пространствах. В данной статье также рассматривались множества, удовлетворяющее опорному условию слабой выпуклости. Говорят, что множество А в банаховом пространстве Е удовлетворяет опорному условию слабой выпуклости с константой Я > 0, если для любых точек х е и (Я, А) и а е Р (х, А) справедливо неравенство

р(а + ^———¡г (х — а), А) > Я, \ Их — аИ )

т.е. шар радиуса Я касается множества А в точке а.

В работе [8] доказано, что в равномерно выпуклом и равномерно гладком банаховом пространстве понятия проксимальной гладкости и опорное условие слабой выпуклости эквивалентны. Из условия слабой выпуклости по Виалю следует, что множество удовлетворяет опорному условию слабой выпуклости с той же константой. Обратное верно в случае, если шар -порождающее множество [9].

В работах А.Р. Алимова [3], [45] и в совместной работе с И. Г. Царь-ковым [4], а так же в докторской диссертации А.Р. Алимова [1] были изучены свойства множеств, слабо выпуклых по Виалю с константой Я в пространствах, которые не являются ни равномерно выпуклыми, ни равномерно гладкими.

Как было сказано выше, класс слабо выпуклых множеств шире класса выпуклых множеств, но слабо выпуклые множества обладают многими полезными свойствами выпуклых множеств и часто используются при решении задач, имеющих практическое значение - например, в теории диф-

ференциальных включений (см., например, [97]), в теории дифференциальных игр ([18]), в теории многозначных отображений (см., например, [7]), при исследовании алгоритма метода проекции градиента (см., например, [47]).

Параллельно с теорией слабо выпуклых множеств в последние годы интенсивно развивается теория слабо выпуклых функций. Различные авторы давали различные определения и названия для слабо выпуклых функций. Р. Джанин [76] рассматривал в Rn класс PC2 функций, локально разложимых в сумму выпуклой функции и положительно определенной квадратичной функции. Р.-Т. Рокафеллар [91] ввел и изучал класс lower — С2 функций, представимых как максимум семейства квадратичных функций. Р.-Т. Рокафеллар продемонстрировал удобство применения введенных им функций в субградиентной оптимизации. Функция f : Е ^ R U на-

зывается слабо выпуклой c константой С > 0, если функция f (х) + ^ 1М|2 является выпуклой функцией. Это определение предложил Ж.-Ф. Виаль в работе [98], где он исследовал свойства таких функций в Rn и показал совпадение этого класса с классами PC2 и lower — С2 функций. В гильбертовом пространстве слабо выпуклые функции подробно исследованы в работе [19]. В частности исследована связь между слабой выпуклостью и гладкостью функции, а также разработано исчисление параметров выпуклости функций в связи с различными операциями над функциями. Если рассматривать сильно и слабо выпуклых функции в банаховом пространстве, то определенные таким способом объекты теряют свои «хорошие» свойства. В связи с этим различные авторы рассматривали другие классы функций, совпадающие с классом слабо выпуклых функций в случае гильбертова пространства. Ф. Бернард, Л. Тибо и Н. Златева рассматривали класс J — plr функций в банаховом пространстве. Они установили некоторую связь между свойством J — plr и равномерной прокс-регулярностью

надграфика этой функции. В Rn классы J — plr, lower — С2 и PC2 функций совпадают с классом слабо выпуклых функций, но в неевклидовом пространстве эти классы различны.

На практике часто возникают задачи наилучшего приближения, в которых роль нормы играет несимметричная норма, т.е. выпуклая положительно однородная и положительно определенная (т.е. положительная везде, кроме нуля) функция, но, в отличие от нормы, не обязательно симметричная. Иначе говоря, несимметричная норма - это функционал Минков-ского некоторого выпуклого замкнутого ограниченного и поглощающего множества. Несимметричная норма (как функционал Минковского) впервые возникла в работах Г. Минковского, где исследовались ее свойства в конечномерных пространствах. Термин «несимметричная норма» был предложен М.Г. Крейном [5], который исследовал свойства несимметричной нормы в бесконечномерных пространствах. Пространства с несимметричной нормой подробно исследовались в работах Ш. Кобзаша [63], К. Алегре [44], С. Ромагуера [92], П.А. Бородина [10], А.Р. Алимова [2] и др. Задачи наилучшей аппроксимации в пространствах с несимметричной нормой рассматривались в работах Ч. Дунхама [67], Р. Даффина и Л. Карловитца [66], Ф. Де Блази и Дж. Мижака [55]. Использование несимметричной нормы для анализа сложности программ подробно описано в совместных работах С. Ромагуеры и М. Шеллекенса [93], [94], [95], [96].

Ослабляя в определении несимметричной нормы условие положительной определенности до условия неотрицательности, приходим к более общему определению несимметричной полунормы. Иначе говоря, несимметричная полунорма - это функционал Минковского некоторого выпуклого замкнутого и поглощающего, но не обязательно ограниченного множества, которое будем называть квазишаром. Квазишар играет роль единичного шара в пространствах с несимметричной полунормой. Такие пространства

исследовались в работах [62], [63], [77]. В диссертации развивается предложенная в статье [16] идея создания единой теории слабо выпуклых множеств и слабо выпуклых функций путем рассмотрения слабо выпуклых множеств в пространствах с несимметричной полунормой. Если в качестве квазишара М взять шар Br(0), то класс слабо выпуклых выпуклых множеств относительно квазишара М = Вд(0) совпадает с классом множеств, удовлетворяющих опорному условию слабой выпуклости с константой R, а при дополнительном условии строгой выпуклости шара совпадает с классом Д-прокс-регулярных множеств. С другой стороны, если в качестве квазишара взять надграфик квадрата нормы в гильбертовом пространстве, сдвинутый так, чтобы этот надграфик содержал начало координат в качестве внутренней точки, то класс функций, надграфики которых слабо выпуклы относительно этого квазишара, будет совпадать с классами функций, слабо выпуклых по Виалю, классами PC2, lower — С2 и J — plr функций.

Важным случаем оптимизационной задачи с параметром является задача инфимальной конволюции, впервые введенная Ж.-Ж. Моро [85]. Инфимальной конволюцией двух функций f : Е ^ R U {+^} и д : Е ^ R U {+^} называется функция

(/ Ш д)(х) = inf (f (х — и) + д(и)) , ж Е Е.

иеЕ \ J

Надграфик инфимальной конволюции двух функций с точностью до замыкания совпадает с суммой Минковского надграфиков исходных функций. Инфимальную конволюцию можно рассматривать как обобщение регуляризации Моро-Иосиды [85], [99]. В монографии [19] показано, что в гильбертовом пространстве вопрос о существования и единственности минимума инфимальной конволюции двух функций эквивалентен вопросу о замкнутости суммы Минковского надграфиков данных функций.

В работе [74] Г.Е. Иванов определил слабо выпуклые функции в банаховом пространстве через инфимальную конволюцию. В теореме 3.5 данной статьи доказано, что такое определение слабо выпуклых функций эквивалентно определению слабой выпуклости надграфика функции относительно квазишара, который является сдвигом надграфика квадрата нормы. В этой же работе показано, что этот класс слабо выпуклых функций в случае совпадает с классом функций, слабо выпуклых по Виалю, а в банаховом пространстве является подклассом класса 3 — р1г функций.

Первые две главы диссертации посвящены свойствам проекции точки на слабо выпуклое множество в пространстве с несимметричной полунормой. В диссертации доказано (параграф 1.3), что множество, слабо выпуклое относительно квазишара М с константой Я > 0 обладает чебы-шевским слоем величины Я (в смысле несимметричной полунормы). При этом используется доказанная в диссертации теорема о равномерной малости диаметра е-проекции на слабо выпуклое множество при малом £ > 0, которая имеет самостоятельное значение.

В теории методов оптимизации огромное значение играет понятие корректности задачи, в частности, корректности по Тихонову (см. [43, 65]). Корректность задач оптимизации позволяет строить устойчивые алгоритмы решения этих задач. Задача штхеЕ /(х) называется корректной по Тихонову (где / : Е ^ К и если любая минимизирующая последовательность сходится к точке минимума этой задачи. В теореме 2.5 работы [74] получена характеризация свойства слабой выпуклости множества А в терминах корректности по Тихонову задачи наилучшего приближения точки из чебышевского слоя. В параграфе 2.3 диссертации исследована корректность по Тихонову более общей задачи, а именно, задачи поиска ближайших (в смысле несимметричной полунормы) точек двух множеств, одно из которых слабо выпукло, а другое - сильно выпукло. В теореме 2.3.1

рассмотрен случай, когда расстояние между этими множествами положительно. В теореме 2.3.2 расстояние между этими множествами может быть нулевым, но требуются дополнительное условие М-квазиограниченности слабо выпуклого множества, без которого, как показано на примере, результат неверен. Используя данный результат, в параграфе 2.4 доказана замкнутость суммы Минковского двух множеств, одно из которых слабо выпукло, а другое - сильно выпукло.

Третья глава диссертации посвящена теореме об отделимости и ее приложениям. В 1920-х годах С. Банах и Г. Хан независимо доказали классическую теорему об отделимости двух выпуклых непересекающихся множеств гиперплоскостью. Эта теорема широко используется в методах оптимизации, поскольку она порождает теорию двойственности в выпуклом анализе. Однако два невыпуклых непересекающихся множества в общем случае неотделимы гиперплоскостью. Но если одно множество сильно выпукло, а другое слабо выпукло, то при определенном соотношение параметров выпуклости их можно отделить границей шара. Для гильбертова пространства это доказано в книге [19]. Для равномерно выпуклого и равномерно гладкого банахова пространства этот результат получен в работе [8]. В диссертации данный результат обобщен на банаховы пространства с несимметричной полунормой. В параграфе 3.1 доказано, что слабо выпуклое относительно квазишара М множество можно отделить от сильно выпуклого относительно М множества границей этого квазишара при условии, что эти множества не пересекаются или касаются (пересекаются только в граничных точках). Используя доказанную в параграфе 3.1 теорему об отделимости, в параграфе 3.2 доказано, что если множество слабо выпукло относительно некоторого квазишара М, то оно слабо выпукло относительно любого квазишара, являющегося слагаемым М. Этот результат обобщает известные факты, состоящие в том, что из слабой выпуклости

(по Виалю или по Ефимову-Стечкину) множества с константой Я следует слабая выпуклость этого множества (в соответствующем смысле) с любой положительной константой Я\ < Я.

Также в третьей главе диссертации рассматривается вопрос о непрерывности пересечения многозначных отображений. Теория многозначных отображений подробно изложена в монографии Е.С. Половинкина [38]. Исследования непрерывности пересечения многозначных отображений велись, например, в работах Ж.-Ж. Моро [86], Дж. Де Блази и Дж. Пья-ниджани [56], Ж.-П. Пено [87]. Известно, что пересечение двух вы-пуклозначных, компактнозначных и непрерывных многозначных отображений может не быть непрерывным. В статье [49] М.В. Балашов и Д. Реповш показали, что если два многозначных отображения непрерывны и значения одного из них выпуклы и замкнуты, а значения другого равномерно выпуклы, то многозначное отображение, заданное как пересечение их значений будет непрерывным. В статье [50] эти же авторы доказали, что для пространств с модулем выпуклости второго порядка в этой теореме условие выпуклости значений многозначного отображения можно ослабить, заменив некоторым условием в терминах модуля невыпуклости, введенного авторами. В работе [73] Г.Е. Иванов доказал непрерывность многозначного отображения, заданного как пересечение значений двух непрерывных многозначных отображений, значения одного из которых замкнуты и слабо выпуклы, а значения другого замкнуты и равномерно выпуклы. В диссертации в параграфе 3.3 этот результат обобщен на случай, когда значения этих многозначных отображений соответственно сильно и слабо выпуклы относительно некоторого квазишара. При этом используется теорема об отделимости, доказанная в параграфе 3.1.

В связи с тем, что в задачах оптимизации естественным образом возникают недифференцируемые функции, для исследования таких функ-

ций потребовалось разработать аналог дифференциального исчисления. В. Фенхель в начале 50-х годов двадцатого века ввел понятие субдифференциала выпуклой функции, что позволило сформулировать аналог теоремы Ферма о необходимом условии минимума (см. [70]). Для невыпуклых функций субдифференциал Фенхеля может быть пустым, что существенно ограничивает его применение. В работах начала 70-х годов двадцатого века Ф. Кларк (см. [59]) предложил ввести обобщенный градиент (позже названный субдифференциалом Кларка) для негладких невыпуклых функций и заложил основы негладкого анализа. С этого времени негладкий анализ довольно активно развивался, в том числе в работах Ф.Кларка, Р.-Т. Рокафеллара, Б.Ш. Мордуховича, Б.Н. Пшеничного, А.Д. Иофе, В.М. Тихомирова, В.Ф. Демьянова, А.М. Рубинова, их коллег и учеников (см., например, [12], [13], [31], [32], [58], [83], [84]).

Субдифференциал Кларка во многих задачах оказывается слишком широким, что делает его применение малоэффективным. С другой стороны, было доказано (см. [78]), что субдифференциал Кларка является минимальным по включению среди всех выпуклозначных и робастных (т.е. устойчивых по отклонению аргумента) субдифференциалов.

Независимо от Ф. Кларка в 1975 г. Б.Ш. Мордухович ввел понятие предельного субдифференциала, обладающего некоторыми свойствами ро-бастности, но значения которого не обязательно выпуклые. Предельный субдифференциал Мордуховича содержится в субдифференциале Кларка, поэтому дает более точные необходимые условия оптимальности. В работе [36] было доказано, что в конечномерном пространстве субдифференциал Кларка является выпуклой замкнутой оболочкой субдифференциала Мор-духовича. Различные авторы рассматривали и другие виды субдифференциалов, обладающих теми или иными полезными свойствами, обеспечивающими удобство их применения в тех или иных задачах. К числу таких

субдифференциалов относятся субдифференциал Фреше и проксимальный субдифференциал. Известно, что индикаторная функция множества (равная нулю в точках этого множества и вне множества) однозначно определяет само множество. Рассматривая субдифференциал (в том или другом смысле) индикаторной функции множества, приходим к определению нормального конуса (в соответствующем смысле) этого множества. Таким образом, были введены и изучались нормальные конусы множеств в смысле Кларка, Мордуховича, Фреше, конус проксимальных нормалей и др.

Хорошо известно, что для выпуклой функции субдифференциалы во всех перечисленных выше смысле совпадают. Также совпадают и нормальные конусы во всех выше перечисленных смыслах, если множество выпукло. В связи с тем, что различные типы субдифференциалов и нормальных конусов обладают различными свойствами, важными в приложениях, весьма актуальным является вопрос об описании достаточно широкого класса функций, для которых субдифференциалы различных типов совпадают и тем самым сочетают в себе свойства субдифференциалов того и другого типов. В монографии [32] Ф. Кларк ввел понятие регулярной функции как функции, для которой производная по любому направлению совпадает с производной Кларка по этому направлению. В работе [83] Б.Ш. Морду-хович предложил понятие нормально регулярных множеств как множеств, для которых предельный нормальный конус Мордуховича совпадает с нормальным конусом Фреше. Приложения нормальной регулярности в гильбертовых пространствах описаны, например, в книге М. Бунхеля [58] и статье Л. Тибо [97]. Нормальная регулярность множества также нужна для доказательства необходимых условий существования линейного субоптимального решения задач оптимизации (см., например, книгу Мордуховуча [84]). Однако невыпуклые множества могут не обладать свойством нор-

мальной регулярности. В статье Р. Поликвина, Р. Рокафелара и Л. Тибо [90] была доказана проксимальная нормальная регулярность для прокс-регулярных множеств в гильбертовом пространстве. В работе [53] Ф. Бернард, Л. Тибо и Н. Златева обобщили этот результат для равномерно выпуклых и равномерно гладких банаховых пространств. В диссертации в параграфе 4.3 доказана проксимальная нормальная регулярность для слабо выпуклых множеств в пространствах с несимметричной полунормой. В параграфе 4.2 обобщена теорема Шмульяна [100] о связи гладкости шара в пространстве и равномерной дифференцируемости по Фреше нормы. Доказано, что ограниченная равномерномерная гладкость квазишара эквивалентна равномерной дифференцируемости по Фреше функции Минков-ского этого квазишара на его границе, пересеченной с шаром достаточно большого радиуса.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Лопушански, Мариана Сергеевна, 2018 год

Список литературы

1. Алимов А. Р. Аппроксимативно-геометрические свойства множеств в нормированных и несимметрично нормированных пространствах : Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук; Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова.-2014.

2. Алимов А. Р. Выпуклость ограниченных чебышёвских множеств в конечномерных пространствах с несимметричной нормой // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. — 2014. — Т. 14, № 4(2). —С. 489-497.

3. Алимов А. Р. Пространства Мазура и 4.3-свойство пересечения (В М)-пространств // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. — 2016. — Т. 16, № 2.— С. 133-137.

4. Алимов А. Р., Царьков И. Г. Связность и солнечность в задачах наилучшего и почти наилучшего приближения // УМН. — 2016. — Т. 71, № 1. — С. 3-84.

5. Ахиезер Н. И., Крейн М. Г. О некоторых вопросах теории моментов. — Харьков : ОНТИ, 1938.

6. Балашов М. В., Иванов Г. Е. Свойства метрической проекции на множество, слабо выпуклое по Виалю, и параметризация многозначных отображений со слабо выпуклыми значениями // Матем. заметки. — 2006. — Т. 80, № 4. — С. 483-489.

7. Балашов М. В., Иванов Г. Е. Свойства метрической проекции на множество, слабо выпуклое по Виалю, и параметризация многозначных отображений со слабо выпуклыми значениями // Матем. заметки. — 2006. — Т. 80, № 4. — С. 483-489.

8. Балашов М. В., Иванов Г. Е. Слабо выпуклые и проксимально глад-

кие множества в банаховых пространствах // Известия РАН. Серия математическая. — 2009. — Т. 73, № 3. — С. 23-66.

9. Балашов М. В., Половинкин Е. С. М-сильно выпуклые подмножества и их порождающие множества // Матем. сб. — 1966. — Т. 6, № 4. — С. 631-634.

10. Бородин П. А. О выпуклости п-чебышёвских множеств // Изв. РАН. Сер. матем. — 2011. — Т. 75, № 4. — С. 19-46.

11. Голубев М. О. Метрическая проекция и функции расстояния и антирасстояния для сильно выпуклых множеств : Кандидатская диссертация / М. О. Голубев ; МФТИ. — 2014.

12. Демьянов В. Ф., Рубинов А. М. Основы негладкого анализа и квазидифференциальное исчисление. — Москва : Наука, 1990.

13. Дудов С. И. Субдифференцируемость и супердифференцируемость функции расстояния // Матем. заметки. — 1997. — Т. 61, № 4. — С. 530-542.

14. Ефимов Н. В., Стечкин С. Б. Опорные свойства множеств в банаховых пространствах и чебышевские множества // Докл. АН СССР. — 1959. — Т. 127, № 2. — С. 254-257.

15. Иванов Г. Е. Перестановочность операций суммы и разности Минков-ского для множеств в равномерно выпуклом банаховом пространстве / Современные проблемы фундаментальной и прикладной математики: сб. науч. трудов / МФТИ. - М., 2008. - С. 32-55.

16. Иванов Г. Е. Аппроксимативные свойства множеств относительно функции Минковского / Проблемы фундаментальной и прикладной математики: сб. науч. трудов / МФТИ. - М., 2009. - С. 76-105.

17. Иванов Г. Е. Множества, слабо выпуклые по Виалю и по Ефимо-ву-Стечкину // Изв. РАН. Сер. матем. — 2005. — Т. 69, № 6. — С. 35-60.

18. Иванов Г. Е. Слабо выпуклые множества и их свойства // Матем. заметки. — 2006. — Т. 79, № 1. — С. 60-86.

19. Иванов Г. Е. Слабо выпуклые множества и функции: теория и приложения. — Москва : Физматлит, 2006.

20. Иванов Г. Е. Точные оценки модулей непрерывности метрической проекции на слабо выпуклые множества // Изв. РАН. Сер. матем. — 2015. — Т. 79, № 4. — С. 668-697.

21. Иванов Г. Е., Иванов Г. М. Опорные условия и регулярность множеств в банаховых пространствах / Фундаментальные и прикладные проблемы современной математики: сб. науч. трудов / МФТИ. - М., 2011. -С. 77-102.

22. Иванов Г.Е., Иванов Г. М. Взаимосвязь опорных условий слабой выпуклости для множеств в банаховых пространствах // Труды МФТИ.— 2011. —Т. 3. —С. 70-73.

23. Иванов Г. Е., Лопушански М. С. О плотности множества точек существования для полунормы // Труды 54-й научной конференции МФТИ «Проблемы фундаментальных и прикладных естественных и технических наук в современном информационном обществе». — МФТИ, 2011. —С. 34-35.

24. Иванов Г. Е., Лопушански М. С. Аппроксимативные свойства слабо выпуклых множеств в пространствах с несимметричной полунормой // Труды МФТИ. —2012. —Т. 4, № 4.— С. 94-104.

25. Иванов Г. Е., Лопушански М. С. Аппроксимативные свойства слабо выпуклых множеств в пространствах с несимметричной полунормой // Труды 55-й научной конференции МФТИ «Проблемы фундаментальных и прикладных естественных и технических наук в современном информационном обществе». — МФТИ, 2012. — С. 24-25.

26. Иванов Г. Е., Лопушански М. С. О корректности задач аппроксимации

и оптимизации для слабо выпуклых множеств и функций // Фундамент. и прикл. матем. — 2013. — Т. 18, № 5. — С. 66-87.

27. Иванов Г. Е., Лопушански М. С. Теоремы об отделимости для невыпуклых множеств в пространствах с несимметричной полуномрой // Труды 56-й научной конференции МФТИ «Проблемы фундаментальных и прикладных естественных и технических наук в современном информационном обществе». — МФТИ, 2013. — С. 23-24.

28. Иванов Г. Е., Лопушански М. С. Исчисление параметров выпуклости суммы Минковского сильно и слабо выпуклых множеств относительно неограниченного квазишара // Труды МФТИ. — 2014. — Т. 6, № 2. — С. 26-37.

29. Иванов Г. Е., Половинкин Е. С. Второй порядок сходимости алгоритма вычисления цены линейных дифференциальных игр // Докл. РАН. — 1995. —Т. 340, № 2.— С. 151-154.

30. Иванов Г. Е., Половинкин Е. С. О сильно выпуклых линейных дифференциальных играх // Дифференц. уравнения. — 1995. — Т. 31, № 10.— С. 1641-1648.

31. Иоффе А. Д., Тихомиров В. М. Теория экстремальных задач. — Москва : Наука, 1974.

32. Кларк Ф. Оптимизация и негладкий анализ. — Москва : Наука, 1988.

33. Красносельский М. А., Покровский А. В. Системы с гистерезисом. — Москва : Физматлит, 2014.

34. Левитин Е. С., Поляк Б. Т. Методы минимизации при наличии ограничений // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. — 1966. — Т. 6, № 5. — С. 787-823.

35. Лопушански М. С. Аппроксимативные свойства сильно выпуклых и слабо выпуклых множеств в пространствах с несимметричной полунормой // Тезисы докладов Международной конференции «Динамические

системы: устойчивость, управление, оптимизация». — Мн.: Издательский центр БГУ, 2013.— С. 174-177.

36. Мордухович Б. Ш. Принцип максимума в задаче оптимального быстродействия с негладкими ограничениями // ПММ. — 1976. — Т. 40, № 6.— С. 1014-1023.

37. Нестеров Ю. Е. Введение в выпуклую оптимизацию. — Москва : МЦНМО, 2010.

38. Половинкин Е. С. Многозначный анализ и дифференциальные включения. — Москва : Наука, 1983.

39. Половинкин Е. С. Сильно выпуклый анализ // Матем. сб. — 1996. — Т. 187, № 2. —С. 259-286.

40. Половинкин Е. С., Балашов М. В. Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа. — Москва : Физматлит, 2007.

41. Поляк Б. Т. Теоремы существования и сходимость минимизирующих последовательностей для задач на экстремум при наличии ограничений // Докл. АН СССР. — 1966. — Т. 166, № 2. — С. 287-290.

42. Стечкин С. Б. Избранные труды. Математика. — Наука-Физматлит, 1998. — С. 270-281. — Аппроксимативные свойства множеств в линейных нормированных пространствах.

43. Тихонов А. Н. Об устойчивости задачи оптимизации функционалов // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. — 2000. — Т. 191, № 1. —С. 27-64.

44. Alegre C. Continuous operators on asymmetric normed spaces // Acta Math. Hungar. - 2009. - Vol. 122, no. 4. - P. 357-372.

45. Alimov A. R. Monotone path-connectedness of Д-weakly convex sets in spaces with linear ball embedding // Eurasian Math. J. — 2012. — Vol. 3, no. 2.— P. 21-30.

46. Balashov M. V. Maximization of a function with Lipschitz continuous gradient // Journal of Mathematical Sciences. — 2015. — Vol. 209,

no. 1.-P. 12-18.

47. Balashov M. V. About the gradient projection algorithm for a strongly convex function and a proximally smooth set // J. Convex Analysis. — 2017. — Vol. 24, no. 2. — P. 493-500.

48. Balashov M. V., Golubev M. O. About the Lipschitz property of the metric projection in the Hilbert space // J. Math. Anal. Appl. — 2012. — Vol. 394. —P. 545-551.

49. Balashov M. V., Repovs D. Uniform convexity and the spliting problem for selections // J. Math. Anal. Appl. — 2009. — Vol. 360, no. 1.— P. 307-316.

50. Balashov M. V., Repovs D. Weakly convex sets and modulus of noncon-vexity //J. Math. Anal. Appl. — 2010. — Vol. 371, no. 1. —P. 113-127.

51. Banas J., Hajnosz A., Wedrychowicz S. On convexity and smoothness of Banach space // Commentationes Mathematicae Universitatis Caroli-nae. — 1990. —Vol. 31, no. 3. — P. 445-452.

52. Bernard F., Thibault L., Zlateva N. Characterization of proximal regular sets in super reflexive Banach spaces // J. Convex Analysis. — 2006. — Vol. 13, no. 3, 4.— P. 525-559.

53. Bernard F., Thibault L., Zlateva N. Prox-regular sets and epigraphs in uniformly convex Banach spaces: various regularities and other properties // Trans. Amer. Math. Soc. — 2011. — Vol. 363. — P. 2211-2247.

54. Beurling A., Livingston A. E. A theorem on duality mappings in Banach spaces // Ark. Mat. — 1962. — Vol. 4, no. 5. — P. 405-411.

55. Blasi F. S. De, Myjak J. On a generalized best approximation problem // J. Approx. Theory. — 1998.— Vol. 94, no. 1. —P. 54-72.

56. Blasi F. S. De, Pianigiani G. Remarks on Hausdorff continuous multifunction and selections // Commentationes Mathematicae Universitatis Carolinae. — 1983. —Vol. 24, no. 3. — P. 553-561.

57. Bouligand G. Sur les surfaces depourvues de points hyperlimites // Ann. Soc. Polon. Math.- 1930.-Vol. 9.-P. 32-41.

58. Bounkhel M. Regularity concepts in nonsmooth analysis. — New York : Springer, 2012.

59. Clarke F. H. Generalized gradient and its applications // Trans. Math. Am. Soc. — 1975. — Vol. 205. — P. 247-262.

60. Clarke F. H., Stern R. J., Wolenski P. R. Proximal smoothness and lower-O2 propoerty // J. Convex Analysis. — 1995. — Vol. 2, no. 1, 2. — P. 117-144.

61. Clarkson J. A. Uniformly convex spaces // Trans. Math. Am. Soc. — 1936. —Vol. 40. —P. 396-414.

62. Cobzas S. Ekeland variational principle in asymmetric locally convex spaces//Topology and its Applications. — 2012. — Vol. 159, no. 10,11.— P. 2558-2569.

63. Cobzas S. Functional analysis in asymmetric normed spaces. — Basel : Birkhauser, 2013.

64. Diestal J. Geometry of Banach spaces: selected topics. — Berlin : Springer, 1975.

65. Dontchev A.L., Zolezzi T. Well-posed optimization problems. — Berlin : Springer, 1993. — Vol. 1543 of Lecture Notes in Math.

66. Duffin R. J., Karlovitz L. A. Formulation of linear programs in analysis. I. Approximation theory // SIAM J. Appl. Math. — 1968. — Vol. 16. — P. 662-675.

67. Dunham Ch. B. Asymmetric norms and linear approximation // Congr. Numer. — 1989. — Vol. 69. — P. 113-120.

68. Ekeland I., Temam R. Convex analysis and variational problems. — Philadelphia : SIAM, 1976.

69. Federer H. Curvature measures // Trans. Amer. Math. Soc. — 1959. —

Vol. 93.-P. 418-491.

70. Fenchel W. Convex cones, sets, and functions. — New Jersey : Princeton University Dept. of Mathematics, 1953.

71. Frankowska H., Olech C. Ä-convexity of the integral of the set-valued functions // Contributions to analysis and geometry. — Baltimore, Md. : Johns Hopkins Univ. Press, 1981. —P. 117-129.

72. Ivanov G. E. On well posed best approximation problems for a nonsym-metric seminorm // J. Convex Analysis. — 2013. — Vol. 20, no. 2. — P. 501-529.

73. Ivanov G. E. Continuity and selections of the intersection operator applied to nonconvex sets // J. Convex Analysis. — 2015. — Vol. 22, no. 4. — P. 939-962.

74. Ivanov G. E. Weak Convexity of Sets and Functions in a Banach Space // J. Convex Analysis. — 2015. — Vol. 22, no. 2. — P. 365-398.

75. Ivanov G. E., Lopushanski M. S. Separation theorems for nonconvex sets in spaces with non-symmetric seminorm // J. Math. Ineq. Appl. — 2017. — Vol. 20, no. 3. — P. 737-754.

76. Janin R. Sur la dualite et la sensibilite dans les problemes de programmation mathematique : These de Doctorat es-Sciences Mathematiques / R. Janin ; Universite de Paris. — 1974.

77. Jordan-Perez N., Sanchez-Perez E.A. Extreme points and geometric as-pects of compact convex sets in asymmetric normed spaces // Topology and its Applications.— 2016.—Vol. 203.— P. 15-21.

78. Lebourg G. Valeur moyenne pour gradient generalisee // C. R. Acad.Sci. Paris.— 1975.—Vol. 281. —P. 795-798.

79. Lojasiewicz St. Some properties of accessible sets in non linear control systems // Ann. Polon. Math. — 1979. — Vol. 36, no. 2. — P. 123-127.

80. Lopushanski M.S. Normal Regularity of Weakly Convex Sets in Asym-

metric Normed Spaces // J. Convex Analysis. — 2018. — Vol. 25, no. 3. http://www.heldermann.de/JCA/JCA25/JCA253/jca25051.htm — 22 p.

81. Lopushanski M. Weakly convex sets in asym- metric normed spaces // Abstracts of the International Conference "Constructive Nonsmooth Analysis and Related Topics" Dedicated to the Memory of Professor V. F. Demyanov. — Sankt-Petersburg, 2017. — P. 34-38.

82. Megginson R. E. An introduction to Banach space theory. — New York : Springer, 1998.

83. Mordukhovich B. S. Approximation methods in problems of optimization and control. — New York : John Wiley & Sons, 2005.

84. Mordukhovich B. S. Variational analysis and generalized differentiation II. Applications. — Berlin : Springer, 2006.

85. Moreau J. J. Proximite et dualite dans un espace hilbertien // Bulletin de la Societe Mathematique de France. — 1965. — Vol. 93. — P. 273-299.

86. Moreau J. J. Intersection of moving convex sets in a normed space // Mathematica Scandinavica. — 1975. — Vol. 36. — P. 159-173.

87. Penot J.-P. Preservation of persistence and stability under intersections and operations. I. Persistence // J. Optim. Theory Appl. — 1993. — Vol. 79.— P. 525-550.

88. Plis A. Accessible sets in control theory // Int. Conf. on Diff. Eqs. — Academic Press, 1975. —P. 646-650.

89. Poliquin R. A., Rockafellar R. T. Prox-regular functions in variational analysis // Trans. Amer. Math. Soc. — 1996. — Vol. 348. — P. 1805-1838.

90. Poliquin R. A., Rockafellar R. T., Thibault L. Local differentiability of distance functions//Trans. Amer. Math. Soc. — 2000. — Vol. 352.— P. 5231-5249.

91. Rockafellar R. T. Favorable classes of Lipschitz continuous functions in

subgradient optimization // Progress in Nondifferentiable Optimization / Ed. by E. Nurminski. — Laxenburg, Austria : International Institute of Applied Systems Analysis, 1982. — P. 125-144.

92. Romaguera S. On equinormal quasi-metrics // Proc. Edinb. Math. Soc., II. — 1989.—Vol. 32, no. 2. —P. 193-196.

93. Romaguera S., Schellekens M. Quasi-metric properties of complexity spaces // Topology Appl. — 1999. — Vol. 98, no. 1-3. — P. 311-322.

94. Romaguera S., Schellekens M. Cauchy filters and strong completeness of quasi-uniform spaces // Rostock. Math. Kolloq. — 2000. — Vol. 54.— P. 69-79.

95. Romaguera S., Schellekens M. The quasi-metric of complexity convergence // Quaest. Math. — 2000. — Vol. 23, no. 3. — P. 359-374.

96. Romaguera S., Schellekens M. Duality and quasi-normability for complexity spaces //Appl. Gen. Topol. — 2002. — Vol. 3, no. 1. —P. 91-112.

97. Thibault L. Sweeping process with regular and nonregular sets //J. Differential Equations.— 2003.— Vol. 193.— P. 1-26.

98. Vial J.-P. Strong and weak convexity of sets and functions // Math. Ops. Res. — 1983.—Vol. 8, no. 2.— P. 231-259.

99. Yosida K. Functional analysis. — Berlin : Springer Verlag, 1964.

100. Smulian V. L. Sur la structure de la sphere unitaire dans l'espace de Banach // Math. Sbornik. — 1940. — Vol. 9, no. 51. —P. 545-561.