Параметрически выпуклые множества тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.09, доктор физико-математических наук Балашов, Максим Викторович

• Балашов, Максим Викторович
• доктор физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Балашов, Максим Викторович

0.1 Введение. Структура работы.

1 Сильно выпуклые, слабо выпуклые, и проксимально гладкие множества с константой Я. Равномерно выпуклые множества

1.1 Слабо выпуклые и проксимально гладкие множества с константой Я в равномерно выпуклых и равномерно гладких банаховых пространствах.

1.1.1 Введение.

1.1.2 Определения и обозначения.

1.1.3 Связь слабой выпуклости с другими условиями

1.1.4 Отделимость и локальная связность

1.1.5 Свойства равномерно выпуклых и равномерно гладких пространств.

1.1.6 Свойства сильно выпуклого отрезка

1.1.7 Доказательство теорем.

1.2 Равномерно выпуклые множества.

1.2.1 Определения.

1.2.2 Основные свойства равномерно выпуклых множеств

1.2.3 Равномерно выпуклые функции, и связь модуля выпуклости функции с модулем выпуклости множества

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Параметрически выпуклые множества»

3.3.2 Аппроксимация по опорной функции.178

3.3.3 Аппроксимация по предопорпой функции.183

3.3.4 О нахождении выпуклой оболочки.186

3.3.5 Заключение.188

3.4 Равномерно выпуклые подмножества гильбертова пространства с модулем выпуклости второго порядка.190

3.4.1 Обозначения и постановка задачи.190

3.4.2 Основной результат.190

3.4.3 Предварительные леммы.191

3.4.4 Доказательство теоремы 4.2.1.199 у

3.5 Обобщение теоремы Крейна-Мильмана для сильно выпуклой оболочки.200

3.6 Сильно выпуклые множества и удаленные точки.205

3.6.1 Определения.205

3.6.2 Свойства удаленных точек.206

3.7 О гладких множествах постоянной ширины.215

Список использованных источников 220 ч

0.1 Введение. Структура работы

Настоящая работа посвящена изучению свойств выпуклых в некотором обобщенном смысле множеств, а также приложениям этих свойств в задачах оптимизации, задачах: выпуклого и негладкого анализа, а также задачах аппроксимации. Работа носит теоретический характер.

Понятие выпуклости (множества, функции, экстремальной задачи и т.п.) является одним из центральных понятий в математике. В конце 19-го столетия и начале 20-го столетия Г. Минковским был создан специальный раздел геометрии — выпуклая геометрия (см, например, [159, 160, 161, 162, 163]). В создание и развитие выпуклой геометрии наряду с Минков-ском большой вклад внесли Я. Штейнер, К. Каратеодори, Э. Хелли, В. Бляшке, Т. Боннезен, В.Фенхель, А. Д. Александров и другие ученые (см., например, [177, 178, 138, 139, 41, 42, 125, 126, 124, 127, 46, 129, 130, 140, 1]) Основные понятия выпуклой геометрии, такие как опорная функция, поляра, крайняя точка сыграли большую роль в создании в начале 20-го века функционального анализа.

Существенной особенностью выпуклых множеств является возможность их двойного описания: прямого (на основе определения, т.е. если две точки принадлежат выпуклому множеству, то и весь отрезок с концами в указанных точках также принадлежит данному множеству) и двойственного (выпуклое множество может быть представлено как пересечение полупространств). Это соображение двойственности позволяет сформулировать в разном виде принцип отделимости выпуклых множеств, и на его основе получить разнообразные приложения в оптимизации (необходимые и достаточные условия в теории экстремальных задач), в геометрии, функциональном анализе (отделимость, крайние и выступающие точки), в задачах аппроксимации и в теории приближений.

После 1950-х годов интерес к проблемам выпуклости снова возрос в связи с развитием вычислительной математики. Многие задачи имеют принципиально "выпуклые" алгоритмы решения, например линейные дифференциальные игры [98]. После знаменитой книги Р. Т. Рокафеллара [102] словосочетание "выпуклый анализ" стало общепринятым.

В настоящее время имеется много замечательных монографий по выпуклому анализу: [1, 6, 45, 55, 75, 76, 84, 150, 85, 90, 102, 105, 116, 145, 146, 150, 164, 176, 181, 179, 133, 137]. Еще больше монографий существует по приложениям выпуклого анализа (см., например, [2] — [8], [40], [44] — [45], [49] - [60], [62], [65], [73] - [80], [84, 85], [87, 88], [90] - [92], [96] - [99],

107] — [111], [114, 116], [119, 120, 133, 137, 142, 146, 164, 168, 176, 179, 181].

Начиная с 1960-х годов, появляется большое количество обобщений понятия "выпуклость", см. подробности в [55, 105]. Это было вызвано тем фактом, что свойств выпуклых множеств оказалось недостаточно для решения задач, возникающих в области оптимизации и приложений. Среди обобщений выпуклости можно выделить два класса. Во-первых, мы можем усиливать определение выпуклости и получать новые, более сильные результаты с новым определением. Во-вторых, мы можем рассматривать более слабое определение выпуклости (т.е. слабо выпуклый объект не обязательно выпуклый в классическом смысле, но всякий выпуклый объект также и слабо выпуклый) и пытаться обобщать или даже усиливать для этих множеств результаты, верные для выпуклых множеств. В качестве примеров обобщенно выпуклых объектов упомянем строгую выпуклость (в конечномерном пространстве двойственная функция к строго выпуклой функции дифференцируема [183]), равномерную выпуклость (равномерно выпуклые банаховы пространства [61, 152]), iï-выпуклость (с ней тесно связаны теоремы В. Г. Болтянского об отделимости конусов [43]), метрическую выпуклость.

Значительное количество обобщенно выпуклых объектов* заставило выработать аксиоматический подход к определению понятия "выпуклое множество" . В рамках аксиоматического подхода [105] в произвольном пространстве X выбирается некоторое семейство подмножеств Ф, называемое базой выпуклости (аналогично по смыслу базе топологии). Множество А называется Ф-выпуклым, если оно представимо в виде пересечения некоторого подсемейства множеств из данного семейства Ф' (см., например, [55, 105, 144, 123, 22]). Основными вопросами, связанными с обобщениями выпуклости, являются вопросы характеризации и описания обобщенно выпуклых множеств, вопросы двойственности и тесно с ними связанные вопросы об отделимости и об опорных свойствах множеств, различные аналитические и комбинаторные вопросы (обобщение теорем о крайних/выступающих точках, комбинаторных теорем типа Каратеодори и Хелли [22, 55]). Все эти свойства находят щшложения в оптимизации (построение обобщенных градиентов [133]) и многозначном анализе (изучение многозначных отображений с обобщенно выпуклыми значениями [104]).

Различные ученые независимо друг от друга обратили внимание на то, что в прикладных задачах получаются хорошие результаты, когда в них рассматриваются классы выпуклых множеств из конечномерного евклидова пространства Кп, получаемых в результате пересечения сдвигов шара заданного радиуса. Так, в приложении "Обобщенная выпуклость" [55] приведены новые результаты двойственности для множеств, получаемых пересечением сдвигов, одного и того же выпуклого множества. Ч. Олех и X. Франковска [144] получили новый опорный принцип для множества, являющегося пересечением шаров из Мп, а также сформулировали условия, при которых интеграл от многозначного отображения является пересечением шаров одного радиуса. С. Лоджасевич и А. Плиш [154, 169] доказали, что множество достижимости управляемой системы при определенных условиях является пересечением шаров. М. А. Красносельский и А. В. Покровский [79] обнаружили хорошее свойство таких множеств в системах с гистерезисом. Р. Е. Иванов и Е. С. Половинкин [67] получили условия второго порядка для сходимости алгоритмов1 решения линейных дифференциальных игр, при условии, что терминальное множество и множество управления одного из игроков являются пересечением шаров заданного радиуса.

В книге Е. С. Иоловинкин'а и М. В. Балашова [22] детально исследовался» случай,, когда базой выпуклости является множество всевозможных сдвигов одного и того же выпуклого замкнутого подмножества данного банахо-. ва пространства. При этом для построения содержательной теории, как показал Половинкин, указанное множество (сдвиги которого определяют базу выпуклости) должно удовлетворять особому условию полного выметания или, как принято говорить, являться порождающим. Ососбенно важно и отдельно стоит, случай,, когда базой выпуклости являются птары Ва(х) из ; банахова пространства, где В, фиксировано, а х — любая точка пространства. При этом параметр К естественным образом выступает в качестве параметра выпуклости. Множества,, являющиеся пересечением шаров получили специальное название: сильно выпуклые множества с радиусом И. Новые свойства порождающих множеств позволили получить новые результаты в выпуклом анализе (новый опорный принцип), в задачах аппроксимации . множеств многогранниками (новые более точные оценки погрешности ап-■ проксимации многогранниками в метрике Хаусдорфа некоторых классов множеств), в теории приближений и геометрии (конструктивные формулы для тела постоянной ширины, новые свойства этих тел), построить новые непрерывные по Липшицу в метрике Хаусдорфа селекторы многозначных отображений [22], доказать высокую эффективность некоторых алгоритмов решения линейных дифференциальных игр [67].

• Другой подход к обобщению понятия выпуклого множества возник в ра. боте французского математика Ж.-Ф: Виаля [182]. Виаль заменил в определении выпуклого множества отрезок на некоторое более широкое множество — сильно выпуклый отрезок с константой В. Сильно выпуклый отрезок с константой В! у Виаля — это пересечение всех замкнутых шаров радиуса В, содержащих две данные точки — концы сильно выпуклого отрезка.

Виаль назал замкнутое множество слабо выпуклым с константой В, если для любых двух точек из множества, находящихся на расстоянии не более 2В друг от друга, сильно выпуклый отрезок с константой ВI и концами в этих точках имеет со множеством общую точку, отличную от двух точек, выбранных в качестве концов.

Виаль рассматривал это определение в конечномерном евклидовом пространстве (и существенно использовал как конечномерность, так и евк-лидовость) и получил ряд интересных результатов, касающихся геометрических свойств таких множеств. В частности, он получил новый опорный принцип для слабо выпуклых множеств.

Отметим, что Ж.-Ф. Виаль впервые сформулировал негладкое определение слабой выпуклости. Класс слабо выпуклых по Виалю множеств из Мп с С2-гладкой границей рассматривался и ранее, например в работах Ю. Г. Решетняка [101]. Хотя определение у Решетняка другое, но по сути оно совпадает (для множеств с гладкой границей) с определением Виаля.

Весьма близкий к слабо выпуклым по Виалю класс множеств рассматривался еще Н. В. Ефимовым и С. Б. Стечкиным при исследовании чебы-шевских множеств [64] (т.н. а-выпуклые множества).

Слабо выпуклым в смысле Виаля множествам посвящена значительная часть монографии Г. Е. Иванова [70]. В ней определение и результаты Виаля обобщаются на случай гильбертова пространства. Получен ряд новых результатов о связи слабой выпуклости множества с гладкостью его границы, а также о существовании локальных геодезических на поверхности слабо выпуклых множеств, причем геодезические липшицево зависят от концов геодезической и от некоторых других параметров. Кроме того, на основе свойств слабо выпуклых множеств, Ивановым получены достаточные условия существования седловой точки в некотором классе линейных дифференциальных игр.

Дальнейший импульс идеи Виаля получили в работах Ф. Кларка, его коллег и Р. Т. Рокафеллара [132, 131, 170, 171, 133, 134] и др. Кларк ввел понятие проксимально гладкого мноэюества с константой В, определив его как такое множество, что для всех точек на расстоянии не более В, от множества функция расстояния от точки до множества непрерывно дифференцируема по Фреше. То есть множество обладает "слоем" толщины Я, внутри которого функция расстояния непрерывно дифференцируема. Кларк рассматривал определение проксимально гладкого множества в гильбертовом пространстве. Как оказалось ([132], см. также теоремы 1.3.2 и 1.3.4 главы 1) определения Виаля и Кларка в гильбертовом пространстве задают один и тот же класс множеств. Кларк обобщил результаты Виаля на гильбертово пространство, получил ряд новых результатов в оптимизации и в вариационном исчислении. На основе проксимально гладких множеств Ф. Кларком, Ю. С. Ледяевым, Р. Штерном, П. Воленски [133] был введен в рассмотрение проксимальный субградиент, который может быть определен для полунепрерывных снизу функций в равномерно выпуклом пространстве и является на сегодняшний день существенной конструкцией в оптимизации. Была локально переформулирована широко известная проблема выпуклости: верно ли, что если множество А в гильбертовом пространстве обладает слоем "толщины" Я, для каждой точки.из которого существует единственная ближайшая к ней точка из А, то множество А является проксимально гладким с константой Я? Положительный ответ (на сегодня не известно, верен ли) повлек бы решение и проблемы выпуклости чебышевского множества в гильбертовом пространстве.

КоллегиКларка обобщили свойства проксимально гладких множеств на класс банаховых пространств, с модулями выпуклости и гладкости степенного вида [128].

Упомянем еще один класс множеств, задаваемых параметром выпуклости. Хорошо известно определение равномерно выпуклого банахова-пространства и модуля выпуклости банахова пространства [61, 152]. В работе [172] Б. Т. Поляк ввел в рассмотрение модуль выпуклости произвольного выпуклого множества, а не только шара, и определил равномерно выпуклое множество. Это такое множество, что модуль его выпуклости строго больше нуля при всех допустимых значениях аргумента. Определение Поляка позволило ему доказать сходимость некоторых минимизирующих после; довательностей в алгоритмах минимизации выпуклой функции [172, 151]. Обратная функция к модулю выпуклости встречается в работах по геометрической теории приближений (например, [47]). Близким и активно используемым в выпуклом анализе и приложениях является понятие "модуль выпуклости функции"' [49, 96, 183].

В работе также рассматриваются некоторые задачи выпуклого и многозначного анализа.'

При решении многих задач аппроксимации и условной оптимизации используется оператор метрической проекции точки на множество, который заданной точке ставит в соответствие ближайшую к нен точку заданного множества [88, 7]. Если заданное множество замкнуто, но не выпукло, то метрическая проекция точки может быть не единственной, а в бесконечномерном случае и не существовать. Аналогичные вопросы существования, единственности и непрерывной зависимости от параметров возникают и про наиболее удаленные точки (выпуклого) замкнутого множества от данной точки пространства [116, Приложение II]. Основные вопросы про ближайшие точки (выпуклых) множеств — существование и непрерывная зависимость от параметров задачи, оценка модуля непрерывности. Основной результат про наиболее удаленные точки в равномерно выпуклых пространствах — существование для всякого ограниченного замкнутого множества всюду плотного подмножества С^-типа, на котором существует непрерывно зависящая от точек С^-мпожества единственная наиболее удаленная точка данного замкнутого ограниченного множества.

В задаче о параметризации многозначного отображения Р ставится вопрос о представлении этого многозначного отображения Р через семейство его селекторов. Параметризовать многозначное отображение — это значит представить его в виде Р(х) = {/(х, и) | и е С/}, где и — множество параметров. Проблема параметризации многозначных отображений возникает, в частности, при исследовании взаимосвязи управляемых динамических систем = /(*(*),«(*)), и(г) е и (1) и дифференциальных включений ±(£) е Р{х{Ь)). В связи с вопросом существования и единственности решения дифференциального уравнения (1) важны свойства непрерывности и липшицевости функции /. Для многозначных отображений задачи параметризации рассматривались в разное время многими авторами, среди которых А. Челлина, Ж.-П. Обен и X. Франковска, А. Д. Иоффе, А. Ле'Донне и М. В. Марчи, А. Орнелас [119, 120, 147, 141, 166]. В работе [166] многозначное отображение с выпуклыми компактными значениями из Кп и непрерывное по Липшицу в метрике Хаусдорфа представлено в виде семейства липшицевых селекторов. При этом множество II, задающее параметризацию, есть единичный шар из Мп.

Задача расщепления для селекций сформулирована в работе Д. Репов-ша и П. В. Семенова [173]. Некоторые частные постановки этой задачи и их приложения в вопросах теории вероятностей, оптимизации, топологии возникали и ранее в работах Д. Лука, M.-JI. Мартинеца-Легаза, А. Сигера и др. [156, 155, 158, 174]. Пусть X, Y,Yi, г = 1,2, банаховы пространства. Пусть Fi : X —> 2y\ г = 1, 2, есть произвольные непрерывные или полунепрерывное снизу многозначные отображения с замкнутыми выпуклыми значениями и пусть L : Y\ ® Y<i —» Y есть произвольная линейная сюръекция. Задача расщепления является задачей представления произвольного непрерывного селектора f(x) G L(Fi(x), F2(x)) в виде f(x) = L(fi(x), где fi(x) G F{(x) некоторые непрерывные селекторы, г = 1,2. Реповш и Семенов доказали существование приближенного решения для полунепрерывных снизу многозначных отображений, а также решили некоторые частные случаи этой задачи в конечномерном пространстве. Были также решены некоторые задачи расщепления специального вида.

Результаты задачи о расщеплении для селекций имеют приложение в т.н. задаче «подъема управления», которая часто встречается в оптимальном управлении и в линейных дифференциальных играх. Смысл «подъема управления» состоит в том, что, зная непрерывный по параметру элемент из проекции оптимального множества на подпространство, мы хотим восстановить некоторый также непрерывно зависящий от этого параметра прообраз из проецируемого множества. В качестве проекции обычно выступают существенные управляющие параметры, а в качестве прообраза — тот управляющий параметр, которым мы можем распоряжаться. Поскольку такая задача восстановления не всегда имеет решение (как и задача расщепления для селекций, которой она по сути и является), то для приложений весьма важно выделить случаи ее разрешимости.

Достаточно актуальна следующая постановка: пусть А, В — выпуклые замкнутые (ограниченные) множества из банахова пространства и С = А + В. При каких условиях существуют непрерывные функции а : С А и b : С —> В со свойством: а(с) + 6(с) = с при всех с G С? Лук, Мартинец-Легаз и Сигер доказали, что па множестве intC указанные непрерывные (и даже локально липшицевы) функции существуют. Однако никаких разумных достаточных условий (кроме случаев строгой выпуклости множества А или случая, когда А, В выпуклые многогранники) разрешимости задачи на множестве С даже в конечномерном пространстве сформулировано не было.

Задача аппроксимации многогранниками выпуклых компактов является важной в теоретических и вычислительных приложениях выпуклого анализа. Мы рассматриваем задачу в следующей постановке: для данного выпуклого компакта на произвольной сетке единичных векторов заданной мелкости найти погрешность его внешней многогранной аппроксимации, т.е. решается вопрос о наихудшей по всем сеткам заданной мелкости гарантированной оценке сверху погрешности внешней многогранной аппроксимации данного выпуклого компакта. Для такой постановки хорошо известно [137], что для произвольного выпуклого компакта имеет место оценка первого порядка по мелкости сетки. При этом, как показали Г. Е. Иванов и Е. С. Половинкин [66, 93], если множество является пересечением шаров одного радиуса, то погрешность будет иметь второй порядок по мелкости сетки.

Настоящая работа продолжает исследования сильно выпуклых, слабо выпуклых и проксимально гладких множеств с константой Я. Отметим, что множества всех трех классов рассматриваются с единых позиций — параматрической выпуклости. Последнее означает, что основные теоремы носят количественный характер, включая в условия параметры выпуклости: это может быть константа слабой выпуклости/проксимальной гладкости Я, значения модуля выпуклости или невыпуклости, константа сильной выпуклости. Основное внимание в работе сосредоточено на вопросах ха-рактеризации множеств и вопросах двойственности, вопросах отделимости и опорных свойствах.

Остановимся коротко на содержании разделов работы. Работа состоит из введения, трех глав и списка литературы.

В работе-рассматриваются следующие классы множеств.

• Сильно выпуклые множества с радиусом Я (Ч. Олех, X. Франковска, Е. С. Половинкин)

• Слабо выпуклые множества с константой Я (Ж.-Ф. Виаль)

• Проксимально гладкие множества с константой Я (Ф. Кларк, и др.)

• Порождающие множества (Е. С. Половинкин)

• Равномерно выпуклые множества с модулем выпуклости (Б. Т. Поляк)

• Слабо выпуклые множества с модулем невыпуклости

• Р-множества

Два последних класса введены автором работы. Слабо выпуклые множества с модулем невыпуклости второго порядка в пространствах с модулем выпуклости второго порядка являются проксимально гладкими, при этом существенно упрощается работа с этими множествами. Р-множества важны в некоторых задачах об открытости и о непрерывности многозначных отображений.

Все пространства рассматриваются над вещественным полем скаляров.

Заключение диссертации по теме «Дискретная математика и математическая кибернетика», Балашов, Максим Викторович

Основные результаты работы следующие.

1) Получена связь между слабо выпуклыми и проксимально гладкими множествами в произвольном равномерно выпуклом и равномерно гладком банаховом пространстве. Получен критерий на норму пространства, при котором эти два класса совпадают.

2) В произвольном равномерно выпуклом и равномерно гладком банаховом пространстве доказана равномерная непрерывность метрической проекции на проксимально гладкое множество с константой Я для всех точек, достаточно близких ко множеству. Равномерная непрерывность имеет место по точке и по множеству.

3) В произвольном равномерно выпуклом и равномерно гладком банаховом пространстве дана-характеризация проксимально гладких множеств через существование и единственность метрической проекции на это множество, а также непрерывную зависимость проекции от проецируемой точки-. Обобщен опорный принцип для проксимально гладких множеств из равномерно выпуклого и равномерно гладкого банахова пространства*.

4) Получены необходимые условия и достаточные условия-возможности отделимости сферой сильно выпуклого множества' от слабо выпуклого множества.

5) Получена оценка на модуль выпуклости равномерно выпуклого множества. На основе модуля выпуклости множества получена оценка между строго выпуклыми компактами в демьяновской метрике через расстояние в метрике Хаусдорфа.

6) Введено определение слабо выпуклого множества с модулем невыпуклости и показано, что в банаховых пространствах с модулем выпуклости второго порядка полученный класс множеств с модулем невыпуклости второго порядка входит в класс проксимально гладких мно жеств. Получены новые теоремы о равномерной непрерывности пересечения равномерно непрерывных многозначных отображений, одно со слабо выпуклыми и другое с сильно выпуклыми значениями.

7) Получены новые равномерно непрерывные и непрерывные по Липшицу параметризации многозначных отображений со слабо выпуклыми значениями.

8) Введен класс Р-множеств, и получены новые теоремы об открытости некоторых отображений.

9) Получены новые достаточные условия положительного решения задачи расщепления для селекций.

10) Получены новые оценки погрешности аппроксимации строго выпуклых компактов из К" на сетке единичных векторов заданной мелкости.

11) В гильбертовом пространстве решен ряд задач характеризации: (1) доказано, что множество с модулем выпуклости второго порядка есть пересечение замкнутых шаров заданного радиуса и получена неулучша-емая оценка на этот радиус; (и) охарактеризованы множества в гильбертовом пространстве, которые для всякой достаточно удаленной от множества точки пространства имеют единственную наиболее удаленную точку, липшицево зависящую от указанных точек пространства; (ш) доказан аналог теоремы Крейна-Мильмана для сильно выпуклой оболочки; (Ьг) получено положительное решение задачи Данцера о существовании гладкого тела постоянной ширины 1, которое содержит данное гладкое множество диаметра 1.

Заключение

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Балашов, Максим Викторович, 2010 год

1. А. Д. Александров, Выпуклые многогранники. M.-JL: Гостехиздат, 1950.

2. В. М. Алексеев, В. М. Тихомиров, С. В. Фомин, Оптимальное управление. М.: Наука, 1979.

3. В. И. Арнольд , Математические методы классической механики. М., Наука. 1974.

4. А. В. Арутюнов, Условия экстремума. Анормальные и вырожденные задачи. М.: Факториал, 1997.

5. А. П. Афанасьев, В. В. Дикусар, А. А. Милютин, С. А. Чуканов, Необходимое условие в оптимальном управлении. М.: Наука, 1990.

6. Е. Г. Белоусов, Введение в выпуклый анализ и целочисленное программирование. М.: Изд-во МГУ,1977.

7. B.C. Балаганский, JI.П. Власов, Проблема выпуклости чебышёвских множеств, Успехи мат. наук, 51:6 (1996), 125-188.

8. А. Балакришнан, Введение в теорию оптимизации в гильбертовом пространстве. М.: Мир, 1974.

9. М. В. Балашов, Г. Е. Иванов, Сильная выпуклость множеств уровня сильно выпуклой функции, М., Изд. МФТИ, Некоторые проблемы фундаментальной и прикладной математики, Междувед. сб. (1996), 46-52.

10. В данной работе М. В. Балашову принадлежат доказательства, Г. Е. Иванову постановка задачи.

11. М. В. Балашов, Е. С. Половинкин М-сильно выпуклые множества и их порождающие подмножества, Матем. сб., 191:1 (2000), 27-64.

12. В данной работе М. В. Балашову принадлежат определение 7.1, теоремы 2.5, 2.6, 5.3, 5.4, 6.1, 7.1, 8.1, 8.3. Постановка задач и остальные результаты принадлежат Е. С. Половинкину.

13. Е. С. Половинкин, Г. Е. Иванов, М. В. Балашов, Р. В. Константинов, А. В. Хорев, Об одном алгоритме численного решения линейных дифференциальных игр, Матем. сб., 192:10 (2001), 95-122.

14. В данной работе М. В. Балашову принадлежит приближенный алгоритм нахождения выпуклой оболочки положительно однородной функции и оценка его погрешности в теореме 4. Все остальные результаты принадлежат другим авторам.

15. М. В. Балашов, О геометрической разности многозначных отобра-оюений, Матем. заметки, 70:2 (2001), 163-169.

16. М. В. Балашов, Об аналоге теоремы Крейна-Мильмана для сильно выпуклой оболочки в гильбертовом пространстве, Матем. заметки, 71:1 (2002), 37-42.

17. М-'. В. Балашов, О Р-свойстве выпуклых компактов, Матем. заметки, . 71:3 (2002), 323-333.

18. В данной работе М. В. Балашову принадлежат результаты о непрерывности многозначных отображений, Е. С. Половинкину принадлежат результаты о телах постоянной ширины.

19. Е. С. 'Половинкин, М. В. Балашов, Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа, Физматлит, Москва, 2004. 416 с.ji' I

20. В данной работе М. В. Балашову принадлежит 9 печатных листов, Е. С. Половинкину принадлежит 17 печатных листов.

21. М. В. Балашов, Г. Е. Иванов, Об удаленных точках множеств, Ма-тем. заметки, 80:2 (2006), 163-170.

22. В данной работе М. В. Балашову принадлежат теоремы 1, 2, 4, 5, 6, 7. Г. Е. Иванову принадлежит постановка задач и остальные результаты.

23. М. В. Балашов, Г. Е. Иванов, Свойства метрической проекции на множество, слабо выпуклое по Виалю, и параметризация многозначных отображений со слабо выпуклыми значениями, Матем. заметки, 80:4 (2006), 483-489.

24. В данной работе М. В. Балашову принадлежит постановка задачи и доказательство теоремы 2 (совместно с Г. Е. Ивановым) и теоремы 3. Остальные результаты принадлежат Г. Е. Иванову.

25. Г. Е. Иванов, М. В. Балашов, Липшицевы параметризации многозначных отображений со слабо выпуклыми значениями, Изв. РАН. Сер. матем. 71:6 (2007), 47-68.

26. В данной работе М. В. Балашову принадлежит постановка задачи и теоремы 4, 7, 8. Г. Е. Иванову принадлежат теоремы 1, 2\ 5.

27. Е. С. Половинкин, М. В. Балашов, Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа, Физматлит, Москва, 2007. 2-е изд. исправленное и дополненное. 440 с.

28. В данной работе М. В. Балашову принадлежит 10 печатных листов, Е. С. Половинкину принадлежит 17,5 печатных листов.

29. М. В. Балашов, О мноэюествах с положительным модулем выпуклости, М., Изд. МФТИ, Современные проблемы фундаментальной и прикладной математики, Сборник научных трудов (2007), 6-22.

30. М. В. Балашов, И. И. Богданов, О некоторых свойствах Р-мноэюеств и свойстве зажатости в выпуклых компактах, Матем. заметки, 84:4 (2008), 496-505.

31. В данной работе М. В. Балашову принадлежит постановка задачи и теоремы 1, 2, примеры 2, 3. И. И. Богданову принадлежит теорема 3 и пример. 5.

32. М. В. Балашов, Г. Е. Иванов, Слабая выпуклость и проксимальная гладкость в банаховых пространствах, Математический форум. Т.

33. Исследования по выпуклому анализу / отв. редактор В. М. Тихомиров — Владикавказ: ЮМИ ВНЦ (2009), 7-40, 242 с. (Итоги науки. ЮФО).

34. М. В. Балашов, Г. Б. Иванов, Слабо выпуклые и проксимально гладкие множества в банаховых пространствах, Изв. РАН. Сер. матем., 73:3 (2009), 23-66.

35. М. V. Balashov, D. Repovs, On the splitting problem for selections, J. Math. Anal. Appl. 355:1 (2009), 277-287.

36. М. V. Balashov, D. Repovs, Uniform convexity and the splitting problem for selections, J. Math. Anal. Appl. 360:1 (2009), 307-316.

37. М. В. Балашов, Слабо выпуклые множества и модуль невыпуклости, М., Изд. МФТИ, Актуальные проблемы фундаментальной и прикладной математики, Сборник научных трудов (2009), 8-28.

38. М. V. Balashov, D. Repovs, Weakly convex sets and the modulus of non-convexity, J. Math. Anal. Appl. 371:1 (2010), 113-127.

39. М. В. Балашов, О теореме Крейна-Мильмана для сильно выпуклой оболочки, Труды участников международной школы семинара по геометрии и анализу памяти Н. В. Ефимова 5-11 сентября, Абрау-Дюрсо. Ростов-на-Дону: Изд. РГУ (2002), 100-101.

40. М. В. Балашов, Об одном вопросе о телах постоянной ширины, Труды участников международной школы семинара по геометрии и анализу памяти Н. В. Ефимова 5-11 сентября, Абрау-Дюрсо. Ростов-на-Дону: Изд. РГУ (2004), 16-17.

41. М. В. Балашов, О порождающих множествах, Воронежская зимняя математическая школа "Современные методы теории функций и смежные проблемы" 27.01 4.02, Тезисы докладов. Воронеж: Изд. ВГУ (1999), 28.

42. М. В. Балашов, Об одном свойстве границы выпуклых компактов, Воронежская зимняя математическая школа "Современные методы теории функций и смежные проблемы" 27.01 4.02, Тезисы докладов. Воронеж: Изд. ВГУ (2001), 29-30.

43. М. В. Балашов, Об удаленных точках множеств, XIV международная конференция "Математика. Экономика. Образование", 25.05 3.06, Тезисы докладов. Ростов-на-Дону: Изд. РГУ (2006), 99. 28.

44. М. В. Балашов, Топологические свойства слабо выпуклых множеств в банаховых пространствах, XXII международная конференция, посвященная И. Г. Петровскому, 21.05 26.05, Тезисы докладов. М.: Изд. МГУ (2007), 30-31. 28.

45. М. В. Балашов, Г. Е. Иванов, Свойства слабо выпуклых и проксимально гладких множеств в банаховых пространствах, Международная летняя математическая школа С. Б. Стечкина по теории функций, Россия, Алексин 1.08 9.08, Тула: Изд. ТГУ (2007), 49 - 52.

46. М'. В. Балашов, Weakly convex and proximally smooth sets in Banach spaces, Международная конференция "Дифференциальные уравнения и топология", посвященная 100-летию JI. С. Понтрягина, Москва 17.0а- 22.06, М.: Изд. МГУ (2008), 223-224. .

47. М. В. Балашов, Пример невозможности параметризации суммы множеств, Труды 50-й научной конференции МФТИ "Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук", Часть VII, Т. 1,

48. Управление и прикладная математика, М.-Долгопрудный, М.: Изд. МФТИ, 6-8.

49. В. И. Благодатских, Введение в оптимальное управление (линейная теория) М.: Высшая школа, 2001.

50. В. Бляшке, Круг и шар. М.: Наука, 1967.

51. В. Бляшке, Дифференциальная геометрия и геометрические основы теории относительности. M.-JL: ОНТИ, Глав. ред. общетехн. лит. и полиграфии, 1935.

52. В. Г. Болтянский, Э. Д. Баладзе, Проблема Секефальви-Надя в комбинаторной геометрии, М., Наука, 1997. 224 с.

53. В. Г. Болтянский, Математические методы оптимального управления. М.: Наука, 1969.

54. Ю. Д. Бураго, В. А. Залгаллер, Геометрические неравенства. JL: Наука, 1980.

55. Т. Боннезен, В. Фенхель, Теория выпуклых тел. М.: Издат. ФАЗИС, 2002.(Перевод книги: T.Bonnesen, W.Fenchel Theorie der konvexen körper, Berlin, Verlag von Julius Springer, 1934.)

56. В. И. Бердышев, Непрерывность многозначного отобраэ/сения, связанного с задачей минимизации функционала, Изв. АН СССР. Сер. матем., 44:3 (1980), 483-509.

57. В. И. Бердышев, Стабильность минимизации функционалов и равномерная непрерывность метрической проекции, Автореферат дисс. д.ф.-м.н., Москва, 1987.

58. Ф. П. Васильев, Численные методы решения экстремальных задач, Наука, Москва, 1980.

59. Ф. П. Васильев, Методы оптимизации М.: Факториал Пресс, 2002.

60. Э. М. Галеев, В. М. Тихомиров, Краткий курс теории эксремальных задач. М.: Изд-во МГУ, 1989.

61. Э. М. Галеев, В. М. Тихомиров, Оптимизация: теория, примеры, задачи. М.: Эдиториал УРСС, 2000.I