Свойства операторов метрического проектирования и выборок из чебышевских центров в банаховых пространствах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат наук Дружинин, Юрий Юрьевич

• Дружинин, Юрий Юрьевич
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Дружинин, Юрий Юрьевич

Оглавление

Введение

Глава I. Существование липшицевой выборки из чебышевских центров

§1. Пространства с достижимой точкой гладкости

§2. Конечномерные пространства

§3. Пространство со (К) и пространства типа с

§4. Метрическая проекция на подпространство констант

Глава II. Свойства оператора метрического проектирования на подпространства в Ьр

§1. Квазиортогональное множество и вспомогательные утверждения

§2. Линейность проекции на подпространства конечной размерности . 52 §3. Линейность проекции на подпространства конечной коразмерности

§4. Примеры с бесконечной размерностью и коразмерностью

§5. Липшицевость метрической проекции

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Свойства операторов метрического проектирования и выборок из чебышевских центров в банаховых пространствах»

Введение

Диссертация посвящена вопросам теории приближений в нормированных пространствах, которые связаны с понятиями оператора метрического проектирования и чебышевского центра множества. В ней исследуются условия существования липшицевой выборки из оператора Тс, сопоставляющего ограниченному множеству множество его чебышевских центров, исследуются условия линейности и липшицевости оператора метрического проектирования на подпространство.

Геометрическая теория приближений берет свое начало в классической работе П.Л.Чебышева [21] (1859), в которой, в частности, доказана чебыше-вость множества Рп алгебраических многочленов степени не выше п и множества Rmn рациональных функций со степенью числителя не выше m и степенью знаменателя не выше п в пространстве С[а,Ь] действительнозначных функций, непрерывных на отрезке [а, Ь]. В этой же работе П.Л.Чебышев описал оператор метрического проектирования на множества Рп и Rmn (теорема об альтернансе). В дальнейшем геометрические вопросы теории приближений в пространстве С изучались А.Хааром (1918), А.Н.Колмогоровым (1948), Е.Я.Ремезом (1953). Окончательное становление геометрической теории приближений как самостоятельной ветви теории приближений произошло в 60-е годы прошлого века благодаря работам, в первую очередь, В. Кли, Н.В. Ефимова и C.B. Стечкина, а затем В.И. Бердышева, Л.П. Власова, А.Л. Гаркави, Е.В. Ошмана, С.Я. Хавинсона, Е. Асплунда, А. Брауна, А. Брендстеда, Д. Вульберта, Ф. Дойча, И. Зингера, Б. Крипке, Дж. Линденштраусса, П. Морриса, Т. Ривлина, У. Рудина, Р. Фелпса, Р. Холмса, Э. Чини, М. Эделыптейна и др. В дальнейшем исследования по геометрической теории приближений в нашей стране проводились в основном представителями научной школы С.Б.

Стечкина: А.Р. Алимовым, П.В. Альбрехтом, В.И. Андреевым, B.C. Балаган-ским, A.A. Васильевой, В.И. Ивановым, М.И. Карловым, C.B. Конягиным,

B.А. Кощеевым, Е.Д. Лившицем, A.B. Мариновым, К.С. Рютиным, Г.Ф. Устиновым, И.Г. Царьковым и др., а также М.В. Балашовым, П.А. Бородиным,

C.И. Дудовым, Г.Е. Ивановым, Е.М. Семеновым, В.П. Фонфом и многими другими математиками.

В современном понимании геометрическая теория приближений изучает взаимосвязи между различными аппроксимативными свойствами множеств (чебышевость, единственность, существование, аппроксимативная компактность, солнечность, антипроксиминальность и т.д.) с их тополого-геометри-ческими свойствами (линейность, выпуклость, разного рода связность, гладкость и т.д.) при различных условиях (строгая выпуклость, равномерная выпуклость, гладкость и т.д.) на нормированное пространство.

Наиболее полно геометрическая теория приближений отражена в обзорах [11], [8], [32], [3], [15], [1], [20].

Пусть X — нормированное пространство, M — непустое подмножество X, р(х, M) := inf{||a; — у\\ : у G M} — расстояние от элемента х Е X до М. Множество Рм(х) = {у G M : \\х — у|| = р(х, М)} называется множеством ближайших к х элементов из М, или метрической проекцией элемента х на М. Множество M называется множеством существования, если для любого х £ X множество Рм(%) содержит хотя бы один элемент, и множеством единственности, если для любого х G X множество Рм(%) состоит из не более чем одного элемента. Если M является одновременно и множеством существования и множеством единственности, то есть для любого х G X в M существует ровно один элемент наилучшего приближения Рм(х), то M называется чебышевским множеством. Оператор Рм '■ х —ï Рм{х) G X) называется оператором метрического проектирования.

Свойства множества быть множеством существования, единственности или чебышевским множеством относятся к числу основных аппроксимативных свойств.

Рассмотрим следующее понятие, которое в известном смысле является обобщением понятия ближайшего элемента. Пусть М, V — произвольные множества нормированного пространства X, N — некоторое натуральное число. Любую систему из N точек 5 = {у\,... ,ум} С V будем называть М-сетыо относительно множества V. Радиусом покрытия множества М А-сетью 5 называется величина

гс(М, Б) := Ы{е > 0 :Мс5£},

где Бе — ^-раздутие множества Б, т.е. множество вида их£зВ£(х), В£{х) — замкнутый шар радиуса е с центром в точке х. Положим

гс{М, А", V) := Ыгс(М,Б),

3

где нижняя грань берется по всем А"-сетям относительно V. А'-сеть Бо называется наилучшей N-сетью для множества М относительно V, если гс(М, Бо) гс(М, Я, V) .

В случае, когда множество М состоит из единственного элемента х, а N — 1, то наилучшая А"-сеть 5о для М, очевидно, является ближайшим к х элементом из V.

Если множество V совпадает со всем пространством X и N = 1, то величина гс{М) := гс(М, 1,Х) называется чебышевским радиусом множества М, а наилучшая 1-сеть — чебышевским центром множества М. Отметим, что чебышевский центр М является центром наименьшего замкнутого шара, целиком содержащего М.

Впервые задача о приближении элементов множества посредством конечной сети точек была поставлена А.Н. Колмогоровым в 1936г. [28]. Им иссле-

довался, в частности, вопрос о наименьшем возможном числе N — Nm{е) точек сети, при котором каждый элемент вполне ограниченного множества M приближается точками сети с точностью до заданного е > 0.

Рассмотрим в некотором смысле обратную задачу: фиксируем натуральное число TV и ставим вопрос о существовании наилучшей TV-сети, которая приближала бы элементы данного множества с наибольшой возможной точностью. Задача о наилучшей TV-сети включает в себя четыре основные проблемы:

1) проблема существования наилучшей TV-сети;

2) установление характеристических свойств таких сетей;

3) проблема единственности наилучшей TV-сети;

4) оценка величины Rc(M, TV, V);

Наилучшие TV-сети относительно различных множеств V изучались в работах В.Н. Замятина, A.JI. Гаркави, Д. Амира, Я. Маха, С.Франчетти, И.Чини (см. работы [13], [12], [23], [27]).

Основные результаты в случае, когда V совпадает со всем пространством X, были получены A.JI. Гаркави в работах [9] и [10].

Для произвольного ограниченного множества нормированного пространства наилучшая TV-сеть может и не существовать. То же верно и для компактного множества и даже для множества, состоящего из конечного числа точек. Как показал A.JI. Гаркави [9], каково бы ни было нормированное пространство X, для любых TV + 1 точек из X существует наилучшая TV-сеть, и можно указать такое банахово пространство Xq и такие TV + 2 точки в нем, что для этих точек наилучшая TV-сеть не существует.

C.B. Конягин [16] показал, что во всяком нерефлексивном банаховом пространстве X с нормой 11 • 11 найдется такая норма 111 • 111, эквивалентная 11 • 11, и три точки {xi,x2, хз\ , что {xi} не имеют чебышевского центра в норме ||| • |||.

Определение. Подпространство Z в банаховом пространстве X называется 1-дополняемым, если существует проектор Я : X —> Z нормы 1 на это подпространство.

Теорема А (А.Л. Гаркави [9]). Если пространство X 1-дополняемо в X** ; то для каждого ограниченного множества М С X в пространстве X существует наилучшая И-сетъ.

Существуют несопряженные пространства, удовлетворяющие условию теоремы А. Примером такого пространства может служить пространство Ь\ суммируемых функций (см. работу [37]).

Условие теоремы А не является необходимым для существования наилучшей А"-сети для каждого ограниченного множества. Например, пространство со (пространство числовых последовательностей, сходящихся к нулю) не удовлетворяет условию теоремы А. Тем не менее в пространстве Со наилучшая А-сеть существует для каждого ограниченного множества [9].

В работе [9] А.Л. Гаркави показал, что каждое нормированное пространство X можно изоморфно и изометрично вложить в некоторое банахово пространство Х\ таким образом, что для каждого ограниченного множества М С X в пространстве Х\ существует наилучшая А"-сеть, покрывающая М с радиусом покрытия, равным

где нижняя грань берется по всевозможным банаховым пространствам Z, содержащим пространство X.

Если N > 1, то наилучшая А-сеть для множества М С X может оказаться не единственной даже в том случае, если пространство X евклидово. Однако при А" = 1 для любого ограниченного множества евклидова пространства существует не более одной наилучшей 1-сети (чебышевского центра). Для

ограниченного множества в произвольном пространстве чебышевский центр может быть не единственным, например, в пространстве упорядоченных пар действительных чисел с нормой )|(х,у)|) = тах{|ж|, \у\} множеством че-бышевских центров отрезка с концами в точках (—1,0) и (1,0) является отрезок с концами в точках (0,1) и (0,-1).

Нормированное пространство X называется равномерно выпуклым по каждому направлению, если для каждого элемента г е I и для любого £ > 0 существует такое 6 > 0, что если Ца^Ц = Ця^Н = 1, х\ — х^ — и ||хх -\-x2W ^ 2 - 5, то |А| < е.

Нормированное пространство X называется строго выпуклым, если единичная сфера ¿>1(0) не содержит отрезков

Теорема В. (А.Л. Гаркави [9]) Для того чтобы каждое ограниченное множество М пространства X имело не более одного чебышевского центра, необходимо и достаточно, чтобы пространство X было равномерно выпуклым по каждому направлению.

В работе [10] А.Л. Гаркави установил, что для того чтобы каждое компактное множество М пространства X имело не более одного чебышевского центра, необходимо и достаточно, чтобы пространство X было строго выпуклым.

Примером строго выпуклого, но не равномерно выпуклого по всем направлениям пространства служит пространство непрерывных функций на отрезке [0,1] с нормой ||/|| := ||/||с[од] + ||/1к2[о,1] •

Нормированное пространство X называется равномерно выпуклым , если для любого е > 0 существует такое > 0, что если Ца^Н = \\x2W = 1 и ||я1 + х2\\ ^ 2 - то ||гс! - х2\\ < е.

Из теорем А и В следует, что для всякого ограниченного множества М

равномерно выпуклого пространства существует единственный чебышевский центр.

В работе [14] установлено, что в пространстве С {К) действительнозначных непрерывных функций на хаусдорфовом компакте К всякое ограниченное множество М обладает чебышевским центром, причем функция / (Е С (К) является чебышевским центром тогда и только тогда, когда

Ut — всевозможные окрестности точки t.

Для пространства С(Т, Е) ограниченных непрерывных функций, определенных на топологическом пространстве Т, со значениями в нормированном пространстве Е, верны следующие утверждения:

Всякое ограниченное множество пространства С(Т, Е) имеет чебышевский центр, если либо Е конечномерное строго выпуклое пространство и Т паракомпакт, либо Е гильбертово, а Т нормальное (J.D. Ward [38]);

Всякое ограниченное множество пространства С(Т, Е) имеет чебышевский центр, если Е равномерно выпуклое пространство (D. Amir [22]).

Пусть Tq — оператор, сопоставляющий каждому ограниченному множеству М множество (возможно пустое) его чебышевских центров Тс(М).

Определение. Хаусдорфовым расстоянием между ограниченными множествами М и N нормированного пространства X называется величина

/*(М, t)-RM<: fit) ^ /*(М, t) + RM, te к,

где

f*{M, t) := inf sup sup g(s)

ut seUt g£M

f*(M,t) := sup inf inf g(s)

Ut seUtgeM

RM:=^\\r(M,t)-MM,t)\\

dH{M, A) = dH(M, A"; X) = max{£ > 0 : N С M£ и M С Ne}.

Хаусдорфово расстояние является метрикой в пространстве ограниченных множеств из X. Установлены следующие свойства оператора Тс как оператора на этом пространстве:

Если X равномерно выпуклое нормированное пространство, то оператор Тс непрерывен (П.К. Белобров [4]);

Банахово пространство X равномерно выпукло тогда и только тогда, когда всякое ограниченное множество имеет ровно один чебышевский центр и оператор Тс равномерно непрерывен (D. Amir [22]);

Пусть X = С(Т, Е), Е — равномерно выпуклое пространство, тогда оператор Тс равномерно непрерывный (D. Amir [22]).

Будем говорить, что оператор Тс обладает липшицевой выборкой, если найдется такой оператор Т, сопоставляющий каждому ограниченному множеству некоторый (один) его чебышевский центр, что для некоторого в > О и любых ограниченных множеств М и N выполнено

|| T(M)-T(N)\\^0-dH(M, N).

В евклидовом пространстве размерности не меньше 2, а значит, и в гильбертовом пространстве, липшицевой выборки из оператора Тс не существует даже на классе выпуклых замкнутых ограниченных множеств, как показывает следующая

Теорема С. (Е.С. Половинкин, М.В. Балашов [18]). Пусть X — евклидово пространство размерности не меньше 2. Тогда

1) для любых двух выпуклых замкнутых множеств M,N С Дя(0) выполнено

IIТС(М) - TC(N)|| ^ 2^/3RdH(M, N) + dH(M, TV);

2) для любого R > 0 и для любого е G (0; R) найдутся такие выпуклые

замкнутые множества Mq, Nq С Br(0), что

£ = \\ТС(М0) - TC(N0)\\ > yj2RdH(M0,N0).

Примером пространства, в котором липшицева выборка из оператора Тс существует, является пространство (или изометрически изоморфное ему пространство 1\): каждому ограниченному множеству М поставим в соответствие точку

Т(М) := \ (sup Mi + inf Мь sup M2 + inf M2),

где Mi := {x G R : 3y <E R : (x, у) e M}, M2 := {y 6 R : <E R : (ж, у) € M}. Тогда для произвольных ограниченных множеств М, iV имеем

||Т(М)-TiN)^ ^ |max{|supMi -supiVi| + | inf Mi - inf 7Vi|,

| sup M2 - sup iV2| + | inf M2 - inf A^l} ^ (M, jV).

В работе [14] установлено, что в пространстве действительнозначных непрерывных функций С [а, Ь] для всякого ограниченного множества М С С[а,Ь] существует чебышевский центр и для любых ограниченных множеств М и N выполнено неравенство dH(Tc(M),Tc(N)) ^ 2du{M,N). Отметим, что вопрос существования липшицевой выборки из оператора Тс в [14] не рассматривался.

В работе [23] построен пример трехмерного пространства, для которого не существует непрерывной выборки из оператора Тс- В главе I, §2 приведено опровержение этого примера.

В главе I настоящей работы указан класс банаховых пространств, для которых не существует липшицевой выборки из оператора Тс, найден критерий существования липшицевой выборки для конечномерных пространств,

доказано существование лиишицевой выборки для пространств Со(£) и пространств типа с.

Перейдем к рассмотрению свойств оператора Ру метрического проектирования на линейные чебышевские подпространства Y банахова пространства X. Оператор метрического проектирования Ру бывает разрывным [32], [24], бывает непрерывным, но не липшицевым (например, для подпространства Y = Рп многочленов степени не выше п ^ 2 в С[0,1] — см., напр., [19]), и совсем редко бывает линейным, как показывает

Теорема D. (W. Rudin, К.Т. Smith [36]; I. Singer [32], гл. 3, §4, п. 4.1)

Пусть X — действительное банахово пространство размерности dim X ^ 3; и натуральные числа п, к удовлетворяют условиям 1 ^ п < dimX — 1, 2 ^ к < dimX. Следующие условия эквивалентны:

1) X — гильбертово пространство; 2) всякое подпространство Y С X размерности п обладает однозначной линейной метрической проекцией; 3) всякое подпространство Y С X коразмерности к обладает однозначной линейной метрической проекцией.

Для пространства Li [0,1] установлена следущая

Теорема Е. (D. Morris [29]). Подпространство Y пространства Li[0,1] является чебышевским с линейным оператором метрического проектирования тогда и только тогда, когда существуют разбиение отрезка [0,1] на два неперсекающихся измеримых множества М\ и и существует линейный оператор А : L\{M\) —> Ь\{М2), строго уменьшающий норму каждого ненулевого элемента ^Щ^/Ц < |Ы| при у ^ 0), такие, что

Y = {yeL1[0,1] :у\м2 = Лу\м1}1

где у— сужение функции у на множество N С М.

В работе [7] П.А. Бородин обощил эту теорему на случай произвольного

пространства Li(M, S,//), где (M, Е,д) — сг-конечное измеримое пространство.

Существуют типы подпространств Y, для которых оператор Ру метрического проектирования линеен для любого пространства X. Этими подпространствами являются тривиальные подпространства {0}, X и чебышевские подпространства коразмерности 1. Существуют пространства, в которых оператор метрического проектирования линеен только для этих трех видов подпространств, например, таким пространством является С {К), как было установлено П.А. Бородиным в работе [7].

В гильбертовых пространствах Ру линеен для любых подпространств У, поскольку совпадает с оператором ортогонального проектирования на Y. В пространстве LP(M) = LP(M, Е, fï) при р > 1 и р ^ 2 все подпространства Y чебышевские (пространство ЬР(М) гладкое и строго выпуклое), однако, Ру бывает и нелинейным, и нелипшицевым.

В главе II настоящей работы найден критерий линейности оператора метрического проектирования на подпространства LP(M, Ер > 1,р ^ 2, конечной размерности и конечной коразмерности (отметим, что аналогичный результат был получен Pee-kee Lin в работе [31] для случая конечной меры ц). Построены примеры подпространств в Lp[0,1] с бесконечной размерностью и коразмерностью, для которых операторы метрического проектирования как линейны, так и нелинейны.

Для подпространства существования Y банахова пространства X F. Deutsch W. Li, S. Park [26] получили, что Ру Липшицев тогда и только тогда, когда Ру равномерно непрерывен. А.К. Cline [25] доказал, что если К — бесконечный компакт, Y — подпространство С {К) с 2 < dim У < оо, то оператор метрического проектирования Ру не является липшицевым.

В работе П.А. Бородина [6] доказано, что если банахово пространство X

не изоморфно гильбертову пространству, то в X есть либо нечебышевское подпространство У, либо чебышевское подпространство У с нелипшицевым оператором метрического проектирования.

П.В. Альбрехт [2] построил пример одномерного подпространства У в ЬР{М: £,//), р > 1, р 2, для которого оператор Ру нелипшицев.

В главе II настоящей работы доказано, что в пространстве Е, /л),

р > 1,р 2, оператор Ру нелипшицев для таких одномерных подпространств У = (у), что эирру содержит безатомную часть положительной меры.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы из 41 наименования. Общий объем диссертации — 70 страниц. В каждой главе принята сквозная нумерация теорем, лемм, предложений и определений.

Перейдем к обзору результатов по главам.

В I главе исследуется вопрос существования липшицевой выборки из оператора Тс, сопоставляющего каждому ограниченному множеству некоторого банахова пространства X множество его чебышевских центров.

В гильбертовом пространстве оператор Тс однозначный, но, как следует из теоремы С, не является липшицевым даже на классе выпуклых замкнутых ограниченных множеств. Оказалось, что условием, достаточным для отсутствия липшицевой выборки из Тс, является наличие у единичной сферы 61(0) пространства X достижимой точки гладкости.

Определение. Гиперплоскость Ь называется опорной гиперплоскостью к шару Вг{х) в точке х$ £ 5г(а:), если хо Е Ь и Ь П Вг(х) С 5г(х).

Определение. Точка € Бг(х) называется достижимой точкой шара Вг(х), если существует опорная гиперплоскость Ь к шару Вг(х) в хо, для

которой выполнено Ь П Вг(х) = {хо}. Точка хо Е Бг(х) называется точкой гладкости шара Вг(х), если существует ровно одна опорная гиперплоскость к шару Вг{х) в точке Будем говорить, что банахово пространство обладает достижимой точкой гладкости, если единичный шар #1(0) имеет точку, являющуюся одновременно достижимой точкой и точкой гладкости.

Функционал / Е X* называется опорным к шару Вг{уо) в точке х$ Е 5г(гу), если гиперплоскость {х £ X : /(х) = /(^о)} является опорной к Вг(ги) в хо. Через J{a) = J(a; X) обозначим множество опорных функционалов / к шару 5].(0) в точке а Е ^(О), для которых /(а) = 1. Заметим, что все функционалы из множества 7(а) по норме равны 1, а само множество выпуклое. Диаметром множества М С X назовем величину

сИатх М — сИатМ := эирЩа:! — Х2\\х '■ ^ъ £ М}.

Теорема 1.1. Пусть X — банахово пространство, точка а Е 5*1 (0) является достижимой точкой шара В\{0), а У — некоторое двумерное подпространство X, содержащее а. Тогда для любого 5 > 0 найдутся два ограниченных множества М, N С X, каэ/сдое из которых обладает ровно одним чебышевским центром, и для которых выполнено неравенство

Теорема 1.2. Если банахово пространство X имеет достижимую точку гладкости, то не существует липшицевой выборки из оператора Тс-

В случае, когда X конечномерное, удалось установить критерий существования липшицевой выборки из Тс.

Будем говорить, что единичный шар В(Х) конечномерного банахова пространства X является многогранным, если существуют такие функционалы

/ъ • • •) Л Е X* единичной нормы, что

В(Х) = П]=1{х е X : ^ 1} =: П^В,.

Теорема 1.3. Пусть X — конечномерное банахово пространство. Оператор Тс обладает липшицевой выборкой тогда и только тогда, когда единичный шар пространства X является многогранным.

Пусть Е — бесконечное множество. Пространством со(Е) называется пространство функций /: Е —> К, обладающих двумя свойствами: (1) каждая функция / 6 со (Е) отлична от нуля на не более чем счетном подмножестве Е, (2) для любой последовательности попарно различных точек С Е

выполнено ¡(ап) —» 0. Нормой в пространстве Со(Е) является обыкновенная равномерная норма: ||/|| = \\/\\со(е) := таха€£; |/(а)|. Отметим, что для выполнения условия (2) достаточно потребовать, чтобы /(ап) —>• 0 для последовательности попарно различных элементов {ап}, которая состоит из всех точек Е, на которых / отлична от нуля. Примером пространства со (Е) служит пространство со последовательностей, сходящихся к 0.

Теорема 1.4. В пространстве Со(Е) оператор Тс обладает липшицевой выборкой.

Теорема 1.5. Пусть К — хаусдорфов компакт с конечным числом предельных точек. Тогда в пространстве С (К) существует липшицева выборка из оператора Тс-

При доказательстве этих теорем липшицевы выборки строятся явно.

Установлена связь между существованием липшицевой выборки из оператора Тс и существованием липшицевой выборки из метрической проекции Ру на подпространство констант У в пространстве С {К, банаховозначных функций и получены следующие результаты:

Теорема 1.6. Пусть компакт К содержит хотя бы 4 точки, У С С (К, Z) — подпространство константных функций, a Z имеет достижимую точку гладкости. Тогда у оператора Ру не существует липшицевой выборки.

Теорема 1.7. Пусть компакт К содержит хотя бы 4 точки, Y — подпространство константных функций. Тогда у оператора Ру существует липшицева выборка тогда и только тогда, когда единичный шар пространства Z - многогранный.

В главе II исследованы условия линейности и липшицевости оператора метрического проектирования на подпространства конечной размерности и конечной коразмерности в пространстве ЬР(М, £,//) при р > 1, р ф 2.

Теорема 2.1. Пусть Y — подпространство размерности п в Ьр(М) при р > 1, р ф 2. Оператор Ру линеен тогда и только тогда, когда в подпространстве Y найдется такой базис /i,..., fn, что носитель каждой функции fi состоит из одного или двух атомов.

Аннулятором подпространства Y называется подпространство YL — {/ G

** : f(y) = 0 Vy G У}.

Теорема 2.2. Пусть Y — подпространство коразмерности п в ЬР(М), р > 1, р ф 2. Оператор Ру линеен тогда и только тогда, когда в подпространстве Y1 С Lq (- + - = 1) найдется такой базис д\,... ,дп, что /¿(supp gi П supp gj) = 0 для всех i ф j.

Как уже отмечалось, для случая конечной меры теоремы 2.1 и 2.2 были доказаны Pee-kee Lin в [31]. Наши доказательства совершенно отличны от доказательств Lin'a.

Построены примеры подпространств Ьр бесконечной размерности и коразмерности как с линейным, так и с нелинейным оператором метрического

проектирования.

Исследовалась липшицевость метрической проекции для одномерных подпространств.

Теорема 2.3. Пусть Y = (у) — такое одномерное подпространство Lp(M,Y,,n), р > 1, р -ф 2, что supp у имеет безатомную часть положительно меры. Тогда оператор Ру не является липшицевым.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [39], [41], [40] автора, приведенных в конце списка литературы. Они докладывались на семинаре по теории приближений и граничным свойствам функций в МГУ под руководством профессора Е.П. Долженко, на семинаре по теории приближений в МГУ под руководством профессора И.Г. Царькова и доцента

A.C. Кочурова, на семинаре по теории ортогональных рядов под руководством академика РАН B.C. Кашина и чл.-корр. РАН C.B. Конягина, на семинаре по геометрической теории приближений под руководством доцента П. А. Бородина, на научном семинаре кафедры высшей математики Московского физико-технического института (государственного университета) под руководством профессора Е.С. Половинкина, на Международной конференции «Теория приближений», посвященной 90-летию со дня рождения С. Б. Стеч-кина (2010), на школе С.Б. Стечкина по теории функций в г.Миасс (2011, 2013) и на XI Казанской летней школе-конференции «Теория функций, ее приложения и смежные вопросы» (2013).

Автор глубоко благодарен своему научному руководителю П.А. Бородину за постановку задач, их обсуждение и постоянную поддержку в работе.

Автор благодарен C.B. Конягину за указание на связь чебышевских центров с метрической проекцией на подпространство констант, И.Г. Царькову,

B.C. Кашину и A.C. Алимову за ценные замечания.

Глава I. Существование липшицевой выборки из чебы-шевских центров.

§1. Пространства с достижимой точкой гладкости.

Две точки а, Ъ шара Вг(х) будем называть диаметральными, если а,Ь £ 5г(гс) и а — х = х — Ь.

Лемма 1.1. Пусть X — банахово пространство, М С X — ограниченное множество и а,Ь — некоторые точки из М. Рассмотрим шар Вг(х), где г := + Ь) иг := |||а — Ь||. Если М С Вг(х), то точка х является чебышевским центром множества М. Если к тому же а и Ъ являются достижимыми точками шара Вг(х), то х — единственный чебышевский центр М.

Доказательство. Для любого х £ X имеем

2г=\\а-Ъ\\ ^ \\х — а\\ + \\х — Ь||,

откуда либо \\х — а|| ^ г, либо \\х — 6|| ^ г. Поэтому если некоторый шар В8(х) содержит М, то его радиус 5 не меньше г, следовательно, гс(М) ^ г. Получили, что г является чебышевским центром для М.

Пусть Ь является достижимой точкой шара Вг(г), тогда найдется опорная гиперплоскость Ь к шару Вг(г) в Ь, для которой ЬГ\Вг(г) = {Ь}. Для любого у 6 Тс(М) имеем 2г = ||а — 6|| ^ ||у — а|| + ||у — 6|| ^ 2г, следовательно, ||у — а|| = ||у — Ь|| = г. Отсюда точки 2 + {у — а), г + (Ь — у) и Ь принадлежат сфере По построению Ь П Вг(г) = {6}, поэтому точки г + {у — а) и

х + (6 — у) лежат по одну сторону относительно Ь, с другой стороны, эти точки симметричны относительно Ъ е Ь, поэтому лежат по разные стороны относительно Ь. Следовательно, х 4- (у — а) и ^ + {Ъ — у) принадлежат Ь, но снова т.к. Ь П Вг(х) — {6}, то х + {у — а) = х-\-(Ь —у) =Ъ. Из этого равенства

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Дружинин, Юрий Юрьевич, 2013 год

Список литературы

[1] Алимов А.Р. Всякое ли чебышевское множество выпукло? // Матем. просвещение, 1998, 2, С. 155-172.

[2] Альбрехт П. В. Порядки модулей непрерывности операторов почти наилучшего приближения // Матем. сб., 1994, Т. 185, №9, С. 3-25.

[3] Балаганский В. С., Власов Л.П. Проблема выпуклости чебышевских множеств // Успехи матем. наук, 1996, Т. 51, №6, С. 125-188.

[4] Белобров П.К. О чебышевской точке системы множеств // Известия высших учебных заведений, Математика, 1966, №6, С. 18-24.

[5] Богачев В.И. Основы теории меры. Том 1. Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2003.

[6] Бородин П. А. Коэффициент линейности оператора метрического проектирования на чебышевское подпространство // Матем. заметки, 2009, Т. 85, №2, С. 180-188.

[7] Бородин П.А. О линейности оператора метрического проектирования на чебышевские подпространства в пространствах Ь\ и С // Матем. заметки, 1998. Т. 63, №6, 812-820.

[8] Власов Л.П. Аппроксимативные свойства множеств в линейных нормированных пространствах // Успехи матем. наук, 1973. Т. 28, №6, С. 3-66.

[9] Гаркави А.Л. О наилучшей сети и наилучшем сечении множества в нормированном пространстве // Известия АН СССР, серия математическая, 1962, Т. 26, С. 87-106.

[10] Гаркави А. Л. О чебышевском центре множества в нормированном пространстве // Сборник «Исследования по современным проблемам конструктивной теории функций», Физматгиз, Москва, 1961, С, 328-331.

[11] Гаркави А.Л. Теория наилучшего приближения в линейных нормированных пространствах // Итоги науки. Сер. Математика. Мат. анал. 1967, ВИНИТИ, М., 1969, 75-132.

[12] Гаркави А.Л., Замятин В.Н. Об условном чебышевском центре ограниченного множества непрерывных функций // Математические заметки, 1975, Т. 18, М, С. 67-76

[13] Замятин В.Н. Относительные чебышевские центры в пространстве непрерывных функций, ДАН СССР, 1973, Т. 209, С. 1267-1270.

[14] Замятин В.Н., Кадец М.И. Чебышевские центры в пространстве С[а,Ь] // Укр. респ. сб., «Теор. функций, функц. анализ и их прилож.», Харьков, 1968, №7, С. 20-26.

[15] Карлов М.И., Царьков И.Г. Выпуклость и связность чебышевских множеств и солнц // Фундаментальная и прикладная математика, 1997, Т.З, №4, С. 967-978.

[16] Конягин C.B. Замечание о перенормировке нерефлексивных пространств и существовании чебышевского центра // Вестник МГУ, 1998, серия 1, №2, С. 81-82

[17] Лейхтвейс К. Выпуклые множества, Наука, М., 1985.

[18] Половинкин Е.С., Балашов М.В. Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа, Физматлит, М., 2004.

[19] Изложение лекций С.Б. Стечкина по теории приближений, Изд-во УрО РАН, Екатеринбург, 2010.

[20] Царьков И. Г. Геометрическая теория приближения в работах С.Б.Стечкина // Известия Тульского государственного университета, 2005, Т.11, Вып. 1, Математика, С. 236-260.

[21] Чебышев П. Л. Вопросы о наименьших величинах, связанных с приближенным представлением функций //1859. в кн.: Чебышев П.Л. Полн. собр. соч. Т.2. М.-Л., изд-во АН СССР, 1947, С. 151-235.

[22] Amir D. Chebyshev centers and uniform convexity // Pacific J. Math., 1978, V. 77, №1, 1-6.

[23] Amir D., Mach J. Chebyshev Centers in Normed Spaces //J. Approx. Theory, 1984, V. 40, №4, 364-374.

[24] Cheney E. W., Wulbert D.E. The existence and unicity of best approximation 11 Math. Scand., 1969, V. 24, №1, 113-140.

[25] Cline A.K. Lipschitz conditions on uniform approximation operators // J. Approx. Theory, 1973, V. 8, №2, 160-172.

[26] Deutsch F., Li W., Park S.-H. Characterization of continuous and Lipschitz continuous metric selections in normed linear spaces //J. Approxim. Theory, 1989, V. 58, №3, P. 297-314.

[27] Franchetti C., Cheney E. W. The embedding of proximinal sets //J. Approx. Theory, 1986, V. 48, №2, 213-225.

[28] Kolmogorov A.N. Uber die beste Annäherung von Funktionen einer gegebenen Funktionenklasse. // Ann. Math., 1936, F. 37, 107-110.

[29] Morris D. Chebyshev subspaces of L\ with linear metric projection // J. Approx. Theory, 1980, V. 29, №3, 231-234.

[30] Morris D. Metrie projections onto subspaces of finite codimension // Duke Math. J., 1968, V. 35, №4, 799-808.

[31] Pee-kee Lin. Remarks on linear selections for the metric projection // J. Approx. Theory, 1985, V. 43, №1, 64-74.

[32] Singer I. Best Approximation in Normed Linear Spaces by Elements of Linear Subspaces, Acad. SRR, Bucharest; Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York, 1970.

[33] Singer I. The theory of best approximation and functional analysis, CBMS 13/ Philadelphia: SIAM, 1974.

[34] Shapiro H.S. Topics in approximation theory, №187, Lecture Notes in Mathematics, 1971, Berlin.

[35] Randrianantoanina B. Contractive projections in nonatomic function spaces 11 Proc. Amer. Math. Soc., 1995, V. 123, №6, 1747-1750.

[36] Rudin W., Smith K.T. Linearity of best approximation: a characterization of ellipsoids // Indagationes Mathematicae, 1961, V. 23, №1, 97-103.

[37] Ruston F. Conjugate Banach spaces // Proc. Cambridge Philos. Soc, 1957, V. 53, 576-580.

[38] Ward J.D. Chebyshev centers in spaces of continuous functions// Pacific J. Math., 1974, V. 52, №1, 283-287.

[39] Дружинин Ю.Ю. О линейности оператора метрического проектирования на подпространства в пространствах Ьр // Вестн. Моск. ун-та. Сер.1 Матем. Мех., 2010, №1, С. 30-36.

[40] Дружинин Ю.Ю. О липшицевости оператора метрического проектирования на подпространство констант в С[К, В] // Международная конференция по теории приближений, посвященная 90-летию С.Б. Стечкина, Тезисы докладов, 2010, С. 27-28.

[41] Дружинин Ю.Ю. О существовании липшицевой выборки из чебышев-ских центров // Матем. сб., 2013, 204, 5, С. 25-44.