Экстремальные задачи в теории целых функций тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, доктор физико-математических наук Попов, Антон Юрьевич

• Попов, Антон Юрьевич
• доктор физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Попов, Антон Юрьевич

Введение

1 Экстремальные задачи для канонических произведений и их приложения в теории аналитического продолжения

1.1 Основные определения и обозначения.

1.2 Несколько вспомогательных результатов.

1.3 Оценка снизу модуля канонического произведения

1.4 Максимальное значение индекса конденсации последовательностей с заданными шагом, верхней и нижней плотностями.

1.5 Двусторонние оценки функции A(a,f3, К).

1.6 Экстремальные задачи в теории аналитического продолжения.

1.7 Наименьший возможный тип при порядке р < 1 канонических произведений с положительными нулями заданной верхней р-плотности.

2 Экстремальные задачи в теории интерполирования значениями последовательных производных

2.1 Границы сходимости и единственности интерполяционных задач Абеля—Гончарова.

2.2 Следствия из теорем 2.2 и 2.3. Примеры.

2.3 О полноте редких подпоследовательностей систем функций вида fin\Xnz).

3 Плотные классы функций сравнения

3.1 Теорема о плотности множества функций сравнения для которых lim (Лп+2АГ+1Аг) = 1.

3.2 Плотность в Л(С) класса функций сравнения, порождающих обобщённое преобразование Бореля, обратимое в интегральной форме.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Экстремальные задачи в теории целых функций»

В диссертации решены несколько экстремальных задач, актуальных в теории целых функций. Они состоят в нахождении на том или ином классе функций, определяемом распределением своих нулей (глава 1) или распределением нулей последовательных производных (глава 2), точной верхней или точной нижней грани некоторых асимптотических характеристик функций данного класса. Результаты главы 1 применяются для решения экстремальных задач в теории аналитического продолжения степенных рядов и рядов экспонент. В связи с тем, что диссертационная работа связана с решением конкретных экстремальных задач, а не с общими методами их исследования, перейдём сразу к постановкам задач.

В главе 1 основным объектом исследования являются канонические произведения

00 / z2\

Л(*) = П (1-Д2 Ь « п=1 4 п/ с симметричными нулями {iAn}^, где Л = {Ап}^ - возрастающая последовательность положительных чисел, имеющая конечную верхнюю плотность

D(X) = limsupn/An . (2) n—оо

Интерес к функциям (1) обусловлен многочисленными их применениями в таких важных разделах комплексного анализа, как проблемы полноты систем экспонент, теория интерполяции, теория аналитического продолжения. Список фамилий математиков, в работах которых использовались функции L\(z), занял бы не одну страницу. Отметим, что в значительной доле этих работ рассматриваются "достаточно регулярные" последовательности Л, имеющие плотность (они называются измеримыми) d= lim п/Хп (3) п—о именно lim, а не lim sup!). Но задачи, решаемые в первой главе диссертации, интересны и содержательны именно для последовательностей, не имеющих плотности. Сформулируем две такие задачи, решённые в первой главе, а потом расскажем об их приложениях в теории аналитического продолжения рядов экспонент и в вопросах полноты систем экспонент. # Величину

6(А) = lim sup — In (4)

П-КХ) Лп L/^{An) назовем, следуя В. Бернштейну [53] и А.Ф. Леонтьеву [26] (глава 2, §5), индексом конденсации последовательности Л. Из (4) сразу видна справедливость следующего утверждения.

Утверждение. Для любого е > 0 существует натуральное число щ = По(е) такое, что при всех п > щ верна оценка

L'A(A„)|>exp(-(J(A)+£)A„) . (5)

В этом утверждении постоянную 5(Л) нельзя заменить меньшей.

В главе 1 §2 доказано (теорема 1.1), что индекс конденсации помогает дать в определённом смысле неулучшаемую оценку снизу не только |1/Л(Ап)|, но и \L\(x)\ при х +оо. Через р(х) обозначим расстояние от точки х до ближайшего к ней элемента последовательности Л. Из теоремы 1.1, доказанной в §2 главы 1, вытекает

Следствие. Для любого £ > 0 существует, положительное число xq = xq(e) такое, что при всех х > xq верна оценка

Lx(x)\ >р(х)ехр(-(6(\) + е)х) . (6)

И в этом утверждении постоянную 5(A) нельзя заменить меньшей. Попутно заметим, что неравенство (6) заодно является и оценкой снизу минимума модуля канонического произведения L\(z) на окружности \z\ = ж, поскольку min|LA(*)| = \Lx{x)\. z\=x

Хорошо известно, что если последовательность А имеет положительный шаг h(А), равный по определению h(А) = liminf (An+i - An) , n—>00 и существует предел (3), то 6(А) = 0. В противном случае 5(A) может принимать положительные значения. Заметим, что из (6) сразу же вытекает неотрицательность индекса конденсации любой последовательности, имеющей конечную верхнюю плотность — пояснение см. в доказательстве теоремы 1.1. Ввиду того, что оценки снизу вида (5) и (б) постоянно применяются в исследованиях по интерполяции, рядам экспонент и решениям уравнений свёртки [53, 30, 26, 27, 5], получение наилучших оценок сверху 5(A) является весьма важным. Высказанные соображения приводят к следующей экстремальной задаче.

Задача 1. Даны два положительных числа /3 и h, удовлетворяющие ограничению1 h/3 < 1. Требуется найти Д (j3, К) — точную верхнюю грань индексов конденсации всевозможных возрастающих последовательностей, верхняя плотность которых не превосходит f5, а шаг не меньше h.

Величина lim inf п/\п п—> оо называется нижней плотностью последовательности Л. Если 22(A) = D(X), то последовательность Л имеет плотность (3), и при условии h(А) > 0 верно равенство 5(\) = 0. Поэтому величина нижней плотности оказывает существенное влияние на оценку индекса конденсации. Это соображение приводит к более сложной задаче.

Задача 1А. Даны три действительных числа а, /3 и h, удовлетворяющие ограничениям

0<а</3, 0<h<l/p. (7)

Требуется найти А (а,/5, Л) — точную верхнюю грань индексов конденсации всевозможных возрастающих последовательностей, верхняя плотность которых не превосходит /3, ниоюняя плотность не меньше а, а шаг не меньше h.

Решив задачу 1А, мы сможем проследить, как может увеличиваться индекс конденсации последовательностей с фиксированными верхней плотностью и шагом при уменьшении нижней плотности. Ясно, что при а = 0 получается задача 1. Действительно, по определению 22(A) > 0, а значит условие 0 < 22(A) не

Это ограничение продиктовано соотношением D(X)h(X) < 1 (см. [30], глава 1, §1).

DM накладывает никаких ограничений на нижнюю плотность. Тем самым, Д(0,/?, К) = A(/3,h) и, решив задачу 1А, мы заодно и решим задачу 1.

Задачи 1 и 1А не были решены до выхода в свет работ автора [39] и [41]. Задача 1 давно привлекала к себе внимание. В 60-е годы прошлого века С. Мандельбройт ([30] глава 1) получил оценку сверху

A(/3,h)< 3/3 In ^ +8.5/?, (8) а также асимптотическую оценку снизу

A(/M)>/?(lni-lnlni-ln2 + o(l)) (/3^+0). (9)

Оценка (8) приводится и в монографии [26] (глава 2, §4). Заметим, что между неравенствами (8) и (9) имеется большой зазор, не позволяющий даже найти асимптотику А(/3,1) при /? —»■ +0.

Заслуживает внимания то, что другая экстремальная задача — о максимально возможном росте канонических произведений L\(z) на R+ и других лучах комплексной плоскости была исчерпывающим образом решена Б.Я. Левиным в начале 50-х годов.

Хорошо известно, что L\(z) является целой функцией экспоненциального типа, не превосходящего ttD(X). Через Н\(в) обозначим индикатрису роста L\(z):

Ял(0) = Шпвир 14ММ1. (10)

R-++оо -ft

Требовалось найти Н^в) — точную верхнюю грань функций Н\(6), взятую по всем последовательностям Л, верхняя плотность которых не превосходит (3. Ввиду чётности канонических произведений L\(z) можно ограничиться значениями £ из правой полуплоскости, то есть в £ [—7г/2, 7г/2].

Теорема Левина. ([25], глава 5). При любом /3 > 0 справедливо равенство %р(9) = /ЗН^О), где n(g) = f« lsin6?l' ^/4<И<тг/2, lU {A(0)cos0 + B(e)\sm0\, |0|<тг/4.

А(в) = In (l + 2 cos 20 + V8 cos 20 cos , (u) 2 cos 2(9-1

В (в) = arcctg -,

2| sin#|\/2 cos 20. л

Для любого j3 > 0 существует последовательность X, верхняя плотность которой равна (3, а индикатриса роста функции L^(z) совпадает с Нр(0).

В приложениях важен частный случай

7^(0) = /31n(3 + л/8). (12)

Таким образом, задача Левина о наибольшей индикатрисе роста канонических произведений с верхней плотностью положительных нулей, не превосходящей [3, во-первых, линейна по (3, а во-вторых, в её постановку не входит ограничение на шаг последовательности. Отсутствие зависимости результата в этой задаче от шага последовательности видно из следующей теоремы (§6 гл. 1).

Теорема 1.6. [40]. Для любых /3 > 0 и h Е (0,1//3] существует последовательность X с шагом h и верхней плотностью /3, для которой имеют место равенства

Н\(6) = ~Нр(в) vee[~,|], 5(A) = ДОЗ, Л).

Н.В. Говоров [б] рассмотрел обобщение задачи Левина в том же ключе, в котором задача 1А обобщает задачу 1. Им была найдена функция ?{а,/з{0), равная по определению точной верхней грани индикатрис роста Н\(в), взятой по всем последовательностям Л, верхняя плотность которых не больше /3, а нижняя плотность не меньше а. И здесь шаг последовательности не имеет смысла учитывать.

В задачах 1 и 1А ситуация совершенно иная. Во-первых, линейность по /3 отсутствует (см. (8) — (9)), а во-вторых, влияние величины шага очень существенно, поскольку при любых фиксированных аи/3, 0<а</3 справедливо предельное соотношение

В силу этого можно утверждать, что задачи 1 и 1А являются значительно более тонкими и более сложными, чем упомянутые выше задачи Левина и Говорова.

В §3—§4 главы 1 диссертации задачи 1 и 1А получили точное решение. Величина Д(а, /?, h) (а вместе с ней и Д(/3, К) = Д(0, /3, К)) найдена как элементарная функция от а, /?, h (теорема 1.3). Доказано также, что точная верхняя грань индексов конденсации A(a,f3,h) достигается на некоторой последовательности А, имеющей шаг h и нижнюю и верхнюю плотность, равные а и /3 соответственно.

Явная формула для A(a,(3,h) весьма сложна; поэтому она во введении не приводится. Большего внимания заслуживает следующая двусторонняя оценка, доказанная в §5 главы 1.

Теорема 1.4. При любых а, /3, h, удовлетворяющих ограничениям (7), справедливо двойное неравенство h->+о lim Д(а, К) = +оо.

13)

Р-а) In

3 + >/8)(1 -ha) h(p - а) (/?-<*) In ю в котором постоянную 3 + л/8 нельзя заменить большей, а постоянную 4е — меньшей при всех допустимых значениях а, (3, h.

Постоянная 3 + у/8 в (14) является точной при наибольшем возможном значении h = 1/(3 :

Д(а, А 1//3) = {/3-а) 1п(3 + \/8). (15)

Постоянная 4е в оценке сверху (14) не может быть уменьшена при h —> +0. При любых фиксированных аиД 0 < а < /3 верна асимптотика

A(a,/3,h) = (/3- a) In j + 0(h), h^+0, (16) константа в символе О зависит от а и /3). Асимптотика (16) существенно уточняет предельное соотоношение (13). Из (14) видно, что lim Д(о,/?,А).= 0 (17) сх——0 как и ожидалось: индекс конденсации измеримой последовательности, имеющей положительный шаг, равен нулю), но стремление к нулю в (17) происходит медленнее, чем 0(/3 — а), за исключением единственного случая h/3 = 1 (см. выше (15)). В частности, из (14) вытекает следующее утверждение.

Утверждение. При любом £ > 0 на множестве троек чисел а, /3, h, удовлетворяющих ограничению

0 < а < р < l/e, £<h<l/f3-s справедливо соотношение

Д(а, /3, h) = ((3 - a) In + °(Р ~ а) с константой в О, зависящей только от е.

Задача 1 привлекла внимание автора в связи с её приложениями к проблемам аналитического продолжения сумм степенных рядов за границу круга сходимости, или, более общо, сумм рядов экспонент за полуплоскость сходимости. Расскажем об интересующей нас области исследований вначале для степенных рядов, а потом перейдём и к рядам экспонент. Рассмотрим класс всех степенных рядов оо f(z) = У2 ап*л , limsup И1'" = 1, (18)

А п—»оо п—0 с радиусом сходимости, равным 1. Звездой голоморфности функции f(z), — суммы степенного ряда (18) — заведомо аналитической в круге \z\ < 1, назовём множество

G(f) = {z = reie \ г < д(в)} , (19) где д(в) — точная верхняя грань всех таких положительных чисел Я, что f(z) допускает аналитическое продолжение в некоторую окрестность отрезка, соединяющего точки z = 0 и z = Re%e. Как известно, звездообразное множество G(f) обладает следующими свойствами:

1) G(f) открыто и односвязно,

2) содержит в себе открытый круг \z\ < 1,

3) хотя бы одна точка окружности \z\ = 1 не принадлежит G(f). В остальном множество G(f) может быть, вообще говоря, совершенно произвольным. Другими словами, каково бы ни было открытое и звездообразное относительно точки z — 0 множество G, содержащее круг \z\ < 1, но не его замыкание, существует степенной ряд (18) такой, что G = G(f). Приведём два примера.

Функции оо

Ш = рек, (20) п= 1 имеют в определённом смысле максимальную звезду G(fp) = С \ [1, +оо). Зато у сумм лакунарных степенных рядов

00 limsup \Ък^Пк = 1, пк+1/пк > q > 1 V/c€N, звезда голоморфности наименьшая возможная: она совпадает с кругом < 1. Это утверждение было впервые доказано Ж. Ада-маром, а звезду функций (20) нашёл JI. Л о, основываясь на теореме Адамара об аналитическом продолжении сумм степенных рядов, коэффициенты которых являются моментами некоторой меры на отрезке [0, 1]. Подробный обзор исследований по этой тематике имеется в монографии [3], там же приведен обширный список литературы. Мы же ограничимся обсуждением вопросов, непосредственно относящихся к теме диссертации, а именно к экстремальным задачам.

Цитированная теорема Адамара о непродолжаемости сумм лакунарных степенных рядов за границу круга сходимости породила надежду у его современников, что и для рядов с меньшими лакунами в последовательности степеней переменной z оо = Е bkzb , хк е N, limsup \Ък\1/Хк = 1, (21) к=1 либо верен тот же результат, либо можно доказать, что множество С \G(f) намного обширнее одного луча. Вскоре такие теоремы стали появляться.

Теорема Фабри.2 ([3], глава 4). Если lim k/Xk = О, то звезда к—^оо голоморфности суммы ряда (21) совпадает с кругом \z\ < 1. Теорема Пойа. [59]. Если Y\m к/Xk = d, 0 < d < 1, mo ./шк—¥ оо бая замкнутая дуга \z\ = 1 длины 2nd содержит хотя бы одну особую точку суммы ряда (21).

Если под замкнутой дугой нулевой длины понимать точку, то теоремы Фабри и Пойа можно объединить в одну и сформулировать следующим образом.

Теорема. При условии lim k/Xk^d, 0<d<l, любая замкнуоо тая дуга окружности \z\ = 1 длины 2nd содержит хотя бы одну особую точку суммы ряда (21).

Поясним одну важную тонкость. Почему в математической литературе вместо простого словосочетания "особая точка функции /" часто употребляется более сложное название "точка из дополнения к G(/)M? Когда речь идёт о точках границы круга сходимости, это излишне. Но если взять какую-либо точку лежащую за пределами замкнутого круга сходимости степенного ряда, то может произойти следующее. При одном способе аналитического продолжения его суммы ( будет особой точкой, а при другом — нет (такие точки называются подвижными особенностями в отличии от стационарных — остающихся особыми при любом способе аналитического продолжения). Из определения звезды голоморфности суммы степенного ряда вытекает, что граница множества G(f) состоит из стационарных особых точек /. Ниже приводятся результаты С. Мандельбройта, развиваемые

2Ссылка на первоисточник не приводится, поскольку оригинальное изложение представляется многим специалистам весьма неудачным и трудно понимаемым (см. комментарии в [3] глава 4). автором, связанные с возможностью или невозможностью аналитического продолжения суммы степенного ряда радиуса сходимости 1 в секторы радиуса большего 1. В этих теоремах под множеством особых точек понимается именно С \ G(f).

Обратимся снова к рядам (21). Что можно сказать о С \ G(f) в случае, когда отношение k/Хк не имеет предела? В этой ситуации прямого аналога цитированной теоремы Пойа нет. Для любого е > 0 существует возрастающая последовательность натуральных чисел {AjtJjg^ верхней плотности (2), меньшей е, и степенной ряд (21) с этими показателями, сумма которого имеет на окружности \z\ = 1 всего одну особую точку (пример см. в [30], гл. 6). И всё же теорема Пойа допускает обобщение, но совсем в другом ключе. Предварительно заметим, что в теореме Пойа очень важна замкнутость дуги длины 2пd. На открытых дугах такой длины особой точки у суммы ряда может и не быть. Известно даже более сильное утверждение.

Утверждение. Для любой возрастающей последовательности натуральных чисел {Ап}^1; имеющей плотность (3); равную d, существует степенной ряд с этой последовательностью пооо казателей и радиусом сходимости 1, а именно ^ zXn/Lfx(Xn), п=1 сумма которого допускает аналитическое продолжение в открытый угол | arg^l < ird.

Аналог теоремы Пойа, найденный Мандельбройтом, состоит как раз в том, что суммы степенных рядов (21) с верхней плотностью показателей {А^}^, не превосходящей ни в какой замкнутый угол величины 2тт/3 с вершиной в точке z = 0 аналитического продолжения не допускают. Сформулируем следствие из теоремы Мандельбройта (ниже его результаты, связанные с аналитическим продолжением рядов экспонент, будут приведены более полно).

Следствие. Для любого (3 Е (0,1) существует постоянная С(/3) > 1 такая, что каков бы ни был степенной рясР (21) с верхней плотностью показателей не превосходящей /3, звезда голоморфности его суммы не содержит в себе ни один замкнутый сектор с вершиной в точке 0, раствора 27т/3 и радиуса C{j3).

Разумеется, возникает желание найти наилучшую постоянную в этой теореме, то есть наименьшее значение C(j3), для которого цитированный результат верен. В связи со сказанным приходим к следующей экстремальной задаче.

Задача 2. Для любого /3 Е (0,1) требуется найти величину R{(3) равную точной верхней грани всех чисел г таких, что сумма некоторого ряда (21) с верхней плотностью показателей {А&}; не превосходящей /3, допускает аналитическое продолжение в некоторую окрестность сектора z Е С | \z\ < г , | arg z| < 7Г/3} .

Значение величины R(f3) ни для одного (3 Е (0,1) до сих пор не известно. В связи с этим возникает вопрос о получении для R{/3) двусторонних оценок. Оценки Мандельбройта таковы, что хотя и доказывают предельное соотношение lim R(f3) = 1,

0-++О но найти асимптотику R(/3) — 1 при /3 —>> +0 не позволяют. В диссертации двусторонние оценки Мандельбройта для R(f3) существенно улучшены. В частности, доказана асимптотика

R(J3) = 1 + (31п(1 /13) + 0{р) {f3 +0). (22)

3Напоминаем, что радиус сходимости рядов (21) равен 1.

Перейдём теперь к более детальному обсуждению результатов. Обозначим

3) = In R(p).

Мандельбройт в [30] вывел для £(/3) следующие неравенства:

Щ < 3/3 In 1/(3 + (8.5 + тг)/3 \/(3 е (0,1), (23)

3) > [3 (In 1//3 - In In l/f3 - In 2 + o(l)) (/3 +0). (24)

Ясно, что неравенства (23) и (24) дают лишь порядковое соотношение £(/3) х f3\n(l//3) (f3 -» +0). Автор в работе [39] усилил оценку сверху (23), решив экстремальную задачу 1. Связь между задачами 1 и 2 была открыта Мандельбройтом; о том, в чём она состоит, речь пойдёт далее. В [39] также был построен ряд с "далеко продолжаемой" суммой, что позволило усилить и оценку снизу (24). Приведём теорему 1.5 в сокращённом варианте.

Теорема 1.5. [39]. При любом/3 € (0,1) справедливо неравенство а при любом (3 Е (0,1/6] имеем ад > № (£*) .

Заметим, что у/Ш/тг > 1.07, а 1п(4е(3 + л/8)) < 4.15. Следовательно, f3) < 01п(1//?) +4.150 V/3 Е (0,1),

ЦЗ) > I3\n(i/f3) + о.оер Vf3 е (о, 1/6]. ^ J

Из неравенств (25) сразу же следует асимптотика (22). Заслуживает внимания то, что в (22) величину 0(/3) нельзя заменить на o(j3). Однако, задача нахождения следующего члена асимптотики (если он существует) в форме

Rtf) = 1 + р 1п(1//?) + Сф + о(р)\ /3 +0, представляется автору очень сложной. По крайней мере, в рамках известных методов достичь этого маловероятно.

Теперь изложим метод получения оценок сверху функции £(/3). Выше уже было сказано, что С. Мандельбройт в действительности изучал более общие объекты — ряды экспонент оо ап exp (Xnw) (26) п= 1 с последовательностью положительных возрастающих показателей Л = {Ап}^. При условии положительности шага последовательности показателей в теории рядов экспонент имеется немало аналогий с теорией степенных рядов. У ряда (26) есть абсцисса сходимости, вычисляемая по формуле lnlaJ а = — lim sup

Л, п—УОО "п

Если а ф ±оо, то при Rew < а ряд (26) сходится абсолютно, а в каждой из полуплоскостей Rew < а — £, е > 0, равномерно. При Rew > а ряд (26) расходится в каждой точке. Сумма ряда (26) голоморфна в полуплоскости Re го < а.

Эти утверждения доказаны Ж. Валироном [62] при существенно более слабом ограничении на показатели: lim A"1 Inn = 0. п—>00

Положительность шага гарантирует у суммы ряда (26) наличие особых точек на вертикальной прямой Rew = а. Нетрудно убедиться в том, что степенные ряды представляют собой ряды экспонент с натуральными показателями, если положить z = ew. Все цитированные выше теоремы об особых точках степенных рядов были обобщены на ряды экспонент с положительным шагом.

Итак, мы изучаем вопросы аналитического продолжения сумм рядов экспонент с абсциссой сходимости, равной нулю (для определённости), положительным шагом h последовательности показателей Л = {Лп}^] и верхней плотностью Л, равной /3.

Теорема Марцинкевича. [16] (т. 1, гл. 5). Функция f(w), определённая в левой полуплоскости рядом (27), имеет на любом отрезке мнимой оси длины 2тг/Zi хотя бы одну особую точку.

Теорема В. Бернштейна. [53]. Если существует lim п/\п =

3, то на любом отрезке мнимой оси длины 2ir/3 функция f имеет хотя бы одну особую точку.

Нетрудно убедиться в том, что при An Е N, z = ew теорема В. Бернштейна переходит в теорему Пойа.

Основные результаты о непродолжаемости сумм рядов (27) с последовательностью показателей, не имеющей плотности, принадлежат Мандельбройту. Настало время сформулировать их в полном объёме. Сперва напомним одно определение.

С каждой возрастающей последовательностью положительных чисел А = {Ап}^!, имеющей конечную верхнюю плотность, мы связывали целую функцию конечного экспоненциального типа L\(z), задаваемую формулой (1). Обозначим её экспоненциальоо п—> оо

27) ный тип ст(А), а через К(А) обозначим её индикаторную диаграмму. Под индикаторной диаграммой, как обычно, понимается компакт

К{А) = {rei9 | г < и(0)} , где v ) \cos(if-6) * V 2' 2/J

Hx{<p) — индикатриса роста функции L\(z) (см. (10)). Менее формальное геометрическое определение К(А) имеется в учебнике [31] (глава 11). Из (1) видно, что max \L\(z)\ = L\(±iR). z\<R

Следовательно, Н\(±тг/2) = сг(А). Отсюда заключаем, что компакт К(А) помещается в полосе | Imга| < сг(А).

Теорема 1 Мандельбройта. Сумма ряда экспонент (27) не допускает аналитического продолжения ни в какую окрестность объединения прямоугольника we С | 0 < Rew < 6( А), | lmw\ < сг( А)} и компакта К(А) = К(А) + 5(A).

Под множеством Е+а, а £ С, Е С С, как обычно, понимается Ё = {w + a\w е Е}.)

Ввиду оценки сг(А) < 7г/3 получаем следующую теорему.

Теорема 2 Мандельбройта. Сумма ряда экспонент (27) не допускает аналитического продолжения ни в какую окрестность канала4 weC\0<Rew< S{ А), | Imw| < (J (А'(А) + 5(A)} .

4Этот термин использовался С. Мандельбройтом.

И наконец, ввиду равенства max{Rew \ w € if(A)} = Ял(0) получаем упрощённую теорему Мандельбройта.

Теорема. Сумма ряда экспонент (27) не допускает аналитического продолжения ни в какую окрестность прямоугольника w е С | 0 < Rew < 6{А) + Нх(0), | lm w\ < тг/?} .

Все эти три теоремы, разумеется, остаются справедливыми, если замкнутые множества, в которых утверждается наличие особой точки функции f(w)} сдвигать на любое чисто мнимое число. Например, упрощённую теорему Мандельбройта можно было бы сформулировать так.

Теорема. Сумма ряда (27) не допускает аналитического продолжения ни в какую окрестность прямоугольника we С | 0 < Rew < 6( А) + #А(0), Ъ < lm w < b + 2np} , (28) каково бы ни было число Ь € Ш.

Напомним ([26], гл. 1, §2), что если последовательность А имеет плотность (3), то Н\(0) = ird\ sin0| и H\(Q) = 0, а при наличии у А положительного шага равен нулю и индекс конденсации <£(А). Таким образом, упрощённая теорема Мандельбройта содержит в себе цитированную теорему В. Бернштейна, поскольку в данном случае прямоугольник (28) вырождается в отрезок мнимой оси длины 27г/3.

Упрощённая (но в действительности весьма сильная!) теорема Мандельбройта инициирует постановку следующей экстремальной задачи.

Задача 2'. Найти величину £(}3, К), равную точной верхней грани чисел I > 0 таких, что существует ряд экспонент (27), сумма которого допускает аналитическое продолжение в некоторую окрестность прямоугольника w е С | О < Rew < 11шгу| < тг/?} .

Из упрощённой теоремы Мандельбройта вытекает следующая оценка сверху функции £(/3,h) :

Определение функций Д(/3, h) и см. выше в постановках задачи 1 и задачи Левина.) Неравенство (29) и составляет связь, открытую Мандельбройтом, между экстремальными задачами в теории аналитического продолжения и экстремальными задачами для канонических произведений (1). Поскольку степенные ряды после замены z = exp w становятся рядами экспонент с шагом 1, а секторы переходят в полуполосы, то верно неравенство

Неравенство (29) — один из главных результатов Мандельбройта в теории рядов экспонент — оставляет чувство неудовлетворённости, поскольку его точность не ясна. Да и вообще, правильно ли выбрал Мандельбройт асимптотическую характеристику последовательности А — индекс конденсации — для оценки длины прямоугольника, содержащего особенности сумм рядов экспонент? Для ответа на поставленные вопросы необходимо (но, увы, h) < Д(/3, h) + Пр(0).

29)

31)

30) не достаточно!) точно решить задачу 1. Как уже сообщалось выше, задача 1 точно решена автором в §3 главы 1. Её решение позволяет сделать следующие выводы.

1. При "малых" значениях произведения hp характеристика £(А) отражает суть дела в задачах 2 и 2' ввиду асимптотики p,h) = A{p,h) + 0(P), hp <1/6 (32) постоянная в О абсолютная, она не зависит от Л,). В частности, т = ДОЗ, 1) + 0(р), /3 < 1/6. (33)

Слагаемое О(Р) в соотношениях (32) и (33) при р + 0 является остаточным членом ввиду двойного неравенства з4) вытекающего из теоремы 1.4 при а = 0. Отметим, что получение остатка в (32) и (33) в форме 0(/3) стало возможным не только за счёт точного решения задачи 1 и вывода на этой основе неравенств (34). Автору удалось улучшить известную конструкцию степенного ряда с "далеко продолжаемой" суммой. Это позволило усилить оценку Мандельбройта для 1(/3) снизу. Данный результат составляет основное содержание §6 главы 1.

2. При (3 —>■ 1/h — 0 даже в простейшем случае (степенные ряды) ситуация остаётся совершенно неясной. Полученное автором точное значение величины A(/3,h) не помогает (оставаясь в рамках теорем 1 и 2 Мандельбройта) доказать предельное соотношение lim £(Р) = 0, справедливость которого представляется весьма вероятной. Причина неудачи состоит в том, что область, в которой Мандельбройт гарантирует наличие особых точек суммы ряда (27) не меньше прямоугольника {w £ С | 0 < Rew < <5(А), 11шго| < тг/?}, а согласно теореме 1.4 имеем lim^ Д(/3,1) = Д(1,1) = In (3 + д/8).

Таким образом, результаты диссертации указывают на необходимость дальнейших исследований в данном направлении. Несомненна потребность развития новых методов решения задач в теории аналитического продолжения функциональных рядов. Аппарат экстремальных задач для канонических произведений в проблеме исследования величин £(/3) и £(/3, К) после работ автора почти исчерпал свои возможности в рамках старых методов Мандельбройта.

Последний параграф первой главы посвящён решению следующей экстремальной задачи для канонических произведений (1).

Задача 3. На классе возрастающих последовательностей положительных чисел А = {An}J£L1; имеющих конечную верхнюю плотность /3, требуется найти величину s(/3), равную точной нижней грани экспоненциальных типов L\(z).

Эта задача связана с проблемами полноты систем экспонент ехр(±Ап2:)} , пе N, (35) в областях комплексной плоскости. Напомним несколько фундаментальных понятий. Если V — произвольная область5 (открытое связное множество) комплексной плоскости, то через Л(Т>) обозначим пространство функций, аналитических в области D, с

5Возможно, неограниченная. Случай V = С не исключается. топологией, задаваемой счётной системой норм f\\Kn = max\f(z)\, (36) zeKn где Кп — произвольная счётная система вложенных друг в друга компактов, исчерпывающих область V: оо

Кп С int Kn+i Vn G N, (J Kn = V. (37) n= 1

Доказывается, что определённая таким образом топология не зависит от выбора систем компактов, удовлетворяющих условию (37). Вместо норм (36) можно рассматривать и другие нормы. Например, если компакты Кп диффеоморфны кругам, то в качестве норм можно брать 1^-нормы функции / на дКп (1 < р < -Ьоо). Пространство А(Т>), снабжённое такой топологией, является пространством Фреше [49] (гл. 1, 3), а одна из метрик, задающих эту топологию, определяется формулой оо dist(/, g) = Yl 2~П min (Ml/ - 9Ik) - /, 9 € A{V). (38)

П= 1

Сходимость функциональных последовательностей по этой метрике равносильна равномерной сходимости на любом компакте, лежащем внутри области V. Полнота системы функций {fn(z)}™=: в пространстве Л(Т>) означает по определению возможность сколь угодно точной аппроксимации любой функции / £ A(V) линейными комбинациями функций данной системы по метрике (38). После напоминания этих элементов теории аналитических функций вернёмся к обсуждаемой теме.

Согласно теореме Левина [25] (гл. 4), если последовательность А имеет плотность (3) равную d, то система экспонент (35) полна во всех пространствах А(Т>), где V — произвольная (возможно, неограниченная) область комплексной плоскости, удовлетворяющая следующему условию: пересечение V с любой прямой, параллельной мнимой оси, является интервалом длины, не превосходящей 2nd.

В этой теореме нельзя отказаться от измеримости последовательности Л. Существуют системы экспонент (35) с верхней плотностью показателей {An}^Ll5 равной /3, неполные6 в пространстве A(\z\ < г) при любом г > nj3/e. В связи с отмеченным отсутствием полноты систем (35) рассмотрим следующую задачу.

Задача 4. Найти 7£(/3) — точную верхнюю грань всех положительных чисел г таких, что все системы функций (35) с верхней плотностью {Ап}^1; равной /3, полны в пространстве A(\z\ < г).

Нетрудно убедиться в том, что эта задача линейна по /3 : пф) = (ЗЩ1). (39)

Менее тривиальным фактом, вытекающим из критерия полноты в пространствах A(\z\ < г), теоремы об общем виде линейного непрерывного функционала в A(\z\ < г) и представления целых функций экспоненциального типа в виде преобразования Бореля [31] (гл. И), [32] (гл. 3), является следующее утверждение.

Система экспонент (35) неполна в пространстве A(\z\ < г) тогда и только тогда, когда существует целая функция F(z) ф. О экспоненциального типа, меньшего г, обращающаяся в нуль в точках ±АП при любом п € N.

6Разъяснение того, откуда вытекает этот факт, будет дано на следующей странице.

В связи со сказанным приходим к следующей задаче, равносильной задаче 4 (поэтому экстремум в ней обозначается той же буквой).

Задача 4\ Найти 7Z{/3) — точную нижнюю грань экспоненциальных типов функций F(z) ф 0, для которых существует возрастающая последовательность положительных чисел {Ап}-1; имеющая верхнюю плотность, равную (3, и такая, что F{±Хп) = 0 (Vn € N).

Теперь связь между задачами 3 и 4 очевидна. Выполняется неравенство

11(13) < s(/3), (40) поскольку в задаче 4' минимизируется тип всех целых функций, обращающихся в нуль в точках ±An, п € N, а в задаче 3 — только канонических произведений. Задача 3 также линейна по /3:

8(0) = /За(1). (41)

Из (39) и (41) видно, что для решения задач 3 и 4 достаточно найти постоянные 7£(1) и s(l).

Насколько автору известно, задачи 3 и 4 в математической печати ранее не обсуждались. Известен пример [30] (гл. 1) последовательности Л верхней плотности 1 с усреднённой верхней плотностью7, равной 1/е. Тогда <т(А) < 7г/е. Вот откуда берутся системы экспонент (35) с верхней плотностью показателей /3, неполные в пространствах A(\z\ < г) (Vr > тг(З/е). Аналоги задач 3 и 4' для последовательностей ъ стремящихся к оо

7Усреднённой верхней плотностью последовательности комплексных чисел А = {Ап}, стремящейся к х оо, называется величина limsupa;-1 f (N(r)/r)dr, где N(r) — количество элементов А в круге \z\ < г.

1-++оо о произвольным образом, а не только по М, давно решены даже в более общем случае.

Определение 1. ([25], гл. 3). Последовательность комплексных чисел {zn}^L 1; lim zn = оо имеет верхнюю плотность при пооо рядке р > 0 (более кратко р-плотность), равную /3, если lim sup R~pN{R)=p, (42) jR->oo где N(R) — количество элементов последовательности {zn} в круге \z\ < R.

Теорема. ([25], гл. 3). Точная нижняя грань типов при порядке р целых функций, не равных нулю тождественно и имеющих нули в некоторой последовательности точек комплексной плоскости верхней р-плотности (3, равна /3(ер)-1. Этой же величине равна точная нижняя грань типов при порядке р, 0 < оо р < 1, канонических произведений fj (1 — z/zn), взятая по всем п=1 последовательностям {zn}™=i верхней р-плотности /3.

Для вещественных нулей ситуация иная. Значение постоянной 71(1) найти не удалось. Из приведенной теоремы вытекает оценка снизу 2/е < 7£(1) (здесь р = 1, а верхняя плотность последовательности {±АП} в два раза больше, чем у {Ап}). Оказалось, что 1Z(1) < s(l). Задача 3 была решена автором в [42]:

5(1) = max= 0.8047. (43)

В [42] также доказано, что г(1) < 0.8, (44) откуда видно, что неравенство (40) в действительности строгое. Доказательство равенства (43) и даже существенно более общего результата (и формулировка последнего) подробно изложены в §7 главы 1 диссертации. Доказательство неравенства (44) в диссертацию не включено ввиду того, что задача 4 пока не решена.

Перейдём к освещению содержания второй главы диссертации. Одна из основных теорем единственности в теории целых функций состоит в следующем.

Теорема. Если Ао Е С, F G Л(С), то из равенств

F(n)( А0) = 0 VneNo (45) вытекает тождество F(z) = 0.

Сколь устойчива эта теорема единственности относительно возмущения агрументов функции F в (45)? Другими словами, если положить Ао — 0, то какая скорость стремления к нулю |АП| ф (An G С) гарантирует, что равенства

F^(An) = 0 Vn € No, f€A( С), влекут за собой тождество F(z) = 0? Из старого результата С. Какея [56] вытекает, что такая теорема единственности верна при Хп = 0(1/п) (п -» оо). А если последовательность Ап стремится к нулю с меньшей скоростью?

Поставленные вопросы лежат в русле направления в теории интерполяции, носящего название "Интерполяционная задача Абеля-Гончарова" (см. [33], [7], [13]). Интерполяционная задача Абеля-Гончарова состоит в нахождении всех целых функций F из того или иного топологического пространства X С Л (С), удовлетворяющих соотношениям

F{n)(X„) = сл, п е N0 , (46) где Л = {An}JJL0> (cn}5JLo ~~ произвольные допустимые для X последовательности комплексных чисел. Ниже будут рассматриваться различные пространства X С Л(С) с некоторой, как правило более сильной топологией, нежели индуцированная на X из

Л (С).

Решение поставленной задачи обычно начинается с отыскания в определённом смысле максимальных для неё пространств сходимости и единственности. Пространством сходимости интерполяционной задачи (46) назывется такое линейное подпространство S С X, что любая функция F € S представима в виде суммы интерполяционного ряда оо

F(z) = £F<»>(An)P„(A,z), (47)

71=0 сходящегося в топологии X. Через {Pn(A, обозначена система полиномов Гончарова, соответствующих последовательности А и задаваемых формулами [13] (гл. 1) Pq(\,z) = 1,

2 х\ Хп-1

-Рп(А, z) = Рп(Хо, Ai,., Ani, z) = J J" J dxi.dxn, n € N

Л0 Ai Ani

48)

Полиномы (48) образуют систему, биортогональную к системе функционалов \dn/(dz)n\ > , т.е. выполняются равенства

I I z-Лп j п=0

PW(A,A„) = 1, Р«(А,А») = 0, кфп. (49)

Из формулы (48) видно, что п-й многочлен Гончарова имеет степень п по переменной z и зависит не от всей последовательности А, а только от п первых её элементов. Если Ао = Ai = • • • = Апх, то многочлены Гончарова являются многочленами Тейлора

Рп(А0, А0,., А0, z) = (z- А0)п/п!, а ряд (47) при совпадении всех узлов интерполяции становится классическим рядом Тейлора.

Пространством единственности Е интерполяционной задачи (46) называется такое линейное подпространство X, что условия

F^(An) = 0 Vne N0, FeE, влекут за собой тождество F(z) = 0. Из определений видно, что всякое пространство сходимости интерполяционной задачи (46) является её пространством единственности. Обратное же утверждение, вообще говоря, неверно.

Нахождение максимальных (в какой-либо шкале) пространств сходимости и единственности задачи (46) в том случае, когда последовательность узлов интерполяции {Ап} не обладает какими-нибудь "хорошими" арифметическими свойствами и не является достаточно регулярной (например, монотонной на некоторой прямой в С), представляет очень большие трудности. В диссертации изучаются экстремальные задачи в интерполяции значениями последовательных производных. Рассматриваются классы последовательностей {Ап}, определяемые мажорантами модулей их элементов. Ищутся максимально широкие пространства, которые являются пространствами сходимости и единственности одновременно всех интерполяционных задач (46) с последовательностями узлов {Ап} данного класса. Для такого рода задач удаётся найти окончательное решение в терминах типов относительно функций сравнения.

Перейдём к строгим постановкам задач. Возьмём произвольную последовательность положительных чисел X = УД0влетворяющую следующему условию: п + 1)хп +оо . (50)

С её помощью определим класс А(3£), состоящий из всевозможных последовательностей комплексных чисел {An}5£L0, Для которых выполняется предельное соотношение lim sup \ Хп\/хп < 1. п—>00

Введём также более узкий класс Ло(ЗЕ), состоящий из всех последовательностей {An}^=0 G Л(£), для которых lm Хп = о(хп), п —> оо .

В частности, если А = {Ап}^0 € Л(Э£) и числа Ап вещественны, то А е Ло(£).

Цель состоит в том, чтобы для введенных классов получить точную теорему единственности следующего вида.

Пусть X — произвольная последовательность положительных чисел, удовлетворяющая условию8 (50). Тогда каковы бы ни были последовательность {Ап}^0 € Л(Э£) и целая функция F, максимум модуля которой не превосходит некоторой мажоранты, зависящей от X (именно эту мажоранту и надо построить!), равенства i»(An) = 0 Vne No (51) влекут за собой тождество F(z) = 0.

Мажоранту надо построить такую, чтобы для целых функций большего роста данное утверждение уже перестало бы быть верным.

8Условие стремления к бесконечности произведения (п + \)хп весьма разумно. Если А„ = 0(1/п), то согласно цитированной выше теореме Какея из равенств (51) следует тождество F(z) = 0 для любой целой функции F.

Данная задача была решена только в частных случаях.

1. хп = (п+1)р, — 1 < р < +оо, (М.М. Драгилев и О.П. Чухлова [11], Ю.К. Суетин [50]). Для классов Ло(Э£) был исследован один-единственный случай р = 0 (т.е. хп =1) в работах С.Н. Берн-штейна [1], [2], И.Дж. Шёнберга [60], Ш.С. Макинтайр [58].

2. lim xn+i/xn — +оо (В.А. Осколков [34]). п—УОО

Автору в [43] удалось добиться успеха в общей ситуации: требуемая мажоранта в теореме единственности была построена. Сейчас будет сформулирована "грубая", но полезная для понимания дальнейшего материала теорема автора из работы [43]. Перед этим напомним несколько определений и фактов [17], [18], связанных с эталонами роста целых функций и интегральными преобразованиями в порождаемых ими пространствах. оо

Определение 2. Целая функция A(z) = J] Anzn называется п—0 функцией сравнения, если

1)Ап> 0 Vn е No, 2)An+l/An\^ (поо).

Класс всех функций сравнения обозначим 21. оо

Определение 3. Целая функция a(z) = ^ anZn называется п=0 сравнимой с A(z) Е 21, если существует постоянная г > 0 такая, что отношение |a(z)|/A(r|2:|) ограничено в С. Нижняя грань таких чисел т - обозначим её сга(р) ~ называется А- типом функции a(z).

Для А £ 21 известна теорема (полное ее доказательство имеется в [18] (стр. 34-38), которая утверждает, что Л-тип целой функции a(z) выражается через коэффициенты рядов Маклорена a(z) и A(z) следующим образом: а а (а) = lim sup | ап/Ап |:1/п . (52) п—»оо

Множество всех целых функций, А-тип которых строго меньше заданного числа <т, будет обозначаться [А, <т), а множество всех целых функций, А-тии которых не превосходит а - через [А, а]. оо

Заметим, что expz = JZ zn/n\ Е 21, и тип любой целой функп=О ции относительно exp z в смысле определения 3 совпадает с её классическим экспоненциальным типом.

Функции сравнения широко используются в качестве эталонов роста в Д(С) и для представления сравнимых с ними целых функций в виде интегральных преобразований (см. [13], [18], [10], оо оо

14]). Если A{z) = £ Anzn е 21, a(z) = £ anzn £ [А, а), то n=0 71=0 ф) = f A(ztbaAt)dt, (53) t\=a где оо ъЛ*) = ^2т-ГП-1£А(Щ>а). (54) n=0 An

Функция 7a,лй называется А-ассоциированной по Борелю с a(z). Очевидно, что 7а^(оо) = 0. Подкласс функций, аналитических при \t\ > а и обращающихся в нуль в бесконечно удаленной точке будет обозначаться через Ao(\t\ > а). Представление (53) устанавливает изоморфизм между [А, а) и Ao(\t\ > о). Как известно, >A)(\t\ > R) естественным образом отождествляется с пространством, сопряженным к A(\z\ < R). Топология в Ao(\t\ > R) задается равномерной сходимостью на одной из окужностей \t\ = г < R. Пространство Ao(\t\ > R) с такой топологией является полным рефлексивным локально-выпуклым пространством. Когда мы будем ниже говорить о топологии [А, сг), не прибавляя к этому пояснений, всякий раз будет подразумеваться, что в [А, а) задана топология A*(\t\ < сг), где функция a{z) € [А, а) отождествляется с ее образом ja,A(t), задаваемым формулой (54). Известно, что последовательность функций fn(z) сходится в [А, сг) к f(z) при 71 —> оо тогда и только тогда, когда при некотором а < а верна оценка

8иртах|/п(г)| = 0(Л(аД)), R> 0, (55) пеN \z\<R и fn{z) сходится к f(z) в топологии Л (С). Рассматриваемая топология пространства [А, а) сильнее, чем топология Д(С), индуцированная на [А, а), так как равномерная сходимость {fn(z)} на любом компакте вообще говоря не влечет за собой справедливости соотношений вида (55). Аналогичным образом посредством изоморфизма (53), (54) вводится топология и в простанстве [А, сг], которое отождествляется с пространством Ao(\t\ > сг), состоящем из функций 7(£), аналитических при \t\ > а и обращающихся в нуль на бесконечности, наделенном стандартной топологией, порождаемой равномерной сходимостью функциональных последовательностей на окружностях \t\ = а + е (Ve > 0). Такие топологические пространства в теории интерполяции целых функций рассматривались ранее в ряде работ (см., например [14], [17], [19], [23], [34], [35]).

Определение 4. Если простанство [A, a), A Е 21, с определенной выше в нём топологией является пространством сходимости интерполяционной задачи (1), то будем говорить, что [А, сг) - пространство А-сходимости.

Теорема 2.1. (глава 2, §1). Пусть X = ~ произвольная последовательность положительных чисел, удовлетворяющая условию (50). Положим оо к—1

Rn = (n + 1)хп, Аж(г) = 1 + Y^ zk' П Rll' (56) fc=l j=о

Тогда Ах - функция сравнения, а [Ах, сг) при любых a £ (0, In 2] являются пространствами Ax-сходимости интерполяционных задач Абеля—Гончарова с узлами {Лп}^0 € А(Х). В то же время, найдутся последовательность действительных чисел {£п}55=о и функция f £ [Ах, 1], f(z) ф 0; такие, что выполняются соотношения

16.1 <*», /(п)й.) = 0 VneNo.

Другими словами, [Ах, 1] не является пространством единственности некоторой интерполяционной задачи Абеля—Гончарова с узлами {^J^io € Л(£) •

Очевидно, что в теореме 2.1 имеется зазор. Возникает вопрос, "позитивная" или "негативная" часть теоремы 2.1 неточна? Можно ли в её формулировке увеличить постоянную In 2? Существует ли последовательность X такая, что пространство [Ах, 1) является пространством единственности интерполяционной задачи (46) для любой последовательности узлов из класса А(Х)?

Ответ на последний вопрос вытекает из следующей теоремы.

Теорема В.А. Осколкова. [34]. Если последовательность X = удовлетворяет условию lim (xn+i/xn) = +оо; то для

П—ЬОО любой последовательности узлов интерполяции {Ап} С А(Х) пространства [Ах, 1) являются пространствами Ах-сходимости (и тем более пространствами единственности) задачи (46). В то же время существуют последовательность и целая функция }(z), имеющая А%-тип, равный 1 такие, что

М(л;) = о (Vn е n0).

Таким образом "негативная" часть теоремы 2.1 является обобщением "негативной" части теоремы В.А. Осколкова на произвольные последовательности удовлетворяющие лишь условию (50). Следовательно, это утверждение теоремы 2.1 неулучшаемо, поскольку теорема В.А. Осколкова точна на изучаемых им в [34] классах узлов интерполяции.

Ответ на вопрос об окончательности первого утверждения теоремы 2.1 автору неизвестен. Но всё же теорема 2.1, хотя и не окончательная, важна тем, что указывает правильный ориентир в безбрежном море функций сравнения, который поможет решить поставленную задачу — найти максимально возможное пространство сходимости и единственности всех интерполяционных задач с узлами из Л(3£) или из Ло(ЭЕ).

Определение 5. Пусть задана произвольная последовательность положительных чисел X = удовлетворяющая условию

50). Постоянной сходимости ас(Х) класса интерполяционных задач Абеля—Гончарова с узлами {Ап}^0 £ Л(Э£) назовем точную верхнюю грань чисел а таких, что в топологии а) справедливы разложения (47) для любых F G [Ах,<т) и {An} G Л(£). Постоянной единственности сги(Х) назовем точную нижнюю грань чисел а, для которых найдутся f G \Ах,о), f ф 0, и {A*} G А(Х) такие, что А*) = 0 Vn G No- Другими словами, а) при любом а < сгс(Х), а значит и при а = сгс(Х) (см. выше определение топологии в этих пространствах), является пространством А%-сходимости всех задач (46) с узлами интерполяцииj лежащими в Л(Э£), а при любом а > сги(Х) [Ах, (?) уже не будет пространством единственности какой-либо одной задачи (46) с узлами интерполяции из класса Л(Э£).

Из определения 5, так как пространство сходимости является пространством единственности, следует неравенство сгс(Х) < сги(Х). Теорема 2.1 доказывает существование постоянных сходимости и единственности и устанавливает, что

In 2 < ас(Х) < аи(Х) < 1.

Однако, найти ас(Х) и <?и(Х) для последовательностей X самого общего вида не удается. Основным результатом §1 главы 2 является теорема о совпадении постоянных сходимости и единственности при условии lim (xn+i/xn) = 1. (57) п—>00

Теорема 2.2. [43]. Для любой последовательности X, удовлетворяющей условиям (57) и (50), справедливо равенство гс(Х) = аи{Х) = W, (58) где W ~ постоянная Уиттекера.

Постоянная Уиттекера вошла в математическую литературу в 30-40-е годы 20 века и определяется как постоянная единственности класса интерполяционных задач (46) с комплексными узлами, по модулю не превосходящими 1. Равенство (58) для хп = 1 доказал М.А. Евграфов [13], а для хп = (п + 1)р, — 1 < р < +оо, — М.М. Драгилев и О.П. Чухлова [11] (неравенство с?с > W) и Ю.К. Суетин (неравенство аи < W). Отметим, что природа постоянной Уиттекера до сих пор недостаточно хорошо изучена. Так, например, известно неравенство

0.7372 < W < 0.7378, но четвёртый знак после запятой в десятичной записи числа W пока не найден. Теорема 2.2 выявляет универсальность постоянной Уиттекера в экстремальных задачах, возникающих в интерполировании целых функций значениями последовательных производных.

В аналогичной задаче для классов последовательностей Ло(ЗС) постоянные сходимости и единственности при условии (57) также совпадают, но равны не загадочной константе Уиттекера, а числу 7г/4 (теорема 2.3, глава 2, §1, опубликована в [43]).

Изучаемую проблему можно ставить и по-другому. Дана произвольная функция сравнения оо п=0 и положительное число ст. Найти мажорантную последовательность X = такую, что пространство [А, о) будет пространством Л-сходимости всех интерполяционных задач (46) с узлами из класса Л(Э£) (или Ло(£)), а пространство [Д а] уже не будет обладать этим свойством, а может быть даже будет содержать отличную от тождественного нуля функцию, каждая п-я производная которой имеет хотя бы один нуль в круге \z\ < хп (или на отрезке [—хп,хп]).

Сразу же возникает вопрос об общности такой постановки задачи. Сколь велик класс 21? Функции сравнения нам нужны как эталоны роста в Д(С). Верно ли, что для каждой целой функции f(z), отличной от многочлена, существует функция сравнения, относительно которой f(z) имеет конечный и положительный тип? Утвердительный ответ на этот вопрос был дан Ада-маром в конце 19 века в [55], хотя функции сравнения он и не изучал. Просто им было установлено, что для любой последовательности комплексных чисел содержащей бесконечно много отличных от нуля элементов, и удовлетворяющей условию9 lim \ап\1/п — 0 найдётся последовательность положительных чип—> оо сел с монотонно стремящемся к нулю отношением10 Ап+\/А такая, что

1) KI <Ап\/пе N0,

2) равенство \ап\ = Ап выполняется для бесконечного множества номеров п.

Отсюда и из формулы (52) для А-типа вытекает, что А-тип f(z) равен 1.

Определение 6. Пусть G — некоторое подмножество (не обязательно подпространство) пространства целых функций Л (С), а 211 — некоторое подмножество функций сравнения 21. Будем говорить, что 2li является плотным классом сравнения в G, если для любой целой функции a(z) € G, отличной от многочлена, существует функция сравнения A(z) Е 2li; относительно которой a(z) имеет конечный положительный тип.

Смысл этого определения ясен. Плотный в G класс функций сравнения 2li "обслуживает" всё это подмножество целых функоо

9Это и означает, что f(z) = ап7-п — отличная от полинома целая функция.

71=0 оо

10То есть A(z) = AnZn является функцией сравнения.

РОССИЙСКАЯ . ГОСУДАРСТВЕННАЯ БИБЛИОТЕКА ций в качестве эталонов роста. Справедливо включение

G \ ОД С У ([А+оо)\[Д0]). (59)

АеЩ

Через C[z] здесь, как обычно, обозначено множество всех многочленов от переменной £ с комплексными коэффициентами.) Целесообразность рассмотрения в (59) классов [А, +оо) \ [А, 0], а не [А, -Ьоо) продиктована недостаточностью информации об a(z) в том случае, когда А-тип a(z) равен нулю. В этой ситуации для \a(z)\ имеется лишь некоторая оценка сверху. Так, например, в i класс функций экспоненциального типа нуль входят, в частности, все функции, имеющие порядок, меньший 1, а они, как известно, весьма различны по своим свойствам. Напротив, если А-тип функции a(z) равен сг, 0 < а < Н-оо, то, во-первых, на рост \a(z)\ имеется оценка не только сверху, но и снизу: существует последовательность комплексных чисел {zn\™ i такая, что lim zn — оо п-> оо и при любом е > 0 a(z)\ lim ——--гт = +оо . п->оо A{\zn\{a - £))

Во-вторых, на окружности |t| = сг фукнция 7(t), ^-ассоциированная с a(z) имеет хотя бы одну особую точку. Отметим, что с помощью изучения особых точек функции 7 (t) в классическом случае

00 zn было получено немало интересных и содержательных результатов [10], [17], [19], [28].

Итак, 51 — плотный класс сравнения в Л (С), и коль скоро мы умеем решать какие-либо интерполяционные задачи в пространствах [А^ а) и [Л, сг] для любой функции А Е 51, то это означает, что мы их умеем решать для всех целых функций. Аналогично, умение решать интерполяционные задачи в тех же пространствах для любой функции сравнения из плотного в G С *А(С) класса сравнения означает по сути умение их решать для всех функций из G.

Посмотрим, в каком же подмножестве целых функций реально работают сформулированные выше результаты автора по интерполяционной задаче Абеля—Гончарова. Если X = пробегает всё множество последовательностей, удовлетворяющих условию (50), то множество функций сравнения Ах пробегает весь класс % нормированный условием А(0) = 1. Для того, чтобы убедиться в справедливости данного утвержения, достаточно для оо любой функции сравнения A(z) = ^ Anzn, А(0) = 1, построить п=О последовательность удовлетворяющую условию (50) такую, к-1 что Ak = Ц ((n + l)^)""1 (см. (56)). Из определения 2 и формулы п=0 п-1

Ап = Ао Y[ Щ1 > гДе Rk = Ак/Ак+1 к=0 видно, что последовательность хп = Rn/(п+1) является искомой. Поэтому верна следующая теорема, равносильная теореме 2.1. оо

Теорема. Пусть A(z) = ^ Anzn G % а > 0, {Лп}^0 — пР°~ п=о извольная последовательность комплексных чисел, для которой верна асимптотическая оценка

А„| < —•-ф- (1 + о(1)) , п^ оо.

Тогда любая функция F 6 [А, а) представима рядом оо

F{z) = Y, F(n\Xn)Pn{z, Ао,., Anx), п=О сходящимся к ней в топологии [А, а). С другой стороны, существуют последовательность действительных чисел {А* элементы которой удовлетворяют неравенствам

IA:I< vneNo, и целая функция f А-типа, равного 1, такие, что f{n)(K) = о при всех целых неотрицательных п. Из этой теоремы немедленно вытекает оо

Следствие 2.1. Для любой функции сравнения A(z) = Anzn

71=0 справедливы следующие утверждения.

1. Если {An}J£L0 — произвольная последовательность комплексных чисел, удовлетворяющая ограничению (60) то для любой функции F € [А, 0] равенства

F(n\Хп) = 0 VnG N0 (61) влекут за собой тождество F(z) = 0.

2. Если {An}^L0 — произвольная последовательность комплексных чисел, удовлетворяющая ограничению

-* 00- (62) то для любой функции F е [А, +оо) равенства (61) влекут за собой тождество F(z) = 0.

Хотя следствие 2.1 и грубее теоремы 2.1, оно тем не менее является точным. В утверждении 1 нельзя заменить [.А, 0] на [А, в] ни при каком г > 0, а в утверждении 2 нельзя заменить о на О даже с малой постоянной в символе О. В диссертации следствие 2.1 усилено в другом направлении.

Теорема 2.6. Пусть £ — произвольный линейный непрерывный функционал на пространвстве Л (С). Тогда при условии (60) для любой функции F € [Л, 0] \ C[z] равенства влекут за собой тождество F(z) = 0; и то же самое верно для любой функции F 6 [А, +оо) \ C[z] при условии (62).

Следствие 2.1 получается из теоремы 2.6, при £(f(z)) = /(1).

Замечание. Условие F 0 С[г] в теореме 2.6 нельзя отбросить. Для любого многочлена p(z) легко находится линейный непрерывный на *Д(С) функционал £*, а именно £*(f) = /^(1), т > degр, такой, что £*(p(n\z)) = 0 при всех целых неотрицательных п. Что же касается следствия 2.1, то его справедливость для многочленов (какова бы ни была последовательность комплексных чисел {Ап}) проверяется элементарно.

Исходя из известного критерия полноты систем функций в пространстве Л (С) заключаем, что теорема 2.6 допускает следующую равносильную формулировку (именно так она и сформулирована в §3 главы 2).

Теорема 2.6. Если выполнено условие (60) и F £ [ДО] \ C[z] или выполнено условие (62) и F Е [А, +оо) \ С[z], то система функций полна в пространстве Д(С).

В §3 главы 2 доказываются теоремы о полноте подсистем функций (63) и рассказывается об исследованиях других авторов в этой области.

Вернёмся к анализу результатов §1 главы 2. Если рассмотреть все последовательности X = удовлетворяющие условиям

50) и (57), то множество функций сравнения Ах совпадает с оо

Их = \A{z) = ]Г Anzn е а

71=0 lim d^dn = i, Ао = 1

64)

Поэтому теоремы 2.2 и 2.3 эквивалентны следующей теореме.

Теорема. Пусть A(z) € 2li, а > 0. Тогда

1. Если {Ап}^0 — произвольная последовательность комплексных чисел, для которой верна асимптотическая оценка Л , ^ WAn(l + о(1))

An < у 71 У оо , а(п + 1)Ап+1 то любая функция F Е [А, а) разлагается в ряд оо

F(z) = ^^(Ап)Рп(г,Л0,.,Ап1), (65) п= 0 сходящийся к ней в топологии [А, а). С другой стороны, существуют целая функция f А-типа, равного а, и последовательность {А*}^0; удовлетворяющая неравенствам а(п + 1)Ап+1 такие, что /^(А*) = 0 при всех целых неотрицательных п.

2. Если {An}JJL0 — произвольная последовательность комплексных чисел, для которой при п —> оо выполняются соотношения ^ тгЛп(1 + о(1)) т , ( А.

АП| < —(——pr-i-' Im Ап = о '

4сг(п + l)An+i' \(n + l)A»+i. то любая функция F Е [А,сг) разлагается в ряд (65), сходящийся к ней в топологии [А, а). С другой стороны, существуют целая функция f А-типа, равного а, и последовательность действительных чисел {А*}^0; для которой верна асимпотика

-1ГтгАп

К ~ ~л—'(-771- п 00, п 4 <т(п + 1)Ап+1 такие, что /^(А*) = 0 при всех целых неотрицательных п. Ранее утверждение 1 этой теоремы было доказано только для оо

Ap(z) = J2 Zn/(n\)^pt О < р < +оо (Драгилев, Чухлова, Ю.К. Суп=0 етин), а утверждение 2 — для A(z) = ez (С.Н. Бернштейн, Шёнберг, Макинтайр).

Доказанные теоремы ставят вопрос о том, в каком же именно подмножестве Л (С) плотны функции сравнения (64). Ответ даёт

Теорема 3.1. (§1 главы 3, опубликована в [43]). 2li является плотным классом сравнения в множестве целых функций a(z), для которых ln(max|a(z)| lim sup — ^-— = +оо. (66)

R—too In R

Класс всех функций, определяемый соотношением (66), состоит из всех функций бесконечного порядка, конечного и положительного порядка, а также содержит в себе значительную часть целых функций нулевого порядка. Это свидетельствует об обширной области применимости теорем 2.2 и 2.3. Соответствующие примеры приведены в §2 главы 2.

В третьей главе диссертации доказана также теорема о плотности в Д(С) класса функций сравнения, для которых обобщённое преобразование Бореля (53) допускает обращение в форме оо

7A,a{w) — w~l f a(t/w)d/iA(t), где d/ia — некоторая положитель-o ная аналитическая мера на [0,+оо). Результаты работы докладывались

• на конференциях по комплексному анализу в Уфе в 1996 и 2000 г.г.,

• на конференции по комплексному анализу в Нижнем Новгороде в 1997 г.,

• на летних школах по теории функций в Миассе с 1997 по 2004 г. г.

• на летней школе по теории функций в Казани в 2003 г.

• на конференции по теории приближения функций в Туле в 1998 г.

Результаты работы докладывались на семинарах: академика РАН В.А. Садовничего, чл.-корр. РАН П.Л. Ульянова и чл.-корр. РАН Б.С. Кашина, чл.-корр. РАН Ю.Н. Субботина и профессора Н.И. Черныха, профессоров А.Г. Костюченко и А.А. Шкалико-ва, профессора Е.П. Долженко, профессоров В.А. Скворцова и Т.П. Лукашенко, профессоров A.M. Седлецкого и В.В. Власова.

Автор благодарит руководителей указанных семинаров за обсуждение результатов работы, высказанные замечания и предложения, способствовавшие улучшению работы.