Анализ математических моделей экономических систем с гистерезисными явлениями в условиях нестационарности тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Рудченко, Татьяна Викторовна

• Рудченко, Татьяна Викторовна
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Рудченко, Татьяна Викторовна

Введение

Глава 1. Математические модели экономических систем. Гистере-зисные преобразователи

1.1. Задача ценообразования

1.2. Задача оптимального производства, хранения и сбыта

1.3. Понятие гистерезисного преобразователя 21 1.3.1 Неидеальное реле 21 1.3,2.Преобразователь Прейзаха-Гилтая 27 1.3.3 .Свойства преобразователя Прейзаха-Гилтая 29 1.3.4. Функция размагничивания 30 1.3.5 Периодические входы

1.4 Применение гистерезисных преобразователей для моделирования функции спроса

1.5 Свойства гистерезисной функции спроса

Модель равновесного ценообразования в условиях гис

Глава 2. 42 терезисной функции спроса

2.1. Построение модели ценообразования

2.2. Исследование модели ценообразования 46 2.3 Рыночное регулирование простейшей технологической цепочки

Глава 3. Задача об оптимальном производстве, сбыте и хранении товара в условиях нестационарной гистерезисной функ- 69 ции спроса

3.1. Задача о максимизации прибыли в условиях неограниченного количества товара у производителя

3.2. Задача о производстве, потреблении и сбыте товара 73 Заключение 82 Приложение 83 Список использованных источников

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Анализ математических моделей экономических систем с гистерезисными явлениями в условиях нестационарности»

Актуальность темы В последние годы гистерезисные явления активно изучаются в технике и физике. Возможность исследования систем с гистерезисом основывается на операторной трактовке гистерезисных нелинейно-стей, разработанной М.А. Красносельским и его учениками. Гистерезисные явления имеют место в ряде экономических процессов. В частности, объективно существующая инертность потребительского спроса обусловливает гистерезисный характер функции спроса. Учет нелинейностей гистерезисной природы приводит к необходимости пересмотра подходов к решению целого ряда задач моделирования и анализа экономических процессов и систем.

Объектом исследования в работе является, прежде всего, устойчивость решений уравнений модели ценообразования: наличие нетривиального устойчивого решения в виде точки или предельного цикла, поведение решения в неустойчивой области, а также анализ условий, при которых возникают эти режимы. При моделировании производственной деятельности учет гистере-зисного характера спроса требует заново решать практически важную задачу оптимального производства, хранения и сбыта продукции. Настоящая работа посвящена решению приведенных задач и является продолжением исследований, проводимых в области моделирования и анализа нелинейностей гистерезисной природы в экономических системах.

В работах М.Е. Семенова предложена обобщенная модель гистерезисно-го преобразователя и построенная на ее основе гистерезисная функция спроса в условиях стационарного состояния потребительских отношений. Однако, в экономической практике потребительские отношения претерпевают изменения, что связано с динамикой изменения свойств товарной продукции вследствие процессов старения и модернизации технологических производств. Учет нестационарности потребительских отношений приводит к изменению гистерезисной функции спроса (пороговые числа гистерезисного преобразователя, описывающего отношение потребителя к товару, становятся зависящими от времени), и как следствие, к необходимости анализа в новых условиях поведения временной траектории цены в модели ценообразования и нового решения задачи об оптимальном хранении и производстве продукции.

Приведенные доводы обосновывают научную актуальность исследования и его практическую значимость.

Диссертационная работа выполнена в рамках научного направления Воронежской государственной технологической академии - «Разработка математических моделей, методов и информационных технологий в технических и экономических системах перерабатывающей промышленности» № г.р. 01200003664.

Цель работы: разработка и исследование математических моделей процесса ценообразования и оптимального производства, хранения и сбыта продукции с гистерезисной функцией спроса в условиях нестационарности потребительских отношений.

Достижение указанной цели осуществляется посредством решения следующих задач:

- разработка математической модели функции спроса с гистерезисной нелинейностью в условиях нестационарности потребительских отношений;

- разработка математической модели ценообразования на монотоварных рынках с учетом нестационарности потребительских отношений;

- исследование полученной математической модели ценообразования на существование устойчивых нетривиальных решений;

- разработка модели оптимального производства, хранения и сбыта продукции в условиях гистерезисной функции спроса и нестационарности потребительских отношений;

- разработка алгоритма решения соответствующей задачи;

- численная апробация разработанных моделей и алгоритмов на конкретных экономических задачах.

Методы исследования При выполнении работы использовались операторная теория гистерезиса, математическое моделирование сложных систем, качественная теория дифференциальных уравнений, теория управления, нелинейный анализ.

Научная новизна работы В результате проведенного исследования получены результаты, характеризующиеся научной новизной:

- получен новый вид гистерезисной функции спроса, отличающийся нестационарными значениями пороговых чисел гистерезиса;

- разработана модель ценообразования для монотоварных рынков с гистерезисной функцией спроса, отличающаяся новым аналитическим видом функции предложения, учитывающей меняющиеся потребительские отношения на рынке;

- разработан алгоритм решения задачи оптимального производства, хранения и сбыта продукции в условиях нестационарности потребительских отношений.

Практическая ценность работы Практическая ценность работы подтверждается использованием ее результатов при экономическом анализе типичного представителя монотоварных рынков — рынка сахара. Здесь изменение во времени потребительских отношений определяется изменяющимся соотношением производства отечественного сахара и производства сахара из импортируемого сахара-сырца. Решение задачи установления средней равновесной цены — весьма важная практическая проблема рынка сахара. Не меньший интерес представляет и решение задачи об оптимальном производстве, хранении и сбыте продукции, которое обеспечивает не только достижение максимальной прибыли производителей при оптимальной ценовой и производственной стратегии, но и возможность избежать затоваривания рынка, резких скачков цен, что представляет практический интерес для потребителя. Результаты работы могут быть использованы и для других монотоварных рынков.

Апробация работы Основные результаты и положения диссертации докладывались и обсуждались на следующих конференциях: XII Всероссийская школа-коллоквиум по стохастическим методам, г.Сочи, октябрь 2004 ; «Математические методы в технике и технологиях ММТТ-18», г.Казань, январь 2005; Воронежская весенняя математическая школа «Понтрягинские чтения-Х1Х» г.Воронеж, май 2005; «Экономическое прогнозирование: модели и методы», г.Воронеж, апрель 2005, март 2006; «Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования», г.Воронеж, декабрь 2005, в отчетных конференциях ВГТА за 2004, 2005 гг.

Публикации По теме диссертационной работы опубликовано 10 печатных работ. Личное участие автора заключалось в разработке гистерезисной функции спроса в условиях нестационарности потребительских отношений, разработке и исследовании моделей.

Объем и структура диссертации Диссертация состоит из введения, трех глав, приложения, заключения и списка литературы. Диссертация изложена на 108 страницах, включает 14 рисунков.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Рудченко, Татьяна Викторовна

Основные результаты работы

В работе «Анализ математических моделей экономических систем с гистерезисными явлениями в условиях нестационарности»:

• проведен анализ известных математических моделей ценообразования, показано, что учет инертности потребительского спроса и изменения потребительских отношений в зависимости от времени требует новых подходов к синтезу математических моделей и нового анализа решения соответствующих задач;

• получена модель функции потребительского спроса, которая трактуется как выход нестационарного гистерезисного преобразователя;

• разработана модель процесса ценообразования на монотоварном рынке в виде нелинейного конечно-разностного уравнения первого порядка, позволяющая получать при различных параметрах рынка траектории изменения цены в зависимости от времени;

• проведено исследование конечно-разностной модели процесса ценообразования на существование нетривиальных устойчивых решений, предельных циклов и бифуркаций, что обеспечивает исследование устойчивости рынков с различными параметрами;

• разработан алгоритм решения задачи об оптимальном производстве, хранении и сбыте продукции в условиях гистерезисной функции спроса и нестационарности потребительских отношений.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Рудченко, Татьяна Викторовна, 2006 год

1. Айзерман M.А. Абсолютная устойчивость регулируемых систем / Айзер-ман М.А., Гантмахер Ф.Р. // M., изд-во АН СССР, 1963. 140 с.

2. Андронов A.A. Теория колебаний / Андронов A.A., Витт A.A., Хайкин С.Г. // 2-е изд., Физматгиз, 1959.

3. Гиль М.И. Операторные функции, дифференциальные уравнения и динамика систем. / Гиль М.И.// М., Наука, 1984. 150 с.

4. Горский A.A. Динамическая модель процесса производства, хранения и сбыта товаров повседневного спроса / Горский A.A., Колпакова И.Г., Локшин Б.Я. // Изв. РАН. Теория системы управления. 1998. №1.

5. Гэлбрейт Дж.К. Экономические теории и цели сообщества: Пер. с англ. / Под ред. А.Г. Милейковского. М.: Прогресс, 1976. 406с.

6. Голубев Г.К., Еникеева Ф.Н. Асимптотически эффективное сглаживание в задаче Виксела при квадратичных потерях // Проблемы передачи информации. 2001. Т. 37. № 1.С. 28-51.

7. Данилов В.И., Сотсков А.И. Рациональный выбор и выпуклые предпочтения // Изв. АН СССР. Сер. техн. Кибернетика. 1985. №2. С. 14-23.

8. Жак C.B. Экономика для инженеров. / Жак C.B. // Учебное пособие.- М.: Вузовская книга, 2004. С.52 - 57.

9. Забрейко П.П. Осцилятор на упруго-пластическом элементе. / Забрейко П.П., Красносельский М.А., Лифшиц Е.А. // ДАН СССР, 1970, т. 190, С. 217-220.

10. Ишлинский А.Ю. Общая теория пластичности с линейным упрочением. / Ишлинский А.Ю.// Украинский мат. журнал, 1954, т. 6, № 3, С. 430 441.

11. Колмогоров А.Н. Элементы теории функции и функционального анализа. / Колмогоров А.Н., Фомин C.B.// М., Наука, 1981, 543 с.

12. Красносельский М.А. Положительные решения операторных уравнений. / Красносельский М.А. // М., Физматгиз, 1962. 394 с.

13. Красносельский М.А. Позитивные линейные системы. / Красносельский М.А., Лившиц Е.А., Соболев A.B. // М., Наука, 1985. 255 с.

14. Красносельский М.А. Системы с гистерезисом. / Красносельский М.А., Покровский A.B. // М., Наука, 1983. 271 с.

15. Красносельский A.M., Кросс Р., Покровский A.B. Нестационарные модели Прейсаха и их свойства // Доклады Академии наук. 2001. Т. 381. № 2. С. 180-184.

16. Красносельский A.M., Рачинский Д.И. О континуумах циклов в системах с гистерезисом // Доклады РАН. 2001. Т. 378. № 3. С. 314-319.

17. Красносельский A.M., Рачинский Д.И. О существовании циклов у квазилинейных обыкновенных дифференциальных уравнений высшего порядка // Известия РАЕН. Серия МММИУ. 2001. Т. 5. № 1-2. С. 143-151.

18. Красносельский A.M., Рачинский Д.И. О существовании континуумов циклов в автономных гамильтоновых системах управления // Автоматика и телемеханика. 2001. № 2. С. 65-74.

19. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. / Ляпунов A.M. // М., Гостехиздат, 1950. 270 с.

20. Маленво Э. Лекции по макроэкономическому анализу: Пер. с франц. / Под ред. К.А. Багриновского. М.: Наука, 1985. 392с.

21. Математическое моделирование: Процессы в сложных экономических и экологических системах / Под ред. A.A. Самарского, H.H. Моисеева, A.A. Петрова. М.: Наука, 1986. С.7-196.

22. Математическое моделирование: Методы описания и исследования сложных систем / Под ред. A.A. Самарского, H.H. Моисеева, A.A. Петрова. М.: Наука, 1989. С. 121-266.

23. Матвеев М.Г. Экономические и правовые аспекты электронной комерции / Матвеев М.Г., Шуршикова Г.В., Рудченко Т.В. // Сб. отчетной научн. конференции ВГТА (2005 г.) «Программа XLIV». Воронеж: ВГТА, 2006. -С.26.

24. Немыцкий В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. / Немыцкий В.В., Степанов В.В.// Гостехиздат, 1949.

25. Плисс В.А. Нелокальные проблемы теории колебаний. / Плисс В.А.// М., Наука, 1964. 367 с.

26. Оленов H.H., Поспелов И.Г. Модель инвестиционной политики фирм в экономической системе рыночного типа. // 12. С. 164-174.

27. Попов В.М. Об одной задаче теории абсолютной устойчивости регулируемых систем. / Попов В.М. // Автоматика и телемеханика, т. 25, № 9, 1964.

28. Покровский A.B. Корректные решения уравнений с сильными нелинейно-стями. / Покровский A.B.// ДАН СССР, 1984, т. 274, № 5, С. 1037 1040.

29. Покровский A.B. Системы с сильными нелинейностями. / Покровский A.B. // В кн.: Математическая теория систем. М., Наука, С. 96 112.

30. Покровский A.B. Устойчивые периодические режимы в системах с монотонными нелинейностями. / Покровский A.B., Семенов М.Е. // Автоматика и телемеханика, 1990, № 2, с. 31 37.

31. Параев Ю.И. Решение задач об оптимальном производстве, хранении и сбыте товара. / Параев Ю.И. // Известия академии наук. Теория и системы управления. 2000, №2, С.103-117.

32. Перова A.B. Задача об оптимальной производственной стратегии / Перова A.B., Рудченко Т.В., Кутепова JI.B. // Межвуз. сб. науч. тр. «Моделирование систем и информационные технологии». Воронеж: изд-во «Научная книга», 2005. №2 - С.227-230.

33. Рудченко Т.В. Устойчивые предельные циклы в одной модели макроэкономики / Рудченко Т.В. // Сб. трудов КГТУ «Математические методы в технике и технологиях ММТТ-18». Казань: КГТУ, 2005. - №7 - С.8-10.

34. Самуэльсон П. Экономика: Пер. с англ. / Под ред. A.B. Аникина, А.И. Шапиро, P.M. Энтова. М.: Прогресс, 1964. 844с.

35. Семенов М.Е. Вынужденные устойчивые периодические режимы в системах с монотонными нелинейностями / A.B. Покровский М.Е Семенов // Автоматика и телемеханика. -1990. -№ 2. -С. 81-87.

36. Семенов М.Е. Математическая модель функции продаж / М.Г. Матвеев, И. П. Половинкин, М.Е. Семенов // Обозрение прикладной и промышленной математики. -М.-2002.-т. 9.-вып. 1 .-с. 419-420

37. Семенов М.Е. Об одной модели потребительского спроса / И.П. Половинкин, М.Е. Семенов // Моделирование экономических и социальных процессов: Сб. науч. тр. ИПСЭР: М. - 2000. - с. 82-87

38. Семенов М.Е. Об устойчивости стационарного решения уравнения Хоте-линга / М. 3. Мешков, И. П. Половинкин, М.Е. Семенов// Обозрение прикладной и промышленной математики. М. - 2002. - т. 9 . - вып. 1.-е. 226227

39. Семенов М.Е. Математическое моделирование устойчивых периодических режимов в системах с гистерезиснными нелинейностями / М.Е. Семенов // Воронеж. Издательство В ГУ.—2002. -104 С.

40. Стеценко В.Я. Об одном итерационном методе отыскания спектрального радиуса линейного положительного оператора. / Стеценко В.Я. // Математический сборник, 1965, т. 67, № 2, С. 210 219.

41. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. / Филиппов А.Ф. // М., Наука, 1985, 224 с.

42. Фоменко И.В. Глобальные условия существования автоколебательных режимов в автономных системах управления. / Фоменко И.В. // ДАН СССР, 1989, т. 308, № 4, с. 806 809.

43. Шананин A.A. О стохастическом поведении цены в одной детерминированной модели ценообразования // Докл. АН СССР. 1986. Т.288, №1. С.63-65.

44. Шананин A.A. Об устойчивости Рыночных механизмов // Математическое моделирование. 1991. Т.З, №2. С.42-62.

45. Шумпетер И. Теория экономического развития. / Шумпетер И. // Теория экономического развития: Пер. с нем. / Под ред. А.Г. Малейковского. М.: Прогресс, 1982. 456с.

46. Хаяси Т. Нелинейные колебания в физических системах. М.: Мир, 1968.

47. Хейл Дж. Колебания в нелинейных системах. М.: Мир, 1966.

48. Чезари Л. Асимптотическое поведение и устойчивость решений обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир. 1964.

49. Amari Sh., Burnashev M.V., Han T.S. On some estimation problems with information constraints // Theory of Probability and Its Applications. 2001. V. 46. № 2. P. 233-246.

50. Asarin E.A., Bansal S., Espiau B., Dang T., Maler O. On Hybrid Control of Under-actuated Mechanical Systems // In M. Di Benedetto and A. Sangiovanni-Vincentelli (Eds.) Hybrid Systems: Computation and Control. LNCS 2034. Springer. 200l.P. 77-88.

51. Brokate M., and Sprekels J. Hysteresis and phase transitions. Springer, Berlin, 1996.

52. Beyer B., Engdahl K., Zigangirov K.Sh. Asymptotical Analysis and Comparison of Two Coded Modulation Schemes Using PSK Signaling Part II // IEEE Transactions on Information Theory. 2001. V. 47. № 7. P. 2793-2806.

53. Burnashev M.V., Kutoyants Yu.A. On minimal alpha-mean error parameter transmission over Poisson channel // IEEE Trans, on Inform. Theory. 2001. V. 47. №6. P. 2505-2515.

54. Chow P.-L., Khasminskii. R. On optimal input design for parameter estimation problems in PDE // Proceedings of 38-th Allerton Conference on Communication, Control and Computing. 2001. P. 412-421.

55. Charpin P., Tietavainen A., Zinoviev V.A. Binary cyclic codes with codewords of weight three and binary sequences with the trinomial property // EEE Trans, on Inform. Theory. 2001. V. 47. № 1. P. 421-425.

56. Chepyzhov V.V., Vishik M.I. Global Attractors and Its Perturbations for a Dis-sipative Hyperbolic Equation. Russian Journal of Mathematical Physics. 2001. V. 8. №3. P. 311-330.

57. Chepyzhov V.V., Ilyin A.A. A note on the fractal dimension of attractors of dissipative dynamical systems // Nonlinear Analysis. 2001. V. 44. P. 811

58. Chepyzhov V.V., Vishik M.I. Averaging of trajectory attractors of evolution equations with rapidly oscillating coefficients // Functional Differential Equations. 2001. V. 8. № 1-2. P. 123-140.

59. Campillo F., Kleptsyna M., Piatnitski A. Homogenization of random parabolic operator with large potential // Stochastic Processes and their Applications. 2001. V. 93. № l.P. 57-85.

60. Diamond P., Vladimirov I. Higher order terms of asymptotic expansion for information loss in quantized random processes Curcuits // Systems and Signal Processing. 2001. V. 20. № 6. P. 677-693.

61. Diamond P., Vladimirov I., Kurdjukov A., Semyonov A. Anisotropy-based performance analysis of linear discrete-time-invariant control systems // International Journal of Control. 2001. V. 74. № 1. P. 28-42.

62. Engdahl K., Zigangirov K.Sh. Tighter Bounds on the Error Probability of Fixed Convolutional Codes // IEEE Transactions on Information Theory. 2001. V. 47. №4. P. 1625-1629.

63. Fiedler B., Vishik M.I. Quantitative homogenization of analytic semigroups and reaction-diffusion equations with diophantine spatial frequencies // Adv. Diff. Eq. 2001. V. 6. № 11. P. 1377-1408.

64. Goldbeter, A., 1976. Patterns of spatiotemporal organization in an allosteric enzyme model. Proc. Natl. Acad. Sci. USA 70, 3255-3259.

65. Guckenheimer< J. and Holmes< P., 1986, Nonlinear oscillations, dynamic system, and bifurcations of vector fields (Springer-Varlag, Berlin).

66. Golubev G., Khasminskii R. Statistical approach to Cauchy problem for Laplace equation // IMS Lecture Notes. Festschrift in honour of W.vanZvet. 2001. V. 36. P. 419-433.

67. Golubev G., Lepski O., Levit B. On adaptive estimation for the sup-norm losses // Math Methods of Stat. 2001. № 1.

68. Hicks, J.R., 1950, A contribution to the theory of the trade cycle (Oxford university press, Oxford).

69. Hotelhng, H., 1921, A mathematical theory of migration, MA thesis presents at the university of Washington; republished in 1978 in environment and Planning 10:1223-1239.

70. Hess, B., Markus, M., 1987. Older and chaos in biochemistry. Trends Biochem. Sci. 12, 46-48.

71. Helleseth T., Zinoviev V.A. Codes with the Same Coset Weight Distributions as the Z4-linear Goethals Codes // IEEE Trans. On Inform. Theory. 2001. V. 47. №4. P. 1589-1595.

72. Helleseth T., Zinoviev V.A. On coset weight distributions of the Z4-linear Goethals Codes // IEEE Trans, on Inform. Theory. 2001. V. 47. № 5. P. 17581772.

73. Klein C.T. Sources of structure formation and sweitches in metabolic pathways. / Klein C.T., Mayer B. // BioSystems 51 (1999) 41-52.

74. Klein, C.T., Mayer, B., 1997. A model for pattern formation in gap junstion coupled cells. J. theor. Biol. 186. 107-115.

75. Koshland, D.E.Jr., Nemethy, G., Filmer, D., 1966. Comparison of experimental bending data and theoretical model in proteins containing subunits. Biochemistry 5, 365-385.

76. Kalman R. Remaks on some control system. / Kalman R. // Com. Pure Appl. Math., 1962, V. 12, p. 112-126.

77. Kozyakin V.S., Kloeden P. The perturbation of attractors of skew-product flows with a shadowing driving system // Discrete and Continuous Dynamical Sys-tems.2001. V. 7. № 4. P. 883-893.

78. Khasminskii R. Limit distributions of some integral functional for null-recurrent diffusion // Stochastic processes and their applications. 2001. V. 92. P. 1-9.

79. Khasminskii R., Milstein Gr. On estimation of the linearized drift for nonlinear stochastic differential equations // Stochastics and Dynamics. 2001. V. 1. № 1. P. 23-43.

80. Khasminskii R., Krylov N. On averaging principle for diffusion processes with null-recurrent fast component // Stochastic Processes and their applications. 200l.V. 93. P. 229-240.

81. Khanin K., Khmelev D., Rybko A., Vladimirov A. Steady solutions of fluid dynamics for FIFO networks // Moscow Mathematical Journal. 2001. V. 1. № 3. P. 407-419.

82. Klepcyna M.L., Le Breton A. Optimal linear filtering of general multidimensional Gaussian processes Application to Laplace transforms of quadratic fiinctionals // Journal of Applied Mathematics and Stochastic Analysis. 2001. V. 14. №3. P. 215-226.

83. Klepcyna M.L., Le Breton A. Some explicit statistical results about elementary fractional type models // Nonlinear Analysis. Theory, Methods & Applications. 2001. V. 47. № 7. P. 4783-4794.

84. Phillips, A.W., 1954, Stabilisation polisy ai a closed economy, Economic Journal 64:290-323.

85. Puu, T., 1982, Outline of a trade cycle model in continuous space and time, Geographical analysis 14:1-9.

86. Puu, T., 1985, A simplified model of spatiotemporal population dynamics, Environment and planning 17:1269-1269.

87. Puu, T. and Weidlich, W., 1986, The stability of hexagonal tessellations, Karlsruhe papers in economic policy research 3:133-158.

88. Pokrovskii A.V., Szybka S.J., Mclnerney J.G. Topological Degree in Locating Homoclinic Structures for Discrete Dynamical Systems // Institute for Nonlinear Sciences. 2001. Report 01-001.

89. Rasskazov O., Huyet G., Mclnerney J., Pokrovskii A.V. Rigorous Analysis of Complicated Behaviour in a Truncated Lang-Kobayashi Model // Institute for Nonlinear Sciences. 2001. Report 11-001.

90. Thomas Ericson, Victor Zinoviev. Codes on Euclidean Spheres // North-Holland Mathematical Library Elsevier. Amsterdam London - New York -Oxford - Paris - Shannon - Tokyo. 2001.

91. Urabe M. Numerical investigation of subharmonic solution to Duffings equation. Rubl. Research Inst Math. Sci., Ser. A (Kyoto Univ), 1969, vol. 5, №1, p. 79-112.

92. Visintin A., Hyperdolic equations and hysteresis. C.R. Acad. Sc. Paris 332 (2001) Serie 1,315-320.

93. Visintin A. Forward-backward parabolic equations and hysteresis. Calculus of variations (in press)

94. Visintin A. Vector Preisach model and Maxwell's equations. Physica B, 306 (2001)21-25.

95. Visintin A. Quasilinear P.D.E.s with memory operators. Progress in nonlinear differential equations and their application, Vol 55,415-423.

96. Visintin A. Identification of hysteresis loop. / Visintin V.// Appl. math, and comp. phys., 1987, V. 2, p. 73 79.

97. Vladimirov A. A. Does continuity of convex-valued maps survive under intersection? // Optimization and Related Topics, Kluwer Academic Publishers, A. Rubinov and B. Glover (Eds.). 2001. P. 415-428.

98. Wintzell O., Zigangirov D.K., Zigangirov K.Sh. On the Capacity of a Pulse Position Hopped CDMA System // IEEE Transactions on Information Theory. 2001. V. 47. № 6. P. 2639-2943.