Математические модели систем с сосредоточенными параметрами и гистерезисными явлениями, оптимизация функционирования ресурсодобывающих компаний тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Макаревич, Виктория Ярославовна

• Макаревич, Виктория Ярославовна
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Макаревич, Виктория Ярославовна

ВВЕДЕНИЕ.

Глава 1. ГИСТЕРЕЗИСНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛИ.

1.1. Понятие гистерезисного преобразователя.

1.2. Неидеальное реле.

1.3. Преобразователь Прейсаха.

Глава 2. УСТОЙЧИВЫЕ ЦИКЛЫ В СИСТЕМАХ ОПИСЫВАЕМЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМИ УРАВНЕНИЯМИ ВТОРОГО ПОРЯДКА

С ГИСТЕРЕЗИСНЫМИ НЕЛИНЕЙНОСТЯМИ.

2.1. Математические модели систем, сводящихся к дифференциальным уравнениям второго порядка с гистерезисными нелинейностями. Экономические циклы.

2.2. Приближенное построение устойчивых циклов. Доказательство теоремы 2.1.

Глава 3. ОПТИМИЗАЦИЯ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ РЕСУРСОДОБЫВАЮЩИХ КОМПАНИЙ.

3.1. Стратегия управления ресурсными запасами.

3.2. Математическая модель функционирования 44 ресурсодобывающей компании с учетом производственных издержек.

3.3 Конкуренция на рынке невоспроизводимого природного ресурса.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математические модели систем с сосредоточенными параметрами и гистерезисными явлениями, оптимизация функционирования ресурсодобывающих компаний»

Актуальность темы. В последние годы гистерезисные явления активно изучаются в технике, физике, экономике и других естественнонаучных областях. Необходимость учета гистерезисных нелинейностей диктуется, прежде всего, потребностью детального и адекватного описания процессов и явлений из различных областей в естествознании. Возможность исследования таких систем основывается на операторной трактовке гистерезисных нелинейностей, разработанной М.А. Красносельским, А.В.Покровским. Гистерезисные явления имеют место в ряде экономических процессов. В частности, объективно существующая инертность потребительского спроса обусловливает гистерезисный характер функции спроса. Макроэкономические объекты также демонстрируют «гистере-зисное» поведение: например - зависимость индекса цен от суммарной денежной массы. Учет нелинейностей гистерезисной природы приводит к необходимости разработки новых подходов к решению целого ряда задач моделирования, анализа экономических процессов и систем.

Одним из объектов исследования в работе является наличие устойчивых решений уравнений моделей, сводящихся к обыкновенным дифференциальным уравнениям второго порядка, которые являются математической моделью различных динамических процессов широкого предметного спектра. При этом, акцент в работе делается на экономические аспекты на примере оптимизации функционирования ресурсодобывающих компаний с целью определения темпа добычи полезных ископаемых.

В связи с вышеизложенным тема исследования обладает научной актуальностью и практической значимостью.

Работа выполнена в соответствии с планом госбюджетных НИР ВГТА по теме - «Разработка математических моделей, методов и информационных технологий в технических и экономических системах перерабатывающей промышленности» (№ г.р. 01200003664).

Цель работы. Анализ математических моделей систем с сосредоточенными параметрами и гистерезисными нелинейностями, разработка на его основе алгоритмов оптимальной производственной деятельности ресурсодобывающих компаний.

Достижение указанной цели осуществляется посредством решения следующих задач:

- классификация моделей систем (на примере физики, техники и экономики), сводящихся к дифференциальным уравнениям второго прядка с гистерезис-ными нелинейностями;

- идентификация класса моделей таких систем по признаку реализации устойчивых циклов и синтез алгоритма их приближенного построения, оценка реализуемости и сходимости;

- разработка математической модели оптимальной производственной деятельности ресурсодобывающей компании в условиях агрегированной функции издержек и ее реализация;

- проведение вычислительных экспериментов и апробация моделей к различным внешним условиям на примере гистерезисного поведения цены и учета конкуренции.

Методы исследования. При выполнении работы использовались операторная теория гистерезиса, метод математического моделирования сложных систем, качественная теория дифференциальных уравнений, теория управления, нелинейный анализ.

Научная новизна работы. В работе получены следующие результаты:

- идентификационный признак наличия устойчивых циклов при классификации моделей, сводящихся к дифференциальным уравнениям второго прядка с гистерезисными нелинейностями;

- алгоритм построения устойчивых циклов, условия его реализации и сходимости;

- математическая модель производственной деятельности ресурсодобывающих компаний для описания оптимального их функционирования в условиях гистерезисной зависимости функции спроса от цены;

- результаты вычислительных экспериментов для случая конкурентного равновесия на идеальном ресурсодобывающем рынке при линейном характере функции издержек.

Практическая ценность работы. Результаты работы позволяют проводить прогнозирование реально наблюдаемого запаздывания при переходе инвестиций в фонды и, как следствие, получать более надежные оценки динамики изменений некоторых макроэкономических параметров рынка ресурсодобывающих компаний. Идентифицированный класс уравнений может рассматриваться в качестве базовой математической модели различных систем, (например колебательного контура, математического маятника и других), при наличии диссипа-тивных явлений гистерезисной природы, что позволит повысить адекватность математического описания физических и технических систем.

Апробация работы. Основные результаты и положения диссертации докладывались и обсуждались на следующих международных конференциях: «Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования» (Воронеж, 2005),; XX Понтрягинские чтения (Воронеж, 2005),; «Экономическое прогнозирование: модели и методы» ( Воронеж ,2006),; «Повышение эффективности средств обработки информации на базе математического моделирования» (Тамбов, 2006),; «Современные технологии в задачах управления, автоматики и обработки информации» (Алушта, 2007),; «Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования» (Воронеж, 2007).

Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 7 печатных работ. Личное участие автора в работах, выполненных в соавторстве, заключалось в разработке модели гистерезисной функции различной предметной ориентации [1,2,5,7], разработке и исследовании моделей оптимальной производственной деятельности ресурсодобывающих компаний [4,6].

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, приложения, заключения и списка литературы, включающего 117 наименований. Диссертация изложена на 110 страницах, включает 28 рисунков.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Макаревич, Виктория Ярославовна

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе получены следующие результаты:

1. Для класса моделей систем, сводящихся к автономным дифференциальным уравнениям второго порядка с гистерезисными нелинейностями, приведены условия гарантирующие, существование устойчивых циклов.

2. Разработан алгоритм приближенного построения, устойчивых циклов, приведены условия его реализуемости и сходимости.

3. Найдены условия, обеспечивающие существование однопараметри-ческого семейства устойчивых циклов.

4. В условиях агрегированной функции издержек и гистерезисной зависимости спроса от цены разработана модель производственной деятельности ресурсодобывающей компании, приведены условия, оптимизирующие эту деятельность.

5. Проведены вычислительные эксперименты, адаптирующие приведенную модель к различным внешним условиям - наличию конкуренции, гистерезисному поведению параметров модели.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Макаревич, Виктория Ярославовна, 2008 год

1. Арнольд В.И. Математические методы классической механики / В.И. Арнольд. М. : Наука, 1974. - 431 с.

2. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения / В.И. Арнольд. М. : Наука, 1975. - 240 с.

3. Ахиезер Н.И. Элементы теории аппроксимации / Н.И. Ахиезер. М. : Наука, 1965.-407 с.

4. Байге X. Детерминированный хаос и сегнетоэлектричество / X. Байге, М. Дистельхорс, С.Н. Дрождин // Материалы семинаров НОЦ "Волновые процессы в неоднородных средах". 2003. - С. 9-22.

5. Беллман Р. Введение в теорию матриц / Р. Беллман. М. : Наука, 1976. -352 с.

6. Боголюбов Н.Н. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний / Н.Н. Боголюбов, Ю.А. Митропольский. М. : Физматгиз, 1963. -503 с.

7. Борздыко В.И. Дифференциальные уравнения со сложными нелинейно-стями: автореф. дис. на соискание учёной степени д-ра физ.-мат. наук / В.И. Борздыко. Душанбе, 2001. - 29 с.

8. Информационная теория стоимости и системные оценки природных ресурсов / под ред. К. К. Вальтуха. Новосибирск: Изд-во СО РАН, 1999.

9. Visintin A. Hyperdolic equations and hysteresis / A. Visintin. C.R. Acad. Sc. Paris. - 2001. - Serie I. - P. 315-320.

10. Воронов А.А. Устойчивость. Управляемость. Наблюдаемость / A.A. Воронов. -M. : Наука, 1979. 335 с.

11. Вулих Б.З. Введение в функциональный анализ / Б.З. Вулих. — М. : Наука, 1967.-416 с.

12. Гиль М.И. Операторные функции, дифференциальные уравнения и динамика систем / М.И. Гиль. М. : Наука, 1984. -150 с.

13. Горяченко В.Д. Элементы теории колебаний / В.Д. Горяченко. М. : Высш. шк., 2001.-395 с.

14. Гребенников Е.А. Новые качественные методы в нелинейной механике / Е.А. Гребенников, Ю.А. Рябов. М. : Наука, 1971.-432 с.

15. Гусев JI.A. Определение периодических режимов в системах автоматического регулирования, содержащих нелинейный элемент с кусочно -линейной характеристикой. / Гусев JI.A.// Автоматика и телемеханика, т. 19, № 10, 1958.

16. Демидович Б.П. Основы вычислительной математики / Б.П. Демидо-вич, И.А. Марон. -М. : Наука, 1966. 664 с.

17. Жук В.В. Тригонометрические ряды Фурье и элементы теории аппроксимации / В.В. Жук, Г.И. Натансон. Л. : Изд-во Ленингр. ун-та, 1983. -188 с.

18. Интрилигатор М. Математические методы оптимизации и экономическая теория. -М.: Прогресс, 1975.

19. Калиткин Н.Н. Численные методы / Н.Н. Калиткин. М. : Наука, 1978. -512 с.

20. Kalman R. Remaks on some control system. / Kalman R. // Com. Pure Appl. Math., 1962. V. 12, p. 112 - 126.

21. Камке Э. Справочник no обыкновенным дифференциальным уравнениял1 / Э. Камке. М. : Наука, 1976. - 576 с.

22. Канторович JI. В. Экономический расчет наилучшего использования ресурсов М.: Изд-во АН СССР, 1959.

23. Каплан Е. П., Литовка О. П., Новиков Э. А. Социально-экономические аспекты рационального природопользования в регионе. -Л.: Наука, 1989.

24. Китайгородский В. И., Котов В. В. Моделирование экономического развития с учетом замещения невозобновляемых энергетических ресурсов. -М.: Наука, 1990.

25. Коддингтон Э.А. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений / Э.А. Коддингтон, Н. Левинсон. -М. : ИЛ, 1958. 476 с.

26. Коллатц Л. Задачи на собственные значения с техническими приложениями / Л. Коллатц. М. : Наука, 1968. - 500 с.

27. Конопляник А. А. Российский ТЭК на пути к новой энергетической политике страны // Нефтяное хозяйство. 2000. - № 4. - С. 7-13.

28. Концепция национальной безопасности Российской Федерации // Собрание законодательства Российской Федерации. М., 1997.

29. Концепция перехода Российской Федерации на модель устойчивого развития. (Проект). М., 1995. - 21 с.

30. Коптюг В. А. Конференция ООН по окружающей среде и развитию (Рио-де-Жанейро, июнь 1992г.): Инф. обзор. Новосибирск, 1993. - 62 с.

31. Крайнова Э. А. Экологический фактор в принятии экономических решений нефтяной компании: теория и практика. Уфа: УГНТУ, 1997. - 153 с.

32. Колмогоров А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. М. : Наука, 1976. - 542с.

33. Красносельский М.А. Нелинейные почти периодические колебания / М.А. Красносельский, В.Ш. Бурд, Ю.С. Колесов М. : Наука, 1970. -351 с.

34. Красносельский М.А. Системы с гистерезисом / М.А. Красносельский, А.В. Покровский М.: Наука, 1983. - 271с.

35. ЪЪ.Векторные поля на плоскости / Красносельский М.А. и др.. М. : Физматгиз, 1963. - 248 с.

36. Красносельский М.А. К теории периодических решений неавтономных дифференциальных уравнений / М.А. Красносельский // "УМН". 1966. -21, №3.-С. 53-74.

37. Красносельский М.А. О применении методов нелинейного функционального анализа в задачах о периодических решениях уравнений нелинейноймеханики / М.А. Красносельский // "ДАН СССР". 1956. - т. 111, № 2. -С. 283-286.

38. Красносельский М.А. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений / М.А. Красносельский. М. : Наука, 1966. -332 с.

39. Красно сельский М.А. О некоторых признаках существования периодических решений у систем обыкновенных дифференциальных уравнений / М.А. Красносельский, А.И. Перов // "Труды Междунар. симпозиума по нелин. колеб.". 1963. - № 2 - С. 202-211.

40. Красносельский М.А. Об одном принципе существования ограниченных, периодических и почти периодических решений у системы обыкновенных дифференциальных уравнений / М.А. Красносельский, А.И. Перов // "ДАН СССР". 1958. - т. 123, № 2. - С. 235-238.

41. Красносельский М.А. О некоторых признаках существования периодических решений у обыкновенных дифференциальных уравнений / М.А. Красносельский, В.В. Стрыгин // "ДАН СССР". 1964. - т. 156, № 5.-С. 1022-1024.

42. Красносельский М.А. О вычислении вращений вполне непрерывных векторных полей, связанных с задачей о периодических решениях дифференциальных уравнений / М.А. Красносельский, В.В. Стрыгин "ДАН СССР". 1963. - т. 152, № з. с. 540-543.

43. Красносельский М.А. Позитивные линейные системы: метод положительных операторов / М.А. Красносельский, Е.А. Лифшиц, А.В. Соболев М.: Наука, 1985. - 256 с.

44. Математическая теория систем / под ред. М.А. Красносельского. -М. : Наука, 1986.- 166 с.

45. Красносельский М.А. О динамике систем управления, описываемых уравнениями параболического типа с гистерезисными нелинейностями / М.А. Красносельский, А.В. Покровский, Ж. Тронель, В.В. Черноруцкий // Автоматика и телемеханика. 1992. - № 11. - С. 65-71.

46. Красносельский A.M. О континуумах циклов в системах с гистерезисом / A.M. Красносельский, Д.И. Рачинский // Доклады РАН. 2001. - т. 378, №3. - С. 314-319.

47. Красносельский A.M. О существовании циклов у квазилинейных обыкновенных дифференциальных уравнений высшего порядка / A.M. Красносельский, Д.И. Рачинский // Известия РАЕН. Серия МММИУ. 2001. -т. 5, № 1-2.-С. 143-151.

48. Крюков В. А. Институциональная структура нефтегазового сектора: проблемы и направления трансформации. Новосибирск: ИЭ и 01111 СО РАН, 1998. - 278 с.

49. Крюков В. А. Особенности институциональных преобразований в нефтегазовом секторе экономики России. М.: Высшая школа экономики, 1999.- 35 с.

50. Крюков В. А., Токарев А. Н. Какие налоги позволят добывать нефть? Сравнительная оценка вариантов налогообложения разработки месторождений Западной Сибири // Нефтегазовая вертикаль. 1998. - № 9-10. - С. 36-40.

51. Крюков В. А., Шафраник Ю. К. Осмыслить и реализовать роль государства//Нефтегазовая вертикаль. 1998. - №2. - С. 43-46.

52. Крылов В.И. Вычислительные методы. Том II. /В.И. Крылов, В.В. Бобков, П.И. Монастырный. М. : Наука, 1976. - 400 с.

53. Леонтьев В. В. Межотраслевая экономика: Пер. с англ. -М.: Экономика, 1997.-497 с.

54. Люстерник Л.А. Элементы функционального анализа / Л.А. Люстерник, В.И. Соболев. М. : Наука, 1965. - 520 с.

55. Ляпина А. А. Тенденции макроэкономического развития на основе экологических данных // Экономика природопользования: Инф. сб. М.: ВИНИТИ, 2000. - №1. - С. 11-29.

56. Макаров В. Л., Рубинов А. М. Математическая теория экономической динамики и равновесия. М.: Наука, 1973.

57. Маленво Э. Лекции по макроэкономическому анализу: Пер. с франц. / Под ред. К.А. Багриновского. М.: Наука, 1985. 392с.

58. Мазур И. И. Экология нефтегазового комплекса: Наука. Техника. Экономика. — М.: Недра, 1993, Математическая экономика. М.: Мир, 1974.

59. Мелконян Р. Г. Экологические проблемы нефтегазового комплекса // Нефть, газ и бизнес. 1999. -№1-2. - С. 60-64.

60. Мещерин А. Еще не реформа, уже не застой // Нефтегазовая вертикаль. -2000.-№2.-С. 20-23.

61. Митропольский Ю.А. Лекции по методу усреднения в нелинейной механике / Ю.А. Митропольский. Киев : Наукова думка, 1966. - 305 с.

62. Митропольский Ю.А. Лекции по теории колебаний систем с запаздыванием / Ю.А. Митропольский, Д.И. Мартынюк. Киев : Изд-во Киевского ун-та, 1969.-309 с.

63. Митропольский Ю.А. Проблемы асимптотической теории нестационарных колебаний / Ю.А. Митропольский. М. : Наука, 1964. - 431 с.65 .Алгоритмический синтез нелинейных систем управления / под ред. Р.А. Нелепина. Л. : Изд-во ЛГУ, 1990. - 235 с.

64. Параев Ю.И. Решение задач об оптимальном производстве, хранении и сбыте товара. / Параев Ю.И. // Известия академии наук. Теория и системы управления. 2000, №2, С.103-117.

65. Перов А.И. Устойчивость решений обыкновенных дифференциальных уравнений / А.И. Перов, А.В. Кибенко. — Воронеж : ВГУ, 1969. -52 с.

66. Перов А.И. Периодические колебания / А.И. Перов. Воронеж : ВГУ, — 1973.-50 с.

67. Перов А.И. Вариационные методы в теории нелинейных колебаний / А.И. Перов. Воронеж: ВГУ, 1981. - 196 с.

68. Плисс В.А. Нелокальные проблемы теории колебаний / В.А. Плисе. — М.; Л. : Наука, 1964.-368 с.

69. Покровский А.В. Корректные решения уравнений с сильными нелинейностями / А.В. Покровский // "ДАН СССР". 1984. - т. 274, № 5. - С. 1037-1040.

70. Покровский А.В. Правильные неподвижные точки монотонных операторов. / Покровский А.В. // В кн: Тезисы 7-й Международной конференции по нелинейным колебаниям. Берлин: Изд-во АН ГДР, 1976, С. 120 122.

71. Покровский А.В. Устойчивые периодические режимы в системах с монотонными нелинейностями / А.В. Покровский, М.Е. Семенов // Автоматика и телемеханика. 1990. - № 2. - С. 31-37.

72. Пятницкий Е.С. Новые исследования по абсолютной устойчивости систем автоматического регулирования / Е.С. Пятницкий // Автоматика и телемеханика. 1968.-№ 6. - С. 5-36.

73. Пятницкий Е.С. Численные методы построения функций Ляпунова и критерии абсолютной устойчивости в форме численных процедур. / Пятницкий Е.С., Скородинский В.И. // Автоматика и телемеханика, 1983, № 11, С. 52-61.

74. Розенвассер Е.Н. Колебания нелинейных систем / Е.Н. Розенвассер. -М. : Наука, 1969.-576 с.

75. Ronto М. Numerical-Analitic Methods in the Theory of Boundary-Value Problems / M. Ronto, A.M. Samoilenko. New-York : World Scientific Publishing, 2001.-456 c.

76. Математическое моделирование: Процессы в сложных экономических и экологических системах / Под ред. А.А. Самарского, Н.Н. Моисеева, А.А. Петрова. М.: Наука, 1986. С.7-196.

77. Математическое моделирование: Методы описания и исследования сложных систем / Под ред. А.А. Самарского, Н.Н. Моисеева, А.А. Петрова. М.: Наука, 1989. С. 121-266.

78. Самойленко A.M. Численно-аналитический метод исследования периодических систем дифференциальных уравнений / A.M. Самойленко // Укр. мат.журн., 1965.-т. 17, №4.-С. 82-93.

79. Самойленко A.M. Численно-аналитические методы исследования периодических решений / A.M. Самойленко, Н.И. Ронто. — Киев : Вища школа, 1976.- 180 с.

80. Самойленко A.M. Численно-аналитические методы в теории периодических решений уравнений с частными производными / A.M. Самойленко, Б.П. Ткач. Киев: Наук, думка, 1992.-208 с.

81. Самуэльсон П. Экономика: Пер. с англ. / Под ред. А.В. Аникина, А.И. Шапиро, P.M. Энтова. М.: Прогресс, 1964. 844с.

82. Семенов М.Е. О континуумах вынужденных устойчивых периодических режимов в системах с гистерезисными нелинейностями / М.Е. Семенов // Автоматика и телемеханика. —1994.—№ 8. С. 82-86.

83. Семенов М.Е. О континуумах периодических реэ/симов в системах управления / М.Е. Семенов // Автоматика и телемеханика. 1994. - № 8. -С. 95-97.

84. Семенов М.Е. Устойчивые колебания в системах с абстрактным гис-терезисным преобразователем / М.Е. Семенов // Вестн. Воронеж, гос,. ун-та, Естеств. Науки. 1998. -№2. - С. 71-77.

85. Семенов М.Е. Устойчивые периодические решения систем с континуальными системами неидеальных реле / М.Е. Семенов // Математическое обеспечение ЭВМ: сб. науч. тр.-Воронеж, 1999.-Вып. 1.-С. 73-78.

86. Семенов М.Е. Математическое моделирование устойчивых периодических режимов в системах с гистерезисными нелинейностями / М.Е. Семенов. —Воронеж. : Воронеж, гос. технол. акад., 2002. —104 с.

87. Семенов М.Е. Устойчивые колебания в системах с гистерезисными нелинейностями / М.Е. Семенов // Волновые процессы в нелинейных и неоднородных средах: сб. трудов семинара НОЦ ВГУ. Воронеж, - 2003. - С. 356-369.

88. Семенов М.Е. О диссипативности одного класса систем с гистерезисными нелинейностями / М.Е. Семенов, О.И. Канищева, М.Г. Матвеев // Обозрение прикладной и промышленной математики. М. - 2005. -Т. 12. - Вып. 3.-С. 752-753.

89. Семенов М.Е. Динамическая модель функционирования производственной системы. / МГ. Матвеев, С.Д Наумов, ME. Семенов //Системные проблемы качества математического моделирования и информационных технологий: Тр. междунар. конф. -М. -1999. -Ч. 6. С. 93-95.

90. Семенов М.Е. О резонансных свойствах одного уравнения Матъе с гистерезисными нелинейностями / М.Е. Семенов, О.И. Канищева, А.Н. Гу-лин, В.Я. Макаревич // Обозрение прикладной и промышленной математики. М. - 2006. - Т. 13.-Вып. З.-С. 718-719.

91. Семенов М.Е. О резонансных свойствах одного уравнения Матъе с гистерезисными нелинейностями / М.Е. Семенов, О.И. Канищева, А.Н. Гу-лин, В.Я. Макаревич // Обозрение прикладной и промышленной математики. М. - 2006. - Т. 13.-Вып. З.-С. 718-719. (тезисы)

92. Синицкий Л.А. Методы аналитической механики в теории электрических цепей / Л.А. Синицкий. — Львов : Вища школа, 1978. 138 с.

93. Ю.Трубников Ю.В. Дифференциальные уравнения с монотонными нелинейностями / Ю.В. Трубников, А.И. Перов. Минск : Наука и техника, 1986.- 199 с.

94. Ш.Харди Г.Г. Неравенства /ТТ. Харди, Д.Е. Литтльвуд, Г. Полна. М. :

95. ГИИЛ,- 1948.-456 с. 112.Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения / Ф. Хартман.

96. М. : Мир, 1970. -720 с. ПЗ.Хейл Дж. Колебания в нелинейных системах / Дж. Хейл. - М. : Мир, 1966.-234 с.

97. Чезари Л. Асимптотическое поведение и устойчивость решений обыкновенных дифференциальных уравнений / Л. Чезари. — М. : ГИ-ИЛ, 1964.- 480 с.

98. Шананин А.А. Об устойчивости Рыночных механизмов // Математическое моделирование. 1991. Т.З, №2. С.42-62.

99. Пб.Шумпетер И. Теория экономического развития. / Шумпетер И. // Теория экономического развития: Пер. с нем. / Под ред. А.Г. Малейковско-го. М.: Прогресс, 1982. 456с.

100. Якубович В.А. Частотные условия абсолютной устойчивости регулируемых систем с гистерезисной нелинейностью / В.А. Якубович // "ДАН СССР". 1963. - т. 149, № 2.