Модели стабилизации и оптимального функционирования систем с гистерезисными нелинейностями тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Прохоров, Дмитрий Михайлович

• Прохоров, Дмитрий Михайлович
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Прохоров, Дмитрий Михайлович

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

Глава 1. Гистерезисные преобразователи

1.1 Общие сведения о гистерезисных преобразователях

1.2 Обобщенный люфт

1.3 Неидеальное реле

1.4 Преобразователь Прейсаха 18 Глава 2. Оптимальная производственно-ценовая стратегия в задаче о производстве, сбыте и хранении продукции в условиях гистерезисной функции спроса

2.1 Синтез оптимального управления для одного класса систем с гистерезисными нелинейностями

2.2 Гистерезисная модель темпа продаж

2.3 Задача о максимизации прибыли на конечном временном интервале

2.4 Задача о производстве, потреблении и сбыте товара с гистерезисной функцией спроса

Глава 3. Приближенное построение вынужденных периодических режимов в системах автоматического регулирования с гистерезисными нелинейностями

3.1 Линейное звено

3.2 Замкнутые системы

3.3 Регулярные линейные системы

3.4 Постановка задачи и алгоритм нахождения периодических решений систем автоматического регулирования с гистерезисными нелинейностями

3.5 Численная реализация, блок-схема, результаты применения приближенного метода построения вынужденных периодических режимов в системах автоматического регулирования с гистерезисными нелинейностями

Глава 4. Стабилизация обратного положения маятника вертикальными

осцилляциями посредством гистерезисного управления

4.1. Математическая модель обратного маятника

4.2. Стабилизация вертикального положения маятника с осциллирующим подвесом

4.3. Зоны устойчивости уравнения Матье

4.4. Модель осциллирующего подвеса с гистерезисной нелинейностью

73

4.4 Исследование диссипативности модели движения обратного маятника с гистерезисным управлением

Заключение

Литература

Приложение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Модели стабилизации и оптимального функционирования систем с гистерезисными нелинейностями»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы. Модели процессов и систем прикладных задач физики, теории автоматического регулирования, экономики и т.д. сводятся к системам дифференциальных уравнений, содержащим помимо обычных функциональных нелинейностей - нелинейности гистерезисной природы (колебания ферромагнитного шарика в магнитном поле; вынужденные колебания физического маятника, управляющим воздействием на который является выход гистерезисного преобразователя; электромагнитные колебания в контуре, содержащем сегнетоэлектрические конденсаторы; экономические циклы в условиях «гистерезисного» поведения экономических агентов и многие другие). При этом носители гистерезиса, как правило, нельзя рассматривать изолировано, так как они являются частью более сложной системы. Важный класс таких систем составляют управляемые системы и системы автоматического регулирования. Гистерезисные преобразователи естественным образом появляются в этих системах как математические модели разнообразных гистерезисных явлений. Возможность изучения таких систем основывается на развитой М.А.Красносельским и А.В.Покровским операторной трактовке гистерезисных преобразователей как операторов, определенных на достаточно богатом функциональном пространстве, зависящих от своего начального состояния как от параметра. Системы управления с гистерезисными нелинейностями обладают рядом специфических особенностей коренным образом отличающих их от традиционных систем с функциональными нелинейностями. К их числу, в первую очередь, относятся недифференцируемость гистерезисных операторов, необычность фазовых пространств, включающих в себя пространства состояний соответствующих гистерезисных преобразователей, в общем случае не обладающих линейной структурой и некоторые другие. Следовательно, анализ и синтез моделей систем управления с гистерезисными нелинейностями требует разработки новых методов, учитывающих упомянутые выше особенности. Кроме того,

как показывают простые примеры, для систем с гистерезисом типична ситуация когда в них принципиально нереализуемы ассимптотически устойчивые режимы, более того зоны притяжения устойчивых решений весьма незначительны, что затрудняет численную реализацию методов их приближенного построения. Это обуславливает необходимость разработки алгоритмов приближенного устойчивых решений систем управления с гистерезисными нелинейностями. Из немного числа работ посвященных задачам анализа систем управления с гистерезисными нелинейностями отметим работы А. М. Красносельского, B.C. Козякина, A.B. Владимирова, Д.И. Рачинского. Однако в работах этих авторов рассматривались хотя и важные, но частные случаи. Поэтому является актуальной задача разработки методики построения оптимального управления и стабилизации класса систем с гистерезисными нелинейностями, а также разработки алгоритма приближенного построения их решений.

Диссертационная работа выполнена в рамках научного направления кафедры Высшей математики Воронежского государственного архитектурно-строительного университета «Разработка математических моделей, методов анализа строительных конструкций и фундаментов» № г.р. 01200003664.

Цель работы. Разработка численно-аналитических методов решения задач стабилизации и управления в системах с гистерезисными нелинейностями.

Достижение указанной цели осуществлялось решением следующих задач:

- построение оптимальной, с точки зрения достижения максимальной прибыли, производственно - ценовой стратегии в задаче о производстве, сбыте и хранении продукции в условиях гистерезисной функции спроса;

- разработка алгоритма приближенного построения корректных по отношению к малым возмущениям параметров устойчивых периодических

режимов для класса одноконтурных систем автоматического регулирования с гистерезисными нелинейностями;

I

- синтез алгоритма программной стабилизации обратного маятника посредством гистерезисного управления нижней точкой крепления;

- доказательство реализуемости алгоритмов, проверка устойчивости, оценка скорости сходимости, исследование переходных процессов поведения моделей;

- апробация предложенных алгоритмов на модельных примерах и численные эксперименты.

Объекты исследования - системы управления с носителями гистерезисных явлений.

Предмет исследования - математические модели управляемых систем с гистерезисом, алгоритмы построения оптимального управления и стабилизации

Методы исследования. При выполнении работы использовались методы математического моделирования, операторная трактовка гистерезиса, качественная теория дифференциальных уравнений, теория автоматического регулирования, нелинейный анализ, численные методы решения

I

дифференциальных уравнений.

Научная новизна. В работе получены следующие новые научные результаты:

- решена задача об оптимальном производстве сбыте и хранении продукции в условиях гистерезисной функции спроса;

- предложен алгоритм стабилизации перевернутого маятника посредством программного управления в условиях гистерезисного управляющего воздействия;

- предложен метод приближенного построения периодических решений систем автоматического регулирования с гистерезисноц обратной связью;

- доказана реализуемость алгоритма и методов, получены оценки скорости сходимости приближений к точному периодическому решению;

- доказана устойчивость метода приближенного построения периодических решений систем автоматического регулирования с гистерезисной обратной связью по отношению к малым возмущениям параметров задачи.

Область исследований. Содержание диссертации соответствует паспорту специальности 05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ (физико-математические науки). Область исследования соответствует п.2 «Развитие качественных и приближенных аналитических методов исследования математических моделей», п.З «Разработка, обоснование и тестирование эффективных вычислительных методов с применением современных компьютерных технологий».

Практическая ценность работы. Результаты работы применимы для анализа и построения оптимального управления для класса экономических систем математические модели, которых сводятся к системам дифференциальных уравнений, с гистерезисными нелинейностями. Предложенный алгоритм стабилизации перевернутого маятника с гистерезисным управлением может найти применение для аналогичных задач стабилизации механических, электромеханических и других систем с гистерезисными свойствами. В частности, одной из классических задач теории автоматического регулирования является задача построения вынужденных периодических режимов. Предложенный в работе алгоритм позволяет в случае выполнения легко проверяемых условий строить эти режимы. Причем для приближенных решений выполняются дополнительные условия корректности по отношению к малым изменениям параметров систем. Разработан пакет прикладных программ, реализующий построение периодических решений систем автоматического регулирования с гистерезисными нелинейностями.

На защиту выносятся:

- методика построения оптимального управления для класса моделей систем с носителями гистерезисных явлений;

- алгоритм приближенного построения корректных периодических режимов для класса моделей систем автоматического регулирования с гистерезизисными нелинейностями;

- результаты численных экспериментов стабилизации обратного маятника посредством гистерезисного управления.

Апробация работы. Основные результаты и положения диссертации докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах: «Современные технологии в задачах управления, автоматики и обработки информации» (XVIII Международный научно-технический семинар, г.Алушта, сентябрь 2009 г.), XII Всероссийская школа-коллоквиум по стохастическим методам (г.Сочи - Дагомыс, октябрь 2008 г.), «Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования» (г.Воронеж, декабрь 2008 г.), «Экономическое прогнозирование: модели и методы» (г.Воронеж, апрель 2009 г.), VIII Всероссийская научно-техническая конференция «Повышение эффективности средств обработки информации на базе математического моделирования» (г.Тамбов, апрель 2009г.), Воронежская весенняя математическая школа «Современные методы качественной теории краевых задач - Понтрягинские чтения» (г.Воронеж, май 2009 - 2010 гг.), CMAS 2009 (International Conference on Computational modeling and Advanced simulations, 30 June - 3 July 2009, Bratislava, Slovak Republic), «Кибернетика и высокие технологии XXI века» (XII международная научно-техническая конференция, г.Воронеж, май 2011 г.), на семинарах кафедры Высшей математики ВГАСУ и кафедры нелинейных колебаний ВГУ за 2008 - 2011 гг..

Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 10 печатных работ. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[10], список которых приведен в конце автореферата. Из них: 2 статьи в научных журналах, включенных в «Перечень ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, выпускаемых в РФ, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук».

Личный вклад автора в работах, выполненных в соавторстве, составляют доказательства утверждений о реализуемости и сходимости предложенных алгоритмов, доказательство корректности и устойчивости неподвижных точек интегральных операторов, являющихся периодическими решениями соответствующих дифференциальных уравнений, разработке методики построения оптимального управления для класса систем с гистерезисными нелинейностями.

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, двух приложений и списка литературы, включающего 92 наименования, изложена на 137 страницах и включает 18 рисунков.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Прохоров, Дмитрий Михайлович

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Перечислим основные результаты работы: для класса моделей систем описываемых дифференциальными уравнениями с гистерезисными нелинейностями получены условия, обеспечивающие их оптимальное в смысле максимизации функционала, зависящего от фазовых переменных, функционирование. Как частный случай, решена задача об оптимизации производственно-ценовой стратегии в условиях гистерезисной функции спроса.

Для класса моделей систем автоматического регулирования с гистерезисной обратной связью и периодическим внешним воздействием получим условие обеспечивающее существование периодических режимов, обладающих свойством корректности по отношению к малым изменениям параметров систем. Предложен алгоритм их приближенного построения, доказана его реализуемость и сходимость. Исследованы свойства приближенных решений - получены оценки близости к точным решениям.

Экспериментально установлена возможность стабилизации верхнего положения обратного маятника посредствам гистерезисного управления нижней точкой крепления. Так же были получены оценки констант, обеспечивающих диссипативность, установлена их обратно пропорциональная зависимость, и зависимость максимально возможной длины раствора цилиндра от частоты колебаний подвеса. Все результаты подтверждены иллюстрациями.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Прохоров, Дмитрий Михайлович, 2011 год

ЛИТЕРАТУРА

1. Айзерман М.А. Абсолютная устойчивость регулируемых систем / Айзерман М.А., Гантмахер Ф.Р. // М., изд-во АН СССР, 1963. 140 с.

2. Андронов A.A. Теория колебаний / Андронов A.A., Витт A.A., Хайкин С.Г. // 2-е изд., Физматгиз, 1959.

3. Арнольд В.И. Математические методы классической механики / В.И. Арнольд. - М. : Наука, 1974. - 431 с.

4. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения / В.И. Арнольд. - М. : Наука, 1975. - 240 с.

5. Ахиезер Н.И. Элементы теории аппроксимации / Н.И. Ахиезер. - М. : Наука, 1965.-407 с.

6. Барабанов А.Т. Теория линейных нестационарных систем с особой точкой / Барабанов А.Т.// Устойчивость систем. Автоматика и телемеханика, № 6, 1969.

7. Барабанов Н.Е. Абсолютная устойчивость систем регулирования с одной гистерезисной нелинейностью / Барабанов Н.Е., Якубович В.А. // Автоматика и телемеханика, 1979, № 12, С.5 -12.

8. Байге X. Детерминированный хаос и сегнетоэлектричество / X. Байге, М. Дистельхорс, С.Н. Дрождин // Материалы семинаров НОЦ "Волновые процессы в неоднородных средах". - 2003. - С. 9-22.

9. Беллман Р. Введение в теорию матриц / Р. Беллман. - М. : Наука, 1976. - 352 с.

10. Блиман П.-А., Красносельский A.M., Рачинский Д.И. О сильных резонансах при бифуркациях Хопфа в системах управления // Автоматика и телемеханика. 2001. № 11. С. 29-50.

11. Боголюбов H.H. Асимптотические методы теории нелинейных колебаний / Боголюбов H.H., Митропольский Ю.А. // Изд. 3-е, М., Наука, 1963.

12. Боголюбов H.H. Теория возмущений в нелинейной механике /Н. Н. Боголюбов //Сб. Ин-та строит, механики АН УССР. Т. 14, N 2. - 1950 -С. 9 - 34.

13. Боголюбов H.H. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. / H.H. Боголюбов, Ю.А. Митропольский - 2-е изд. - М.: Физматгиз- 1962- 410 с.

14. Борздыко В.И. Дифференциальные уравнения со сложными нелинейностями: автореф. дис. на соискание учёной степени д-ра физ.-мат. наук / В.И. Борздыко. - Душанбе, 2001. - 29 с.

15. Бутенин Н.В. Введение в теорию нелинейных колебаний / Бутенин Н.В., Неймарк Ю.И., Фуфаев H.A. // М., Наука, 1987. 384 с.

16. Вишик М.И., Чепыжов В.В. Усреднение траекторных аттракторов эволюционных уравнений с быстро осциллирующими членами // Математический сборник. 2001. Т. 192. № 1. С. 13-50.

17. Воронов A.A. Устойчивость. Управляемость. Наблюдаемость. / Воронов A.A. // М., Наука, 1979. 335 с.

18. Вулих Б.З. Введение в функциональный анализ / Б.З. Вулих. - М. : Наука, 1967.-416 с.

19. Гиль М.И. Операторные функции, дифференциальные уравнения и динамика систем / М.И. Гиль. - М. : Наука, 1984. -150 с.

20. Горяченко В.Д. Элементы теории колебаний / В.Д. Горяченко. - М. : Высш. шк., 2001.-395 с.

21. Демидович Б.П. Основы вычислительной математики / Б.П. Демидович, И.А. Марон. - М. : Наука, 1966. - 664 с.

22. Иванов Ю.Н., Токарев В.В., Уздемир А.П. Математическое описание элементов экономики (М.: Наука, 1994)

23. Калиткин H.H. Численные методы / H.H. Калиткин. - М. : Наука, 1978. -512 с.

24. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям / Э. Камке. - М. : Наука, 1976. - 576 с.

25. Капица П.Л. Динамическая устойчивость маятника при колеблющейся точке подвеса / П. Л. Капица//ЖЭТФ 21.-1951. -С.588 - 597.

26. Капица П.Л Маятник с вибрирующим подвесом /П.Л. Капица// УФН 44 -1951.-С. 7-20.

27. Коддингтон Э.А. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений / Э.А. Коддингтон, Н. Левинсон. -М. : ИЛ, 1958. - 476 с.

28. Колмогоров А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа./А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин / ФИЗМАТЛИТ, 2009. 572с.

29. Красносельский М.А. Положительные решения операторных уравнений. / Красносельский М.А. // М., Физматгиз, 1962. 394 с.

30. Красносельский М.А. Оператор сдвига по траекториям обыкновенных дифференциальных уравнений. / Красносельский М.А.// М., Наука, 1966.312 с.

31. Красносельский М.А. Нелинейные почти периодические колебания. / Красносельский М.А., Бурд В.Ш., Колесов Ю.С. // М., Наука, 1970. 351 с.

32. Красносельский М.А. Позитивные линейные системы. / Красносельский М.А., Лившиц Е.А., Соболев A.B. // М., Наука, 1985. 255 с.

33. Красносельский М.А. Системы с гистерезисом. / Красносельский М.А., Покровский A.B. // М., Наука, 1983. 271 с.

34. Красносельский М.А. Правильные решения интегральных уравнений с разрывной нелинейностью. / Красносельский М.А., Покровский A.B. // ДАН СССР, 1976, т. 226, № 3, с. 506 - 509.

35. Красносельский М.А. Об одном принципе существования ограниченных, периодических и почти периодических решений у системы обыкновенных дифференциальных уравнений / М.А. Красносельский, А.И. Перов // "ДАН СССР". - 1958. - т. 123, № 2. - С. 235-238.

36. Красносельский М.А. Позитивные линейные системы: метод положительных операторов / М.А. Красносельский, Е.А. Лифшиц, А.В. Соболев - М.: Наука, 1985. - 256 с.

37. Красносельский М.А. Математическая теория систем / [под ред. М.А. Красносельского]. - М. : Наука, 1986. - 166 с.

38. Красносельский A.M. О континуумах циклов в системах с гистерезисом / A.M. Красносельский, Д.И. Рачинский // Доклады РАН. -2001.-т. 378,№3.-С. 314-319.

39. Красносельский A.M. О существовании циклов у квазилинейных обыкновенных дифференциальных уравнений высшего порядка / A.M. Красносельский, Д.И. Рачинский // Известия РАЕН. Серия МММИУ. -2001.-т. 5, № 1-2.-С. 143-151..

40. Красносельский A.M., Системы с периодическими нелинейностями, Доклады Академии наук, 438, №2, 176-18.

41. Красносельский A.M., Index at infinity and bifurcations of twice degenerate vector fields, Topological Methods in Nonlinear Analysis, 35, №1,2010, 99-126.

42. Красносельский A.M., Рачинский Д.И., Об одном нелокальном признаке существования циклов систем с гистерезисом, Автоматика и телемеханика, №2, 2003, 66-88.

43. Крейн М.Г. Линейные операторы, оставляющие инвариантным конус в пространствах Банаха. / Крейн М.Г., Рутман М.А.// Успехи математических наук, 1948, т. 3, № 1, с. 3 - 95.

44. Магнус К. Колебания: Введение в исследование колебательных систем. / К. Магнус;пер. с нем. В.И. Сидорова, В.В. Филатова- М.: Мир. 1982. -304 с.

45. Митропольский Ю.А. Проблемы асимптотической теории нестационарных колебаний / Ю.А. Митропольский. - М. : Наука, 1964. -431 с.

46. Митропольский Ю.А. Лекции по теории колебаний систем с запаздыванием I Ю.А. Митропольский, Д.И. Мартынюк. - Киев : Изд-во Киевского ун-та, 1969. - 309 с.

47. Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения: Учеб. Пособие для вузов/ Д.Р. Меркин - 3-е изд., перераб. и доп. - М: Наука -1987.-304с.

48. Неймарк Ю.И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний / Ю.И. Неймарк. - М.: Наука, 1972. - 471 с.

49. Нелепин P.A. Об исследовании точными методами систем с двумя нелинейными элементами / P.A. Нелепин. - Изв. вузов, Радиофизика, 1965. - № 3..

50. Оленов H.H., Поспелов И.Г. Модель инвестиционной политики фирм в экономической системе рыночного типа. // С. 164-174.

51. Параев Ю.И. Решение задач об оптимальном производстве, хранении и сбыте товара. / Параев Ю.И. // Известия академии наук. Теория и системы управления. 2000, №2, С.103-117.

52. Перов А.И. Периодические колебания / А.И. Перов. - Воронеж : ВГУ, -1973.-50 с.

53. Петров A.A., Поспелов И.Г., Шананин A.A. Опыт математического моделирования экономики (М.: Энергоатомиздат, 1996)

54. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений / И.Г. Петровский. - М. : Наука, 1964. - 272 с.

55. Плисс В.А. Нелокальные проблемы теории колебаний. / Плисс В.А.// М., Наука, 1964. 367 с.

56. Покровский A.B. Системы с сильными нелинейностями. / Покровский A.B. // В кн.: Математическая теория систем. М., Наука, С. 96 - 112.

57. Покровский A.B. Устойчивые периодические режимы в системах с монотонными нелинейностями. / Покровский A.B., Семенов М.Е. // Автоматика и телемеханика, 1990, № 2, с. 31 - 37.

58. Покровский A.B. Корректные решения уравнений с сильными нелинейностями / A.B. Покровский // "ДАН СССР". - 1984. - т. 274, № 5.-С. 1037-1040.

59. Попов В.М. Об одной задаче теории абсолютной устойчивости регулируемых систем. / Попов В.М. // Автоматика и телемеханика, т. 25, №9, 1964.

60. Прохоров Д.М. Синтез оптимального управления для одного класса систем с гистерезисными нелинейностями / Д.М. Прохоров, М.Е. Семенов, О.И. Канищева // Системы управления и информационные технологии. - 2008. - № 1.2 (31). - С. 256-258.

61. Прохоров Д.М. Корректные периодические режимы в системах управления с монотонными гистерезисными нелинейностями / Д.М. Прохоров, М.Е. Семенов, О.И. Канищева, А.Н. Гулин // Наукоемкие технологии. - 2010. - № 12. - С. 67-72.

62. Прохоров Д.М.Оптимальное управление для одного класса систем с гистерезисными нелинейностями / Д.М. Прохоров, М.Е. Семенов // Актуальные задачи математического моделирования и информационных технологий. Материалы IV Межвузовской научно-практической конференции, Сочи, 13-18 мая 2008 г. - С. 30-31.

63. Прохоров Д.М. Орбитально устойчивые решения одного класса систем с гистерезисными нелинейностями / Д.М. Прохоров, М.Е. Семенов, О.И. Канищева // Современные проблемы прикладной математики и матем. мод-ния : материалы III-й Междунар. науч. конф. - Воронеж, ГОУ ВПО РГТЭУ ВФ, 2009. - С. 197-198.

64. Прохоров Д.М. Оптимальное управление в системах с аддитивными гистерезисными нелинейностями / Д.М. Прохоров, М.Е. Семенов, О.И. Канищева // Повышение эффективности средств обработки информации на базе матем. модел-ания : материалы докл. IX Всерос. науч.-техн. конф., 27-28 апр. 2009 г. - Тамбов, 2009. - С. 235-240.

65. Прохоров Д.М. Оптимальное управление для одного класса систем с гистерезисом / Д.М. Прохоров, М.Е. Семенов, О.И. Канищева // Системы управления, связи и навигации. (Часть 9). Сборник научных статей по материалам Всероссийской научно-практической конференции, Воронеж, 26 ноября 2009 г. - Воронеж: ВАИУ, 2009. - С. 211-216.

66. Прохоров Д.М. Стабилизация верхнего положения физического маятника в условиях гистерезисного управления / Д.М. Прохоров, М.Е. Семенов, Грачиков Д.В. // Обозрение прикладной и промышленной математики. - М. - 2010. - Т. 14. - Вып. 4. - С. 89.

67. Прохоров Д.М. Модель равновесного ценообразования в условиях гистерезисной функции спроса / Д.М. Прохоров, М.Е. Семенов // Современные технологии в задачах управления, автоматики и обработки информации: труды XVII Международного научно-технич. семинара. Сентябрь 2008 г., Алушта. - Тула: Изд-во ТулГУ, 2007. - С. 248-249.

68. Прохоров Д.М. Стабилизация перевернутого маятника с помощью вертикальных периодических осцилляций посредством гистерезисного управления / Д.М. Прохоров, М.Е. Семенов, Д.В. Грачиков, Д.В. Шевлякова // Кибернетика и высокие технологии XXI века: сборник трудов XII международной научно-технической конференции: Воронеж, 2011. Т.2. - С. 431-441.

69. Прохоров Д.М. Расчет оптимальных переходных процессов модели задачи об оптимальном производстве, сбыте и хранении продукции /Д.М. Прохоров, Е.В. Гринева // Реестр программ для ЭВМ, регистрационный №2011617057 от 12.09.2011г.

70. Розенвассер E.H. Колебания нелинейных систем / E.H. Розенвассер. -М. : Наука, 1969.-576 с.

71. Самарский A.A. Математическое моделирование: Методы описания и исследования сложных систем / Под ред. A.A. Самарского, H.H. Моисеева, A.A. Петрова. М.: Наука, 1989. С. 121-266.

72. Самуэльсон П. Экономика: Пер. с англ. / Под ред. A.B. Аникина, А.И. Шапиро, P.M. Энтова. М.: Прогресс, 1964. 844с.

73. Семенов М.Е. Вынужденные устойчивые периодические режимы в системах с монотонными нелинейностями / A.B. Покровский М.Е Семенов // Автоматика и телемеханика. -1990. - № 2. - С. 81-87.

74. Семенов М.Е. О континуумах вынужденных устойчивых периодических режимов в системах с гистерезисными нелинейностями /М.Е. Семенов // Автоматика и телемеханика. -1994. - № 8. - С.82-86.

75. Семенов М.Е. Устойчивые колебания в системах с абстрактным гистерезисным преобразователем / М.Е. Семенов // Вестн. Воронеж, гос,. ун-та, Естеств. Науки. -1998. -№2. - С. 71-77.

76. Семенов М.Е. Устойчивые колебания в системах с гистерезисными нелинейностями / М.Е. Семенов // Волновые процессы в нелинейных и неоднородных средах: сб. трудов семинара НОЦ ВГУ. - Воронеж, - 2003. - С. 356-369.

77. Трубников Ю.В. Дифференциальные уравнения с монотонными нелинейностями / Ю.В. Трубников, А.И. Перов. - Минск : Наука и техника, 1986. - 199 с.

78. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения / Ф. Хартман. -М. : Мир,-1970.-720 с.

79. Хейл Дж. Колебания в нелинейных системах / Дж. Хейл. — М. : Мир, 1966.-234 с.

80. Чезари JI. Асимптотическое поведение и устойчивость решений обыкновенных дифференциальных уравнений / JI. Чезари. - М. : ГИ-ИЛ, 1964.-480 с.

81. Чернавский Д.С., Старков Н.И., Щербаков А.В.О проблемах физической экономики, Успехи Физических Наук, № 9, 2002г. стр. 1045 - 1066.

82. Чернавский Д.С., Старков Н.И., Щербаков А.В., Динамическая модель поведения общества. Синергетический подход к макроэкономике. В сб. «Новое в синергетике» (взгляд в третье тысячилетие) М. Наука, 2002, стр. 239 -290.

83. Beyer В., Engdahl К., Zigangirov K.Sh. Asymptotical Analysis and Comparison of Two Coded Modulation Schemes Using PSK Signaling -Part I // IEEE Transactions on Information Theory. 2001. V. 47. № 7. P. 2782-2792.

84. Chow P.-L., Khasminskii. R. On optimal input design for parameter estimation problems in PDE // Proceedings of 38-th Allerton Conference on Communication, Control and Computing. 2001. P. 412-421.

85. Chikara Sato Correction of stability curves in Hill-Meissner's equation // Math. Сотр. V. 20. - 1966. - P. 98-106.

86. Kalman R. Remaks on some control system. / Kalman R. // Com. Pure Appl. Math., 1962. - V. 12, p. 112 - 126.

87. Krasnoselsky M.A. Stable periodic oscillations in systems with monotonous histeresis nonlinearity. / Krasnoselsky M.A., Pokrovsky A.V., Semenov M.E. // Procedings of the Conference held in Prague, Terbnes Verlagsgesllschoft, Leipzig, 1990, pp. 92-95.

88. Prohorov D.M. The approached construction of the forced periodic solution in the automatic control systems with the hysteresis feedback / D.M. Prohorov, M.E. Semenov, I.S. Tihomirov // CMAS 2009, International Conference on Computational modeling and Advanced simulations, 30 June - 3 July 2009, Bratislava, Slovak Republic, p. 109-110.

89. Ronto M. Numerical-Analitic Methods in the Theory of Boundary-Value Problems / M. Ronto, A.M. Samoilenko. - New-York : World Scientific Publishing, 2001.-456 c.

90. Stephenson A. On a new type of dynamical stability / A.Stephenson//Mem. Proc. Manch. Lit. Phil. Soc. -1908.-V. 52 (8).-P. 1 -10.

91. Stephenson A. On induced stability /A.Stephenson//Phil. Mag. - 1908. -V. 15.-P. 233 -236.

92. Visintin A. Hyperdolic equations and hysteresis / A. Visintin. - C.R. Acad. Sc. Paris. - 2001. - Serie I. - P. 315-320.