Математическое моделирование многокритериальных задач экономики с гистерезисными нелинейностями тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат технических наук Бутова, Лилия Владиславовна

• Бутова, Лилия Владиславовна
• кандидат технических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат технических наук Бутова, Лилия Владиславовна

ВВЕДЕНИЕ.

1 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Й КРАТКИЙ ОБЗОР СПОСОБОВ

ЕЕ РЕШЕНИЯ.

1Л Классическая задача оптимального производства, хранения и сбыта.

1.2 Гистерезисные преобразователи и их использование в экономике.

1.3 Применение гистерезисных преобразователей для моделирования функции спроса.

1.4 Свойства гистерезисной функции спроса.

1.5 Многокритериальная задача управления.

1.6 Модель установления равновесной цены.

1.7 Выводы по главе 1.

2 ЗАДАЧА ОПТИМАЛЬНОГО ПРОИЗВОДСТВА, ХРАНЕНИЯ И СБЫТА ПРОДУКЦИИ ПРЕДПРИЯТИЯ С ГИСТЕРЕЗИСНОЙ ФУНКЦИЕЙ СПРОСА.

2.1 Задача о максимизации прибыли в условиях неограниченного количества товара у производителя.

2.2 Решение задачи о производстве, хранении и сбыте товара с гистерезисной функцией спроса.

2.3 Выводы по главе 2.

3 МНОГОКРИТЕРИАЛЬНАЯ ЗАДАЧА О ПРОИЗВОДСТВЕ, ХРАНЕНИИ И СБЫТЕ ПРОДУКЦИИ ПРИ УЧАСТИИ ПОСРЕДНИКА.

3.1 Многокритериальная динамическая задача.

3.2 Многокритериальная задача о производстве, хранении и сбыте продукции при участии посредника.

3.3 Выводы по главе 3.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование многокритериальных задач экономики с гистерезисными нелинейностями»

Актуальность исследования. Математическое моделирование играет огромную роль в задачах экономического планирования, и прогнозирования. Это обуславливается, в первую очередь, принципиальной невозможностью экспериментов в экономике и важностью соответствующих задач. Многие вопросы экономической политики предприятия в области производства, хранения и сбыта товара до сих пор остаются нерешенными: дело в том, что всякий раз приходится рассматривать огромное количество вариантов. Существующие концепции зачастую весьма по-разному оценивают факты и при разной трактовке трудно решить, какой теоретический подход наиболее правильный. При этом, исходя из самого характера экономической науки, невозможно однозначно доказательно проверить эти теоретические изыскания. И хотя, понятно, что реальная экономическая* деятельность предприятия не может быть полностью описана никакой, даже самой предусмотрительной моделью, тем не менее, необходима правильная расстановка акцентов при формализации.

Результаты моделирования задач планирования и управления показывают, что в реальной постановке эти задачи являются многокритериальными [11, 12, 20]. Так, часто встречающееся выражение «достичь максимального эффекта при наименьших затратах» уже означает принятие решения при двух критериях. Сложность и динамичность, а также высокий уровень неопределенности, являясь характерными свойствами экономических процессов, порождают специфические условия, которые необходимо учитывать при разработке прогнозных моделей. Оценка деятельности предприятий, трактуемых как управляемые системы, производится на основе более десятка критериев: выполнение плана производства по объему, по номенклатуре, плана реализации, прибыли по показателям рентабельности, производительности труда и т. д. При этом многокритериальные динамические задачи оптимального управления [14, 15] исследованы к настоящему времени недостаточно: существует I лишь небольшое количество публикаций [58, 59, 63, 64, 66], посвященных, в основном, линейным объектам с квадратичными функционалами.

Помимо этого многие экономические системы обладают долговременной памятью [82, 84], т.е. поведение системы, при t>tO, определяется не только набором определяющих ее параметров в этот момент времени, но и динамикой их изменений в предыдущие. Также существенной особенностью экономических систем является их инерционность [86, 87]. Необходимость учета этих эффектов требует принципиально новых подходов к моделированию экономических систем. Один из таких подходов основан на использовании в моделях экономических систем операторов гистерезисного типа [33, 88].

Для современного рынка товаров и услуг характерна тенденция к значительному росту влияния торговых посредников. Это объясняется, прежде всего тем, что они имеют прямой доступ к исключительно важной информации о состоянии и поведении рынка, что позволяет производителям своевременно реагировать на происходящие рыночные изменения и использовать новые возможности [9, 10]. Предлагаемые в настоящее время зарубежными и отечественными учеными экономико-математические модели и методы, включая перспективы анализа и планирования рациональных решений в условиях неопределенности, играют существенную роль в практике управления в конкретной макроэкономической системе [26, 27, 100].

В целом, решение ряда макроэкономических задач с применением математических методов и моделей ограничивается рамками функциональных задач в сфере маркетинга, финансового менеджмента, логистики, инвестирования, стратегического управления, экономического анализа. В экономической литературе не рассматривается самостоятельная задача комплексного применения математических методов и моделей для повышения эффективности управления реальными макроэкономическими системами. Поэтому существует необходимость в разработке комплекса взаимоувязанных экономико-математических моделей и методов их реализации с учетом особенностей функционирования конкретных систем управления в условиях рыночной экономики.

В различных работах [43, 62] рассматриваются детерминированные модели зависимости цены, качества, количества произведенного товара от факторов, которые явно определяют покупательную активность потребителя и посредника. Но как показывают многочисленные исследования, эти факторы не всегда являются исчерпывающими, т.к. состояние экономической системы в начальный момент времени зависит не только от значений внешних параметров в этот момент времени, но и от динамики их изменения в прошлом.

Это обстоятельство побудило'выбрать в качестве модели функции продаж некоторый преобразователь гистерезисного типа, учитывающий предысторию изменений внешних параметров и, что еще более важно, инертность покупательского спроса.

В работах М.Е. Семенова [72, 73] предложена обобщенная модель гистерезисного преобразователя и построенная на ее основе гистерезисная функция спроса в условиях стационарного состояния потребительских отношений. Однако в экономической практике потребительские отношения претерпевают изменения, что связано с динамикой изменения свойств товарной продукции вследствие процессов старения и модернизации технологических производств. Учет нестационарности потребительских отношений приводит к изменению гистерезисной функции спроса, и как следствие, к необходимости нового решения задачи об оптимальном хранении и производстве продукции.

Также применение систем с гистерезисом при решении вышеизложенных задач, позволяет подойти к решению проблемы с принципиально новой стороны. При выборке из большого числа значений, функция возвращает нам значение, приближающееся к константе [39, 95, 97]. Таким образом, мы можем сделать вывод, что применение систем с гистерезисом дает возможность нахождения решения задач совокупного спроса и предложения, максимально приближенные к оптимальным.

Учет гистерезисных эффектов необходим и во многих других проблемах, поэтому применение гистерезиса в экономике можно считать перспективной задачей, которая требует дальнейшего развития и изучения.

Приведенные доводы обосновывают научную актуальность исследования и его практическую значимость.

Объектом исследования являются замкнутые экономические системы.

Предметом исследования являются математические модели производства, хранения и сбыта продукции.

Целью исследования разработка и анализ математических моделей процесса оптимального производства, хранения и сбыта продукции с гисте-резисной функцией спроса и в условиях конкуренции критериев.

Достижение указанной цели осуществлялось решением следующих задач:

- разработка математической модели функции спроса гистерезисного вида, учитывающая инертность потребительского спроса и предысторию экономических систем;

- разработка модели задачи оптимального производства, сбыта, хранения товара в условиях гистерезисной функции спроса и с участием посреднических организаций;

- разработка алгоритма решения соответствующих задач;

- численная апробация разработанных моделей и алгоритмов на модельных задачах.

В работе были использованы следующие методы исследования: операторная трактовка гистерезиса, метод математического моделирования сложных систем, качественная теория дифференциальных уравнений, теория управления, нелинейный анализ.

Достоверность результатов корректностью применяемого математического аппарата исследования сложных динамических систем; соответствием результатов вычислительных экспериментов реальным данным, а также актом о внедрении результатов работы на предприятии.

Научная новизна исследования заключается в следующих результатах:

- математическая модель функции спроса, основанная на операторах гистерезисного типа, отличающаяся от классических возможностью учета инертности и предыстории;

- методика решения задачи оптимального производства, хранения и сбыта продукции предприятия с участием посреднических организаций;

- методика решения одного класса многокритериальных динамических задач оптимального управления, являющихся, в том числе,,математической моделью задачи об оптимальном производстве, сбыте и хранении продукции предприятия с участием посреднических торговых организаций.

Теоретическая значимость работы:

- осуществлено обоснование применения операторов гистерезисного типа для различных задач экономического планирования;

- обоснована целесообразность использования посредника для многокритериальной задачи о производстве, хранении и сбыте продукции;

- построены алгоритмы решения соответствующей задачи численными методами.

Практическая ценность работы. В работе развита методика, позволяющая учитывать на этапе моделирования экономических систем и процессов такие их особенности как инертность, зависимость от предыстории и ряд других. Учет этих эффектов в моделях, позволяет существенно более адекватно, по сравнению с традиционными подходами, описывать динамические системы в экономике и, как следствие, открывает возможности для более достоверного экономического прогнозирования.

Второй практически важный аспект работы связан с моделями многокритериальных динамических экономических задач. Эти задачи имеют очевидную практическую значимость, поскольку большинство экономических систем оптимизируются по целому набору параметров. В работе предложена методика анализа таких систем, позволяющая находить оптимальные решения.

На защиту выносятся следующие новые научные результаты:

- модель функции потребительского спроса, учитывающая его инертность и предысторию, основанная на использовании операторов гисте-резисного типа;

- методика решения задач об оптимальном производстве, хранении и сбыте продукции в условиях гистерезисной функции спроса;

- методика решения многокритериальных задач оптимального управления являющихся математическими моделями задач об оптимальном производстве, хранении и сбыте продукции при участии посредника;

- численные алгоритмы решения соответствующих задач.

Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 7 печатных работ. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[7], список которых приведен в использованных источниках. Из них - 2 в изданиях, рекомендованных ВАК Минобразования РФ для публикации основных научных результатов диссертаций.

Личный вклад автора в работах, выполненных в соавторстве, составляют разработка многокритериальной математической модели процесса оптимального производства, хранения и сбыта продукции при участии посредника [51, 78], исследование моделей [79, 91].

Апробация работы. Основные результаты и положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах: «Обозрение прикладной и промышленной математики» (Москва, 2004); XIX Понтрягинские чтения (Воронеж, 2005); «Системы управления и информационные технологии» (Воронеж, 2006); «Обозрение прикладной и промышленной математики» (Москва, 2005); «Экономическое прогнозирование: модели и методы» (Воронеж ,2006); «Современные технологии в задачах управления, автоматики и обработки информации» (Алушта, 2007); «Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования» (Воронеж, 2007).

Реализация и внедрение результатов работы. Результаты диссертационного исследования использованы на предприятии, производящем однородную продукцию, что подтверждается актом о внедрении результатов диссертации в промышленных условиях.

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, приложения и списка использованных источников, включающего 103 наименования, изложена на 103 странице и включает 21 рисунок.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Бутова, Лилия Владиславовна

3.4 Выводы по главе 3

1 Сформулирована многокритериальная позиционная динамическая задача при неопределенности, для которой определены причины и различные траектории движения, начинающиеся в начальный момент времени в одном и том же состоянии. Для данной задачи дано определение оптимального по Парето решения.

2 Разработана математическая модель многокритериальной задачи о производстве, хранении и сбыте продукции предприятия при условии конкуренции критериев с учетом интересов посреднических торговых организаций.

3 Получено численное решение многокритериальной задачи о производстве, хранении и сбыте продукции предприятия.

4 При анализе полученного решения, выявили, что использование посредника для данной задачи является необходимым условиям для повышения прибыли предприятия. Это необходимость видна при перераспределением весового коэффициента а в сторону увеличения или уменьшения.

5 Исследована зависимость взвешенного функционала прибыли от параметра для многокритериальной задачи о производстве, хранении и сбыте продукции предприятия.

6 Получено условие опаимальности взвешенного критерия от параметра а для многокритериальной задачи о производстве, хранении и сбыте продукции предприятия.

7 Предложен численный алгоритм, позволяющий находить оптимальное решение задачи об оптимальном производстве, хранении и сбыте продукции предприятия при участии посреднических торговых организаций.

80

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В результате проведенного исследования решена многокритериальная задача о производстве, хранении и сбыте продукции предприятия, при участии посредника, которая адекватно учитывает конкуренцию критериев. В результате получили решение, которое дает оптимальный результат по всем выбранным критериям.

Достигнута цель исследования, заключающаяся разработке и анализе моделей процесса оптимального производства, хранения и сбыта продукции с гистерезисной функцией спроса и в условиях конкуренции критериев.

В ходе исследованиям проведен анализ известных математических моделей ценообразования, показано, что учет инертности потребительского спроса и изменения потребительских отношений в зависимости от времени требует новых подходов к синтезу математических моделей и нового анализа решения соответствующих задач.

На основе разработанной математической модели построен алгоритм решения задачи об оптимальном производстве, хранении и сбыте продукции в условиях гистерезисной функции спроса и нестационарности потребительских отношений. Получено решение задачи об оптимальном производстве, хранении и сбыте продукции в условиях гистерезисной функции спроса, которое определяет выбор рационального поведения производителя на рынке.

Разработана математическая модель задачи об оптимальном производстве, хранении и сбыте продукции предприятия с учетом интересов посреднических торговых организаций. Предложена методика и получено решение этих задач для набора модельных случаев. Исследованы свойства решений, проведен их сравнительный анализ. Проведена численная апробация алгоритмов и методов решения этих задач.

Вместе с тем, проведенное исследование не претендует на решение всех вопросов, связанных с математическим моделированием многокритериальных задач экономики. Так, к проблемам, являющимся предметом перспективного исследования, можно отнести:

- разработку математической модели процесса производства, хранения и сбыта продукции в условиях гистерезисной функции спроса для предприятия, производящего неоднородную продукцию;

- разработку математической модели многокритериальной задачи при производстве, хранении и сбыте продукции для предприятий, использующих заемный капитал.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Бутова, Лилия Владиславовна, 2009 год

1. Авен, О. И. Оценка качества и оптимизация вычислительных систем Текст. / О. И. Авен, Н. Н. Турин, А. Я. Коган. М. : Наука, 1982. - 464 с.

2. Авен, О. И. Управление вычислительным процессом в ЭВМ Текст. / О. И. Авен, А. Я. Коган. М. : Наука, 1978. - 240 с.

3. Айзерман, М. А. Абсолютная устойчивость регулируемых систем Текст. / М. А. Айзерман, Ф. Р. Гантмахер. М. : АН СССР, 1963.- 140 с.

4. Аксенов, И. Я. Единая транспортная система Текст. : учеб. для вузов/И. Я. Аксенов. -М. : Высш. шк., 1991. -383 с.

5. Ален, Р. Математическая экономия Текст. / Р. Ален. М. : Изд-во ин. лит., 1963. - 600 с.

6. Арнольд, В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения Текст. / В. И. Арнольд. М. : Наука, 1975. - 240 с.

7. Бахвалов, Н. С. Численные методы Текст. : в 2 т. / Н. С. Бахвалов. -М. : Наука, 1975. Т. 1. - 475 с.

8. Батищев, Д. И. Задачи и методы векторной оптимизации Текст. / Д. И. Батищев. Горький : Изд-во Горысов. гос. ун-та, 1979. - 215 с.

9. Боровков, А. А. Математическая статистика Текст. : учеб. пособие / А. А. Боровков. М. : Наука, 1984. - 472 с.

10. Боровков, А. А. Теория вероятностей Текст. / А. А. Боровков. М. : Наука, 1984.-248 с.

11. Бусленко, Н. П. Моделирование сложных систем Текст. / Н. П. Бусленко. М. : Наука, 1968. - 356 с.

12. Бусленко, Н. П. Лекции по теории сложных систем Текст. / Н. П. Бусленко, В. В. Калашников, И. Н. Коваленко. — М. : Сов. радио, 1973. -440 с.

13. Васильев, Ф. П. Численные методы решения экстремальных задач Текст. / Ф. П. Васильев. М. : Наука, 1981. - 384 с.

14. Вентцель, Е. С. Исследование операций Текст. / Е. С. Вентцель. -М. : Сов. радио, 1972. 551 с.

15. Вовк, А. А. Оценка эффективности транспортного производства и резервов ее роста Текст. / А. А. Вовк. М. : Крома, 2000. - 295 с.

16. Гиль, М. И. Операторные функции, дифференциальные уравнения и динамика систем Текст. / М. И. Гиль. М. : Наука, 1984. - 150 с.

17. Давние, В. В. Адаптивное прогнозирование: модели и методы Текст. / В. В. Давние. Воронеж : Изд-во Воронеж, гос. ун-та, 1997. - 196 с.

18. Демидович, Б. П. Основы вычислительной математики Текст. / Б. П. Демидович, И. А. Марон. — М. : Наука, 1966. 664 с.

19. Демьянов, В. Ф. Введение в минимакс Текст. / В. Ф. Демьянов,

20. B. Н. Малоземов. М. : Наука, 1972. - 368 с.

21. Долан, Э. Дж. Микроэкономика Текст. / Э. Дж. Долан, Д. Лин-дсей. СПб. : Наука, 1997. - 448 с.

22. Жак, С. В. Экономика для инженеров Текст. : учеб. пособие /

23. C. В. Жак. М. : Вуз. книга, 2004. - 261 с.

24. Заде, Л. Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию приближенных решений Текст. / Л. Заде. М. : Мир, 1976. -312 с.

25. Использование методов технического анализа при прогнозировании цен на рынке Текст. / М. Е. Семенов, Н. А. Алейникова, А. С. Свиридов,

26. И. Н. Шумлин // Математическое обеспечение ЭВМ : межвуз. сб. науч. тр. -Воронеж, 2002. Вып. 4. - С. 2-5.

27. Калиткин, Н. Н. Численные методы Текст. / Н. Н. Калиткин ; под ред. А. А. Самарского. М. : Наука, 1978. - 512 с.

28. Клейнрок, JI. Вычислительные системы с очередями Текст. / JI. Клейнрок. М. : Мир, 1979. - 560 с.

29. Клейнрок, JI. Теория массового обслуживания Текст. / JI. Клейнрок. -М. : Машиностроение, 1979. 432 с.

30. Колмогоров, А. Н. Функциональный анализ Текст. / А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. -М. : Наука, 1984. 752 с.

31. Колмогоров, А. Н. Элементы теории функции и функционального анализа Текст. / А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. М. : Наука, 1981. - 543 с.

32. Красносельский, М. А. Положительные решения операторных уравнений Текст. / М. А. Красносельский. М. : Физматгиз, 1962. - 394 с.

33. Красносельский, М. А. Оператор сдвига по траекториям обыкновенных дифференциальных уравнений Текст. / М. А. Красносельский. М. : Наука, 1966.-312 с.

34. Красносельский, М. А. Нелинейные почти периодические колебания Текст. / М. А. Красносельский, В. Ш. Бурд, Ю. С. Колесов. М. : Наука, 1970.-351 с.

35. Красносельский, М. А. Позитивные линейные системы Текст. / М. А. Красносельский, Е. А. Лившиц, А. В. Соболев. М. : Наука, 1985. - 255 с.

36. Красносельский, М. А. Системы с гистерезисом Текст. / М. А. Красносельский, А. В. Покровский. М. : Наука, 1983. - 271 с.

37. Краснощеков, П. С. Принципы построения моделей Текст. / П. С. Краснощеков, А. А. Петров. М. : Изд -во Моск. гос. ун-та, 1984. — 264 с.

38. Крылов, В. И. Вычислительные методы Текст. / В. И. Крылов, В. В. Бобков, П. И. Монастырный. М. : Наука, 1976. - 400 с.

39. Лебедев, В. В. Математическое моделирование социально-экономических процессов Текст. / В. В. Лебедев. М. : ИЗОГРАФ, 1997. -224 с.

40. Леонтьев, В. В. Межотраслевая экономика Текст. / В. В. Леонтьев. М. : Экономика, 1997. - 497 с.

41. Литвин, В. Г. Анализ производительности мультипрограммных ЭВМ Текст. / В. Г. Литвин, В. П. Аладышев, А. И. Винниченко. М. : Финансы и статистика, 1984. - 159 с.

42. Люстерник, Л. А. Элементы функционального анализа Текст. / Л. А. Люстерник, В. И. Соболев. М. : Наука, 1965. - 520 с.

43. Маленво, Э. Лекцшгпо макроэкономическому анализу Текст. / Э. Маленво ; под ред. К. А. Багриновского. М. : Наука, 1985. - 392 с.

44. Моисеев, Н. Н. Асимптотические методы нелинейной механики Текст. / Н. Н. Моисеев. 2-е изд., перераб. - М. : Наука, 1981. - 400 с.

45. Ляпунов, А. М. Общая задача об устойчивости движения Текст. / А. М. Ляпунов. М.: Гостехиздат, 1950. - 270 с.

46. Макконнелл, К. Р. Экономикс Текст. / К. Р. Макконнелл, С. А. Брю. М. : Республика, 1995. - 399 с.

47. Математическое моделирование Текст. / под ред. В. А. Садовниче-го [и др.]. М. : Изд-во Моск. гос. ун-та, 1993. - 224 с.

48. Математическое моделирование: процессы в сложных экономических и экологических системах Текст. / под ред. А. А. Самарского, Н. Н. Моисеева, А. А. Петрова. М. : Наука, 1986. - 196 с.

49. Математическое моделирование: методы описания и исследования сложных систем Текст. / под ред. А. А. Самарского, Н. Н. Моисеева, А. А. Петрова. М. : Наука, 1989. - 266 с.

50. Неймарк, И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний Текст. / И. Неймарк. М. : Наука, 1972. - 971 с.

51. Неймарк, Ю. И. О периодических режимах и устойчивости систем Текст. / Ю. И. Неймарк // Автоматика и телемеханика. 1953. - № 5. -С.220-221.

52. О резонансных свойствах одного уравнения Матье с гистерезисными нелинейностями Текст. / М. Е. Семенов, О. И. Канищева, А. Н. Гулин, В. Я. Макаревич // Обозрение прикладной и промышленной математики. -2006.- Т. 13, вып. 3.-С. 718-719.

53. Об оптимальном решении одного класса экономических задач Текст. / Д. Р. Лапыгин, В. И. Сумин, Т. В. Рудченко, Л. В. Кутепова // Обозрение прикладной и промышленной математики. — 2005. Т. 12, вып. З.-С. 670-671.

54. Параев, Ю. И. Решение задач об оптимальном производстве, хранении и сбыте товара Текст. / Ю. И, Параев // Изв. акад. наук. Теория и системы управления. 2000. - № 2. - С. 103-117.

55. Перов, А. И. О задаче Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений Текст. / А. И. Перов // Приближенные методы решения дифференциальных уравнений : сб. тр. Киев : Наук, думк., 1964. - Вып. 2. -С.115-134.

56. Петров, А. А. Опыт математического моделирования экономики Текст. / А. А. Петров, И. Г. Поспелов, А. А. Шананин. М. : Энергоатомиз-дат, 1996.-558 с.

57. Подиновский, В. В. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач Текст. / В. В. Подиновский, В. Д. Ногин. М. : Наука, 1982. — 360 с.

58. Покровский, А. В. Корректные решения уравнений с сильными не-линейностями Текст. / А. В. Покровский // Доклады АН. 1984. - Т. 274, № 5.-С. 1037-1040.

59. Покровский, А. В. Системы с сильными нелинейностями Текст. / А. В. Покровский // Математическая теория систем. 1990. - № 2. - С. 96-112.

60. Покровский, А. В. Устойчивые периодические режимы в системах с монотонными нелинейностями Текст. / А. В. Покровский, М. Е. Семенов // Автоматика и телемеханика. 1990. - № 2. - С. 31-37.

61. Пытьев, Ю. П. Математические методы анализа эксперимента Текст. / Ю. П. Пытьев. М. : Высш. школа, 1989. - 352 с.

62. Пытьев, Ю. П. Методы математического моделирования измерительно-вычислительных систем Текст. / Ю. П. Пытьев. — М. : Физматлит, 2002.-384 с.

63. Пятницкий, Е. С. Численные методы построения функций Ляпунова и критерии абсолютной устойчивости в форме численных процедур Текст. / Е. С. Пятницкий, В. И. Скородинский // Автоматика и телемеханика. 1983. -№ 11.-С. 52-61.

64. Розен, В. В. Цель оптимальность - решение: математические модели принятия оптимальных решений Текст. / В. В. Розен. - М. : Радио и связь, 1982.-210 с.

65. Российский статистический ежегодник Текст. : стат. сб. М. : Госкомстат России, 2002. - 621 с.

66. Рыночная экономика Текст. : учебник / под ред. В. Ф. Максимовой. М. : Наука, 1992. - Ч. 2. - 168 с.

67. Саати, Т. Принятие решений. Метод анализа иерархий Текст. / Т. Саати. М.: Радио и связь, 1993. - 327 с.

68. Самарский, А. А. Математическое моделирование Текст. / А. А. Самарский, А. П. Михайлов. - М. : Физматлит, 1997. - 320 с.

69. Самуэльсон, П. Экономика Текст. / П. Самуэльсон ; пер. с англ. под ред. А. В. Аникина, А. И. Шапиро, Р. М. Энтова. М. : Прогресс, 1964. -844 с.

70. Семенов, М. Е. Гистерезисные явления в экономических процессах Текст. / И. П. Половинкин, М. Е. Семенов // Моделирование экономических и социальных процессов : сб. науч. тр. М. : ИПСЭР, 2000. - С. 88-91.

71. Семенов, М. Е. Динамическая модель потребительского спроса Текст. / М. Г. Матвеев, С. Д. Наумов, М. Е. Семенов // Математическое обеспечение ЭВМ : межвуз. сб. науч. тр. Воронеж, 1999. - Вып. 4. - С. 3640.

72. Семенов, М. Е. Динамическая модель производственной системы Текст. / М. Е. Семенов, С. Д. Наумов // Понтрягинские чтения XIX : тез. докл. школы. Воронеж, 1999. - С. 141.

73. Семенов, М. Е. Математическое моделирование устойчивых периодических режимов в системах с гистерезисными нелинейностями Текст. / М. Е. Семенов. — Воронеж : Изд-во Воронеж, гос. ун-та, 2002. — 104 с.

74. Семенов, М. Е. Математическая модель рыночного равновесия в условиях гистерезисной функции спроса Текст. / М. Е. Семенов, А. В. Перова, JI. В. Кутепова // Обозрение прикладной и промышленной математики. -2004. Т. 11, вып. 4. - С. 864-865.

75. Семенов, Ml Е. Математическая модель функции продаж Текст. / М. Г. Матвеев, И. П: Половинкин, М. Е. Семенов // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2002 . - Т. 9, вып. 1 . - С. 419- 420.'

76. Семенов, М. Е. Об одной модели потребительского спроса Текст. / И. П. Половинкин, М. Е. Семенов // Моделирование экономических и социальных процессов : сб. науч. тр. М. : ИПСЭР, 2000. - С. 82-87.

77. Семенов, М. Е. О диссипативности одного класса систем с гистере-зисными нелинейностями Текст. / М. Е. Семенов, О. И. Канищева, М. Г. Матвеев // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2005. - Т. 12, вып. З.-С. 752-753.

78. Семенов, М. Е. Об оптимальном решении одного класса задач с гис-терезисными нелинейностями Текст. / М. Е. Семенов, Т. В. Рудченко, Л. В. Кутепова // Понтрягинские чтения XIX : тез. докл. школы. Воронеж, 2005. -С. 131-132.

79. Семенов, М. Е. Об устойчивости стационарного решения уравнения Пу Текст. / М. Е. Семенов, М. Г. Матвеев, Ю. Д. Щеглова // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2002 . - Т. 9, вып. 1 . - С. 436-437.

80. Семенов, М. Е. Оптимальная ценовая стратегия в задаче о производстве и сбыте товаров Текст. / М. Е. Семенов // Обозрение прикладной и промышленной математики. — 2002. — Т. 9, вып. 1. — С. 443- 447.

81. О резонансных свойствах одного уравнения Матье с гистерезисны-ми нелинейностями Текст. / М. Е. Семенов [и др.] // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2006. - Т. 13, вып. 3. — С. 718-719.

82. Семенов, М. Е. Устойчивые циклы в макроэкономической модели с гистерезисными нелинейностями Текст. / М. Е. Семенов, М. Г. Матвеев //

83. Системные проблемы качества математического моделирования и электронных технологий : сб. тез. докл. конф. — Сочи, 2003 . — Т. 6 . — С. 129.

84. Снапелев, Ю. М. Моделирование и управление в сложных системах Текст. / Ю. М. Снапелев, В. А. Старосельский. М. : Сов. радио, 1974. -264 с.

85. Соболь, И. М. Выбор оптимальных параметров в задачах со многими критериями Текст. / И. М. Соболь, Р. Б. Статников. М. : Наука, 1981. — 405 с.

86. Тихонов, А. Н. Методы решения некорректных задач Текст. / А. Н. Тихонов, В. Я. Арсенин. М. : Наука, 1979. - 285 с.

87. Трубников, Ю. В. Дифференциальные уравнения с монотонными нелинейностями Текст. / Ю. В. Трубников, А. И. Перов. — Минск : Наука и техника, 1986. 199 с.

88. Методы разработки интегрированных АСУ промышленными предприятиями Текст. / Г. М. Уланов [и др.] М. : Энергоатомиздат, 1983. - 220 с.

89. Устойчивые циклы в модели макроэкономики с гистерезисной функцией инвестиций Текст. / М. Е. Семенов [и др.] // Системы управления и информационные технологии 2008. № 1-2. - С. 259-264.

90. Феррари, Д. Оценка производительности вычислительных систем Текст. / Д. Феррари. М. : Мир, 1981.-576 с.

91. Филиппов, А. Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью Текст. / А. Ф. Филиппов. М. : Наука, 1985. - 224 с.

92. Хайман, Д. Н. Современная макроэкономика: анализ и применение Текст. / Д. Н. Хайман. М. : Наука, 1992. - 362 с.

93. Чуличков, А. И. Математические модели нелинейной динамики Текст. / А. И. Чуличков. М. : Физматлит, 2003. - 296 с.

94. Шананин, А. А. Об устойчивости Рыночных механизмов Текст. / А. А. Шананин // Математическое моделирование 1991. - Т. 3, № 2.-С. 42-62.

95. Шумпетер, И. Теория экономического развития Текст. / И. Шум-петер ; под ред. А. Г. Малейковского. М. : Прогресс, 1982. - 456 с.

96. Якубович, В. А. Частотные условия абсолютной устойчивости регулируемых систем с гистерезисной нелинейностью Текст. / В. А. Якубович // Доклады АН СССР. 1963. - Т. 149, № 2. - С.22-24.