Анализ и синтез дискретных систем с периодически изменяющимися коэффициентами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат технических наук Рюхин, Валентин Юрьевич

• Рюхин, Валентин Юрьевич
• кандидат технических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат технических наук Рюхин, Валентин Юрьевич

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение

1. Постановка задачи на исследование дискретных систем

с периодически изменяющимися коэффициентами

1.1. Особенности линейных дискретных систем с периодически изменяющимися коэффициентами

1.2. Исследование качества процессов. Установившаяся и

переходная составляющие

1.3. Устойчивость дискретных систем с периодически изменяющимися параметрами

1.4. Устойчивость линейных дискретных систем

с периодически изменяющимися коэффициентами

2. Проектирование статических регуляторов для дискретных систем

с периодически изменяющимися коэффициентами

2.1. Постановка задачи синтеза регуляторов для дискретных

систем с периодически изменяющимися коэффициентами

2.2. Синтез модальных управлений для дискретных систем

с периодически изменяющимися коэффициентами

2.3. Синтез оптимальных управлений для дискретных систем

с периодически изменяющимися коэффициентами на основе

метода Ляпунова

2.4. Синтез регулятора со встроенной моделью внешних воздействий для дискретных систем с периодически изменяющимися коэффициентами

3. Синтез динамических регуляторов для дискретных систем

с периодически изменяющимися коэффициентами

3.1. Устройство оценки состояний полной размерности для дискретных систем с периодически изменяющимися коэффициентами с неполной информацией

3.2. Устройство оценки состояний пониженной размерности для дискретных систем с периодически изменяющимися коэффициентами с неполной информацией

3.3. Синтез динамического регулятора для дискретной системы

с периодически изменяющимися коэффициентами с устройством оценки полной размерности

3.4. Синтез динамического регулятора для дискретной системы

с периодически изменяющимися коэффициентами с устройством оценки пониженной размерности

3.5. Синтез дифференциальных регуляторов для дискретных систем

с периодически изменяющимися коэффициентами

4. Синтез регуляторов для систем пространственного слежения

4.1. Обзор принципов построения систем пространственного

слежения

4.2. Математическая модель следящей локационной станции

с коническим сканированием

4.3. Синтез регуляторов для следящей локационной станции

с коническим сканированием

Заключение

Литература

Приложение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Анализ и синтез дискретных систем с периодически изменяющимися коэффициентами»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы. Возросшие требования к улучшению качественных характеристик систем автоматического управления приводят разработчиков к необходимости более точного описания исходного объекта, а также самой системы автоматического управления. При этом разработчики часто сталкиваются с ситуацией, что рассматриваемая система является нестационарной. Существующий математический аппарат для исследования нестационарных систем в ряде случаев не достаточен для решения практических задач.

К примеру, с увеличением требований к точности измерения угловых координат движущихся объектов в импульсной локации возникает проблема обеспечения высокого качества процессов в следящих угломерных системах. В режиме захвата следящая система по углам места и азимута должна обеспечить заданное время переходного процесса с минимальным перерегулированием, а в режиме сопровождения цели— надёжное, без срывов, слежение с минимальными ошибками. Одним из направлений обеспечения высокого качества в следящих локаторах с коническим сканированием является учёт процессов, происходящих внутри посылок облучающих импульсов, что особенно актуально для систем с редкими посылками за период сканирования. Математическая модель угломерной системы в этом случае сводится к системе разностных матричных уравнений с периодически изменяющимися коэффициентами. В данном случае под периодическими изменениями коэффициентов понимается повторяемость коэффициентов через постоянный интервал периодичности, а также и сами коэффициенты могут изменяться по периодическому закону.

В современной литературе значительное внимание уделено изучению нестационарных непрерывных систем с периодически изменяющимися ко-

эффициентами [4, 25, 28, 48, 50-53, 57, 58, 61, 62, 64, 67, 71-76, 79, 81]. В меньшей степени встречаются исследования, касающиеся нестационарных дискретных систем с периодически изменяющимися коэффициентами [12, 13, 18, 24, 27, 36, 41, 49, 70]. В данной работе разрабатываются вопросы, связанные с анализом качества и синтезом регуляторов для линейных нестационарных дискретных систем с периодически изменяющимися коэффициентами.

С точки зрения теории управления системы с периодически изменяющимися коэффициентами являются нестационарными системами. Это обуславливает трудности, возникающие при построении процедур анализа качества процессов и синтеза регуляторов для такого рода систем.

В данной работе будет использоваться подход, который позволяет свести исследование нестационарной линейной дискретной системы с периодически изменяющимися коэффициентами к изучению стационарной системы, путём рассмотрения поведения исходной системы через интервал периодичности. Очевидным достоинством такого подхода является тот факт, что он позволит воспользоваться всем многообразием методов, которые используются при анализе качества и синтезе регуляторов для линейных стационарных систем.

В теории линейных стационарных систем одним из методов анализа качества процессов является методика выделения переходной и установившейся составляющей процессов, развитая в работах Григорьева В.В. [17, 19, 63]. Переходная составляющая определяет динамические показатели системы, а установившаяся— точностные показатели системы в установившемся режиме. Другой подход к анализу качества процессов основан на методах исследования устойчивости Ляпунова А.М. [44], Барбашина Е.А. [7,8], Матро-сова В.М. [46, 66], Зубова В.И. [31], Фурасова В.Д. [69], Руша Н. [59].

В основе современной теории линейных систем автоматического управления лежит метод пространства состояний. Среди различных направ-

лений проектирования регуляторов, использующих данный метод, наибольшей популярностью пользуются две. Первая из них связана с методами модального управления, широко представленного в работах Андреева Ю.Н. [4], Кузовкова Н.Т. [40]. Метод модального управления позволяет обеспечить в замкнутой системе заранее выбранное распределение корней характеристического полинома. Другое направление связано с использованием методов оптимизации системы, развитое в работах Летова A.M. [42], Красовского A.A. [37], Красовского H.H. [38], Брайсона А. [11], Дегтярёва Г.Л. [29], Воронова A.A. [15], Атанса М. [6]. В основе методов оптимизации систем лежит сведение к минимуму некоторого функционала, характеризующего качество системы.

Целью диссертационной работы является модификация процедур анализа и синтеза, используемых при исследовании дискретных линейных стационарных систем, для их последующего использования в процедурах анализа и синтеза линейных нестационарных дискретных систем с периодически изменяющимися коэффициентами.

Для достижения поставленной цели решены следующие задачи:

1. Анализ качества-процессов в дискретных системах с периодически изменяющимися коэффициентами на основе выделения переходной и установившейся составляющих переходного процесса;

2. Оценка качества процессов в дискретных системах с периодически изменяющимися коэффициентами на основе понятия экспоненциальной устойчивости;

3. Синтез регуляторов для дискретных систем с периодически изменяющимися коэффициентами на основе метода модального управления;

4. Синтез регуляторов для дискретных систем с периодически изменяющимися коэффициентами на основе метода локальной оптимизации.

Основные научные результаты.

1. Модифицированные алгоритмы выделения переходной и установившейся составляющих процессов в дискретных системах с периодически изменяющимися коэффициентами;

2. Достаточные локальные условия экспоненциальной устойчивости дискретных систем с периодически изменяющимися коэффициентами на каждом шаге внутри интервала периодичности и достаточные интегральные условия экспоненциальной устойчивости дискретных систем с периодически изменяющимися коэффициентами через интервал периодичности

3. Модифицированное уравнение типа Ляпунова, как критерий экспоненциальной устойчивости дискретных систем с периодически изменяющимися коэффициентами;

4. Модифицированный метод модального управления для синтеза регуляторов для дискретных систем с периодически изменяющимися коэффициентами;

5. Алгоритмы синтеза статических и динамических регуляторов для дискретных систем с периодически изменяющимися коэффициентами на основе полученных модификаций методов синтеза.

6. Технология и алгоритмическое обеспечение проектирования регуляторов для угломерного тракта следящих локационных станций с коническим сканированием с малым числом посылок облучающих импульсов на оборот сканирования, описание которых сводится к модели дискретной системы с периодически изменяющимися коэффициентами.

Новизна научных результатов.

1. На основе достаточных интегральных условий экспоненциальной устойчивости получено новое модифицированное уравнение типа Ляпунова, которое позволяет задать ограничение быстродействия процессов в дискрет-

ных системах с периодически изменяющимися коэффициентами через интервал периодичности, путём введения параметра обобщённой скорости сходимости траекторий движения системы к положению равновесия;

2. Разработана новая модификация метода локальной оптимизации, заключающаяся в решение на каждом шаге внутри интервала периодичности системы модифицированных уравнений типа Риккати или системы модифицированных уравнений типа Ляпунова, относительно к (где к— интервал периодичности) матриц линейных обратных связей, обеспечивающих желаемые динамические свойства в дискретной системе с периодически изменяющимися коэффициентами через интервал периодичности, которые задаются с помощью величины обобщённой скорости сходимости траекторий движения к положению равновесия;

3. Разработана новая модификация метода модального управления, заключающаяся в решении к уравнений типа Сильвестра на каждом шаге внутри интервала периодичности, с последующим нахождением к матриц линейных обратных связей, обеспечивающих желаемые динамические свойства в дискретной системе с периодически изменяющимися коэффициентами через интервал периодичности.

Практическая ценность. Результаты диссертационной работы могут быть использованы при исследовании линейных нестационарных систем автоматического управления, в принципах работы которых заложена периодичность. В ходе работы на базе пакета прикладных программ МАТЬАВ разработан пакет "11еди1а1;ог_М", предназначенный для проектирования регуляторов и анализа качества процессов в дискретных системах с периодически изменяющимися коэффициентами, в дискретных стохастических системах и, в частном случае, в линейных стационарных системах.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ НА ИССЛЕДОВАНИЕ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ С ПЕРИОДИЧЕСКИ ИЗМЕНЯЮЩИМИСЯ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

При исследовании систем автоматического управления (САУ) важной составляющей процедуры является анализ качества процессов [26]. Типовой набор показателей качества САУ включает показатели качества процессов, характеризующие переходные режимы, и показатели точности, характеризующие установившиеся режимы [19]. К переходным режимам предъявляются требования по времени переходного процесса и перерегулирования, которые должны быть минимальными. К установившимся режимам предъявляется требование по величине ошибки отработки системой внешнего воздействия, которая в идеале должна стремиться к нулю. Если после проведённых исследований становится ясным, что система не удовлетворяет заданным показателям качества, перед проектировщиком встаёт задача обеспечить выполнение системой этих требований.

Другим важным свойством системы является устойчивость, которая представляет собой необходимое условие работоспособности [9}. Из теории линейных дискретных стационарных систем известно, что для того чтобы замкнутая система была устойчива, её корни должны располагаться в круге единичного радиуса [32]. Существует множество критериев определения устойчивости систем [9, 15, 20, 30]. В данной работе будет использоваться прямой метод Ляпунова, позволяющий определить асимптотическую устойчивость системы [44]. Также будут представлены понятия экспоненциальной и качественной экспоненциальной устойчивости, которые накладывают дополнительные требования на устойчивость системы, повышая при этом её качественные показатели [35].

В работе [4] при исследовании линейных непрерывных систем с периодически изменяющимися коэффициентами, показано, что такую нестационарную систему при помощи преобразования Ляпунова можно свести к линейной стационарной. Сведение нестационарной системы к стационарной позволяет воспользоваться всем многообразием методов, используемых при анализе устойчивости и качества стационарных систем.

Логичным будет применить подобный подход для исследования линейных дискретных систем с периодически изменяющимися коэффициентами. В случае дискретных систем, вместо использования преобразования Ляпунова, исследование нестационарной дискретной системы с периодически изменяющимися коэффициентами сводится к изучению поведения системы через интервал периодичности. Через интервал периодичности дискретная система с периодически изменяющимися коэффициентами не является системой с периодически изменяющимися коэффициентами и становится стационарной, что облегчает проведение процедур анализа и синтеза таких систем.

1.1 Особенности линейных дискретных систем с периодически

Рассмотрим уравнение, описывающее модель замкнутой линейной дискретной системы с периодически изменяющимися коэффициентами:

изменяющимися коэффициентами

(1.1)

где х— вектор состояния системы, хей"; — вектор начальных состояний; у—вектор регулируемых величин, уеЯ1; т= 0, 1, 2, ...— дискретные

моменты времени; к— интервал периодичности; /=0, 1, ..., (к-1)— номер временного шага системы внутри интервала периодичности; — ^-периодическая матрица описания замкнутой системы на (г+1)-ом шаге внутри интервала периодичности, размерностью п х п; С,+1— ^-периодическая матрица выхода на (/+1)-ом шаге внутри интервала периодичности, размерностью I хп.

Определение 1.1 Под ^-периодической матрицей мы будем понимать такую матрицу, для которой выполняется условие, что через интервал периодичности к матрица будет иметь такое же значение, как и на текущем шаге внутри интервала периодичности, т.е. Р^и = Р] для любого } .

Замечание 1.1 В дальнейшем мы будем называть ^-периодическую матрицу просто периодической, так как в контексте решаемых в работе задач все ^-периодические матрицы будут иметь один и тот же интервал периодичности равный к.

Исходная система (1.1) является линейной нестационарной, что определяет сложность проведения процедур анализа и синтеза таких систем, так как на каждом шаге внутри интервала периодичности мы каждый раз сталкиваемся с различными матрицами описания. Периодичность, в соответствии с определением 1.1, подразумевает под собой не закон изменения коэффициентов матриц описания системы, а то, что через интервал периодичности матрицы описания системы начинают повторяться. Попробуем свести описание линейной нестационарной системы к стационарной, рассмотрев поведение траекторий движения системы (1.1) через интервал периодичности. Для этого запишем уравнения движения системы (1.1) на каждом шаге внутри интервала периодичности при двух значениях дискретных моментов времени т=0 и

момент времени т=0

х(1) = ^х(0);

х(2) = ^х(1) = ,ВДх(0);

х(к -1) = Рк_хх(к - 2) = х(к) = Ркх(к -1) =

(1.2)

момент времени »2=1

х(к +1) = Рхх(к) = i71FA;FA:_1FЛ:_2...

х(к + 2) = ^2х(& +1) = ... -Р3х(2);

х(2£ -1) = Рк^х(2к - 2) = - 1);

х(2&) = Ркх(2к -1) = ..Р2Р1х(к);

(1.3)

Анализ систем уравнений (1.2) и (1.3) показывает, что, в общем виде, через интервал периодичности уравнения движения системы (1.1) принимают вид:

х[(тк +г) + к) = ^+1х(тк + /); х(/);

у(тк + /) = С/+1х(ти& + /), / = 0,(& -1);

(1.4)

к+1

где = П ^+2/+1_у — периодическая обобщённая матрица описания

(г+1)-го уравнения движения замкнутой системы через интервал периодичности; х(/)— вектор обобщённых начальных состояний (/+1)-го уравнения

движения замкнутой системы через интервал периодичности, который вычисляется следующим образом:

XI

при / = О

_

при I = \,{к -1).

(1.5)

При выборе любых начальных значений л:(0) система (1.1) через интервал периодичности к не является системой с периодически изменяющимися коэффициентами и её описание представляет собой совокупность линейных стационарных уравнений, число которых равно значению интервала периодичности к. Следовательно, через интервал периодичности, линейную дискретную систему с периодически изменяющимися коэффициентами можно рассматривать как линейную стационарную дискретную систему [24, 60, 80]. Главное достоинство такого подхода состоит в том, что мы можем свести исследование нестационарной системы к рассмотрению стационарной. Недостатком этого подхода является тот факт, что мы вынуждены рассматривать к линейных стационарных уравнений.

Из литературы известно [32, 63], что линейная стационарная дискретная система будет устойчива, если корни матрицы замкнутой системы находятся внутри единичного круга. По аналогии следует, что система (1.4) будет устойчива, если собственные числа матриц г = 0,(к -1), будут находиться внутри единичного круга.

Следовательно, при синтезе дискретных систем с периодически изменяющимися коэффициентами важно обеспечить устойчивость системы не на каждом шаге внутри интервала периодичности, а через интервал периодичности. Таким образом, для того чтобы дискретная система с периодически изменяющимися коэффициентами была устойчива, собственные числа всех к матриц описания уравнений движения замкнутой системы через интервал периодичности должны находится в круге единичного радиуса.

Рассмотрим примеры, иллюстрирующие процессы движения в замкнутой дискретной системе с периодически изменяющимися коэффициентами. Для упрощения вычислений значения вектора состояния сформулируем утверждение.

Утверждение 1.1 Для любого дискретного момента времени т и для

любого номера шага / = 0,(к -1), внутри интервала периодичности, значение вектора состояния системы (1.1) удовлетворяет соотношению:

х(тк + /') = I = 0,(к -1).

(1.6)

Доказательство Утверждения 1.1 смотри в Приложении. Пример 1

Пусть исходная система (1.1) имеет интервал периодичности к=2 и пе-

V

риодические матрицы описания замкнутой системы имеют вид:

0,75 2 " 0 0,75

К

0,15 4 0 0,15

х

(о)=

СГС2=[ 1 0].

Периодические обобщённые матрицы описания уравнений движения замкнутой системы через интервал периодичности будут иметь вид:

Д =

0,1125 3,3 0 0,1125

Р2 =

0,1125 3,3 0 0,1125

<0) =

<1) =

0,75' 0

График переходного процесса, который соответствует такой системе, приведён на рис. 1.1. Пример 2.

Пусть исходная система (1.1) имеет интервал периодичности к=2 и периодические матрицы описания замкнутой системы имеют вид:

1,5 2' 0 1,5

?2 =

Заключение диссертации по теме «Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)», Рюхин, Валентин Юрьевич

Основные результаты диссертации заключаются в следующем:

1. Исследование нестационарной дискретной системы с периодически изменяющимися коэффициентами сводится к рассмотрению стационарной системы, путём изучения поведения исходной системы через интервал периодичности, описываемой линейными стационарными уравнениями, число которых равно величине интервала периодичности к;

2. Для анализа точностных и динамических показателей качества получен алгоритм вычисления установившейся и переходной составляющей процессов в дискретных системах с периодически изменяющимися коэффициентами, на основе решения к модифицированных уравнений тала Сильвестра;

3. Получены достаточные локальные условия экспоненциальной устойчивости на каждом шаге внутри интервала периодичности и достаточные интегральные условия экспоненциальной устойчивости через интервал периодичности дискретных систем с периодически изменяющимися коэффициентами, которые вводят понятие обобщённой скорости сходимости траекторий движения к положению равновесия. На основе достаточных интегральных условий получено модифицированное уравнение типа Ляпунова, как критерий экспоненциальной устойчивости дискретных систем с периодически изменяющимися коэффициентами;

4. Получены модификации методов модального и оптимального управлений, позволяющие для дискретных систем с периодически изменяющимися коэффициентами синтезировать регуляторы по заданным динамическим показателям качества;

5. На основе модифицированных методов модального и оптимального управлений получен алгоритм синтеза регулятора со встроенной моделью внешних воздействий, обеспечивающего в установившемся режиме в замкнутой дискретной системе с периодически изменяющимися коэффициентами нулевую ошибку в установившемся режиме для заданного класса внешних воздействий;

6. Для дискретных систем с периодически изменяющимися коэффициентами с неполной информацией получены алгоритмы синтеза устройств оценки полной и пониженной размерности, которые на основе вектора измеряемых переменных и вектора управлений вырабатывают оценки недоступных для измерения компонент вектора состояния;

7. Получены алгоритмы синтеза динамических регуляторов с устройствами оценки, которые позволяют обеспечить требуемые динамические показатели качества в замкнутой дискретной системе с периодически изменяющимися коэффициентами с неполной информацией;

8. Получена математическая модель следящей локационной станции с коническим сканированием, которая при малом числе посылок импульсов на оборот сканирования имеет вид дискретной системы с периодически изменяющимися коэффициентами;

9. Получена алгоритмическое обеспечение и технология проектирования регуляторов для угломерного тракта следящих локационных станций с коническим сканированием с малым числом посылок облучающих импульсов на оборот сканирования, модель которых имеет вид дискретной системы с периодически изменяющимися коэффициентами.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации проведено исследование нестационарных линейных дискретных систем с периодически изменяющимися коэффициентами, с целью получения процедур анализа и синтеза такого рода систем, на основе модификации методов, используемых в теории линейных стационарных системам.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Рюхин, Валентин Юрьевич, 1999 год

ЛИТЕРАТУРА

1. Абдуллаев Н.Д., Петров Ю.П. Теория и методы проектирования оптимальных регуляторов.— Л.: Энергоатомиздат, Ленингр. отд-ние, 1985.— 240 с.

2. Айзерман М.А., Гантмахер Ф.Г. Абсолютная устойчивость регулируемых систем.— М.: Изд-во АН СССР, 1963.— 140 с.

3. Александров А.Г., Хлебалин H.A. Аналитический синтез регуляторов при неполной информации о параметрах объекта управления // Аналитические методы синтеза регуляторов: Межвузовский сборник.— Саратов, СПИ, 1981,—вып.5,—с.138-147.

4. Андреев Ю Н. Управление конечномерными линейными объектами,—М.: Наука, 1976,—424 с.

5. Артамонов В.М. Следящие системы радиолокационных станций автоматического сопровождения и управления.— Л.: Судостроение, 1969.— 488 с.

6. Атанс М., Фалб. П. Оптимальное управление.— М.: Энергия, 1968.— 764 с. '

7. Барбашин Е.А. Функции Ляпунова.— М.: Наука, 1970.— 240 с.

8. Барбашин Е.А., Красовский H.H. Об устойчивости движения в целом // Докл. АН СССР,— 1952,— 86, №3,— с. 453-456.

9. Бесекерский В.А., Попов Е.И. Теория систем автоматического регулирования.— М.: Наука, 1975.— 767 с.

10. Богачёв A.B., Григорьев В.В., Дроздов В.Н., Коровьяков А.Н. Аналитическое конструирование регуляторов по корневым показателям качества // Автоматика и Телемеханика.— 1979.— №8.— с. 21-28.

11. Брайсон А., Хо-Ю-Ши. Прикладная теория оптимального управления,— М.: Мир, 1972.— 544 с.

12.Бушу ев А.Б., В.В. Григорьев, Литвинов Ю.Н. Автоматизированное проектирование дискретных регуляторов для нестационарных технологических процессов // III ВС по автоматизации проектирования систем автоматического и автоматизированного управления технологическими процессами / Тезисы докладов.— М., 1981.— с. 81-83.

13. Бушуев А.Б., В.В. Григорьев, Литвинов Ю.Н. Синтез управлений по заданным оценкам качества для дискретных систем с изменяющимися параметрами // Автоматика и Телемеханика.— 1984.— №11.— с. 10-18.

14. Бушуев А.Б., Григорьев В.В., Ткаченко В.Р. Модель оптико-электронного устройства // Координатно-чувствительные фотоприёмники и оптико-электронные устройства на их основе: IV Всесоюзное совещание (тезисы докладов), часть 1.— Барнаул, 1987.— с.91-92.

15. Воронов A.A. Устойчивость, управляемость, наблюдаемость.— М.: Наука, 1979,—335 с.

16. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц.— М.: Наука, 1966.— 576с.

17. Голубев К.П., Григорьев В.В., Дроздов В.Н. Алгоритмы определения вынужденных движений в линейных многомерных дискретных системах // Автоматика и Телемеханика.— 1985.— №10.— с. 83-89.

18. Григорьев В.В., Бушуев А.Б., Ткаченко В.Р. Синтез периодических законов управления в интервалах дискретности измерения // Синтез алгоритмов сложных систем: Междуведомственный научно-технический сборник.— Таганрог, 1989,—Вып. 7,—с. 39-44.

19. Григорьев В.В., Коровьяков А.Н. Алгоритмы вычисления установившихся ошибок многомерных линейных систем управления // Автоматика и Телемеханика, 1980.— №3.— с. 13-19.

20. Григорьев В.В., Коровьяков А.Н., Мансурова O.K., Ушаков A.B. Об устойчивости двумерных систем при изменении параметра общего тракта // Анализ и синтез высококачественных систем управления: Межвузовский сборник,— Фрунзе, ФПИ, 1977,—Вып. 103,—с. 182-189.

21. Григорьев В.В., Коровьяков А.Н., Ушаков A.B. Алгоритм определения областей захвата фотоэлектрических систем управления // Изв. вузов, Приборостроение.— 1979.— №4.— с. 25-29.

22. Григорьев В.В., Коровьяков А.Н., Ушаков A.B. Исследование захвата подвижного объекта системой ориентации и стабилизации // Изв. вузов, Приборостроение.— 1980.— №8.— с. 18-21.

23. Григорьев В.В., Мансурова O.K., Ушаков A.B. Синтез и анализ многомерных систем с использованием метода модального управления // П ВНТС Автоматизация проектирования систем автоматического и автоматизированного управления: Тезисы докладов.— Челябинск,. 1978,— с. 171.

24. Григорьев В.В., Ткаченко В.Р., Бупгуев А.Б. Синтез модальных управлений для систем с периодическими коэффициентами // Управление в оптических и электромеханических системах: Межинститутский сборник.— Л.: ЛИТМО, 1989,— с. 40-44.

25. Григорьев В.В. Синтез систем управления с изменяющимися параметрами // Автоматика и Телемеханика.— 1983.— №2.— с. 64-70.

26. Григорьев В.В. Адаптация к изменению параметров при синтезе систем по заданным оценкам качества // VIII симпозиум по проблеме избыточности в информационных системах: Тезисы докладов, Часть 3.— Л., 1983,—с. 43-45.

27. Григорьев В.В. Синтез управлений по заданным оценкам качества для дискретных систем с изменяющимися параметрами // V Всесоюзная конференция по управлению в механических системах: Тезисы докладов.— Казань, 1985,— с.89.

28. Горелик В.Ю. Анализ периодически нестационарных систем с помощью преобразования Лапласа // Автоматика и Телемеханика.— 1990.— №11.— с. 171-175.

29. Дегтярёв Г.Л. Синтез оптимального управления в системах с распределёнными параметрами при локальном критерии качества // Проблемы устойчивости движения, аналитической механики и управления движением.— Новосибирск: Наука.— 1979.— с. 297-305.

30. Загашвили Ю.В., Волков А.Н. Уточнение достаточных условий расположения корней характеристических многочленов в заданном секторе // Изв. ВУЗ. Электромеханика — 1996,—№5-6,— с. 71-73.

31. Зубов В.И. Теория оптимального управления.— Л.: Судпромгаз, 1966,—352 с.

32. Иванов В.А. Ющенко A.C. Теория дискретных систем автоматического управления.^— М.: Наука, 1983.— 336 с.

33. Катыс Г.П. Восприятие и анализ оптической информации автоматической системой.— М.: Машиностроение, 1986.— 416 с.

34. Катыс Г.П. Оптико-электронная обработка информации.— М.: Машиностроение, 1973.— 448 с.

35. Качественная экспоненциальная устойчивость дискретных систем / Бойков В.И., Григорьев В.В., Коровьяков А.Н., Михайлов C.B., Рюхин В.Ю., Мансурова O.K. // Приборостроение, 1998.— №7.— с. 5-8.

36. Корноушенко Е.К. Восстановление скалярного сигнала на входе дискретной линейной нестационарной системы // Автоматика и Телемеханика, 1991,— №6,— с. 40-51.

37. Красовский A.A., Буков В.Н., Шендрик B.C. Универсальные алгоритмы оптимального управления непрерывными процессами.— М.: Наука, 1977,—272 с.

38. Красовский H.H. Теория управления движением.— М.: Наука, 1968,—476 с.

39. Криксунов JI.3. Справочник по основам инфракрасной техники. — М.: Сов. радио, 1978,—400 с.

40. Кузовков Н.Т. Модальное управление и наблюдающие устройства. М.: Машиностроение, 1976.— 184 с.

41. Кунцевич В.М. Оптимальное управление дискретными системами с неизвестными нестационарными параметрами // Автоматика и Телемеханика,— 1980,— №2,— с. 79-88.

*

42. Летов A.M. Аналитическое конструирование регуляторов. I-IV. // Автоматика и Телемеханика.— 1960.— т.21, №4, с. 406-411, №5, с. 561-568, №6, с. 662-665, т. 22, №4, с. 325-435,1962.—т. 23,—№11— с. 1405-1413.

43. Лозгачёв Г.И. Синтез модальных регуляторов по передаточной функции замкнутой системы // Автоматика и Телемеханика.— 1995.— №5.— с. 49-55.

44. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения.— М.: Л., 1950,—472 с.

45. Малашин М.С., Каминский Р.П., Борисов Ю.Б. Основы проектирования лазерных локационных систем: Учеб. пособие для радиотехн. спец. вузов.— М.: Высш. школа, 1983.— 207 с.

46. Матросов В.М. Развитие метода функций Ляпунова в теории устойчивости. // Труды II Всесоюзного съезда по теоретической и прикладной механике.— М.: Наука, 1965.— вып. 1.— с. 112-125.

47. Молебный В.В. Оптико-локационные системы.— М.: Машиностроение, 1981.— 181с.

48. Молчанов А.П., Морозов М.В. Абсолютная устойчивость нелинейных нестационарных систем управления с периодической линейной частью // Автоматика и Телемеханика.— 1992.— №2.— 49-59.

49. Молчанов А.П., Морозов М.В. Робастная абсолютная устойчивость нестационарных дискретных систем управления с периодическими ограничениями // Автоматика и Телемеханика.— 1995.— №10.— с.93-100.

50. Молчанов А.П., Морозов М.В. Функции Ляпунова для нелинейных нестационарных дискретных систем управления с периодической линейной частью // Автоматика и Телемеханика.— 1992.— №10.— с.37-45.

51. Морозов М.В. Алгоритм анализа устойчивости линейных периодических систем и его реализация на ЭВМ // Автоматика и Телемеханика.— 1990 —№4:—с. 27-35.

52. Морозов М.В. Об эквивалентности двух определений абсолютной устойчивости нелинейных нестационарных систем управления с периодической линейной частью // Автоматика и Телемеханика.— 1992.— №8.— с. 4653.

53. Морозов М.В. Построение функций Ляпунова для линейных периодических систем // Динамика нелинейных процессов управления / Всесоюз. семинар, Таллин, сент., 1987 г.: Тез. Докл.-М.,1987.— с.21.

54. Николаев П.В., Сабинин Ю.А. Фотоэлектрические следящие системы,— Л.: Энергия, 1969,— 136 с.

55. Подчукаев В.А. Оптимальное модальное управление и наблюдение // Автоматика и Телемеханика.— 1983.— №8.— с. 49-54.

56. Проектирование регуляторов для систем с периодически изменяющимися коэффициентами / Бушуев А.Б., Григорьев В.В., Котельников Ю.П., Михайлов С.В., Рюхин В.Ю., Черноусов В.В. // Приборостроение.— 1998.— №7,—с. 19-22.

57. Пятницкий Е.С., Рапопорт Л.Б. Существование периодических движений и критерии абсолютной устойчивости нелинейных нестационарных систем в трёхмерном случае // Автоматика и Телемеханика.— 1991.— №5.— с. 68-79.

58. Пятницкий Е.С., Рапопорт Л.Б. Периодические движения и критерии абсолютной устойчивости нелинейных нестационарных систем // Автоматика и Телемеханика.— 1991.— №10.— с. 63-69.

59. Руш Н., Абетс П., Лалуа М. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости.— М.: Мир, 1980.— 300 с.

60. Рюхин В.Ю. Особенности исследования дискретных систем с периодически изменяющимися коэффициентами // XXX научно-техническая конференция профессорско-преподавательского состава 25-28 января 1999 г.: Тезисы докладов.— СПб: ИТМО (ТУ), 1999,— с. 68.

61. Савкин A.B. Критерий абсолютной устойчивости нелинейных систем управления с периодически нестационарной линейной частью // Автоматика и Телемеханика.— 1990.— №8.— с. 50-55.

62. Савкин A.B. Частотные критерии устойчивости и неустойчивости линейных периодических систем // Дифференц. Уравнения.— 1989.— №8.— с. 1332-1339.

63. Синтез дискретных регуляторов при помощи ЭВМ/ В.В. Григорьев, В.Н. Дроздов, В.В. Лаврентьев, A.B. Ушаков— Л: Машиностроение, Ленингр. отделение, 1983.— 245 с.

64. Смагина Е.М. Синтез нестационарных линейньк систем с заданными динамическими характеристиками // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика,— 1977.— №6.— с. 172-179.

65. Ткаченко В.Р., Дёмин A.B. Математическая модель пеленгационной системы с редкими посылками // Управление в оптических и электромеханических системах: Межинститутский сборник.— Л.: ЛИТМО, 1989.— с. 88-93.

66. Устойчивость движения / Под ред. В.М. Матросова.— Новосибирск: Наука, 1985,—285 с.

67. Уткин В.И. Системы с переменной структурой: состояние проблемы, перспективы // Автоматика и Телемеханика, 1983.— №9.— с. 5-25.

68. Филимонов А.Б., Филимонов Н.Б. Модальное управление многомерными объектами // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика.— 1985.— №2,— с. 130-142.

69. Фурасов В.Д. Устойчивость и стабилизация дискретных процессов,—М.: Наука, 1982,— 192 с.

70. Цыпкин Я.З. Новые классы дискретных периодических систем управления // Автоматика и Телемеханика, 1994.—1 №12,— с. 76-92.

71. Шильман С.В. Об абсолютной устойчивости нелинейных регулируемых систем с периодически меняющимися параметрами // Изв. Вузов. Сер. Радиофиз,— 1965,— т.8.— №5.— с. 1016-1029.

72. Юмагулов М.А. Приближённое исследование малых периодических колебаний систем автоматического регулирования // Автоматика и Телемеханика, 1993.—№3.—с. 101-108.

73. Якубович В.А. Абсолютная устойчивость нелинейных систем с периодически нестационарной линейной частью // Докл. АН СССР.— 1988.— т. 298,— №2.— с.299-303.

74. Якубович В.А. Линейно-квадратичная задача оптимизации и частотная теорема для периодических систем // Сиб. мат. журн.— 1986,— т. 27.—№4,—с. 181-200.

75. Якубович В.А. Частотная теорема для периодически систем // Докл. АН СССР,— 1986.— т. 287,— №1,— с. 70-73.

76. Якубович В.А., Старжинский В.М. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения.— М.: Наука, 1972,—720 с.

77. Grigoriev V.V., Mansurova O.K., Mikliailov S.V., Ryukhin V.Yu. Analysis and Synthesis Methods Based on Lyapunov's Method // Abstracts of The Second International Conference Differential Equation and Applications.— St. Petersburg, 1998.—p. 37-38.

78. Grigoriev V.V., Mikhailov S.V., Ryukhin V.Yu. Controllers Design For Systems with Periodically Time-Varying Parameters // Computer's Methods in Control Systems. / The First Int. Conference.— Szczecin, Poland, 1997.— p. 49-53.

79. Ledwich G.F., Bolton A. Repetitive and Periodic Controller Design // IEEE Proceedings —D. 1993.—V. 140,—№1.—p. 19-24.

80. Mikhailov S.V., Ryukhin V.Yu. Modal control design for system with time-varying parameters // Abstracts of 5th Int. Student Olympiad on Automatic Control (Baltic Olympiad).— St.-Petersburg, 1996,— p. 82-84.

81. Wang K., Michel A.N. On Sufficient Conditions for the Stability of Interval Matrices // Systems and Control Letters.— 1993,— V.20.— №6.— p. 345-351.

ПРИЛОЖЕНИЕ. Доказательство утверждений

Доказательство утверждения 1.1

Рассмотрим уравнения движения системы (1.4) при значениях номера шага интервала дискретности т=0,1,2. т=0:

х(*) = Р1Х( 0); х(к +1) = Р2х( 1);

х(2к - 2) = Рк_1х(к - 2); х(2к-\) = Ркх(к-\у,

(П1.1)

777=1:

х(2 к) = Р1х{к)-, х(2 к +1) = Р2х(к +1);

х(3к - 2) = Рк_1х(2к - 2); х(3к -1) = Ркх{2к -1);

(П 1.2)

т=2:

х(Зк)=Р1х(2к); х(3 к +1) = Р2х(2к + 1);

х(4к-2) = Рк_1х(Ък-2); х(4к - 1) = Ркх(3к - 1).

(П1.3)

Подставим в систему (П 1.1) соответствующие значения уравнений из систем (П 1.2) и (П 1.3). Тогда получаем:

(Д 1.4)

=

х(3к +1) = ^23х(1);

х(4к-2) = Р?_1х(к-2) х(4к-1) = Р?х(к-\).

Из анализа уравнения (П 1.4) следует, что для любого т и ддя любого к значение вектора состояния вычисляется:

х(тк) = Р1тх(0)-х(тк + \) = Р2тх(\);

х((т +1 )к - 2) = Р^_хх(к - 2); х((т + \)к-\) = Р^х(к-\).

(И 1.5)

или

х(тк + /) = Р^х({), ' = °>(к ~ •

(П 1.6)

Уравнение (П 1.6) соответствует уравнению (1.6). Утверждение доказано. Доказательство утверждения 1.2 Рассмотрим уравнение (1.19) в случае, когда т-1:

= -Г^е.Л" + Мем • ' = «■(* -1).

(Л 1.7)

Умножением левой и правой частей выражения (П 1.7) на Г^ мы непосредственно получаем уравнение (1.18).

Рассмотрим уравнение (1.19) в случае, когда т~Т.

А,ч1г;* + г? = ^м^ г-" + мем

/ = 0,(к -1). (П 1.8)

Умножим правую и левую части выражения (П 1.8) на Г^ и сгруппируем в левой части произведения, содержащие члены и . Тогда получим:

¿ = о^Г-1). (П1.9)

Подставим в выражение (П 1.9) уравнение (1.18):

СП 1-Ю)

и сократив в выражении (П 1.10) подобные члены приходим к тождеству:

*-о,(*-1). (П1.П)

Рассмотрим уравнение (1.19) в случае, когда т=3:

+ + = + мем,

¿ = 0,(^-1). (П 1.12)

Умножим правую и левую части выражения (П 1.12) на Г^и сгруппируем в левой части произведения, содержащие члены Fi+l и Fi+l. Тогда получим:

+ ) = K+1 rf - г£ - FMDlM )Г_

i = 0,(k-l). (П 1.13)

Подставим в выражение (П 1.13) уравнение (1.18):

- + ) - К+1 г" - T? +

+ P»iu*MrS-P'«MgMri + !?*iMiMYS- <-0.(i-l). 011.14)

и сократив в выражении (П 1.14) подобные члены приходим к тождеству:

' = 0,(4-1). ОН-")

Рассмотрим уравнение (1.19) в случае, когда т=р, где р> 0— любое целое число:

/ = 0,(4-1). 011.16)

Умножим правую и левую части выражения (П 1.16) на Г^и сгруппируем в

левой части произведения, содержащие члены а в правой все ос-

тальные. Тогда получим:

^(д + \ = Ыя гЬ-Ф-ЕК Г*'"2** - X

г+1 \ 1/+1 Я/+1) \ Я/+1 ¿Г 1/+1 Я '+1

хГСр-З)*_.

-Fi^Dh+Tkg-Fil-12Dh+i)Ykg, Ы0,(*-l). (П 1.17)

Подставим в выражение (П 1.17) уравнение (1.18):

p&i

Si+1 g gi+l '+1 gi+1

1)k

Mp X £/'+1

X r0>-i)* +p. лм -F- лM r^-2)* +F2,M

Tri + lIVIgM ig ri+lIVIgM lg T ri+llVlgML g

(П 1.18)

Анализируя выражения (П 1.10)и (П 1.14) можно сделать вывод, что в правой части выражения (П 1.18) для всех произведений, находящихся в скобках и

содержащих член Г^, j = к,(р-\)к, всегда найдётся тождественно равное

им произведение с противоположным знаком. Сократив в выражении (П 1.18) подобные члены приходим к тождеству:

(П 1.19)

Утверждение доказано. Доказательство утверждения 1.3

Рассмотрим систему неравенств (1.58) на двух шагах внутри интервала периодичности (/+1)-ом и (/+2)-ом

i = 0,(к -1).

(П 1.20)

Так как существует Fi+\, i = 0,(к -l), перепишем систему (П 1.20) в виде

"(^+2) 3+2^+2 <0;

/ = 0,(А: - 1).

(П 1.21)

Выпишем отдельно второе уравнение системы (П 1.20) и первое уравнение системы (П 1.21)

-(З+1) 3+1^+1 < Ф

/ = 0,(к ~ 1). Предположим, что

(П 1.22)

(П 1.23)

Подставим во второе неравенство системы (П 1.22) ограничение на значение

г = 0,0 -1), из неравенства (П 1.23)

"3+2 <0;

^+2+3• • • (з-+13 +2^+1 • • • ^ +2 -

- <0; I = 0,0 - 1),

и, производя сокращение, мы получим, что неравенство выполняется

З+гЗ+3~ 3+2 <0;

<0; / = 0,0-1).

(П 1.24)

Если подставить ограничение (П 1.23) в первое неравенство системы (П 1.22) мы также получим, что неравенство выполняется. Если переписать неравенство (П 1.23) в виде

(П 1.25)

то легко заметить, что неравенство (П 1.25) полностью идентично неравенству (1.59).

Утверждение доказано.

Доказательство утверждения 1.4

Доказательство утверждения 1.4 происходит аналогично доказательству утверждения 1.3.

Доказательство утверждения 2.1

Рассмотрим уравнение (2.15) на двух шагах внутри интервала периодичности (/+1)-ом и (Я-2)-ом

M-+\Fi+lMl+l = T*;

Mf+l2Fi+2Mi+2=T3k-, i = 0,(k -1).

(П 1.26)

Так как существует матрица Гэ к, запишем систему (П 1.26) в виде

(П 1.27)

А так как существует / = -1), теперь перепишем систему (П 1.26) в другом виде

1 -к. э '

(П 1.28)

Выпишем отдельно первое уравнение системы (П 1.27) и второе уравнение системы (П 1.28)

(П 1.29)

Сделаем предположение, что в системе (П 1.29) выполняется следующее равенство:

(П1.30)

Подставим выражение (П 1.30) во второе уравнение системы (П 1.29). Тогда получаем:

^ч^ч^-ыГ;1^ = ^ч^-^чз^^^чЛ-ыГэ"1)^; /> 0,0 -1),|

и, производя сокращение, мы приходим к двум тождественным уравнениям:

= 'р1+г{рг+1Ммт;1уэ-к-

м1+1 = Р1+к...ъ+3ъ+2(ъ+1м1+1г;1)г1э-к; I = 0,0-1).

(П 1.31)

Если подставить выражение (П 1.30) в первое уравнение системы (П 1.29) тогда мы тоже получим два тождественных уравнения. Следовательно, предположение (П 1.30) верно и оно полностью соответствует уравнению (2.16).

Утверждение доказано. Доказательство утверждения 2.2

Запишем уравнение (2.19) на каждом шаге внутри интервала периодич-

ности, зафиксировав г = 0,{к -1):

^/+2Гэ " 4+Л+1 = ~В,+1Нэ> М;+3Гэ - А1+1М1+1 = -Б/+2Яэ;

М1 + кГЭ ~ А1+к-1М1+к-1 = ~В1+к-\Н^

М+1гэ - А+км^к = -в1+кнэ.

(П 1.32)

С учётом того, что существует матрица Гэ выразим в системе (П 1.32) зна-

чения матриц линейного преобразования / = 0,{к -1), на (Я-1)-ом шаге

М' + 2 = ДчЛчЛ"1 - В1+\НЭТ.

щ+ъ = А+2М1+2г;1 - в1+2н3т;1-

-1.

э '

'-1.

М+1 = А+кМ1+кт? - в1+кнэт;\

СП 1.зз)

Подставим в последнее уравнение системы (П 1.33) все предыдущие. Тогда

получим

= 4+А: (4+^ -1 (• • • 4+2 (4+1 М-+1 гэ"1 - Дч^зГ;1)^-1 - в1+2нэц1^ц1 -...-В^н^ц'-В^г;1; / = 0,(^-1). (Д 1.34)

Раскроем скобки в выражении (П 1.34) и сгруппируем в левой части выражения содержащие член М/+1, / = 0,{к -1)

+ А+кА+к-1" •4+3^+2^3^3 к -1Г"'+А1+кВ1+к_ !ЯЭГЭ2 + + в1+кнэт;1). (п 1.35)

Домножим левую и правую части уравнения (П 1.35) на Г^ и получим следующее выражение

М+1^ - А1+кА1+к_1...А1+1А1+1М1+1 - ~{А1+кА1+к_1...А1+2В1+1Нэ +

+ А+кА+к-1---А+зВ1+2нэгэ +• • -+А1+кв1+к_{Н3тк~2 +

+.^^ЯзГз*"1), 1 = 0,(к-\).

или с учётом принятых в (2.20) обозначениях

М/+1ГЭ - АмМм = -А+ь '/ = 0,(^-1). (П1.36)

Уравнение (П 1.36) полностью соответствует уравнению (2.20).

Утверждение доказано.

Доказаш елъство утверждения 2.3

Доказательство утверждения 2.3 происходит аналогично доказательству утверждения 2.2, но процедуру доказательства нужно выполнять в обратном порядке.

Доказательство утверждения 2.4

В соответствии с утверждениями 2.1 и 2.2 существование решения к матричных алгебраических уравнений типа Сильвестра (2.20), относительно

матриц линейного преобразования Мг+\, / = 0,(&-1), является требованием для существования решения уравнения (2.15), которое имеет вид

= 1 = 0,(к-1). (П 1.37)

Домножим левую и правую части уравнения (П 1.37) на Mi+l, i = 0,(к -1)

МГ+\Р1+1 = ТэМ-+\; i = 0,(^-1). (П 1.38)

Протранспонируем выражение (П 1.38). Тогда получим

= (M.+\fTJ; i = 0,0-1). (П 1.39)

Домножим левую часть выражения (П 1.38) на член Ff+^M'^, i = 0,0 -1), а правую— на (м"1^ Гэт, i = 0,0 -1) • Тогда получим

^iKif^iil = (м^^Гз^зМ^; i = 0,0-1). (П 1.40)

Вычтем из правой и левой частей уравнения (П 1.40) добавочный член

т

j , i - 0,0 -1)- Тогда получим

= -(мгЛ)Г(/-гэггэ)м-11; / = о,0-1). (п i.4i)

Так как неособая, то матрица

Pi+1 = {М-+\)ТMf+\; i = 0,0 - 1), (П 1.42)

будет симметрической положительно определённой. Так как собственные числа обобщённой матрицы описания эталонной модели через интервал периодичности Гэ расположены в круге единичного радиуса, то матрица

<2;+i= (^ГЛ)7^ - Г^М^; / = 0,{k -1), (П 1.43)

будет положительно определённой. Перепишем уравнение (П 1.41) с учётом принятых обозначений (П 1.42) и (П 1.43)

W+ipi+\Fi+i - Pi+i=~Qi+b i = 0,(к - 1). (П 1.44)

Уравнение (П 1.44) полностью соответствует уравнению типа Ляпунова (1.59), а условия (П 1.42) и (П 1.43)— условию (2.45).

«

Утверждение доказано. Доказательство утверждения 2.5

Рассмотрим уравнение движения замкнутой системы со встроенным регулятором с МВВ, которые в соответствии с (2.51) имеют вид

х, ((тк + i) + l) = Fzi+Ixz (тк + i) + BgM g(mk + i); i = 0,(k - l). (П 1.45)

Вектор состояния в установившемся режиме для системы (П 1.45) в соответствии с (1.16) будет иметь вид:

xn(mk + i) = Mgi+fi(mk + i), i = 0,(к -1). (П1.46)

Матрица линейного преобразования , i = 0,(к -1), является решением

матричного алгебраического уравнения вида (1.18). Для системы (П 1.45) это уравнение принимает вид:

'"»И 011.47)

где матрица DY имеет вид

Д =К ...К. Вр Н„ + Ру , ...К В„ , В„ , х

^ ;+1 ^1+к £/+2 8/+1 8 ¿¡-нк 2;+3 £/+2 Я Я ^г+к Ян-к-1

X

/ = 0,(4-1).

8г+к 8 8

Система (П 1.47) состоит из к уравнений, которые подобны матричным алгебраическим уравнениям типа Сильвестра вида (2.20). Поэтому, так как

существуют матрицы Г 1, / = 0,(к -1), воспользуемся утверждением 2.3, которое даёт уравнение для нахождения матриц линейного преобразования системы (П 1.47) на каждом шаге внутри интервала периодичности. Тогда получаем следующее уравнение:

мг Мг =Вг Я„, / = 0,(&-1).

¿¡+2 8 £(+1 &1+1 81+1 8' 'V /

(П 1.48)

Положим, что матрица линейного преобразования , * = 0,(к -1), такова,

что, уравнение (П 1.46), с учетом обозначений уравнения (2.51) принимает

вид:

\.у(тк + 0 Г^Е 1 84, ;+1

ху (тк + /) М„„ _ 1+1 _

В,(тк + /), г = 0,(к - 1),

(П 1.49)

где и — матрицы соответствующей размерности. Из уравнения

(П 1.49) следует, что установившаяся составляющая переходного процесса ОУ определяется уравнением:

ху (тк + /) = М%х ^(тк + /), / = 0 ,(к-1),

(П 1.50)

Подставим в уравнение (П 1.48) матрицу линейного преобразования, полученную в (П 1.49). Тогда с учётом обозначений (2.51) получаем:

'М

gt>i

+2

м

8х i+2

V

Г8 ~Ве1+1С'+1 Bei+1

Fi+1 Mov 8х i+2 . Bi +lKei+l_

н.

/ = 0,(А:-1).

(П 1.51)

Перемножим матрицы в уравнении (П 1.51) и сгруппируем в первом уравнении полученной системы в левой части матричные произведения, содержащие члены и , а во втором— Mgx^ и Mgx^ . После проведённых преобразований, это уравнение принимает вид:

Mg\i+2 ГЯ " = Bei+l {Hg ~ lMgXj+i )

gxi+2 g , + 1 gxi+1

0,0 " О-

(П 1.52)

Так как существуют матрицы Г ', / = 0,0 -1), воспользуемся утверждением 2.2, для получения 2к матричных алгебраических уравнений, для нахождения

матриц линейного преобразования и , / = 0,0 -1). В итоге, по-

лучим следующую систему уравнений:

1+1

8xi+1 8 3/+l

(П 1.53)

/ = o,0-i),

где матрицы D2 и D3.+i имеют вид:

DiM = ri"К, К " )+ ~Ч« К " С> А« К +

• К - )rf2 + в.м (Hg - ct+kMgXM )rf

¡ = 0,(4-1)

(П 1.54)

+ А,« й, + )г*"г ■+

Так как решение уравнения (П 1.47) относительно матриц линейного преобразования существует на каждом шаге внутри интервала периодичности, следовательно, существует и решение системы (П 1.53).

Рассмотрим отдельно первое уравнение системы (П 1.53). Это уравнение будет иметь решение только в том случае, когда его правая часть равна нулю [16], т.е. в соответствии с выражением (П 1.54) получаем:

I = 0,(к -1) (П 1.55)

Так как матрицы Ве на каждом шаге внутри интервала периодичности выбраны из условия полной управляемости пар матриц то они, как и сами матрицы Г^ ненулевые. Следовательно, уравнение (П 1.55) будет иметь решение, только когда все матричные разности, находящиеся в скобках, Нё - С]+1М§х,+1, ^ -г,(/ + к), будут равны нулю. Или иными словами, уравнение (П 1.55), а с ним и система уравнений (П 1.53), будет иметь решение, если на каждом шаге внутри интервала периодичности выполняется условие:

Нё - С/+1М^+1 = 0, / = 0,(к -1). (П 1.56)

Вычислим значение ошибки отработки объектом управления внешнего воздействия в установившемся режиме. В соответствии с уравнениями (1.23) и (П 1.50) она будет иметь вид:

еу{тк + 1) = (н8~СшМ8Хм)^тк + 1), ¿ = 0,(к-1). (П1.57)

Из сравнения уравнений (П 1.56) и (П 1.57) следует, что уравнение (П 1.56).

«

является условием равенства нулю ошибки в установившемся режиме. Утверждение доказано.