Формы представления и конкретизация определяющих соотношений нелинейной теории упругости тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат физико-математических наук Козлов, Виктор Вячеславович

• Козлов, Виктор Вячеславович
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Козлов, Виктор Вячеславович

Оглавление

Введение

I. Кинематика конечного деформирования, теория напряжений, формы записи уравнений равновесия

1.1. Кинематика, меры деформаций

1.1.1. Основные меры деформаций, используемые в нелинейной теории упругости, связь между ними

1.1.2. Инварианты мер деформаций, их геометрический смысл

1.2. Теория напряжений, меры напряжений

1.3. Формы записи уравнений равновесия при конечном деформировании твердого тела

1.4. Элементарная работа и мощность, сопряженные меры напряжений и деформаций

II. Определяющие соотношения нелинейной теории упругости

2.1. Гипотеза о параметрах состояния. Термодинамические соотношения

2.2. Построение соотношений, определяющих состояние нелинейно-упругого тела

2.2.1. Определяющие соотношения на основе алгебраических инвариантов как параметров состояния свободной энергии для сжимаемых материалов

2.2.2. Определяющие соотношения для сжимаемых материалов, разделяющие изменение формы и объема

2.2.3. Определяющие соотношения на основе алгебраических инвариантов как параметров состояния свободной энергии для несжимаемых материалов

2.2.4. Определяющие соотношения на основе естественных инвариантов как параметров состояния свободной энергии для несжимаемых материалов

2.3. Анализ известных представлений свободной энергии сжимаемых сред для изотермических процессов

2.3.1. Свободная энергия сжимаемых материалов как функция естественных инвариантов тензора деформаций

2.3.2. Свободная энергия сжимаемых материалов как функция инвариантов тензора Коши-Грина

2.3.3. Учет нелинейных эффектов для сжимаемых материалов

2.4. Анализ известных представлений свободной энергии несжимаемых сред для изотермических процессов

2.4.1. Известные формы свободной энергии несжимаемых материалов

2.4.2. Учет нелинейных эффектов для несжимаемых материалов

2.5. Выводы по главе

III. Однородные деформированные состояния, их связь с экспериментом

3.1. Простое растяжение-сжатие

3.1.1. Сжимаемые материалы

3.1.2. Несжимаемые материалы

3.2. Чистый сдвиг по деформациям и напряжениям

3.2.1. Чистый сдвиг по деформациям несжимаемого материала

3.2.2. Чистый сдвиг по напряжениям несжимаемого материала

3.3. Выводы по главе

IV. Неоднородные деформированные состояния

4.1. Постановка задачи о комбинированном сдвиге полого цилиндра для несжимаемого материала

4.1.1. Кинематика процесса

4.1.2. Связь между тензорами напряжений и мерами деформаций

4.1.3. Уравнение равновесия и разрешающие уравнения для неизвестных функций

4.2. Метод решения задачи. Основные результаты

4.3. Постановка задачи о комбинированном сдвиге полого цилиндра для сжимаемого материала

4.3.1. Кинематика процесса

4.3.2. Связь между тензорам напряжений и мерами деформаций

4.3.3. Уравнение равновесия и разрешающие уравнения для неизвестных функций

4.4. Метод решения задачи. Основные результаты

4.5. Сравнение результатов для моделей сжимаемого и несжимаемого материалов

4.6. Выводы по главе

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Формы представления и конкретизация определяющих соотношений нелинейной теории упругости»

Введение.

Построение математических моделей состояния материалов, универсально работающих при различных условиях нагружения, представляет собой одно из важнейших направлений механики деформируемого твердого тела. Центральной проблемой при этом является формулировка соотношений между напряжениями и деформациями. Инженерная практика постоянно требует совершенствования методики расчета элементов строительных конструкций, деталей машин и аппаратов. Очевидно, что решение данной задачи невозможно без совершенствования определяющих соотношений.

Данная работа посвящена изучению определяющих соотношений нелинейно-упругих материалов, которые находят всё большее применение в технике.

Нелинейные варианты теории упругости наиболее развиты для изотропных материалов, о которых и пойдет речь в настоящей диссертации. Впервые изложение основ нелинейной теории упругости было дано в моно-графиии В. В. Новожилова [50], изданной в 1948 году. Дальнейшее становление этой отрасли знаний связано с исследованиями И.И. Гольденблата [16], Л.А. Толоконникова [70], В. Новацкого [51], К.Ф. Черныха [76-78] и других авторов. Нелинейной теории упругости посвящены монографии А.И. Лурье [32, 33].

В основе моделей поведения упругих тел, учитывающих геометрическую нелинейность, лежит кинематика конечных деформаций, наиболее полно изложенная в книгах Л.И. Седова [62,63], А.И. Лурье [32,33], В.В. Новожилова, К.Ф. Черныха [53,76-78], а также нашедшая своё отражение в работах [11, 15, 16,18,28,34, 35, 38, 56, 66] и многих других.

Таким образом, к настоящему времени накопилось достаточно много подходов к построению определяющих соотношений нелинейной теории упругости. В данной работе производится анализ этих подходов, которым посвящено большое количество работ, в том числе [5, 10-13, 30, 34-41, 46, 48,49, 54, 56, 57, 64-66, 68, 72, 76, 78, 81, 82].

В работах Гузя [19], JI. Трелоара [73], Э.Э. Лавендела [30], В.И. Би-дермана [10] рассматриваются связи напряжений и деформаций, построенные на основе выражения свободной энергии как функции алгебраических инвариантов тензора Коши-Грина. Однако подобный подход не позволяет при описании процесса выделить специфические эффекты поведения материала, поскольку алгебраические инварианты тензора Коши-Грина не имеют четко выраженного физического смысла.

Вместе с тем в работах JI.A. Толоконникова [68,70], A.A. Маркина [38,45], A.B. Муравлева [49] обозначился другой тип определяющих соотношений, характерный большей гибкостью построения моделей и отражающий только необходимые исследователю явления. Такие связи между напряжениями и деформациями строятся через свободную энергию как функцию естественных инвариантов левого тензора Генки. Среди них, например, естественным образом выделяются соотношения, удовлетворяющие частному постулату изотропии Ильюшина.

Следует обратить внимание, что среди таких связей напряжений и деформаций сжимаемых материалов есть класс, позволяющий разделить деформирование на изменение объема и формы, и одновременно удовлетворяющий частному постулату изотропии Ильюшина. Подобные варианты определяющих соотношений особенно интересны с одной стороны из-за относительной простоты их построения (не приходится рассматривать зависимость свободной энергии от угла вида деформированного состояния), а с другой - тем, что реальные эксперименты действительно показывают существенное различие в реакции материала на изменение объема и формы. Таким образом весьма актуально сравнение связей напряжений и деформаций подобного рода с другими соотношениями, а также с экспериментальными данными.

Законы упругости, в которых учитывается влияние на гидростатические напряжения формоизменения [33, 66, 71], описывают дилатационные явления в упругих изотропных материалах. Работа Н.М. Матченко, A.A.

Трещева [48] посвящена связям напряжений и деформаций, позволяющим отразить эффекты разносопротивляемости при растяжении и сжатии.

Таким образом, значительный интерес приобретают определяющие соотношения, которые позволяют контролируемо (соответствующим подбором материальных констант) описывать только те или иные эффекты и таким образом гибко и оперативно строить модели поведения процесса. В частности, в данной работе приводятся примеры подобных связей напряжений и деформаций, производится их сравнение с законами Гузя, Мурнагана, Трелоара, Муни-Ривлина, Бидермана, не позволяющих естественным образом получить частные случаи.

Использованию частного постулата изотропии посвящено немало работ, например [1,3,22,45,79,80]. Однако поскольку до сих пор нет четкого ответа о достоверности частного постулата изотропии при конечных деформациях, предлагается программа проведения эксперимента чистого сдвига по напряжениям или деформациям и сравнение полученных результатов с соответствующими данными моделей, удовлетворяющих этому постулату.

Так как апробация конкретного определяющего соотношения должна производиться на многих видах нагружений, проанализированы не только классические виды напряженно-деформированного состояния. В частности, представлены и решены новые задачи о комбинированном сдвиге однородного, нелинейно-упругого полого цилиндра как в рамках модели сжимаемого, так и несжимаемого материала. Полученные результаты могут быть использованы для проверки достоверности и конкретизации используемых определяющих соотношений.

В первом разделе диссертации рассматриваются основные меры деформаций и напряжений, используемые в нелинейной теории упругости. Приводятся выражения алгебраических, а также естественных инвариантов Толоконникова-Новожилова этих мер. Отмечается, что естественные инварианты левого тензора Генки позволяют разделить процесс деформирова-

ния на изменение объема и формы. Записываются формы уравнения равновесия, представления удельной работы внешних сил.

Во втором разделе приводятся и анализируются конкретные формы свободной энергии. Показывается, что представление свободной энергии как функции естественных инвариантов левого тензора Генки допускает контролируемо учитывать или опускать из рассмотрения такие эффекты поведения материала как разносопротивляемость, дилатацию, разделение процесса на изменение объема и формы. Однако выражение свободной энергии через инварианты тензора Коши-Грина не позволяет последовательно отразить наличие или отсутствие указанных эффектов.

Третий раздел посвящен анализу конкретных определяющих соотношений на однородных классических видах нагружения, а именно простого растяжения (сжатия), чистого сдвига по напряжениям и деформациям. Для простого растяжения на примере различных видов связей напряжений и деформаций приводится сравнение модельных данных с экспериментальными, взятыми из работы [73], изучается эффект отражения разносопротивля-емости при растяжении-сжатии. Таким образом, подтверждаются выводы второй главы. Предлагаются варианты конкретизации определяющих соотношений, удовлетворяющих частному постулату. Подчеркивается достаточность единственного эксперимента на простое растяжение для этого. При рассмотрении чистого сдвига по напряжениям или деформациям указываются возможные схемы проведения экспериментов, а также зависимости между нагрузками, построенными для конкретных определяющих соотношений. Следовательно, сравнение экспериментальных и модельных зависимостей усилий позволяют сделать выводы о степени достоверности связи напряжений и деформаций, а также выполнении частного постулата изотропии Ильюшина.

В четвертой главе рассмотрены новые задачи о комбинированном сдвиге полого цилиндра. Для этих моделей характерно неоднородное напряженно-деформированное состояние. Построив с точностью до обоб-

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Козлов, Виктор Вячеславович

4.6. Выводы по главе

1. Результаты полученных решений задач о комбинированном сдвиге могут использоваться при расчете цилиндрических резинометаллических шарниров и уплотнителей, широко применяемых в машиностроении.

2. Сравнение углов относительного поворота торцевых сечений, относительных осевых сдвигов с внешним моментом и осевой нагрузкой, получаемых экспериментально, с модельными решениями позволяют установить степень достоверности используемых определяющих соотношений.

3. Наблюдаются незначительные отличия зависимостей внешнего момента и силы от соответствующих обобщенных перемещений обоймы в случае использования моделей сжимаемого и несжимаемого материалов.

Заключение.

Таким образом, в диссертации получены выводы и результаты:

1) Представление свободной энергии через естественные инварианты тензора Генки в рамках частного постулата изотропии позволяет последовательно отразить различные виды реакции материала на конечные упругие деформации: в частности, построить модель, независимо реагирующую на изменение объема и формы; модель, отражающую разносопротивляемость всестороннему растяжению-сжатию; учесть появление гидростатической составляющей при формоизменении.

2) Представление свободной энергии через инварианты тензора Коши-Грина не позволяет последовательно отразить реакцию сжимаемого материала на изменение объема и формы при конечных деформациях, эффекты разносопротивляемости и дилатации, удовлетворить требованиям частного постулата изотропии.

3) Использование для несжимаемых материалов определяющего соотношения в форме связи между «повернутым» тензором напряжений и тензором Генки позволяет ассоциировать множитель Лагранжа с первым инвариантом тензора истинных напряжений. В случае использования связи между энергетическим тензором напряжений и тензором деформаций Ко-ши-Грина это условие не выполняется.

4) Для конкретизации соотношений, определяющих свойства как сжимаемых, так и несжимаемых материалов в рамках предельной формы частного постулата изотропии при конечных деформациях достаточно экспериментов на растяжение.

5) Результаты эксперимента на чистый сдвиг по деформациям позволяют установить величину деформаций, при которых отклонения несжимаемых материалов от частного постулата изотропии могут стать существенными.

6) Результаты полученных решений задач о комбинированном сдвиге могут использоваться при расчете цилиндрических резинометаллических шарниров и уплотнителей, широко применяемых в машиностроении.

7) При комбинированном сдвиге наблюдаются незначительные отличия зависимостей внешнего момента и силы от соответствующих обобщенных перемещений обоймы в случае использования моделей сжимаемого и несжимаемого материалов.

8) Сравнение экспериментальной и теоретической зависимостей внешних момента и силы от перемещения внешней обоймы при комбинированном сдвиге может быть использовано для установления степени достоверности используемых определяющих соотношений.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Козлов, Виктор Вячеславович, 2011 год

Список литературы

1. Андреев JI.C. О проверке постулата изотропии// Прикладная механика. 1969. - Т. V. - Вып. 7. - С. 122-125.

2. Азарян В. А. Энергия деформации и перемещения линейных систем / В. А. Азарян. - Киев.: Наукова Думка, 1972 г. - 139 с.

3. Астапов В.Ф., Маркин A.A., Оленин СИ., Сотников К.Ю. Условия применимости частного постулата изотропии при конечном деформировании// Известия ТулГУ. Серия Математика. Механика. Информатика. - Том 3. - Выпуск 1. Механика. - 1997. - С. 136-139.

4. Астапов В.Ф., Маркин A.A., Соколова М.Ю. Кручение сплошного цилиндра из изотропного упругого материала// Известия ТулГУ. Серия Математика. Механика. Информатика. - Том 5. - Выпуск 2. Механика. -1999. - с.43-48.

5. Астапов В.Ф., Маркин A.A., Соколова М.Ю. Определение упругих свойств материалов из опытов на сплошных цилиндрах// Известия РАН. Механика твердого тела. - 2002. - № 1. - С. 104-111.

6. Бахвалов Н. С. Численные методы / Н. С. Бахвалов. М.: Наука, 1975 г. -631 с.

7. Бартенев Г.М. О законе высокоэластичных деформаций сеточных полимеров / Г.М. Бартенев, Т.Н. Хазанович.//Высокомолекулярные соединения. - 1960. - т.2. - № 1. - С.20-28.

8. Белл Дж.Ф. Экспериментальные основы механики деформируемых твердых тел. Часть II. Конечные деформации / пер. с англ. под. ред. А.П. Филина. -М.: Наука, 1984.-432 с.

9. Беллман Р. Квазилинеаризация и нелинейные краевые задачи / Р. Бел-лман, Р. Калаба. - М.: МИР, 1968 г. - 183 с.

10. Бидерман B.JI. Вопросы расчета резиновых деталей / B.JI. Бидерман //Расчеты на прочность. М.: Машиностроение, 1958. - Вып. 3. - С. 4087.

11. Бровко Г.JI. Материальные и пространственные представления определяющих соотношений деформируемых сред// Прикладная математика и механика. - 1990.-54.-5.-С. 814-824.

12. Васин P.A. Некоторые вопросы связи напряжений и деформаций при сложном нагружении // Упругость и неупругость: Сб.науч. тр. - М.: Изд-во МГУ, - 1971. - Вып. I - С.59-126.

13. Васин P.A., Ильюшин A.A. Об одном представлении законов упругости и пластичности в плоских задачах// Известия АН СССР. Механика твердого тела. - 1983. - №4. -С. 114-118.

14. Гавриляченко Т.В., Карякин М.И. Об особенностях нелинейно-упругого поведения сжимаемых тел цилиндрической формы при кручении// Прикладная механика и техническая физика. - 2000. - Т.41. -№2.-С. 188-193.

15. Глаголева М.О., Маркин A.A., Матченко Н.М., Трещев A.A. Свойства изотропных упругих материалов// Известия Тульского государствен-

ного университета. Серия Математика. Механика. Информатика. -Том 4. -Выпуск 2. Механика. - 1998. - С. 15-19.

16. Гольденблат И.И. Нелинейные проблемы теории упругости. - М.: «Наука», 1969.-336 с.

17. Горшков А.Г., Рабинский Л.Н., Д.В. Тарлаковский Д.В. Основы тензорного анализа и механика сплошной среды: Учебник для вузов. -М.:Наука, 2000. - 214с.

18. Грин А.Е., Адкинс Дж. Большие упругие деформации и нелинейная механика сплошной среды. - М.: Мир, 1965. - 456 с.

19. Гузь А.Н. Устойчивость упругих тел при конечных деформациях. -К.: «Наук, думка», 1973.-270 с.

20. Демидович Б. П. Численные методы анализа / Б. П. Демидович, И. А. Марон, Э. 3. Шувалова. - М., 1967 г. - 368 с.

21. Дырда В. И. Резиновые детали машин / В. И. Дырда, В. Н. Потураев. -М.: Машиностроение, 1977 г. —216 с.

22. Елсуфьев С.А. Экспериментальная проверка постулата изотропии и закона запаздывания общей теории пластичности// Гидротехника. - Д.: Уч. Зап. Ленингр. Политехи. Ин-та. - 1964. - С. 143-151.

23. Зубчанинов В.Г. Основы теории упругости и пластичности. - М.: Высшая школа, 1990. - 368 с.

24. Ильюшин A.A. Механика сплошной среды. М.: Изд-во МГУ, 1990. -310 с.

25. Ильюшин A.A. Механика сплошной среды: Учебник для Университетов.- 2-е изд., перераб. и дополн. - М.: Изд-во МГУ, 1978. - 287 с.

26. Ильюшин А. А. Упруго-пластические деформации полых цилиндров / А. А. Ильюшин, П. М. Огибалов. - М.: Издательство Московского университета, 1960 г. - 224 с.

27. Калиткин Н. Н. Численные методы / Н. Н. Калиткин. - М.: Наука, 1978 г.-512 с.

28. Коробейников С.Н. Строго сопряженные тензоры напряжений и деформаций// Прикладная механика и техническая физика. - 2000. - Т. 41. -№3.-С. 149-154.

29. Кузнецова В.Г., Роговой A.A. Эффект учета слабой сжимаемости эластомеров. Осесимметричная задача. Аналитическое решение// Известия РАН. Механика твердого тела. - 2000. - № 6. - С. 25-37.

30. Лавендел Э. Э. Расчет резинотехнических изделий / Э. Э. Лавендел. -М.: Машиностроение, 1976 г. - 228 с.

31. Левин В.А. Плоские задачи теории многократного наложения больших деформаций. Методы решения / В.А. Левин, K.M. Зингерман. -М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. - 272 с.

32. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости.-М.: Наука, 1980.-512 с.

33. Лурье А.И. Теория упругости. - М.: Наука, 1970. - 939 с.

34. Мальков В.М. Нелинейный закон упругости для тензора условных напряжений и градиента деформации// Известия РАН. Механика твердого тела. - 1998.-№ 1.-С. 91-98.

35. Мальков В.М. О формах связи тензоров напряжений и деформаций в нелинейно упругом материале/УПрикладная математика и механика. -1998 -Т. 62. -№ 4. - С. 643-649.

36. Маркин A.A. Вариант термомеханического подхода к построению моделей упругого и упругопластического деформирования// Упругость и неупругость. - М.: Изд-во МГУ. - 2006. - С. 27-34.

37. Маркин А. А. Механика сплошной среды: Учеб. пособие / А. А. Маркин, К. Ю. Сотников. - Тул. гос. ун-т. - Тула, 2003 г. - 132 с.

38. Маркин А. А. Нелинейная теория упругости: учеб. пособие: 2-е изд., доп. / А. А. Маркин, Д. В. Христич - Тула: Изд-во ТулГУ, 2007 г. - 92 с.

39. Маркин А. А. Термомеханика сплошной среды: Учеб. пособие / А. А. Маркин. - Тула: Изд-во ТулГУ, 2009 г. - 140 с.

40. Маркин А. А. Термомеханические модели обратимого конечного деформирования / А. А. Маркин, М. Ю. Соколова. - Тула: Изд-во ТулГУ, 2010.-268 с.

41. Маркин A.A. Определяющие соотношения конечного упругопластического деформирования / ТулПИ. Тула, - 1985. - 17 с, - Рус. - Деп. в ВИНИТИ 08.04. 85,-№2358 - 85 Деп.

42. Маркин A.A. О различных типах тензоров и выборе их производных // Материалы Всероссийской конференции по чистой и прикладной математике. ТулПИ. - Тула, - 1988. - с. 15-17.

43. Маркин A.A. Построение образа процесса конечного формоизменения// Вестник МГУ. Серия I. Математика, Механика. - 1984. - № 12. -С 98-105.

44. Маркин A.A., Оленич СИ. О связи между процессом внешнего нагружения и его образами в пространстве Ильюшина при конечных деформациях// Проблемы прочности. - 1999. - № 2. - С.85-93.

45. Маркин A.A., Соколова М.Ю. Нелинейные соотношения анизотропной упругости и частный постулат изотропии// Прикладная математика и механика. - 2007. - Т. 71. - Вып. 4. - С. 588-5.

46. Маркин A.A., Толоконников JI.A. Меры и определяющие соотношения конечного упругопластического деформирования // Прикладные проблемы прочности и пластичности. Методы решения: Всесоюзн. межвуз.сб. / Горьк.гос.ун-т. - Горький, - 1987. - с. 32-37.

47. Маркин A.A., Толоконников JI.A. Меры процессов конечного деформирования// Известия Северо-Кавказского научного центра высшей школы. Естественные науки. - 1987. - № 2. - С. 49-53.

48. Матченко Н.М., Трещев A.A. Теория деформирования разносопро-тивляющихся материалов. Определяющие соотношения. - Тула: Изд-во ТулГУ, 2000. - 149 с.

49. Муравлев A.B. О представлении упругого потенциала в обобщенном пространстве деформаций A.A. Ильюшина

50. Новожилов В.В. Основы нелинейной теории упругости. М.:Гостехиздат, 1948.211 с.

51. Новацкий В. Теория упругости. - М.: «Мир», 1975. - 872 с.

52. Новожилов В.В. Теория упругости. - Л.: «Судпромгиз», 1958, 370 с.

53. Новожилов В.В., Черных К.Ф. Об «истинных» мерах напряжений и деформаций в нелинейной механике деформируемого тела// Известия АН СССР. Механика твердого тела. - 1987. -№ 5. - С. 73-79.

54. Новожилов В.В. О связи между напряжениями и деформациями в нелинейно-упругих телах // Прикладная математика и механика. - 1951. -Т.15. - № 2. - с. 183-194.

55. Панов А.Д. Нелинейные эффекты при осесимметричном деформировании цилиндрического тела. Эффект Пойнтинга// Механика твердого тела. - 2004. - № 5. - С. 27-43.

56. Панов А.Д. Теория определяющих соотношений при деформировании изотропного твердого тела// Механика твердого тела. - 2004. - № 6. — С. 27-44.

57. Победря Б. Е. О теории определяющих соотношений в механике деформируемого твердого тела// Проблемы механики. - 2003. - С. 635657.

58. Победря Б. Е., Георгиевский Д.В. Лекции по теории упругости. - М.: «Эдиториал УРСС». - 1999. - 208 с.

59. Победря Б. Е., Георгиевский Д.В. Основы механики сплошной среды. -М.: «Физматлит». - 2006. - 272 с.

60. Победря Б.Е. Лекции по тензорному анализу. - М.: Изд-во МГУ, 1974. -206 с.

61. Резниковский М. М. Механические испытания каучука и резины / М. М. Резниковский, А. И. Лукомская. - М.: Химия, 1964 г. - 525 с.

62. Седов Л.И. Введение в механику сплошной среды - М.: Физматгиз. -1962.-284 с.

63. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т.1. Учебник для университетов. -М.: Наука, 1970.-492 с.

64. Соколова М.Ю., Христич Д.В. Исследование модели поведения изотропных упругих тел //Известия ТулГУ. Серия Математика. Механика. Информатика. - 2000. - Том 6. - Выпуск 2. Механика. - С. 128-133.

65. Соколова М.Ю., Христич Д.В. Программа экспериментальной конкретизации нелинейных определяющих соотношений изотропного упругого тела// Механика деформируемого твердого тела и обработка металлов давлением. Часть 21 Межвуз. сб.науч. тр. - Тула: Изд-во ТулГУ, 2001. -С. 8-12.

66. Солодовников В.Н. Определяющие уравнения изотропного гиперупругого тела// Прикладная механика и техническая физика. - 2000. — Т.41.-№3.-С. 178-183.

67. Суюншкалиев Н.Х. Некоторые задачи теории конечных упругих деформаций. - Ташкент: Фан, 1988. - 128 с.

68. Толоконников Л.А. Вариант соотношений разномодульной теории упругости// Прочность и пластичность. - М.: Наука. - 1971. - С. 102104.

69. Толоконников Л.А. Механика деформируемого твердого тела: Учеб. пособие для втузов. -М.: Высшая школа, 1979.-318 с.

70. Толоконников Л.А. О связи между напряжениями и деформациями в нелинейной теории упругости / Прикладная математика и механика -1956. -Т. 20.

71. Толоконников Л.А., Маркин А.А. Определяющие соотношения при конечных деформациях// Проблемы механики деформируемого твердого тела. Межвузов, сб. трудов/ Калинин, политех, ин-т. — Калинин: Изд-во КГУ, 1986. - С. 49-57.

72. Толоконников О.Л., Маркин А.А., Астапов В.Ф. Исследование процесса формоизменения с учетом конечности деформаций// Прикладная механика. - 1983.-T.X1X.-X2 10.-С. 122-125.

73. Трелоар Л. Физика упругости каучука. / Л. Трелоар - М.: Иноиздат, 1953 г.-346 с.

74. Феодосьев В. И. Сопротивление материалов. Физматгиз / В. И. Фео-досьев - М., Наука, 1974 г. - 559 с.

75. Францевич И.Н. Упругие постоянные и модули упругости металлов и сплавов. Справочник. - Киев: изд. «Наукова думка». - 1982. - 250 с.

76. Черных К.Ф., Шубина И.М. Законы упругости для изотропных несжимаемых материалов // Механика эластомеров. - Краснодар, 1977, T.l.-c. 54-64.

77. Черных К.Ф. Нелинейная теория упругости в машиностроительных расчетах. -Л.: Машиностроение, 1986. - 336с.

78. Черных К.Ф. Нелинейная упругость (теория и приложения). - Спб.: изд. «Соло», 2004 -420 с.

79. Шевченко Ю.Н., Тормахов Н.Н. Постулат изотропии для конечных деформаций. // Прикладная механика. - 1999. -35. № 1. - С. 17-27.

80. Шевченко Ю.Н., Тормахов Н.Н., Терехов Р.Г. О постулате изотропии для конечных деформаций. // Современные проблемы прочности, пластичности и устойчивости: сборник статей к 75-летию со дня рождения В.Г. Зубчанинова. - Тверь: изд. ТГТУ. - 2007. - С. 365-377.

81.Anand L. A constitutive model for compressible elastomeric solids / L.Anand // Comput. Mech. - 1996. - V. 18. -№ 5. - P. 339-355.

82. Atluri S.K. On constitutive relations an finite strain hypo-elasticity and elasto-plasticity with isotropic or kinematic hardening// Comput. Mech. Appl. And Eng. - 1984. - Vol. 43. - № 2. - P. 137-171.

83. Bell J.F. Plane stress, plane strain and pure shear at large finite strain// Int. J. Plasticity.- 1988.-Vol. 4. -№2. - PP. 127- 148.

84. Grigorenko A.Ya. Investigation of the static and dynamic behavior of anisotropic cylindrical bodies with noncircular cross-section / A.Ya. Grigorenko, G.G. Vlaikov // International journal of solids and structure. - Vol. 41.-P. 2781-2798.

85. Beatty Millard. F. On compressible materials capable of sustaining ax-isymmetric shear deformations. Part 2: rotational shear of isotropic hypere-lastic materials / Millard F. Beatty, Qing Jiang // Q J Mechanics Appl Math. - 1997. - Vol. 50. - №2. - P.211-237.

86. Wineman A.S. Normal stress effects induced during circular shear of a compressible non-linear elastic cylinder /A.S. Wineman, W.K. Waldron Jr // International Journal of Non-Linear Mechanics. - 1995. - Vol. 30. - №3. -P. 323-339.

87. Rivlin R.S. / R.S. Rivlin, D.W. Saunders //Philos. Trans. - 1951. - ser. A, 243.-P.280.