Анализ адронных спектров: Идентификация и классификация скалярных мезонов в области энергий до 2 ГэВ тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, доктор физико-математических наук Саранцев, Андрей Викторович

• Саранцев, Андрей Викторович
• доктор физико-математических наук
• 0

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Саранцев, Андрей Викторович

ОГЛАВЛЕНИЕ

I ВВЕДЕНИЕ

II ДИАГРАМНЫЙ Г^/Б-МЕТОД

1 Аналитические свойства амплитуды рассеяния

2 Взаимодействие составной системы с внешним электромагнитным полем

III ПРИЛОЖЕНИЕ ДИАГРАМНОГО Г^/Б-МЕТОДА К ПРОСТЕЙШИМ ЯДЕРНЫМ СИСТЕМАМ

1 Протон-протонное взаимодействие в каналах

с сильным рождением дельты изобары

2 Дейтрон как составная двухнуклонная система

IV КВАРК-АДРОННАЯ ДУАЛЬНОСТЬ В НИЗКОЭНЕРГЕТИЧЕСКОМ ВЗАИМОДЕЙСТВИИ

1 Динамическая кварковая модель без учета сил конфайнмента

2 Переход д + д —)• М + М как процесс, ответственный

за механизм конфайнмента

3 Кварк-адронная дуальность

4 Уравнение Бете-Солпитера для амплитуды

мезонного рассеяния

5 Параметры и их влияние на результаты вычислений

6 Заключение

V ИССЛЕДОВАНИЕ СПЕКТРОВ МЕЗОНОВ В Т-МАТРИЧНОМ ПОДХОДЕ: ИДЕНТИФИКАЦИЯ РЕЗОНАНСОВ В РАЙОНЕ 1000-1900 МэВ

1 Анализ реакции рр аннигиляции с рождением трех псевдоскалярных мезонов

2 7Г7Г и 7гту взаимодействие в 5-волне вблизи К К порога

3 Экспериментальные данные рр аннигиляции в три мезона

4 Амплитудный анализ и параметры резонансов

VI К-МАТРИЧНЫЙ АНАЛИЗ СКАЛЯРНЫХ/ИЗОСКАЛЯРНЫХ РЕЗОНАНСОВ В ОБЛАСТИ ЭНЕРГИЙ ДО 1900 МЭВ

1 Связь Т-матричных, К-матричных полюсов и полюсов амплитуды К/Б-метода

2 К-матричный анализ 00++ волны в вблизи К К порога

3 Классификация IЗрс = 00++ волны в области

энергий до 1900 МэВ

VII ВЫВОДЫ

ЛИТЕРАТУРА

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Анализ адронных спектров: Идентификация и классификация скалярных мезонов в области энергий до 2 ГэВ»

1 ВВЕДЕНИЕ

Еще в шестидесятых годах Гелл-Маном и Цвейгом была предложена классификация сильновзаимодействуюгцих частиц (адронов) на основе триплета гипотетических частиц (кварков), несущих дробный электрический заряд. Кварковая модель не только сумела объяснить известные к тому времени мезоны и барионы, но и предсказать существование новой частицы: П-гиперона, который вскоре после этого был открыт. Однако, следом за рядом неоспоримых успехов, модель встретила ряд довольно больших трудностей. Во-первых, большое число экспериментов, предпринятых с целью поиска свободных кварков как на ускорителях, так и в космических лучах, дали определенно отрицательный результат: свободных кварков в природе не существует. Эти частицы заперты внутри адронов. С другой стороны эксперименты при высоких энергиях показали, что кварки не "чувствуют" друг друга на малых расстояниях. Последнее явление получило название ассимптотической свободы.

Ответ на эти проблемы был найден в создании квантовой хромоди-намики (КХД): калибровочной, неабеливой теории, одним из положений которой является введение нового квантового числа: цвета. Постулируется, что кварк находится в одном из трех цветных состояний, тогда как только бесцветные состояния могут наблюдаться в эксперименте.

Важнейшим свойством квантовой хромодинамики является то, что глюоны - частицы, посредством которых взаимодействуют кварки, могут взаимодействовать между собой. Именно это взаимодействие приводит к уменьшению константы связи КХД и почти полной экранировке кварков на малых расстояниях (т.е. при больших энергиях). Малость константы связи позволяет проводить вычисления в рамках пертурба-тивного подхода и сравнивать их результаты с экспериментом. Успех КХД в описании жестких процессов позволяет верить в то, что КХД является корректной теорией сильных взаимодействий.

Другой стороной ассимптотической свободы является рост константы свя- зи КХД а8{к2) с увеличеним расстояния, которая становится много больше единицы в области низких энергий. Принципиально такой механизм может объяснить явление конфайнмента кварков, однако из-за невозможности применения пертурбативного подхода в этой области, практически никаких количественных сравнений теории с эксперимен-

том сделать не удается.

Поэтому особую важность приобретают качественные следствия, подтверждающие принципиальные положения теории. Одним из примеров такого следствия является систематика низколежащих qq- и qqq-состояний, которая с определенностью указывает на то, что низко лежащие адроны составлены из кварков — фундаментальных объектов КХД. Не менее важным является наблюдение частиц, в состав которых входит другой фундаментальный объект КХД, глюон. Взаимодействие глюонов может привести к образованию бесцветного состояния - глюбола. Возможность существования такого объекта является прямым следствием неабеливости КХД: например, взаимодействие двух 7-квантов в квантовой электродинамики приводит к немедленному возникновению электрон-позитронной пары и, соответственно, только электрон-позитронных связанных состояний. Другими состояниями, выпадающими за рамки чисто кварк-антикварковой систематики являются гибриды: связанные состояния кварков и глюонов. Проблема, существуют ли глюболы и гибриды или нет, вызывает противоречивые суждения. Серьезным аргументом в пользу их существования является то, что во всех феноменологических подходах, успешно описывающих низколежащие qq- и ддд-состояния, глюоболы и гибриды появляются как результат естественного обобщения.

В настоящее время единственно возможным способом проводить количественные расчеты сильных взаимодействий при низких энергиях является развитие КХД-мотивированных моделей, базирующихся на эксперименте. Такой феноменологический подход очень эффективен, он позволяет успешно работать с весьма широким кругом задач. Весьма вероятно, что применение таких моделей не является временной мерой, отражающей нашу сегодняшнюю неспособность решать задачи в мягкой области на основе фундаментального лагранжиана КХД. Кажется весьма правдоподобным, что феноменологические модели будут достаточно широко использоваться и впредь, даже если мы научимся "решать" КХД. Подобный пример демонстрируют исследования конденсированной материи: феноменологические модели и эффективные взаимодействия успешно применяются в этой области, очень часто без вывода используемых взаимодействий из общих положений электродинамики.

Модельные рассмотрения не только позволили вычислить многочисленные спектроскопические характеристики адронов, но и дали бога-

тую информацию о свойствах КХД на больших расстояниях. Успех кварковой модели при описании легких адронов показал, что на расстояниях менее 1 Фм конституентные кварки могут рассматриваться как обычные частицы и, работая с ними, можно забыть о явлении кон-файнмента. Однако при расчете возбужденных состояний и амплитуд мезонного рассеяния при низких и промежуточных энергиях конфай-нмент становится центральным вопросом. Моделирование механизма конфайнмента дает возможность прояснить различные аспекты этого явления. В ряде статей, посвященных спектроскопии адронов, конфайн-мент моделировался как бесконечная потенциальная стенка (см., например, [1, 2, 3]). Качественно правильное описание высоковозбужденных адронных состояний было получено при линейно растущем потенциале V{r) ~ аг (см. дискуссии в [4, 5, б, 7]). Это показывает, что силы конфайнмента не малы на больших расстояниях, и что радиус возбужденных адронов увеличивается с ростом их массы. Однако потенциальный подход не описывает другую важную сторону этого явления: кварки могут легко покидать ловушку конфайнмента, если их энергия достаточно велика для самонейтрализации путем создания новой кварк-антикварковой пары.

Явление мягкой нейтрализации кварков было впервые открыто в процессах рождения вторичных частиц во взаимодействиях адронов при высоких энергиях (см. [8] и ссылки данные там). В области фрагментации рождаемые частицы несут импульсы кварков-спектаторов начального адрона, и это явление довольно трудно объяснить, исходя из модели линейно растущего кваркового потенциала или в релятивистском обобщении такой модели. Механизм конфайнмента должен быть жестко связан с переходом qq —У mesons и qq —> mesons —»■ qq: и менно эти процессы должны формировать эффективную "потенциальную стенку", ответственную за образование высоковозбужденных адронных состояний. Весьма вероятно, что такой механизм может также прояснить явление кварк-адронной дуальности: т.е. возможности описывать процессы как на языке адронов, так и на языке кварков. Создание модели, адекватно учитывающей как кварковые так и адронные степени свободы, дало бы ответ и на важный вопрос о вкладе этих степеней свободы в формирование физических резонансов.

Однако, отвечая на более простой вопрос: существуют экзотические мезоны или нет? — мы не слишком нуждаемся в спектроскопических

вычислениях. На этой стадии проблема состоит в классификации адро-нов. Иными словами, ищется ответ на вопрос, существуют ли "лишние" мезоны, не укладывающиеся в од-систематику, но подходящие, скажем, для глюбольных мультиплетов. Анализ новых высокостати-стичиских данных по реакциям с рождением мезонов может дать ответ на этот важный вопрос. Однако, идентификация (и последующая классификация) резонаннсов при энергии 1000-2000 МэВ затруднена сильной интерференцией кварк-антикварковых (глюбольных) состояний между собой и с нерезонансным фоном через промежуточные мезон-мезонные состояния. Мезон-мезонное взаимодействие может значительно сдвинуть массы наблюдаемых на эксперименте резонансов, обуславливая их довольно сильное отличие от предсказаний потенциальных моделей.

Анализ экспериментальных данных в этом случае должен проводится на основе аккуратного учета таких свойств амплитуды рассеяния как унитарность и аналитичность. Хорошим подходом, полностью учитывающим вышеперечисленные свойства, является диаграм-ный N/ 1)-метод, обсуждаемый в подробностях во второй главе. Этот подход позволяет не только работать в рамках релятивистски инвариантной техники, но также контролировать вклад различных сингуляр-ностей в исследуемый процесс. Последнее свойство черезвычайно важно при анализе экспериментальных данных по многочастичному рождению: такой подход позволяет последовательно выделять сингулярности двухчастичных амплитуд, сингулярности трехчастичных амплитуд и так далее. В рамках этого метода можно ввести вершинную функцию связанного состояния (аналог релятивистской волновой функции) и рассчитать процессы взаимодействия внешнего поля со связанной системой.

Главным объектом нашего обсуждения являются мезонные состояния с квантовыми числами Ырс = 00++. Именно в этом секторе ожидается появление низшего глюбола, масса которого по различным оценкам должна находиться в районе 1550-1750 МэВ. С другой стороны именно в этом секторе мезон-мезонное взаимодействие является наиболее сильным: псевдоскалярные мезоны взаимодействуют здесь в Б-волне. Классическим примером здесь может служить /о(980) резонанс, который в результате интерференции проявляется не как пик, а как узкий провал на пороге рождения КК-пары в 5-волновой амплитуде упругого 7Г7Г рассеяния [9]. В действительности при наличии большого фона ре-

зонанс может проявляться в экспериментальных данных и как пик, и как плечо, и как провал в фоновых событиях. Кроме узкого /0(980) резонанса в 7Г7т-амплитуде, определяемой методом Чу-Лоу с выделением ¿-канального пионного обмена, наблюдается широкий бамп в районе 8001000 МэВ [10, 11]. При увеличении импульса, переданного двухпионной системе (то есть, при увеличении Щ), широкий бамп исчезает, а пороговый касп реализуется в виде узкого резонанса. Анализ 7Г7г-амплитуды в районе К К-порога показывает [12], что узкий касп соответствует двум полюсам, расположенным в комплексной плоскости я (квадрат энергии) на втором и третьем листах. Подобная двухполюсная структура вблизи пороговой сингулярности обычно соответствует одному связанному состоянию. Это связанное состояние (узкий резонанс) рассматривается в [13] в качестве одного из членов 3Р0_мультиплета. Возможно, что широкий бамп не соответствует какому-либо резонансу: такое предположение сделано в [13]. Однако, более вероятна, его интерпретация как широкого резонанса. Проблема идентификации и последующей классификации резонансов в канале Пгс = 0++ может быть решена только с помощью одновременного анализа нескольких наборов данных, полученных в разных экспериментах. Как показывает опыт, при анализе отдельных реакций, как правило, допускается несколько альтернативных объяснений.

Остановимся немного подробнее на данных по рождению Ырс — 0++ мезонов, доступных для одновременного анализа в настоящее время. Одними из первых данных по рождению 3Ро мезонов были данные, полученные коллаборацией СЕШМ-МйшсЬ в реакции тг~р —>• тт+тт~п при энергии налетающего протона 17 ГэВ/с [10]. Анализ этих данных был проведен в работах [9, 10, 11, 12] и позволил иденфицировать узкий резонанс в районе К К порога: /0(980). При более высоких энергиях было декларировано существование широкого упругого резонанса (с главной модой распада на 7Г7г) с массой в районе 1200-1400 МэВ и шириной 300400 МэВ. Хотя экспериментальные данные были получены до энергии двухпионной пары 1.9 ГэВ, никаких других резонансов в этой волне обнаружено не было.

Весьма ценным источником информации являются данные коллабо-рации ГАМС по реакциям тт~р 7г°7г°п, щп и щ'п при энергии налетающего протона 38 ГэВ/с [14, 15, 16]. Полученные данные по реакции 7Т~р —> 7г°7г°п были отобраны как при малых, так и при больших значе-

ниях квадрата переданного импульса |i|, что позволяет проводить более определенный анализ амплитуды ттж рассеяния. Наблюдение в конечном состоянии псевдоскалярных мезонов с большой примесью ss компоненты обуславливает возможность поиска доминантных ss скалярных резонансов. В спектре тут/ мезонов наблюдается двухпиковая структура с пиками в районе 1250-1300 МэВ и 1560-1610 МэВ и провалом в районе 1460-1490 МэВ. Такая структура ясно говорит о присутствии резонанса в районе 1450-1610 МэВ который был идентифицирован как /0 (1590) с массой 1575 ± 45 и шириной 260 ± 65 [17].

В последние 3-4 года коллаборацией Crystal Barrel был проведен эксперимент по рр аннигиляции в мезоны. Данные были получены на установке LEAR(CERN) с очень высокой статистикой, что позволяет провести успешный анализ с целью поиска мезонных состояний. Реакция рр аннигиляции является многообещающей для поиска глюбольных состояний в секторе скалярных мезонов. Во-первых, рождение скалярных мезонов подавлено (по сравнению с рождением резонансов в более высоких парциальных волнах) в этой реакции гораздо слабее, чем в реакциях ттр взаимодействия (в последних этот фактор равен (2L+ I)2, где L -орбитальный момент рождающегося резонанса). Во-вторых, рождение мезонов во многом обусловлено взаимодействием глюонов, что обуславливает возможность успешного поиска состояний с большой примесью глюбольной компоненты.

Наиболее ценная информация может быть получена из анализа реакций рр аннигиляции в покое в три псевдоскалярных мезона 7г°7г°7г0, Щ7г° и 7]7Т°7Т°. При этом протон- антипротонная аннигиляция происходит в жидком водороде, обеспечивая аннигиляцию из S-волнового начального состояния с вероятностью 93 ± 7%. Как мы уже обсуждали, анализ реакций трехчастичного рождения требует глубокого понимания свойств трехчастичных взаимодействий. Первые анализы вышеупомянутых реакций были проведены в рамках чисто изобарной модели и дали следующий результат для скалярных/ изоскалярных мезонов:

1. В реакции рр —> т/т/7г° был обнаружен резонанс с массой 1560 ± 25

МэВ и шириной 245 ± 50 МэВ [18]

2. Для получения более менее приемлемого описания реакции рр —>

7Г°7Г07Г° было сделано предположение о большой (порядка 60%) Р-

волновой аннигиляции рр состояния в данном канале.

3. В реакции рр —> 7г07г°7г0 никаких новых скалярных резонансов не было найдено, однако в районе 1500-1600 МэВ был получен сильный D- волновой резонанс АХ2(1ЫЬ) с массой 1515 ±10 и шириной 120±10 МэВ [19], рождающийся преимущественно из рр Р- волны.

Р-волновая аннигиляция начального состояния была привлечена для объяснения малого числа событий в центре Далиц плота рождения трех 7г°- мезонов: аннигиляция начальной 3Р2 волны в три идентичных мезона дает ноль в центре Далиц плота. Заметм, что "дыра" появляется в области, где инвариантные массы двух пионов во всех каналах примерно равны 1 ГэВ и, как оказалось, имеет происхождение, напрямую связанное с динамикой тг7г взаимодействия. Наглядным подтверждением этого положения могут служить данные, полученные [20] в реакции рп —> 7г~7г+7г- при энергии налетающего протона 1.6 ГэВ. Далиц плот этой реакции характеризуется сетью пиков и провалов ("дыр"). При этом, так же как и в реакции аннигиляции в покое, "дыра" находится в районе 1 ГэВ 7г+7г~ инвариантной массы, в то время как в центре Далиц плота виден весьма сильный пик. Сильная Р-волновая аннигиляция привела бы, как и в предыдущем случае, к малому числу событий в центре Далиц плота, и, следовательно, "дыра" в области 1 ГэВ не может быть объяснена с помощью подобного механизма. Именно эта идея и послужила отправной точкой для проведения нами повторного анализа данных коллаборации Crystal Barrel.

В нашем анализе мы предполагали 100% S- волновую рр аннигиляцию в три псевдоскалярных мезона и проводили одновременный анализ всех трех реакций, что позволяет в значительной степени фиксировать 7Г7Г S- волну при энергиях двухпионной пары ниже 1.2 ГэВ. Привлечение знаний об аналитических свойствах трех частичных амплитуд позволило получить решение, адекватное для всех трех реакций (значения \2 для каждой реакции при одновременном фите были более лучшими, чем в предыдущих анализах отдельных реакций) и успешно идентифицировать скалярные резонансы в области 1250-1600 МэВ [21, 22, 23, 24, 25]. В результате этого анализа был открыт скалярный/изоскалярный резонанс /о(1500) с массой 1520 ± 35 и шириной Г = 148±lg МэВ [21], и получены сильные указания на существование еще одного изоскаляр-ного резонанса в районе 1300 МэВ (/0(1335): М = 1320i|o, Г = 270±|| МэВ) [23] и изовекторного резонанса а0(1450). В районе 1500-1600 МэВ возможно существование D-волнового резонанса, однако в найденном

решении его вклад в общее число событий не привышает 2%, и уверенная идентификация этого резонанса на основании только данных кол-лаборации Crystal Barrel невозможна. Увеличение статистики событий примерно в 10 раз показало правильность нашего описания, качество которого при этом значительно улучшилось [24, 25]. В то же время увеличение статистики привело к значительному ухудшению предыдущих решений, которые были признаны коллаборацией Crystal Barrel как ошибочные.

Наш первый анализ данных коллаборации Crystal Barrel был проведен в рамках так называемого Т-матричного подхода. Этот подход оперирует непосредственно с сингулярностями амплитуды рассеяния и является наиболее простым и гибким для начального анализа данных. Подход в рамках N/D- метода или К- матричный подход требуют детального знания динамики взаимодействий. Большое число сильно коррелирующих параметров легко может привести к неправильному решению при пренебрежении важным каналом распада или просто при излишней свободе параметров. Однако, в случае сильной интерференции резонансов, именно К- матричный подход и подход в рамках N/D- метода могут ответить на вопрос о физическом происхождении резонансов и дать возможность провести классификацию найденных состояний.

Переход к K-матричному описанию был осуществлен в несколько этапов: сначала при малых энергиях (меньше 1200 МэВ) [26] с последующим распостранением анализа на всю фитируемую область (до энергий двухмезонной пары 1900 МэВ) [27, 28]. При этом на каждом этапе в фит привлекались данные других экспериментов (CERN-Münich, ГАМС, BNL), что позволяло более точно идентифицировать резонансы и сохранить хорошую стабильность полученных решений. Конечный фит девяти различных экспериментов позволил не только дать адекватное описание всех процессов и определить с высокой точностью положение полюсов в амплитуде рассеяния, но и провести классификацию голых состояний (К- матричных полюсов) в канале IJPC = 00++.

В области энергий до 1900 МэВ амплитуда рассеяния в канале IJPC = 00++ имеет пять полюсов, обозначенных в дальнейшем, как резонансы /о(980), /о(1335), /о(1500), /0(1530 ± 295°0) и /0(1780):

/о(980) М= (1015 ± 10) - ¿(43 ± 8) МеУ, /о(1335) М= (1300 ± 20) - ¿(120 ± 20) MeV,

/о(1500) М = (1499 ± 6) - ¿(65 ± 10) MeV /о(1530) М= (1530ig0)-z(560±140) MeV. /о(1780) М — (1780 ± 30) - ¿(125 ± 50) MeV.

Для резонансов /о (980) и /0 (1500) мы используем обозначения, приведенные в последнем обзоре Particle Data Group (1996г.) [29]. К сожалению, в этом обзоре произошла путаница с резонансами в районе 13001400 МэВ. Результаты наших анализов вышеперечисленных реакций [21, 23, 24, 26, 27, 30] (как и результаты других анализов [31, 32]) всегда указывали на существование в этом районе широкого фона, вполне вероятно резонансного, с шириной резонанса около 1 ГэВ, и узкого, неупругого резонанса с доминантной А-к модой распада, с массой 1300-1320 МэВ и шириной 240-280 МэВ. Картина, данная в обзоре 1994 года [33], довольно правильно воспроизводила эту ситуацию, но в обзоре 1996 года эти различные резонансы были объедены, почему-то, в один /0( 1370). Чтобы прояснить эту путаницу мы будем в дальнейшем ссылаться на узкий неупругий резонанс как на /0(1335) (как он был введен в [24]), а на широкий резонанс, как на /о(1530 ± 295°0).

Этим резонансам соответствуют пять К-матричных полюса (голых состояний /06аге) с массами 730±100 МэВ, 1240±30 МэВ, 1280±30 МэВ, 1615 ± 50 MeV и 1810 ± 30 МэВ. Для этих состояний удается успешно ввести классификацию на основании правил кварковой комбинаторики. При этом четыре состояния естественным образом формируются в нонеты основного состояния и первого радиального возбуждения. Одно из состояний является лишним и его угол смешивания оказывается близким к предсказанному в [34] углу смешивания глюбола. Полученное решение допускает два варианта классификации, обусловленных близостью угла смешивания и константы связи с двухчастичными каналами состояний /раге( 1240) и /даге(1615). Это делает невозможным идентифицировать какое из этих состояний является глюболом в рамках данного подхода. Для однозначной классификации представляется разумным привлечь современные решеточные вычисления, предсказывающие массу глюбола в районе 1550-1750 МэВ [35, 36], и, соответственно, указывающие на состояние /раге(1615) как на наиболее вероятный кандидат в глюболы.

Диссертация построена следующим образом: Вторая глава является по своей сути вводной: в ней приведены как известные формулы

N/D-метода, так и разработанный на их основе диаграмный N/D-метод [37, 38, 39, 40, 41, 42]. Последний может применяться не только для расчетов амплитуды рассеяния частиц, но и для расчетов взаимодействия внешнего поля со связанной системой конституентов. Выражения, полученные в рамках этого подхода с успехом могут применяться для последовательного анализа экспериментальных данных в области сильно интерферирующих резонансов.

В третьей главе показано применение диаграмного N/D метода к анализу протон- протонного рассеяния в каналах с сильным рождением А изобары [43] и к анализу связанной системы нейтрона и протона - дейтрона [41, 42, 44]. В конце 80-х начале 90-х годов широко обсуждался вопрос о существовании дибарионных резонансов в парциальных волнах протон- протонного рассеяния 1D2, 3А и 3F3 при энергии налетающего протона около 600 ГэВ/с (см. [45, 46, 47, 48, 49] и ссылки данные там). Однако, другие работы указывали на то, что эти резонансы находятся в районе порога N А, и правильная трактовка этой сингулярности может дать альтернативное объяснение экспериментальных данных [50, 51, 52, 53]. В результате анализа данных, полученных в реакциях рр —>• пртт+ и рр —> рртт0, был выполнен анализ амплитуды рассеяния в связанных каналах рр и iVA в рамках дисперсионного N/D метода. Проведенный анализ позволил провести успешное описание фаз и неупругостей в указанных каналах. Анализ сингулярностей в комплексной плоскости амплитуды рассеяния однозначно указал на отсутствие дибарионных резонансов в районе NA порога. Проверка решения на стабильность, путем явного учета известных процессов (например, однопионного обмена в канале N А —> N А) или включение в фит дополнительных каналов 7Гd, NN*, А А не привели к существенному изменению структуры сингулярностей в комплексной плоскости. Во втором разделе третьей главы дисперсионный N/D- метод применен к анализу протон-нейтронного рассеяния в волне 3Sr3Di, где существует связанное состояние протона и нейтрона - дейтрон. Дисперсионный N/D - метод позволяет однозначно связать вершинные функции нейтрон-протонного рассеяния с вершинной функцией составной системы и провести расчеты взаимодействия внешнего поля с этой сосставной системой. В частности, в данной главе, базируясь на результатах работы [41] приведены вычисления формфакторов дейтрона вплоть до — q2 = 2.3 ГэВ2, для которых получено весьма успешное описание без привлече-

ния гипотезы о вкладе обменных мезонных токов. Заметим, что требование калибровочной инвариантности в диаграмном N/D- методе выполняется автоматически, и не требует привлечения взаимодействия внешнего поля с 7г-мезонами. Проведенный анализ показал, что в рассмотренной области энергий дейтрон может рассматриваться как связанная система протона и нейтрона без привлечения других (например кварковых) степеней свободы. В разработанном подходе это явление напрямую связано с малой неупругостью протон-нейтронного рассеяния в канале 3Si~3Di.

В четвертой главе рассмотрена кварковая модель, построенная на базе переходов qq —» two mesons [54, 55, 56]. Эта модель позволяет прояснить явление кварк-адронной дуальности, а также провести вычисление физических резонансов в случае сильной интерференции кварк-антикварковых состояний через рождение мезонов и вычислить амплитуды мезон-мезонного рассеяния. Массы, парциальные ширины и амплитуды мезон- мезонного рассеяния, полученные в рамках модельных вычислений вплоть до энергий 1300 МэВ достаточно удовлетворительно согласуются с экспериментальными данными. При этом в рамках бут-страпных вычислений получена масса эффективного (конституентного) глюона:

MG = 700 MeV.

Такая масса эффективного глюона должна соответствовать массе скалярного глюбола в районе 1350-1500 МэВ. Можно надеяться, что распо-странение этой модели на область более высоких энергий, с привлечением глюон-глюонного взаимодействия, позволит получить адекватное описание спектров мезонов в районе энергий вплоть до 2000 МэВ.

Пятая глава базируется на работах [21, 22, 23, 24, 25] и посвящена анализу данных реакций по рр аннигиляции в покое в три псевдоскалярных мезона, полученных коллаборацией Crystal Barrel на установке LEAR (CERN). Анализ проведен в рамках Т-матричного подхода с использованием свойств амплитуды рассеяния при низких энергиях, обсужденных в первых трех главах диссертации. В результате одновременного анализа всех трех реакций рр аннигиляции, а также данных по фазе и неупругости S-волновой амплитуды 7Г7Г рассеяния ниже энергии 1200 МэВ [9, 11] впервые было обнаружено существование трех новых скалярных резонансов /0 (1335), /о (1500) и ао(1450). Анализ также определил характеристики других резонансов, известных ранее. Одним

из важных результатов является идентификация двухполюсной структуры в области /о (980), а также определение структуры ао(980) резонанса: этот резонанс имеет большие константы связи как в г)п так и в КК каналы: его узость обусловлена сильной интерференцией этих вкладов в районе КК порога. Это делает довольно затруднительной интерпритацию этого резонанса как К К молекулы [57, 58, 59].

Фит также указал на возможное существование двух D-волновых резонансов: изоскалярного /2(1560) с массой в районе 1520-1570 МэВ и шириной 140-170 МэВ и изовекторного й2(1620) с массой 1610-1640 МэВ и шириной 160-200 МэВ. Оба резонанса довольно слабо связаны с двухчастичными каналами и являются, по-видимому, радиальными возбуждениями /0 (1270) и (¿2(1320). Для уверенной идентификации этих состояний необходимо включение в одновременный анализ таких данных как, например, данные коллаборации УЕБ(ИФВЭ) [60].

Шестая глава основана на работах [26, 30, 27, 28], в ней проводится одновременный анализ данных коллабораций Crystal Barrel [31, 32], ГАМС [14, 15, 16], CERN-Miinich [9] и данных по реакции ттр ->> ККп, полученных в Брукхевенской национальной лаборатории (BNL) [61] в рамках К-матричного подхода.

Включение в анализ данных коллаборации ГАМС при больших переданных импульсах позволило зафиксировать структуру 7Г7Г волны в районе К К порога. Эта структура обусловлена интерференцией двух К-матричных полюсов (голых состояний) сильно связанных с каналом 7Г7Г рассеяния. Узость резонанса /0(980) со свойствами этой интерференции и практически несвязана с присутствием К К порога. Это также делает весьма сомнительной трактовку этого резонанса как К К молекулы.

Использование в фите оригинальных данных коллаборации коллаборации CERN-Miinich, а именно моментов < Y(n,m) >, непосредственно выделенных из сечения реакции тг~р —> 7г-7г+р привело к успешному описанию данной реакции набором резонансов, полученных при анализе данных коллаборации Crystal Barrel. Значение полученное в одновременном фите вышеперечисленных реакций оказалось лучше, чем в анализах, проведенных коллаборацией CERN-Miinich [9, 11]. Частью это связано с привличением последних данных по р-мезонному сектору и резонансу в G-волне, но во многом и правильной трактовкой скалярного сектора.

Привлечение в анализ данных группы BNL позволило провести 4х канальный К-матричный анализ (7Г7Г, К К, щ и 4к каналы) вплоть до энергий 1550 МэВ. При этом, было не только получено успешное описание всех реакций, но и воспроизведена двухпиковая структура в спектре реакции 7Г7Г —> rjrj, нефитируемом в данном случае. Эта структура определяется деструктивной интерференцией резонанса /0(1500) с фоном, обусловленным главным образом широким резонансом /0(1530 ± 295°0).

В результате фита были получены три относительно узких скалярных/ изоскалярных резонанса /0(980), /0(1335), /О(1500) и один широкий резонанс /о (1530) с массами и ширинами, хорошо согласуюгцимеся с предыдущим Т- матричным анализом. Этим физическим резонан-сам соответствуют четыре К- матричных полюса (голых состояния) /О6оге(720), /0Ьаге(1240), /06аге(1280) и /06аге(1б15). Анализ констант связи этих состояний с двухмезонными каналами 7Г7Г, К К и щ показал весьма удовлетворительное согласование этих величин с правилами кварковой комбинаторики [62, 63, 64]. Более того, непосредственное использование правил кварковой комбинаторики в фите данных практически не привело к изменению качества описания. Это является сильным указанием на то, что именно голые состояния связаны с кварк-кварковым взаимодействием, тогда как физические полюса во многом определяются явлением мезонной интерференции, и, как следствие, утрачивают эту связь. Вычисления угла смешивания голого состояния показали, что только одно голое состояние /оаге (720) имеет большую ss компоненту. Состояние /оаге(1280) является естественным партнером по нонету для этого состояния, а два остальных состояниия имееют довольно близкий угол смешивания, преимущественно нестранную компоненту и не могут являться партнерами по нонету.

На следующем этапе, с целью идентификации резонансов с большой ss компонентой, в фит были включены данные коллаборации ГАМС по реакции п~р —у щп и 7Г~р —У r)'r¡n. Анализ проводился в рамках пятиканального К-матричного подхода (с включением канала т]Г]') и показал возможность введения в области 1550-1900 МэВ только одного партнера по нонету для одного из нестранных состояний /0Ьаге(1240) и /оаге(1615). Этому голому состоянию соответствует физический резонанс /о (1780) ответственный за описание пика в районе 1750 МэВ в амплитуде 7Г7г —> К К перехода. Введение дополнительного резонанса в этой области (партнера другого нестранного состояния) серьезным

образом нарушает описание КК, щ и щ1 спектров.

Таким образом, в районе 1250-1650 МэВ имеется состояние, довольно сильно связанное с двухчастичными каналами распада и не имеющее партнера по нонету, а следовательно, выпадающее за рамки кварковой систематики. Соотношения констант связи этого состояния с двухме-зонными каналами весьма близки к тем, которые получены для глюбола в рамках кварковых комбинаторных правил.

2 ДИАГРАМНЫЙ N/D-МЕТОД

Эта глава является вводной: в ней изложена диаграмная интерпретация N/D- метода, глава основана на работах [37, 38, 39, 40, 41, 42].

Дисперсионные соотношения уже давно использовались для описания составных систем (см. работы [65, 66, 67, 68, 69, 70] и ссылки, данные там). Обычно рассматриваются t-канальные дисперсионные соотношения, в которых аномальные сингулярности появляются в явном виде, что приводит к необходимости явно учитывать их вклад. Ниже представлен подход, использующий дисперсионные соотношения по массе составной системы, в котором вклады аномальных сингуляр-ностей оказываются учтенными в обычных дисперсионных интегралах. Кроме того, классический N/D-метод, являясь довольно удобным для описания амплитуды рассеяния, практически неприменим для описания взаимодействий внешнего поля с составной системой. Это происходит потому, что этот метод является скорее математическим подходом, чем физическим, и, как следствие, физическая интерпретация N и D функций довольно затруднена.

В данной главе представлен диаграмный N/D метод, позволяющий вычислять вершинную функцию перехода составной системы в консти-туенты - инвариантную величину, непосредственно связанную с N-функцией амплитуды рассеяния конституентов и имеющую смысл релятивистского аналога волновой функции составной системы. Амплитуда взаимодействия внешнего поля с составной системой выражается в виде сверток вершинных функций с амплитудами рассеяния реальных конституентов на внешнем поле. При этом, для формфакторов и глубоко-неупругих структурных функций оказываются справедливыми правила сумм для заряда и импульса. Наложение условия калибровочной инвариантности при взаимодействии составной системы с безмассовым векторным полем и условия аналитичности по импульсу, передаваемому составной системе, позволяет избавится от произвола, присущего всякому дисперсионному рассмотрению и связанному с присутствием вы-читательных членов в дисперсионных интегралах. Диаграмный N/D метод также весьма удобен при исследовании многоканальных амплитуд рассеяния конституентов.

2.1 Аналитические свойства амплитуды рассеяния

Рассмотрим аналитические свойства рассеяния двух частиц с массами т\ и га2, взаимодействующих посредством обмена другой частицой с массой /л. Полная амплитуда рассеяния зависит от двух инвариантов, которыми могут быть выбраны квадрат полной энергии в и квадрат переданного импульса В комплексной плоскости этих инвариантов амплитуда рассеяния имеет следующие особенности: в ¿-плоскости полюс при Ь — ¡I2 и разрезы с началом при £ = (п^)2, п = 2,3,4,..., которые отвечают одно- и многочастичным объменам, в 5-плоскости разрез с началом при в = [т\ +ш2)2, отвечающий упругому рассеянию, и разрезы с началом при я — (т\ +т2+п/л)2, п = 1, 2,3,..., отвечающие открытию неупругих каналов с рождением п частиц с массой /1. Если имеется связанное состояние с массой М, то амплитуда имеет полюс при в = М2.

Парциальные амплитуды в 5-канале зависят только от инварианта 5. Они имеют все я-канальные сингулярности полной амплитуды (так называемые правые сингулярности), а так же левые разрезы (левые сингулярности), индуцированные ¿-канальными сингулярностями полной амплитуды. Начало левых разрезов находится при 5 = {тх +т2)2 — (п//)2, п = 1,2,3,.... Картина сингулярностей парциальной амплитуды рассеяния приведена на Рис.1.

Рассмотрим более подробно Б-волновую парциальную амплитуду А(в) (обобщение на случай других парциальных волн будет проведено в следующем разделе). При этом будем пренебрегать вкладом неупругих каналов, т.е. вкладом особенностей связанных с рождением новых частиц в э-канале. В классическом N/0-методе парциальная амплитуда представляется в виде отношения двух функций:

где ^(з) имеет только левые сингулярности, в то время как функция £)(«) имеет только правые сингулярности парциальной амплитуды, а полюс амплитуды соответствует нулю /^-функции. Условие двухчастичной унитарности налагает следующее соотношение на парциальную амплитуду рассеяния:

(1)

1тА(з) = А(5)р(5)А+(5).

(2)

(гТЦ + ПЛг)2— (п/х)2 (тт + ГПг+П/х)2

_а (т^ГЛг)2 в_

-о <э-

-о о о-

м

Рисунок 1. Сингулярности парциальной амплитуды рассеяния двух частиц с массами тI и т2, взаимодействующих посредством частицы

с массой /1.

хх=;х+хх+ххх + .

А С С С В С С В В С

Рисунок 2. Дисперсионные диаграммы, описывающие парциальную

амплитуду рассеяния.

Здесь p(s) - двухчастичный фазовый объем р{з) = ^1ёФ2{Р,кък2) =

s — (mi + m2)2][s — (mi — m2)2]

167Г5

/ 2 \ 2 М и.

= (3)

где к{ - 4-импульсы конституентов. Уравнение (2) дает следующее соотношение между мнимой частью Б-функции и Ы-функцией на правом разрезе:

/т£>(з) = 5 > (Ш1 + т2)2, (4)

В предположении отсутствия КДД-полюсов [71] и нормировке £)-функции условием —У сю) —> 1 получаем следуещее дисперсионное соотношение:

d(s)=i—b(s)=i — Í (5)

J 7t S' — S

(mi+m2)2

Как уже отмечалось во введении, этот подход весьма полезен для исследования процессов рассеяния, но N и /^-функции не могут быть непосредственно использованы для вычисления взаимодействия внешнего поля с составной системой. Для этих целей необходимо знать вершинную функцию распада составной системы на конституенты. Такая вершинная функция может быть введена следующим образом:

G(s) = yN(s) (6)

и парциальная амплитуда представлена в виде ряда произведений В(s) функций:

A(s) = G(s) [1 + В(з) + B2(s) + B3(s) + ...] G(s)

J ds' G(s')p(s')G(/) _

J -к s' — s

4 m2

На Рис.2 дается графическая интерпретация уравнения (7). Здесь В (в) - это однопетлевая диаграмма, а различные члены в формуле (6) — амплитуды с различным числом перерассеяний.

Вершинная функция Ст($) может быть использована для вычисления взаимодействия внешнего поля с составной системой. Однако такая процедура не содержит противоречий только в случае когда С-функция является аналитической и не имеет мнимой части при в > [т\ + ш2)2. Если вершинная функция вычислена по формуле (6) это условие может быть выполнено только в ряде специальных случаев.

Рассмотрим другой подход свободный от этой проблемы. Предположим, что двухчастичная амплитуда рассеяния может быть представлена как сумма дисперсионных диаграмм с различными вершинными функциями (я), которые удовлетворяют выше перечисленным свойствам. Тогда:

А{з) = £ 0{{з)С{{з) + £ ОМВц{8)ОМ +

г 13

^С{(8)В^{8)Взк{8)Ок(8) + ... (8)

13 к

Здесь функции соответствуют однопетлевым дисперсионным диа-

граммам с вершинами Gi(s) и Gj(s):

вф)= УмоуыфМ (9)

4т2

Введем блок взаимодействия «¿(з), соответствующий амплитуде рассеяния с фиксированной последней вершиной Сг- в однопетлевой диаграмме, но с отброшенной свободной вершиной 64(5). Парциальная амплитуда

связана с этим блоком взаимодействий следующим образом:

= (10)

г

Блоки а^в) подчиняются системе линейных уравнений:

аДв) = (11)

Или в матричной форме:

(.Т-В)а = д. (12)

Здесь В - матрица однопетлевых диаграмм Bij(s), а д - столбец, составленный из вершинных функций Gi(s). Амплитуда рассеяния равна:

А = дт(1-В)~'д. (13)

Покажем, что записанная таким образом амплитуда удовлетворяет условию унитарности. Действительно, учитавая, что вершинные функции реальны на правом разрезе, из уравнения (2) имеем:

±дт(1 - В)~1д - дт(1 - В)~1*д = дт{1 - В)'1 gp(s)f{I - В)~1*д. (14)

Опуская крайние матрицы дт и д, а затем домножая уравнение слева на (/ — 5), а справа на (/ — В)* получаем следующее уравнение для мнимой части матрицы В:

ImB = gp(s)f. (15)

И, следовательно, элементы матрицы В выражаются через вершинные функции в виде дисперсионного интеграла (9).

Введем функцию /(s, Si), связанную с вершинными функциями и блоками <1[ следующим образом:

/(s,Sl)-EaK^(Sl). (16)

i

Используя уравнение (11) получаем:

J 7Г S — S 4m2

где

V(s,si) = Y,Gi(s)Gi(Sl) = N(s, si). (17)

i

Это уравнение является дисперсионным аналогом уравнения Бете- Сол-питера [72]. Когда s = Si > (mi + m2)2 функция f(s,si) отвечает амплитуде рассеяния конституентов, а при s ф Si амплитуде перехода между off-shell конституентами. В полюсе амплитуды при s = М2 детерминант матрицы I — В равен нулю и, следовательно, правая сторона

уравнения (12) может быть опущена. Это означает, что в этой точке амплитуда не зависит от О (в — М2), а только от функций = М2), которые определяются через вершинные функции (^-(з) при в > (шх+тг)2. Функция /(М2,я > (гпх + ш2)2) является релятивистским аналогом волновой функции (с точностью до множетеля (в — М2)) и как будет показано в дальнейшем, все процессы на составной системе выражаются посредством этой функции. Таким образом, здесь проявляется аналитическое соответствие между волновой функцией и амплитудой рассеяния: обе функции выражаются через вершины С(й), взятые при 5 > {тп\ + ТП2)2, то есть в области, где эти функции вещественны и регулярны.

Рассмотрим связь дисперсионной однопетлевой диаграммы с фейн-мановским интегралом в уравнении Бете-Солпитера:

Р _ г <1Ак а(къР - кх\к,Р - к)а{к,Р - к;к2,Р - к2) . *

У г(2тг)4 (т? - к2){т\ - (Р - к)2) ' 1 }

Здесь а(&1, Р—к\] к, Р—к) неприводимый блок взаимодействий без двухчастичных промежуточных состояний в 5-канале, а Р-полный момент системы двух конституентов. Для того, чтобы получить из фейнманов-ского интеграла интеграл для дисперсионной однопетлевой диаграммы, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Исключить из блока а(к\,Р — к\, к, Р — к) сингулярности, связанные с рождением новых частиц в «-канале, то есть оставить только левые сингулярности.

2. Факторизовать блок а{к\^Р—к\\ к, Р—к) суммой вершинных функций, имеющих только левые сингулярности:

а

(киР- кх-к,{Р - к)) = ^¡(киР- к^в^Р- к). (19)

3. Вычислить мнимую часть фейнмановского интеграла на правом разрезе по правилу Ландау-Каткосткого, т.е. заменяя прапога-торы конституентов на ¿-функции:

(т2 - к2)~1{т\ ~(Р- к)2)"1 ^(-2тг)2г 6(т\ - к2Щк0)

¿1 V

.8{т\ — (Р — к)2)(д(Р0 — к0). (20)

4. Восстановить реальную часть, выполнив интегрирование по всем энергиям.

После выполнения этой процедуры мы получим выражение для интеграла однопетлевой дисперсионной диаграммы. Таким образом, видно различие между фейнмановским интегралом и дисперсионным. В фей-нмановском интеграле все сингулярности связанные с рождением новых частиц, присутствуют в неприводимом блоке взаимодействий, в то время как вершинные функции в дисперсионном подходе содержат только левые сингулярности амплитуды рассеяния, а восстанавлевае-мая по дисперсионному интегралу В-функция содержит только первый правый разрез. Для того чтобы учесть вклад рождения новых частиц в амплитуду рассеяния (другие правые разрезы) каналы перерассеяния этих частиц должны быть введены в явном виде.

Рассмотрим метод построения амплитуды рассеяния в многоканальном случае. Такая амплитуда представляет собой матрицу А с элементами Ац, описывающими переходы между каналами г и ]. Будем считать, что взаимодействие в каждом канале равно сумме сепарабельных взаимодействий N^1

%(.,/) = = (21) к п

Введем блок взаимодействия характеризующий переход из состояния I в состояние к, но с фиксированным последним взаимодействием Ж™ (я) и опущенной вершинной функцией (в):

¿У = (22)

т

Блок подчиняется системе линейных уравнений:

аТ)к = £ аи3Щк + ^ч^Тя (23)

п,1

где однопетлевая диаграмма В^™ равна:

вям-Г^е^ШЖ, (24)

«/ 7Г 3 3

Здесь pj(ys) - фазовый объем в ^том канале. Составим из матрицу а, а из ¿{¿С1^ матрицу д так, что индекс 1 соответствует номеру столбца,

а строка нумеруется как последовательность сочетаний индексов j, к и т:

( а]

а =

а

1И 2 111

211 2 211

121 2 121

221

2

221

112 2 112

212 2 212

V

9 =

/

С? н 0 0

0 0 ^21 ^21

^12 ^12 0 0

V •••

/

(25)

Тогда система линейных уравнений переписывается в матричной форме как:

(1-В)а = д,

(26)

Здесь В - матрица функций размерностью М х М, где М - число возможных сочетаний индексов к, п. Если число каналов в амплитуде рассеяния равно 14, то матрицы а и д имееют размерность М х N. Матрица амплитуды рассеяния выражается через матрицу а в следующем виде:

А = д'а=д'(1-В)~1д,

(27)

где д' - матрица N хМ с элементами где 1 соответствует номеру

строки, а столбец нумеруется всеми сочетаниями индексов к, т:

9= О

Сги Сгп

О

Г<1 Г<2

О о

о

о

Г Л Г~<2 °"12 12

(28)

Из условия унитарности легко получить связь между элементами матрицы В и матриц д' и д:

1тВ = дрд',

где р - диагональная матрица фазовых объемов.

В полюсе амплитуды можно опустить свободный член в (26), и уравнение на для матрицы а переходит в однородное уравнение:

(/ - В)а = 0 (30)

Решение такого уравнения существует только, если детерминант матрицы I — В равен нулю, что и является условием появления полюса. Кроме того, однородное уравнение не зависит от последнего индекса (номера столбца) матрицы а и, следовательно, решение представляет собой столбец. Вершинная функция связанного состояния равна:

}(М\в)= (31)

Ь3,т

и определяется с точностью до произвольного множителя, который может быть фиксирован условием равенства единицы электрического фор-мфактора при д2 —> 0. В случае рассеяния в различных парциальных волнах, вершинные функции должны быть домножены на операторы парциальных волн. Такое обобщение приведет только к переопределению фазовых объемов, в определение которых войдет свертка по этим операторам. Вершинная функция составной системы в этом случае равна:

з

где оператор ^того канала, а /¿(М2,з) вершинная функция распада составной системы в канал ^

= (32)

г,т

Дисперсионный диаграмный метод позволяет шаг за шагом включать в рассмотрения различные сингулярности и, следовательно, оценивать их вклад в различные процессы. Отметим, что эффект внемассовости конституентов отражается в дисперсионном подходе через нарушение сохранения энергии (инвариантам) в блоке взаимодействия (^¿(5)^(51).

2.2 Взаимодействие составной системы с внешним электромагнитным полем.

Рассмотрим взаимодействие бесспиновой составной системы с внешним электромагнитным полем. Такое взаимодействие имеет структуру:

где Р, Р' - 4-х импульсы составной системы до и после взаимодействия с внешним полем, д - 4-х импульс 7-кванта, а - формфакторы составной системы. Диаграммы для взаимодействия системы конституентов с внешним полем показаны на Рис. За,Ь,с. В настоящем подходе эти диаграммы получаются путем вставок фотонных линий во все линии конституентов в графики, отвечающие амплитуде рассеяния конституентов (Рис. 2).

Если в системе конституентов имеется связанное состояние, то его взаимодействию с внешним полем соответствует двойной полюсной член, отвечающий связанному состоянию до и после взаимодействия. Это означает, что мы можем ограничить рвссмотрение только диаграммой Рис. 3(1. Для вычисления треугольной диаграммы (треугольной сингулярности), показанной на Рис. 3(1, удобно стартовать с фейнмановского интеграла:

Здесь вершинные функции получены в результате факторизации неприводимого блока взаимодействий (шаги 1 и 2 предыдущего параграфа), а (к[ + к\)ц отвечает вершине взаимодействия безмассового кон-ституента с внешним электромагнитным полем: обозначения 4-х импульсов конституентов показаны на Рис.Зг.

Дисперсионные соотношения обычно принято записывать для инвариантных функций. Для этого необходимо разложить вектор (к[ по внешним векторам. Однако, эти вектора должна быть отличны от векторов, используемых при вычислении фейнмановских интегралов. В дисперсионном подходе базовую роль играют инварианты: квадраты полной энергии конституентов до и после взаимодействия ква-

драт переданного импульса д2. Компоненты внешних векторов в диспе-

Р, 5) = 2(Р„ - +

(33)

< = 1

<Ркг О.-^гНЦ + М/ч^'п**)

Ц2тг)* (ю\ - Щ)1т~, - Щ)(т\ - к?)'

(34)

Рисунок 3. Диаграммы взаимодействия системы конституентов с внешним полем: (а) - несвязанная диаграмма, (Ь)- конституенты рассеиваются только до (после) взаимодействия с фотоном, (с)- перерассеяние конституентов как до, так и после взаимодействия с фотоном, (с!) -двухполюсная диаграмма.

рсионном подходе определяются только исходя из инвариантов и условия сохранения импульсов:

Р2 = 5 р'2 = / д2 = д2

р = к!+к2 Р' = Р-Н = + (35)

Таким образом имеем:

(к[ + *!)„ = 2а(Р - ^д), + /Зд, + к^ (36)

где вектор к^ ортогонален векторам Р^ и дм, а функции а и (3 равны: + 5 - д2 + к2 + - 2&2 + («' - 5)(^2 - &2)/д2

а =

2(5' +й) - д2 - («' -5)2/д2

Р - У2

р = -ч^- (37)

г

Для вычисления двойного скачка фейнмановского интеграла в каналах 5 и необходимо, как и в случае однопетлевой диаграммы, заменить все прапогаторы конституентов на (^-функции. Введем двойную спектральную плотность Д(«',5,д2), определяемую следующим образом:

Л = / г^У ^ " к1Щт1 ~ к1Щт' ~ к?)■ (38)

Функция Д($',$, д2) является релятивистски инвариантной и, следовательно, не зависит от системы отсчета. Одна из удобных систем отсчета для вычисления этой функции является система центра инерции конституентов в начальном состоянии. В этой системе Р = (у/в, 0), а 4-х вектор системы конституентов в конечном состоянии имеет следующие компоненты:

_ з' + з-д2 _ (54 . - д2)2 - 4м'

~ Тз •

Используя формулы (38), (39), получаем следующее выражение для двойной спектральной плоскости:

A (s,s',q2) = J

d4

s 8{s — (y mf + к2 4-

m2+P)2)

16тГ

m\ + к2

m'

+ k2{l-yi)

1 +

\k\yV41

m\ + k2y¡4(ra? + k2( 1 - y2)) - q2

í 5' - s + q2d -

I

ra2 + &2(1 — ?/2)

4(mf + P(1 -í/2)) - g2

(40)

где

—-Г

у = eos Р'к d =

т\ + к2\1т2 + к2 + к2 у"

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Саранцев, Андрей Викторович

7 ВЫВОДЫ

В диссертации выполнен анализ амплитуд рассеяния адронов с целью идентификации связанных состояний (полюсов амплитуды рассеяния) и определения структуры взаимодействия адронов при низкой энергии. В результате проведенных исследований получены следующие результаты:

1. На основе дисперсионного N/0- метода развит диаграмный подход, позволяющий последовательно анализировать структуру многоканальных амплитуд рассеяния адронов в случае сильной интерференции нескольких резонансов, а также интерференции резонансов с фоном [37, 38, 39, 40, 41, 42]. В рамках разработанной техники введена вершинная функция связанного состояния (аналог нерелятивистской волновой функции), позволяющая вычислять взаимодействие связанной системы конституентов с внешним полем. Показано, что полученное выражение для электрического формфактора удовлетворяет тождеству Уорда, а выражение для процесса глубоконеупругого рассеяния на составной системе удовлетворяет правилам сумм для заряда и импульса.

2. Разработанный метод анализа составных систем применен к амплитуде протон- протонного рассеяния в каналах 3Р2 и 3Р3 , где наблюдается сильное рождение А- изобары [43]. В результате анализа как хорошо известных данных по упругому протон- протонному рассеянию [49, 77, 78], так и недавно полученных данных по реакциям рр прп+ и рр —У ррл° [79, 80], проведено успешное описание фаз и неупругостей в связанных каналах рр и NA. Анализ сингулярностей в комплексной плоскости амплитуды однозначно указал на отсутствие полюсных особенностей, которые могли бы соответствовать широким дибарионным резон ансам в районе N А порога. Проверка решения на стабильность, путем явного учета известных процессов (например, однопионного обмена в канале NA —NA) или включение в фит дополнительных каналов 7тс1, NN*1 А А не привели к существенному изменению структуры сингулярностей в комплексной плоскости. В волне протон- протонного рассеяния 1И2 получено связанное состояние вблизи NNп порога. Однако, возможно, этот полюс амплитуды есть результат предположений, сделанных в [79, 80] при выделении фазы N А рассеяния вблизи NN71 порога: для проверки существования этого полюса необходимо получить высокостатистические поляризационные данные по реакции рр —рптт при энергии налетающего протона 300-500 МэВ.

3. Применение диаграмного N/D- метода к анализу протон-нейтронного рассеяния в связанных каналах 35i-3Di позволило определить вершинные функции этого взаимодействия и на их основе вычислить вершинную функцию нейтрон-протонного связанного состояния - дейтрона [41, 42, 44]. Расчет взаимодействия с 7- квантом показал успешное описание формфакторов дейтрона вплоть до квадрата импульса 7- кванта —q2 = 2.3 ГэВ2 без привлечения гипотезы о вкладе обменных мезонных токов. Проведенный анализ показал, что в рассмотренной области энергий дейтрон может рассматриваться как связанная система протона и нейтрона без привлечения других (например кварковых) степеней свободы. Это явление напрямую связано с малой неупругостью протон-нейтронного рассеяния в каналах 3Si~3D\.

4. Рассмотрена кварковая модель, построенная на базе переходов qq —»• два мезона [54, 55, 56]. Эта модель позволяет прояснить явление кварк-адронной дуальности, и вычислить амплитуды мезон-мезонного рассеяния. Массы резонансов, их парциальные ширины и амплитуды мезон-мезонного рассеяния, полученные в рамках вычислений вплоть до энергий 1300 МэВ достаточно удовлетворительно согласуются с экспериментальными данными. В рамках предложенной модели получена масса эффективного (конституентного) глюона: Mg = 700 МэВ. Удвоенная масса эффективного глюона дает оценку массы низшего глюбола: она порядка 1400 МэВ.

5. В рамках Т- матричного подхода выполнен совместный анализ данных по реакциям рр аннигиляции в покое в три псевдоскалярных мезона, полученных коллаборацией Crystal Barrel на установке LEAR (CERN) [21, 22, 23, 24, 25]. В результате этого анализа был открыт скаляр-ный/изоскалярный резонанс /0(1500) с массой 1520 ± 35 и шириной Г = 148Í25 МэВ [21], и получены определенные указания на существование еще одного изоскалярного резонанса в районе 1300 МэВб /0 (1335): М = 13201зо, Г = 270^25 МэВ [23], а также изовекторного резонанса ао(1450): М = 1485+35 — 30, Г = 220±40. Одним из важных результатов является идентификация двухполюсной структуры в области /0 (980), а также определение структуры ао(980) резонанса: этот резонанс имеет большие константы связи как в 777т так и в К К каналы: его узость обусловлена сильной интерференцией этих вкладов в районе К К порога. Кроме того, уточнены характеристики хорошо известных D-волновых резонансов: /2 (1270) и а2(1320). Фит также указал на возможное существование двух D-волновых резонансов: изоскалярного /2(1560) с массой в районе 1520-1570 МэВ и шириной 140-170 МэВ и изовекторного а3(1620) с массой 1610-1640 МэВ и шириной 160-200 МэВ. Однако оба резонанса находятся на самом краю Далиц плота, их вклад в общее число событий не привышает 3%, и для уверенной идентификации этих резонансов необходимо включение в одновременный анализ данных других реакциий.

6. В рамках К-матричного подхода [26, 27, 28] проведен совместный анализ следующих данных:

1. рр —7г°7г°7г0, рр —у щи0 и рр —у г]7г°7г° (Crystal Barrel, [31, 32]),

2. 7Г-р -> 7г°7г°П, щп и Tj'rjn (ГАМС, [14, 15, 16]),

3. 7Г-р -у 7Г-7Г+П (CERN-Munich, [9]),

4. 7тр —у ККп (Брукхевенская национальная лаборатория, [61]).

В результате фита получены четыре относительно узких скалярных/ изоскалярных резонанса /0(980), /о(1335), /о(1500), /о(1780) и широкий резонанс /0(1530dh 295°0), соответствующие следующим полюсам в амплитуде рассеяния: о (980) М = (1015 ±10) - ¿(43 ± 8) MeV., о (1335) м = (1300 ± 20) - ¿(120 ± 20) MeV, о (1500) м = (1499 ± 6) - -¿(65 ±10) MeV о (1530) м = (1530igo) - - ¿(560 ± 140) MeV. о (1780) м = (1780 ±30) - ¿(125 ± 50) MeV.

7. Пяти физическим резонансам соответствуют пять К-матричных полюса (голых состояния) /¿аге(720), /¿аге(1240), /О6аге(1280), /06аге (1615) и /о (1810). Анализ констант связи этих резонансов с двухмезонными каналами 7г7г, К К и г/ г] показал весьма удовлетворительное согласование этих величин с правилами кварковой комбинаторики. Голые состояния /¿аге(720) и /оаге(1810) имеют большую 55 компоненту, в то время как три остальных являются доминантно нестранными состояниями и имеют близкий угол смешивания. 8. Проведена классификация состояний в канале Ырс = 00++ [27, 28] на основе правил кварковой комбинаторики по следующим двум принципам:

1) В случае параметризации всех голых состояний в виде: /даге = nñ cos Ф + 55 sin Ф, разница углов смешивания партнеров по нонету дожна соответствовать 90°.

2) Константы связи голых состояний с двухмезонными каналами должны быть одинаковы для партнеров по нонету за исключением самого низкого по массе состояния, где влияние левых особенностей амплитуды рассеяния может играть значительную роль.

Анализ проводился в рамках пятиканального К-матричного подхода и показал как хорошее описание всех фитируемых данных, так и согласие полученных констант связи с правилами кварковой комбинаторики. Показано, что в области 1550-1900 МэВ невозможно ввести еще одно (кроме /о (1810)) голое состояние с большой ss компонентой, которое было бы партнером по нонету одного из нестранных состояний в районе 1200-1600 МэВ: это серьезным образом нарушает описание КК, щ и r¡rj' спектров. Полученное решение допускает два способа классификации:

I /о6аге(720) и /0Ьаге(1280) - члены нонета 13Р0, /06оге(1615) и /06аге(18Ю) - члены нонета 23Р0, /06аге(1240) - глюбол;

II /оаге(720) и /оаге(1280) - члены нонета 13Р0, /06аге(1240) и /о6аге(1810) - члены нонета 23Р0, /06аге(1615) - глюбол.

Наличие двух вариантов определяется близостью угла смешивания и констант связи состояний /о(1240) и /0(1615): в рамках только нашего анализа не возможно отдать предпочтение тому или другому варианту. Однако, если последние решеточные вычисления верны, то полученные в них значения масс 1550 ±50 МэВ [35] и 1710 ±40 МэВ [36], указывают на второй вариант решения как на более предпочтительный. 9. В районе 1250-1650 МэВ имеется состояние, довольно сильно связанное с двухчастичными каналами распада и не имеющее партнера по нонету, а следовательно выпадающее за рамки кварковой систематики. Соотношения констант связи этого состояния с двухмезонными каналами весьма близки к тем, которые получены для глюбола в рамках кварковых комбинаторных правил. Это указывает на то, что в результате проведенного анализа не только однозначно установлена структура скалярных/ изоскалярных резонансов в области энергий до 1900 МэВ, но и открыто экзотическое состояние: скалярный глюбол.

Заключение.

В данной главе были обсуждены результаты одновременного анализа данных коллаборации Crystal Barrel по реакциям рр аннигиляции в три мезона и фазы и неупругости 7Г7Г S-волны, полученных при анализе данных коллаборации CERN-Münich. Анализ был проведен в рамках Т-матричного подхода и указал на существования двух новых S-волновых резонансов в амплитуде 7ттт рассеяния: /0 (1335) и /0(1500). Для успешного описания амплитуды в г]п канале необходимо также присутствие нового резонанса ао(1450). В D-волне амплитуды 7Г7Г рассеяния проведенный анализ довольно определенно указывает на существование D-волнового резонанса с массой в районе 1520-1560 МэВ. Кроме того, совместный анализ уточнил и характеристики других, довольно хорошо известных резонансов, таких как /0(980), ао(980), <22(1320) и /2( 1275).

Т-матричный подход довольно удобен для анализа данных по многочастичному рождению: он дает возможность работать непосредственно с полюсными сингулярностями амплитуд рассеяния обеспечивая тем самым хорошую сходимость и стабильность решений. Однако, для глубокого понимания природы резонансов необходимо использовать другой подход, а именно, N/D или K-матричный методы, которые будут рассмотрены в следующей главе.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Саранцев, Андрей Викторович, 0 год

Литература

N. Isgur and G. Karl, "Ground state baryons in a quark model with hyperfine interactions", Phys.Rev., D20 (1979) 1191-1194.

N. Isgur and G. Karl, "Positive parity excited baryons in a quark model with hyperfine interactions", Phys.Rev., D19 (1979) 2653-2677.

S.Capstick and N.Isgur, "Baryons in relativized quark model with chro-modynamics", Phys.Rev., D34 (1986) 2809-2835.

S.L.Adler and T.Piran, "Relaxation method for gauge field equilibrium equation", Rev.Mod.Phys., 56 (1984) 1-180.

M.Baker, J.S.Ball and F.Zachariasen, "Quantized electric flux tube solutions to Yang-Mills theory", Phys.Rev., D31 (1985) 2575-2588.

M.Creutz, "Quarks, gluons and lattices", (Cambridge U.P., Cambridge, 1983).

C.Rebbi, "Lattice gauge theories and Monte Carlo simulations". (World Scientific, Singapore, 1983).

V.V.Anisovich, M.N.Kobrinsky, Y.Nyiri and Yu.M.Shabelski,"Quark model and high energy collisions", (World Scientific, Singapore, 1985).

B. Hyams et al., "pi pi phase shift analysis from 600 Mev to 1900 MeV", Aip conference proceedings, New-York 1973, 206-246.

G. Grayer et.al., "High statistic study of the reaction —> 7r~7r+p; apparatus, method of analysis and general fitures of results at 17 GeV/c", Nucl.Phys., B75 (1974) 189-245.

W. Ochs, University of Munich, Ph.D.thesis, 1974.

K.L. Au, D. Morgan and M.R. Pennington, "Meson dynamics beyond the quark model: a study of the final state interactions", Phys.Rev., D35 (1987) 1633-1664.

[13] D.V. Bugg, "0++ mesons and glueball spectroscopy", in: Proc. of the Int. Symposium on Medium Energy Physics, Beijing, China (1994) 5161.

[14] D. Aide et al., "Study of the /0(995) resonance in the 7r°7r° decay channel", Z.Phys., C66 (1995) 375-378;

Yu.D. Prokoshkin and A.A. Kondashov, "Partial wave analysis of 7r~p 7r°7r°n reaction at 38 GeV/c momentum in the mass range up to 1.9 GeV", Nuovo Cim, A107 (1994) 1903-1910; Yu.D. Prokoshkin, A.A. Kondashov and S.A.Sadovskii, "Experimental investigation of the S-wave in the 7r°7r° system", Phys.Dokl., 40 (1995) 266-269;

A.A. Kondashov et al, "Further study of the 7r°7r° system produced in 38 GeV/c 7vp charge exchange collision", Preprint IHEP 95-137, Protvino (1995), 10pp.

[15] F. Binon et al., "Observation of scalar G(1590) meson decaying into eta eta", Nuovo Cim. A78 (1983) 313-330.

[16] F. Binon et al., "Study of ir~p eta'etaN in a search for glueballs", Nuovo Cim. A80 (1984) 363-370.

[17] D. Aide et.al, "Production of G(1590) and other mesons decaying into eta pairs by 100 GeV/c ir~ on protons", Nucl.Phys. B269 (1986) 485508.

[18] C. Amsler et.al., "Proton-antiproton annihilation into 777771": observation of the scalar resonance decaying into eta eta", Phys.Lett., B291 (1992) 347-354.

[19] E. Aker et al., "Observation of a 2++ resonance at 1515 MeV in protonantiproton annihilation into 3tt°", Phys.Lett., B260 (1991) 249-258.

[20] A. Bettini et. al., "Experimental study of pn annihilations between 1.0 GeV/c and 1.6 GeV/c", Nuovo Cim., A25 (1975) 91-116.

[21] V.V. Anisovich,...., A.V. Sarantsev et al., "Observation of two Jpc = 0++ isoscalar resonances at 1365 and 1520 MeV." Phys.Lett., B323 (1994) 233-241.

[22] C. Amsler,..., A.V. Sarantsev et al., "Observation of a new IG(JPC) = 1~(0++) resonance at 1450 MeV." Phys.Lett., B333 (1994) 277-282.

[23] V.V. Anisovich, D.V. Bugg, A.V. Sarantsev and B.S. Zou, "Final state interactions in three-meson systems: Analysis of data on pp 7r°7r°7r0 and t/t/tt0 at rest." Phys.Rev., D50 (1994) 1972-1991.

[24] D.V. Bugg, V.V. Anisovich, A.V. Sarantsev and B.S. Zou, "Coupled channel analysis of data on pp 37r°, 777777° and rjir0tt° at rest, with the N/D method." Phys.Rev., D50 (1994) 4412-4423.

[25] V.V. Anisovich, D.V. Bugg, A.V. Sarantsev and B.S. Zou, "How to solve the three-pion annihilation problem." Phys. of Atomic Nucl., v.57, (1994) 1595-1601.

[26] V.V. Anisovich, A.A. Kondashov, Yu.D. Prokoshkin, S.A. Sadovsky and A.V. Sarantsev, "Two-resonance structure of the IJpc = 00++ 7T7T-amplitude in a mass region around 1 GeV." Phys.Lett., B355 (1995) 363-373.

[27] V.V. Anisovich and A.V. Sarantsev. "K-Matrix Analysis of the (/ Jpc = 0 0++) Amplitude in the Mass Region up to 1550 MeV." Preprint PNPI 2120 TH-28-1996; HEP-PH/9603276; Phys.Lett., B382 (1996) 429-440.

[28] V.V. Anisovich Yu.D. Prokoshkin and A.V. Sarantsev. "Nonet classification of scalar/isoscalar resonances below 1900 MeV: the existance of an extra scalar state in the region 1200-1600 MeV." HEP-PH/9610414, 26pp; Phys.Lett. B389 (1996) 388-396.

[29] Particle Data Group, Phys.Rev. D54 (1996).

[30] D.V. Bugg, A.V. Sarantsev and B.S. Zou, "New results on 7r7r phase shifts between 600 and 1900 MeV", Nucl.Phys., B471 (1996) 59-89.

[31] C. Amsler et al., "High statistics study of the /0(1500) decay into 7r°7r°", Phys.Lett., B342 (1995) 433-439.

[32] C. Amsler et al., "Coupled channel analysis of pp annihilation into 7r07r°7r°, ttV and 7T°7ry, Phys.Lett., B355 (1995) 425-432.

[33] Particle Data Group, Phys.Rev. D50 (1994).

[34] V.V. Anisovich, M.G. Huber, M.N. Kobrinsky and B.Ch. Metch, "Strange and heavy quarks in soft processes at high-energies: total cross section and inclusive production", Phys.Rev., D42 (1990) 30453051.

[35] G.S. Bali et al., "A comprehensive lattice study of 5/7(3) glueballs", Phys.Lett., B309 (1993) 378-384;

R. Gupta et al., "Exploring glueball wave function in the lattice", Phys.Rev., D43 (1991) 2301-2313.

[36] J. Sexton, A. Vassarino and D. Weingarten, "Numerical evidence for the observation of a scalar glueball", Phys.Rev.Lett., 75 (1995) 45634566.

[37] B.B. Анисович, А.В. Саранцев, "Формфакторы и процессы глубо-конеупругого рассеяния при описании составных систем в технике дисперсионного интегрирования", ЯФ, т.45, в.5, (1987) 1479-1490.

[38] В.В. Анисович, А.В. Саранцев, В.Е. Стародубский. "О вкладе ну-клонных степеней свободы в ЕМС-эффект" ЯФ, т.45, в.6 (1987) 1636-1644.

[39] V.V. Anisovich, A.V. Sarantsev and V.E. Starodubsky. "Description of composite systems in the dispersion relation technique and the problem of contribution of non-nucleonic degrees of freedom to the EMS effect", Nucl.Phys., A468 (1987) 429-449.

[40] A.B. Саранцев, В.Е. Стародубский. "Процесс Дрелла-Янав ядерной среде", ЯФ, т.49, в.З (1989) 664-671.

[41] V.V. Anisovich, M.N. Kobrinsky, D.I. Melikhov and A.V. Sarantsev. "Ward identities and sum rules for composite systems described in the dispersion relation technique. The deuteron as a composite two nucleon system", Nucl.Phys. A544 (1992) 747-792.

[42] A.B. Капитанов, A.B. Саранцев, "Вычисление дисперсионных вершинных функций на основе динамических моделей взаимодействия", ЯФ, т.56, в.1 (1993) 156-172.

[51 [52 [53 [54

V.V. Anisovich, D.V. Bugg, A.V. Sarantsev. "Analysis of the NN-NA threshold using the coupled channel N/D method", Nucl.Phys. A537 (1992) 501-533.

A.V.Sarantsev. Lecture Notes in Physics, "Quantum Inversion Theory and Applications." H.V.Geramb (Ed.) (1993) 465-479.

H. Yidaka et al., "Suggestion for a dybarions resonance in the pp system", Phys.Lett., В70 (1977) 479-481.

N. Hoshizaki, Prog.Teor.Phys, "pp phase shift at 3 GeV/c", 57 (1977) 1099-1101;

"pp phase shift and diproton resonances in the mass range from 2.1 GeV - 2.8 GeV", 61 (1979) 129-144.

B.J. Edwards, "K-matrix analysis of the Jp = 3~ and Jp = 2+ dybar-ion systems", Phys.Rev., D23 (1981) 1978-1988.

R. Bhandari, R.A. Arndt, L.D. Roper and B.J. VerWest, "On the existence of dybarion resonances in I = 1 D-wave doublet, F-wave triplet nucleon-nucleon scattering", Phys.Rev.Lett, 46 (1981) 1111-1114.

R.A. Arndt, J.S. Hyslop III and L.D. Roper, "Nucleon-nucleon partial wave analysis to 1100-MEV", Phys.Rev., D35 (1987) 128-144.

W.M. Kloet and R.R.Silbar, "Effects of the heavy meson exchange on the D-wave singlet and F-wave triplet NN partial waves, and the question of dybarion resonances", Phys.Rev.Lett., 45 (1980) 970-973.

W.M. Kloet and J.A. Tjon, "On the resonance structure in nucleon-nucleon scattering", Phys.Lett., B106 (1981) 24-28.

J. Niskanen, "Phase equivalent interactions and dybarion masses", Phys.Lett., B112 (1982) 17-21.

B.J. VerWest, "Separable potential analysis of coupled NN-NDelta scattering", Phys.Rev., C25 (1982) 482-488.

V.V. Anisovich, B.Ch. Metsch, H.R. Petry and A.V. Sarantsev. "Confined quarks and quark-hadron duality in meson physics", Z.Phys., A351 (1995) 417-433.

[55] B.B. Анисович, A.B. Саранцев, "Кварк-адронная дуальность в физике мезонов и конфайнемент кварков", ЭЧАЯ, т.27 (1996) 5-52.

[56] A.V. Sarantsev. "Models of Confinement". NATO ASI Series. Series B. Physics Vol.353. Hadron Spectroscopy and the Confinement Problem. D.V.Bugg (Ed). Plenum Press. New York and London (1995) 353-378.

[57] Weinstein J., Isgur N., "K anti-K molecules", Phys.Rev., D41 (1990) 2236-2274.

[58] Barnes Т., "The status of molecules", Proc. of the XXIX Recontres de Moriond, Meribel, France, (1994) 587-598.

[59] Tornqvist N.A., "From the deuteron to deusons, an analysis of deuteron like meson-meson bound states", Z.Phys., C61 (1994) 525-537.

[60] G.M. Beladidze et al., "Study of reaction 7т~р —у ujloN at p(n~) = 36 GeV/c", Z.Phys., C54 (1992) 367-370.

[61] S.J. Lindenbaum and R.S. Longacre, "Coupled channel analysis of 0++ and 2++ isoscalar mesons with masses below 2 GeV", Phys.Lett., B274 (1992) 492-497;

A. Etkin et al., "Amplitude analysis of the Kq(s)K0(s) system produced in the reaction it~p -> KqKq n at 23 GeV/c", Phys.Rev., D25 (1982) 1786-1802.

[62] S.S. Gershtein, A.K. Likhoded and Yu.D. Prokoshkin, "(2(1590) meson and possible characteristic features of a glueball", Z.Phys., C24 (1984) 305-308.

[63] C. Amsler and F.E. Close, "Evidence for a scalar glueball", Phys.Lett., B353 (1995) 385-390.

[64] V.V. Anisovich, "Resonance /o(1500): is it a scalar glueball?", Phys.Lett., B364 (1995) 195-198.

[65] G.F. Chew, S. Mandelstam, "Theory of low energy 7Г7Г interaction", Phys.Rev. 119 (1960) 467-477.

[66] S. Mandelstam, "Unitarity condition below physical thresholds in the normal and anomalous case", Phys.Rev.Lett., 4 (1960) 84-87.

[67] R. Blankenbecler, Y. Numbu, "Anomalous thresholds in dispersion theory", Nuovo Cim. 18 (1960) 595-607.

[68] R. Blankenbecler, L.F. Cook, "Bound states and dispersion relations", Phys.Rev. 119 (1960) 1745-1752.

[69] R.E. Cutkosky, Rev.Mod.Phys. 33 (1961) 448.

[70] B.B. Анисович, "О дисперсионном представлении дейтронного фор-мфактора", ЖЭТФ. 41 (1961) 1907-1914.

[71] L. Castillejo, F.J. Dyson, R.H. Dalitz, "Low's scattering equation for the charged and neutral scalar theores", Phys.Rev. 101 (1956) 453-458.

[72] E. Salpeter and H. Bethe, "A relativistic equation for the bound state problem", Phys.Rev., 84 (1951) 1232-1242.

[73] M. Chemtob, "Quark interchange and deuteron electromagnetic form-factors at large transfers", Nucl.Phys., A382 (1980) 317-354.

[74] И.Л. Грач, Jl.А. Кондратюк, "Электромагнитные формфакторы дейтрона в релятивистской динамики. Двухнуклонная и шести-кварковая компоненты", ЯФ т.39 (1984) 316-327.

[75] L.L. Frankfurt and M.I. Strikman, "High energy phenomena, short range nuclear structure and QCD", Phys.Rep., bf C76 (1981) 215-347.

[76] L.A. Kondratyuk and M.I. Strikman, "Relativistic corrections to the deuteron magnetic moment and angular condition", Nucl.Phys., A426 (1984) 575-598.

[77] D.V. Bugg, "N-P phase shifts, 142 MeV to 800 MeV", Phys.Rev., C41 (1990) 2708-2719.

[78] J.Bystricky, C. Lechanoine-Leluc and F. Lehar, "An energy dependent phase shift analysis proton-proton scattering between 700 MeV and 1300 MeV", J. de Phys., 48 (1987) 199-256.

[79] D.V. Bugg, A. Hasan and R.L. Shypit, "NN ->• 7tD amplitudes from 400 MeV to 800 MeV", Nucl.Phys., A477 (1988) 546-558.

[80] D.V. Bugg, "Recent results on NN physics", Nucl.Phys., A508 (1990) 203c-213c.

D.V. Bugg, Private communication. R.A. Arndt, Private communication.

R.G. Arnold et al., "Measurement of the electron-dueteron elastic scattering cross-section in the range 0.8 GeV2 < Q2 < 6 GeV2", Phys.Rev.Lett., 35 (1975) 776-806.

S. Auifret et al., "Deuteron A(Q2) structure function and the neutron electric form-factor", Nucl.Phys., A508 (1990) 343-348.

G.G. Simon et al., "Elastic electric and magnetic eD scattering at low momentum transfer", Nucl.Phys., A364 (1981) 285-296.

R.G. Arnold et al., "Deuteron magnetic form-factor measurements at high momentum transfer", Phys.Rev.Lett., 58 (1987) 1723-1726.

A.A. Анисович и В.А. Садовникова, "Описание фоторазвала дейтрона в области рождения А- изобары в дисперсионной технике", ЯФ, т.57 (1994) 1322-1329.

A.A. Анисович и В.А. Садовникова, "Неупругость в нуклон- ну-клонном рассеянии и ее вклад в фоторазвал дейтрона", ЯФ, т.59 (1996) 65-72.

U.Habel, R.Könning, H.-G. Reusch, M.Stingle and S.Wigard, "A non-perturbative solution to the Dyson-Shwinger equations of quantum chromodynamics", Z.Phys., A336 (1990) 423-447.

V.N.Gribov, "Possible solution of the problem of quark confinement", Preprint LU TP-91-7, 51pp.

S.Weindberg, "Why do quarks behave like bare Dirac particles", Phys.Rev.Lett. 65 (1990) 1181-1183.

R.L.Jaffe, "Ineffective field theory: when quarks are required in QCD", Phys.Lett., B245 (1990) 221-228.

[93] J.Ellis, Y.Frishman and M.Karliner, "Constituents quarks as solitons", Phys.Lett., B272 (1991) 333-338.

[94] H.Fritzsch, "Constituent quarks, chiral symmetry and the nucleon spin", Preprint CERN-TH. 7079/93 (1993) 12pp.

[95] A.De Rujula, H.Giorgy and S.L.Glashow, "Hadron masses in the gauge theory", Phys.Rev., D12 (1975) 147-162.

[96] V.Bernard and U.Meissner, "The Nambu-Jona-Lazinio model in the light of chiral perturbation theory revisited", Phys.Lett., B266 (1991) 403-407.

[97] М.К.Волков, "Низкоэнергетическая физика мезонов в кварковой модели сверхпроводящего типа", ЭЧАЯ, т.17 (1986) 433-471.

[98] P.Mackenzie, "Status of lattice QCD", Proc. of lepton/photon symposium, New York (1993) 634-653.

[99] S.Sharpe, " B(k) using staggered fermions: an update", LATTICE-93, Proc. of Dallas lattice , Dallas (1993) 403-406.

[100] M.Roos and N.Tornqvist, "Pseudoscalars and vector mesons in a unitary and selfconsistenly broken SU(6)—W scheme", Z.Phys. C5 (1980) 205-212.

[101] N.Tornqvist, "The axial mesons in the unitarized quark model", Nucl.Phys. B203 (1982) 268-276.

[102] V.V.Anisovich, D.I.Melikhov, B.Ch.Metsch and H.R.Petry,

"The Bethe-Salpeter equation and the dispersion relation technique", Nucl.Phys., A563 (1993) 549-582.

[103] D.Aston et al. "A study of K~ir+ scattering in the reaction K~p —> К'тг+N at 11 GeV/c", Nucl.Phys., B296 (1988) 493-526.

[104] P.Estabrooks et al., "Study of К ж scattering using the reactions K+~p K+~itN and K+~p K+~irA++ at 13 GeV/c", Nucl.Phys., B133 (1978) 490-524.

[105] C.D.Froggat and J.L.Petersen, "Phase shift analysis 7r 7Г+ scattering between 1.0 GeV and 1.8 GeV based on fixed momentum transfer analyticity", Nucl.Phys., B129 (1977) 89-110.

[106] S.D.Protopopescu et al., "7Г7Г partial-wave analysis from reactions 7T+P 7Г+7Г-Д++ and TT+p K+K-A++ at 7.1 GeV/c", Phys.Rev., D7 (1973) 1279-1309.

[107] N.N. Khuri and S.B. Treiman, "Pion-pion scattering and —» Зл" decay", Phys.Rev., 119 (1960) 1115-1121.

[108] V.V. Anisovich, A.A. Anselm and V.N. Gribov, "On the theory of reactions with production of three low energy particles", Nucl.Phys., 38 (1962) 132-145.

[109] C. Kacser, "Analytic structure of the partial wave amplitudes for production and decay processes", Phys.Rev., 132 (1963) 2712-2721.

[110] B.B. Анисович, "I(+ —> Зп распад и nn взаимодействие", ЖЭТФ, 44 (1963) 1593-1602.

[111] I.J.R. Aitchison, "Dispersion theory model of three body production and decay processes", Phys.Rev., B137 (1965) 1070-1084.

[112] A.A. Anisovich, "Dispersive analysis of the decay rj —y 37r", Phys.Lett., B375 (1996) 335-342.

[113] A.A. Anisovich, "Three body dispersion relation N/D equations for the coupled decay channels pp —У 7г07г°7г°, г/7г°7г°, 77777т0 and KKifi",

HEPPH-9610523 (1996) 16pp.

[114] C.J. Goebel, S.F. Tuan, and W.A. Simmons, "Comments on rescatter-ing effects and the Shmid theorem", Phys.Rev., D27 (1983) 1069-1074.

[115] X. He, S. Pakvosa, W.A. Simmons and S.F. Tuan, "Implications for logarithmic singularity contribution to e+e~ —у тт+тт~ gamma reaction at Q2 = 0.9 GeV2 from bremsstrahlung background", Phys.Rev., D31 (1985) 2356-2359.

[116] Л.Г. Дахно, C.M. Герасюта, М.Г. Кобринский, "Реакция e+e~ -» 7г+7г~7 при Q2 = 0.9 — 1.0 ГэВ2 и эффект логарифмической сингулярности треугольного типа", ЯФ,4б (1987) 155-162.

117] W. Flatté, "Coupled channel analysis of the 71-77 and KK systems near KK threshold", Phys. Lett., B63 (1976) 224-234.

118] W. Lockman, "A study of «o(980) meson in the radioactive J/^f decay", Presented at rheinfels workshop 1990 on hadron mass spectrum, St. Goar, Germany, Published in St. Goar workshop (1990) 55-60.

119] C. Amsler et.al., "New states as observed by the Crystal Barrel experiment", Nucl.Phys., A558 (1993) 3C-12C.

120] K. Peters, "All neutral final states in 7r7r annihilation at rest", Sov.J.Nucl.Phys. 55 (1992) 768-791.

121] Particle Data Group, Phys.Rev.D (1992).

122] L. Rosselet et.al., "Experimental study of 30 000 Ke4 decays", Phys. Rev., D15 (1977) 574-586.

123] A. Donnachie and A.B. Clegg, "77/9 in defractive photoproduction and e+e- annihilation", Z. Phys., C34 (1987) 257-260.

124] A.B. Clegg and A. Donnachie, "Higher vector meson states prodused in electron-positron annihilation", Z. Phys., C62 (1990) 455-470.

125] C. Amsler et.al., "Study of pp annihilation at rest into W777r°", Phys.Lett., B327 (1994) 425-432.

126] D. Aide et al., "Evidence for a 1~+ exotic meson", Phys.Lett., B205 (1988) 397-406.

127] S.L. Adler, "Consistency condition on the strong interactions implied by a partially conserved axial vector current", Phys.Rev., B137 (1965) 1022-1031.

128] R.M.Baltrasaitis et al., "A study of the radiactive decay J/ty 7 pp", Phys.Rev., D33 (1986) 1222-1232.

129] D.V.Bugg, B.S.Zou, V.V.Anisovich, A.V.Sarantsev T.H.Burnett, I.Scott and S.Sutlie. "Resonances in J/\I> —> 7(7r+7r~7r+7r~)." Phys.Lett., B353 (1995) 378-384.

[130] G. t'Hooft, "A planar diagram theory for strong interactions", Nucl.Phys., В 72 (1974) 461-480;

G. Veneziano, "Some aspects of a unified approach to gauge, dual and Gribov theories", Nucl. Phys., B117 (1976) 519-545.

[131] V.V. Anisovich and V.M. Shekhter, "Quark model for multiparticle and inclusive reactions", Nucl.Phys., B55 (1973) 455-473.

[132] J.D. Bjorken and G.E. Farrar, "Particle ratios in energetic hadron collisions", Phys.Rev., D9 (1974) 1449-1452.

[133] M.A. Волошин, Ю.П. Никитин и П.И. Порфиров, "Кварковый комбинаторный анализ множественного образования адронов при конечных энергиях", ЯФ, в.35 (1982) 1006-1015.