Плоская деформация цилиндрического упругого слоя с учетом нелинейных эффектов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат физико-математических наук Витязева, Елена Владимировна

• Витязева, Елена Владимировна
• кандидат физико-математических наук
• 1984

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Витязева, Елена Владимировна

ЕВВДЕНИЕ

Глава I. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ УПРУГОСТИ РЕЗИН0

ПОДОБНЫХ МАТЕРИАЛОВ.

§ I. Определяющие законы дня резиноподобных материалов. Выбор упругого потенциала

§ 2. Свойства потенциала (1.10)

§ 3. Законы упругости для простых видов деформаций

Глава П. МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ НАГРУЖЕНИЙ.

§ I. Метод последовательных нагружений при его лагранжевой интерпретации

§ 2. Эйлерова интерпретация метода последовательных нагружений.

§ 3. Некоторые сопоставления результатов, получаемых методом последовательных нагружений, с точными.

Глава Ш. ПЛОСКАЯ НЕЛИНЕЙНАЯ ДЕФОРМАЦИЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО УПРУГОГО СЛОЯ ПОД ДЕЙСТВИЕМ БОКОВОЙ

НАГРУЗКИ.

§ I. Постановка задачи. Основные соотношения

§ 2. Малая деформация (линейный случай)

§ 3. Решение задачи в нелинейной постановке

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Плоская деформация цилиндрического упругого слоя с учетом нелинейных эффектов»

Диссертация посвящена нелинейной задаче теории упругости - исследованию деформации кругового цилиндра, соосные поверхности которого смещаются относительно друг друга по нормали к оси без изменения размеров и формы.

Такого рода задачи возникают, в частности, при определении усилий в резино-металлических шарнирах (сайлент-блоках, РМШ), широко используемых в самых различных отраслях машиностроения. Так, в автомобильной промышленности сайлент-блоки получили особенно широкое распространение в рессорных и рычажных системах автомобиля, в подвесках и опорах подшипников, а также в рессорной подвеске автомобиля /I/. Создание гусениц с резинометаллическими шарнирами привело к четырехкратному увеличению ресурса в сравнении с колесными тракторами, используемыми на супесчаных почвах. Такие гусеницы рекомендуются к установке на тракторах, предназначенных для работы в соответствующих зонах страны /2-4/.

Тракторы, оснащенные гусеницами с РМШ, обеспечивают на основных сельскохозяйственных работах повышение производительности на Ъ% за счет большей тяговой мощности и снижения максимальных давлений на почву. Установлено, что применение на тракторах резинометаллических гусениц снижает максимальные давления и неравномерность их расцределения под опорной поверхностью гусениц до 15$. Проведенные технико-экономические расчеты показали эффективность использования в народном хозяйстве гусениц с резинометаллическими шарнирами на тракторах некоторых классов для всех видов почв. Это обеспечивает увеличение ресурса ходовой системы в 1,4 - 4 раза, повышение тяговой мощности трактора на 5% и годовую экономию металла за счет снижения расхода запчастей в размере 275 тыс.тонн /2 -4/. Широкое применение находят РМШ также в тяговой передаче тепловозов, где они используются в качестве амортизаторов, работающих на радиальное сжатие /5/.

Шея в виду исследование решения упомянутой задачи для оценки деформации резинометаллического шарнира, принимаем, что деформации не являются слишком большими (кратность удлинения Л г не превосходит 2*3), но не столь малыми, чтобы можно было ограничиться линейной теорией упругости.

С точки зрения постановки задачи теории упругости существенными являются механические свойства резины - её упругость и допустимый уровень деформаций, порядок отношения радиусов внутренней и внешней обойм шарнира ^¡^ (выбор эффективности метода решения определенным образом зависит от относительной толщины резинового слоя), а также тип шарнира.

Различают три типа конструкций цилиндрических резино-металлических шарниров: сборные, комбинированные и сварные. Резиновая втулка в сборном РМШ фиксируется между обоймой и пальцем контактным давлением от радиальной запрессовки, в комбинированном - привулканизована к пальцу и запрессована во внешнюю обойму, в сварном - привулканизована к металлической арматуре.

Размеры шарниров варьируются в следующих пределах Ъ1г2 = 0,25 + 0,95 ; ¿/^ - 0,5 +13,3 ; где I - душна шарнира вдоль оси, <11 = - диаметр пальца.

Степень запрессовки резиновой втулки

0= 0,05 -Г 0,45 ; где $0 и $ - толщины резиновой втулки до и после запрессовки в обойму соответственно /6/.

Из результатов испытаний следует, что для обеспечения наибольшей износостойкости элементов шарнира целесообразно уменьшать диаметр пальца. Однако применение пальцев малого диаметра не допустимо по условиям прочности и жесткости /7, 8/. С учетом этого в диссертации рассматриваются упругие цилиндры, у которых отношение не является слишком малым или близким к единице.

Расчет сборных (а также комбинированных) шарниров весьма сложен, так как РМШ указанных типов в результате запрессовки представляют собой предварительно напряженную конструкцию. Далее, к этим начальным напряжениям добавляются напряжения от деформированного состояния, вызванного последующими нагружениями /9 - 16/.

В диссертации рассматривается боковая деформация достаточно длинного ((IIс11)> 8) шарнира (что позволяет трактовать задачу как плоскую) сварного типа с концентричной резиновой втулкой.

Расчет шарниров сварного типа на боковую нагрузку в случае малых деформаций (в линейной постановке) подробно рассмотрен В.Л.Бидерманом /17/ и Г.В.Мартьяновой /18/ для несжимаемого материала как для случая, когда длина шарнира велика в сравнении с его диаметром, так и для случая, когда эти размеры близки между собой, а также совместно В.Л.Бидерманом и Г.В.Мартьяновой /19/ - с учетом сжимаемости резины. Малые деформации весьма короткого сварного шарнира исследовались Э.Э.Лавенделом в /21, 22/. В работе /20/ Г.В.Мартьяновой и В.А.Дадоновым рассматривалась малая деформация РМШ при натружении его изгибающим моментом.

Для случая средних деформаций подобная задача решалась С.И.Дымниковым и А.И.Бельцер /23, 24/. Однако, используемый там метод /25, 26/ не был достаточно обоснован и, как будет показано ниже, связан с некоторыми противоречиями.

Решение рассматриваемой задачи естественно разделяется на три части.

1. Выбор модели упругого тела (для конечных деформаций ответ на этот вопрос не является однозначным).

2. Выбор метода решения.

3. Решение задачи и анализ результатов.

Выбор модели упругого тела всегда связан с учетом реальных свойств тех объектов, для которых предполагается использовать решение (в данном случае речь идет о свойствах резины описанных выше шарниров).

Другим важным аспектом модели является ее "простота" -возможность получать обозримые результаты при помощи относительно простых выкладок. Кроме того, необходимо также учитывать область применимости (здесь имеется в виду уровень деформации) той или иной модели.

Основываясь на этих требованиях и считая при этом деформацию не слишком большой (степень удлинения Д^ - до 2*3), нами исследуются материалы, упругие свойства которых описываются потенциалом, приведенным Л.И.Слепяном в работах /27, 28/. Вопросы, связанные с выбором упругого потенциала и его свойствами, рассматриваются в первой главе диссертации.

Вторая глава диссертации посвящена исследованию метода последовательных нагружений (дельта-метода). Данный метод применялся для решения рассматриваемой задачи /23, 24/, но как уже отмечалось, без должных обоснований. Этот метод привлекателен тем, что с его помощью решение нелинейной задачи достигается путем последовательного решения однотипных линейных задач. Однако, уже тот факт, что его применение не требует уточнения модели упругого тела, вызывает вопросы, которые в известной нам литературе не обсуждались. Большое внимание, уделенное в диссертации исследованию различных аспектов этого метода, обусловлено не только тем, что метод применялся к решению задачи, поставленной в диссертации, но и в связи с наметившейся тенденцией его применения (вследствие простоты) и к другим задачам.

В третьей главе диссертации приводится непосредственно решение поставленной задачи. Б качестве метода решения используется метод последовательных приближений.

Основные результаты, а также общие выводы представлены в Заключении.

Основные результаты, выносимые на защиту:

1. Диаграммы <о - е для некоторых простых типов нагружений материалов, описываемых вышеуказанным упругим потенциалом.

2. Выводы, относящиеся к применимости метода последовательных нагружений: какой связи между напряжениями и деформациями он соответствует, в каких случаях (при каких типах деформации) его применение оправдано, и какие оценки точного решения могут быть получены с его помощью.

3. Решение нелинейной задачи теории упругости о плоской деформации кругового цилиндра, соосные поверхности которого смещаются относительно друг друга по нормали к оси без изменения размеров и формы, а упругие свойства описываются потенциалом, анализ которого приведен в первой главе диссертации.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах /89, 91, 92/.

Автор благодарит профессора Л.И.Слепяна за консультации и ряд ценных указаний по вопросам второй главы диссертации.

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Витязева, Елена Владимировна

ЗАКЛЮЧЕНИЕ I. В диссертации рассмотрены известные варианты упру- ; гих законов для изотропных несжимаемых материалов. Приведены как потенциалы, которые дают достаточно хорошее согласование с экспериментом во всем интервале изменения деформации (вплоть до 1фатности удлинения Л^ =6 1-8), так и законы, пригодные для решения задач в области умеренных деформаций ( Л^ 4 3).

2. Рассмотрен нелинейно-упругий изотропный материал, удельная потенциальная энергия которого зависит от инвариантов: первого инварианта деформации ^ = еа и относительного изменения объема следующим образом

-А) + ¡(К +¡¡1 где £1 и К модули сдвига и объемного сжатия соответственно.

Показано, что указанный потенциал удовлетворяет главным требованиям, обычно предъявляемым к такого рода зависимостям; кроме того, описывая деформацию сжимаемого материала, при -йу^и ос , он переходит в хорошо изученный потенциал Тре-лоара.

3. Исследованы свойства указанного упругого закона, которому соответствует простейшая форма уравнений нелинейной теории упругости в материальных (лагранжевых) координатах (нелинейность входит в них только с учетом сопротивления изменению объема; линейная часть, порождаемая первым членом потенциала - энергией изменения формы, представляет собой оператор Лапласа от перемещения).

Доказана справедливость следующих утверждений:

- потенциал переходит при малых деформациях и поворотах в квадратичный закон линейной теории упругости с постоянными Я , у ;

- в случае малой сжимаемости материал, упругие свойства которого описываются указанным законом, характеризуется аддитивностью энергий изменения объема и формы;

- при плоской деформации потенциал определяет линейную зависимость девиатора напряжений Пиола-Кирхгофа от градиента перемещений.

4. Исследовано поведение материала, упругие свойства которого описываются рассматриваемым потенциалом, при некоторых цростых типах деформаций. Построены зависимости напряжений Пиола-Кирхгоафа, а также истинных напряжений от степени удлинения при различных значениях коэффициента Пуассона.

5. Исследованы различные аспекты метода последовательных нагружений (дельта-метода), применяемого для решения нелинейных задач теории упругости. Выявлены основные особенности, условия применимости указанного метода и неоправданно сть его применения в общем случае без введения указанных в диссертации сильных ограничений.

6. Рассмотрены две интерпретации метода: "лагранжева", при которой считается, что дополнительные перемещения, по которым вычисляются деформации, входящие в закон Гука, представляют собой дополнительные перемещения точек тела, и "эйлерова", когда приращение напряжений в законе линейной теории упругости определяет приращение напряжений в данной точке пространства.

Показано, что цри лагранжевой интерпретации метода описываемый этой теорией материал в общем случае не является упругим. Если, однако, главные направления совпадают с неизменными материальными элементами, то тело упруго и следует "логарифмическому закону Гука" 2[1 1п Аь + Л 1п Л , где А\ - главные 1фатности удлинения, Л^Д^Л^Л^ ,

Установлено, что в этом случае решение, полученное дельта-методом, можно рассматривать как верхнюю оценку для энергии деформации, а в некоторых случаях - и для работы внешних сил. Показано также, что в случае эйлеровой интерпретации метода, когда уравнения равновесия удовлетворяются автоматически, решение задачи методом последовательных нагруже-ний может составить нижнюю оценку для точного решения.

7. Проведены некоторые сопоставления результатов, получаемых методом последовательных нагружений, с точными в задачах о расширении цилиндрической полости кругового сечения в безграничной упругой среде под действием внутреннего равномерного давления, о равномерном растяжении тонкого кольца с учетом условия несжимаемости и об одноосном сжатии куба. Показано, что применение метода последовательных нагружений не решает задачу определения напряжений при больших деформациях, а лишь в некоторых случаях позволяет получить оценки решения.

8. На основе результатов исследований, полученных в гл.1 и выводов гл.П, построено и проанализировано решение нелинейной задачи теории упругости о плоской деформации кругового цилиндра, соосные поверхности которого смещаются относительно друг друга без изменения своих размеров и формы, а упругие свойства описываются вышеуказанным потенциалом.

9. Показано, что при относительной толщине упругого слоя цилиндра т1/г2 - ш = 0,4 * 0,8 для подсчета нормальных напряжений можно пользоваться формулами линейной теории упругости вплоть до степени удлинения Аг- 1.2; до Лг = 2 достаточно уточнения, вносимого первым приближением решения нелинейной задачи. Для вычисления касательных напряжений формулами линейной теории упругости можно пользоваться до степени удлинения Лг= 1.3 - 1.35 Цри определении зависимости между силой Г , смещающей внутреннюю обойму цилиндра, и смещением $ линейными формулами можно пользоваться вплоть до удлинения Лг = 1.45.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Витязева, Елена Владимировна, 1984 год

1. Потураев В.Н.,, Дырда В.И. Резиновые детали машин. М.: Машиностроение, 1977, 216 с.

2. Уткин-Любовдев О.Л. Исследования ходовых систем тракторов. Тракторы и сельхозмашины, 1975, № I, с.17-19.

3. Боровских И.Ю., Уткин-Любовдев О.Л. Влияние конструктивных параметров гусениц с упругими связями звеньев на максимальные давления под опорными катками. Тракторы и сельхозмашины, 1981, № I, с.3-6.

4. Уткин-Любовдев О.Л., Скуратовский М.П., Бейнен-сон В.Д. и др. Результаты работ в области создания гусениц повышенной надежности с резинометаллическим шарниром для сельскохозяйственных тракторов. Тр.НАТИ, М., 1978,вып.256, с.66-74.

5. Виницкий Л.Е., Кдевакин В.К., Каменев М.Н., Евсеева Л.Г. Влияние характеристик упругости резины на долговечность шарниров тягового привода тепловозов. Каучук и резина, 1981, Л 9, с.48-50.

6. Глухова Ю.В., Масленников В.Г. Исследование циклической долговечности цилиндрических резинометаллических шарниров различных типов. Каучук и резина, 1974, № 12, е. 2730.

7. Черяпин A.M., Сидоров H.A. Влияние конструктивных параметров шарниров на износ и долговечность гусениц. -Тр. НАТИ, 1978, вып.256, с.55-65.

8. Горелик Б.М., Колосова В.И., Щеголев В.А. Деформационные характеристики плоскопараллельных тонкостенных резинометаллических цилиндров.- Каучук и резина, 1980, № 2, с.45-46.

9. Дымников С.И., Сиротин Н.И. Расчет резиновых элементов резинометаллических шарниров сборного типа. Каучук и резина, 1970, № II, с.36-39.

10. Дымников С.И. Расчет предварительно напряженных резиновых элементов. В сб.: Вопросы динамики и прочности. Рига: Изд.АН Латв.ССР, 1972, вып.22, с.107-118.

11. Дымников С.И., Дружинин В.А. Расчет напряженно-деформированного состояния запрессованных резиновых элементов комбинированного шарнира методом последовательных приближений. Каучук и резина, 1974, № 6, с.47-50.

12. Дымников С.И. Расчет запрессовки резинового элемента шарнира сборного типа. В сб.: Вопросы динамики и прочности. Рига: Из д. АН Латв.ССР, 1976, вып.32, с.118-121.

13. Дымников С.И., Дружинин В.А. Расчет резиновых элементов комбинированного шарнира. В сб.: Вопросы динамики и прочности. Рига: Изд.АН Латв.ССР, 1976, вып.32, с.122-125.

14. Дымников С.И., Дружинин В.А. Характеристики жесткости резинометаллического шарнира комбинированного типа. В сб.: Вопросы динамики и прочности. Рига: Изд.АН Латв.ССР, 1976, вып.ЗЗ, с.112-123.

15. Дымников С.И., Гозмая Е.А. Упрощенный метод расчета напряженно-деформированного состояния запрессованных резиновых элементов шарниров комбинированного типа при больших деформациях. Каучук и резина, 1978, Ш 9, с.31-34.

16. Гозман Е.А., Лаппо В.А. Упрощенный метод расчета напряженного состояния резинометаллического шарнира. Каучук и резина, 1978, Я 12, с.39-42.

17. Пономарев С.Д., Еидерман В.Л., Лихарев К.К., Маку-шин В.Н., Малинин Н.И., Феодосьев В.И. Расчеты на прочность в машиностроении. М.: Машгиз, 1958, т.2, с.504-513.

18. Мартьянова Г.В. Расчет резинометаллического шарнира на боковую нагрузку. В сб.: Расчеты на прочность. М.: Машиностроение, 1979, вып.20, с.129-139.

19. Еидерман В.Л., Мартьянова Г.В. Влияние сжимаемости на радиальную податливость резинометаллического шарнира.

20. В сб.: Расчеты на прочность. М.: Машиностроение, 1980, вып.21, с.5-14.

21. Мартьянова Г.В., Дадонов В.А. К расчету резинометаллического шарнира на изгиб. В сб.: Расчеты на прочность. М.: Машиностроение, 1981, вып.22, с.59-64.

22. Лавендел Э.Э. Расчет резинометаллического шарнира.-Изв. АН Латв.ССР, i960, £ 5, с.33-42.

23. Лавендел Э.Э. Расчет коротких резинометаллических шарниров. В сб.: Вопросы динамики и прочности. Рига: Изд. АН Латв.ССР, 1963, вып.10, с.147-158.

24. Дымников С.И. Расчет резинометаллических шарниров.-В сб.: Вопросы динамики и прочности. Рига: Иэд.АН Латв.ССР, 1974, вып.29, с.153-160.

25. Бельцер А.И. Исследование радиального нагружения резинометаллического шарнира методом возмущений. В сб.: Вопросы динамики и прочности. Рига: Изд.АН Латв.ССР, 1974, вып.29, с.161-171.

26. Дымников С.И., Лавендел Э.Э. Об одном приближенном методе решения задач теории упругости для несжимаемого материала в случае больших деформаций. Механика полимеров, 1967, JS 4, с.652-658.

27. Лавендел Э.Э. Расчет резино-технических изделий. М.: Машиностроение, 1976, 232 с.

28. Слепян Л.И. 0 деформациях в окрестности особой точки. Изв.АН СССР. Сер .Механика твердого тела, 1972, Jfc 4, с.70-79.

29. Слепян Л.И. Механика трещин. Л.: Судостроение, 1981, 296 с.

30. Vianello L. Craphische Untersuchung der Knickfestigkeit gerader State» VDI - Zeitschrift, 1898, Bd.42, Ж 52, S.1436-1443.

31. Еидерман В.Л. Вопросы расчета резиновых деталей.-В сб.: Расчеты на прочность. М.: Машгиз, 1958, вып.З,с.40-87.

32. Новожилов В.В. Теория упругости. Л.: Судпромгиз, 1958, 370 с.

33. Mooney М. A Theory of large elastic deformation.- J. Appl.Phys., 1940, v.11, N 9, pp.582-592.

34. Treloar L.R.G. The elasticity of a network of long-chain molecules. 1,11.- Trans. Faraday Soc., 1943» v.39, pp.36-41, 241-246.

35. Rivlin R.S., Saunders D.W. Large elastic deformations of isotropic materials. YII. Experiments on the deformation of rubber.- Phil. Trans.Roy.Soc.Ser.A, 1951, v. 243, pp.251-288.

36. Gent A.H. , Thomas A.G. Forms for the Stored (strain) energy function for vulcanized rubber. J.Polymer Sei., 1958, v.28, pp.625-628.

37. Alexander H. A constitutive relation for rubberlike materials.- Int.J.Bngng Sei., 1968,v.6,H 9,pp.549-563.

38. Isihara A., Hashitsume H., Tatibana M. Statistical theory of rubber^like elasticity IV (Two-dimensional stretching). - J. Chem.Phys., 1951,v.19, H 12, pp.1508-1512.

39. Zahorski S. A form of the elastic potential for rubber-like materials.-Arch. Mech.Stosowane3, 1959, v.11,H 5, pp. 613-618.

40. Hart-Smith L.J. Elasticity parameters for finite deformations of rubber-like materials. Z.Angew.Math.Phys., 1966, v.17, H 5, pp.608-626.

41. Besseling J.P., Voetnian H.H. Thermoelastic effects in rubber. In: Progress in thermoelasticity. Warszawa, 1969, pp.103-116.

42. Thomas A.G. The Departures from the statistical theory of rubber elasticity.- Trans.Faraday Soc., 1955, v.51 , N 4, pp.569-582.

43. Rivlin R.S. Large elastic deformations of isotropic materials. Phil. Trans. Roy. Soc., Ser. A, 1948, v.240, pp.459-525, v.241, pp.379-397.

44. Valanis K.C., Landel R.P. The strain-energy function of a hyperelastic material in terms of the extension ratios. J. Appl. Phys., 1967, v.38, H 7, pp.2997-3002.

45. Treloar L.R.G. The physics of rubber elasticity. Oxford: Clarendon press, 1958, 343 P«

46. Treloar L.R.G, The elasticity and related properties of rubber. Rep.Prog.Phys., 1973, v.36, H 7, pp.755-826.

47. Treloar L.R.G. The mechanics of rubber elasticity. -J. Polymer Sci., Part C, 1974» v.48, pp.107-123.

48. Obata Y., Kawabata S., Kawai H. Mechanical properties of natural rubber vulcanizates in finite deformation. J. Polymer Sci., Part A-2, 1970, v.8, H 6, pp.903-919.

49. Дунаев И.М. Обобщенный упругий потенциал для расчета конструкций из эластичных полимеров. Изв.ВУЗов. Строительство и архитектура. 1975, № 10, с.52-59.

50. Бартенев Г.М., Хазанович Т.Н. О законе высокоэластичных деформаций сеточных полимеров. Высокомолекулярные соединения, I960, т.2, № I, с.20-28.

51. Присс Л.С. Свободная энергия деформированной резины. Докл.АН СССР, 1953, т.93, № 5, с.813-816.

52. Бартенев Г.М., Вишвицкая Л.А. О законе деформации высокоэластичных материалов.

53. Изв. АН СССР, ОТН, Механика и машиностроение, 1961, № 4, с.175-177.

54. Бартенев Г.М., Вишвицкая Л.А. Сравнение различных уравнений деформации сеточных полимеров с опытом. Высокомолекулярные соединения, 1962, т.4, Jfc 9, с.1324-1332.

55. Ogden R.W. Large deformation isotropic elasticity on the correlation of theory and experiment for incompressible rubber-like solids. - Prog.Roy. Soc., Ser.A, 1972, v.326, Ж 1567, pp.565-584.

56. Varga O.H. Stress-strain behavior, of elastic materials. Ef.Y.: Interscience pufel, 1966, 190 p.

57. GrtwMn W.G. A nonlinear stress-strain relation.- Int. J. Solids Structures, 1968, v.4, К 3, pp.371-382.

58. Jones D.F«, Treloar L.R.G. The properties of rubber in pure homogeneons strain.- J. Phys., Ser.D.; Appl.Phys., 1975, v.8, К 11, pp.1285-13o4.

59. Dickie A., Smith Т.Ъ. Yiscoelastic properties of a rubber vulcanizate under large deformations in equal biaxial tension, pure shear, and simple tension. Trans. Soc. Rheology, 1971, v.15, N 1, pp.91-110.

60. Волкова А.В. О простейшей форме уравнений нелинейной теории уцругости в материальных координатах. В кн.: Актуальные проблемы нелинейной механики сплошной среды. Л., 1977, вып.1, с.79-83.

61. Черных К.Ф., Шубина И.М. Законы упругости для изотропных несжимаемых материалов (феноменологический подход).-Механика эластомеров. Науч.тр.Кубанск.госуд.ун-та.Краснодар, 1977, вып.242, т.1, с.54-64.

62. Черных К.Ф., Милякова Л.В. Тонкие резинометалличе-ские элементы. Beстн.Ленинград.ун-та, 1981, № 19, с.88-96.

63. Лейканд М.А., Лавендел Э.Э., Львов С.В., Хричико-ва В.А., Левин Г.А. Тонкослойные сферические эластомерные подшипники. В сб.: Вопросы динамики и прочности. Рига: Зинатне, 1980, вып.36, с.169-180.

64. Дымников С .И. Нелинейная постановка задач расчета тонкослойных резинометаллических элементов. В сб.: Вопросы динамики и прочности. Рига: Зинатне, 1982, вып.40, с.34-41.

65. Гонца В.Ф. Об одном методе расчета тонкослойных резинометаллических изделий. В сб.: Вопросы динамики и прочности. Рига: Зинатне, 1982, вып.40, с.42-46.

66. Лавендел Э.Э., Хричикова В.А., Лейканд М.А. Расчет жесткости сжатия тонкослойных резинометаллических элементов. В сб.: Вопросы динамики и прочности. Рига: Зинатне, 1981, вып.38, с.57-63.

67. Лейканд М.А., Львов C.B. Деформационные свойства тонкостенных эластомерных элементов. В сб.: Вопросы динамики и прочности. Рига: Зинатне, 1981, вып.38, с.84-90.

68. Лавендел Э.Э., Хричикова В.А. Описание нелинейного поведения тонкослойных резинометаллических элементов при сжатии. В сб.: Вопросы динамики и прочности. Рига: Зинатне, 1974, вып.35, с.145-148.

69. Петров В.В. К расчету пологих оболочек при конечных прогибах. Научные доклады высшей школы. Строительство, 1959, 1 I, с.27-35.

70. Петров В.В. Дослл.дження напруженого стану пластин пологих оболонок при скз-нченних прогинах методом посллдов-них навантажень. Прикладна мехаШка, 1962, т.УШ, вып.4, с.352-358.

71. Петров В.В. Ст±йкд.сть пологих оболонок, що пере-бувають nifli д1ею сил, прикладених на контур. Прикладна механз-ка, 1964, т.Х, вып.З, с.247-253.

72. Петров В.В. Расчет гибких пластинок и пологих оболочек вариационным методом В.З.Власова. Прикладная механика, 1966, т.2, вып.5, с.50-57.

73. Петров В.В. Исследование конечных прогибов пластинок и пологих оболочек методом последовательных нагружений. -Тр. Ц -Всесоюзн.конференц.по теории оболочек и пластинок.

74. М.: Наука,1962, с.328-332.

75. Новожилов В.В. Две статьи о математических моделях в механике сплошной среды. М.: Ин-т проблем механики

76. АН СССР, препринт № 215, 1983, 56 с.

77. Трелоар Л. Физика упругости каучука. М.: ИМ, 1953, 240 с.

78. Harting G.M., Roth P.L., Stiehler R.D. Behaviour of "Pure Gumtt Rubber vulcanizates in tension. Trans of Inst. Rubber Industry, 1956, v.32, H 6, pp.189-202.

79. Новожилов B.B. Теория тонких оболочек. Л.: Судпром-гиз, 1962, 431 с.

80. Черных К.Ф. Линейная теория оболочек. Л.: Изд.ЛГУ", 1962, ч.1, 274 с.

81. Черных К.Ф. Теория тонких оболочек из эластомеров (резиноподобных материалов). Успехи механики, 1983, т.6, вып.1/2, C.III-I47.

82. Филоненко-Бородич М.М. Теория упругости. М.-Л.:i1. Гостехиздат, 1947, 300 с.

83. Новожилов В.В., Михайлова (Витязева) Е.В. Плоская нелинейная задача о деформации полого цилиндра. В сб.: Механика деформируемого твердого тела. Тула,1983, с.21-32.

84. Дирба Д.А. Численное решение задачи обжатия трапециевидного резинометаллического шарнира. В сб.: Вопросы динамики и прочности. Рига: Зинатне, 1973, вып.2в, с.173-176.

85. Витязева Е.В. Об одном простом потенциале для нелинейно-упругого сжимаемого тела. ВИНИТИ, № 1385-84 Деп. от 14.03.1984, 20 с.

86. Слепян Л.И., Витязева Е.В. Об одном приближенном методе решения задач теории упругости в случае больших деформаций. ДАН СССР, 1984, т.277, Л 3, с.566-569.