Алгоритмы вычисления многомерного логарифмического вычета и некоторые их приложения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.07, кандидат физико-математических наук Потапова, Зинаида Евгеньевна

• Потапова, Зинаида Евгеньевна
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Потапова, Зинаида Евгеньевна

ВВЕДЕНИЕ

1. Общая характеристика работы

1.1. Актуальность темы

1.2. Цель диссертации

1.3. Методика исследования

1.4. Научная новизна

1.5. Апробация работы б

1.6. Публикации

1.7. Структура и объем работы

2. Содержание работы

Глава 1. Предварительная

1. Многомерный логарифмический вычет

2. Алгоритмы исключения неизвестных

2.1. Классическая схема исключения неизвестных

2.2. Алгоритм Бухбергера

2.3. Метод исключения неизвестных, основанный на формуле многомерного логарифмического вычета

3. Системы компьютерной алгебры, используемые в диссертации

3.1. Система MAPLE

3.2. Система МАТЕМАТИКА

Глава 2. Нахождение результанта для невырожденных систем с помощью матрицы перехода

4. Базис Гребнера

5. Алгоритм нахождения степенных сумм

6. Примеры

Глава 3. Формулы для нахождения степенных сумм корней систем мероморфных функций

7. Постановка задачи

8. Формулы для нахождения степенных сумм корней систем мероморфных функций

9. Нахождение сумм некоторых двойных рядов

10. Компьютерная реализация полученных формул

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Алгоритмы вычисления многомерного логарифмического вычета и некоторые их приложения»

1. Общая характеристика работы

1.1. Актуальность темы.

Формула многомерного логарифмического вычета хорошо известна в теории функций многих комплексных переменных (см., например, [2, 20, 21]). Она дает интегральное представление суммы значений голоморфной функции в нулях некоторой системы голоморфных функций, заданных в областях пространства С". Интеграл в этой формуле должен быть вычислен по циклам; (остовам аналитических полиэдров) действительнойiразмерности п. Для достаточно широких; классов алгебраических отображений! известны формулы вычисления данного интеграла через коэффициенты полиномов, входящих в' систему (см., например, [2, 6, 20, 26, 27]). Но эти формулы настолько сложны, что практически (без разработки алгоритмов вычисления) их невозможно применить даже для простых систем. Тем более, что часто в системы входят параметры.

Первые попытки в создании таких алгоритмов - (и их компьютерная реализация) для ■ систем - с- выделенной главной^ частью, треугольных систем были даны в работах В:И.Быкова, А.М.Кытманова, М.З.Лазмана, Т.А.Осетровой [6, 5, 7, 17, 8, 26]. В данных работах были рассмотрены применение формулы многомерного логарифмического вычета; к исключению неизвестных из систем алгебраических уравнений. Этот модифицированный метод исключения неизвестных, предложенный JLА.Айзенбергом в; [1], был затем развит в [6^26]. Но для невырожденных систем алгебраических уравнений (практически самых общих алгебраических систем) такие разработки отсутствовали.

Тематика диссертации также связана с активно развивающимся в последнее время новым направлением в математике — компьютерной алгеброй многочленов, лежащей на стыке алгебры, математического анализа; и программирования. Многие нелинейные задачи в приложениях характеризуются множественностью стационарных состояний; Эти запросы инициируют 4 появление новых теоретических результатов в области анализа ■ систем нелинейных алгебраических уравнений. Внедрение в практику научных исследований различных систем аналитических преобразований на ЭВМ сделало работоспособными достаточно сложные алгоритмы теории исключения.

Нелинейные системы алгебраических уравнений возникают в различных областях знания. В частности, в процессах, описываемых системами дифференциальных уравнений с полиномиальными. правыми частями, актуален вопрос об определении числа стационарных состояний в множествах определенного вида (и их локализации). Эта проблема приводит к задачам компьютерной алгебры многочленов: построения алгоритмов для определения числа корней заданной системы уравнений в разных множествах, определения самих корней; исключения части неизвестных из системы, построения систем треугольного вида, эквивалентных данной системе. Такие: вопросы, естественно, требуют развития методов работы с аналитическими выражениями на ЭВМ.

В частности в монографиях [6, 26] приведены многочисленные примеры; из химической кинетики, где работают алгоритмы вычисления многомерного логарифмического. вычета.

1.2. Цель диссертации.

Целью диссертации является: разработка алгоритмов исключения неизвестных из систем невырожденных алгебраических уравнений; основанных на формуле многомерного логарифмического вычета; получение формул для вычисления степенных сумм для некоторых типов систем мероморфных функций с бесконечным множеством корней, разработка алгоритмов вычисления таких степенных сумм; применение найденных формул к нахождению сумм некоторых, кратных рядов; компьютерная реализация в системах компьютерной алгебры MAPLE и МАТЕМАТИКА полученных алгоритмов.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Потапова, Зинаида Евгеньевна, 2004 год

1. Айзенберг J1.А. Об одной формуле обобщенного многомерного логарифмического вычета и решении систем нелинейных уравнений/ Л.А.Айзенберг // Докл. АН СССР. -1977. - Т. 234. - № 3. - С. 505 — 508.

2. Айзенберг Л. А. Интегральные представления и вычеты в многомерном комплексном анализе / Л.А.Айзенберг, А.П.Южаков. Новосибирск: Наука, - 1979.

3. Артюхин Ю.П. Система МАТЕМАТИКА 4.0 и ее приложения в механике: Учебное пособие / Ю.П.Артюхин, Н.Г.Гурьянов, Л.М.Котляр. Изд-чо КамПИ. - 2002. - 415 с.

4. Вухбергер Б. Базисы; Гребнера. Алгоритмический метод в теории полиномиальных. идеалов/ Б.Бухбергер // Компьютерная алгебра. Символьные и алгебраические вычисления / Под ред. Бухбергера В., Коллинза Дж., Jlooca Р. М.: Мир, - 1986.

5. Быков В.И. Компьютерная алгебра многочленов. Модифицированный метод исключения / В.И.Быков, А.М.Кытманов, Т.А.Осетрова // Докл. РАН. 1996. - Т. 350. - №4. - С. 443-445.

6. Быков В.И. Методы исключения в компьютерной алгебре многочленов / В.И.Быков, А;М;Кытманов,- М.З.'Лазман. Новосибирск: Наука, - 1991.

7. Быков В.И. Компьютерная алгебра многочленов. Методы и приложения / В.И.Быков, А.М.Кытманов, Т.А.Осетрова // Вычислительные технологии. Сб. научных трудов. Новосибирск. - 1995. - Т. 4. - № 10. - С. 79-88.

8. Быков В.И. Компьютерная алгебра многочленов. Методы и приложения / В.И.Быков,A.М.Кытманов, Т.А.Осетрова // Доклады РАН. 1996. - Т. 350. М 4. - С. 443-446.

9. Ван дер Варден Б.Л. Алгебра / Б.Л.Ван дер Варден. М.: Наука, - 1976.

10. Ван дер Варден Б.Л. Современная алгебра / Б.Л.Ван дер Варден. М.-Л.: ОГИЗ, - 1947.

11. Ван Хюльзен Я. Системы компьютерной алгебры / Я.Ван Хюльзен, Ж.Калме // Компьютерная алгебра. Символьные и алгебраические вычисления / Под ред. Бухбергера Б., Коллинза Дж., Лооса Р. М.: Мир, - 1986.

12. Гердт В.П. Обзор: Алгоритмы, системы/и применения компьютерной алгебры /B.П.Гердт, Д.Ю.Григорьев // Компьютерная алгебра. Символьные и алгебраические вычисления / Под ред. Бухбергера Б., Коллинза Дж., Лооса Р. М.: Мир, - 1986.

13. Дэвенпорт Дж. Компьютерная алгебра / Дж.Дэвенпорт, И.Сирэ, Э.Турнье. М.: Мир, -1991.

14. Потехина М.В. Некоторые применения метода стандартного базиса / М.В.Потехина // Магистерская диссертация. Красноярск: КрасГУ. - 2002.

15. Прудников А.П. Интегралы и ряды. Элементарные; функции! / А.П.Прудников, Ю.А.Брычков, О.И.Маричев. М.: Наука, 1981. - 800 е.20.?Цих А.К. Многомерные вычеты и их применения / А.К.Цих. Новосибирск: Наука, -1989. - 240 с.

16. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ / Б.В.Шабат. М: Наука, - 1979. - Т.2:

17. Шафаревич И.Р. Основы алгебраической геометрии / И.Р.Шафаревич. М: Наука, -1979.

18. Adams. W.W— An; introduction- to- Groebner Bases- / W.W.Adams, P.Loustraunau; -American Mathematical Society. 1994.

19. Bajaj C. On the application of multi-equational resultants / C.Bajaj, T.Garrity, J.Warren // Tecnical Report CSD-TR-826, Departament of Computer Science. Purdue University.- 1988.

20. Bayer D.A. A system for computation in algebraic geometry ajid commutative algebra / D.A.Bayer, M.Stillman, M.Macaulay. User Manual. - 1991.

21. Bykov V.I. Elimination methods in polynomial computer algebra / V.I.Bykov, A.M.Kytmanov, M.Z.Lazman. Dodrecht-Boston-Basel: Kluwer Academic Publishers,,-1998.

22. Cattani E. Computing Multidimensional Resides / E.Cattani, A.Dickenstein, B.Sturmfels .// Preprint University of Buenos Aires. 1994.

23. Char B. MapleV Library Reference Manual / B.Char, K.Geddes et all.-Springer Verlag: Berlin, New York. 1991.

24. Char В. MapleV Language Reference Manual / B.Char, K.Geddes et all. Springer Verlag: Berlin, New York. - 1991.

25. Macauley F.S. Algebraic theory of modular systems / F.S.Macauley. Cambridge. - 1916.

26. Manocha D. MultiPolynomial Resultant Algorithms / D.Manocha, J.F.Canny // J. Symbolic Computation. - 1993. - №15. - P. 99-122.

27. Manocha D. Multipolynomial resultant algorithms. and linear algebra / D.Manocha, J.F.Canny // In Proceedings of International, Symposium on t Symbolic and Algebraic Computation. 1992. - P. 232-241.

28. Moller H.M. The construction of multivariate polynomials; with preassiqued zeros / H.M.Moller, B.Buchberger // Lect. Notes Comput. Sci. 1983. - V. 162. - P. 24-31.

29. Moses J. Solution; of Systems of Polynomial1 Equation by Elimination. / J.Moses // "Commun. of the ACM. 1966. - V. 9. - №8. - P. 634-637.

30. Winkler F. An algorithm for constructing canonical bases of polynomial ideals / F.Winkler, B.Buchberger, F.Lichtenberger, H.Rolleeetschk // ACM Trans. Math. Software. 1985. -V. 11.-№1.-P. 66-78.

31. Wolfram S. Mathematica: A System for Doing Mathematics by Computer / S.Wolfram . -Addison-Wesley. Reading-- MA.- 1991

32. Быков В.И. Применение систем компьютерной алгебры в модифицированном методе исключения неизвестных/ В.И.Быков, А.М.Кытманов, Т.А.Осетрова, З.Б.Потапова // Докл. РАН. 2000. - Т. 370. - №4. - С. 439-442.

33. Мысливец С.Г. Формулы для нахождения сумм некоторых двойных рядов / С.Г.Мысливец, З.Б.Потапова // Межвузовский сборник "Вопросы математического анализа". Красноярск: КрасГТУ. - 2004. - Вып. 7. - С. 54-62.