О вычетных интегралах и степенных суммах корней систем неалгебраических уравнений в Сn тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат наук Мышкина Евгения Константиновна

• Мышкина Евгения Константиновна
• кандидат наук
• 2015

Оглавление диссертации кандидат наук Мышкина Евгения Константиновна

1. Вычеты

2 Целые и мероморфные функции

2. Вычетные интегралы и степенные суммы корней определенных типов систем неалгебраических уравнений

3. Вычетные интегралы и степенные суммы корней

простейших систем неалгебраических уравнений

3.1 Вычисление вычетных интегралов

3.2 Интегральные представления для степенных

сумм

4. Вычетные интегралы и степенные суммы корней систем неалгебраических уравнений треугольного вида

4.1 Вычисление вычетных интегралов

4.2 Интегральные представления для степенных сумм

5. Вычетные интегралы и степенные суммы корней

специальных систем уравнений, состоящих из целых функций

5.1 Вычисление вычетных интегралов

5.2 Вычетные интегралы и степенные суммы

6. О разложении целых функций в бесконечные произведения

3. Нахождение сумм кратных рядов с помощью вычетных интегралов

7. Нахождение сумм многомерных рядов с помощью вычетных интегралов

для простейших систем

8. Нахождение сумм многомерных рядов с помощью вычетных интегралов

для систем треугольного вида

9. Нахождение сумм многомерных рядов с помощью вычетных интегралов

для систем специального вида

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «О вычетных интегралах и степенных суммах корней систем неалгебраических уравнений в Сn»

Введение

Исследование систем алгебраических уравнений является классической задачей. Частью ее является задача исключения неизвестных. Для двух переменных и систем из двух уравнений она решается с помощью результанта Сильвестра (см., например, [17]). Для систем из большего числа уравнений построена классическая схема исключения неизвестных (см., например, [12]), но она, как правило, является весьма трудоемкой. В настоящее время общепринятым методом исключения неизвестных является метод базисов Гребнера, созданный в работах Бухбергера и его учеников (основы этого метода можно, например, найти в [6]).

Модифицированный метод исключения неизвестных из систем алгебраических уравнений в Сп возник в работе Л.А.Айзенберга [1]. Основная идея метода заключается в нахождении степенных сумм корней системы с помощью формулы многомерного логарифмического вычета, не вычисляя самих корней, а затем в использовании классических рекуррентных формул Ньютона для построения результанта. В отличие от классического метода исключения он менее трудоемок и не увеличивает кратности корней. Дальнейшая его разработка продолжена в монографиях [5, 7, 30]. В качестве приложений этой теории были рассмотрены системы нелинейных уравнений, возникающих в химической кинетике (см. [2, 3, 4, 8, 19, 37, 39]) и зависящих от параметров.

Во многих прикладных задачах возникают также неалгебраические системы уравнений, состоящих из экспоненциальных многочленов, т.е. из функций конечного порядка роста (см., например, [11]). Для систем неалгебраических уравнений, множество корней которых, как правило, бесконечно, степенные суммы корней в положительной степени, вообще говоря, являются расходящимися рядами. Но степенные суммы корней в отрицательной степени часто являются сходящимися. Возникает задача о их вычислении через коэффициенты Тейлора функций, входящих в систему. Это вычисление можно осуществить с помощью вычетных интегралов. В работах [9, 21] рассмотрен простейший класс

систем уравнений для целых и мероморфных функций, фактически функций не выше первого порядка роста. В работе [18] для этих формул дана их компьютерная реализация в системе MAPLE. Тем самым тематика работы является актуальной.

Цель диссертации

Целью работы является изучение и нахождение степенных сумм корней разного вида систем неалгебраических уравнений, состоящих из целых или мероморфных функций конечного порядка роста. Установление связи между степенными суммами и вы-четными интегралами, построенными по заданной системе функций. Нахождение сумм некоторых видов кратных рядов на основе разработанной теории.

Методика исследования

В основу исследования положены методы многомерного комплексного и функционального анализа, а также системы компьютерной алгебры.

Научная новизна

Результаты работы являются новыми. Они заключаются в изучении некоторых типов систем неалгебраических уравнений; в рассмотрении вычетных интегралов и доказательстве формул для их вычисления, содержащих конечное число коэффициентов Тейлора функций, входящих в уравнения; в установлении связи между интегралами и степенными суммами корней в отрицательной степени.

Теоретическая и практическая ценность

Результаты, полученные автором, являются теоретическими. Их ценность состоит в том, что полученные результаты могут быть использованы в многомерном комплексном анализе, в математических задачах химической кинетики, а также в компьютерной алгебре.

Практическое применение полученных результатов состоит в их внедрении в учебный процесс в виде материала для проведения специальных курсов по современным проблемам многомерного комплексного анализа кафедры теории функций Института математики и фундаментальной информатики Сибирского федерального университета.

Степень достоверности и апробация работы

Достоверность результатов работы подтверждается строгими математическими доказательствами.

Основные результаты диссертации обсуждались и докладывались на следующих конференциях: VIII Всероссийская научно-техническая конференция студентов, аспирантов и молодых ученых (Красноярск, Россия, 2012); IV российско-армянское совещание по математической физике, комплексному анализу и смежным вопросам (Красноярск, Россия, 2012); IX Всероссийская научно-техническая конференция с международным участием (Красноярск, Россия, 2013); международные научные студенческие конференции «Студент и научно-технический прогресс» (Новосибирск, Россия, 2013, 2014); школа-конференция (Ярославль, Россия, 2013); XIII Всероссийская молодежная школа-конференция «Лобачевские чтения-2014» (Казань, Россия, 2014); V российско-армянское совещание по математической физике, комплексному анализу и смежным вопросам (Ереван, Армения, 2014); международная школа-конференция по многомерному комплексному анализу и дифференциальным уравнениям (Красноярск, Россия, 2014).

Результаты работы неоднократно докладывались на Красноярском городском семинаре по многомерному комплексному анализу (2012-2015 г. г.).

Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [42-55], из них 5 работ [42-46] в ведущих рецензируемых изданиях, рекомендованных ВАК, 5 публикаций [4751] в материалах конференций, 4 публикации [52-55] являются тезисами конференций.

Личный вклад автора

В соавторстве выполнены три работы [42, 43, 46]. В диссертации приведены результаты, принадлежащие лично автору.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы из 55 наименований. Общее число страниц диссертационной работы 102.

Содержание работы

Первая глава является предварительной и включает в себя математические сведения, определения, теоремы и формулы, которые используются в диссертационной работе.

Вторая глава состоит из четырех параграфов и посвящена вычетным интегралам и степенным суммам корней различных типов систем неалгебраических уравнений.

В первом параграфе рассматриваются вычетные интегралы и степенные суммы корней простейших систем.

Рассмотрим систему функций /1(2), /2(2),... , /«(2), голоморфных в окрестности точки 0 е Сп, 2 = (21, 22,... , 2п), и имеющих следующий вид

/з (¿Н^ + Qj (*))ер'з = 1, 2,...,п, (0.1)

где в3 = (в3 ,в2,..., в«) — мультииндекс с целыми неотрицательными координатами, ^ = ^ ■ ^ ■ ■ ■ и ||в31| = вЗ + в2 + ... + в« = к, з = 1, 2,..., п. Функции Qj, Р3 разлагаются в окрестности нуля в ряд Тейлора, сходящийся абсолютно и равномерно,

вида

Qз(2)= £ «¿г", (0.2)

Рз (*) = £ 1 ^, (0.3)

1М1>0

где а = («1,«2,... ,а«), аз ^ 0, аз е Z, а = ■ ¿Г ■ ■ ■ ; 7 = (71,72,... ,7«), 71 ^ 0, 73 е 2, а ^ = ^ ■ ■ ■ ■ .

Рассмотрим циклы 7(г) = 7(г1, г2,... , гп)

7(г) = {2 е Сп : = г,, в = 1, 2,... , п}, г1 > 0,... , гп > 0.

При достаточно малых г3- определены интегралы вида

= 1 Г / = 1 Г 1 /!Лл/

^ (2п^=1)"У ■ / (2п^=Г)" У + 1 ■ ^ ■■■ ' /1 Л /2 /« ,

7(г) 7(г1,г2,...,Гп)

где в1 ^ 0, в2 ^ 0,... ,вп ^ 0, в3 е 2, I = (1,1,..., 1).

В соответствии с [41] назовем их вычетными интегралами. К этим интегралам не применима теорема о логарифмическом вычете и они не являются стандартными вычетами Гротендика.

Обозначим через ¡^ функции ¡^ (г) = гв + Qj (г), ] = 1,..., п. Пусть I. — муль-тииндекс длины п, содержащий в единиц и п — в нулей (в = 0,1,... , п). Рассмотрим А/: — якобиан системы функций, таких, что единице, стоящей на ]-ом месте из I. соответствует строка в А/: из производных функции fj, а нулю, стоящему на к-ом месте в I. соответствует строка в А/: из производных функции Рк.

Теорема 2.1. При сделанных предположениях для функции fj вида (0.1), (0.2), (0.3) справедливы формулы:

г V _^_X

в .=0 V .МКИвИ+Ш^ ) (в + (а1 + 1)в* + ... + + 1)в*:)!

д1:(А/, ■ Qаs (I.))

х ■

п

££ £ (—1)«-«от

«=0 Иа^И^ИвИ+шт^^ +...+к;:)

.2=0

А/, ■ Qаs (I.)

г в+К + 1)в41 +...+(«: + 1)в^

где а — мультииндекс порядка в, %к — номер к-ой единицы в I., I. = \\в + (а1 + 1)вп +

, , : дИтИ д«7«

... + (а. + ^\в! = в1!■ ■ ■ вn!, Qаs(1.) = Qаll■ Qа22■ ■ ■ оа:, ^ = дг71 ...№ ^

наконец, Ш — линейный функционал, сопоставляющий ряду Лорана его свободный член.

Далее в параграфе рассмотренные интегралы связываются со степенными суммами корней системы. Для этого мы сузим класс функций fj. Возьмем в качестве функций Qj (= 1, 2,... ,п) многочлены вида

Qj (г) = £ <га, (0.4)

где М, — конечное множество мультииндексов такое, что при а £ Мз координаты а к ^ вк, к = 1,2,...,п, к = (Но по прежнему предполагается, что \\а\\ > к, для всех а £ М,). А для функций Р, (^ = 1, 2,... ,п) многочлены вида

Рз (г) = £ 3 . (0.5)

Обозначим

м 1

= ^(в1+1,в2+1,...)вп+1) = 5] гв1+1 гв2+1 ,

к=1 г1(к) ■ г2(к) ■ ■ ■ гп(к)

где в = (в1,...,вп) — некоторый мультииндекс. Здесь (г1(к),..., гп(к)) корни системы, не лежащие на координатных плоскостях, взятые столько раз какова их кратность (как показано в данном параграфе, их число конечно).

/ (г) = , З = 1 2'...'П, (0.7)

Данное выражение является степенной суммой корней, не лежащих на координатных плоскостях, системы, но в отрицательной степени (степенной суммой от обратных величин корней).

Теорема 2.2. Для системы с функциями /, вида (0.1) и многочленами Qj• вида (0.4), Р, вида (0.5) и для произвольного мультииндекса в такого, что

I1 + ... + Г ^ в, (0.6)

справедливы формулы

где 11 = (^, ...,/П) и 1 — степень 1-ого многочлена Рг по З-ой переменной г,; г,з = 1,..., п (для мультииндексов а ^ в, если данное неравенство выполняется для

всех их

координат).

Рассмотрим более общую ситуацию. Пусть функции / имеют вид

/]2>(г)

где (г) и /'2)(г) — целые функции в Сп конечного порядка роста не выше р, разлагающиеся в бесконечные произведения, равномерно сходящиеся в Сп,

те те

/,1)(г) = П /11?(г), /12)(г) = Ц /2)(г), 8=1 8=1

причем каждый из сомножителей имеет форму (г^'8 + Qj• ,8(г))ер^'8'г), а Qj•)S(г), Р,>(г) —

функции вида (0.4), (0.5) и степени всех многочленов Р1;8, входящих в систему,

deg ^ р, з = 1, 2,..., п, 5 = 1, 2,...

Для каждого набора индексов ... , Зп, где ... , зп € М, и каждого набора чисел

г 1,..., гп, где ¿1,... , гп равны 1 или 2, системы нелинейных уравнений

/Й1(г) = 0, /2:1)(г) = 0, ..., /П,(г) = 0, (0.8)

имеют конечное число корней, не лежащих на координатных плоскостях.

Корни всех таких систем (не лежащие на координатных плоскостях) составляют не более, чем счетное множество. Перенумеруем их (с учетом кратностей): г'1), г'2),... , г'г),.. Обозначим через выражение

те

=

V_-__(0 9)

1=1 г1'"г) ' г2'0 ''' г'п".1)

Здесь в,... , в— как и прежде, неотрицательные целые числа, а знак ^ равен +1, если в систему вида (0.8), корнем которой является 2(г), входит четное число функций /,в2); и равен -1, если в систему вида (0.8), корнем которой является 2(г), входит нечетное число функций /(2).

Теорема 2.3. Для системы с функциями вида (0.7), для которых в разложении степени всех Р, ограничены числом р и выполняется неравенство I1 + ... + Г" ^ в, ряд (0.9) сходится и справедливы формулы: ^д = (—1)гаав+/.

Во втором параграфе рассматриваются вычетные интегралы и степенные суммы корней систем уравнений треугольного вида.

Рассмотрим систему функций /1(2), /2(2),..., /-(2), голоморфных в окрестности точки 0 Е С-, 2 = (21, 22,... , 2П), и имеющих следующий вид

/г(2) = (2е + ^г(2))ер^, г =1, 2,..., п, (0.10)

где вг = (в!, в2,... , в-П) — мультииндекс с целыми неотрицательными координатами, IIвг|| = в! + в2 + ... + в-- = к», степени мономов 2е" удовлетворяют условию ^ ог^—г(2); г = 1, 2,... , п, и данные мономы не содержатся в —г(2). (Здесь и в дальнейшем под порядком ог^ голоморфной функции понимается наименьшая (по совокупности переменных) из степеней мономов, входящих в разложение Тейлора этой функции в точке 0.)

Кроме того, предположим, что система (0.10) удовлетворяет следующим условиям:

ОГ^...^-г > в + ... + в

0г4"...гп Р > в! + ... + в

ог4г..^- ^ в, +... + вП, (0Л1)

ог4г..^Р ^ в, + ... + в-,

г = 1,..., п; = г + 1,..., п.

Здесь ог^...^—, порядок голоморфной функции —, по переменным 2г... 2П при фиксированных остальных.

Если система (0.10) удовлетворяет условиям (0.11), то она может быть записана

в виде

/1(г ) = (гв1 + Ql(г))ePl'z),

/2 (г ) = (гв2 + ^21(г) + Q2(г))eP2 'г),

/п(г) = (гв" + ^п1(г) + ... + <^пп—1(г) + Qn(г))ePn'z),

где , — однородные полиномы степени

кг, удовлетворяющие

(0.12)

(0.13)

для г = 2,... , п; з = 1, 2,..., г — 1. А порядок Qj• по совокупности переменных строго больше к,, з = 1,... , п.

Таким образом получаем, что

г—1

^г(г) = ^ ^г,(г) + Qг(г), г = 1, 2,... 1=1

п,

(0.14)

При некоторых условиях на г1,... , гп определены вычетные интегралы вида ^д. Теорема 2.4. При сделанных предположениях для функций /, вида (0.10), удовлетворяющим условиям (0.11)-(0.14) справедливы формулы:

(—1)1КН

8=0 /8 а8

X

(в + (а8 + 1)в ¿1 + ... + (а8 + 1)в )!

д18 (Д/. ■ )

х

дгв+'а1+1)в41 +...+'а8+1)в^

г=0

ЕЕ В—1)"а'"«

8=0 /8 а8

Д/8 ^ ^

+ (а1 + 1)вг1 + д 1М1

и,

где а8 — мультииндекс длины в, г^ — номер к-ой единицы в 18, =

... + (а8 + 1)вв! = в1! ■ в2! ■■■ вn!, < (/в)= С ■ С ■■■ С , ^ = дг71 дг72 ■■■ дг7п наконец, Ш — линейный функционал, сопоставляющий ряду Лорана его свободный член. Суммирование ведется по конечному множеству мультииндексов а8, удовле-

творяющих условиям а8 ^

+ шт(в, кг1 + ... + кг8), а2 ^ в2 + ... + вп + 2(п — 1) +

(а? + 1)(в21 + ... + вп1),..., а8 ^ вп + 2 + вп1 а? + ... + в

а

8-1-

Далее рассмотренные интегралы связываются со степенными суммами корней системы (0.11).

в

Для системы с функциями /, вида (0.10) и функциями —, вида (0.11), (0.13),

многочленами Р,, О, вида (0.12), (0.13) и многочленами вида (0.13) сформулируем дополнительные предположения:

— г ^ вк, к = г,

degzfc Ог ^ вк, г = к,

^ вк, к = г,

к = 1,...,п; г = 2,...,п; = 1, 2,...,п — 1.

(0.15)

А функции Р, (] = 1, 2,... , п) — многочлены вида

Р (2)= £ ,27.

(0.16)

Теорема 2.5. Для системы с функциями /, вида (0.10), многочленами —, вида (0.14) с ограничениями вида (0.15), Р, вида (0.16) и для произвольного мультииндекса в такого, что

справедливы формулы

I1 + ... + Г ^ в,

(0.17)

где , = (/,,... ,/-) и — наибольшая степень г-ого многочлена Рг по ^-ой переменной 2,; г, = 1,..., п (для мультииндексов а ^ в, если данное неравенство выполняется для всех их координат

Теорема 2.6 третьего параграфа аналогична теореме 2.3 предыдущего параграфа. В третьем параграфе рассматриваем вычетные интегралы и степенные суммы корней специальных систем, состоящих из целых функций.

Рассмотрим систему уравнений /1(2), /2(2),..., /п(2) вида

/1(2) = [(1 — ап21)т11 ■ ... ■ (1 — а1„2„)т1п + 01(2)] еР1(г) = 0, /2(2) = [(1 — «2121Г21 ■ ... ■ (1 — а2„2„)т2п + 02(2)] еР^ = 0,

(0.18)

х/га(2) = [(1 — а„121)тп1 ■ ... ■ (1 — а„„2„)тпп + дга(2)] еРп(г) = 0,

где т, — натуральные числа, а, — комплексные числа, различные при каждом фиксированном Рг(2) и 0г(2) — целые функции.

Обозначим через ^(¿1,..., выражение вида

,...,г„) = (1 - а^)™*1 ■ ... ■ (1 - а^га)т™, г = 1,...п, (0.19) тогда наша система примет вид

/¿(¿1,..., *га) = [д^,...,*„) + Щ^,..., *„)] ер*(11>->4 г = 1, 2,..., п, (0.20)

Определим функции

I если а*,- = 0, для всех ;

= < 1 1 (0.21)

I ф^) ■ — ■ ... ■ I-, если а*Л = ... = аШ =

V Л

Система уравнений = 0, г =1, 2,..., п имеет п! изолированных корней в

С (С пространство теории функций). Пусть 7 = (^ ... ,— мультииндекс, являющийся перестановкой (1,... , п), тогда эти корни можно записать в виде

{(1/а1^1,..., 1/ап^п), если все а^ = 0, к = 1,..., п;

(1/«1л , . . . , 00[»1 Ь . . . , гс^..., 1/а„^п), если а^1 ^ = ... = ^ = °.

где к, ] = 1,..., п.

Обозначим через Г^ цикл

Г^ = (г е Сп : = г,, г, > 0, г =1,п}. (0.22)

Рассмотрим систему уравнений

Я (г, ¿) = (ф)+ г ■ дг(г))вРг(1) = 0 г =1, 2,..., п. (0.23)

зависящую от действительного параметра г ^ 0.

Как показано в этом параграфе определен вычетный интеграл (г)

= У ^ ■ ■ ЦА-Л...Л^, (а24)

где 7 = (71,... 7„) — мультииндекс.

Пусть — мультииндекс длины п, состоящий из 5 единиц и п — 5 нулей (в = 0,... , п). Обозначим через С, функции СД^, г) = ^(2) + г■ г = 1, 2,... , п. Пусть —

мультииндекс порядка п, состоящий из 5 единиц и п — 5 нулей (в = 0,... , п). Рассмотрим определители Д/з — якобианы системы функций, таких, что единице, стоящей на ]-ом

месте из соответствует строка в Д/8 из производных функции С,, а нулю, стоящему на к-ом месте в соответствует строка в Д/8 из производных функции Рд.

Теорема 2.7. При сделанных предположениях для функций вида (0.23) справедливы формулы для 37(Ь) в виде сходящихся при достаточно малых Ь рядов:

).

1

д 11в811

в (а8,/)! дгв8

Д/8 (Ь)

Л1+1

1

__ Qаs (/,) гпп+1 Г +1 (/в,3)

z=aJ

з ')и1—ч

8=0 7 /8 а8

где (—1)8'7) = 1, когда 3 — четная перестановка и (—1)8'7) = —1, когда 3 — нечетная перестановка, а8 — мультииндекс порядка в, г^ — номер 1-й единицы в /8, да8+/(18, 3) = . .■?а°+1[зп], а 5р[Зр] — это произведение всех (1 —ар1г1)тр1 ■.. .^(1 —арпгп)трп кроме

(1 — г^Г^, Qаs (/в) = Qаl1 ■... ■ Q^, в (а8, 3) = (тц ■ (а£ + 1) — 1,..., т, ■ (а<П + 1) — 1)

в(а8,3)! = П(т№ ■ К + 1) — 1)!,

д 11011

д•'а81 +1) —1 + ...+т8^п +1) —1

дгт1Л •'а81+1)—1

К„ +1)—г

При некоторых ограничениях на Qг и Рг вычетные интегралы можно связать со степенными суммами корней системы (0.18)

Предположим, что Qг(z) — многочлены вида

Qi(z) = г1 ■ ■ ■ гп £ С:

|а||^0

га г

1, 2, . . . , п,

(0.25)

где а — мультииндекс, га

а1

... ■ гпп, degz. Qг ^ т,, г,з = 1,..., п, для тех а,, для

которых а, = 0. Если а, = 0, то ограничение на степень degz Qг отсутствует. Функции Р, (з = 1, 2,... , п) — многочлены вида

Р, (г) = £ , гп,

(0.26)

где п = (п1,..., Пп) — мультииндекс.

Обозначим г= (гз1,..., г,п) = (г,1(1),..., г,п(1)), з = 1,...,п, з = 1,...,р — нули системы (0.20) с учетом их кратностей, не лежащие на координатных плоскостях. Рассмотрим цикл

Г^ = € Сп :

нЛ— ,...—

1, 2,..., п}.

1

-г, г

Цикл Г^ гомологичен сумме циклов , получающихся заменой Zj = — из

циклов Г^

wj

aj •

Обозначим через Gi функции Gi = ^(w) + Q^w), i = 1, 2,... , n, где г = (w1 —

1 1

aii)mi1 ■ ... ■ (wra — am)min, а Qi = w^1 ■ ... ■ wmin ■ Qi —,..., — .

i ' w.

Пусть Д — якобиан системы функций Gi,... , Gn.

Теорема 2.9. Для системы (0.18) с функциями / вида (0.20) и Qi вида (0.25) справедливы формулы

Р 1 = £

Y1+1 ZY2+1 ZYn+1 j=1 zji ' Zj2 " " " zjn

1 V^ t 1\IIKII l\s(J) f Г ...71 +1 „..Yn+1 Q1 ■ . . . ■ Qkn

У (—1)11*11+-у (—!)*(•»/ wY1+1 ...w^1- dw

(2^v^i)n) JJ 1 n rk1+1 ■ ...■nm+1

i\aj

V^1)I|K|I+^ V^1)s(J)_— • ^H^ii

1) 1) e(K,J)! dwe

QK

д • wY1+1 •... • Q

1 ' ' ' n TTK+J

rK+I (J)

w=aj

кем J

где z(j) = z(j)(1), а множество индексов К = {K = (fc1,...,fcn) : 3i, что ||K|| < 7i + 2, i = 1,..., n}, rJ = (a1j-1,..., anjn), (—1)s(J) = 1, когда J — четная перестановка и (—1)s(J) = —1, когда J — нечетная перестановка, Гк+7(J) = ГГ^1 И ■ ... ■ ГГ1п+1 [in], а Г[ij] — это произведение всех (w1 — j)™'1 ■ ... ■ (wn — ajn)mjn кроме (w^. — а^.)mjij, QK = Qk1 ■ ... ■ Qnn, в(K, J) = (m1i1 ■ (ki1 + 1) — 1,... ,mnin ■ (kin + 1) — 1),

в(K,J)! = ПК' ■ (kij + 1) — 1)!,

j

д||в|1 д ™1i1 -(ki1 + 1)-1+...+mnin •(kin +1)-1

dwe = dwm"1 (ki1+1) 1 ■ ■ dwm"in •(ki"+1)-1. Далее приводится теорема 2.10, аналогичная теореме 2.3 второго параграфа.

Хорошо известно, что целые функции конечного порядка роста в Cn, вообще говоря, не допускают разложения в бесконечное произведение, связанное с нулями функции. В четвертом параграфе доказывается теорема о разложении некоторых типов целых функций в бесконечные произведения.

Пусть Qj — многочлены в Cn, [1 — Qj] — нулевое множество (дивизор) функций 1 —Qj. Если существует целая функция f (z), у которой нулевое множество равно (J°=1[1 — Qj], то необходимым условием для этой f (z) является то, что в любом шаре из Cn, содержатся точки конечного числа множеств [1 — Qj].

Рассмотрим каноническое произведение

оо

., — 1

-2(*) Q,■J (*)

/(*) = ПЕ(О(г),р - 1) = П(1 - О(*))^2 "—1 , (0.27)

3=1 з=1

где выражение

Е(О,р) = (1 - д(г))е^)++•••+—, (0.28)

(р = 1, 2,...) назовем первичным множителем.

Теорема 2.11. Для всякой последовательности многочленов О, ] = 1,..., п,..., в которой степени всех О ограничены числом д, О имеют вид

Оз(*) = Е 4^, (0.29)

НвКд

и выполнено условие

о,- = тах || —^ 0, (0.30)

а

существует целая функция, имеющая нули на этих и только этих нулевых множествах, т.е. на множестве {_)°=1[1 — Оз]. Здесь в = (въ... , вп) — мультииндекс. Данная теорема является аналогом классической теоремы Вейерштрасса. В дальнейшем будем считать /(0) = 1. Пусть для функции /(г) ряд ^ ав сходится

при некотором в > 0.

з

Нижнюю грань положительных чисел в, для которых ряд ^ ав сходится, назовем

з

показателем сходимости ряда и обозначим через р1.

Теорема 2.12. Если для целой функции /(г), вида (0.27) имеющей нулевые множества и°=1[1 — Оз], показатель сходимости р1 > 0, то / имеет конечный порядок роста р ^ др1.

Теорема 2.13 (Аналог теоремы Адамара о разложении на множители).

Если функция /(г) — целая функция с нулевым множеством и^=1[1 —Оз], причем /(0) = 1 и р1 > 0, то

/ (г) = ем (г),

где Р(г) — каноническое произведение, построенное по нулям функции /(г), а М(г) — многочлен, степень которого не выше др1.

Третья глава состоит из трех параграфов и посвящена нахождению суммы кратных рядов с помощью вычетных интегралов.

В первом параграфе рассматриваются простейшие системы.

ПРИМЕР 1. Рассмотрим систему уравнений от трех комплексных переменных Рассмотрим систему уравнений

/l(Zl,Z2,Zs ) /2(zb Z2,Z3) /a(Zi,Z2,Zs )

sin у/Z1 —

л/zi — а2 sin V z2 — z1 —

П

fc=1

— zi — а2 sin VZ3 — Z2 —

Vz3 — Z2 — а2

1 -

П

m=1 те

П

s=1

z1 — а

k2n2

0,

1

1

z2 — z1 — а

m2n2 Z3 — Z2 — а2

S2 П2

0, 0.

Применяя теорему 2.1, можно получить

те

1

' (n2k2 + а2) ■ (n2(k2 + m2) +

fc,m,s

^ (n2k2 + а2) ■ (n2(k2 + m2) + 2а2) ■ (n2(k2 + m2 + s2) + 3а2)

_ (а cth а — 1)3 = 48а6 .

Во втором параграфе рассматриваются системы треугольного вида. ПРИМЕР 2. Рассмотрим систему уравнений

' sin Vo1z1—o2z2 те Л а^1 — а2г2\

/1(z1,z2) = —. - = П 1--г^- = 0,

^а^^!—k=1 V k2n2 у

r , ч sin V —61Z1 + 62Z2 ^ Л —&1Z1 + &2Z2\ _

f2 (z1, z2) = -, , , , - = П ( 1--- ) = 0

V—&1Z1 + 62Z2

s=1

s2n2

На основе теоремы 2.4 получена

Теорема 3.1. Справедливо интегральное представление

те

а^2 — а2^1

fc,s

_ п4 п4(а1а2 + 6162) п(уаГа2 + V&1&2)С(3) ^ (аls2 + 61 fc2)^2 + 62Р] = 36

180а1^2

2y/oJ>2

п

а1 2 í eV £ п- 1

i 2 ^ / 2. a1 п 2. a1 п 4Л/aiп , , ln2 y ■ 2Ф1(^ bl , e v bl ; eV bi ,u) dy—

п

12 ж , 2,[■a2п 2Л/^п 4л/^п Ч ,

ln y ■ 2Ф1 (e v а2 , e v ; e v ,u) dy

b2.

n I п

2 e v a2 - 1

где 2Ф1(е24,е24; е44,ж) — базисный гипергеометрический ряд.

В третьем параграфе рассматриваются системы специального вида.

2

а

а

2

а

1

о

1

о

ПРИМЕР 3. Рассмотрим систему уравнений

/1(^1,^2,^3)

ЙШ + «2^2 + «3^3 - а1Й2^1^2 - а^з^з - аз аз ¿2¿з

«2^2 + аз^з — Й1Й2 ¿1^2 — — азйз^з

Ш1 к5^ 1 = 0

/2(^1, ¿2,гз) =

8=1

ЙШ V61^1 + ^¿2 + Ьз^з - ^2^2 - Ь1Ьз^1^з - ЬзЬзг2^з

+ 62^2 + бз^з - 6162^2 - - бзбз^гз

. 61^1 + 62^2 + 6з^з - 6162^1^2 - б^з^гз - 6з6з^2^з\ _ п

11 (1 ¡^п ;=0,

/з(^1, ¿2, ¿з) =

ЙШ уЛс1 ¿1 + С2^2 + Сз^з - С1С2¿1^2 - С^з^з - СзСз^^Э + С2^2 + Сз^з - С1С2^1^2 - С1Сз- СзСз^2^з

^ | 1 с1^1 + с2^2 + Сз^з - С1С2^1^2 - С1Сз^1^з - СзСз¿2¿з | = о

Тогда, применяя теорему 2.9, получим, при условии л/|С = 2,

^(1,1,1) = £

1

1

п6в2(ав2 - 6к2)(св2 - ^т2) 3780ас

1

1

-а6с

1

С (5) +

С (5) +

2(е4пл/"С75 - 1) Л

2(е4^л/-"7ь - 1) Л

1п4 у ■ 2Ф1(е2п^"С75, е4^^-75, у) ¿у ) +

1п4 у ■ 2Ф1 (е2п^-"7Ь, е2"^-^; е4п^Л у) ¿у ) +

360л/а6Ы 4п4^а6Ы (e4пv/-"7b - 1) Л

1пз у ■ 2Ф1 (е2п^^, е2п^Л у) йу-

1

4п4л/а6Ы (е4п^ - 1) Л

-с/5 - 1) ,/0

1пз у ■ 2Ф1(е2п^^, е2"^-^; у) ^у+

1пз у ■ 2Ф1(е2п^-С75, е4"^-^, у) ^у-

8п4л/а6Ы

1п4 у

5

1

-с/^ 1

- 1

2Ф1(е2п^^, е2п^=с75; е4п^=С75, у)

1пз у ■ 2Ф1(е2п^^, -1; -е2^^-^, у) ¿у

32п4л/а6Ы 64п4л/а6Ы Л где 2Ф1(е24,е24; е44,ж) — базисный гипергеометрический ряд.

Рассмотренные примеры отсутствуют в известных справочниках.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору Александру Мечиславовичу Кытманову за сотрудничество, внимание и поддержку на всех этапах выполнения данной работы.

+

1

1

+

1

1

+

1

1

+

1

1

1

1

1

Глава 1.

Предварительные сведения

В данной главе сформулируем некоторые известные факты из многомерной теории вычетов, теории целых и мероморфных функций конечного порядка роста, о нахождении степенных сумм корней систем уравнений и их связи с вычетными интегралами.

1. Вычеты

Определение 1.1. Вычетом голоморфной функции / относительно базисного цикла а7 размерности п, если особенности / не пересекает а, называют величину

1

(2пТ—1)г

Д7 = ——/_I /^г.

т7

Теорема 1.1 (о вычетах). Если функция / мероморфна в области Б С Сп и Р-полярное

множество этой функции, то для любого п-мерного цикла а С Б\Р

р

[ /^ = 1)п р к7Я7,

„ 7=1

где к7 — коэффициент,ы разложения а по базе п-мерных гомологии в Б\Р, а Д7 — вычеты / относительно циклов этой базы (смотри [30]).

Теорема 1.2 (Безу). Пусть р = (р1,... ,рп) — система многочленов, имеющая конечное множество нулей в Сп. Если старшие однородные части этой системы имеют только один общий ноль, начало координат, то тогда число этих нулей с учетом кратностей равно произведению степеней многочленов (см., например, [33]).

Теорема 1.3 (Коши - Пуанкаре). Пусть функция f (г) голоморфна в области Б С Сп. Тогда для любой (п + 1)-цепи а в Б интеграл

! f (г)<3г = J f (гь..., 2п)^1 Л ... Л = 0

да да"

(смотри [5]).

Определение 1.2. Пусть Б^ С С^ — область с кусочно-гладкой границей г = 1,..., п. Область Б = Б1 х ... х Бп С Сп называется полицилиндрической областью.

Определение 1.3. Множество Г = дБ1 х ... х дБп снабженное естественной ориентацией, индуцированной ориентацией области Б, называется остовом области Б.

Класс функций, голоморфных в области Б обозначается А(Б).

Обозначим (Б) = А(Б) ПС (Б) и Ап(Б) — класс голоморфных в Б отображений

f = (Л,...,Д).

Теорема 1.4. Пусть Б — полицилиндрическая область, а — любая точка Б, функция р Е (Б), тогда справедлива кратная формула Коши

1 Г

р(а)=(2П7=Т)ПУ 7-7 =

Г

1 [ ,..., Л ... Л

(^1 - а1) ■ ... ■ - а«)

Г

(например [5]).

В качестве следствия получается формула кратного вычета. Если Г остов поликруга с центром в нуле, то

1 г ^ л ... л = 11 если а1 = ... =

(2П7-Т^У га1 ■ ■ ■ = )

4 * ' г 1 п I 0 в противном случае.

Рассмотрим точку а Е Сп и [/а — окрестность точки а. Предположим, что отображение f = (Д,... , Д) € Ап(иа) и имеет один общий ноль в а. Пусть локальный цикл 7/ = {г € Ц, : |Л(г)| = ... = |Д(г)|} есть остов аналитического полиэдра. Хорошо известна следующая формула многомерного логарифмического вычета (см., например, [5]), полученная Мартинелли и Сорани [40].

Теорема 1.5. Если функция ^(г) € А(иа), то

1 [ 6/ 1 Г /Л... Л/ , , = ^-V-7-7- =

1)п 7 / (2п^)п 7 г /1 ■ ■ ■ /

7/ 7/

где — это кратность нуля а отображения /.

Вычетом Гротендика называют интеграл (см., например, [30, 35, 36]). 1 Г 1 Г Л ... Л гп

(2^Vх—Г)п7 1)пУ ^ /1 ••• /п "

7/ 7/

О способах его вычисления см., например, [30, 35, 36].

Пусть в области Д С Сп задано отображение / € Ап(Д) и имеющее в Б конечное число нулей. Цикл Г/, равный сумме локальных циклов 7/, называется глобальным циклом.

Теорема 1.6 (Южакова). Пусть отображение / € Ап(Д), V € АС(Д), Б и Г — заданы выше, а отображение д € Ап(Д) удовлетворяет на Г неравенствам

1&(г)| < I/?(г)|,^ = 1,...,п

Тогда

а) отображение / и / + д имеют в Д одинаковое число нулей;

б) справедлива формула

1

6/+дд)= £ М/ + дМа)

г аеЕ/+э

где Е/ = {а : а € Д, /(а) = 0}, а — это кратность нуля (смотри, например, [5]).

В работе [29] рассматривается система алгебраических уравнений вида

/(г) = (*1 - а*Г1 ■ ... ■ (гп - ат)т- + ) = 0, г = 1,..., п, (1.1)

где г = (г1,...,гп), т? — натуральные числа, фДг) — многочлены, степени которых по переменной г? меньше, чем т?, а? — такие комплексные числа, что для каждого ] = 1,... , п все а1?,... , ап? различны. Показано, что число корней системы (1.1) конечно и их число в Сп (с учетом их кратности) равно перманенту, составленному из чисел т?.

0

С помощью многомерного логарифмического вычета в [29] получена формула для нахождения суммы значений произвольного многочлена в корнях заданной системы алгебраических уравнений. Приведем утверждение из [29], которое мы будем использовать в дальнейшем. Пусть задана система алгебраических уравнений в Сп вида

) = 0, г = 1,...,п, (1.2)

имеющая конечное число корней в Сп и не имеющая бесконечных корней в С (С — пространство теории функций).

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Мышкина Евгения Константиновна, 2015 год

Список литературы

[1] Айзенберг Л.А. О формуле обобщенного многомерного логарифмического вычета и решении систем нелинейных уравнений /Л.А. Айзенберг // Докл. АН СССР. 1977.

— т. 234. — № 3. — С. 505-508.

[2] Айзенберг Л.А. Определение всех стационарных решений уравнений химической кинетики с помощью модифицированного метода исключения. / Л.А. Айзенберг, В.И. Быков, А.М. Кытманов //1. Алгоритм, Физика горения и взрыва. 1983. — № 1.

— С. 60-66.

[3] Айзенберг Л.А. Определение всех стационарных решений уравнений хи-мической кинетики с помощью модифицированного метода исключения / Л.А. Айзенберг, В.И. Быков, А.М. Кытманов, Г.С. Яблонский //2. Применения, Физика горения и взрыва. 1983. — № 2. — С. 66-73.

[4] Айзенберг Л.А. Определение всех стационарных состояний уравнений химической кинетики на основе многомерного логарифмического вычета /Л.А. Айзенберг, В.И. Быков, А.М. Кытманов, Г.С. Яблонский // Докл. АН СССР. 1981. — т. 257.— № 4. — С. 903-907.

[5] Айзенберг Л.А. Интегральные представления и вычеты в многомерном комплексном анализе / Л.А. Айзенберг, А.П. Южаков. — Новосибирск: Наука, 1979.

[6] Аржанцев И.В. Базисы Грёбнера и системы алгебраических уравнений /И.В. Ар-жанцев. — М.: МЦНМО, 2003.

[7] Быков В.И. Методы исключения в компьютерной алгебре многочленов /В.И. Быков, А.М. Кытманов, М.З. Лазман. — Н.: Наука, 1991.

[8] Быков В.И. Результант системы уравнений квазистационарности для одномаршрут-ного n-стадийного механизма /В.И. Быков, А.М. Кытманов, М.З. Лазман, Г.С. Яблонский // Хим. физика. 1987. - № 11. - С. 1549-1553.

[9] Быков В.И. Степенные суммы нелинейных систем уравнений / В.И. Быков, А.М. Кытманов, С.Г. Мысливец // Докл. РАН. 2007.- т. 416. - № 1.- С. 1-4.

[10] Быков В.И. Компьютерная алгебра многочленов. Модифицированный метод исключения / В.И. Быков, А.М. Кытманов, Т.А. Осетрова // Докл. РАН. 1996. — т. 350.

- № 4.- С. 443-446.

[11] Быков В.И. Нелинейные модели химической кинетики / В.И. Быков, С.Б. Цыбенова.

- М.: КРАСАНД, 2011.- 540 с.

[12] Ван дер Варден Б.Л. Современная алгебра: тт.1-2 / Б.Л. Ван дер Варден. — М-Л: ОНТИ НКТП, 1937.

[13] Градштейн И.С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений / И.С. Град-штейн, И.М. Рыжик. —М.: Физматгиз, 1963.

[14] Качаева Т. И. О нахождении сумм некоторых кратных рядов / Т.И. Качаева // Вестник Красноярского госуниверситета. 2004. — № 1. — С. 105-109.

[15] Колмогоров А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. — М.: Наука, 1981.

[16] Кудрявцев Л.Д. Краткий курс математического анализа / Л.Д. Кудрявцев.— М.: Наука, 1989.- 736 с.

[17] Курош А.Г. Курс высшей алгебры /А.Г. Курош. —М.: Наука, 1968. — 431 с.

[18] Кытманов А.А. Алгоритм вычисления степенных сумм корней для класса систем нелинейных уравнений / А.А. Кытманов // Программирование. 2010. — № 2. — С. 55-63.

[19] Кытманов А.М. Нахождение коэффициентов кинетического полинома с помощью многомерных вычетов / А.М. Кытманов // Мат. Весник. 1989. — т. 41. — № 3. — С. 161-167.

[20] Кытманов А.М. О числе вещественных корней систем уравнений / А.М. Кытманов // Известия вузов. Математика. 1991. — № 6. — С. 20-24.

[21] Кытманов А.М. Формулы для нахождения степенных сумм корней систем меро-морфных функций / А.М. Кытманов, З. Е. Потапова // Известия вузов. Математика. 2005. — № 8. — С. 39-48.

[22] Лелон П. Целые функции многих комплексных переменных / П. Лелон, Л. Груман.

— М.: Мир, 1989.

[23] Прудников А.П. Интегралы и ряды. Элементарные функции / А.П. Прудников, Ю.А. Брычков, О.И. Маричев. — М.: Наука, 1981.

[24] Ронкин Л.И. Введение в теорию целых функций многих переменных /Л.И. Ронкин.

— М.: Наука, 1971.

[25] Садыков Т.М. Гипергеометрические и алгебраические функции многих переменных / Т.М. Садыков, А.К. Цих — М.: Наука, 2014.

[26] Тарханов Н.Н. Метод параметрикса в теории эллиптических комплексов / Н.Н Тарханов. — Новосибирск: Наука, 1989.

[27] Титчмарш Е. Теория функций / Е. Титчмарш. — М.: Наука, 1980.

[28] Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: в 3 т. /Г.М. Фихтенгольц. — М.: Наука, 1970.

[29] Цих А.К. Теорема Безу в пространстве теорий функций. О решении систем алгебраических уравнений / А.К. Цих // Сб. трудов «Некоторые вопросы многомерного комплексного анализа». — Институт физики СО АН СССР, Красноярск. — 1985. — С. 185-196.

[30] Цих А.К. Многомерные вычеты и их приложения / А.К. Цих. — Н.: Наука, 1992.

[31] Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. Функции одного переменного. Ч. 1 / Б.В. Шабат. — СПб.: Лань, 2004.

[32] Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. Функции нескольких переменных. Ч. 2. / Б.В. Шабат. — СПб.: Лань, 2004.

[33] Шафаревич И.Р. Основы алгебраической геометрии: в 2 т. / И.Р. Шафаревич — М.: Наука, 1988.

[34] Cornalba M. A counterexample to the «Transcendental Bezout Problem» / M. Cornalba, B. Shiffman // Ann. of Math. — 1972. — V. 96. — P. 402-406.

[35] Elkadi M. Residue calculus and applications/ M. Elkadi, A. Yger, // Publ. Res. Inst. Math. Sci. — 2007. — V. 43.— № 1. — P. 55--73.

[36] Griffiths P. Principles of algebraic geometry. Pure and Applied Mathematics / P. Griffiths, J. Harris // John Wiley Sons, New York. — 1978.

[37] Kytmanov A.M. On a system of algebraic equations encountered in chemical kinetics / A.M. Kytmanov // Selecta Math. Sovietica. — 1989. — V. 8. — № 1. — P.1-11.

[38] Kytmanov A.M. Elimination Methods of Unknowns from Nonlinear Systems / A.M. Kytmanov // Contemporary Math. — 2008. — V. 465. — P. 257-267.

[39] Lazman M.Z. Integral form of representation of chemical-kinetics equations

/ M.Z. Lazman, A.M. Kytmanov , V.I. Bykov, G.S. Yablonsky // Ukrainskii khimicheskii zhurnal. — 1992. — V. 58. — № 12. — P. 1060-1065.

[40] Martinelli E. Contributi alla teoria dei residui per le funzione di due variabiki complesse / E. Martinelli // Ann. mat. pura ed. appl. — 1955. — V. 39. — № 4. — P. 335-343.

[41] Passare M. Residue integrals and their Melin transforms / M. Passare, A. Tsikh // Can. J. Math. — 1995. — V. 47. — № 5. — P. 1037-1050.

Публикации автора по теме диссертации

Статьи в журналах из перечня ВАК

[42] Мышкина Е.К. Нахождение степенных сумм корней некоторых систем неалгебраических уравнений в Cn / А.М. Кытманов, Е.К. Мышкина // Известия вузов. Серия: Математика. — 2013. — № 12. — С. 36-50.

[43] Мышкина Е.К. О степенных суммах корней систем целых функций конечного порядка роста / А.М. Кытманов, Е.К. Мышкина // Вестник НГУ. Серия: Математика, механика, информатика. — 2014. — Т. 14. — № 3. — С. 62-82.

[44] Myshkina Е.К. On One Condition for the Decomposition of an Entire Function into an Infinite Product /Е.К. Myshkina // Journal of Siberian Federal University. Mathematics and Physics. - 2014. - T. 7. - № 1. - P. 91-94.

[45] Myshkina Е.К. Some Examples of Finding the Sums of Multiple Series /Е.К. Myshkina // Journal of Siberian Federal University. Mathematics and Physics. — 2014. — T. 7. — № 4. - P. 515-529.

[46] Myshkina E.K. Finding residue integrals for systems of non-algebraic equations in Cn /A.A. Kytmanov, A.M. Kytmanov, E.K. Myshkina // Journal of Symbolic Computations. - 2015. - V. 66. - P. 98-110.

Материалы конференций

[47] Мышкина Е.К. Нахождение некоторых многомерных вычетных интегралов

/ Е.К. Мышкина // Материалы 51-й международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс». Математика. — Новосибирск: НГУ. - 2013. - С. 28.

[48] Мышкина Е.К. Нахождение степенных сумм корней систем / Е.К. Мышкина // Материалы 52-й международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс». Математика. — Новосибирск: НГУ. — 2014. — С. 30.

[49] Мышкина Е.К. О вычислении вычетных интегралов, связанных с системой целых функций / Е.К. Мышкина // Сборник материалов IX Всероссийской научно-технической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых с международным участием, посвященной 385-летию со дня основания г. Красноярска. Красноярск, 15-25 апреля 2013. [Электронный ресурс] — Красноярск : Сиб. федер. ун-т.,2013, № заказа 2394/отв. ред. О.А.Краев.

[50] Мышкина Е.К. О вычислении вычетных интегралов, связанных с системой неалгебраических уравнений / Е.К. Мышкина // Сборник материалов X Юбилейной Всероссийской научно-технической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых с международным участием, посвященной 80-летию образования Красноярского края. Красноярск, 15-25 апреля 2014. [Электронный ресурс] — Красноярск : Сиб. федер. ун-т., 2014, № заказа 1644/отв. ред. О. А. Краев.

[51] Мышкина Е.К. О степенных суммах корней некоторых видов систем нелинейных уравнений / Е.К. Мышкина // Материалы тринадцатой молодежной школы-конференции «Лобачевские чтения-2014». — Казань: КФУ. — 2014. — С. 129-130.

Тезисы конференций

[52] Мышкина Е.К. Вычисления степенных сумм корней систем неалгебраических уравнений определенного вида /Е.К. Мышкина // Тезисы докладов Четвертого российско - армянского совещания по математической физике, комплексному анализу и смежным вопросам. — Красноярск: СФУ. — 2012. — С. 45-47.

[53] Мышкина Е.К. О нахождении степенных сумм нулей некоторых систем функций конечного порядка роста / Е.К. Мышкина // Тезисы докладов летней школы-конференции по алгебраической геометрии и комплексному анализу для молодых ученых России — Ярославль: ЯГПУ. — 2013. — С. 60-61.

[54] Мышкина Е.К. О некоторых достаточных условиях разложения целых функций конечного порядка роста в Сп в бесконечные произведения / Е.К. Мышкина // Сборник тезисов Республиканской конференции «Актуальные вопросы комплексного анализа», посвященной 100-летию со дня рождения известного ученого профессора Льва Израилевича Волковыского. — Узбекистан. — 2013. — С. 90-92.

[55] Мышкина Е.К. Нахождение степенных сумм корней систем неалгебраических уравнений с помощью вычетных интегралов / Е.К. Мышкина // Тезисы докладов Пятого российско - армянского совещания по математической физике, комплексному анализу и смежным вопросам. — Армения: Ереван. — 2014. — С. 42-44.