Решения и формулы Варинга для системы n алгеброических уравнений от n неизвестных тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат наук Куликов Владимир Русланович

• Куликов Владимир Русланович
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Куликов Владимир Русланович

5. Примеры

2 Решения систем в виде гипергеометрических интегралов Меллина-Барнса

6. Преобразование Меллина мономиальной функции решения системы

7. Необходимое условие сходимости интеграла решения системы алгебраических уравнений

8. О достаточном условии сходимости интеграла

9. Пример

Литература

54

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Решения и формулы Варинга для системы n алгеброических уравнений от n неизвестных»

Введение

В 1921 году Г. Меллин [1] получил формулу для решения общего приведенного алгебраического уравнения

ут + XIут1 + ... + хрут - 1 = 0. (0.1)

Мы называем это уравнение общим по той причине, что все коэффициенты независимо друг от друга пробегают поле комплексных чисел.

Решение у(х) = у(х1,... ,хр) уравнения (0.1) (которое называют общей алгебраической функцией) было представлено им в виде кратного интеграла (одного из представителей класса интегралов Меллина-Барнса [2]), а также в виде степенного ряда гипергеометрического типа. Ряды гипергеометрического типа представляются конечной суммой гипергеометрических рядов по Горну [3]: отношения соседних коэффициентов последних рядов являются рациональными функциями от переменных суммирования ряда.

Приведенное алгебраическое уравнение (0.1) получается фиксацией двух коэффициентов в общем алгебраическом уравнении степени т. Поскольку решение последнего уравнения биоднород-но зависит от коэффициентов, такую фиксацию можно сделать при любой паре мономов, не теряя информации о решениях [4].

Краткая хронология событий, связанных с решением алгебраических уравнений, следующая. В 1757 г. Ламберт разложил корень трехчлена ур+ув степенной ряд по параметру г. В дальнейшем, разложения в ряды отдельных алгебраических функций были получены Эйлером и Чебышёвым. Поскольку после работ Абеля и Галуа классическая алгебра утратила монополию на исследование алгебраических уравнений, математики обратились к аналитическим средствам, и началось изучение интегральных представлений общих алгебраических функций и их разложений в степенные ряды. При различных предположениях относительно вида исходного уравнения такие разложения были получены в работах Линдеман-на [5], Меллина [1] и Биркелана [6].

Подход Меллина основан на применении интегрального преобразования Меллина к решению исходного уравнения, в то время как Биркелан получил разложения решений в степенные ряды гипергеометрического типа на основе метода Лагранжа для вычисления неявной функции.

Третий (дифференциально-аналитический) подход к решению алгебраических уравнений был реализован в 1937 году К. Мэй-ром [7]. Он предъявил естественную систему дифференциальных уравнений, которой удовлетворяет общая алгебраическая функция. Эта система явилась прототипом ставшей знаменитой гипергеометрической системы СК^ (Гельфанда-Капранова-Зелевинско-го) [8], 1989 г. Используя багаж сведений о решениях GKZ-системы, Б.Штурмфельс [9] в 2000-м году выписал все ветви общей алгебраической функции в виде так называемых гамма-рядов. Его идеи были существенно развиты М. Пассаре и А.К. Цихом в книге [4], посвященной 200-летию Н.Абеля. Также дифференциально-

аналитический подход был развит в работах Т.М. Садыкова [10], [11]. Одновременно с третьим подходом развивался подход Мел-лина на основе теории многомерных вычетов [12]. Исследования алгебраических функций в тесной связи с теорией функций и с математической физикой проводились в статьях [13], [14], [15], [16], [17], [18], [19].

С помощью таких инструментов, как гипергеометрические ряды и многомерные вычеты, был получен новый метод описания монодромии общей алгебраической функции у(х), основанный на аналитических продолжениях друг в друга гипергеометрических рядов и интегралов Меллина-Барнса [20] (2012).

Переход от скалярного уравнения (0.1) к системе уравнений был начат в статье И.А. Антиповой [21], где она, следуя подходу Меллина, получила решение для нижнетреугольной системы алгебраических уравнений, когда первое уравнение зависит только от первой неизвестной у1, второе от первых двух у1, у2 и т.д., последнее п-е зависит от всех п неизвестных у1,..., уп. Отметим, что нижнетреугольные системы играют важню роль в задачах о суперпозиции алгебраических функций [22], поскольку п-я координата уп решения такой системы есть последовательная суперпозиция всех предыдущих координат.

Подход Меллина состоит в следующем. Вначале с помощью линеаризации уравнения (0.1) вычисляется преобразование Меллина для решения, затем на основе формулы обращения для этого преобразования, получается интегральное представление (в виде кратного интеграла Меллина-Барнса) для решения. В свою очередь, применяя теорию вычетов, интегральное представление сводится к ряду гипергеометрического типа.

Следует заметить, что применение подхода Меллина к более широкому классу систем, чем нижнетреугольные, сопряжено с определенными трудностями. А именно, результаты исследований данной диссертации показали, что формальный интеграл Мелли-на-Барнса для более общих систем, как правило, имеет пустую область сходимости. Поэтому потребовалось обосновать справедливость предсказанной В.А. Степаненко [23] формулы для решений систем в виде степенного ряда и привести ее к более совершенной (регуляризованной) форме. При этом, несмотря на имеющийся алгоритм Нильсон-Пассаре-Циха [24] для нахождения области сходимости интеграла Меллина-Барнса, оставался открытым вопрос о нахождении критерия сходимости гипергеометрического интеграла, представляющего решение общей системы алгебраических уравнений.

Цель настоящей диссертации — получить более совершенную формулу в виде ряда гипергеометрического типа для решения системы общих алгебраических уравнений, найти критерий сходимости гипергеометрического интеграла для решения, и в качестве применения получить многомерный аналог формул Варинга для степенных сумм корней системы.

В диссертации рассматривается приведенная система п уравнений

уГ + Е Хд'У - 1 = 0,; = 1,... ,п, (0.2)

Ае Л О')

от п неизвестных у = (у1,..., уп), где набор показателей Л ^ С

^о

фиксирован, а все коэффициенты жД ^ - переменные. Разумеется предполагается, что множество в ]-м уравнении не содержит точек Л = (0,... ,..., 0) и Л = 0, являющихся показателями

выделенных мономов у^ и у0 с фиксированными коэффициентами 1 и -1. Несложными алгебраическими процедурами к виду (0.2) сводится любая система п полиномиальных уравнений от п неизвестных [25].

Обозначим через Л дизъюнктную сумму У Л(3), и пусть N — число коэффициентов в системе (0.2) (то есть мощность множества Л). Показатели Л мономов уЛ = у^1.. . уПп в системе (0.2) можно представить как (п х N)-матрицу

Ф = (Л\...,ЛЖ),

где Лк — Это вектор-столбцы из Л. Предполагается, что в рамках каждого уравнения порядок столбцов Л произвольный, но фиксированный. Элементами Л Е Л индексируются координаты векторов х = (хЛ) коэффициентов системы. Все пространство коэффициентов обозначим См.

Через у(х) обозначим ветвь решения у(х) = (у1(х),... ,уп(х)) системы (0.2) с условием у(0) = (1,... , 1). Эту ветвь назовем главным решением.

Для формулировки основных результатов первой главы нам потребуются следующие обозначения. Для каждой строки шз матрицы показателей Ф и целых Е Ъ^0 введем аффинную функцию

3 (а) = — + — (ш3, а), 7 = 1,..., п.

31 у т3 т3-3

С помощью этих функций определим следующее множество индексов

Ра = {; е {1, ...,п} : I,(а) = 0} .

Заметим, что Ф естественным образом разбивается на блоки, соответствующие Л 3) :

Ф= (л(1),...,Л(п)) ,

поэтому каждую ее строку ^ можно представить в виде последо-

(1) (п)

вательности векторов ,... .

Для системы (0.2) справедливо следующее утверждение. Теорема 1. Моном = ум(ж) главного решения системы (0.2) представляется рядом гипергеометрического типа

у" = £

С а X

с коэффициентами са, вычисляемыми по формуле

( 1)а ПГ(3 (а) + 1)

(-1)а 3=1_

I п

а П Г (3 (а) -|а(з )| + 1)

3=1

det

63 -

(^), а т 3(а)

(1,3 )еРахРа

(0.3)

Доказательство сформулированной теоремы основано на линеаризации системы уравнений и применении многомерной формулы логарифмического вычета методом А.П. Южакова [26].

Отметим, что для некоторого подкласса систем (0.2) "полуфабрикат" формулы (0.3) был получен в [23] на основе формального

подхода Меллина, то есть игнорирования расходимости преобразования Меллина для функции у"(х) и интеграла Меллина-Барнса.

Для получения многомерных формул Варинга нет необходимости фиксировать свободные члены в уравнениях (0.2), поэтому рассмотрим систему

у? + Е хЛз)уЛ = 0,7 = 1,..., п. (0.4)

ЛЕЛО')и{0}

Однако теперь потребуем условие на множество Л(з) , состоящее в том, что для Л Е Л(3) выполняется неравенство

|Л| = Л1 + ... + Лп < т3-,7 = 1,... ,п. (0.5)

В этом случае, по теореме Безу, система (0.4) имеет М = т1 • ... • тп решений у(^)(х). Отметим, что в (0.4) вектор х = (хЛ3)) имеет N + п координат.

Степенной суммой степени д Е называется выражение

м

5" = Е (у">(х))".

^=1

Рассмотрим (п х N)-матрицу х, ¿-я строка которой представляет характеристическую функцию подмножества Л(г) С Л, то есть элементы этой строки равны 1 на местах Л Е Л(г) и 0 на всех остальных местах Л Е Л.

Теорема 2. При условии (0.5) для любого д Е степенная сумма

м

5" = Е (уММ) "

^=1

корней системы (0.4) представляется в виде многочлена от коэффициентов х = (хЛ) системы по формуле

е п

а

(з)

3=1

!т3- det

А3) _

тз 3(а)

х

(¿,3 )ЕРахРа

(0.6)

где Ра = {7 Е {1, ...,п} : Л (а) = 0} , а Л? — диагональная п х п-матрица с диагональными элементами т3 степеней системы.

Ранее В.А. Болотовым [27, 227] была найдена многомерная версия формул Варинга только для степенных сумм вида

м

Е (у(

V =1

(V )

=

(0,...,"5 ,...,0),

то есть для отдельных координат решения.

Во второй главе диссертации мы будем искать решение системы (0.2) в виде интеграла Меллина-Барнса.

В работах И.А. Антиповой [21] и В.А. Степаненко [23] приводится интегральная формула для монома решения системы алгебраических уравнений вида (0.2). Однако, в работе [21] рассматривается лишь класс нижнетреугольных систем, а в работе [23] интегральная формула приводится без исследования вопроса сходимости интеграла и без обоснования существования обращения преобразования Меллина. Вначале выпишем преобразование Мел-лина:

М[^(я) = [ ^(х)х*—,

х

где х^ = х11 ... х^, ^ = ¿х1 Л ... Л

^ ¿х

_ ¿Ж1

¿х

N

Ж1

хм

3

Схема применения преобразования Меллина важна ввиду следующей теоремы Антиповой [28]:

Если ^(х) е Ми, то ее преобразование Меллина существует, голоморфно в трубчатой области и + Жт и справедлива формула обращения М-1М[^] = I[^], т.е.

1 [ х-'йх [ ^(£)хг-1 ^ = ^(х),х е 5ке,

(2ni)m J

а+Жт Rip

г^е a G U.

Определение пространства M% см. в параграфе 6.

В случае n = 1 И.А. Антиповой удалось проверить принадлежность функции решения классу M%, однако, принадлежность функции решения системы общих алгебраических уравнений классу M% крайне трудно проверить. Поэтому мы возьмем формальную интегральную формулу, полученную применением формулы обращения преобразования Меллина (без обоснования существования этого обращения), а затем получим условия, при которых полученный интеграл будет иметь непустую область сходимости, и представлять решение системы уравнений (0.2).

Интегральная формула для монома д > 0 (д > 0, ...,

> 0) решения системы вида (0.2) приводилась, например, в работе [23]. После некоторых преобразований соответствующее выражение можно записать в виде

П П г («Л") П г(? - ? (^

3=1 Лб ЛСЯ 3=1

(2пг)

N

ГНИ* П г ? - ? ,и) + £ «Л3) + 1

3=1 \ ' ' ЛбЛО)

где вектор 7 выбирается из многогранника

{и Е (^3,и) < Д3= 1,...,п) ,

а «(и) — многочлен, выражаемый определителем

(0.7)

«(и) =

т1 . . . тп

det

¿3 (д -(^,и)) + (^«и«)

ЬЗ = 1

Теорема 4. Если интеграл (0.7) сходится, то все матрицы вида

/Л'1» •■■ Л<п)\

Лп

А" /

Т

где каждый вектор-столбец Л(3) = Л13).. . Лп3 ) пробегает со-ответсвующее множество Л(3), положительно определены.

В параграфе 8 мы покажем, что для п = 2 приведенное условие является также и достаточным. А именно, рассмотрим систему из двух алгебраических уравнений от двух неизвестных у1, у2:

1

1

п

ут1 + Е хХ^Ух ув - 1 = 0,

(2' а(2) в(2) (0'8)

у2т2 + Е х^у? $ -1 = 0. ¿=1 '

Теорема 6 Если п = 2, то интеграл (0.7) для системы (0.8) имеет непустую область сходимости тогда и только тогда, когда положительны все показатели а,1', в(2) и все определители

Д., = а<1)вГ - ¿'в1'.

В основе доказательства теорем 4 и 6 лежит алгоритм Нильсон-Пассаре-Циха [24] для вычисления области сходимости кратного интеграла Меллина-Барнса, а также теорема о многомерных вычетах, основанная на принципе разделяющих циклов [29], [30].

Глава 1

Решения систем в виде гипергеометрических степенных рядов и формулы Варинга

1. Формулировка теоремы о представлении решения гипергеометрическим рядом

Через у(х) обозначим ветвь решения у(х) = (у1(х),..., уп(х)) системы (0.2) с условием у(0) = (1,... , 1). Эту ветвь назовем главным решением.

Для формулировки основных результатов нам потребуются следующие обозначения. Для каждой строки матрицы показа-

телей Ф и целых д3- Е введем аффинную функцию

3 (а) = — +--, а, 7 = 1,..., п.

31 у т3 т3- 3 7

С помощью этих функций определим следующее множество индексов

Ра = {7 Е {1,..., п} : ¿3-(а) = 0} .

Заметим, что Ф естественным образом разбивается на блоки, соответствующие Л(3), поэтому каждую ее строку ^ можно пред-

(1) (п)

ставить в виде последовательности векторов ^ ,..., ^ . Для системы (0.2) справедливо следующее утверждение.

Теорема 1. Моном у" = у"(х) главного решения системы (0.2) представляется рядом гипергеометрического типа

у" = £

С а ^^

с коэффициентами са, вычисляемыми по формуле

П г (¿3 («) + 1)

(-1)' 3=1_

I п

а П г (/3(а) -|а(3)| + 1)

3=1

det

¿3 -

(Л(3 ),а

т3 ¿3(а)

(¿,3 )ЕРахРа

(1.9)

Отметим, что для некоторого подкласса систем (0.2) "полуфабрикат" формулы (1.9) был получен в [23] на основе формального

подхода Меллина, то есть игнорирования расходимости преобразования Меллина для функции ум(х) и интеграла Меллина-Барнса.

2. Линеаризация системы

Следуя работе И.А. Антиповой и А.К. Циха [25], произведем линеаризацию системы (0.2). Для этого рассмотрим систему (0.2) как систему уравнений в пространстве Су х С^ с координатами х = (хЛ)Лед, У = (У1,..., уп) и введем в Су х С^ замену переменок ) ^ (х,У):

(з) _Лз)

хл =л

51

к=1

(1.10)

Уз = Щ

Отметим, что при замене (1.10) для каждого Л е Л(з) моном хЛз)уЛ в (0.2) перейдет в ^Щ-1, а каждый у™1 перейдет в Щ-1, поэтому (0.2) запишется в виде системы линейных уравнений

Щ = 1 +

£

(з)

, 3 = 1,...,n,

где |£(з)| = ^ ^. Из этого следует, что при замене переменных

Ле Л1

^ ^ х в пространстве коэффициентов СУ, определенной формулой

х(з) = хЛ = ^Л

п

«Лз) п (1+!«(к)

к=1

51

, Л е Л(з),3 = 1,...,п, (1.11)

к

1

т

1

к

решение у(ж) примет вид

у (ж(£ ))= 1 +

е

(з)

,7 = 1,

п.

(1.12)

Заметим, что решение у(ж(£)) аналитично в области

С = | е е с": П (1 + |е (з)|) = о}.

В итоге, для вычисления решения у (ж) системы (0.2), достаточно обратить замену (1.11), которую назовём линеаризацией системы (0.2), и подставить обращение в (1.12). Такая процедура делается с помощью обобщенной формулы логарифмического вычета, которую мы реализуем в следующем разделе.

3. Доказательство теоремы 1

Доказательство. Представим обращение £ (ж) линеаризации (1.11) в виде неявной функции (неявного отображения), заданного семейством уравнений

п

еЛз) П (1 +

к=1

е

(к)

5{

— ж

(з)

= о,

(1.13)

где Л е Л(з), 7 = 1,...,п. Отметим, что (1.11) И (1.13) являются многозначными отображениями, аналитическими в окрестности £ = 0. Нас интересует ветвь, определенная условием, чтобы радикалы (1 + |£(к)|)тк равнялись 1 при £(к) =0. В этом случае решение (1.12) будет обладать свойством уз-(ж(0)) = уз-(0) = 1, то есть

1

т

3

к

Л

оно будет соответствовать главному решению ум(ж) системы (0.2).

Для вычисления монома ум(ж) главного решения системы (0.2) надо моном ум(ж) для вектора (1.12) вычислить в значении неявного отображения £ (ж), определенного отображением (1.13). Это можно сделать с помощью формулы логарифмического вычета А.П.Южакова [26] (см. также [27], Теоремы 20.1 и 20.2). По этой формуле

Ум(ж) =

1 Г УМ(£)Л(£ К

П П 3*,£)

3=1 Ле лея

где

Г, = \ £ е €м :

£ (з)

= е, Л е Л(з), з = 1,...,п}, а Л = Щ

якобиан системы уравнений )(ж, £) = 0 по переменным £. Радиус е в определении остова интегрирования Ге выбирается достаточно малым (например, так, чтобы поликруг радиуса е лежал вне множества нулей якобиана Л).

Отметим, что якобиан Л, в силу особенностей задания функций /3), совпадает с якобианом Щ линеаризации ж(£), задаваемой формулой (1.10).

Лемма 1. Якобиан линеаризации (1.11) равен

Л = ПП

к=1 ЛеЛ(к)

уШ ул (£)

det

«5 + тЪ ,£(3 )>

3 т

1 + 1£ 3 )1

5,3=1

(1.14)

Доказательство. Якобиан Л имеет блочную структуру с п2 блоками. В ¿-м диагональном блоке диагональные элементы имеют следующий вид:

п

дР

(з)

Уз

д£(3)

УЛ

1 _ тз - Лз

е (з)

тз 1 + |е з

Недиагональные элементы этого диагонального блока равны

дР

(з)

У л

уз тз - Лз

е (з)

деТз)

уЛ тз 1 + |е (з)|' Недиагональные блоки состоят из элементов

дР

(з)

уз

4 \

е (з)

деТк)

уЛ тк 1 + |е(к)г

Суммирование строк и столбцов полученного определителя в рамках одного блока позволяет уменьшить размер определителя до размера п х п. Полученный таким образом определитель имеет вид (1.14). □

Запишем каждый Рдз) в виде

Р(з) е(з)уТ(е) = з-

у Л(е)

1

жЛз )уЛ(е)

е(з з (е),

Существует такое число 5, что для Уе е Ге и ||ж|| < 5 выполняется неравенство

жЛз)уЛ(е)

е(з )уГ (е)

< 1.

Таким образом, мы можем представить подынтегральное выражение в виде ряда кратной геометрической прогрессии, и с учетом вычисленного А получаем:

1

у = £

X

П ук к=1

(/к (а)-|а(к)|)т

^ (2")№:{ II п

з=1 Ле Л(?

det

«5 + т ,е(з '>

з т

1 + |е (з )|

¿е.

Внесем мономиальные множители по у под знак определителя:

г = Е

det

х

уз

(/? (аНа^т?- / +т1-

1+к? |

(2пг)

П П (£Лз )

з=1 Лб Л(?

(з))а(,Ц) + 1

¿е.

В соответствии с формулой Коши, стоящие под знаком суммы интегралы выражают коэффициенты ряда Тейлора функции-определителя, стоящей в числителе, тем самым ум(ж) будет равен

а

Е

аеZ*0

а!

0(а) det ^(0 det

у

т? (/? (а)-|а(Ц)|)

«з + т? ^ ),е(з

1 + |е (з )|

е=о

где — производная порядка а по переменным е.

Ввиду того, что в определителе каждая строка зависит только от своего набора переменных, воспользовавшись свойством полилинейности, получаем следующее выражение для ум(ж):

Е^ det а!

аGZNo

В

(а(,)) (^)

у

т, (, (а)-|а(?)|)

3 + т (^ (з

1 + (з )|

Раскрыв скобки для первого слагаемого имеем:

В

1 +

£

(з)

(а) + |а(,) |-1'

е=о

= -¿з (а) +

а

(з)

- 1 ■ ... ■ (-1з(а) =

= Я

(- 1)а(,) Г(з (а) + 1) Г (3 (а) -|а(з)| + 1)

Во втором слагаемом, так как второй множитель имеет ненулевые производные только первого порядка имеем

В

V,')

)|

1+

£

(з)

-1, (а)+|а(,)|-1 1

(^ (3))

тз

(-(}°ь,) Г(г,(а) +1)

тзГ (/3(а) - |а(3>| + 1)

(- 1)|а(,)|Г (¿з(а»)) тзГ (¿з(а) - |а(з')| +1)

(-1)|а(,)|Г(/з(а) + 1) ( (#, Г (/з (а) - (а(з>( + 1)

з(з))

1=0

е=о

Ы^а«) =

а

тз ¿з(а)

(-1)|а(,)|Г (¿з(а) + 1) / (^.а

Г (¿з (а) - (а(з)( + 1)

Мз - (^з,а)

Таким образом, получаем утверждение теоремы

Г =

Е

х

а(-1)|а|

ПГ(/з (а) + 1)

з=1

х

а!

ае^ - ПГ (/з(а) -|а(з)| + 1)

з=1

х det

«з-

(^з),а

тз /з(а)

(гз)еР хР

(1.15)

□

Обозначим через X точку в пространстве коэффициентов систе-

мы (0.4), у которой все координаты жЛз) = 0, Л = 0, а ж0з) = — 1. Как и в случае системы (0.2), определим главную ветвь решения системы (0.4) с помощью условия у(х) = (1,..., 1).

Предложение 1. Моном ум = ум(ж) главного решения системы (0.4) представляется в виде ряда гипергеометрического типа

,(з)

У = Е

жа(—1)|а|

п

П(—ж0з))/? (а)—|а(ц)|Г(/з (а) + 1)

з=1

х

аеZ*0

а!

х det

«з_ (^¿з),а

тз • /з(а)

п Г (/з(а) — |а(з)| + 1)

з=1

(ьз )еР хР

(1.16)

Доказательство. Разделим каждое уравнение в (0.4) на его свободный член, взятый со знаком "минус". Затем в полученной системе отношения —у? примем за новые неизвестные. Переходя от

первоначальных коэффициентов ) , Хд , . . . , Хд ^ К

( (1)\ — ( («)\

гу» ^ ' - гу 4

.Лу \ - .Х- л

получим систему вида (0.2). Применив к ней результат Теоремы 1, и выполнив обратную замену, получим выражение (1.16). □

4. Формулы Варинга

Между коэффициентами и степенными суммами корней полинома существует зависимость, которая задается рекуррентными формулами Ньютона или формулами Варинга. Для систем алгебраических уравнений также найдено обобщение рекуррентных формул Ньютона [31]. Приведем обобщение формул Варинга для системы алгебраических уравнений. Напомним, что при условии (0.5) система (0.4) имеет М = т1.....тп корней

.(V)(х) = Л,М (х) _ (V)

У)(х)= (у^(ж),...,у^(ж)) .

Теорема 2. При условии (0.5) для любого д £ степенная сумма

м

= £(уМ(ж))"

V=1

корней системы (0.4) представляется в виде многочлена от ко-

эффициентов ж = (жЛ) системы по формуле:

Е

Ф)а=м

(—1)|а|

а!

П тз |а(з)|!det

з=1

«!• -

<^,а(г)>

тз /з(а)

ж

(!,з)еР хР

(1.17)

где Р = е {1,... ,п} : Ц(а) = 0} .

Доказательство. Напомним, что через ж мы обозначили точку в пространстве коэффициентов системы (0.4), у которой все координаты жЛз) = 0, Л = 0, а ж0з) = —1. Для ж = ж система принимает вид: ут1 = 1,..., уПТ" = 1 и совокупность решений имеет решетчатый вид, а именно ]-я координата решения, независимо от других координат, пробегает шз- значений. В соответствии с этим пронумеруем все решения (при ж = ж) у7 = £7 = (з,..., £зп), £з-8 = е мультииндексом J = (^ ... , ^п), пробегающим параллелепипед

Пт = Ш1,... ,7п) е Жп : 0 < ^ < т8 — 1,5 = 1,... ,п} .

В силу непрерывной зависимости решения у(ж) от коэффициентов ж и простоты корней у7 = £7, все ветви у(ж) в количестве М = т1.....тп штук концентрируются вблизи £7, когда ж меняется в малой окрестности точки ж. Таким образом, вблизи х мы можем нумеровать ветви для у(ж) в виде у7(ж), J е Пт.

Отметим, что все решения системы (0.4) можно выразить через главное решение в виде у7 = £ 7у ('^ж/) . Это утверждение подтверждается тем, что все у7(ж) = £7 различны, а то что у7(ж) занулит все уравнения системы (0.4) несложно проверить подстановкой.

С помощью формулы (1.9) для главного решения у, напишем формулу для монома у, решения у7(ж):

Е

(—1)|а|

ПГ(/, (а) + 1) з=1

а!

det

" ПГ (3 (а) — |а(з)| + 1)

3 тз (а)

X

(ьз )бР хР

3=1

п п , ( )

Х П 3'11 (а) П (а) (ж03)У(а) П

з=1

з=1

Лб Л(<)

ж

(О

Л

Поскольку в принятой нами нумерации ветвей решения у(ж) степенная сумма записывается в виде

= Е у,(х)'

получаем следующее выражение для 5,:

( —1)|а|П Г (3(а) + 1)

_3=1_

п

а!ПГ (3 (а) — |а(з)| + 1)

det

3 тз ¿з(а)

X

(г,з")еР хР

3=1

(з)х (11 (а) — |а(1)|)

хД егп(/1(а))П ж0зМУ 1 УП

ж

«

Л

3=1

3=1

Лб Л(<)

ЕП

Пт в=1

11(а)

(1.18)

Рассмотрим отдельно степенную сумму первообразных корней

3

г

3 из единицы степеней

п

Е п -тт"(а).

ЛЕПт в=1

Данная сумма равна т1 •... • тп в случае, когда все слагаемые равны 1, то есть в том случае, если все 3 (а) делятся на , и 0 в любом другом случае.

Из этого следует, что во всех ненулевых слагаемых ряда (1.18) 3 (а) Е Z, то есть Г-функции имеют только целые аргументы.

Обозначим вз = 3(а) — |а(3)| (вз Е Z). Так как в знаменателях слагаемых ряда (1.18) находится Г-функция от вз + 1, то для того, чтобы слагаемое не обращалось в нуль, необходимо, чтобы вз ^ 0 для всех 7 = 1,... , п.

С другой стороны, для (в,т) = в1т1 + ... + вптп, имеем:

п

(в,т) = Е (м + ,а) — |а(з=

3=1

п

= 1м1 + ЕЕ (т« — 1Д1) ал ^ 1м|.

¿=1 ЛеЛ»

Таким образом, ненулевые слагаемые ряда образуют конечную сумму:

—

ЕЕ

в>0:

( — 1)'а'( — 1 а!в!

Ч

п Г (вз + |а(з)|

з=1

X

хМ ае1

з=1,...,п (,а(г))

—

з тз з(а)

(¿,з)ЕРхР з=1

ПКГП П

в"

з=1 ЛеЛ(")\{0}

X

(з)

«л

Дополняя вектор а Е координатами а0з) = вз, 7 = 1,... ,п, до вектора из и сохраняя для дополненного вектора обозна-

чение а, получаем формулу (1.17). □

А

5. Примеры

Рассмотрим несколько примеров демонстрирующих применение полученных формул.

Пример 1. Система трех линейных уравнений:

У1 + аУ2 = 1; У2 + ьУз = 1; Уз + СУ1 = 1 Матрица Ф в этом случае имеет вид:

/ 0 0 1 \

Ф =

100 010

Координата у1 решения с помощью формулы (1.3) записывается

рядом

у1 =

оо

Е

к=0

(—1)|к|Г(1 + кс + 1)Г(ка + 1)Г(к + 1) ка!к6!кс!Г(1 + кс — ка + 1)Г(ка — к + 1)Г(Ль — кс + 1)

х

X

1 0

ка.

1+кс 1

-кс 0

ка

ака ькь Скс =

то

Е

к=0

(_1) | к | ака Ькь Скс

Г(2 + кс — ка)Г(1 + ка — кь)Г(1 + к — кс)"

Коэффициенты полученного ряда не равны 0 только в следующих случаях:

ка = к6 = кс; ка = к6 = кс + 1;

ка = к + 1 = кс + 1.

Поэтому получаем:

оо

у1 =

М)3' ^ , ^ (—1)3<+2а^ .

¿=0

Г(2)Г(1)Г(1)

(а&с)' + £

¿=0

Г(1)Г(1)Г(2)

(аЬс)*+

+Е

¿=0

(—1)3*+1а Г(1)Г(2)Г(1)

(абс)* = (1 — а + аЬ) 1)*(а6с)*

¿=1

1 — а + аЬ 1 + аЬс

что согласуется с правилом Крамера.

Пример 2. Система квадратных уравнений:

У2 + аУ2 — 1 = 0; У2 + ЬУ1 —1 = 0.

Матрица Ф в этом случае имеет вид:

Ф=

01 10

Мономиальная функция решения = у^1 у^2 записанная с помощью формулы (1.3) представляется рядом

оо

£

(—1)Д+*Г( ^ + 2 + 1)Г( ^^ + § + 1) 5!^!Г( ¿21 + 2 — 5 + 1)Г( ^ + 2 — г +1)

1

М2 + «

М1 +г 1

Получаемое с помощью системы компьютерной алгебры решение в радикалах указанной системы квадратных уравнений имеет весьма громоздкий вид. Вычисленные с помощью системы компьютерной алгебры первые 15 коэффициентов Тейлора решения совпадают с соответствующими коэффициентами приведенного ряда.

Пример 3.

Рассмотрим систему уравнений

(1.19)

У2 + ад + 61У1 + С1 = 0; У2 + «2У1 + &2У2 + С2 = 0. В качестве примера для приведенной системы найдем степенную сумму 52,1 в виде многочлена с мономами вида

а^1 Ьв1 с?1 а^2 Ьв2 с]2

г

Для того,чтобы определить, какие мономы войдут в такое представление для 52,1, необходимо найти все целые неотрицательные решения системы

а1 + 2^1 + 271 — а2 = 2, —в + 2а2 + в + 272 = 1. )

Решениями системы будут следующие векторы

(а1,^1,71,а2,в2,72) :

(0,0,1,0,1,0), (0,1, 0,0, 0,1), (0,1, 0,0, 2,0), (1,1, 0,1, 0,0), (2,0, 0,0,1,0),

Для найденных наборов (а1, в1,7ъ а2, в2, Т2) вычислим коэффициенты по формуле (1.17) и получим следующее выражения для 52,1 :

52,1 = 2с1Ь2 + 4Ь1с2 — 2Ь1&2 — 5а1Ь1а2 — 2а1 Ь2.

Глава 2

Решения систем в виде гипергеометрических интегралов Меллина-Барнса

В работах И.А. Антиповой [21] и В.А. Степаненко [23] приводится интегральная формула для монома решения системы алгебраических уравнений вида (0.2). Однако, в работе [21] рассматривается достаточно узкий класс систем, а именно нижнетреугольные системы, а в работе [23] интегральная формула приводится без описания области сходимости интегралов и обоснования существования обращения преобразования Меллина.

6. Преобразование Меллина мономиаль-ной функции решения системы

Для вычисления интегральной формулы для решения одного алгебраического уравнения возможно применение результата И.А. Антиповой [28]; об условиях сходимости формулы обращения для

многомерного преобразования Меллина

м № ' = / Р (х)хг—1

м+

7 — 1 2И — 1 7 —1

где мультииндексная запись ж7 1 означает х11 ... хп" .

Введем класс голоморфных функций от п переменных, сопоставленный паре выпуклых областей. Рассмотрим два экземпляра Пространства Мп переменных и и 0. Выберем в них выпуклые области и С Мп, в С Мп, причем в ограничена и содержит начало координат: 0 Е 0. Область и порождает в комплексном пространстве трубчатую область и + Жп (трубу над и), а в — секториальную область (сектор 5© над в). Более точно, секториальные области будем брать в множестве в = М+ х Мп, которое представляет собой область наложения над комплексным тором Тп = (С \ 0)п. Точки ж = (г, 0) Е в (г Е М+,0 Е Мп) проектируются в векторы

гег0 = (пе^1 ,...,гпег0") Е Тп.

Тогда сектор над в — это множество 5© = {ж Е в : 0 Е в}.

Введем векторное пространство М© функций Р(ж), голоморф-

ных в какой-либо области

= {х е 6 : в е к@}, к > 1,

(к зависит от ^, а к@ означает гомотетию @ с коэффициентом к) и удовлетворяющих условию

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Куликов Владимир Русланович, 2014 год

Литература

[1] Mellin H.J., Resolution de l'équation algébrique genérale a l'aide de la fonction gamma, C.R.Acad. Sci. Paris Ser. I Math. 172 (1921), 658-661.

[2] Жданов О.Н., Цих А.К., Исследование кратных интегралов Меллина-Барнса с помощью многомерных вычетов, Сиб. ма-тем. журн. 39:2 (1998), 282-298.

[3] Horn J., Uber hypergeometrische Funktionen zweier Veranderlichen, Math. Ann. 117 (1940), 384-414.

[4] M. Passare, A. Tsikh, Algebraic equations and hypergeometric series, The legacy of Niels Henrik Abel (Oslo, Norway, 2002), Springer-Verlag, Berlin, 2004, 653-672.

[5] Von Lindemann F. Über die Auflösung der algebraischen Gleichungen durch transcendente Functionen, Nachrichten von der Königl. Gesellschaft der Wissenschaften und der Georg-Augusts-Üniversitat zu Gottingen, 7, (1884) 245-248.

[6] Birkeland R., Uber die Auflösung algebraischer Gleichungen durch hypergeometrische Funktionen, Math. Z. 26(1927), 565-578.

[7] Mayr K., Uber die Auflösung algebraischer Gleichungssysteme durch hypergeometrische Funktionen, Monatshefte fur Mathematik und Physik 45 (1937),280-313.

[8] Гельфанд И.М., Зелевинский А.В., Капранов М.М., Гипергеометрические функции и торические многообразия, Функц. анализ и его прил., 23:2(1989), 12-26.

[9] Sturmfels B. Solving algebraic equations in terms of A-hypergeometric series, Discrete Math. 210:1-3(2000), 171-181.

[10] Садыков Т.М., О многомерной системе дифференциальных гипергеометрических уравнений, Сиб. матем. журн., 39:5 (1998), 1141-1153.

[11] Sadykov T., On the Horn system of partial differential equations and series of hypergeometric type, Mathematica Scandinavica, 91:1(2002), 127-149.

[12] Семушева А.Ю., Цих А.К., Продолжение исследований Мел-лина о решении алгебраических уравнений, Комплексный анализ и дифференциальные операторы: Сб. научн. тр. - Красноярск: КрасГУ, 2000 134-146.

[13] Переломов А. М., Гипергеометрические решения некоторых алгебраических уравнений, ТМФ, 140:1 (2004), 3-13.

[14] Beukers F., Algebraic A-hypergeometric functions, Inventiones mathematicae, 180:3 (2010), 589-610.

[15] Beukers F., Irreducibility of A-hypergeometric systems, Idagationes Mathematicae 21:1 (2011), 30-39.

[16] V. Barsan, G.A. Nemnes: Physical relevance of the Passare-Tsikh solution of the principal quintic equation, J.Adv.Res.Phys. 2:1 (2011) 1-6.

[17] Bod E., Algebraicity of the Appell-Lauricella and Horn hypergeometric functions, Differ. Equations 252:1 (2012), 541566.

[18] Passare M., Sadykov T. and Tsikh A., Nonconfluent hypergeometric functions in several variables and their singularities, Compositio Mathematica, 141:3 (2005), 787810.

[19] Михалкин Е.Н., О решении общих алгебраических уравнений с помощью интегралов от элементарных функций, Сиб. ма-тем. журн.,

[20] Антипова И.А., Михалкин Е.Н., Аналитические продолжения общей алгебраической функции с помощью рядов Пюи-зо, - Аналитические и геометрические вопросы комплексного анализа, Сборник статей, Тр. МИАН, 279, МАИК, М., 2012, 9-19.

[21] Антипова И.А., Выражение суперпозиции общих алгебраических функций через гипергеометрические ряды, Сиб.матем.журн., 44:5 (2003), 972-980.

[22] Васильев В.А., Топология дополнений к дискриминантам, М.: Фазис, 1997.

[23] Степаненко В.А. О решении системы п алгебраических уравнений от п неизвестных с помощью гипергеометрических функций, Вестник КрасГУ, 1 (2003), 35-48.

[24] Nilsson L., Amoebas, Discriminants, and Hypergeometric Functions, Doctoral Thesis, Department of Mathematics, Stockholm University, Sweden, 2009.

[25] Антипова И.А., Цих А.К., Дискриминантное множество системы n полиномов Лорана от n переменных, Изв. РАН. Сер. матем., 76:5 (2012), 29-56.

[26] А. П. Южаков, О применении кратного логарифмического вычета для разложения неявных функций в степенные ряды, Матем. сб., 97(139):2(6) (1975), 177-192.

[27] Айзенберг Л.А., Южаков А.П., Интегральные представления и вычеты в многомерном комплексном анализе, - Новосибирск: Наука, 1979.

[28] Антипова И.А., Обращения многомерных преобразований Меллина и решения алгебраических уравнений, Матем. сб., 198:4(2007), 3-20.

[29] Tsikh A.K., Multidimentional residuses and their applications, Amer. MAth. Soc. — Providence. - 1992.

[30] Кытманов А.М., Цих А.К., Интегральные представления и вычеты (по работам красноярской школы) Коплексный анализ в современной математике: К 80-летию со дня родения Б.В. Шабата. М.: Фазис, 2001. С. 198-216.

[31] Быков В.И., Кытманов А.М., Лазман М. З., Методы исключения в компьютерной алгебре многочленов, Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние. 1991.

[32] Passare M., Tsikh A., Zhdanov O., A multidimentional Jordan residue lemma with an application to Mellin-Barnes integrals, Contributions to complex analysis and analytic geometry. Braunschweig: Vieweg, 1994. P. 233-241. (Aspects Math. E; V.26).

47:2 (2006), 365-371.

Работы автора по теме диссертации

• В.Р. Куликов, Вычисление мономиальной функции для решения общей системы алгебраических уравнений, Журн. СФУ. Сер. Матем. и физ., т.5, №3, 2012, С. 409-416.

• V.R. Kulikov, Conditions for Convergence of the Mellin-Barnes Integral for Solution to System of Algebraic Equations, Журн. СФУ. Сер. Матем. и физ., т.7, №3, 2014, С. 339-346.

• В.Р. Куликов, В.А. Степаненко, О решениях и формулах Ва-ринга для систем n алгебраических уравнений от n неизвестных, Алгебра и анализ, т. 26, №5, 2014.