Многомерные интегральные преобразования в теориях алгебраических уравнений и аналитического продолжения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, доктор физико-математических наук Антипова, Ирина Августовна

• Антипова, Ирина Августовна
• доктор физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Антипова, Ирина Августовна

Введение б

1 Многомерные преобразования Меллина и их применения к решению алгебраических уравнений

1.1 Теоремы обращения.

1.1.1 Классы и формулировки теорем обращения

1.1.2 Доказательство Теоремы обращения 1.2.

1.1.3 Доказательство Теоремы обращения 1.1.

1.2 Применение формул обращения к решению алгебраических уравнений.

1.2.1 Общее алгебраическое уравнение и интегральная формула для его решения.

1.2.2 Секториальная область голоморфности главного решения.

1.2.3 Доказательство интегрального пре/оставления

1.3 Выражение суперпозиции общих алгебраических функций через гипергсометрические ряды.

1.3.1 Система п алгебраических уравнений „треугольного" вида.

1.3.2 Преобразование Меллина мономиальной функции у'1(х).

1.3.3 Интегральная формула и ряд Тейлора для

2 Дискриминантное множество общего полиномиального преобразования С"

2.1 Понятия дискриминанта и дискриминантного множества

2.1.1 Классический дискриминант и А-дискриминант

2.1.2 Определение дискриминантного множества общего полиномиального преобразования Сп

2.1.3 Приведенная система и дегомогенизация дискриминантного множества.

2.2 Параметризация дискриминантного множества.

2.2.1 Классический случай и А-дискриминант

2.2.2 Формулировка теоремы о параметризации. Каноническая система и ее линеаризация.

2.2.3 Структура якобиана линеаризации.

2.2.4 Окончание доказательства Теоремы 2.2. Условие коразмерности 1 для V

2.2.5 Примеры

3 Другие преобразования в задачах голоморфного продолжения СГ1-гиперфункций

3.1 Гармоническое представление гиперфункций.

3.1.1 Гармоническое представление аналитических функционалов

3.1.2 Пучок абелсвых групп 55. Гомоморфизм пучков и 55.

3.1.3 Граничные значения гармонических функций

3.2 CR— гиперфункции как граничные значения голоморфных функций.

3.2.1 Условия Коши-Римаиа

3.2.2 Граничные значения голоморфных функций

3.3 Теорема о гармоническом продолжении.

3.4 Логарифмическое преобразование Бохнсра-Мартинелли и критерий голоморфного продолжения СД-гиперфункций

3.4.1 Когомологическая связь логарифмического дифференциала с формой Коши-Фантаппье

3.4.2 Критерий голоморфного продолжения CR-гиперфункций.

3.4.3 Признак локального голоморфного продолжения

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Многомерные интегральные преобразования в теориях алгебраических уравнений и аналитического продолжения»

Известно, что одно из самых популярных интегральных преобразований в математическом анализе - преобразование Фурье играет важную роль при обработке сигналов, т.е. в проблеме передачи информации. Аналогичными свойствами обладают и все родственные ему интегральные преобразования (Лапласа, Меллина, Коши, а также более позднее преобразование Радона, лежащее в основе принципа действия современного томографа). Эффективность использования интегральных преобразований особенно ярко проявляется в рамках комплексного анализа, где благодаря теореме Коши-Пуанкаре, т.е. теории вычетов, значительно расширяются возможности точного или асимптотического вычисления интегралов. Теория вычетов, лежащая на стыке комплексного анализа и алгебраической геометрии, играет важную роль в этих направлениях математики и в математической физике.

Наибольшее применение преобразования Меллина получают в теориях специальных функций. Например, в теории чисел преобразование Меллина переводит тэта-функцию Якоби в дзета-функцию Римана [27], а значит, из функционального уравнения для первой следует функциональное уравнение для второй. В середине прошлого столетия были сформированы многомерные интегралы Меллина-Барнса, которые представляют собой обратные преобразования Меллина для отношения произведений конечного числа гамма-функций в композициях с линейными функциями. Такие интегралы представляют гипергеометрические функции - самый обширный класс среди всех специальных функций. В него входит подкласс неконфлуэнтных гипергсометрических функций, содержащий в себе классическую гипергеометрическую функцию Гаусса и А-гипергеометрические ряды [51, 78], в частности, фундаментальные периоды многообразий Калаби-Яу [53].

В последнее время обнаружилось, что преобразования Меллина настолько пропитаны природой комплексного анализа, что их можно считать частью теории вычетов. Несколько неожиданным оказался и тот факт, что многомерная теория интегральных преообразований Меллина практически отсутствовала. Поэтому, ввиду огромной важности, как для самого комплексного анализа, так и в теориях гипергеометрических функций и £>-модулей, а также в проблемах обработки сигналов, актуальной задачей является построение теории многомерных преобразований Меллина.

Одно из ярких применений преобразований Меллина состояло в предъявлении явной формулы для решения общего алгебраического уравнения, найденной Меллином в 1921 году [71]. В начале нынешнего столетия в работах Б. Штурмфельса [85], А.К. Циха и его соавторов [29, 75] были получены аналитические продолжения для указанного решения, а также области сходимости для гипергеометрических рядов, представляющих решение, выявлено взаимное расположение этих областей относительно дискриминантного множества уравнения. К этому времени уже были достаточно глубоко изучены так называемые А-дискриминанты [51, 59] (дискриминанты полиномов нескольких переменных). Однако, оставались открытыми вопросы обобщений интегральных представлений для решений системы уравнений, описания областей сходимости представляющих интегралов и описания дискрими-нантных множеств общих полиномиальных отображений.

Интегральные представления функциональных объектов (обычных и обобщенных функций, дифференциальных форм, сечений расслоений) составляют важный инструмент в вопросах аналитических продолжений этих объектов. В качестве подтверждения достаточно указать роль интегрального представления Бохнера-Мартинелли в обосновании знаменитого феномена Гартогса (Der Hartogs-Bochner Kugelsatz) или результат Атьи о мероморфном продолжении функции Рх. Несколько иную методологию в задачах аналитических продолжений доставляет формула Карлемана о восстановлении голоморфной функции по ее значениям, например, на части границы области. Здесь, следуя идее физиков-теоретиков Фока и Куни, вместо интегральных представлений целесообразно использовать интегральные преобразования. Эта идеология получила развитие в монографии JT.A. Айзенберга [1], статьях A.M. Кытмано-ва [4, 20] и др. При этом, оставался неисследованным вопрос о голоморфном продолжении наиболее общих функциональных объектов - гиперфункций. Естественность рассмотрения такого класса функциональных объектов подтверждалась результатом Полкинга и Уэллса [77], согласно которому пространство функций, голоморфных в области с вещественно аналитической границей, изоморфно пространству C-R-гиперфункций на границе.

Цель диссертации состоит в развитии теории многомерных преобразований Меллина и их применении к исследованию систем п алгебраических уравнений с п неизвестными, в частности, к описанию дискриминантов таких уравнений. Кроме того, стояла задача исследования условия одностороннего голоморфного продолжения в область для гиперфункций, заданных на вещественно аналитической гиперповерхности.

Характеризуя диссертационную работу в целом можно сказать, что она посвящена развитию техники многомерных интегральных преобразований и ее применению для решения некоторых проблем теории алгебраических уравнений и аналитического продолжения. Изложение начинается с теории многомерных преобразований Меллина (глава 1), где вводятся естественные классы голоморфных функций, между которыми прямое и обратное многомерные преобразования Меллина осуществляют биекцию. Доказанные в этой главе формулы обращения для многомерного преобразования Меллина применяются к решению общего алгебраического уравнения и к исследованию суперпозиции общих алгебраических функций. В главе 2 решается проблема параметризации дискриминант-ного множества общего полиномиального преобразования С" на основе идеи линеаризации. В главе 3 рассматриваются интегральные преобразования Бохнера-Мартинелли, в частности, преобразования, связанные с логарифмическим дифференциалом, и их применения в задачах голоморфного продолжения СЛ-функций. Для облегчения чтения диссертационной работы ряд понятий и известных вспомогательных результатов выделен в специальный раздел „Приложение".

Прежде, чем приступить к изложению содержания первой главы, приведем основополагающий результат об одномерных преобразованиях

Меллина. Эти преобразования были введены им в 1896 году (см. [69]): оо м[Ф]0) = J Ф(х)хг~1с1х, о а+гоо

2т J а—гоо

С помощью замены переменной х = е~1 эти преобразования сводятся к преобразованиям Лапласа. Меллин ввел свои преобразования в поисках обращения преобразований Лапласа. Он догадался о виде обратного преобразования и указал некоторые случаи восстановления оригинала по изображению: Ф = М~1М[Ф]. Применительно к преобразованию Лапласа такая формула обращения играет большую роль в операционном исчислении и в теории обработки сигналов. Позднее были выделены два класса функций, между которыми М и М"1 осуществляют взаимно обратные изоморфизмы (см. [17]). Это:

- класс

М^ {а < /?, 6 > 0) функций Ф(ж), голоморфных в каком-либо секторе $кб = {х : | < кб}, к > 1 и удовлетворяющих условию ф(ж) = 0(х~а) при ^ 0, (0.1)

Ф(х) = 0(х~Р) при х —» оо, и

- класс Ифункций = Р(и + гу), голоморфных в полосе {г : а < ¿Яг < /5}, и убывающих в ней экспоненциально по у:

Г(и + гу)\ < К(и)е~к>6^: к' > 1.

Заметим, что условия (0.1) можно записать в виде

Ф(а;) = 0(х а) для всех х £ вкз, & £ (а->Р)

Такая форма записи кардинальным образом поможет нам ввести соответствующий класс функций в многомерной ситуации.

Видимо, первое внедрение многомерного преобразования Меллина было сделано также им, в 1921 году в статье [71], где в качестве применения было доказано, что решение общего алгебраического уравнения представляется гипергеометрическим рядом от переменных коэффициентов уравнения. Однако, в краткой статье [71] Меллин ничего не писал о справедливости многомерной формулы обращения — вероятно, в нужном ему примере он знал ее обоснование с помощью повторных одномерных процедур.

Преобразование Меллина функции Ф(ж), заданной в ортанте М™ (произведении положительных вещественных полуосей), определяется интегралом но, обратное преобразование Меллина функции Р(г), заданной в мнимом (вертикальном) подпространстве а + Жп (а — фиксированный вектор из вещественного подпространства Мп С С"), — это интеграл а+гКп

В первой главе диссертации введены подходящие классы функций многих переменных, применительно к которым устанавливаются формугде мультииндексная запись хг 1 означает х^1 1 •. • 1. Соответственп лы обращения для многомерных преобразований Меллина:

М • М-1 = I = М'1 ■ м.

Указанные классы функций определяются парой выпуклых областей U С Rn, 0 С Мп, причем предполагается, что в ограничена и содержит начало координат: 0 6 0. Область U порождает в комплексном пространстве трубчатую область U + Ж", а 0 — секториальную область Sq. Более точно, секториальныс области будем брать в множестве © = х Rn, которое представляет собой область наложения над комплексным тором Тп = (С \ {0})п Точки х = (г, 0) Е 6 (г Е в Е Rn) проектируются в векторы reie = {г\ег0\ ., rnei9n) Е Тп.

Тогда сектор (секториальная область) над 0 — это множество S© = {я; Е & : О Е 0}. На Т"' обращение этой проекции можно рассматривать многозначным, если 0 не помещается в куб со стороной длины 27г (например, одна из ветвей функции одного переменного 1/(1 + л/z) голоморфна в секторе над интервалом \в\ < 2ж). Итак, пусть:

М@ — векторное пространство функций Ф(ж), голоморфных в какой-либо области

Ske = {х Е & : arg а; Е Ю}, к > 1 к зависит от Ф, а к0 означает гомотетию 0 с коэффициентом к) и удовлетворяющих условию

Ф(ж)| < С(а)\х~а\ для всех х Е Sk&, а EU, где С (а) не зависит от х;

W® — векторное пространство функций F(z) = F(u+iv), голоморфных в трубчатой области 17 + Жп и убывающих в ней экспоненциально по у: ^ К(и)е~к'Нв{ь\ к > 1, где Я©(г>) := 8ир(0,г>) — опорная функция для в. вев

Изоморфность введенных таким образом классов функций М@, \¥® установлена в следующих теоремах.

Теорема 1.1. Если Ф(ж) Е М@; то ее преобразование Меллина существует, принадлежит и справедлива формула М~1М[Ф] = /[Ф], т.е. I х-Чг I Ф(С)С2"Ч = Ф(х), х е а+Ж™ где а Е 11 .

Теорема 1.2. Если Р(г) е И^"®, то ее обратное преобразование Меллина существует, принадлежит М@ и справедлива формула ММ-1^] = ОД, т.е. ^(г), г е £/ + г!Г,

J {2тп)п ] где а Е II.

Применению формул обращения посвящены разделы 2, 3 первой главы диссертации. В них обобщено классическое интегральное представление Меллина (см. [71]) для решения общего алгебраического уравнения

ХпУп Н-----Ь х\У + ^о = О с комплексными коэффициентами • • •, хп. Ввиду свойства двойной однородности решения у(хо,., хп) с помощью мономиалыюй замены переменной с рациональными показателями коэффициенты при двух мономах у'1, у1' могут быть сделаны единичными. В диссертации исследован случай произвольного q и р — 0: хпуп + ---+у(! + --- + х1у-1 = 0. (0.2)

А именно, приведено интегральное представление типа Меллина-Барнса (определение интегралов Меллина-Барнса см. в Приложении, П. 1.3) для ветви решения этого уравнения вблизи х — 0, выделенной условием ?/(0) = 1. Такую ветвь назовем главным решением уравнения (0.2).

Теорема 1.3. Пусть у(х) — плавное решение уравнения (0.2). Для любого /л > 0 функция у^(х) представляется следующим интегралом Меллина-Барнса

1 Г

271-г)"-1 J q Г Гм+ а+Ш"-1 \<1 ' ) где а = (1, .[q].,n), ß = (q — 1, .[q].,q-п). Вектор а = (аь . [g]., ап) € R""1 берется из симплекса

U = {и Е R""1 : u:j > 0, j = 1, .[g].,n, (а, и) < ß) .

Область сходимости интеграла (0.3) секториалъная и в переменных 0 = arg а; определяется неравенствами

TCP

6V\ <—,иЕ Iq- I j0k - k9j\ < тrj, j, k E It], j < k, где Iq — набор индексов {1, .[<?]., n}.

Замечание. В случае q = n формула (0.3) была известна Меллину, однако, он гарантировал сходимость интеграла в значительно меньшей области

I ~ I KV в„\ < —, и = l,.,n- 1. In

Для того, чтобы сопоставить область сходимости интеграла (0.3) с сингулярным множеством полной (многозначной) алгебраической функции у{х), заметим, что последнее множество есть не что иное как дискрими-нантная гиперповерхность V уравнения (0.2). Рассмотрим образ V при отображении Arg : f"-1 —> xh .[д].,жп) (argrci, .[g].,arga;n).

Указанный образ называют коамебой гиперповерхности V С (по той причине, что образ V при проекции (х\, .[q].,xn) —■> (log |a;i|, log |ж„|) называют амебой для V [51]). Например, для кубического уравнения (п = 3, р = 0, q — 3) дискриминант равен

А(х) = 27 + 4x1 ~ 4х2 + 18^1^2 - х\х\, его коамеба изображена на рис. 1.1 в рамках квадрата \в\\ < тг, \02\ < 7г, а область сходимости

7Г Г

N< 3, N<y, \в2-2в1\<7Т соответствующего интеграла Меллина-Барнса — на рис. 1.2. Меллин же гарантировал сходимость лишь в области |0i| < |#2| < §.

В разделе 3 первой главы исследуется суперпозиция общих алгебраических функций. Как отмечено в [8], суперпозицию п алгебраических функций можно проинтерпретировать как п-ю координату решения системы п алгебраических уравнений „треугольного вида", причем под „треугольностью" понимается, что первое уравнение зависит только от первой неизвестной переменной, второе - от первой и второй и т.д. Такую треугольную систему запишем в виде: vT + Y. х^ ■ ■. ■ ^ - 1 = 0, i = 1, • • •, П, (0.4)

АеЛ i где в г-м уравнении суммирование ведется по множеству мультииндек-сов Аг С 'Л^ х [1,Шг — 1], Л(г) С - конечные множества. Набору показателей А = (А1,., А*) Е в г-м уравнении соответствует коэффициент х\. Вектор из коэффициентов системы далее будем обозначать х. В Теоремах 1.5, 1.6 приведены интегральная формула и ряд Тейлора для мономиальной функции у"(х)=у£1(х)-.-ур(х), ¡1г> О, составленной из координат ветви у(х) = (2/1 (ж)> ■ • • ^Уп{х)), выделенной условиями 1/1(0) = 1, г = 1,. ,п. Эту ветвь называем главным решением системы (0.4). Теоремы 1.5 и 1.6 обобщают классический результат Меллина, их итоговым следствием является

Теорема 1.7. Для главного решения системы (0-4) функция у^(х) разлагается в ряд гипергеометрического типа. Суперпозиция уп(х) общих алгебраических функций представляется в виде отношения двух рядов гипергеометрического типа.

Определение ряда гипергеометрического типа см. в П. 1.3. Во второй главе исследуется дискриминантное множество общего полиномиального преобразования

Р = (РЬ.,РП) :СП->С" пространства Сп. Будем считать, что множества А^ показателей мономов в Рг фиксированы, а все коэффициенты переменные. В таком случае будем говорить, что Р - общее полиномиальное преобразование пространства Сп.

Для большей общности будем рассматривать отображение

Р : Тп -> С", 16 где Tn = (С \ {0})" - комплексный тор, а Р\ - полиномы Лорана.

Для таких отображений обозначим через V0 множество всех коэффициентов, при которых Р имеет в Тп кратные нули, т.е. пули, в которых якобиан Р равен нулю.

Определение. Дискриминантиым множеством V отображения Р назовем замыкание мноэюества V0 в пространстве коэффициентов.

Таким образом, для нас представляет интерес система полиномиальных уравнений вида

4V = 0, г = 1,., п (0.5)

АеЛМ с неизвестными у = . ,уп) Е Тп, где А^ С Ъп - конечные подмножества, Л = (Ai,., А„), ух = у\1 • . ■ и х^ - переменные коэффициенты .

Следуя идеологии монографии И.М. Гельфанда, A.B. Зелевинско-го, М.М. Капранова [51], введенное выше дискриминантное множество V уместно назвать ,., А^)-дискриминантным множеством. В самом деле, в [51] для скалярных отображений Р : Тп —>• С было определено и исследовано так называемое А-дискриминантное множество. Отождествив конечное множество А С Zn с множеством мономов УХ '■— У11 ' - - - ' Упп> А G А там рассматривалось пространство Сл, состоящее из полиномов

P{x,y) = J2xMX а 6-4 с комплексными переменными коэффициентами х = {сса} £ ^А и показателями А Е А. При этом А—дискримипантным, множеством называется замыкание в множества всех таких коэффициентов х = {жд}, для которых система уравнений дР дР имеет решение у Е Тп; так определяемое А-дискриминантное множество обозначается Ча- Если множество Ул есть гиперповерхность (т.е. сос!нпУл(а:) = 1), то ее определяющий полином называется А-дискриминантом. Если сосЦтУл(я) > 1, то полагают Аа(^) = 1

Дискриминантное множество V = У^а) не всегда имеет коразмерность 1. Например, для общей системы п линейных уравнений дискриминантное множество V задается одновременными нулями всех миноров порядка п расширенной матрицы системы.

Во второй главе приводится параметризация „дегомогенизированно-го" дискриминантного множества, которое соответствует „приведенной" системе полиномиальных уравнений

У-1 = 0, ¿=1,.,П. (0.6) аел(0\{ш(0,0}

Например, для дискриминантного множества классического приведенного уравнения ут + Хт-1Ут-г + ■ • • + Х1У - 1 = 0. (0.7) такая параметризация имеет вид (см. [75]) т*д /</?,*)\А/™ где а = (1,., т — 1) - это вектор из показателей 1,., т — 1 мономов уравнения (0.7), а ¡3 = — (га — 1, т — 2,., 1).

Следующее утверждение показывает, что, как правило, систему (0.5) можно свести к приведенной системе (0.6).

Предложение 2.2. 1) Если для любого набора п пар А(г\ £ А^ показателей системы (0.5) определители равны нулю, гпо система (0.5) взвешенно однородная и фактически зависит от п — 1 неизвестных.

2) Если хотя бы один из определителей 5\(1 не равен нулю, то с помощью мономиалъного преобразования коэффициентов х^ системы (0.5) ее можно свести к приведенной системе (0.6).

Данное утверждение показывает, что в вырожденном случае 1) все корни из Тп кратные. В этом случае задача вычисления дискриминанта сводится к задаче о совместности системы п уравнений от п — 1 неизвестных. Этот вырожденный случай нами не рассматривается.

Множества показателей А^ \ {и/г\ 0} в системе (0.6) обозначим Л(г). Обозначим через Л дизъюнктное объединение множеств

Л«, и пусть N есть мощность множества Л, т.е. число коэффициентов в системе (0.6). Всю информацию о показателях мономов системы (0.6) удобно записать в виде матрицы

Л=(А\.,А"), столбцами которой являются векторы \к = (А^,., А^) из показателей мономов системы (0.6). Обозначим матрицу из вектор-столбцов а/1),., в (0.6) через и. По теореме об инвариантных делителях (см. [47]) существуют унимодулярпые матрицы А и В такие, что выполняется

АиВ = Вт, где — диагональная матрица с целыми тх,. ., тп на диагонали. Введем матрицу

Ф := ВО~}АК. т

Строки матрицы Ф далее будем обозначать (рх:. ,<рп. Обозначим через х^ характеристические функции подмножеств Л« С А системы (0.6); отождествим х^ с векторами, имеющими координаты Наряду с векторами ц>{ будем рассматривать векторы <р{ = ^ — ъ = 1,. ,п.

Определим алгебраическое (многозначное) отображение

А : СР"^-1 —> С^ = С'Л(1)' х ■ • • х С'л(7°' из проективного пространства в пространство коэффициентов {жл} системы (0.6), полагая где (Л-,) - ВП-'АХ.

Напомним понятие логарифмического отображения Гаусса гиперповерхности V = {/ = 0} С Т^ (см. [59] или [76]). Оно представляет собой отображение

7 : V —>• СР^"1 с координатами 7и{х) = хид/(х)/дхи. Геометрическая интерпретация 7 состоит в том, что вектор 7(ж) задает нормальную прямую к гиперповерхности Ьс^(У) в точке 1^(а;) = ., \ogXN), и эта нормаль определяет точку в СР^-1.

Основной результат второй главы составляет

Теорема 2.2. Пусть все строки матрицы Ф ненулевые и дискрими-нантпое множество V системы (0.6) неприводимо. Тогда отобраэ/сение А параметризует V. В случае, когда V есть гиперповерхность, это отобраэюение является обратным, к логарифмическому отображению Гаусса 7 : V СР*-1.

Отметим, что в Теореме 2.2 требование неприводимости дискрими-нантного множества не является существенно ограничительным. Оно равносильно тому, что какая-то группа из к < п уравнений зависит лишь от к неизвестных.

Условие коразмерности 1 для дискриминантного множества V дает следующее утверждение.

Предложение 2.3. Если все векторы щ, ф^ г = 1 , имеют ненулевые координаты, то дискриминантное множество V есть гиперповерхность.

Глава 3 диссертации посвящена применению интегральных преобразований в задачах аналитического продолжения. А именно, в ней изучаются условия голоморфного продолжения С К- г и 11 е р фу н к ц и й, заданных на произвольной вещественно аналитической гиперповерхности. Эти условия задаются в терминах логарифмического преобразования Бохнера-Мартинелли.

Рассмотривается произвольная область Г2сСп(п>1)ив ней вещественно аналитическая гиперповерхность

Г = {г 6 П : р{г) = 0}, где р — вещественно аналитическая функция такая, что Ар Ф 0 на Г. Предполагается, что Г связна и что она разбивает О, на два открытых множества = {р(г) ^ 0}.

В главе 3 исследуется задача о продолжении СД-гиперфункции, заданной на Г, в множество П+. В случае, когда Г2 = Сп, а Г - замкнутая гиперповерхность, ограничивающая область для обычных гладких на Г функций Ф указанная задача разрешима всегда, о чем свидетельствует известная теорема Бохнера-Севери. В этом случае продолжение для функции Ф в осуществляется интегральным преобразованием Бохнера-Мартинелли этой функции, суженным на При этом указанное преобразование равно нулю на и тем самым, оно вещественно аналитически продолжается в Г2+ через Г. Основной результат третьей главы (Теорема 3.6) гласит, что это свойство продолжимости преобразования Бохнера-Мартинелли является определяющим для формулировки критерия продолжимости гиперфункции с Г в Для большей общности используется логарифмическое преобразование Бохнера-Мартинелли, ассоциированное с голоморфным отображением / (в случае, когда / - тождественно, получается обычное преобразование Бохнера-Мартинелли). Указанная общность позволит нам получить признак продолжения с Г любой СЛ-гиперфункции, используя язык комплексной аналитической геометрии.

В работе используется определение гиперфункции но Мартино (см. Приложение). Гиперфункции в Rn определяются таким образом, чтобы локально они были эквивалентны аналитическим функционалам в Сп с компактными носителями из Шп. Пространства аналитических функционалов обозначаются Ä, а гиперфункций - 95.

Для определения СЯ-гиперфункций введем набор векторных полей Laß, порождающих антиголоморфную часть касательного расслоения к

Г (см. [68, п. 8]): а

1 < а < ß < п, где

1 дГ* т =»Е

N U dz>

Для компакта К С Г под действием Laß на аналитический функционал Ф Е Л'(К) будем понимать значение где (¿5 — вещественное аналитическое продолжение функции ip Е Д(Г) в некоторую окрестность Г. Результат действия Lnß(p не зависит от продолжения р в окрестность Г, так как Laß есть касательный оператор.

Пусть S — открытое подмножество гиперповерхности Г. Выберем на нем семейство координатных окрестностей Sj С S (USj = S).

Определение. Гиперфункция Ф Е Ш(Г), заданная набором гиперфункций Ф^- Е *B(Sj), удовлетворяет на S касательным условиям Коши-Римана, если для каждого представителя fj Е j((Sj) гиперфункции Ф^- выполняются включения s\ippLaßfj С dSj, 1 ^ а < ß ^ п.

Гиперфункция Ф Е ®(Г); удовлетворяющая на в С Г касательным условиям Коши-Римана, называется С Я -гиперфункцией на 5. Обозначим через Е^ разность по Минковскому а-П = {С- г : С,-г Е П}.

Пусть и — область голоморфности, содержащая Еп. Рассмотрим голоморфное отображение имеющее в и единственный нуль ги = 0 кратности /1 и сопоставим ему д-замкнутую дифференциальную форму (логарифмический дифференциал Бохнера- Мартинелли) — г)), где ш - дифференциальная форма

Бохнера-Мартинелли (см. Приложение к диссертации) = ^^ У (-1)*-1Г1^М*] А йи. v ; (2тгг)" ' \и\2п 1 J к—1

В разделе 3.4 диссертации доказан ряд утверждений, имеющих самостоятельный интерес и устанавливающих когомологическую связь логарифмического дифференциала с формой Коши-Фантаппье специального вида.

Для формулировки этой связи рассмотрим представления п к=1 с Р{к € О (и), которые получаются из разложений Хефера с учетом условий /¿(0) = 0.

Для вектор-функции А(С, = (А;[(С, г),., г)) с координатами п ¿=1 рассмотрим дифференциальную форму Копти-Фантаппье ш{< - ,, А) = (Г " !)! ТЫГ1 А ¿С. (0.8)

2«)" ¿Г <С - А(С, г)>» ^ '

Обозначим через ¡1 кратность отображения / в точке и] = 0. Теорема 3.5. Форма Коши-Фантаппъе, умноженная на крат-ностъ [1, и логарифмический дифференциал Бохнера -Мартинелли д когомологичны в области С, ф г:

МС - А(С, г)) - ш(/(С - г)) = дХ(С, г) А ¿С

Для гиперфункции Ф с компактным носителем на Г определим логарифмическое преобразование Бохнера-Мартинелли: с1а((,) — элемент поверхности Г. Заметим, что Т\Ч>](г) — вещественно аналитическая функция вне носителя Ф.

Грубо говоря, основной результата главы 3, Теорема 3.6, утверждает, что заданная на вещественно аналитической гиперповерхности С Я-гипсрфункция Ф продолжается в одну из сторон гиперповерхности тогда и только тогда, когда ее логарифмическое преобразование Бохнера-Мартинелли продолжается вещественно аналитически из другой стороны. Для более точной формулировки необходимо исчерпать область О монотонным семейством ограниченных областей и произвести локализацию заданной гиперфункции Ф на Г в виде гиперфункций Ф^- с компактным носителем на Sj+l.

Теорема 3.6. Если Ф есть С Я-гиперфункция на Г7 то для голоморфного продолжения Ф в необходимо и достаточно, чтобы продолжались вещественно аналитически из связной компоненты П Qj в для всех у.

В качестве применения этого критерия приводится достаточное геометрическое условие на гиперповерхность Г, обеспечивающее одностороннее локальное голоморфное продолжение с Г любой СЯ-гиперфункции.

Теорема 3.7. Если в точке р гиперповерхности Г существует росток голоморфной кривой {/х = • • • = /пх = 0}; расположенный в Г2+; то всякая СR-гиперфункция Ф на Г голоморфно продолжается в некоторую одностороннюю окрестность С этой точки.

Этот результат обобщает теорему Леви [63] и ее аналог для интегрируемых функций [35]. Последняя из упомянутых теорем утверждает, что интегрируемая С/¿-функция, заданная на дважды гладкой вещественной гиперповерхности Г голоморфно продолжается в окрестность U точки 0 6 Г, если сужение формы Леви в нуле на комплексную касательную плоскость Тд(Г) не равно тождественно нулю. Невырожденность формы Леви влечет за собой возможность коснуться гиперповерхности в нуле комплексной кривой, лежащей в области {z е Сп : g(z) > 0}, т.е. условие теоремы 3.7 выполняется. Однако, обратная импликация неверна. Это показывает следующий пример гиперповерхности

Г = {z Е С2 : p(z) = Re(z2 - zf + ki|4 + M8) - 0}.

Для нее форма Леви в точке 0 G Г тождественно равна нулю. При этом кривая 7 = {zi = t, Z2 = t2}, расположенная в области {z Е С"' : p{z) > 0} , касается Г в точке нуль, поскольку р|7 = Re(t2 - t2 + \t\4 + \t\8) = \t\4 + |i|8 > 0. Кроме того, p|7 = 0 тогда и только тогда, когда t = 0.

Таким образом, основные результаты диссертации состоят в следующем:

• Решена проблема обращения для многомерных преобразований Меллина с описанием зеркально-симметричных векторных пространств, переводимых друг в друга указанными преобразованиями.

• Получены новые формулы для решения общего алгебраического уравнения, уточнен классический результат Меллина о сходимости интеграла, представляющего решение.

• Предъявлены формулы для суперпозиции общих алгебраических функций.

• Найдена параметризация дискриминантного множества общего полиномиального преобразования Сп.

• Получен критерий голоморфного продолжения С В,- гиперфункций в терминах логарифмического преобразования Бохнера-Мартинелли.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Антипова, Ирина Августовна, 2009 год

1. Айзенберг J1.A. Формулы Карлемана в комплексном анализе. Новосибирск: Наука. 1990. 246 С.

2. Айзенберг JI.A., Южаков А.П. Интегральные представления и вычеты в многомерном комплексном анализе. Новосибирск: Наука. 1979. 368 С.

3. Айзенберг Л.А., Даутов Ш.А. Дифференциальные формы, ортогональные голоморфным функциям или формам, и их свойства. Новосибирск: Наука. 1975. 144 С.

4. Айзенберг Л.А., Кытманов A.M. О возможности голоморфного про-. должения в область функций, заданных на связном куске ее границы. I // Матем.сб. 1991. Т. 182. №4. С. 490-507.

5. Айзенберг Л.А., Кытманов A.M. О возможности голоморфного продолжения в область функций, заданных на связном куске ее границы. II // Матем.сб. 1993. Т. 184. №1. С. 3-15.

6. Айзенберг Л.А., Митягин Б.С. Пространства функций, аналитических в гг-круговых областях // Сиб.матем.журн. 1960. Т. 1. №2. С. 153-170.

7. Айрапетян P.A., Хенкин Г.М. Интегральные представления дифференциальных форм на многообразиях Коши-Римана и теория CR-функций // УМН. 1984. Т. 39. Вып. 3. С. 39-106.

8. Арнольд В.И. Топологические инварианты алгебраических функций. II // Функц. анализ и его прил. 1970. Т. 4. № 4. С. 1-9.

9. Вейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. М.: Наука, 1973.

10. Белошапка В.К. Вещественные подмногообразия комплексного пространства, их полиномиальные модели, автоморфизмы и проблемы классификации // УМН. 2002. Т. 57. Вып. 1. С. 3- 44.

11. Васильев В.А. Топология дополнений к дискриминантам. М: ФАЗИС. 1997. XIV+538 С.

12. Владимиров B.C. Методы теории функций многих комплексных переменных. М.: Наука. 1964. 411 С.

13. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Физматгиз. 1962. 1100 С.

14. Гельфаид И.М., Граев М.И., Ретах B.C. Общие гипергеометрические системы уравнений и ряды гипергеометрического типа // УМН. 1992. Т.47. Вып. 4. С. 3-82.

15. Гельфанд И.М., Зелевинский A.B., Капранов М.М. Гипергеометрические функции и торические многообразия // Функц. анализ и его приложения. Т. 23. Вып. 2. 1989. С. 12-26.

16. Жданов О.Н., Цих A.K. Исследование кратных интегралов Мсллина Барнса с помощью многомерных вычетов // Сиб. матем. жури. 1998. Т. 39. №2. С. 282-298.

17. Евграфо в М.А. Ряды и интегральные представления. Анализ—1. Итоги науки и техн. Сер. Соврем, пробл. мат. Фундам. направления. Т. 13. М.: ВИНИТИ. 1986. С. 5-92.

18. Егоров Ю.В., Шубин М.А. Линейные дифференциальные уравнения с частными производными. Основы классической теории. Итоги науки и техн. Сер. Соврем, пробл. мат. Фундам. направления. Т. 30. М.: ВИНИТИ, 1988. С. 5-255.

19. Кытманов A.M. Интеграл Бохнера-Мартинелли и его применения. Новосибирск: Наука. 1992. 240 С.

20. Кытманов A.M. Голоморфное продолжение интегрируемых CR-функций с части границы области // Матем. заметки. 1990. Т. 48. №2. Р. 64-71.

21. Кытманов A.M., Мысливец С.Г. О голоморфности функций, пред-ставимых формулой логарифмического вычета // Сиб. матем. журн. 1997. Т. 38, №2. С. 351-361.

22. Кытманов A.M., Никитина Т.Н. Голоморфное продолжение CR-функций с особенностями на порождающем многообразии // Изв. РАН. Сер. матем. 1992. Т. 56. №3. С. 673-686.

23. Кытманов A.M., Цих И.А. Построение гармонического представления гиперфункций, заданных на гиперповерхности // Сб. "Комплексный анализ, дифференциальные уравнения, численные мето