Алгоритмы вычисления многомерных степенных сумм корней систем трансцендентных уравнений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.07, кандидат физико-математических наук Качаева, Татьяна Ивановна

• Качаева, Татьяна Ивановна
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Качаева, Татьяна Ивановна

ВВЕДЕНИЕ

1. Общая характеристика работы

1.1. Актуальность темы

1.2. Цель диссертации

1.3. Методика исследования

1.4. Научная новизна

1.5. Практическая и теоретическая ценность

1.6. Апробация работы

1.7. Публикации

1.8. Структура и объем работы

2. Содержание работы

Глава 1. Предварительная

1. Многомерный логарифмический вычет

2. Алгоритмы исключения неизвестных

2.1. Классическая схема исключения неизвестных

2.2. Метод исключения неизвестных, основанный на формуле многомерного логарифмического вычета

3. Система компьютерной алгебры МАТЕМАТИКА

Глава 2. Формулы для нахождения степенных сумм корней систем трансцендентных уравнений

4. Постановка задачи

5. Нахождение степенных сумм корней систем трансцендентных уравнений

6. Рекуррентные формулы Ньютона для трансцендентных функций одного комплексного переменного

7. Исключение неизвестных из систем мероморфных функций

8. Нахождение сумм некоторых кратных рядов

Глава 3. Компьютерная реализация полученных алгоритмов

9. Компьютерная реализация для систем с выделенной младшей однородной частью

9.1. Алгоритм

9.2. Описание программы

9.3. Примеры

10. Компьютерная реализация для систем трансцендентных функций с младшей однородной частью треугольного вида

10.1. Алгоритм

10.2. Описание программы

10.3. Примеры

11. Компьютерная реализация метода исключения переменных

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Алгоритмы вычисления многомерных степенных сумм корней систем трансцендентных уравнений»

1. Общая характеристика работы

1.1. Актуальность темы. Алгоритмы нахождения степенных сумм корней систем нелинейных уравнений основываются на формуле многомерного логарифмического вычета (см., например, [2, 19, 20]). Эта формула дает интегральное представление для таких степенных сумм. Интеграл в ней вычисляется по циклам (остовам аналитических полиэдров) действительной размерности п. Для алгебраических отображений известны формулы вычисления данного интеграла через коэффициенты полиномов, входящих в систему (см., например, [2, 5, 19, 23]).

На основе этих формул Л.А.Айзенбергом [1] был предложен модифицированный метод исключения неизвестных из систем алгебраических уравнений, развитый затем в [5, 23]. Но эти формулы настолько сложны, что практически (без разработки алгоритмов вычисления) их невозможно применить даже для простых систем. Особенно для систем, содержащих параметры. Первые попытки создания таких алгоритмов (и их компьютерная реализация) для систем с выделенной главной частью, треугольных систем были даны в работах В.И.Быкова, А.М.Кытманова, М.З.Лазмана, Т.А.Осетровой [4-7, 23]. Для невырожденных систем алгебраических уравнений (практически самых общих алгебраических систем) такие разработки были осуществлены в [8, 16].

Для систем трансцендентных уравнений таких формул и алгоритмов известно не было. Это связано с тем, что системы трансцендентных функций, как правило, имеют бесконечное число корней и, тогда степенные суммы корней (в положительной степени) являются расходящимися рядами. Поэтому целесообразно рассмотреть степенные суммы корней в отрицательных степенях (т.е. степенные суммы от величин, обратных корням системы). К этим степенным суммам напрямую не применима формула логарифмического вычета, она нуждается в дополнительном обосновании. Более того, для систем трансцендентных функций не был разработан алгоритм исключения неизвестных. Заметим также, что попытки замены функций в системе отрезками ряда Тейлора (т.е. сведение к полиномам) не могут привести к хорошим результатам. Например, функция ег не имеет нулей, а любой отрезок ряда Тейлора нули имеет.

Содержание диссертации также связано с активно развивающимся в последнее время новым направлением в вычислительной математике — компьютерной алгеброй, лежащей на стыке алгебры, математического анализа и программирования. Многие нелинейные задачи в приложениях характеризуются множественностью стационарных состояний. Эти проблемы инициируют появление новых теоретических результатов в области анализа систем нелинейных уравнений. Внедрение в практику научных исследований различных систем аналитических преобразований на ЭВМ сделало работоспособными достаточно сложные алгоритмы теории исключения.

Нелинейные системы уравнений возникают в различных областях науки. В частности, в процессах, описываемых системами нелинейных дифференциальных уравнений, актуален вопрос об определении числа стационарных состояний в заданных областях и их локализации. Эта проблема приводит к задачам компьютерной алгебры: построения алгоритмов для определения числа корней заданной системы уравнений в разных областях, определения самих корней, исключения части неизвестных из системы. Такие вопросы, естественно, требуют развития методов работы с аналитическими выражениями на ЭВМ.

В частности в монографиях [5, 23] приведены многочисленные примеры из химической кинетики, где работают алгоритмы вычисления многомерного логарифмического вычета.

1.2. Цель диссертации.

Целью диссертации является: получение формул для вычисления многомерных интегралов, связанных с многомерным логарифмическим вычетом; разработка алгоритмов для вычисления степенных сумм некоторых типов систем трансцендентных уравнений с бесконечным множеством корней; разработка алгоритмов исключения неизвестных из систем трансцендентных уравнений; компьютерная реализация полученных алгоритмов в системе МАТЕМАТИКА.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Качаева, Татьяна Ивановна, 2005 год

1. Айзенберг J1.A. Об одной формуле обобщенного многомерного логарифмического вычета и решении систем нелинейных уравнений/ Л.А.Айзенберг // Докл. АН СССР. - 1977. - Т. 234. - №3. - С. 505 -508.

2. Айзенберг Л.А. Интегральные представления и вычеты в многомерном комплексном анализе / Л.А.Айзенберг, А.П.Южаков. Новосибирск: Наука, - 1979.

3. Артюхин Ю.П. Система МАТЕМАТИКА 4.0 и ее приложения в механике: Учебное пособие / Ю.П.Артюхин, Н.Г.Гурьянов, Л.М.Котляр. -Изд-во КамПИ. 2002. - 415 с.

4. Быков В.И. Компьютерная алгебра многочленов. Модифицированный метод исключения / В.И.Быков, А.М.Кытманов, Т.А.Осетрова // Докл. РАН. 1996. - Т. 350. - №4. - С. 443-445.

5. Быков В.И. Методы исключения в компьютерной алгебре многочленов / В.И.Быков, А.М.Кытманов, М.З.Лазман. Новосибирск: Наука, - 1991.

6. Быков В.И. Компьютерная алгебра многочленов. Методы и приложения / В.И.Быков, А.М.Кытманов, Т.А.Осетрова // Вычислительные технологии. Сб. научных трудов. Новосибирск. - 1995. - Т. 4. - №10. - С. 79-88.

7. Быков В.И. Компьютерная алгебра многочленов. Методы и приложения / В.И.Быков, А.М.Кытманов, Т.А.Осетрова // Доклады РАН. 1996. -Т. 350. № 4. - С. 443-446.

8. Быков В.И. Применение систем компьютерной алгебры в модифицированном методе исключения неизвестных/ В.И.Быков, А.М.Кытманов,Т.А.Осетрова, З.Е.Потапова // Докл. РАН. 2000. - Т. 370. - №4. -С. 439-442.

9. Ван дер Варден B.J1. Алгебра / Б.Л.Ван дер Вардец. М.: Наука, - 1976.

10. Ван дер Варден Б.Л. Современная алгебра / Б.Л.Ван дер Варден. -М.-Л.: ОГИЗ, 1947.

11. Ермилов И.В. Вычисление сумм и улучшение сходимости числовых рядов / И.В.Ермилов // Исследования по комплексному анализу. Красноярск: КрасГУ. - 1989. - С. 42-52.

12. Курош А.Г. Курс высшей алгебры / А.Г.Курош. М.: Наука, - 1971.

13. Кытманов A.M. Формулы для нахождения степенных сумм корней систем мероморфных функций/А.М.Кытманов, З.Е.Потапова // Известия вузов. Математика. 2005. - № 8. - С. 39-48.

14. Мысливец С.Г. Формулы для нахождения сумм некоторых двойных рядов / С.Г.Мысливец, З.Е.Потапова // Межвузовский сборник "Вопросы математического анализа". Красноярск: КрасГТУ. - 2004. - Вып. 7. -С. 54-62.

15. Осипов Н.Н. Об одном элементарном приеме суммирования рядов/ Н.Н.Осипов// Межвузовский сборник "Вопросы математического анализа". Красноярск: КрасГТУ. - 2004. - Вып. 7. - С. 121-123.

16. Потапова З.Е. Алгоритмы вычисления многомерного логарифмического вычета и некоторые их приложения/ З.Е.Потапова// Дисс. канд. физ.-мат. наук. Красноярск: КрасГУ. - 2004.

17. Прудников А.П. Интегралы и ряды. Элементарные функции / А.П.Прудников, Ю.А.Брычков, О.И.Маричев. М.: Наука, 1981. - 800 с.

18. Титчмарш Е. Теория функций. М.: Наука, 1980.

19. Цих А.К. Многомерные вычеты и их применения / А.К.Цих. Новосибирск: Наука, - 1989. - 240 с.

20. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ / Б.В.Шабат. М: Наука, - 1979. - Т.2.

21. Bajaj С. On the application of multi-equational resultants / C.Bajaj, T.Garrity, J.Warren // Tecnical Report CSD-TR-826, Departament of Computer Science. Purdue University. - 1988.

22. Bayer D. A. A system for computation in algebraic geometry and commutative algebra / D.A.Bayer, M.Stillman, M.Macaulay. User Manual. - 1991.

23. Bykov V.I. Elimination methods in polynomial computer algebra / V.I.Bykov, A.M.Kytmanov, M.Z.Lazman. Dodrecht-Boston-Basel: Kluwer Academic Publishers, - 1998.

24. Macauley F.S. Algebraic theory of modular systems / F.S.Macauley. -Cambridge. 1916.

25. Manocha D. MultiPolynomial Resultant Algorithms / D.Manocha, J.F.Canny // J. Symbolic Computation. 1993. - №15. - P. 99-122.

26. Manocha D. Multipolynomial resultant algorithms and linear algebra / D.Manocha, J.F.Canny //In Proceedings of International Symposium on Symbolic and Algebraic Computation. 1992. - P. 232-241.

27. Moller H.M. The construction of multivariate polynomials with preassiqued zeros / H.M.Moller, B.Buchberger // Lect. Notes Comput. Sci. 1983. - V. 162. - P. 24-31.

28. Moses J. Solution of Systems of Polynomial Equation by Elimination / J.Moses // Commun. of the ACM. 1966. - V. 9. - №8. - P. 634-637.

29. Wolfram S. Mathematica: A System for Doing Mathematics by Computer / S.Wolfram . Addison-Wesley. - Reading. - MA. - 1991.

30. Качаева Т.И. О нахождении сумм некоторых кратных рядов / Т.И.Качаева // Вестник КрасГУ. Серия физ.мат науки. 2004. - Вып. 1. - С. 105-109.

31. Качаева Т.И. Вычисление сумм некоторых тройных рядов / Т.И.Качаева // Тезисы III Всесибирского конгресса женщин-математиков. Красноярск: ИВМ СОРАН. 2004. - С. 36.

32. Качаева Т.И. О рекуррентных формулах Ньютона для целых и меро-морфных функций конечного порядка / Т.И.Качаева // Вестник КрасГУ. Серия физ.мат науки. 2004. - Вып. 3. - С. 68-72.

33. Качаева Т.И. Об исключении неизвестных из некоторых систем меро-морфных функций / Т.И.Качаева // Межвузовский сборник "Вопросы математического анализа". Красноярск: КрасГТУ. - 2004. - Вып. 8. -С. 65-71.

34. Качаева Т.И. О формулах нахождения степенных сумм корней систем уравнение, состоящих из мероморфных функций, и некоторых их приложениях / Т.И.Качаева, С.Г.Мысливец // Вестник КрасГУ. Серия физ.мат науки. 2005. - Вып. 1. - С. 125-135.

35. Качаева Т.И. Нахождение степенных сумм корней систем трансцендентных уравнений / Т.И.Качаева, С.Г.Мысливец // Тезисы международной конференции по комплексному анализу. Краснодар: Кубанский госуниверситет. - 2005. - С. 65-66.