Построение алгоритмов компьютерной алгебры на основе методов теории функций тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.17, доктор физико-математических наук Кытманов, Алексей Александрович

• Кытманов, Алексей Александрович
• доктор физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Кытманов, Алексей Александрович

Введение

1. Предварительные сведения

1.1. Многомерный логарифмический вычет.

1.2. Алгоритмы исключения неизвестных

1.2.1. Классическая схема исключения неизвестных

1.2.2. Метод исключения неизвестных, основанный на формуле многомерного логарифмического вычета

1.3. Ядра интегральных представлений и формы объема

1.4. Конструкция торического многообразия.

1.5. Когомологии пучков.

1.6. Система компьютерной алгебры МАРЬЕ.

2. Алгоритм исключения неизвестных из систем неалгебраических уравнений 76 2.1. Построение аналогов рекуррентных формул Ньютона

2.1.1. Постановка задачи.

2.1.2. Вспомогательные результаты.

2.1.3. Основные результаты

2.1.4. Связь интегралов со степенными суммами

2.2. Исключение неизвестных.

2.3. Вычисление степенных сумм.

2.4. Вычисление сумм некоторых рядов

2.5. Описание алгоритма вычисления степенных сумм.

2.6. Примеры

3. Алгоритм построения интегральных представлений

3.1. Ядра, ассоциированные с торическими многообразиями

3.1.1. Постановка задачи.

3.1.2. Ядра интегральных представлений.

3.1.3. Аналог формы объема Фубини-Штуди.

3.2. Интегральные представления.

3.2.1. Воспроизводящее свойство ядра.

3.2.2. Общие усреднения ядер Коши

3.2.3. Интегральное представление в области

3.3. Примеры с двумерными веерами.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Построение алгоритмов компьютерной алгебры на основе методов теории функций»

Общая характеристика работы

Актуальность темы

Компьютерная алгебра является относительно новым направлением, возникшим при взаимодействии ряда математических дисциплин (в первую очередь, алгебры) и информатики. В широком смысле под этим словосочетанием понимаются любые символьные (в отличие от численных) вычисления, выполняемые на компьютере.

В настоящее время компьютерная алгебра находит применение в таких областях науки, как математика, численные методы, гидромеханика, прикладная небесная механика, робототехника [17], и в других. Одним из ее применений в теории информации является использование ее методов в манипулировании многоуровневыми иерархическими структурами для оптимизации аналитических вычислений [19].

За три последних десятилетия было создано огромное число систем компьютерной алгебры, большинство из которых широко применяется в научных вычислениях, при решении прикладных проблем, в индустрии. В зависимости от набора стандартных задач, которые могут быть решены при помощи данных систем, последние подразделяются на универсальные (или, иначе, системы общего назначения, такие как MAPLE, MATHEMATICA, MAXIMA и др.) и специализированные.

Одним из наиболее значимых типов задач, решаемых при помощи универсальных систем является класс задач по вычислениям с полиномами от нескольких переменных над указанными полями и кольцами нахождение наибольшего общего делителя, точного значения корней многочленов в радикалах, разложение на множители, вычисление дискриминантов и результантов, базисов Грёбнера и т.п.), а также решение систем алгебраических (полиномиальных) уравнений и других систем нелинейных уравнений, сводящихся к ним подстановками элементарных функций.

Однако в системах общего назначения на сегодняшний день отсутствует аппарат исследования систем неалгебраических уравнений.

Одним из наиболее эффективных инструментов для исследования таких систем является формула многомерного логарифмического вычета. Первые попытки в создании математического аппарата и алгоритмов компьютерной алгебры для исследования систем нелинейных уравнений с помощью многомерного логарифмического вычета были даны в работах В.И.Быкова, А.М.Кытманова, М.З.Лазмана, Т.А.Осетровой, З.Е.Потаповой [5-8,23,24,40]. В данных работах формула многомерного логарифмического вычета применялась для создания алгоритма исключению неизвестных из систем алгебраических уравнений. Этот модифицированный метод исключения неизвестных, предложенный Л.А.Айзенбергом в [3], был затем развит в [6,40]. Но для систем неалгебраических уравнений (содержащих, например, голоморфные функции) такие разработки отсутствовали.

Неалгебраические системы уравнений возникают в различных областях знания. В частности, в процессах, описываемых системами дифференциальных уравнений с правыми частями, разложимыми в ряд Тейлора, актуален вопрос об определении числа стационарных состояний в множествах определенного вида (и их локализации). Эта проблема приводит к задачам построения алгоритмов для определения числа корней заданной системы уравнений в разных множествах, определения самих корней, исключения части неизвестных из системы. В частности в монографиях [6, 40] приведены многочисленные примеры из химической кинетики, где работают алгоритмы исключения неизвестных.

Цель диссертации

Целью диссертационной работы является создание теоретической основы для разработки алгоритмов исключения неизвестных из систем неалгебраических уравнений и алгоритмов построения интегральных представлений и вычетов в многомерном комплексном пространстве.

Методика исследования

В основу исследования положены методы компьютерной алгебры, теории функций многих комплексных переменных, алгебраической геометрии.

Научная новизна

Основные результаты работы являются новыми и состоят в следующем.

1. Получены многомерные аналоги рекуррентных формул Ныотоиа для систем неалгебраических уравнений.

2. Создан аппарат для разработки алгоритмов вычисления степенных сумм для систем мероморфных функций с бесконечным множеством корней.

3. Процедура построения алгоритмов исключения неизвестных на основе многомерного логарифмического вычета, созданная и примененная ранее для алгебраических систем, распространена на широкий класс неалгебраических систем.

4. Создан аппарат для разработки алгоритмов построения интегральных представлений в полиэдрах многомерного комплексного пространства по веерам торических многообразий.

5. Получены аналоги многомерного логарифмического вычета и интегральная реализация локального вычета.

6. Выведены типовые алгоритмы компьютерной алгебры и дана их компьютерная реализация в системе компьютерной алгебры МАРЬЕ.

Теоретическая и практическая ценность

Теоретическая ценность работы состоит в создании теоретической основы для разработки алгоритмов исключения неизвестных из систем неалгебраических уравнений и алгоритмов построения интегральных представлений в полиэдрах многомерного комплексного пространства по веерам торических многообразий. Все теоретические результаты снабжены подробными доказательствами.

Практическая ценность работы состоит в том, что полученные результаты могут быть использованы для вычисления степенных сумм систем неалгебраических уравнений и сумм некоторых кратных рядов, исключения неизвестных из систем неалгебраических уравнений, получения новых интегральных представлений и многомерных вычетов, вычисления групп когомологий торических многообразий.

Апробация работы

Основные результаты диссертации обсуждались и докладывались на следующих международных и всероссийский конференциях: международной конференции «Симметрия и дифференциальные уравнения» (Красноярск, Россия, 2000); международной конференции «Математические модели и методы их исследования» (Красноярск, Россия, 2001); международной конференции «Многомерный комплексный анализ» (Красноярск, Россия, 2002); международной конференции-школе по геометрии и анализу (Новосибирск, Россия, 2002); международной конференции «Геометрический анализ и его приложения», (Волгоград, Россия, 2004); международной математической конференции «Теория функций. Дифференциальные уравнения. Вычислительная математика» (Уфа, Россия, 2007); международной конференции «Анализ и геометрия на комплексных многообразиях» (Красноярск, Россия, 2007); школе-конференции по алгебраической геометрии для молодых математиков (Ярославль, Россия, 2008); международной конференции «Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений» (Новосибирск, Россия, 2008).

Результаты работы докладывались на научном семинаре по компьютерной алгебре факультета вычислительной математики и кибернетики и НИИ ядерной физики имени Д.В.Скобельцына МГУ имени М.В.Ломоносова (г. Москва), научном семинаре института программных систем РАН (г. Переславль-Залесский), а также на научных семинарах института космических и информационных технологий Сибирского федерального университета (г. Красноярск).

Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [67-87], из них 1 монография [85], 8 работ [74,75,79-81,84,86,87] в ведущих отечественных и международных рецензируемых изданиях, рекомендованных ВАК, 12 публикаций [67-73,76-78,82,83] в других научных изданиях. Кроме того, автором получены два свидетельства о государственной регистрации программ для ЭВМ [88,89].

Личный вклад автора

Результаты диссертации получены автором самостоятельно. В соавторстве выполнена одна работа [86], в которой вклады авторов равнозначны.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, трех глав, приложения и списка литературы из 89 наименований, содержит 7 рисунков. Общее число страниц диссертационной работы — 228, в том числе 23 страницы — приложения.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Кытманов, Алексей Александрович, 2010 год

1. Айзенберг J1.A. Интегральные представления и вычеты в многомерном комплексном анализе / Л.А.Айзенберг, А.П.Южаков. - Новосибирск: Наука, - 1979. - 366 с.

2. Айзенберг JI.A. Многомерные аналоги формул Ньютона для систем нелинейных алгебраических уравнений и некоторые их приложения / Л.А.Айзенберг, А.М.Кытманов // Сиб. матем. журн. 1981. - Т. 22. - № 2. - С. 19-30.

3. Айзенберг Л.А. Об одной формуле обобщенного многомерного логарифмического вычета и решении систем нелинейных уравнений / Л.А.Айзенберг // Докл. АН СССР. 1977. - Т. 234. - № 3. - С. 505-508.

4. Бухбергер Б. Базисы Гребнера. Алгоритмический метод в теории полиномиальных идеалов / Б.Бухбергер // Компьютерная алгебра. Символьные и алгебраические вычисления / Под ред. Бухбергсра Б., Коллинза Дж., Лооса Р. М.: Мир, - 1986. - С. 331-372.

5. Быков В.И. Компьютерная алгебра многочленов. Модифицированный метод исключения / В.И.Быков, А.М.Кытманов, Т.А.Осетрова // Докл. РАН. 1996. - Т. 350. - № 4. - С. 443-445.

6. Быков В.И. Методы исключения в компьютерной алгебре многочленов / В.И.Быков, А.М.Кытманов, М.З.Лазман. Новосибирск: Наука, - 1991. - 234 с.

7. Быков В.И. Компьютерная алгебра многочленов. Методы и приложения / В.И.Быков, А.М.Кытманов, Т.А.Осетрова // Вычислительные технологии. Сб. научных трудов. Новосибирск. - 1995. - Т. 4.- № 10. С. 79-88.

8. Быков В.И. Компьютерная алгебра многочленов. Методы и приложения / В.И.Быков, А.М.Кытманов, Т.А.Осетрова // Доклады РАН. 1996. - Т. 350. - № 4. - С. 443-446.

9. Быков В.И. Применение систем компьютерной алгебры в модифицированном методе исключения неизвестных / В.И.Быков, А.М.Кытманов, Т.А.Осетрова, З.Е.Потапова // Докл. РАН. 2000.- Т. 370. № 4. - С. 439-442.

10. Ван дер Варден Б.Л. Современная алгебра / Б.Л.Ван дер Варден. -М.-Л.: ОГИЗ, 1947.

11. Ван дер Варден Б.Л. Алгебра / Б.Л.Ван дер Варден. М.: Наука, -1976. - 649 с.

12. Гамелин Т. Равномерные алгебры / Т.Гамелин. М.: Мир, - 1973. -334 с.

13. Гриффите Ф. Принципы алгебраической геометрии. / Ф.Гриффите, Дж.Харрис. М.: Мир, - 1982. - 860 с.

14. Дольбо Д. Общая теория многомерных вычетов / Д.Дольбо // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики (фундаментальные направления). М.: ВИНИТИ. - 1985. - Т. 7. - С. 227-251.

15. Дэвенпорт Дж. Компьютерная алгебра / Дж.Дэвенпорт, И.Сирэ, Э.Турнье. М.: Мир, - 1991.

16. Ермилов И.В. Вычисление сумм и улучшение сходимости числовых рядов / И.В.Ермилов // Исследования по комплексному анализу. -Красноярск: КрасГУ. 1989. - С. 42-52.

17. Ефимов Г.Б. Компьютерная алгебра в ИПМ им. М.В.Келдыша / Г.Б.Ефимов, Е.Ю.Зуева, И.Б.Щенков // Матем. моделирование. -2001. Т. 13. - № 6. - С. 11-18.

18. Качаева Т.И. О нахождении сумм некоторых кратных рядов / Т.И.Качаева // Вестник КрасГУ Сер. физ.-мат. науки. Красноярск,- 2004. Вып. 1. - С. 105-109.

19. Клименко В.П. Особенности структуры данных и их преобразования в системе компьютерной алгебры АНАЛИТИК / В.П.Клименко, Ю.С.Фишман, Т.Н.Швалюк // Математические машины и системы.- 2004. № 2. - С. 42-48.

20. Куприков A.B. О логарифмическом вычете / А.В.Куприков, А.П.Южаков //В кн.: «Некоторые свойства голоморфных функций многих комплексных переменных». Красноярск, ИФ СО АН СССР.- 1973. С. 181-191.

21. Курош А.Г. Курс высшей алгебры / А.Г.Курош. М.: Наука, - 1971.

22. Кытманов A.M. Интеграл Бохнера-Мартинелли и его применения / А.М.Кытманов. Новосибирск: Наука, - 1992. - 240 с.

23. Кытманов A.M. Формулы для нахождения степенных сумм корней систем мероморфных функций / А.М.Кытманов, З.Е.Потапова // Изв. вузов. 2005. - № 8 (519). - С. 39-48.

24. Осетрова Т.А. MAPLE-процедуры для нахождения результантов систем нелинейных алгебраических уравнений / Т. А.Осетрова // Комплексный анализ и дифференциальные уравнения. Межвузовский сб. - Красноярск: КрасГУ. - 1996. - С. 164-175.

25. Прудников А.П. Интегралы и ряды. Элементарные функции / А.П.Прудников, Ю.А.Брычков, О.И.Маричев. М.: Наука, - 1981. - 800 с.

26. Хенкин Г.М. Метод интегральных представлений в комплексном анализе / Г.М.Хенкин // Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. (Итоги науки и техники). М.: ВИНИТИ. 1985. - Т. 7. - С. 23-124.

27. Цих А.К. Интегральные реализации вычета Гротендика и его преобразование при композициях / А.К.Цих, Б.А. Шаимкулов // Вестник КрасГУ. Серия физ.-мат. науки. Красноярск. - 2005 - № 1. - С. 151-155.

28. Цих А.К. Многомерные вычеты и их применения / А.К.Цих. Новосибирск: Наука, - 1988. - 241 с.

29. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. 4.2. Функции нескольких переменных / Б.В.Шабат. М.: Наука, - 1985. - 400 с.

30. Шабат Б.В. Распределение значений голоморфных отображений / Б.В.Шабат. М.: Наука, - 1982. - 288 с.

31. Шафаревич И.Р. Основы алгебраической геометрии / И.Р.Шафаревич. М: Наука, - 1979.

32. Adams W.W. An introduction to Grocbncr Bases / W.W.Adams, P.Loustraunau. American Mathematical Society. - 1994. - 289 p.

33. Atiyah M.F. Convexity and commuting Hamiltonians / M.F.Atiyah // Bull. Lond. Math. Soc. 1982. - V. 14. - P. 1-15.

34. Atiyah M.F. Angular momentum, convex polyhedra and algebraic geometry / M.F.Atiyah // Proc. of the Edinburgh Math. Soc. 1983. -V. 26. - P. 121-138.

35. Audin M. The Topology of Torus Actions on Symplectic Manifolds / M.Audin. Progress in Math. 93. Birkhàuser: Boston-Basel-Berlin. -1991. - 181 p.

36. Bajaj C. On the application of multi-equational resultants / C.Bajaj, T.Garrity, J.Warren // Tecnical Report CSD-TR-826, Departament of Computer Science. Purdue University. - 1988.

37. Batyrev V. Quantum cohomology rings of toric manifolds / V.Batyrev // Journées de Géométrie Algébrique d'Orsay (Juillet 1992), Astérisque 218, Société Mathématique de France, Paris. 1993. - P. 9-34.

38. Batyrev V. Toric residues and mirror symmetry / V.Batyrev, E.Materov // Moscow math, journal. 2002. - V. 2. - № 3. - P. 435-475.

39. Bochner S. Analytic and meromorphic continuation by means of Green's formula / S.Bochner // Ann. Math. 1943. - V. 44. - P. 652-673.

40. Bykov V.I. Elimination methods in polynomial computer algebra / V.I.Bykov, A.M Kytmanov, M.Z.Lazman. Dodrecht-Boston-Basel: Kluwer Academic Publishers, - 1998.

41. Cattani E. Computing Multidimensional Residues / E.Cattani, A.Dickenstein, B.Sturmfels // Basel: Birkhauser. Prog. Math. 1996. -V. 143. - P. 135-164.

42. Char B. MapleV Library Reference Manual / B.Char, K.Geddes et allSpringer Verlag: Berlin, New York. 1991.

43. Char B. MapleV Language Reference Manual / B.Char, K.Geddes et all. Springer Verlag: Berlin, New York. - 1991.

44. Char B. MapleV First Leaves: A Tutorial Introduction / B.Char, K.Geddes. Springer Verlag: Berlin, New York. - 1991.

45. Cox D. The homogeneous coordinate ring of a toric variety / D.Cox // J. Algebraic Geom. 1995. - V. 4. - P. 17-50.

46. Cox D. Toric residues / D.Cox // Ark. Mat. 1996. V. 34. P. 73-96.

47. Cox D. Recent Developments in Toric geometry / D.Cox // Providence, RI: American Mathematical Society. Proc. Symp. Pure Math. 1997. -V. 62 - P. 389-436

48. Dwilewicz R. Additive Riemann-Hilbert problem in line bundles over CP1 / R.Dwilewicz // Can. Math. Bull. 2006. - V. 49. - No. 1. - P. 72-81.

49. Fulton W. Introduction to Toric Varieties / W.Fulton. Princeton U. Press. Princeton, NJ. - 1993. - 157 p.

50. Gelfand I.M. Discriminants, resultants and multidimensional determinants / I.M.Gelfand, M.M.Kapranov, A.V.Zelevinsky. -Mathematics: Theory & Applications. Birkhauser Boston Inc., Boston, MA. 1994. - 523 p.

51. Guillemin V. Moment Maps and Combinatorial Invariants of Hamiltonian Tn-spaces / V.Guillemin. Progress in Math. V. 122. Birkhauser: Boston Basel Berlin. 1994. - 150 p.

52. Guillemin V. Convexity properties of the moment mapping / V.Guillemin, S.Sternberg // Invent. Math. 1982. -V. 67. - P. 491-513.

53. Lazard D. Groebner bases, Gaussian elimination and resolution of systems of algebraic equations / D.Lazard // Lect. Notes Comput. Sci. 1983. - V. 162. - P. 146-156.

54. Macauley F.S. Algebraic theory of modular systems / F.S.Macauley. -Cambridge. 1916.

55. Manocha D. MultiPolynomial Resultant Algorithms / D.Manocha, J.F.Canny // J. Symbolic Computation. 1993. - № 15. - P. 99-122.

56. Manocha D. Multipolynomial resultant algorithms and linear algebra / D.Manocha, J.F.Canny // In Proceedings of International Symposium on Symbolic and Algebraic Computation. 1992. - P. 232-241.

57. Martinelli E. Alcuni teoremi integral! per le funzioni analitiche di piu variabili complesse / E.Martinelli // Mem. R. Accad. Ital. 1938. - V. 9. - P. 269-283.

58. Moller H.M. The construction of multivariate polynomials with preassiqued zeros / H.M.Moller, B.Buchbcrger // Lect. Notes Comput. Sei. 1983. - V. 162. - P. 24-31.

59. Moses J. Solution of Systems of Polynomial Equation by Elimination / J.Moses // Commun. of the ACM. 1966. - V. 9. - № 8. - P. 634-637.

60. Oda T. Convex Bodies and Algebraic Geometry / T.Oda. SpringerVerlag. Berlin Heidelberg New York. - 1988. - 212 p.

61. Passare M. Residue currents of the Bochner-Martinelli type / M.Passare, A.Tsikh, A.Yger // Publicacions Matemätiques. 2000. - V. 44. - P. 85-117.

62. Poincare H. Sur les residues des integrales doubles / H. Poincare // Acta Math. 1887. - V. 9. - P. 312-380.

63. Shchuplev A.V. Residual kernels with singularities on coordinate planes / A.V.Shchuplev, A.K.Tsikh, A.Yger // Proc. of the Steklov Inst, of Math. 2006. - V. 253. - P. 256—274.

64. Shchuplev A.V. Toric varieties and residues / A.V.Shchuplev. Doctoral thesis. - Stockholm Univ., Department of Math. - 2007. - 70 p.

65. Tong T.L. Integral representation formulae and Grothendieck residue symbol / T.L.Tong // Amer. J. Math. 1973. - V. 4. - P. 904-917.

66. Winkler F. An algorithm for constructing canonical bases of polynomial ideals / F.Winkler, B.Buchberger, F.Lichtenberger, H.Rolleeetschk // ACM Trans. Math. Software. 1985. - V. 11. - № 1. - P. 66-78.

67. Кытманов A.A. Формы объема для некоторых торических многообразий / А.А.Кытманов // Тр. межд. конф. «Математические модели и методы их исследования». Красноярск: ИВМ СО РАН. - 2001. -Т. 2. - С. 52-55.

68. Кытманов A.A. Об аналоге ядра Бохнера-Мартинелли для одного торического многообразия / А.А.Кытманов // Сб. научн. тр. «Вопросы математического анализа». Красноярск: КрасГТУ, - 2002. - Вып. 5. - С. 48-53.

69. Кытманов A.A. Об одном интегральном представлении в С5 / A.A.Кытманов // Сб. научн. тр. «Многомерный комплексный анализ». Красноярск: КрасГУ. - 2002. - С. 79-89.

70. Кытманов A.A. Об одном классе интегральных представлений в областях пространства Cd / А.А.Кытманов // Материалы XL международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс». Математика. Новосибирск: НГУ. - 2002. -С. 74-75.

71. Кытманов A.A. Об интегральном представлении, связанном с тори-ческим многообразием, которое определяется невыпуклым веером / A.A.Кытманов // Тез. межд. конф. «Многомерный комплексный анализ». Красноярск: КрасГУ. - 2002. - С. 22-23.

72. Кытманов A.A. Об одном классе интегральных представлений в полиэдрах пространства Cd / A.A.Кытманов // Тез. межд. конф,-школы по геометрии и анализу. Новосибирск: Институт математики СО РАН. - 2002. - С. 54.

73. Кытманов A.A. Об одном интегральном представлении, ассоциированном с торическим многообразием, заданным с помощью невыпуклого веера / А.А.Кытманов // Сб. научн. тр. «Вопросы математического анализа». Красноярск: КрасГТУ. — 2003. - Вып. б. - С. 124-133.

74. Кытманов A.A. Об аналоге формы Фубини-Штуди для двумерных торических многообразий / A.A.Кытманов // Сиб. матем. журн. -2003. Т. 44. - № 2. - С. 358-371.

75. Кытманов A.A. О ядрах интегральных представлений как усреднениях формул Коши / А.А.Кытманов // Вестник КрасГУ. Сер. физ.-мат. науки. Красноярск, - 2003. - Вып. 2. - С. 3-9.

76. Кытманов A.A. О построении формы объема для торических многообразий / А.А.Кытманов // Материалы XLI международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс». Математика. Новосибирск: НГУ. - 2003. - С. 46-47.

77. Кытманов A.A. Конструирование ядер интегральных представлений с помощью торических многообразий / А.А.Кытманов // Тезисы межд. школы-конф. «Геометрический анализ и его прил.» -Волгоград: ВолГУ 2004. - С. 107-109.

78. Кытманов A.A. Об одном аналоге формы Фубини-Штуди для торических многообразий / А.А.Кытманов // Сб. научн. тр. «Вопросы математического анализа». Красноярск: КрасГТУ. - 2004. - Вып. 8. - С. 72-84.

79. Кытманов A.A. Об аналоге представления Бохнера-Мартинелли в d-круговых полиэдрах пространства С1/ А.А.Кытманов // Изв. вузов. Математика. 2005. - № 3. (514). - С. 52-58.

80. Кытманов A.A. Вычисление групп когомологий гладких некомпактных двумерных торических многообразий / A.A.Кытманов // Вестник КрасГУ. Сер. физ.-мат. науки. Красноярск, - 2005. - Вып. 1. - С. 103-105.

81. Кытманов A.A. О некоторых обобщениях рекуррентных формул Ньютона / А.А.Кытманов // Вестник КрасГУ. Сер. физ.-мат. науки. Красноярск, - 2006. - Вып. 9. - С. 85-91.

82. Кытманов A.A. Об аналогах рекуррентных формул Ньютона для систем нелинейных уравнений / А.А.Кытманов // Уфимская межд. матем. конф. Уфа: Институт математики с выч. центром УНЦ РАН. - 2007. - Т. 2. - С. 30-31.

83. Kytmanov A.A. Integral representations and volume forms on Hirzebruch surfaces / A.A.Kytmanov // Журнал СФУ. Сер. мат. и физ. Красноярск. - 2008. - Вып. 2. - С. 125-132.

84. Кытманов A.A. Об аналогах рекуррентных формул Ныотоиа / А.А.Кытманов // Изв. вузов. Математика. 2009. - № 10. - С. 40-50.

85. Kytmanov A.A. Toric Varieties in Several Complex Variables / A.A.Kytmanov. LAP Lambert Academic Publishing. 2009. - 100 p.

86. Kytmanov A.A. Averaging of the Cauchy kernels and integral realization of the local residue / A. A.Kytmanov, A.Y. Semusheva // Mathematische Zeitschrift. 2010. - V. 264. - № 1. - P. 87-98.

87. Кытманов A.A. Алгоритм вычисления степенных сумм корней для класса систем нелинейных уравнений / А.А.Кытманов // Программирование. 2010. - № 2.'- С. 55-63.