Алгоритмы типа Энке в переменных Кустаанхеймо-Штифеля в задачах динамики особых астероидов и спутников планет тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.03.01, кандидат физико-математических наук Авдюшев, Виктор Анатольевич

• Авдюшев, Виктор Анатольевич
• кандидат физико-математических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Авдюшев, Виктор Анатольевич

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. ПОСТРОЕНИЕ АЛГОРИТМОВ ЧИСЛЕННОГО ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ДВИЖЕНИЯ В КЗ-ЭЛЕМЕНТАХ

1Л. Регуляризация уравнений движения

1.2. Преобразования, исключающие дифференциальное уравнение для быстрой переменной из системы уравнений движения. Метод Шарковского

1.3. Другие способы исключения дифференциального уравнения для быстрой переменной из системы уравнений движения

1.4. Проблема стабилизации в КБ-теории

ГЛАВА 2. АЛГОРИТМЫ ТИПА ЭНКЕ В ПЕРЕМЕННЫХ

КУСТААНХЕЙМО-ШТИФЕЛЯ

2.1. Основные принципы построения уравнений в алгоритмах типа Энке

2.2. Построение алгоритмов типа Энке в переменных Кустаанхеймо-Штифеля

ГЛАВА 3. ЧИСЛЕННЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ ПО ОЦЕНКЕ ЭФФЕКТИВНОСТИ АЛГОРИТМОВ НА ПРИМЕРЕ ИССЛЕДОВАНИЯ ДВИЖЕНИЯ ОСОБЫХ АСТЕРОИДОВ И СПУТНИКОВ ЮПИТЕРА

3.1. Постановка эксперимента

3.2. Численные модели движения объектов

3.2.1. Выбор объектов

2

3.2.2. Моделирование возмущающих сил

3.3. Неявный одношаговый алгоритм Эверхарта для решения обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка

3.4. Сравнительный анализ эффективности алгоритмов

3.5. Исследование стабилизации уравнений движения . 63 ГЛАВА 4. ПОСТРОЕНИЕ ЧИСЛЕННОЙ МОДЕЛИ

ДВИЖЕНИЯ ГАЛИЛЕЕВЫХ СПУТНИКОВ ЮПИТЕРА

4.1. Аналитическая теория движения галилеевых спутников Лиске

4.2. Уравнения движения спутников в переменных Кустаанхеймо-Штифеля

4.3. Модель возмущающих сил

4.4. Анализ структуры возмущений

4.5. Оценка точности численной модели движения галилеевых спутников

4.6. Получение начальных параметров движения численной модели из теории Лиске

4.7. Сопоставление результатов численной модели движения галилеевых спутников с аналитической теорией Лиске

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ЛИТЕРАТУРА

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Алгоритмы типа Энке в переменных Кустаанхеймо-Штифеля в задачах динамики особых астероидов и спутников планет»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность проблемы. В настоящее время применение радиотехнических и квантово-оптических средств измерения выдвигают повышенные требования к точности и быстродействию численных алгоритмов прогнозирования пространственных положений наблюдаемых объектов. Это обстоятельство, а также возросший в последние годы интерес к задачам долгосрочной динамической эволюции небесных тел Солнечной системы приводят к необходимости дальнейшего совершенствования методик исследования движения и ставят задачу создания высокоточных численных моделей движения в ряд актуальных задач прикладной небесной механики.

Цель работы. Целью настоящей работы является развитие высокоточных алгоритмов долгосрочного прогнозирования движения астероидов и спутников планет на основе дифференциальных уравнений типа Энке в переменных Кустаанхеймо-Штифеля (КБ) и оскулирующих кеп-леровских элементах, исследование их эффективности и применение в задачах динамики рассматриваемых объектов.

Научная новизна. В диссертации предложены новые алгоритмы высокоточного прогнозирования движения астероидов и спутников планет. основанные на применении регуляризированных и стабилизированных уравнений движения. Применительно к системам дифференциальных уравнений в КБ-переменных и оскулирующих кеплеровских элементах разработан ряд методик замены дифференциального уравнения для быстрой переменной уравнением для медленной переменной, не содержащей явно в правой части быстрых переменных. На основе нового опорного решения выведены дифференциальные уравнения типа Энке в КБ-переменных и в оскулирующих кеплеровских элементах. Впервые построена численная модель движения галплеевых спутпиков Юпитера, позволяющая на длительных интервалах времени с высокой точностью определять их пространственные положения. Для моделирования движе-

ния галилеевых спутников использовалась полученная автором система дифференциальных уравнений в КБ-элементах возмущенной задачи пяти тел.

Практическая значимость. Разработанное математическое и программное обеспечение может быть использовано в задачах высокоточного и долгосрочного прогнозирования движения астероидов и спутников планет, для исследования структуры возмущений и при улучшении параметров движения этих объектов по данным измерений.

Апробация работы. Результаты, полученные в диссертации докладывались на Всероссийской конференции с международны?*г участием "Компьютерные методы небесной механики" (Санкт-Петербург, 1995), на IV Международном семинаре "Позиционная астрономия и небесная механика" (Испания, 1997), на XXVI (Коуровка, 1997), XXVII (Коуровка, 1998) Международных студенческих научных конференциях "Физика космоса", на Международной научной конференции "Всесибирские чтения по математике и механике" (Томск, 1997), на Всероссийской конференции с международным участием "Компьютерные методы небесной механики" (Санкт-Петербург, 1997), на Международной научной конференции "Новые теоретические результаты и практические задачи небесной механики" (Москва. 1997).

По результатам, приведенным в диссертации, опубликованы 11 научных работ.

Диссертация изложена на 110 страницах машинописного текста, содержит 40 рисунков и 7 таблиц и состоит из введения, 4 глав, заключения и списка использованных литературных источников (5-3 наименований) .

Как известно, используемые в классической небесной механике ньютоновские .уравнения движения небесных тел сингз'лярны в окрестности соударений гравитирующнх масс. В практических задачах небесной механики прямые соударения тел. как правило, не рассматриваются. Однако наличие особенностей в уравнениях движения вызывает прпнциппаль-

ные практические сложности в их численном решении. Дело в-том, что при численном исследовании наличие тесных сближений гравитирующих масс приводит к значительному возрастанию функций правых частей дифференциальных уравнений движения на соответствующих участках траектории, что с необходимостью влечет за собой значительное уменьшение шага интегрирования, а следовательно, увеличение объема вычислений и потерю точности численного решения. В практических задачах тесные сближения происходят довольно часто. Характерным примером является возмущенная задача двух тел, где тесные сближения имеют место в перицентре сильно эксцентрической орбиты. Поэтом}' регуляризация дифференциальных уравнений движения является одной из наиболее важных задач небесной механики, направленной на повышение эффективности численного интегрирования.

Проблема регуляризации двойных соударений в задаче трех тел в пространственном случае впервые была рассмотрена К.Сундманом [1]. В частности, было выведено регуляризирующее преобразование независимой переменной, которое нашло применение во многих методах регуляризации двойных соударений, предложенных после К.С'ундмана, Т.Леви-Чивита [2] удалось получить преобразование координат для плоского случая, позволяющее вместе с временным преобразованием К.С'ундмана привести уравнение движения невозмущенной задачи двух тел к линейному виду.

В дальнейшем появилось много работ, посвященных построению различных регулярпзирующих преобразований [3, 4, 5]. Детальный обзор работ на эту тему представлен В.Себехеем [4], который исследовал регуляризацию в ограниченной задаче трех тел. Разработан ряд методов [5. 6, 7], понижающих порядок сингулярности дифференциальных уравнений и регуляризирующих их решение путем использования различных преобразований независимой переменной.

Сравнительно недавно П.Кустаанхеймо п Е.Штифелю [8, 9] удалось продолжить координатное преобразование Леви-Чивита на четырехмер-

ное пространство и это позволило обобщить линейную теорию задачи двух тел для пространственного случая.

Д.Хегги [10] предложены более общие регулярпзпрующпе алгоритмы, устраняющие особенности дифференциальных уравнений движения в окрестностях двойных соударений в общей задаче Х-тел. Алгоритмы Хегги нашли широкое применение в практических задачах небесной механики [11, 12, 13].

Работы Д.Хегги [10], Е.Штифеля и Г.Шайфеля [8]. а также другие работы, выполненные в последние годы, показали исключительную важность регуляризации для численного решения задач небесной механики.

Заметный вклад в развитие К Я-алгоритмов внес коллектив специалистов НИИ прикладной математики и механики Томского университета под руководством Т.В.Бордовицыной. Работы томских авторов [13, 14. 15]. посвященные теоретическим и экспериментальным исследованиям регуляризирующих и стабилизирующих преобразовании Куотаанхеймо-Штифеля на предмет эффективности их использования в численных моделях движения различных небесных объектов, позволили значительно расширить область их применения во многих прикладных задачах небесной механики.

В плане численного интегрирования существенный недостаток систем дифференциальных уравнений в регуляризирующих переменных заключается в том. что они содержат уравнение для быстрой переменной (физического времени, либо временного элемента). Данный недостаток характерен не только для регулярных систем. Вообще1 численное интегрирование систем с дифференциальными уравнениями для быстрых и неограниченно возрастающих переменных сопряжено с известными трудностями. Во-первых, они задают малый шаг интегрирования, а во-вторых, вычисления больших величин быстрых переменных, как и функций правых частей их дифференциальных уравнений, за счет ошибок округления приводят к значительной потере точности численного решения.

В руководствах по небесной механике рекомендуется вместо быстрых переменных (долгот или аномалий) вводить переменные типа средних долгот эпохи, либо момента прохождения через перицентр. Преимущество таких новых переменных - постоянство в невозмущенном движении. Однако переход к новым переменным приводит к тому, что в системе дифференциальных уравнений возмущенного движения появляются уравнения, правые части которых явно зависят от быстрой переменной и неограниченно возрастают со временем. Поэтому для таких систем всегда существует определенный интервал времени, вне которого возмущения перестают быть малыми. В силу сказанного выше в задачах исследования долгосрочной эволюции движения предпочитают не иметь дело с такими системами.

Оригинальный .метод исключения дифференциального уравнения для быстрой переменной был предложен Н.А.Шарковским [16]. Путем введения в качестве независимой переменной кеплеровской эксцентрической аномалии им была получена система в которой дифференциальное уравнение для физического времени интегрируется в квадратурах и это позволило исключить его из системы интегрируемой численно.

В данной диссертации на примере систем дифференциальных уравнений в КБ-переменных и кеплеровских элементах с независимой переменной эксцентрической аномалией автором представлен метод преобразования уравнения для быстрой переменной, связанной с физическим временем. к уравнению для некоторой медленной переменной т8. Особенность предложенного способа преобразования уравнения для быстрой переменной путем перехода к каким-либо медленным переменным в отличие от принятых в классической небесной механике состоит в том, что получаемое уравнение при слабых возмущениях имеет малую правую часть на длительных интервалах времени. Идея метода проста и главным образом состоит в удачном использовании переменных как возмущенной, так и невозмущенной задач.

Другим способом повышения точности п быстродействия числе нно-

го интегрирования является преобразование дифференциальных уравнений по принципу Энке [17, 18. 19]. Основная идея метода Энке состоит в том. чтобы подобрать такую опорную орбиту, которая в течение длительного времени была бы близка реальной эволюционирующей орбите. Для отклонений параметров реальной орбиты от соответствующих величин на опорной траектории составляется система дифференциальных уравнений, которая затем интегрирз'ется численными методами. Таким образом, метод Энке нацелен на то. чтобы получить такие дифференциальные уравнения, численное интегрирование которых не требовало бы вычислительных операций с большими величинами.

В классическом методе Энке в качестве опорной используется орбита невозмущенной задачи двух тел. В последнее время предпринимались попытки усовершенствовать метод Энке щ'тем использования лучшей опорной орбиты.

Перспективным для построения таких опорных орбит оказался подход. основанный на идее введения фиктивного притягивающего центра [20]. Этот подход получил развитие в работах Ю.В.Батракова [21]. Построенные автором промежуточные траектории в методе Энке задают движение по кеплеровской орбите относительно фиктивного притягивающего центра.

Продолжая работы Батракова, В.А.Шефер [22] предложил в качестве опорного решения в методе Энке рассматривать движение по промежуточной траектории относительно фиктивного центра, которое при этом не1 является кеплеровским, а описывается уравнениями задачи Гюльдена-Мещерекого.

У.Т.Каннер и М.М.Беннет показали [23], что при интегрировании уравнений движения низкого спутника Земли метод Энке можно улучшить, если при построении опорной траектории учесть эффект первого порядка от сжатия Земли.

Весьма эффективным для численного исследования движения близких спутников планет может быть использование уравнений Энке с

опорным решением задачи двух неподвижных центров, полученных Н.А.Сорокиным [24].

В настоящей диссертации автором излагается алгоритм построения уравнений Энке на основе дифференциальных уравнений в КЗ-переменных с опорным решением, представляющим невозмущенное движение в КЗ-пространстве, причем в качестве независимой переменной используется аналог возмущенной эксцентрической аномалии. Метод Энке в КЗ-пнтерпретацпи имеет разнообразные преимущества. Во-первых, преобразование Энке не требует специальных алгебраических действий над исходными дифференциальными уравнениями с целью устранения вычитаний близких по значению величин. Во-вторых, в результате преобразования формульный вид дифференциальных уравнений принципиально не меняется. В частности, дифференциальные уравнения Энке, описывающие движение в КЗ-пространстве, также имеют вид уравнений возмущенного гармонического осциллятора. В-третьих, опорное решение выражается явно через независимую переменную (эксцентрическую аномалию ).

Сравнительный анализ численных алгоритмов, проведенный в диссертации, показал, что КЗ-регуляризация может стать эффективным средством для исследования долгосрочного движения на интервалах времени порядка десятков тысяч оборотов объекта.

В настоящей работе алгоритмы, основанные на КЗ-регуляризации, используются для численного моделирования движения галилеевых спутников Юпитера.

Для исследования движения и вычисления эфемерид близких спутников планет традиционно применяются аналитические методы [25, 26]. Численные .методы, несмотря на универсальность и простоту реализации. практически не используются для этих целей.

Главной особенностью движения близких спутников планет являются большие величины среднего движения этих объектов. Принято считать, что на интервалах времени в 100 и более лет, охваченных наблюдения-

мп, численные методы не способны обеспечить точность прогнозирования движения, сравнимую с точностью наблюдений. По-видимому, это мнение оправдано при использовании в численном моделировании классических уравнений небесной механики, которые сингулярны в окрестности начала координат, а их решения неустойчивы по Ляпунову.

В настоящей работе, на основе регуляризирующих п стабилизирующих преобразований Кустаанхеймо-Штифеля построена численная модель движения галплеевых спутников Юпитера. По аналитической теории Лиске [27. 28. 29] получена и улучшена система начальных параметров численной модели. Кроме того, выполнена оценка внутренней точности численной модели при долгосрочном прогнозировании движения на интервале времени 200000 оборотов По 1000 лет). При этом ошибка модели составила Дг = 4 ■ Ю-10 а,е.. Таким образом, результаты оценки точности численной модели указывают на ее пригодность для целей долгосрочного прогнозирования движения галилеевых спутников на интервалах времени значительно превышающих интервалы, охваченные наблюдательными данными.

Содержание работы. В первой главе рассматриваю гея особенности регуляризирующих II стабилизирующих преобразовании Куетаанхсймо-Штпфеля. приводящих дифференциальные .уравнения движения возмущенной задачи двух тел к виду уравнений возмущенного гармонического осциллятора и к уравнениям в регулярных КБ-элементах. Указываются основные трудности в реализации на ЭВМ программ численного моделирования движения, основанных на дифференциальных уравнениях в КЗ-переменных. В частности, эти трудности обусловлены наличием в системах дифференциальных уравнений уравнения для быстрой переменной. В настоящей главе предлагаются способы его исключения из системы дифференциальных уравнений, решаемой численно. Представлены основные принципы метода Шарковского и его модификаций. Излагается новый метод исключения дифференциального уравнения для быстрой переменной путем введения временного элемента г,.

Обсуждается проблема стабилизации в КЗ-теории. Обосновывается стабилизация неустойчивых систем дифференциальных уравнений в КЗ-переменных в слабовозмущенных задачах.

Вторая глава полностью посвящена алгоритмам типа Энке. Следуя идее Энке, на примере уравнений в оскулирующих кеплеровских элементах и регулярных КЗ-элементах рассматриваются различные способы построения дифференциальных уравнений движения в отклонениях (возмущениях), основанные на выборе в качестве опорных кеплеровского решения и решения невозмущенного гармонического осциллятора с эксцентрической аномалией как независимой переменной. Показано, что выбор последнего решения позволяет также записать уравнения движения в отклонениях в виде уравнений возмущенного гармонического осциллятора. Кроме того, это решение позволяет точнее аппроксимировать возмущенное решение в сравнении с кеплеровским на длительных интервалах времени от нескольких сот до тысячи оборотов объектов в зависимости от величины действующих возмущений.

В третьей главе на примере астероидов земной группы (Алинда, Икар. Фаэтон) и шестого спутника Юпитера исследуются практические возможности реализованных на ЭВМ численных алгоритмов. Обсуждаются способы оценки эффективности алгоритмов и дается обоснование выбора критериев эффективности. Излагаются основные принципы построения численного метода интегрирования дифференциальных уравнений первого порядка, разработанного Эверхартом [30]. Обосновывается выбор объектов с целью исследования регуляризирующих и стабилизирующих эффектов рассматриваемых дифференциальных уравнений.

Анализ результатов, полученных численным интегрированием различных систем дифференциальных уравнений, позволяет выделить класс-алгоритмов, включающих алгоритм Шарковского вместе с его модификациями и алгоритмы типа Энке с новым опорным решением, отличающиеся высокой эффективностью как по точности, так и по быстродействию.

На примере гипотетических спутников Юпитера с начальными оску-

лнрующими круговыми орбитами исследована зависимость стабилизирующего эффекта алгоритмов в параметрических КБ-переменных от величины действующей неконсерватпвной силы. Как показывают результаты исследований, стабилизирующий эффект проявляется для близких спутников со слабовозмущенными орбитами, но по мере удаления спутниковых орбит от притягивающего центра и возрастания солнечных возм}^-щений этот эффект ослабевает. Для наиболее характерных орбит того и другого типа численным интегрированием получены прямые оценки устойчивости решения дифференциальных уравнений движения в КЗ-элементах.

Четвертая глава посвящена построению численной модели движения галилеевых спутников Юпитера (Ио. Европа. Ганимед, Калли-сто) на основе регуляризирующих и стабилизирующих преобразованиях Кустаанхеймо-Штпфеля. Согласно динамическим свойствам галилеевых спутников исследование их движения проводится в рамках возмущенной задачи пяти тел. Автором получены дифференциальные уравнения для этой задачи с использованием в качестве независимой переменной возмущенной эксцентрической аномалии спутника Ио.

Для обоснования целесообразности учета тех или иных возмущений в численной модели проведен анализ их структуры и оценен вклад различных возмущающих факторов в движение галилеевых спутников.

Излагается двухконтурный алгоритм интегрирования уравнений движения и уравнений в вариациях [31]. предназначенный для улучшения начальных параметров численной модели движения галилеевых спутников. Используя теорию Лиске для моделирования наблюдений, получена и улучшена система начальных параметров численной модели движения галилеевых спутников. Оценивается внутренняя точность численной модели. Проводится анализ расхождений результатов численного моделирования в сопоставлении с теорией Лиске на 100-летнем интервале времени (с 1926 до 2026 г.).

Основные положения, выносимые на защит}'. Автор выносит на защиту решение задачи высокоточного прогнозирования движения астероидов земной группы и спутников планет численными алгоритмами. В процессе решения поставленной задачи получены следующие результаты.

1. Разработан алгоритм преобразования дифференциальных уравнений для быстрых переменных, понижающий скорость изменения функций их правых частей. Модифицирован и обобщен алгоритм Шарковского на случай систем уравнений в оскулирующих кеплеровских элементах.

2. Доказано и подтверждено численным экспериментом положение о неустойчивости систем дифференциальных уравнений в КБ-переменных. При этом обоснован эффект стабилизации этих систем в случае консервативных сил.

3. На основе нового опорного решения получены уравнения Энке в КЗ-переменных и оскулирующих кеплеровских элементах.

4. На примере особых астероидов и спутников планет проведен сравнительный анализ эффективности реализованных на ЭВМ численных алгоритмов. Выработан ряд приемов оценки их эффективности. Обосновано преимущество разработанных автором алгоритмов при использовании их в задачах исследования долгосрочной динамической эволюции астероидов и спутников планет.

5. На основе регуляризирующих и стабилизирующих преобразований Кустаанхеймо-Штифеля построена численная модель движения галиле-евых спутников Юпитера. По аналитической теории Лиске получена и улучшена система начальных параметров численной модели движения спутников. Оценки внутренней точности численной модели показали, что она вполне пригодна для целей долгосрочного прогнозирования движения галилеевых спутников на интервалах времени значительно превышающих интервалы, охваченные наблюдательными данными. Получены прямые оценки влияния основных возмущающих факторов, учитываемых в численной модели.

В заключении автору хотелось бы выразить особую благодарность своему научному руководителю, кандидату физико-математических наук Быковой Л.Е. и научному консультанту, доктору физико-математических наук Бордовицыной Т.В., чье участие в совместной работе значительно способствовало успешному завершению диссертации. Также автор считает приятным долгом поблагодарить своих научных коллег за критические замечания и полезные обсуждения.

Заключение диссертации по теме «Астрометрия и небесная механика», Авдюшев, Виктор Анатольевич

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В процессе решения поставленной в диссертации задачи получены следующие результаты.

Е Разработаны алгоритмы исключения дифференциального уравнения для быстрой переменной из системы уравнений движения. На основе нового опорного решения методом Энке получены уравнения движения в возмущениях КЗ-переменных и оскулирующих кеплеровских элементов.

Численные исследования свидетельствуют, что применение вышеупомянутых алгоритмов в задачах численного прогнозирования движения открывают значительные возможности в повышении точности и быстродействия вычислительного процесса.

2. Доказано теоретически и подтверждено численным экспериментом положение о ляпуновской неустойчивости решений систем дифференциальных уравнений движения небесных тел в КЗ-переменных. При этом обоснован эффект стабилизации этих решений в случае консервативных сил.

3. На примере особых астероидов и спутников планет проведен сравнительный анализ эффективности реализованных на ЭВМ численных алгоритмов. Анализ показал, что КЗ-регуляризация совместно с методами исключения уравнения для быстрой переменной может стать эффективным средством для исследования движения малых тел С олнечной системы на интервалах времени порядка десятков тысяч оборотов объекта. Кроме того, представленные алгоритмы обнаруживают свои преимущества на примере объектов со слабовозмущенными и сильновытянутыми орбитами и теряют их в случаях сильновозмущенных и почти круговых орбит.

4. Практическим результатом выполненных в диссертации исследований является построение численной модели движения галилеевых спутников Юпитера на основе уравнений в КЗ-элементах. Построенная численная модель обладает высокой точностью (при ошибке численной модели А г = 4 • Ю-10 а.е. на ~ 1000 лет), достаточной для прогнозирования движения галилеевых спутников на интервалах времени, значительно превышающих интервалы, охваченные наблюдательными данными.

Следует отметить, что разработанное математическое и программное обеспечение может использоваться для решения целого ряда задач, а именно: вычисления высокоточных эфемерид галилеевых спутников, исследования эволюции их орбит на больших интервалах времени, построения численных моделей движения других объектов. В рамках задачи многих тел начальные параметры численной модели галилеевых спутников могут использоваться при учете возмущений от этих спутников в движении других спутников системы Юпитера.

Замечание. В публикациях по содержанию диссертации, в соавторстве с Т.В.Бордовицыной, Л.Е.Быковой и Л.В.Тимошенко, Т.В.Бордовицына и Л.Е.Быкова принимали участие в постановке задачи и обсуждении результатов. Л.В.Тимошенко принадлежат результаты по классическому методу Энке, которые в настоящей диссертации не использовались.

-1 Г\ л

-Ш4

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Авдюшев, Виктор Анатольевич, 1999 год

ЛИТЕРАТУРА

1. Sundman K.F. Memoire sur le probleme des trois corps // Acta Math., 1912, v.36, p. 105-179.

2. Levi-Civita T. Traiettorie singulari eel urti liel problema ristretto dei tre corpi // Ann. di mat.pura ed appl., 1903, v.9, p. 1-32.

3. Stiefel E., Rossler M„ Waldvogel J., Burdet C.A. Methods of regularization for computing orbits in celestial mechanics. - Washington: 1967. 124 p.

4. Себехей В. Теория орбит. - М.: Наука, 1982. 656 с.

5. Baumgarte J., Stiefel Е. Examples of the transformations improving the numerical accuracy of the integration of differential equations // Lect.Not. in Math., 1974, v.362, p. 207-236.

6. Шефер В.А. Влияние временных преобразований на эффективность численного интегрирования регуляризированных уравнений движения // Анализ движения тел Солнечной системы и их наблюдения / Отв. ред. Л.Лауцениекс. - Рига: ЛГУ им. П.Стучки. 1986. с. 103-125.

7. Brumberg E.V. Length of Arc as Independent Argument for Highly Eccentric Orbits // Celest. Mech., 1992. v.53, p. 323-328.

8. Штифель E., Шайфель Г. Линейная и регулярная небесная механика. - М.: Наука, 1975. - 304 с.

9. Deprit A., Elipe A., Ferrer S. Linearization: Laplace versus Stiefel // Celest. Mech., 1994. v.58, p. 151-201.

10. Heggie D.C. A global regularization of the gravitational N-bocly problem // Celest. Mech., 1974. v.10, p. 217-242.

11. Mikkola S. A practical and regular formulation of the N-bocly equations // Mon. Notic. Roy. Astron. Soc., 198-5. 21-5, p. 171-177.

12. Aarseth S..J., Zare K. A regularization of the three-body problem // Celest. Mech., 1976. v.14, p. 69-71.

13. Шефер В.А. Алгоритм численного исследования движения особых малых планет, основанный на двойной регуляризации уравнений движения // Астрономия и геодезия. Томск: Изд-во ТГУ, 1980, вып.8. с. 81-91.

14. Бордовицына Т.В., Шарковский H.A. Эффективные алгоритмы численного моделирования движения Фобоса, спутника Марса // Изв. вузов. Физика, Томск: Изд-во ТГУ, 1994. т.37, с. 8-12.

15. Бордовицына Т.В., Быкова Л.Е., Авдюшев В.А. Проблемы применения регуляризирующих и стабилизирующих преобразований в задачах динамики спутников планет и астероидов / / Астрономия и геодезия. Томск: Изд-во ТГУ, 1998, вып.16. с. 33-57

16. Шарковский H.A. Вариационные алгоритмы Энке // Алгоритмическое и программное обеспечение теории движения ИСЗ. Л.: Изд-во ИТА АН СССР, 1990. с. 71-72.

17. Херрик С. Астродинамика. - М.: Мир, 1977, т.2, 263 с.

18. Рой А. Движение по орбитам. - М.: Мир, 1981. - 544 с.

19. Брауэр Д., Клеменс Дж. Методы небесной механики. - М.: Мир, 1964. - 514 с.

20. Shaikh N.A. A new perturbation method for computing Earth-Moon trajectories // Astronaut.acta., 1966. v.12, p. 207-211.

1 S~\ n

iUO

21. Батраков Ю.В., Макарова Е.Н. Обобщенный метод Энке для изучения возмущенного движения // Бюл. ИТА АН СССР, 1979. т.14, с. 397-401.

22. Шефер В.А. Обобщенные методы Энке для исследования возмущенного движения // Астрономия и геодезия. Томск: Изд-во ТГУ, 1998, вып. 16. с. 149-171

23. Купег W.T., Benett М.М. A modified Encke special perturbation method // Astron. J., 1966. v.71, p. 579-584.

24. Сорокин H.A. Дифференциальные уравнения движения ИСЗ в задаче двух неподвижных центров и их численное интегрирование // Научные информации. - М: Изд-во ИА АН СССР, 1991. вып.69, с. 114-123.

25. Феррас-Меллу С. Динамика галилеевых спутников Юпитера. - М.: Мир, 1983. - 136 с.

26. Уральская B.C. Система Юпитера. Еалилеевы спутники // Итоги науки и техники. Исследование космического пространства, 1991. т.35, с. 39-51.

27. Lieske .J.H. A Method of Revitalizing Sampson's Theory of the Galilean Satellites // Astron. Astrophys.. 1974. v.31. p. 137-150.

28. Lieske J.H. Theory of Motion of Jupiter's Galilean Satellites // Astron. Astrophys., 1977. v.56, p. 333-352.

29. Lieske J.H. Galilean Satellites Ephemerides E-5 // Astron. Astrophys., 1998. v.129, p. 205-217.

30. Everhart E. Implicit Single-Sequence Methods for Integrating Orbits // Celest.Mecli., 1974, v.10, p. 35-55.

31. Бордовицына Т.В., Быкова Л.Е., Кардаш A.B., Федяев Ю.А., Шар-ковский H.A. Эффективные алгоритмы численного моделирования движения ИСЗ // Изв. вузов. Физика, Томск: Изд-во ТГУ. 1992. т.35, с. 62-70.

32. Авдюшев В.А. Численные алгоритмы типа Энке в регуляризирую-щих элементах // Исследования по баллистике и смежным вопросам механике: Сборник статей. Томск: Изд-во ТГУ, 1997. с. 121-125.

33. Субботин М.Ф. Введение в теоретическую астрономию. - М.: Наука, 1968. - 800 с.

34. Дубошин Г.Н. Небесная механика. Основные задачи и методы. - М.: Наука, 1968. - 800 с.

35. Батраков К).В., Соколов В.Г. Об устойчивости регуляризированных решений задачи двух тел // Компьютерные методы небесной механики - 95, СПб.: Изд-во ИТА РАН, 1995. с. 28-29.

36. Козлов Е.А., Соколов В.Г. Об устойчивости численного решения ре-гуляризированных уравнений в случае эллиптического двшкения // Компьютерные методы небесной механики - 97, СПб.: Изд-во ИТА РАН, 1997. с. 84-88.

37. Бордовицына Т.В. Сравнительная характеристика различных критериев оценки точности численного интегрирования уравнения движения небесных тел // Астрономия и геодезия. Томск: Изд-во ТГУ, 1986, вып.14. с. 88-92.

38. Эфемериды малых планет на 1994 год. - СПб.: Изд-во ИТА РАН, 1993. 552 с.

39. Бордовицына Т.В., Быкова Л.Е. Теории двшкения и эфемериды VI и VII спутников Юпитера на 1979-2000 годы. - Томск: Изд-во ТГУ, 1978. - 120 с.

40. Kammeyer P. Compressed Planetary and Lunar - Ephemerides // Celest. Mech., 1989. v.45, p. 311-316.

41. Бордовицына Т.В. Современные численные методы в задачах небесной механики. - М.: Наука. 1984. - 136 с.

42. Холл Дж., Уатт Дж. Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. - М.: Мир. 1979. - 312 с.

43. Everhart Е. On Efficient Integrator of Very High Order and Accuracy with Appendix Listing of RADAU // Denver., Univ. of Denver, 1974. -p. 20.

44. Бордовицына 'Т.В. Итоги всесоюзного эксперимента по исследованию эффективности алгоритмов и программ численного интегрирования уравнений движения небесных тел // Астрономия и геодезия. Томск: Изд-во ТТУ, 1984, вып.12, с. 5-17.

45. Тарасевич С.В. Алгоритм RADAU эффективного численного интегрирования с высокой точностью систем обыкновенных дифференциальных уравнений первого и второго порядков. Препринт ИТА АН СССР, Л., 1975. - 6 с.

46. Хайрер Э., Нерсетт С., Ваннер Е. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи. - М.: Мир, 1990. - 512 с.

47. Sampson R.A. Tables of the Four Great Satellites of .Jupiter. London. Wesley. 1910.

48. Справочное руководство по небесной механике и астродинамике/ под ред. F.H. Дубошина. - М.: Наука, 1971. 862 с.

49. Бордовицына Т.В., Быкова Л.Е.. Бороненко Т.С.. Тамаров В.А., Шарковский H.A., Шмидт Ю.Б. Численные и численно-аналитические алгоритмы прогнозирования двшкения ИСЗ. - Томск: Изд-во ТГУ, 1991. 156 с.

50. Эльясберг П.Е. Определение движения по результатам измерений. -М.: Наука, 1976. - 416 с.

51. Biancale R., Ferraz-Mello S., Tsuchicla M. Comparison of Sampson-Lieske theory of the Galilean satellites of Jupiter with observations // Celest.Mech., 1982, v.26, p. 225-228.

52. Бендат 1Ьк.. Пирсол А. Применения корреляционного и спектрального анализа. - М.: Мир, 1983. - 312 с.

53. IERS Stanclarts. - IERS Technical Note. Paris: Central Bureau of IERS, 1992. 150 p.