Численное моделирование движения резонансных астероидов, сближающихся с землей тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.03.01, кандидат физико-математических наук Галушина, Татьяна Юрьевна

• Галушина, Татьяна Юрьевна
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Галушина, Татьяна Юрьевна

ВВЕДЕНИЕ

• 1 Общие сведения об астероидах, сближающихся с Землей

1.1 Популяция АСЗ

1.2 Астероидная опасность.

1.3 Проблемы и методы исследования орбитального движения

1.4 Резонансные астероиды.

2 Дифференциальные уравнения движения и метод интегрирования

2.1 Вводные замечания

2.2 Дифференциальные уравнения движения.

2.2.1 Классические уравнения возмущенной задачи двух тел. Модель сил.

2.2.2 Уравнения с модифицированным временнйм преобразованием сундмановского типа.

2.3 Метод Эверхарта численного интегрирования обыкновен

I ных дифференциальных уравнений

3 Программно-математическое обеспечение (ПМО) для исследования движения астероидов

3.1 Задачи, решаемые с помощью ПМО.

3.2 Алгоритмы численного моделирования движения астероидов

3.2.1 Выявление сближений астероидов с большими планетами

3.2.2 Вычисление резонансных характеристик 3.2.3 Алгоритм построения вероятностной области движения астероида.

1 3.3 Прикладная программная система «Ассоль».

3.3.1 Вводные замечания.

3.3.2 Диалоговый режим системы

3.3.3 Демонстрационный режим системы.

3.3.4 Тестирование системы.

4 Исследование эффективности использования различных стабилизирующих и регуляризирующих преобразований дифференциальных уравнений движения в задачах динамики особых астероидов

4.1 Особенности дифференциальных уравнений движения

4.2 Стабилизация дифференциальных уравнений движения

4.2.1 Вводные замечания.

4.2.2 Метод Баумгарта.

4.2.3 Метод Накози.

4.3 Регуляризация и стабилизация дифференциальных уравнений движения

4.3.1 Преобразование Кустаанхеймо-Штифеля.

4.3.2 Стабилизированные уравнения с модифицированным временным преобразованием сундмановского типа

4.3.3 Модифицированные уравнения в переменных Кустаан

Ф хеймо-Штифеля

4.4 Уравнения типа Энке в переменных Кустаанхеймо-Штифеля

4.5 Исследование эффективности алгоритмов.

4.5.1 Методика исследования.

4.5.2 Сравнительная эффективность алгоритмов.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численное моделирование движения резонансных астероидов, сближающихся с землей»

Актуальность проблемы.

Обширный и постоянно пополняющийся вновь открываемыми объектами класс астероидов, сближающихся с Землей (АСЗ) и другими планетами, привлекает в настоящее время пристальное внимание специалистов по целому ряду причин, главной из которых является «астероидная опасность» для Земли, исходящая от этих объектов. Наличие резонансных взаимодействий между такого рода астероидами и большими планетами играет очень важную роль в процессе орбитальной эволюции астероидов. В случае устойчивого резонанса эти взаимодействия могут служить механизмом, защищающим от столкновений с Землей, а в неустойчивом случае могут приводить к возникновению хаотичности движения и делать орбитальную эволюцию объекта непредсказуемой. В этой связи исследование движения астероидов в окрестности резонансов является весьма актуальной задачей небесной механики. Сложная динамика резонансных АСЗ делает также актуальной задачу развития методов исследования движения такого рода объектов.

Целями работы являются:

- разработка алгоритмического и программного обеспечения для исследования долговременной орбитальной эволюции астероидов;

- выявление АСЗ, движущихся в окрестности резонансов низких порядков с большими планетами;

- исследование долговременной орбитальной эволюции АСЗ, движущихся в окрестности резонансов 5/2 с Юпитером и 1/1 с планетами земной группы.

Научная новизна работы состоит в следующем:

- разработаны алгоритмы, направленные на регуляризацию сближений АСЗ с третьим телом и основанные на введении модифицированного преобразования сундмановского типа в стабилизированные уравнения движения;

- исследована эффективность использования в задачах численного моделирования различных форм представления дифференциальных уравнений движения особых астероидов;

- выявлены АСЗ, имеющие соизмеримости низкого порядка со средними движениями больших планет;

- построены области возможных движений АСЗ, движущихся в окрестности резонансов 5/2 с Юпитером и 1/1 с планетами земной группы на интервале времени несколько тысяч лет; области возможных движений строились как отображения во времени некоторых начальных областей, полученных из анализа наблюдений рассматриваемых АСЗ.

Практическая значимость работы:

- создана прикладная программная система, предназначенная для исследования движения и орбитальной эволюции астероидов; данная система может быть использована в исследовательских и учебных целях;

- составлен перечень АСЗ, движущихся в окрестности резонансов низких порядков с большими планетам, оценены размеры резонансных областей для этих АСЗ на интервале времени около 1000 лет;

- построены области возможных движений АСЗ, движущихся в окрестности резонансов 5/2 с Юпитером и 1/1 с внутренними планетами на интервале времени в несколько тысяч лет.

Апробация работы.

Результаты работы докладывались на:

- всероссийской научной конференции «Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики» (Томск, 1998);

- международной конференции по сопряженным задачам механики и экологии ( Томск, 1998 );

- всероссийской научной конференции молодых ученых «Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики» (Томск, 1999);

- всероссийской научной конференции «Околоземная астрономия и проблемы изучения малых тел Солнечной системы» (Обнинск, 1999);

- всероссийской научной конференции молодых ученых по теоретической и небесной механике (Томск, 1999);

- 29-ой студенческой конференции «Физика космоса» (Екатеринбург, 2000);

- 9th European and 5th Euro-Asian Astronomical Society Conference (JENAM) (Москва, 2000);

- международной научной конференции «Астрономия, геодинамика и небесная механика на пороге XXI века» (Санкт-Петербург, 2000);

- US-European Celestial Mechanics Workshop (Poznan, Poland, 2000);

- «Asteroids, Meteorites, Impacts and their Consequences» (AMICO 2000) (Germany, 2000);

- второй всероссийской научной конференции «Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики» (Томск, 2000);

- международной научно-практической конференции «Вторые оку-невские чтения» (Санкт-Петербург, 2000);

- конференция «Околоземная астрономия XXI века» (научные и практические аспекты) (Звенигород, 2001);

- второй всероссийской научной конференции молодых ученых «Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики» (Томск,

2001);

- международном Симпозиуме «Небесная механика-2002: результаты и перспективы» (Санкт-Петербург, 2002);

- третьей всероссийской научной конференции «Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики» (Томск, 2002);

- 32-ой студенческой конференции «Физика космоса» (Екатеринбург, 2003);

- четвертой всероссийской научной конференции «Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики» (Томск, 2004);

- всероссийской конференции «Астероидно-кометная опасность -2005» (Санкт-Петербург, 2005).

Прикладная программная система «Ассоль» внедрена в учебный процесс и научно-исследовательскую работу Астрономического института им. В.В. Соболева СПбГУ, кафедры астрономии и геодезии физического факультета УрГУ и Астрономической обсерватории УрГУ.

На защиту выносятся следующие результаты

1. Стабилизированные алгоритмы с модифицированным преобразованием сундмановского типа и результаты исследования эффективности различных стабилизирующих и регуляризирующих преобразований уравнений движения АСЗ в задаче численного моделирования движения этих объектов.

2. Прикладная программная система, предназначенная для исследования движения и орбитальной эволюции астероидов.

3. Перечень АСЗ, движущихся в окрестности резонансов низких порядков с большими планетам.

4. Результаты исследования областей возможных движений АСЗ в окрестности резонансов 5/2 с Юпитером и 1/1 с внутренними планетами на интервале времени несколько тысяч лет.

По результатам исследования, приведенным в диссертации, опубликовано 23 научных работы. Диссертация изложена на 188 страницах машинописного текста, состоит из введения, 5 разделов, заключения, списка использованных литературных источников (134 наименования), 2 приложений, содержит 82 рисунка и 45 таблиц.

Заключение диссертации по теме «Астрометрия и небесная механика», Галушина, Татьяна Юрьевна

Результаты исследования показали, что резонансная щель астероидов 3753 СгшШпе, 2001 С02, 2002 АА29 и 2004 СШ совершает регулярные колебания около нуля с амплитудой |а| < 50"/сут., критический аргумент этих астероидов колеблется около постоянного (3753 Cruithne и 2002 АА29) или смещающегося (2001 G02 и 2004 GU9) центра либрации. Остальные АСЗ (85770 1998 UP1, 2000 WN10 и 2004 В041) движутся в окрестности резонанса, проходя через точную соизмеримость нерегулярно, их критический аргумент циркулирует (2000 WN10 и 2004 В041) или чередует циркуляцию с либрацией (85770 1998 UP1). Практически все астероиды, движущиеся в окрестности резонанса 1/1 с Землей, (за исключением 2000 WN10) сближаются с Землей. Кроме того, 3753 Cruithne сближается с Марсом, а все астероиды второй группы (85770 1998 UP1, 2000 WN10 и 2004 В041) сближаются с Венерой. Следует отметить, что динамика АСЗ 3753 Cruithne была подробно исследована в работе (Wiegert et al., 1998). Полученные нами результаты хорошо согласуются с результатами этих авторов.

Далее нами был проведен анализ наблюдений рассматриваемых астероидов, результаты которого приведены в табл. 5.20. Большинство астероидов наблюдались на нескольких оборотах и их орбиты хорошо определены. Исключение составляют два объекта - 2001 G02 и 2004 В041. Их интервал наблюдения составляет менее 10 сут. и ошибки начальных параметров велики.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В процессе работы над диссертацией получены следующие результаты:

1. Создано алгоритмическое и программное обеспечение для исследования движения и долговременной эволюции астероидов, которое позволяет решать следующие задачи:

- численное интегрирование дифференциальных уравнений движения методом Эверхарта;

- выявление сближений исследуемого астероида с большими планетами;

- выявление резонансов, определяемых соизмеримостью средних движений исследуемого астероида и большой планеты;

- представление позиционных наблюдений астероида;

- улучшение орбиты астероида по имеющимся наблюдениям методом наименьших квадратов;

- построение вероятностной области начальных параметров движения объекта и ее эволюции со временем;

- демонстрация движения астероидов и больших планет на экране компьютера.

2. Получены различные стабилизированные уравнения с регуляризи-рующим временным преобразованием сундмановского типа:

- стабилизированные уравнения Баумгарта с преобразованием ¿5 = УсИ;

- стабилизированные уравнения Накози с преобразованием Аэ = УсИ]

- уравнения в КБ-переменных с преобразованием Ав = УсИ;

- уравнения в КЭ-переменных с преобразованием ¿в = гУсИ (г -радиус-вектор).

Исследована их эффективность в применении к задачам динамики

АСЗ.

3. Показано, что при отсутствии тесных сближений все алгоритмы, включая классические уравнения движения, при использовании численного метода высокого порядка дают точность, достаточную как для представления наблюдений, так и для изучения долговременной эволюции. Иная картина наблюдается при исследовании движения АСЗ. В этом случае для каждого объекта нужно индивидуально подбирать вид уравнений движения. Более того, этот выбор зависит также от интервала исследования.

Для большинства рассмотренных астероидов наилучшая точность достигается методом Энке в КЗ-переменных, для АСЗ с не очень сложной динамикой (таких как 3753 СгшШпе) с его помощью удается существенно увеличить интервал прогнозирования. Также хорошую эффективность показали стабилизированные уравнения. Причем стабилизация Баумгарта более эффективна, чем стабилизация Накози. Однако следует отметить, что на практике присутствие в уравнениях Баумгарта эмпирического параметра 7 затрудняет их использование. При наличии тесных сближений введение в уравнения Баумгарта модифицированного преобразования сундмановского типа повышает точность интегрирования. А при исследовании движения АСЗ, часто сближающихся с большими планетами, эффективность применения рассмотренных регуляризирующих и стабилизирующих преобразований незначительна и не позволяет существенно увеличить интервал прогнозирования.

4. Численно проинтегрированы уравнения движения 3316 АСЗ и выявлено 485 астероидов, движущихся в окрестности резонансов низких порядков с большими планетами, из них 309 — с внутренними планетами (14 — с Меркурием, 82 — с Венерой, 96 — с Землей, 117 — с Марсом), 292 — с Юпитером.

5. Исследована динамика 41 АСЗ, движущихся в окрестности резонанса 5/2 с Юпитером, и построены области их возможных движений на интервале времени несколько тысяч лет. Области возможных движений строились как отображения во времени некоторых начальных областей, полученных из анализа наблюдений рассматриваемых АСЗ.

Проведенные исследования показали, что все рассмотренные астероиды можно разделить на две группы. Для первой группы (19 астероидов) характерно колебание резонансной щели около положения точного резонанса с небольшой амплитудой как для номинальной орбиты, так и для всего ансамбля тестовых частиц из начальной вероятностной области. Причем эволюция частиц ансамбля незначительно отличается от эволюции номинальной орбиты на всем рассматриваемом интервале времени. Такое поведение приводит к устойчивой геометрической конфигурации «астероид-Юпитер». Можно сказать, что эти АСЗ ведут себя как резонансные на рассматриваемом интервале времени. Однако для того, чтобы сделать вывод о захвате в резонанс, необходимо исследовать орбитальную эволюцию на ббльшем интервале времени (порядка сотен тыс. лет).

Вторую группу составляют 17 астероидов, орбиты которых хорошо определены, но некоторые частицы ансамбля или номинальная орбита выходят из резонанса. Эти АСЗ не захвачены в резонанс с Юпитером и геометрические конфигурации «астероид-планета» для них неустойчивы, что приводит к сближениям с Юпитером.

Остальные объекты (1995 БУ1, 1997 1Ш0, 2002 ХЕ84 и 2004 КЕ17) наблюдались на небольшом интервале времени. Орбиты этих АСЗ плохо определены и, соответственно, вероятностная область движения велика, что не позволяет сделать вывод о том, являются они действительно резонансными или нет.

6. Исследована динамика 16 АСЗ, движущихся в окрестности резонанса 1/1 с внутренними планетами (2-е Венерой, 7 — с Землей и 7 — с Марсом), и построены области их возможных движений на интервале времени несколько тысяч лет.

Для двух АСЗ, движущихся в окрестности резонанса 1/1 с Венерой (2001 СК32 и 2002 УЕ68), резонансное соотношение сохраняется для всего ансамбля частиц, однако вследствие большой величины резонансной щели астероид 2001 СК32 сближается с Венерой.

Для шести АСЗ, движущихся в окрестности резонанса 1/1 с Землей, резонанс сохраняется как для номинальной орбиты так и для ансамбля частиц. Однако и для этих объектов, вследствие большой величины резонансной щели, резонансное соотношение неустойчиво, и поэтому резонанс не может служить защитным механизмом от сближений - почти все рассматриваемые астероиды (за исключением 2000 "\УШ0) сближаются с Землей. Астероид 2004 В041 наблюдался в течение небольшого интервала времени, что не позволяет уверенно исследовать его эволюцию.

Из семи АСЗ, движущихся в окрестности резонанса 1/1 с Марсом, только для астероида 36017 1999 N043 резонанс служит защитным механизмом от сближений.

Примечание. В совместных публикациях по содержанию диссертации Л.Е. Быкова, Т.В. Бордовицына и В.А. Авдюшев осуществляли постановку задачи и принимали участие в обсуждении результатов. Во всех совместных с Л.Е. Быковой работах автором диссертации получены результаты по построению областей возможных движений АСЗ в окрестности резонансов 5/2 с Юпитером и 1/1 с планетами земной группы, исследование областей возможных движений АСЗ в окрестности других резонансов проведено Л.Е. Быковой. В работе (Быкова, Галушина, 2000с), (Быкова, Галушина, 2001) Л.Е. Быкова разработала алгоритмическую часть, автору диссертации принадлежит программная реализация. В совместных с Е.В. Парфеновым работах Е.В. Парфеновым построены начальные вероятностные области для рассматриваемых АСЗ, автором диссертации исследована эволюция этих областей.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Галушина, Татьяна Юрьевна, 2006 год

1. Абдульмянов Т.Р. Либрационные орбиты астероидов вблизи соиз-меримостей средних движений в модели обобщенного резонанса:Автореф. дне. ... к.ф.-м.н. Казань, 2002. 16 с.

2. Авдюшев В.А. Алгоритмы тина Энке в неременных Кустаанхеймо- Штифеля в задачах динамики особых астероидов и снутников пла-нет: Автореф. дис. ... к.ф.-м.н. -Пб., 1999. 16 с.

3. Авдюшев В.А. Онределение оптимального стабилизируюш,его па- раметра в методе Баумгарта для моделирования почти круговыхорбит // Изв. вузов. Физика. 2003. N12 (Приложение). 5-12.

4. Батурин А.П. Исследование методов определения областей воз- можных движений малых тел солнечной системы: Автореф. дис.... к.ф.-м.н. -Пб., 2001. 12 с.

5. Бордовицына Т.В., Сухонлюева Л.Е. Исследование эффективности численных алгоритмов, иснользу1оп.,их стабилизирующие преобра-зования // Бюлл. ИТА, 1980, т. 14, N10, с. 591-596.

6. Бордовицына Т.В. Современные численные методы в задачах небес- ной механики. М.: Паука, 1984. 136 с.

7. Бордовицына ТВ., Авдюшев В.А., Титаренко В.П. Численное мо- делирование общей задачи трех тел // Исследования но баллистикеи смежным вонросам механики: Сб. статей. Бып. 2. Томск: Изд-воТГУ, 1998а. 164-168.

8. Бордовицына ТВ., Быкова Л.Е. Авдюшев В.А. Проблемы нримене- ния регуляризирующих и стабилизирующих нреобразований в за-дачах динамики снутников нланет и астероидов// Астр, и геод.Томск: Изд-во ТГУ, 1998b. Вып. 16. 33-57.

9. Быкова Л.Е., Тимошенко Л.В. Околоземные астероиды: сближения с большими нланетами, трансформация орбитальных элементов //Астр, и геод. Томск: Изд-во ТГУД998. Вып. 16. 183-238.

10. Быкова Л.Е., Галушина Т.Ю. О динамике околоземных астерои- дов // Изд-во ТГУ. Сб. Исследования но баллистике и смежнымвопросам механики: Сб. статей. Вып. 3. Томск: Изд-во ТГУ, 1999.С. 130-133.

11. Быкова Л.Е., Галушина Т.Ю., Парфенов Е.Б. Численное исследо- вание движения околоземных астероидов 1996 DH и 1996 АЛ //Исследования по баллистике и смежным вопросам механики: Сб.статей. Вып. 3. Томск: Изд-во ТГУ, 1999. 134-135.

12. Быкова Л.Е., Парфенов Е.В. О нроблеме обусловленности зада- чи определения орбит околоземпых астероидов //Исследованияпо баллистике и смежным вопросам механики: Сб. статей. Вып. 3.Томск: Изд-во ТГУ, 1999. 65-73.

13. Быкова Л.Е., Галушина Т.Ю. Динамика околоземпых астероидов // Физика космоса. Труды 29-й междупародной студенческой на-учной конференции. Екатеринбург. 31 января - 4 февраля 2000 г.2000b. 12-22.157

14. Быкова Л.Е., Галушина Т.Ю. Прикладная программная система для моделирования движения астероидов // Физика космоса. Тру-ды 29-й международной студенческой научной конференции. Ека-теринбург. 31 января - 4 февраля 2000 г. 2000с. 109.

15. Быкова Л.Е., Галушина Т.Ю., Парфенов Е.Б. Орбитальная эволю- ция околоземных астероидов 3103 Eger и 1994 СВ // Фундамен-тальные и прикладные проблемы современной механики. Докл. Пвсероссийск. науч. конф. 2000 г. 2000b. 123-124.

16. Быкова Л.Е., Галушина Т.Ю. Динамика астероидов 1998 VF31 и 1999 ND43, движущихся в окрестности резонанса 1:1 с Марсом //Исследования но баллистике и смежным вопросам механики: Сб.статей. Бып. 4. Томск: Изд-во ТГУ, 2001а. 89-93.

17. Быкова Л.Е., Галушина Т.Ю. Орбитальная эволюция околоземных астероидов в окрестности резонанса 1/1 с внутренними планета-ми// Тезисы конференции «Околоземная астрономия XXI века».Звенигород, 21-25 мая 2001 г. 2001с. 48.

18. Быкова Л.Е., Галушина Т.Ю. Астероиды, движущиеся в окрестно- сти резонанса 1:1 с Землей // Исследования по баллистике и смеж-ным вопросам механики: Сб. статей. Вып. 5. Томск: Изд-во ТГУ,2002. 124-125.

19. Быкова Л.Е. Резонансные астероиды, сближающиеся с Землей // Физика космоса. Труды 32-й международной студенческой научнойконференции. Екатеринбург. 3-7 февраля 2003 г. 22-40.

20. Быкова Л.Е., Галушина Т.Ю. Астероиды, сближающиеся с Землей и движущиеся в окрестности резонансов низких норядков с боль-шими планетами // Изв. вузов. Физика. Приложение. Небесная ме-ханика и нрикладная астрономия. 2006. N12. (в печати).

21. Васильев Н.П., Сушко П.А. О неконсервативных эффектах чис- ленного моделирования гамильтоновых систем // Пренринт Ин-татеор. астрон. РАП. -Пб., 1995. N44. 44 с.

22. Ведерников Ю.А. Гравитационный способ отклонепия угрожающе- го астероида // Тезисы конференции «Космическая защита Земли- 2000», 11-15 сентября 2000, г. Евпатория, Крым, Украина.

23. Галушина Т.Ю. Демонстрационная программа для исследования движения малых планет Солнечной системы // Исследования побаллистике и смежным вопросам механики: Сб. статей. Вып. 2.Томск: Изд-во ТГУ, 1998 г. 149-153.

24. Галушина Т.Ю. О динамике астероидов, сближающихся с Землей и движущихся в окрестности резонанса 5/2 с Юпитером // Иссле-дования по баллистике и смежным вопросам механики: Сб. статей.Вып. 5. Томск: Изд-во ТГУ, 2002. 126-129.

25. Галушина Т.Ю. Стабилизирующие и регуляризирующие нреобра- зования в задачах динамики особых астероидов // Физика космоса.Труды 32-й международной студенческой научной конференции.Екатеринбург. 3 - 7 февраля 2003 г. 2003а. 238.

26. Галушина Т.Ю. Исследование движения астероидов, сближающих- ся с Землей и движущихся в окрестности резонанса 5/2 с Юпи-тером // Изв. вузов. Физика. Приложение. Небесная механика иприкладпая астрономия. 2003b. N12. 23-34.

27. Герасимов И.А. Эволюция орбит астероидов в случае соизмери- мостей средних движений. Основные уравнения // Астрон. журн.1986, Т. 63, вып. 3. 567-573.

28. Гребеников Е.А., Рябов Ю.А. Резонансы и малые знаменатели в небесной механике. М.: Наука, 1978. 128 с.159

29. Гринберг P. Орбитальный резонанс в движении естественных спут- ников // В кн. Спутники нланет. Под ред. Дж. Бернса. М.: Мир,1980. 189-202.

30. Дубошин Г.Н. Небесная механика. Основные задачи и методы. М.: Наука, 1968. 800 с.

31. Каханер Д., Моулер К., Нэш Численные методы и программное обеспечение. М.: Мир, 1998. 575 с.

32. Ипатов СИ. Эволюция резонансных астероидных орбит в плоской задаче трех тел: Солнце - Юпитер - астероид // Нреприпт Инст.прикл. математики им. Келдыша. АН СССР. 1989, N30.

33. Ипатов СИ. Миграция малых тел к Земле // Астрономический вестник, 1995, т. 29, N4. 304-330.

34. Красинский Г.А. Квазинериодические и периодические решения // В кн. Малые планеты. По ред. Н.С Самойловой-Яхонтовой. М.:Наука, 1973. С 151-203.

35. Лоусен Ч., Хенсон Р. Численное решение задач метода наименьших квадратов. М.: Наука, 1986. 232 с.

36. Медведев Ю.Д. Онределение орбит комет, имеюш,их тесные сбли- жения с нланетами: Автореф. дис. ... к.ф.-м.н. Ленинград, 1996.12 с.

37. Медведев Ю.Д., Свешников М.Л., Сокольский А.Г., Тимошкова Е.И., Чернетенко Ю.А., Черных Н.С, Шор В.А. Астероидно-комет-ная онасность. (ред. Сокольского А.Г.) С-Пб.: изд. ИТА РАН, 1996.244 с.

38. Мозер Ю. Лекции о гамильтоповых системах. М.: Мир, 1973.

39. Рой А. Движение по орбитам. - М.: Мир, 1981. 544 с.

40. Симопенко А.Н. Астероиды или тернистые пути исследований. М.: Наука, 1985. 208 с.

41. Терентьева А.К., Баюк О.А. Эфемерида радианта возможного ме- теорного потока кометы 1996 В2 Хиакутаки // Астрономическийвестник, 1996, т. 30, N5. 474-475.

42. Херрик Астродинамика. М.: Мир, 1977, т. 2. 263 с.

43. Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами. М.: Мир, 1973. 959 с.

44. Херрик Астродинамика. М.: Мир, 1977, т.2, 263 с.

45. Холл Дж., Уатт Дж. Современные численные методы решения обык- новенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1979. 312 с.

46. Чеботарев Г.А. Структура кольца малых планет // В кн. Малые нланеты. По ред. Н.С. Самойловой-Яхонтовой. М.: Наука, 1973. 151-203.

47. Черницов A.M. О применении одного обобщенного итерационно- го метода нри оценивании параметров движения небесных тел //Астрономия и геодезия. Томск: Изд-во ТГУ, 1976, вып. 6. 47—55.

48. Черницов A.M. Алгоритмы определения областей возможных дви- жений малых тел Солнечной системы. Автореф. дис. ... д.ф.-м.н.Томск, 2000. 26 с.

49. Шефер В.А. Регуляризирующие и стабилизирующие преобразова- ния в задаче исследования движения особых малых планет и комет:Автореф. дис. ... к.ф.-м.н. Казань, 1986. 13 с.

50. Штифель Е., Шейфеле Г. Линейная и регулярная небесная меха- ника. М.: Наука, 1975. 304 с.

51. Шустер Г. Детерминированный хаос. Введение. М.: Мир, 1988. 240 с.

52. Эльясберг Н.Е. Определепие движепия по результатам измерепий. М.: Наука, 1976. 416 с.161

53. Baumgarte J., Stiefel E. Examples of the transformations improving the numerical accuracy of the integration of differential equations //1.ect.Not. in Math., 1974. Vol. 362. P. 207-236.

54. Binzel R.P., Harris A.W., Bus S.J., Rivkin A.S., Burbine Т.Н. SMASS Near-Earth Object Survey: An Album of Results // 34th Annual Lunarand Planetary Science Conference, March 17-21, 2003, League City,Texas, abstract no. 1254.

55. Boattini A., Di Paola A., Bernardi F., De Luise F., Casula V., Giunta A., Perna D., Napoleone N., Carusi A., Dotto E., Valsecchi C.B. TheCampo Imperatore Near Earth Object Survey // American Astronomi-cal Society, DPS meeting. No. 11. 2004.

56. Bowell E., Muinonen K., Wasserman L.H. A public-domain asteroid data base. In Asteroids, Comets, Meteors, Kluwer, Dordrecht, Nether-lands. 1994. P. 477-481.

57. Bordovitsyna Т., Avdyushev V., Chernitsov A. New trends in numerical simulation of the motion of small bodies of the solar system // CelestialMechanics and Dynamical Astronomy, 2001. Vol. 80, P. 227-247.

58. Bottke W.F., Morbidelli A., Jedicke R., Stuart J.S., Evans J.B., Stokes C. Investigating the Near-Earth Object Population Using NumericalIntegration Methods and LINEAR Data // American AstronomicalSociety, DPS meeting, 11, 2004.

59. Bykova L.E., Calushina T.Yu. Orbital evolution of near-Earth asteroids close to mean motion resonances // JENAM-2000. 9th European and5th Euro-Asian Astronomical Society Conference. Abstracts. Moscow,Russia, May 29 - June 3, 2000a.

60. Bykova L.E., Calushina T.Yu. Evolution of near-Earth asteroids close to mean motion resonances // Planetary and Space Science 49. 2001.P. 811-815.

61. Bykova L.E., Calushina T.Yu. Orbital evolution of near-Earth asteroids close to mean motion resonances // Celestial Mechanics and DynamicalAstronomy, 2002, 82(3), 265-284.• 1 6 2

62. Chapman C.R. The hazard of near-Earth asteroid impacts on earth // Earth and Planetary Science Letters. 2004. Vol. 222, No. 1. P. 1-15.

63. Connors M., Veillet C , Brasser R., Wiegert P., Chodas P., Mikkola S., Innanen K. Discovery of Earth's quasi-satellite // Meteoritics a.ndPlanetary Science, 2004. Vol. 39, No. 8. P. 1251-1255.

64. Connors M., Staceya G., Brasser R, Wiegert P. A survey of orbits of co-orbitals of Mars // Planetary and Space Science. 2005. Vol. 53, Is.

65. Cooke B. Killer impact // Astronomy. 2004. Vol. 32, No. 12. P. 38 - 43.

66. Garfinkel B. Theory of libration. // Celest. mech. 1976. Vol. 13, No. 2, P. 229-246.

67. Garfinkel B. Theory of the Trojan asteroids. Part 1. // Astron. J. 1977. Vol. 82, No. 5, P. 368-379.

68. Garfinkel B. Theory of the Trojan asteroids. Part 2. // Celest. mech. 1979. Vol. 18. P. 259-275.

69. Gehrels T.(ed.). Hazards due to comets and asteroids. Tucson: Univ. Arisona Press., 1994. P. 285-312.

70. Gladman В., Michel P., Froeschle C. The Near-Earth Object Population // Icarus 146, 2000. P. 176-189.

71. Greenberg R., Schol H. Resonances in the asteroid belt // Asteroids, comets, meteors III. Astronomical Observatory of the Uppsala Universsity.1989. P. 310-333.

72. Hahn G. Close encounters of near-Earth asteroids during 1900-2100 // Advances in Space Reseach. 1991. Vol. 11, No. 6. P. 29-41.

73. Hahn G., Lagerkvist C.-I., Lindgren M., Dahlgren M. Orbital evolution studies of asteroids near the 5/2 mean motion resonance with Jupiter// Astron. Astrophys. 246, 1991. P. 603-618.

74. Everhart E. Implicit Single-Sequence Methods for Integrating Orbits // Celest.Mech., 1974a. Vol. 10. P. 35-55.163

75. Everhart E. On Efficient Integrator of Very High Order and Accuracy with Appendix Listing of RADAU // Denver., Univ. of Denver, 1974b.P. 20.

76. Proeschle С The Lyapunov characteristic exponents - applications of celestial mechanics // Celest. Mech., 1984. Vol. 34. P.95-115.

77. Froeschle C, Greenberg R. Mean motion resonances // Asteroids, comets, meteors III. Astronomical Observatory of the UppsalaUniversity. 1989. P. 827-844.

78. Ipatov S.I. Asteroid-type orbit evolution near the 5:2 resonance // Asteroids, Comets, Meteors. 1991. P. 245-248.

79. Ipatov S.I. Migration of asteroids from the 3:1 and 5:2 resonances with Jupiter to the Earth // IAA Transactions, No. 8, «Celestial mechanics»,2002. P. 88-89.

80. Ipatov S.I., Mather J.C. Comet and asteroid hazard to the terrestrial planets // Advances in Space Research Vol. 33. Issue 9. 2004. P. 1524-1533.

81. Clukhovsky L.D. A Rapid, Accurate Method of Determining the Distance to Near-Earth Asteroids // American Astronomical SocietyMeeting. 2003. No. 12.

82. Hammergren M. Public Remote Observing of Potentially Hazardous Asteroids // American Astronomical Society, DPS meeting. 2003. No.5.

83. Harris A.W. The Impact Frequency of Near-Earth Asteroids // American Astronomical Society, DDA meeting. 2003. No. 8.

84. Laplace P.C. Traite de mecanique celeste, t.t. I, II, Paris, 1799.

85. Margot J.L., Nicholson P.D. A search for asteroids on Earth horseshoe orbits // American Astronomical Society, DDA meeting. 2003. No. 8.164

86. Michel P., Froeschle C, Farinella P. Dynamical Evolution of NEAs: Close Encounters, Secular Perturbations and Resonances // Earth,Moon and Planets, 1996. Vol. 72, P. 151-164.

87. Mikkola S., Brasser R., Wiegert P., Innanen, K. Asteroid 2002 VE68, a quasi-satellite of Venus // Monthly Notices of the Royal AstronomicalSociety, 2004. Vol. 351, No. 3. P. L63-L65.

88. Milani A. The asteroid identification problem II. Proposing identifications // Sezione di fisica matematica. 4.61.1156 - Dicembre 1998.

89. Milani A., Carrino M., Hahn G., Nobili A.M. Dynamics of Planet - Crossing Asteroids: Classes of Orbital Behavior. Project SPACEGUERD// Icarus, 1989. Vol. 78. P. 212-269.

90. Milani A., Nobili A.M. An example of stable chaos in the Solar System // Nature, 1992. Vol. 357. P. 569-571.

91. Milani A., Chesley S.R., Valsecchi G.B. Asteroids close encounters with Earth: Risk Assessment, 1999.

92. Mobberley M. The next big thing coming our way: 4179 Toutatis // Astronomy Now, 2004. Vol. 18. No. 9, P. 25-27.

93. Morais M. H. M., Morbidelli A. The Population of Near-Earth Asteroids in Coorbital Motion with the Earth // Icarus. 2002. Vol. 160, P. 1Ц-9.

94. Morais M. H. M., Morbidelli A. Population of NEAs in Coorbital Motion with Venus // American Astronomical Society, DPS meeting,37, 2005.

95. Morbidelli A., Bottke W. F.Jr., Froeschle Ch., Michel P. Origin and Evolution of Near-Earth Objects // Asteroids III, W. F. Bottke Jr.,A. Cellino, P. Paolicchi, and R. P. Binzel (eds). University of ArizonaPress, Tucson, 2003. P. 409.

96. Muinonen K. Asteroid and comet encounters with the Earth // The dynamics of small bodies in the Solar system: A major key to Solarsystem studies. NATO ASI Series. C: Math. Phys. Scien. Vol.522. KluverAcad. Publ., 1999. P. 127-158.

97. Nesvorny D., Morbidelli A. An analytic model of three-body mean motion resonances // Celes. Mech. Dyn. Astron., 1998. Vol. 71. No. 4.P. 243-271.

98. Peale S. J. Orbital resonances in the solar system // Annu. Rev. Astron. Astrophys. 1976. 14. P. 215-245.

99. Rabinowitz D.L., Bowell E., Shoemaker E.M., Muinonen K. The population of Earth-crossing asteroids // Hazards due to comets andasteroids. Gehrels T.(ed.). Tucson: Univ. Arisona Press., 1994. P. 285-312.

100. Rossi A., Marzari F., Scheeres D.J. Evolution of NEO rotation rates due to close encounters with Earth and Venus // American AstronomicalSociety, DPS meeting. 2003. No. 5.

101. From Newton to Chaos (Ed. Roy A.E., Steves B.A.). New York: Plenum Press, 1995. P. 129-216.

102. Standish E.M. The JPL planetary ephemerides // Celest. Mech. 1982. Vol. 26, 2. P. 181-186.

103. Stuart J.S. Observational Constraints on the Number, Albedos, Sizes, and Impact Hazards of the Near-Earth Asteroids // Thesis (PhD).MASSACHUSETTS INSTITUTE OF TECHNOLOGY. 2003.

104. Sundman K.F. Memoire sur le probleme des trois corps // Acta Math., 1912. Vol.36. P. 105-179.

105. Tabachnik S.A., Evans N.W. Asteroids in the inner Solar system - I. Existence // Mon. Not. R. Astron. Soc. 319, 2000. P. 63-79.

106. Tancredi G. An asteroid in a Earth-like orbit // Celes. Mech. Dyn. Astron., 1998. Vol. 69. P. 119-132.

107. Tancredi G., Sanchez A. A comparison between methods to compute 1.yapunov exponents // The Astronomical Journal, 121, 2001 February,P. 1171-1179.166

108. Thomas F. Analytical and numerical study of long-term dynamics for trojan-type asteroids / / Abstracts of US/European celestial mechanicsworkshop, 3-7 July 2000, Poznan - Poland, P. 62.

109. Trubetskaya I.A., Shuvalov, V.V. Impacts of 100-km-Diameter Asteroids Against the Earth / / 34th Annual Lunar and Planetary ScienceConference, March 17-21, 2003, League City, Texas, abstract no. 1102.

110. Yoshikawa M. Motions of asteroids at the Kirkwood Gaps H. On the 5/2, 7/2, and 2/1 resonances with Jupiter. Icarus 92, 1991. P. 94-117.

111. Yoshikawa M. Close Encounters of Asteroids / / Seventy-Five Years of Hirayama Asteroid Families. ASP Conference Series. Vol. 63, 1994.P. 28-38.

112. Vernic R. Diskussion der Sundmanschen Losung des Dreikorperproblems / / Zagreb, Sudslavische Akademie der Wissenschaften und Kunste,1954.

113. Ward S.N., Asphaug E. Asteroid impact tsunami of 2880 March 16 Geophysical Journal International, 2003. Vol. 153, No. 3, P. F6-F10.

114. Wiegert P., Innanen K. Earth Trojan Asteroids: A Study in Support of Observational Searches / / Icarus 145, 2000. P. 33-43.

115. Wiegert P., Innanen K.A., Mikkola S. The orbital evolution of Near- Earth asteroid 3753// Astron. J. 1998. Vol. 115. P. 2604-2613.

116. Wisdom J. Chaotic behavior and origin of the 3/1 Kirkwood gap / / Icarus, 1983. Vol. 56. No. 1. P. 51-74.

117. Wisdom J. Holman M. Symplectic maps for the N-body problem / / Astron. J., 1991. Vol.102, No. 4. P. 1528-1538. *

118. Zappala V., Cellino A., Dell'Oro, A. A Search for the Collisional Parent Bodies of Large NEAs / / Icarus, 2002. Vol. 157, Issue 2. P. 280-296.167

119. Zare К., Szebehely V. Time transformations in the extended phase- space // Celest. Mech., 1975, Vol. 11, P. 469-482.168