Эволюция тройных систем типа ε Lyr тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.03.01, доктор физико-математических наук Соловая, Нина Андреевна

• Соловая, Нина Андреевна
• доктор физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Соловая, Нина Андреевна

Оглавление

Введение

1. Краткий обзор теоретических исследований движения

тройных звездных систем

I. Дифференциальные уравнения движения и их преобразования ..

1. Постановка задачи

2. Переход к неизменной плоскости

3. Исключение короткопериодических членов

4. Исключение членов промежуточного периода

II. Промежуточное движение

1. Дифференциальные уравнения промежуточного

движения

2. Решение уравнений промежуточного движения

методом Гамильтона-Якоби

3. Формальное решение задачи в квадратурах

4. Исходные формулы промежуточного движения

5. Основные типы движений

6. Окончательные формулы

7. Вычисление постоянных интегрирования

8. Вычисление кеплеровских оскулирующих элементов промежуточного движения для момента t

III. Динамика эволюции орбит

в тройных ¡звездных системах

1. Вековые возмущения элементов

2. Численное исследование средних изменений угловых элементов

3. Результаты вычислений

4. Частные случаи промежуточных движений

5. О предельных случаях

6. Стационарные решения

7. Орбиты, близкие к стационарным

8. Об эволюции орбит составляющих тройных систем

9. Иллюстрация результатов

10. Особый угол взаимного наклона

IV. Возмущения промежуточного движения

Введение

1. Исключение /j и ¡2 из F4

2. Приложение метода вариации произвольных

постоянных

3. Выделение вековых частей

4. Отыскание сопряженных канонических переменных

5. О возмущающей функции R

6. Решение уравнений возмущенного движения

7. Долгопериодические вариации эксцентриситета

внешней орбиты

8. Вековые возмущения третьего порядка в движении аргументов периастров и узла

V. Приложение теории к тройным звездным системам

1. Систематизация расчетных формул

2. Тройная система £ UMa

3- Оценка влияния короткопериодических возмущений

4. Исследование качественных характеристик

системы £ иМа

5. Оценка возмущений третьего порядка

6. Сравнение результатов теории

с результатами численного интегрирования

Заключение

Литература

Приложение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Эволюция тройных систем типа ε Lyr»

Введение

В настоящей работе исследуется динамическая эволюция тройных систем типа е Ьуг на основе разработанной автором аналитической теории звездной задачи трех тел. Под звездной задачей трех тел в небесной механике понимают частный случай проблемы движения трех материальных точек, взаимно притягивающихся по закону всемирного тяготения Ньютона и характеризующийся тем, что расстояние между двумя из них много меньше, чем расстояние до третьей точки. Массы точек, их эксцентриситеты и взаимные наклонности могут быть произвольными.

В ранних работах, посвященных звездной проблеме трех тел, учитывалось возмущающее влияние далекого тела на близкую пару, а далекое тело описывало невозмущенную эллиптическую орбиту вокруг центра масс тесной пары, поскольку возмущения далекой звезды являются величинами второго порядка малости. Короткопериодические возмущения далекой звезды малы и не могут быть обнаружены из наблюдений. А вековые и долгопериодичские возмущения изменяют положение и форму орбиты настолько медленно, что для их обнаружения требуются очень длительные сроки наблюдений. Однако, в настоящее время можно указать пример тройной звезды, возмущения далекой составляющей которой были обнаружены из наблюдений. Имеется в виду звездная система £ 11Ма. Непйг [8], выполнивший обработку наблюдений этой звезды, охватывающих 175-летний промежуток времени, обнаружил, что наклонность, долгота восходящего узла и угловое расстояние периастра от узла ее внешней орбиты претерпевают изменения. Этот пример показывает, что при исследовании эволюции тройных систем возмущения далекой составляющей должны быть учтены. Построением аналитической теории движения тройной системы в такой

постановке занимались Harrington [5], [б] и Söderhjelm [9]. Но они делали упрощение в формуле угла взаимного наклона и сводили задачу к эллиптическим квадратурам. В обзоре литературы остановимся на этом подробно. Для учета влияния членов третьего порядка Harrington пользовался численными методами.

Целью настоящей работы является построение такой аналитической теории, в которой не делая подобных упрощений в гамильтониане, получить промежуточную орбиту, в которой: а) отражены наиболее существенные особенности движения составлящих с учетом в гамильтониане членов второго порядка, б) промежуточное движение выражалось бы простыми формулами и в нем были учтены вековые движения перистров и узлов и наиболее существенные долгопериодические возмущения, в) решение было пригодно для любых эксцентриситетов и наклонностей.

Работа состоит из пяти глав. В первой главе дана постановка задачи и дифференциальные уравнения неограниченной задачи трех тел в канонических элементах Делоне преобразуются по методу Цейпеля. Гамильтониан разлагается в ряд по степеням отношений больших полуосей. Метод Цейпеля применяется в два этапа. Сначала исключаются члены, зависящие от средней аномалии близкой пары (коротко-периодические члены) и затем члены, зависящие от средней аномалии далекой звезды (члены промежуточного периода). Короткопериодичес-кие члены и члены промежуточного периода получены с точностью до второго порядка включительно. Для аналитических преобразований использовалась компьютерная программа Mathematica [91]. После исключения долгот узлов, гамильтониан системы дифференциальных уравнений зависит от двух угловых переменных - д\ и д^ ~ аргументов периастров внутренней и внешней орбит. Задача сводится к решению дифференциальных уравнений с двумя степенями свободы. В этой главе также дано определение положения неизменной плоскости и

формулы для пересчета элементов орбит к этой плоскости.

Во второй главе дается решение системы дифференциальных уравнений, используя свойство гамильтониана, что первые три члена его разложения в ряд по степеням отношений больших полуосей внутренней и внешней орбит содержат только одну угловую переменную д\ -аргумент периастра близкой пары. Решение дифференциальных уравнений методом Гамильтона-Якоби выражается в гиперэллиптических функциях. Движение, определяемое этим решением, используется как промежуточное при построении аналитической теории тройных систем типа е Ьуг. Орбита близкой пары есть некеплеровский эллипс с постоянной большой полуосью, периодически изменяющимся эксцентриситетом и наклоном и движущимся периастром и узлом. Орбита далекого тела есть некеплер овский эллипс с постоянной большой полуосью, постоянным эксцентриситетом, изменяющимся наклоном и подвижным узлом и периастром. Так как большие полуоси не имеют вековых возмущений, они остаются ограниченными. Но эксцентриситет близкой пары может изменяться в больших пределах. Определены два возможных типа движений - циркулярное, когда периастр близкой пары обладает вековым движением и либрационное, когда периастр совершает колебания в ограниченных пределах около положений дх = 90° или д\ — 270°. Установлены границы существования обоих классов орбит.

Третья глава посвящена вопросам динамической эволюции орбит составляющих тройной системы на основе полученного решения. Исследованы частные случаи промежуточного движения, соответствующие различным предельным вариантам задачи. Изучены свойства этих предельных вариантов, установлены условия применимости общих формул. Приведены формулы, представляющие вековое движение периастров и узлов обеих орбит. Ввиду сложности аналитического исследования формул, проведено численное исследование средних изменений угловых элементов. Результаты представлены в виде графиков.

Рассмотрены случаи: а) переходный случай от орбит циркулярных к орбитам либрационным, б) случай вырождения внутренней орбиты в прямолинейный отрезок. Найдены условия существования стационарных решений и исследована их устойчивость, а также исследованы орбиты, близкие к стационарным. Обнаружено интересное свойство изменения эксцентриситета близкой пары, связанное с углом взаимного наклона. Углы наклона к картинной плоскости обеих орбит в каталогах даются с двойным знаком в случае, когда по визуальным и фотографическим наблюдениям невозможно установить, который из узлов на картинной плоскости является восходящим, а который нисходящим, если неизвестно направление вектора лучевой скорости. Численные расчеты, проводимые для систем £ Aqu, i Cas и ADS 3358 показали, что во всех рассмотренных случаях одному из вариантов наклона соответствует значение eimax близкое к 1. Это означает, что две компоненты настолько близки, что возможно предположить приливные эффекты. Система будет квазинеустойчива.

В четвертой главе рассмотрена задача о возмущениях промежуточного движения. Рассматривая решение задачи с упрощенным гамильтонианом как невозмущенное, применяем к нему метод вариации произвольных постоянных. В качестве возмущающей функции взяты члены третьего и четвертого порядков в гамильтониане. Общее решение дифференциальных уравнений промежуточного движения зависит от 10 произвольных постоянных Ai и Bi (г = 1,2,3,4,5). Так как эти постоянные возникают в процессе интегрирования системы дифференциальных уравнений по методу Гамильтона-Якоби, метод вариации произвольных постоянных осуществляется автоматически согласно общей теории [3]. Искомыми функциями в новой канонической системе являются величины, которые были постоянными интегрирования упрощенной системы. Вместо Bi введены новые угловые переменные Аг-, чтобы при дифференцировании возмущающей функции

время не появилось в явном виде. В качестве новых угловых переменных Лг- принимаются вековые части каждого из аргументов, входящих в выражение возмущающей функции Я под знаком косинуса. Используя теорему Якоби о канонических преобразованиях находим соответствующие переменные Л4-. Гамильтониан преобразованной системы канонических уравнений возмущенного движения равен сумме двух слагаемых - е и Л. Первое слагаемое соответствует невозмущенному промежуточному движению. Оно не зависит от угловых переменных и при К — 0 будет постоянным. Второе слагаемое В = .Р3** представляет возмущающую функцию, зависящую от двух угловых переменных Аз и Л4. Полученная новая система дифференциальных уравнений удобна для применений любых классических методов теории возмущений. Разработан метод решения уравнений возмущенного движения.

Пятая глава посвящена приложению разработанной аналитической теории к реальным тройным звездным системам. Выбрано несколько систем из каталога '\^ог1еу [30], для которых известны элементы орбит, необходимые для вычислений и их массы. Выявлен характер эволюции орбит, изучены вековые и долгопериодические возмущения пе-риастров и узлов внутренней и внешней орбит, исследована их динамическая устойчивость. Результаты, полученные по аналитическим формулам, сравниваются с результатами численного интегрирования системы дифференциальных уравнений неограниченной задачи трех тел и с результатами, полученными другими авторами на основе их аналитических теорий.

Приведена система расчетных формул, по которым, используя исходные данные на момент £ = можно получить значение элементов на любой момент времени.

В процессе выполнения работы применялись формулы, относящиеся к эллиптическим интегралам и функциям Якоби. При этом использовались руководства по эллиптическим функциям [31], [51]—[53]. Про-

граммы, составленные на Фортране имеются в Приложении. В заключение заметим, что основными результатами настоящей работы мы считаем:

1. Построение новой промежуточной орбиты, полученной приближенным решением системы дифференциальных уравнений пространственной неограниченной эллиптической задачи трех тел, предварительно преобразованной по методу Цейпеля. Преимущество такой орбиты в том, что из формул преобразования по методу Цейпеля автоматически получаются короткопериодические и промежуточного периода возмущения. В промежуточной орбите учитываются вековые и долгопериодические возмущения до второго порядка относительно отношения больших полуосей орбит.

2. Получение системы расчетных формул для вычисления вековых движений периастров и узлов внутренней и внешней орбит, максимального и минимального значений эксцентриситета внутренней орбиты и углов наклона в процессе эволюции.

3. Метод вычисления постоянных интегрирования в промежуточном движении.

4. Исследование двух возможных типов движений в тройных системах, подобных е Ьуг: циркулярных, когда периастр внутренней орбиты обладает вековым движением, и либрационных, когда периастр совершает периодические колебания около одного из положений д\ = 90° или 91 = 270°.

5. Важность определения знаков наклонностей орбит к картинной плоскости в тройных звездных системах. Когда углы наклона для тройной системы даны в каталоге с двойным знаком выявилось одно интересное обстоятельство: одному из возможных вариантов каждой из рассмотренных тройных звезд соответствовал случай, когда эксцентриситет внутренней орбиты периодически принимал значения, близкие к 1. В этом случае возможно тесное сближение звезд внутренней

пары, которое может привести к возникновению приливных явлений. Определен интервал времени, начало которого совпадает с моментом достижения минимального периастрального расстояния. В одном из рассмотренных вариантов система не сможет существовать длительное время как тройная, так как произойдет распад внутренней пары вследствие столкновения ее составляющих. Это означает существование особого угла взаимного наклона внутренней и внешней орбит. Если в начальный момент угол взаимного наклона орбит близок к особому, то обязательно наступит момент, когда эксцентриситет внутренней орбиты будет близок к 1.

6. Метод решения уравнений возмущенного движения. Обнаружены слабые долгопериодические возмущения в эксцентриситете внешней орбиты системы £ иМа и вековые возмущения в движении периастров и узлов обеих орбит.

7. Приложение разработанной аналитической теории к реальным тройным звездным системам показало, что при отсутствии резонансов и достаточно малом отношении больших полуосей внутренней и внешней орбит, промежуточное движение удовлетворительно представляет движение тройной звездной системы. Это подтверждают сравнение результатов, полученных по формулам теории с результатами численного интегрирования и сравнение с результатами, которые получил Не^г, из обработки наблюдений.

Содержание настоящего исследования представляет определенный законченный этап работ по построению теории движения тройных систем с массами одного порядка, и такими взаимными расстояниями, что два тела образуют близкую пару, а третье находится на значительном расстоянии от каждого. Работа была начата автором под руководством доктора физико-математических наук А. А. Орлова в отделе небесной механики ГАИШ и продолжена самостоятельно после его смерти в 1986 году.

Основное содержание опубликовано в следующих работах:

1. Соловая Н. А.: Частные случаи промежуточных движений в звезд-

ной задаче трех тел. Труды ГАИШ, 1974, Ь. X, с. 119-136.

2. Соловая Н. А.: О стационарных промежуточных движениях в

звездной задаче трех тел. Вестник Московского Университета, 1975, Серия 3, вып.2, с. 206-211.

3. Орлов А. А., Соловая Н. А.: Численное исследование средних изме-

нений угловых элементов в промежуточном движении звездной задачи трех тел. Сообщения ГАИШ, 1979. n0. 208-209, с. 32-38.

4. Орлов А. А., Соловая Н. А.: О промежуточных орбитах некоторых

тройных звездных систем. Труды ГАИШ, 1980,XIX, с. 66-81.

5. Орлов А. А., Соловая Н. А.: К вопросу об эволюции орбит сос-

тавляющих тройных звездных систем. Вестник Московского Университета, 1982, Серия 3, 1;. 23, n0. 3, с. 19-23.

6.

ОрловА. А., Соловая Н. А.: О возмущениях внешней орбиты крат-

ной звездной £ UMa. Вестник Московского Университета, 1986, Серия 3, t. 27, N0. 6, с. 74-77.

7.

Орлов А. А., Соловая Н. А.: Вековые и долгопериодические возму-

щения внутренней орбиты £ ИМа. Вестник Московского Университета, 1987, Серия 3, 28, n0. 6, с. 61-65.

8.

Orlov A. A., Solovaya N. A.: The stellar problem of three body and

applications. In The few body problem, ed. M. J. Valtonen, 1988, Finland, p. 243-247.

9. Соловая H.A.: О динамической устойчивости тройных звездных систем типаг Lyr. Сборник Вопросы небесной механики и звездной динамики, 1990, Изд. Наука, Алма-Ата, с. 152-156.

10.

Орлов А. А., Соловая Н. А.: Влияние углов наклона на динамиче-

скую устойчивость тройных звездных систем. Сборник Почти периодические орбиты в небесной механике, 1990, Изд. Московского Университета, под ред. Е. П. Аксенова, с. 93 -101.

11. Solovaya N. A.: The particularities of Jovian retrograde satellites.

Earth, Moon and Planets, 1995, v. 71, No. 3, p. 273-279.

12. Solovaya N. A., Pittich E. M.: Perturbation of the third and fouth

orders in the nonrestricted three-body problem. Contrib. Astron. Obs. Skalnate Pleso, 1996, No. 26, p. 87-97.

13. Solovaya N. A.: About the equilibrium solutions in the nonrestricted

three-body problem. Fourth International Workshop on Positional Astronomy and Celestial Mechanic, 1996, Peniscola, Spain, p. 17.

14. Pittich E. M., Solovaya N. A.: Perturbations of higher orders in the

nonrestricted three-body problem. Fourth International Workshop on Positional Astronomy and Celestial Mechanic, 1996, Peniscola, Spain, p. 15.

15. Соловая H. А.: Возмущения высших порядков в звездной задаче

трех тел. Вестник Московского Университета, 1997, Серия 3, No. 4, с. 47-50.

16. Соловая Н. А.: Возмущения в эксцентриситете внешней орбиты if

UMa. Вестник Московского Университета, 1998, Серия 3, No. 1, с. 49-51.

17. Solovaya N. A.: Secular perturbations in motion of the pericentron in

the three body problem. In Abstracts, JENAM98, Prague, 1998, p. 90.

В работе с соавторами диссертанту принадлежит равная доля участия в написании статей.

1. Краткий обзор теоретичеких исследований движения тройных звездных систем

Для небесной механики интерес представляют такие кратные звездные системы, в которых звезды образуют единую физическую систему.

Первые попытки построения аналитической теории движения тройных звездных систем сводились к использованию для этой цели теорий движения Луны, так как в обеих задачах рассматриваются одинаковые конфигурации систем трех материальных точек, взаимно притягивающихся по закону Ньютона. Однако, между этими задачами имеется различие: сумма масс Земли и Луны очень мала по отношению к массе Солнца, а в звездной задаче все три массы могут быть одного порядка. Необходимо было переработать теории движения Луны при использовании в звездной проблеме.

В 1927 году была опубликована работа П. Славенаса [10]. В ней отправным пунктом была принята Хиллова теория движения Луны. При этом было отброшено предположение, принятое Хиллом о том, что отношение m2/(mo + т\ + шг) = 1.

Littleton [11] в 1934 году приложил к звездной системе Алголь теорию Понтекулана.

Д. Я. Мартынов [12] в 1948 году рассмотрел звездный случай проблемы трех тел в применении к затменным переменным. Он изучил влияние далекой звезды на тесную пару, основываясь на теории движения Луны Лапласа. Основной результат, полученный при этом, состоит в исследовании периодических неравенств в эпохах минимума блеска затменных переменных.

Но все существующие теории движения Луны исходят из предположений, что:

1. Лунная орбита имеет малый эксцентриситет.

2. Наклон орбиты к эклиптике мал.

3. Эксцентриситет орбиты Земли мал.

Реально существующие тройные звездные системы не укладываются в рамки этих предположений. Эксцентриситеты, как внешней так и внутренней оскулирующих орбит тройных звезд могут иметь любые значения в пределах 0 < е4- < 1, а взаимные наклонности этих орбит -

произвольные значения, удовлетворяющие условию 00 < 1{ < 180°.

Первую попытку построения теории движения тройных звездных систем, свободной от ограничений, накладываемых в лунных теориях, сделал в 1936 году Brown. Работа Browna состоит из трех частей -[13], [14], [15]. Во всех своих работах он принимает, что периодические неравенства в движении звезд, содержащие множителем квадраты или произведения отношений периодов обращения и их средних расстояний не могут быть обнаружены из наблюдений. Что же касается членов этого порядка в средних движениях узлов и линий апсид орбит составляющих тройной звезды, то они могут быть обнаружены, если промежутки времени наблюдений достаточно велики. В соответствии с этим Brown выбирает точность полученного им решения.

В первой части работы [13] содержится приложение теории движения Луны Делоне к звездной задаче трех тел. Автор определяет порядок малости возмущений разных типов (короткопериодических, долгопери-одических). Теория Delaunay [28], в которой используются разложения в ряды по степеням наклонности и эксцентриситета орбиты спутника и планеты пригодна лишь для малых значений величин. Это сужает рамки применимости его теории к тройным звездным системам.

Во второй части работы [14] Brown решает задачу, не используя разложений в ряды по степеням эксцентриситетов и взаимной наклонности орбит. Но он упрощает задачу, пренебрегая движениями пери-астров и узлов. Он считает это допустимым почти для всех тройных звездных систем, так как средние изменения указанных элементов орбит тройных звездных систем могут быть обнаружены из наблюдений в течение длительных периодов наблюдений. При таком упрощении автор получил периодические возмущения первого порадка элементов внутренней орбиты тройной системы.

В третьей части работы [15] Brown занимается задачей об определении средних движений узла и периастра внутренней орбиты тройной

системы, избегая разложений в ряды по степеням эксцентриситетов и наклонностей внутренней и внешней орбит. Brown заменяет точное выражение пертурбационной функции ее осредненным значением по средней аномалии внутренней звезды. Далее, он принимает за независимую переменную вместо времени истинную аномалию удаленной звезды и сводит задачу к еще более простой, которой соответствует пертурбационная функция, не содержащая истинной аномалии внешней орбиты. В конечном счете Brown получает выражения средних движений до величин шестого порядка относительно эксцентриситетов и наклонностей.

Среди исследований движения тройных систем укажем работу Р. Ляха [16]. Эта работа близка к классическим теориям движения небесных тел. В основе теории лежат его работы о разложении пертурбационной функции [17], [18], в которых он избегает бесконечных рядов относительно наклонностей. Считая отношения периодов обращения внутренней и внешней звезд и отношение больших полуосей, а также квадраты и произведения экцентриситетов их орбит величинами первого порядка малости, он вычисляет возмущения элементов внутренней орбиты с точностью до членов третьего порядка. Свою теорию он прилагает к тройной звездной системе ( Cancri. Результаты, к которым он приходит, дают хорошее согласие с наблюдениями.

Также задачей трех тел занимались Каминский [19] и Воронов [20]. Заметим, что во всех перечисленных работах исследовались возмущения только внутренней орбиты тройной системы. Относительно внешней орбиты делаются предположения, что ее возмущения очень малы и не могут быть обнаружены из наблюдений. В рамках такого предположения внешнюю орбиту можно считать неизменным эллипсом. Однако, как уже упоминалось, Heintz [8] обнаружил возмущения внешней орбиты £ UMa. Таким образом, существуют такие тройные звездные системы, для которых нельзя пренебрегать возмущениями ее удален-

нои составляющей.

В такой постановке задачей о движении тройной звездной системы занимался Harrington [5], [6]. Начало нашего исследования имеет много общего с работами Harringtona, применившего метод Цейпеля к звездной задаче трех тел. За основную систему отсчета принимается яко-биева система координат и в качестве основной плоскости принята плоскость, перпендикулярная моменту количества движения тройной звезды относительно якобиевой системы координат. После двукратного приложения метода Цейпеля автор ограничивается слагаемыми второго порядка в гамильтониане, но не получает строгое решение, а прибегает к дальнейшим упрощениям. В работе [4] автор обращает внимание на то, что в определяющую функцию входит уравнение центра удаленной звезды. Это обстоятельство Harrington считает препятствием для определения дальнейших членов разложения функции S^, так как уравнение центра, которое входит явно в уравнение для S^, не является функцией, интегрируемой в конечном виде. Применяя метод Цейпеля к задаче о движении спутников А. А. Орлов [26] получил член разложения определяющей функции эквивалентный который не был вычислен у Harringtona [5]. Опасения, указанные Harringtonom, что неинтегрируемость уравнения центра является препятствием для получения удобной и сравнительно компактной формулы в выражении оказались напрасными, так как в совокупности с другими слагаемыми в выражении прозводной эта величина дает интегрируемую комбинацию. В косинусе угла взаимного наклона он отбрасывает член, порядок которого при достаточно малых значениях косинуса может быть тот же, что и порядок сохраняемого слагаемого.

Остановимся на этом подробнее. Косинус угла взаимного наклона определяется формулой

с2 - G\ - G\

2 G\ G2

где с - постоянная площадей, G\ и G2 - канонические элементы Делоне. В гамильтониан системы угол взаимного наклона входит как q2. Harrington представляет его в виде:

q2 = --B + Cx, (2)

х

причем:

(c^-Gff 4L\G\ ' W

B-1C2~G1 Ш

°=ё>> (5) х = \-е\. (6)

Автор отбрасывает слагаемое С на том основании, что оно является величиной первого порядка малости относительно ai/a2. После этого дополнительного упрощения он получает решение в эллиптических функциях. Оценим порядок малости слагаемого В. Воспользуемся соотношением

с2 = Gl + G22-2G1G2q. (7)

Исключим из выражения (4) постоянную площадей. Тогда

В = (8)

В можно рассматривать как сумму двух слагаемых: первое имеет порядок а\/а2 и второе имеет порядок уа^/а^. Очевидно, при углах взаимного наклона внутренней и внешней орбит тройных систем достаточно близких к 90°, порядок малости этих членов может сравняться с отброшенным. По крайней мере в некоторых случаях это не яляется законным. В работе [44] Harrington на основе численного интегрирования

412 орбит исследует движение на устойчивость. Под устойчивостью он понимает либо ускользание одного из компонентов, либо два компонента образуют настолько близкую пару, что между ними могут произойти приливные или материальные взаимодействия. Он дает следующий критерий устойчивости. Для прямых движений, то есть, когда угол взаимного наклона меньше 90°, величина а2 (1 — e2)/ai > 3.5. Оля обратных движений, когда угол взаимного наклона больше 90°, величина о,2 (1 — e2)/ai > 2.75. Но наше аналитическое исследование и численное исследование показало, что при углах взаимного наклона, для которых выполняется критерий Harringtona, в некоторых случаях звездная система может быть неустойчива. Также не дан аналитический метод вычисления возмущений высших порядков. Возмущения высших порядков получены им численно.

Все перечисленные недостатки его работ устранены в настоящей диссертации. В такой же постановке исследовал движение тройных звездных систем шведский астроном S. Soderhjelm [9], [47]. Движение трех точечных масс было им исследовано аналитически и численно. Для получения аналитического решения он также делает упрощение в величине q2. Если Harrington полностью отбрасывает третий член, то Soderhjelm считает, что для малых эксцентриситетов наилучшим приближением будет замена

Сх2 и (2 ж - 1)С. (9)

После такой замены он получает решение в эллиптических функциях Вейерштрассе. Подробный качественный анализ неограниченной задачи трех тел был проведен в работах М. Лидова и С. Зиглина [38], [46] и проведено сравнение с аналогичными случаями в ограниченной задаче трех тел. Определено множество начальных данных, при которых в процессе эволюции происходит столкновение тел ш0, mi, m2-Поскольку в настоящей работе рассматриваются только случаи, когда

параметр ß (в обозначениях М. Лидова, С. Зиглина) достаточно велик, области I, И, III исключаются из рассмотрения. В работе [45] подробно рассмотрен вопрос об устойчивости круговых орбит с наклоном близким к 180°. Обнаружено множество значений, при которых плоские обратные движения неустойчивы по отношению к пространственным возмущениям. При некоторых значениях параметров эта неустойчивость обнаружена и для круговых плоских орбит. В ограниченной круговой двукратно-осредненной проблеме, как показал Neustadt [46] любое плоское движение устойчиво.

Мы не обнаружили ни одной реальной плоской тройной звездной системы. В нашей работе мы не останавливались на этих случаях, потому что тогда теряет смысл применение теоремы об исключении узлов. Но орбиты, имеющие взаимный наклон, близкий к 90° существуют и их устойчивость будет подробно исследована.

Заключение диссертации по теме «Астрометрия и небесная механика», Соловая, Нина Андреевна

Результаты работы могут служить фундаментом для решения проблем движения и динамической эволюции тройных звездных систем типа е Lyr. Не накладывая никаких ограничений на численные значения элементов, при некоторой модификации формул они могут быть использованы для получения качественных характеристик далеких спутников Юпитера.

Составленный комплекс программ на Фортране позволяет получить все необходимые качественные характеристики и элементы обеих орбит тройных звездных систем на любой момент времени, зная шесть кеплеровских элементов внутренней и внешней орбит (а,-, е,-, ¿¿, Wj, Mi (г = 1,2)) для данного момента Т0 и массы их компонент.

Заключение

Построена аналитическая теория движения трех материальных точек для частного случая неограниченной задачи трех тел, который в небесной механике получил название звездной задачи . В представленной теории обе орбиты, внутренняя и внешняя, являются возмущенными и их эксцентриситеты и взаимные наклонности могут изменяться в больших пределах, а массы могут быть одного порядка. На основе этой теории исследована динамическая эволюция тройных звездных систем типа е Ьуг. Были получены следующие результаты:

1. Для отыскания приближенного решения дифференциальных урав-неий использовался метод Цейпеля. В процессе его применения были получены формулы для определения возмущений короткого и промежуточного периодов с точностью до второго порядка (малой величиной первого порядка является отношение больших полуосей внутренней и внешней орбит). Вычислены члены гамильтониана до третьего порядка включительно. В этом случае гамильтониан канонической системы дифференциальных уравнений зависит от двух угловых переменных и д-2 - аргументов периастров орбит в неизменной плоскости.

2. Установлено, что если в гамильтониане учесть только члены до второго порядка включительно, то он будет зависеть от одной угловой переменной д\. В этом приближении получено строгое решение задачи в гиперэллиптических интегралах. Внутренняя орбита - есть некеплер овский эллипс с движущимся узлом и периастром и периодически изменяющимся эксцентриситетом, минимальное и максимальное значение которых может быть вычислено по формулам данной теории. Внешняя орбита - есть некеплеровский эллипс с движущимся узлом и периастром и неизменным эксцентриситетом. Это решение используется в качестве промежуточного движения при построении аналитической теории.

Получена полная система формул, представляющая оскулирующие кеплеровские элементы как в случае циркулярных, так и в случае либ-рационных орбит.

3. Разработан метод вычисления произвольных постоянных, входящих в формулы промежуточного движения.

4. Получена система формул, позволяющих вычислить вековые возмущения в промежуточном движении периастров и узлов внешней и внутренней орбит, максимальное и минимальное значения эксцентриситета внутренней орбиты и углов наклона. Динамическая эволюция системы может быть представлена на любом интервале времени.

5. С учетом в гамильтониане членов третьего порядка, разработан метод решения дифференциальных уравнений возмущеного движения. Введена новая система канонических переменных, которая позволяет избежать вековых членов при некоторых слагаемых в процессе интегрирования уравнений возмущенного движения. Получены формулы для вычисления долгопериодических возмущений в эксцентриситете внешней орбиты и вековых возмущений в движении аргументов периастров и долготы узлов.

6. Проведено качественное исследование промежуточного движения. Установлены два типа промежуточных движений, характеризующихся различными свойствами движений периастра относительной орбиты одной из звезд тесной пары - циркулярное и либрационное. В первом случае периастр дх совершает вековое движение, во втором случае - совершает колебания в ограниченных пределах, оставаясь либо вблизи области, заключающей в себе значение дх = 90° и никогда не достигая значений дх = 0° и дх = 180°, либо внутри области, заключающей в себе значение дх = 270° и никогда не достигая значений д\ = 180° и дх = 360°.

Установлено общее правило определения пределов. Определены области, внутри которых могут существовать либрационные орбиты. Либ-рационные орбиты не могут существовать, когда движение близко к компланарному.

7. Показано, что существует особый угол взаимного наклона орбит. Если в начальный момент угол взаимного наклона орбит близок к особому, то обязательно наступит момент, когда в периастре произойдет тесное сближение близкой пары, что означает возможность приливных эффектов, то есть система будет квазинеустойчивая.

8. Изучены свойства стационарных промежуточных орбит и орбит, по начальным условиям близких к стационарным. Исследована их устойчивость. Показано, что при построении аналитической теории движения объектов типа тройных звездных систем необходимо соблюдать осторожность, если в качестве исходного приближения принимать круговое движение, так как в случае неустойчивой круговой орбиты при сколь угодно малых отклонениях орбиты внутренней звезды от круговой, последующие отклонения могут оказаться существенными.

9. Система расчетных формул приложена к системе £ 11Ма, которая является интересным объектом, поскольку ее компоненты движутся по коротко-периодическим орбитам (2 года - период внутренней орбиты, 60 лет - период внешней орбиты). Сравнение вычислений, по формулам теории для угловых элементов внешней орбиты с результатами Непйга, полученными им после обработки наблюдений, получилось удовлетворительным.

Также проведено сравнение результатов, полученных по формулам промежуточного движения с результатами численного интегрирования. Сравнение показывает возможность использования формул промежуточного движения для качественных характеристик и динамической эволюции таких тройных звездных систем.

10. Результаты вычислений по формулам звездной проблемы трех тел показали, насколько важно из наблюдений правильно определить угловые элементы - углы наклона обеих орбит и долготы их узлов. Для тех звездных ситстем, у которых неизвестны лучевые скорости составляющих звездной пары при прохождении узла, углы наклона в каталогах даны с двойным знаком.

Для тройных звездных систем С, Aqu, с Cas и ADS 3358 просчитывались четыре варианта задачи и исследовались величины, характеризующие динамическую эволюцию системы. Оказалось, что если изменить знак наклона только у одной орбиты, эволюционные свойства системы претерпевают существенные изменения - одному из рассмотренных вариантов соответствовал случай, когда эксцентриситет внутренней орбиты периодически принимал значения, близкие к 1. Это означает тесное сближение и создание условий для приливных эффектов. Исследованы характеристики таких сближений: их периодичность, момент достижения минимального значения периастрального расстояния, интервал времени, в течение которого периастральное расстояние не превосходит заданного предела.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Соловая, Нина Андреевна, 1998 год

ЛИТЕРАТУРА

1. Дубошин Г. Н. Небесная механика. Основные задачи и методы,

Наука, 1968.

2. Субботин М. Ф. Введение в небесныю механику, ч. 2., ОНТИ, 1937.

3. Шарлье К. Небесная механика, Москва, 1966.

4. Harrington R. Astronomical Journal, 1968, v. 73, No. 3, p. 190.

5. Harrington R. Celest. Mech., 1969, v. 1, No. 2, p. 200.

6. Harrington R. Ph.D. dissertation submitted to the Univ. Texas, 1968.

7. Zeipel H. Ark fur Mat., Astr. och Fysik, 1916-1917, 11, h. 1-2, No 1.

8. Heintz W. Astron. Nachr., 1967, v. 289, s. 269.

9. Soderhielm S. Astronomy and Astrophys., 1982, No. 107, p. 54-60.

10. Slavenas P. Frans. of the Yall Univ., 1927, v. 6, part III, p. 35.

11. Lyttleton R. M. N., 1934, v. 95, I.

12. Мартынов Д. Я. Уч. зап. Казанского Университета, 1948, т.

108, кн. 5.

13. Brown Е. М. N., 1936, v. 97, No. 1, р. 56.

14. Brown Е. М. N., 1936, v. 97, No. 1, p. 62.

15. Brown E. M. N., 1936, v. 97, No. 2, p. 116.

16. Лях P. Звездная задача трех тел, Диссертация, 1960.

17. Лях Р. Вюлл. ИТА, 1959, т. VII, No. 16, с. 422.

18. Harrington R. Astron. J., 1970, 75, p. 1140.

19. Каминский А. Уч. записки Тадж. Университета, 1955, т. 4.

20. Воронков Б. Звездный случай задачи о трех телах, Автореферат,

Вильнус, 1949.

21. Зиглин С. Л. Письма в Астрономический Журнал, 1975, 1, No. 9.

22. Lidov М., Ziglin S. Celest. Mech., 1976, 13, No. 4, p. 471-489.

23. Орлов А. А. Труды XV Конгресса МАФ, 1965, Варшава, с. 141.

24. Орлов А. А. Вестник Московского Университета, 1970, No. 3, с.

265-271.

25. Орлов А. А. Бюлл. ИТА, 1965, X, No. 5, с. 360.

26. Орлов А. А. Труды ГАИШ, 1972, 43, вып. 2, с. 30-37.

27. Соловая Н. А. Труды ГАИШ, 1972, 43, вып. 2, с. 38-51.

28. Delaunay Ch. Theorie du mouvement de la Lyne, 1860, Mem. Acad.

Sei. de France., XXVIII, XXIX, 1867.

29. Четаев H. Г. Устойчивость движения, Москва, 1965.

30. Worley С. E. Puhl. U. S. Naval Obs., 1963, No. 18, III.

31. Appell Р., Lacour E. Principe» de la theorie des fonetions elliptiques,

Paris, 1897.

32. Heintz W. D. Veröfentlichungen der Sternwarte, 1962, München B5,

Nr. 14, s. 56-140.

33. Heintz W. D. Zeitschrift für Astrophysik, 1963, B. 57, h. 3, s. 159-171.

34. Frantz O. . Astron. J., 1958, V. 63, No. 8, p. 329.

35. Rabe W. Veröfentlichungen der Sternwarte, 1962, В 6, Nr. 4, s. 115.

36. Lidov M. L. Dynamics of Satellites, 1962, A. Roy (ed.), Springer,

Verlag, Berlin, p. 168.

37. Van den Boss W. H. Danske Vidensk. Selsk. Skrifter, 1928, 8, Rsekke

XII, 2, s. 295.

38. Лидов M., Зиглин С. Прикладная математика и механика, 1977,

т. 41, с. 234-244.

39. Зиглин С. Бюлл. ИТА, 1978, т. XIV, No. 5 (158), с. 272-276.

40. Wright W., Campbell W. Ар. J., 1900, v. 12, р. 254.

41. N^rlund N. E. A. N., 1906, В. 170, No. 8, s. 117.

42. Hertzsprung А. A. N., 1919, В 208, No. 8, s. 111.

43. Campbell W. W. Publ. Astr. Soc. Pacific, 1918, v. XXX, p. 353.

44. Harrington R. Celest. Mech., 1972, No. 6, p. 322-327.

45. Гребеников E. А., Рябов Ю. А. Новые качественные методы в

небесной механике, Наука, 1971.

46. Neustadt A. J. Pisma v Astronomical Journal, 1975, No. 1, p. 9.

47. Söderhjelm S. Astron. and Astrophys., 1975, v 42, p. 229-236.

48. Krasinsky G.A. Celest. Mech., 1972, v. 6, No. 1, p. 60-83.

49. Wolson R. E. General Catalogue of Radial Velocity, 1953.

50. Harrington R. Astron. J., 1968, v. 73, No. 6, p. 508-512.

51. Сикорский Ю. С. Элементы теории эллиптических функций,

ОНТИ, 1936.

52. Бейтман Г., Эрдейн А. Высшие трансцендентные функции, Наука,

1967.

53. Ахиезер Н. И. Элементы теории эллиптических функций, Наука,

1970.

54. Brouwer D. А. «/., 1946, v. 51, No. 8, p. 223.

55. Brouewr D. A. J., 1959, v. 64, No. 9, p. 378.

56. Kozai Y. A. J., 1962, v. 67, No. 7, p. 446.

57. Орлов А. А. Труды ГАИШ, 1950, XV, вып. 2, стр. 71.

58. Лидов М. Л. Проблемы движения ИСЗ, 1963, Изд. АН СССР, с.

119.

59. Krasinski G. The stability of the Solar System and of Small Stellar

system, 1974, (in ed. Y. Kozai), p. 95.

60. Холшевников К. В. Вестник ЛГУ, 1967, No. 7, стр. 134.

61. Гребеников Е. А. Бюлл. ИТА, 1968, т. XI, No. 5, стр. 293.

62. Моисеев Н. Д. Труды ГАИШ, 1945, т. XY, вып. 1, стр. 3.

63. Моисеев Н. Д. Сообщения ГАИШ, 1959, No. 164, стр.3.

64. Холшевников К.В. Вестник ЛГУ, 1967, No. 13, стр. 158.

65. Субботин М. Ф. Введение в небесную механику, ч.. 1., Гостехиздат,

1938.

66. Jefferys W., Moser J. Astron. J., 1966, v. 71, No. 7, p. 568.

67. Poincare H. Les methodes nouvelles de la mecanique celest., v. II, Paris,

1893.

68. Боголюбов X., Митропольский Ю. Асимптотические методы в

теории нелинейных колебаний, Физ.-мат. Гиз., 1963.

69. Morrison J. AJAA/IAN Astrod. Spec. Conf., 1965, Monterey, Calif.

70. Tisserand F. Ann. de l'obs. de Tousous, 1880, t. 1, p. A.l.

71. Kovalevsky J. C.A. Acad. Science, 1964, 258, No. 18, p. 4435.

72. Рой А. Движение no орбитам, Изд. Мир, Москва, 1981.

73. Уинтнер А. Аналитические основы небесной механики, Москва,

Изд. Наука, 1967.

74. Zeipel von H. Bihang till К. Sven. Vet.-Akad. Handl., 1898, 24, 1, No.

8.

75. Zeipel von H. Bihang till К. Sven. Vet.-Akad. Handl, 1901, 26, 1, No.

8.

76. Garfinkel B. . Astron. J., 1960, v. 65, p. 624.

77. Jefferys W., Mozer J. Astron. J., 1966, v. 71, p. 568.

78. Jefferys W., Stendish E. Astron. J., 1966, v. 71, p. 982.

79. Szebehely V. Celest. Mech., 1972, v. 6, p. 84-107.

80. Vashkovjak M. Celest. Mech., 1976, v. 13, p. 313-324.

81. Lidov M., Ziglin S. Celest. Mech., 1974, v. 9, p. 202.

82. Kozai Y. Publ. Astron. Soc. Japan, 1969, v. 21, No. 4, p. 3.

83. Standish E. Celest. Mech., 1972, v. 6, No. 3, p. 352-355.

84. Standish E. Celest. Mech., 1971, v. 4, p. 44.

85. Sidlichovsky M. Celest. Mech., 1983, 29, p. 116.

86. Sharpless S. Vistas in Astronomy, 1966, v. 8, Pergamon Press, Oxford,

p. 127.

87. Szebehely V. Celest. Mech., 1971, v. 4, p. 116.

88. Лидов M. Л. Искусственные спутники Земли, 1961, 8, АН СССР.

89. Агекян Т., Аносова Ж. Астрон. Журнал, 1967, т. 44, No. 6, с.

1261-1270.

90. Аносова Ж., Орлов В. Труды ЛГУ, 1985, т. 40, стр. 65-144.

91. Wolfram S. Mathemaiica, Addison-Wesley Publishing Company Inc.,

1991.

92. Everhart E. Dynamics of Comets: Their Origin and Evolution, 1985,

A. Carusi and G. B. Valsecchi (eds.), D. Reidel, Dordrecht, pp. 185-202.

93. Малкин И. Г. Теория устойчивости движения, Наука, 1966.

94. Дубошин Г. Н. Основы теории устойчивости движения, Изд.

МГУ, 1952.