Новые решения задачи нескольких тел и их приложения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.03.01, доктор физико-математических наук Кузьминых, Валерий Алексеевич

• Кузьминых, Валерий Алексеевич
• доктор физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Кузьминых, Валерий Алексеевич

ОГЛАВЛЕНИЕ

стр.

Введение

Глава 1. Асимптотические разложения решений в четырех случаях задачи

нескольких тел

§1. Глобальная регуляризация орбит в пространственной ограниченной

круговой задаче нескольких тел

§2. Приближенное решение задачи шести тел Юпитер-галилеевы спутники-

Солнце

§3. Аппроксимация орбит в регуляризированной спутниковой задаче четырех тел с учетом сжатия Земли и светового давления

§4. Влияние случайного параметра светового давления на промежуточное движение спутника в системе земной сфероид-спутник-Луна-Солнце

Глава 2. Теорема о практическом способе вычисления решений линейной дифференциальной периодической системы и квазипериодическое представление промежуточных орбит в астероидной задаче четырех тел

§5. Основные теоретические выводы

§6. Исходная дифференциальная система, уравнения в вариациях и характеристические показатели

§7. Квазипериодическая структура промежуточных. движений астероидов-

"греков"

Глава 3. Применение усовершенствованных методов аналитического решения дифференциальных систем в плоской ограниченной задаче трех тел.. 102 §8. Способ решения дифференциальной автономной аналитической системы,, основанный на использовании обобщенной матрицы и ее экспоненты,

§10. Полное асимптотическое разложение периодического решения первого типа

§11. Интегральные многообразия траекторий в окрестности эйлеровых решений задачи трех тел Земля-Луна-материальная точка

Глава 4. Результаты в теории возмущенного кеплеровского движения

Хилла как новый способ решения уравнений Льенара

§13. Регуляризация уравнений и асимптотическое разложение общего решения в пространственной задаче Хилла

§14. Обобщение метода Чаплыгина. Регулярное представление движения спутника сфероидальной планеты при наличии возмущений хилловского

типа

§15. Описание движения экваториального спутника сфероидальной планеты в форме гармонического осциллятора и аппроксимация орбит в плоской

спутниковой задаче трех тел

§16. Интегрируемый случай возмущенного кеплеровского движения, применимый для осредненной задачи нескольких тел и задачи Шварцшильда 168 Глава 5. Определение промежуточных орбит по граничным условиям движения

§17. Прием и результаты вычисления эллиптического движения по двум заданным векторам положения и моментам наблюдения

§18. Определение орбит возмущенного кеплеровского движения по векторам положения

§19. Определение промежуточных орбит по векторам скорости

Заключение Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Новые решения задачи нескольких тел и их приложения»

ВВЕДЕНИЕ

Знаменитая задача динамики, так называемая задача N тел, может быть сформулирована следующим образом:

N материальных точек взаимно притягиваются по закону И. Ньютона, согласно которому между каждыми двумя из этих точек имеет место сила притяжения, прямо пропорциональная массам этих точек и обратно пропорциональная квадрату расстояния между ними; точки могут свободно

двигаться в пространстве и могут находиться в начальный момент в любом состоянии движения. Определить дальнейшее движение.

Эта задача имеет большое значение в небесной механике [ 1 ]. Классическими объектами, изучаемыми в небесной механике, являются планеты и спутники Солнечной системы. Так как расстояния между телами Солнечной системы велики по сравнению с размерами самих тел, то при исследовании поступательного движения все тела можно рассматривать как материальные точки, взаимодействующие по закону И. Ньютона.

Необходимо отметить, что в рамках задачи N тел следует различать

задачу нескольких тел и задачу многих тел. При рассмотрении Солнечной

системы мы имеем дело с задачей нескольких тел, согласно

определению М. Ф. Субботина [2 ], А. Роя [ 3 ] и других авторов.

При изучении звездных систем исследуется задача многих тел.

4

Целью небесной механики является получение решений системы дифференциальных уравнений задачи нескольких тел наряду с выявлением связей между этими решениями или, другими словами, описание поведения динамической системы.

Известны десять классических интегралов задачи нескольких тел, имеющих простую механическую интерпретацию [ 4 ].

Система дифференциальных уравнений задачи нескольких (более двух) тел не имеет достаточного числа интегралов, т.е. порядок системы выше, чем число интегралов.

Представляют интерес решения этой системы при различных значениях

масс взаимодействующих тел и при различных начальных условиях движения.

Большая часть известных в настоящее время теоретических результатов, относящихся к задаче нескольких тел, получена с помощью методов теории возмущений для планетной проблемы, т.е. в случае, когда массы взаимногравитирующих материальных точек малы по сравнению с массой центрального тела, вокруг которого движутся точки.

Теория движения больших планет сводится к решению задачи десяти тел, под которыми понимаются Солнце и девять больших планет

солнечной системы. Уравнения движения интегрируются приближенно с помощью разложений в ряды.

Отметим, что существуют наиболее благоприятные обстоятельства, при которых эти ряды сходятся и суммирование нескольких первых членов приводит к почти точному ( на конечном промежутке времени) результату.

В. А. Брумберг [ 5 ] установил, что наиболее общим видом планетного движения является квазипериодическое движение с несоизмеримыми частотами.

Единственным универсальным методом получения решений этой задачи для произвольных начальных значений фазовых координат является численное интегрирование. Хорошо известно, что этим методом решение не может быть найдено для произвольно большого промежутка времени из-за накопления ошибок.

Кроме того, общее поведение динамической системы не может быть выявлено на основании частных решений, полученных численными методами. Поэтому исследование дифференциальных систем, описывающих взаимные гравитационные возмущения планет Солнечной системы, проводится не только на основе прямого численного интегрирования на ограниченном интервале времени, но и посредством

формальных разложений кеплеровских оскулирующих (изменяющихся во времени) элементов орбит в ряды по степеням малых параметров.

Ряды, полученные классическими методами, разработанными П. Лапласом, Ж. Лагранжем, С. Пуассоном, У. Леверье, С. Ньюкомом и другими авторами [ 2 ], и более современными методами М. Ли и П. Л. Чебышева, дают возможность с той или иной степенью точности предсказывать положение планет путем вычисления их орбит.

Для построения теории движения конкретных небесных тел разрабатываются вычислительные методы, основанные , как правило, на асимптотических разложениях решений соответствующей задачи нескольких тел Солнечной системы.

Общие вопросы задачи нескольких тел рассматриваются в монографиях [ 2 ], [ 3 ], [ 6 ], а в работе [ 7 ] изучаются особенности решений этой задачи возникающие, в частности, при соударениях тел. Известные современные асимптотические разложения решений включают в себя последовательности пикаровских приближений в некоторых областях фазового пространства ([ 8 ], [ 9 ] ), а также первое приближение в окрестности порождающего решения [ 10 ] . Особое место занимают исследования [ 11 ], [ 12 ], посвященные регуляризации уравнений движения этой задачи. Здесь регуляризацией, введенной в общем виде в [ 13 ], [ 14 ], считается преобразование

времени и фазовых координат, при котором в правых частях дифференциальных уравнений движения устраняются особенности, возникающие при соударениях материальных точек. С позиций аналитической динамики Е. Уиттекер [ 15 ] рассматривал первые приемы регуляризации. В работе [ 11 ] в результате локальной регуляризации ( в окрестности одного соударения ) выведены начальные члены разложения решений относительно степеней регулярного времени, а в статье [ 12 ] получена регуляризированная каноническая система (8Ы-6) уравнений, гамильтониан которой имеет слагаемые, содержащие значения масс материальных точек в своих знаменателях. В статье [ 16 ] составлена глобально регуляризированная система (N+8) дифференциальных уравнений (справедливых для любых значений масс) движения материальной точки относительно основного центра притяжения с учетом возмущений гравитирующих точек, совершающих круговые движения около центра. В статье [ 16 ] также разработано полное асимптотическое сходящееся разложение ( рекуррентной структуры) для общего решения системы. При этом функция типа Ж. Энке [ 17 ] рассматривается в качестве фазовой переменной.

Осредненное по угловым переменным решение системы в конечном виде получается на основании статьи [18 ].

Изучение движения малых планет ( астероидов ) представляет собой самостоятельную задачу небесной механики [ 19 ] . Аналитические методы, разработанные для больших планет, становятся неприемлемыми при их применении к малым планетам, так как эксцентриситеты и наклонения орбит, по которым ведутся разложения в ряды, перестают принимать малые значения почти для всех астероидов.

Большое количество ( более шести тысяч) открытых в настоящее время астероидов делает практически невозможным создание точной аналитической теории для каждого из них.

Формулы статьи [16 ] не накладывают ограничений на элементы изучаемой орбиты. Это обстоятельство дает возможность применять прокомментированную выше методику [16 ] к приближенному вычислению орбиты любого астероида.

Малые планеты, движущиеся почти точно по орбите Юпитера ( на

о

угловом расстоянии +_ 60 от него ) , называют соответственно астероида-ми - "греками" и астероидами - "троянцами".

Из многих наблюдений за движением астероида - "грека" Ахиллеса обнаружена замысловатая по своей форме орбита, его движение является близким к периодическому. Цикл теоретических исследованйй, начатых К. Шарлье [ 20 ] и продолженных Ю. А. Рябовым [ 21 ], А. Депри [ 22 ] и другими, посвящен построению теории периодических движений

астероидов Троянской группы и в развернутой форме отражен в монографии А. П. Маркеева [23 ]. В этих работах не рассматривалось влияние Сатурна на эволюцию орбит малых планет.

Согласно [ 24 ], при учете возмущения от Сатурна имеет место квазипериодическая структура движения астероидов - "греков" ( и "троянцев") в рамках плоской задачи четырех тел Солнце - астероид -Юпитер - Сатурн.

Для вывода приближенного решения этой задачи потребовалось применение способа характеристических показателей, который, в частности, рассматривался Л. Г. Лукьяновым [ 25 ] и Ю. В. Баркиным [ 26 ] в других конкретных задачах небесной механики.

В диссертации этот способ в общем виде продвинут от известных теоретических положений [ 27 ] до уровня приближенного решения линейной периодической дифференциальной системы по методике статьи [ 28 ] и применен к составлению алгоритма вычисления орбит астероидов - " греков " .

Теория движения естественных спутников Солнечной системы во многом аналогична теории движения больших планет, однако особенностью этой задачи является то обстоятельство, что масса планеты, относительно которой движется спутник, значительно меньше массы Солнца, притяжение которого существенно возмущает движение

спутников. Для близких спутников необходимо также учитывать несферичность центрального тела.

Система галилеевых спутников Юпитера определяет задачу шести тел Юпитер - Ио - Европа - Ганимед - Каллисто. Наиболее полную картину движения галилеевых спутников представил С. Феррас-Меллу в монографии [ 29 ], в которой, используя классический метод теории возмущений, автор получил основные закономерности в движении спутников. Возмущающая функция включает в себя эффекты взаимного притяжения галилеевых спутников, возмущения от Солнца и от гравитационного поля сфероидального Юпитера. Кроме того в движении самого Юпитера, согласно [ 29 ], учитывались прецессия и нутация оси вращения, которые влияют на движение галилеевых спутников. Всего теория [ 29 ] содержит более тридцати физических параметров и постоянных интегрирования, которые должны быть определены из наблюдений.

В обзоре [30 ] представлен также (максимально объемный по вычислениям) метод Ж. Лиске [31 ], в котором используются сложные ряды, и совокупность других методов определения движения галилеевых спутников.

В диссертации предлагается нелинейный алгоритм вычисления координат и скоростей галилеевых спутников , соответствующий работам

[16 ], [ 32 ] и включающий в качестве исходной линейную дифференциальную систему [29 ], которая приближенно описывает гравитационное взаимодействие галилеевых спутников в поле притяжения сфероидального Юпитера.

Частным случаем задачи нескольких тел является задача трех тел. В классической постановке задача трех тел была предметом исследования многих выдающихся механиков и математиков (Л. Эйлер, П. Лаплас, Ж. Лагранж, Н. Е. Жуковский, А. Пуанкаре, А. М. Ляпунов, Г. Н. Дубощин, Н. Д. Моисеев).

По справедливому замечанию Л. Парса [ 33 ], "...ни одно сочинение по механике не будет полным без задачи трех тел - проблемы, оказавшей на развитие этой науки, по-видимому, большее влияние, чем любая другая ".

Из свойств силовой функции этой задачи выводятся десять известных первых интегралов уравнений движения в абсолютной системе координат.

Г. Брунс [ 15 ] доказал, что дифференциальная система этой задачи не имеет никаких других первых интегралов, вьфажающихся с помощью алгебраических функций от координат и их производных, а П. Пенлеве [ 15 ] обобщил этот результат на задачу нескольких тел.

Уравнения задачи трех тел допускают пять частных решений. Два частных решения соответствуют случаю, когда три тела все время образуют равносторонний треугольник. Это - так называемые треугольные ( лагранжевы) решения.

Три частных решения, соответствующие расположению всех тел на одной прямой, называются прямолинейными (эйлеровыми ) решениями.

В этой задаче известные аналитические результаты, описанные в монографиях [ 2 ] и [ 34 ], принадлежат К. Зундману [ 35 ] и Г. А. Мерману [36 ]. Первый из перечисленных результатов характеризуется крайне мед-ленной сходимостью полученных рядов, а второй - существенными ограничениями в виде неравенств на начальные значения фазовых переменных.

В работах [37 ], [ 38 ] и [ 39 ] при условии резонансности движения и ограничении на массы содержатся решения задачи трех тел в функциях К. Вейерштрасса.

Наиболее полно исследована ограниченная задача трех тел, в которой масса одного из тел столь мала, что ее влиянием на движение остальных двух тел можно пренебречь. В этом случае два основных тела движутся под действием сил взаимного притяжения по эллиптическим орбитам вокруг центра масс. Проблема состоит в том, чтобы описать движение третьего тела (частицы).

В монографии [ 40 ] изучены периодические решения этой задачи в плоском случае; в статье [41] рассматривается в пространстве класс орбит, охватывающих тело меньшей массы и расположенных вне сферы

к/ __ТЧ __цу

его действия. В случае круговой ограниченной задачи имеет место первый интеграл движения частицы» называемый интегралом К. Якоби. Для этой задачи существуют разнообразные классы периодических движений. В диссертации составлено полное разложение периодического решения первого типа [2] . Собственные результаты авторов и обзоры многочисленных классических и современных исследований ограниченной задачи трех тел» базирующихся, в основном, на приближенных или численных решениях, а также на качественном анализе, приведены в монографиях [23 ], [ 42 ], [ 43] и [ 44 ].

Различные формальные, т.е. дополнительные к классическому, интегралы для плоской ограниченной круговой задачи трех тел построены в монографии [ 15 ] в форме асимптотических разложений, а в статье [ 45 ] - в виде ряда по степеням расстояний.

В диссертации на основании [ 46 ] локальные интегралы этой задачи (в окрестности эйлеровых решений ) выводятся в приближенной форме с помощью метода интегральных многообразий.

Сложная структура общего решения плоской ограниченной, круговой задачи трех тел была отмечена в работе [ 47 ]. В статье [ 48 ] общее

аналитическое решение этой задачи, записанной в известном регулярном виде, составлено в форме рядов по степеням аргумента, начальных значений и пара-метров в рамках метода обобщенных матриц [ 48 ], который

- является усовершенствованием классического метода интегрирования аналитических дифференциальных систем при помощи рядов [ 15 ],

- может рассматриваться в качестве параллельного дополнения по отношению к современному методу нормальной формы, представленному в монографии [ 49 ] .

Одним из предельных случаев общей задачи трех тел является задача Г. Хилла [2 ], которая имела важное значение в разработке теории движения Луны, но может использоваться и в других спутниковых задачах при условии, что отношение планетоцентрических расстояний спутника и внешнего тела является малой величиной, а орбита внешнего тела близка к круговой.

Обзор многочисленных работ, посвященных периодическим решениям задачи Хилла, приведен в статье [50 ] . Отмечая продолжение этого цикла исследований ( [ 51 ], [ 52 ]), следует выделить современные работы [53], [54], [55], в которых изучаются траектории соударения и другие орбиты хилловского типа.

Согласно [ 56 ], в рамках регуляризованной плоской задачи Хилла в окрестности траектории соударения построена цепная интегральная дробь. В статьях [57 ] и [ 58 ] для пространственной задачи Хилла произведена регуляризация уравнений движения и разработано асимптотическое сходящееся разложение общего решения по степеням начальных значений фазовых переменных и параметра; при этом коэффициенты членов разложения вычисляются по рекуррентным формулам.

В монографии [ 59 ] отмечается, что наряду с движениями классических объектов в небесной механике "исследуются движения искусственных небесных тел, находящихся под действием естественных сил природы".

Представляют интерес работы [60] и [61] о некоторых модельных допускающих редукцию вариантах общей задачи четырех тел.

Современное изучение рассматриваемой в диссертации проблемы связано с именами Е. П. Аксенова, Е. А. Гребеникова и В. Г. Деминц ( [ 62 ], [ 63 ], [ 64 ]), которые разработали спутниковый вариант ограниченной задачи трех тел.

Этот вариант основан на промежуточной орбите, т.е. траектории движения близкого к истинному, само это название показывает, что промежуточная орбита находится в каком-то смысле между

невозмущенной кеплеровской орбитой и истинной траекторией спутника. Промежуточное движение можно выбирать различными способами в зависимости от условий задачи и учета тех или иных факторов, возмущающих предварительную кеплеровскую траекторию спутника.

В работе [ 62 ] промежуточная орбита базируется на задаче двух неподвижных центров, которая заключается в исследовании движения спутника пренебрежимо малой массы, притягиваемого двумя конечными неподвижными точечными массами. Эта задача впервые была поставлена и решена Л. Эйлером [ 64 ] в плоском случае. В пространственной задаче двух неподвижных центров ( [ 1 ], [ 63 ]) силовая функция включает в себя как вторую, так и третью зональную гармонику геопотенциала и позволяет интегрировать уравнения движения в квадратурах с последующим выражением координат спутника.

Н.В. Емельянов разработал идеи [62 ] и [ 64 ] на алгоритмическом [ 65 ] и компьютерном [ 66 ] уровнях решения спутниковой задачи.

В работе С. Н. Вашковьяк [ 67 ] исследуется движение спутника Марса с учетом влияния Солнца, причем основные соотношения [ 67 ] выведены в буквенной форме и могут быть использованы для изучения движения ИСЗ.

В статье [ 68 ] рассматривается алгоритм асимптотического решения регуляризованной задачи Земля - спутник - Луна при условии,

что Луна движется по круговой орбите; в диссертации путем распространения метода Н. Н. Боголюбова - Ю. А. Митропольского [ 69 ] на многопараметрический случай, в силу [ 70 ], устанавливается структура периодического промежуточного движения спутника. Согласно [ 71 ], [ 72 ], в этой задаче изучается влияние несферичности притягивающего центра либо на экваториальное, либо ( при некотором ограничении) на пространственное движение спутника - используется метод приближенного интегрирования, введенный С. А. Чаплыгиным [ 73 ] и применявшийся в механике космического полета [ 74 ], обобщаемый, в соответствии с [75 ], по размерности дифференциальной системы и числу итераций рассматриваемого приближения.

С целью прогнозирования движения спутника на длительный интервал времени стали разрабатываться аналитические и численные теории движения ИСЗ, учитывающие основные возмущающие факторы. В работе [ 76 ] анализ уравнений движения ИСЗ производится символьно с помощью компьютера, осредненные уравнения предлагается использовать для формирования прогноза движения.

Для ИСЗ с учетом вариаций высот перигея и апогея в общем случае основными факторами, определяющими эволюцию первоначальной кеплеровской орбиты , являются: отличие гравитационного поля Земли от

центрального, возмущающее влияние Луны, возмущающее влияние Солнца, торможение в земной атмосфере, солнечное излучение.

Однако для многих исследовательских задач можно отвлечься от влияния торможения атмосферы на эволюцию орбиты, ограничиваясь рассмотрением орбит, у которых перигей удален от поверхности Земли, например, более чем на 300 км. В этом случае торможение спутника в атмосфере будет мало влиять на эволюцию орбиты по сравнению с другими факторами.

Для дуги орбиты ИСЗ с высотой меньше 1600 км [ 2 ] эффекты, вызываемые Луной и Солнцем, очень малы, хотя ими нельзя пренебречь, если спутник является геодезическим, т. е. из его наблюдения получают данные о гармониках геопотенциала Земли. Возмущения от Луны и Солнца возрастают, а от сжатия Земли убывают с ростом большой полуоси орбиты ИСЗ. Световое давление (солнечное излучение) может оказывать заметное влияние на орбиту спутника, если плотность спутника мала.

М.Л. Лидов в статье [ 77 ] рассмотрел задачу четырех тел Земля -спутник - Луна - Солнце и в предположении эллиптического движения Луны и Солнца относительно Земли вывел формулы для изменения элементов орбиты спутника за один и несколько его оборотов.

Фундаментальные обзоры [ 78 ], [ 79 ] включают в себя большое число работ, в которых рассматривается возмущенное движение ИСЗ под влиянием указанных выше факторов.

Отметим некоторые последние ( по времени издания) результаты, относящиеся к рассматриваемой тематике:

- авторы работы [ 80 ] предложили основные положения аналитического выражения гравитационных возмущений первого порядка для спутников с большим эксцентриситетом;

- в процессе построения аналитической теории движения ИСЗ в [ 81 ] рассматривается процедура разложения в ряды

П. Л. Чебышева сферических функций от координат возмущающего тела, при этом используется специальная система программирования аналитических операций с рядами. В диссертации в качестве дополнения и развития приведенных выше, а также вошедших в обзоры [78 ], [ 79 ], результатов на основании статей [ 82 ], [ 83 ] разработано асимптотическое представление регуляризованного движения спутника в поле притяжения земного сфероида при совместных возмущениях Луны, Солнца и светового давления (солнечного излучения ). Учитывается случайная вариация коэффициента светового давления. Методика проиллюстрирована на

примере высокоэллиптической траектории типа орбиты научного ИСЗ "Астрон" [ 84].

В небесной механике для основных уравнений движения изучается не только задача О.Л. Коши, но также и краевые задачи: в монографиях [ 85 ], [ 86 ], [ 87 ] и ряде других работ излагаются методы определения орбит кеплеровского движения материальной точки по заданным векторам положения или смешанным данным.

В статье [ 88 ] описывается способ вычисления орбит космических объектов в рамках задачи двух неподвижных центров по ряду оптических наблюдений угловых координат. В [ 89 ] разработан подход, при котором решение краевой задачи И. Ламберта для трех тел сводится к решению конических двухточечных краевых задач и обращению некоторой матрицы. В работе [ 90 ] рассматривается определение орбит в поле притяжения сфероида по заданным векторам положения и моментам наблюдения. Кроме того, в [ 18 ], [ 90 ] при тех же условиях определяется орбита материальной точки в центральном поле сил, соответствующем возмущающему потенциалу задачи нескольких тел, осредненному по угловым переменным.

Предшествующая вспомогательная двухточечная задача решена новым способом в [ 91 ] для эллиптического движения.

В первых статьях, посвященных определению кеплеровских орбит по заданным векторам скорости содержатся: незавершенное аналитическое решение [ 92 ] и первое приближение решения [93 ] . В работе [ 94 ] эта задача вначале решается полностью в общем виде для кеплеровского движения, а затем решение применяется к определению орбиты в поле притяжения сфероида. В диссертации на основе результатов [ 94 ], [95 ] предлагается способ определения орбиты материальной точки по трем заданным векторам скорости и моментам наблюдения в рамках осредненной задачи трех тел сфероид - точка - внешнее тело.

Ф. Р. Гантмахер в [ 96 ] отметил, что "вывод основных дифференциальных уравнений движения, исследование самих уравнений и методов их интегрирования - все это составляет основное содержание аналитической механики". Данное диссертационное исследование задачи нескольких тел проведено, в принципе, по отмеченным направлениям.

При этом используется метод вариации постоянных, на основе которого А.И. Лурье в монографии [ 97 ] вывел фундаментальные уравнения для возмущений кеплеровского движения центра масс ИСЗ , и некоторые современные методы.

Актуальность проблемы . Задача нескольких тел имеет

разнообразные приложения в небесной механике ( теория движения

планет и спутников Солнечной системы) и в динамике космического

полета (теория движения искусственных спутников планет и межпланетных космических аппаратов ). Ввиду чрезвычайной сложности задачи в настоящее время ее общее решение является неизвестным. Изучение эволюции орбит в рамках задачи нескольких тел путем использования только точных численных решений системы дифференциальных уравнений, даже в том случае, если эти решения получаются при помощи современных компьютеров, требует затраты значительного времени и трудоемкого последующего анализа. Поэтому вполне логично применять для исследования этой задачи также аналитические методы, удовлетворяющие требованиям, которые практика предъявляет к развивающейся теории. Данная диссертация посвящена аналитическому решению задачи нескольких тел, что свидетельствует об актуальности ее темы.

Основными целями работы являются:

- изучение с единых позиций (усовершенствованной регуляризации уравнений движения и последующих сходящихся асимптотических разложений решений) ограниченной круговой задачи нескольких тел, спутниковой задачи четырех и трех тел ( с учетом сжатия центрального тела ), задачи Г. Хнлла;

- рассмотрение влияния светового давления (с учетом случайного

параметра) на промежуточное движение спутника в задаче четырех

тел Земля - спутник - Луна - Солнце;

- разработка аналитического решения регуляризованной плоской круговой задачи трех тел на основе метода обобщенной матрицы;

- построение квазипериодических промежуточных орбит астероидов - "греков " в рамках задачи четырех тел Солнце -Юпитер - Сатурн - астероид на базе продвинутого метода характеристических показателей;

- определение движения материальной точки в осредненной задаче трех (или нескольких ) тел по граничным условиям, накладываемым

на векторы скорости ( или положения) материальной точки;

- применение полученных результатов к конкретным естественным и искусственным телам Солнечной системы.

Теоретическая и практическая ценность работы Разработан теоретический аппарат, базирующийся на регуляризирующих преобразованиях К. Зундмана и П. Кустаанхеймо -Е. Штифеля, способе характеристических показателей, асимптотическом методе нелинейных колебаний, рекуррентной схеме А. Депри - А.Кэмила,

методе С.А.Чаплыгина, способе цепных интегральных дробей, методе обобщенных матриц, методе интегральных многообразий.

Полученные асимптотические разложения (в основном, сходящиеся) решений рассмотренных вариантов задачи нескольких тел могут быть использованы в качестве промежуточных орбит при построении теории движения различных естественных и искусственных небесных тел.

Установленные теоретические результаты применяются к конкретным небесным объектам Солнечной системы: астероидам Икар и Ахиллес, галилеевым спутникам Юпитера.

Кроме того, в качестве модельных выбираются:

- высокоэллиптическая траектория типа орбиты ИСЗ "Астрон" ;

- близкокруговая орбита ИСЗ геодезического типа;

- траектория тела, являющегося попеременно спутником Земли и

Луны.

Теоретические результаты могут также представлять интерес при реализации космических программ, связанных с научными исследованиями при помощи искусственных спутников, а также - с изучением больших планет, их естественных спутников, астероидов и комет.

Краткое содержание работы В первой части первой главы производится глобальная регуляризация уравнений относительного движения материальной точки и асимптотическое разложение решения в пространственной круговой задаче нескольких тел, составляется приближенное решение задачи шести тел Юпитер - галилеевы спутники - Солнце . Во второй части первой главы разрабатывается аппроксимация орбиты спутника в регуляризованной задаче четырех тел земной сфероид - спутник - Луна - Солнце с учетом светового давления. Затем в закон И. Ньютона - П. Н. Лебедева вводится случайный параметр и предлагается способ приближенного вычисления соответствующей переменной ковариационной матрицы.

Во второй главе доказывается теорема 1 о практическом способе вычисления решения линейной периодической системы с помощью характеристических показателей. Затем для общего случая выводятся условия чисто мнимой структуры характеристических показателей. С учетом этих результатов устанавливается квазипериодичность решений системы уравнений в вариациях для задачи четырех тел Солнце -астероид -"грек" - Юпитер - Сатурн. Приводится численный пример.

Третья глава посвящена получению аналитическйх решений плоской ограниченной круговой задачи трех тел. В первой части главы разработан метод построения векторного решения аналитической дифференциальной

системы общего вида с помощью обобщенных матриц, которые являются двумерными, счетными вправо и вниз. Метод базируется на матричном экспоненциальном решении линейных дифференциальных систем с постоянными коэффициентами. Для регуляризованной дифференциальной системы плоской ограниченной круговой задачи трех тел получено векторное представление решения с координатами в виде рядов по степеням регулярного времени, произвольных начальных значений фазовых координат и параметров.

Локальная численная иллюстрация соответствует периодической траектории, охватывающей попеременно две основные гравитирующие точки.

Во второй части третьей главы приводится полное асимптотическое разложение периодического решения первого типа и выводятся на основе метода интегральных многообразий приближенные локальные интегралы в окрестности эйлеровых решений плоской задачи трех тел Земля - Луна - материальная точка.

В четвертой главе рассмотрены решения некоторых частных случаев задачи нескольких тел. В первой части главы изучается задача Г. Хилла. Предварительно решение известного из теории колебаний уравнения А. Льенара в комплексной области значений получается в виде цепной интегральной дроби, а затем полученный результат применяется к

траекториям плоской регуляризованной задачи. В пространственной задаче применяются регуляризирующие преобразования К. Зундмана и П. Кустаанхеймо - Е. Штифеля, а также рекуррентная схема А. Депри -А. Кэмила. В результате произвольная орбита этой задачи представляется в аналитическом виде. Далее в предположении несферичности центрального тела в пространственной задаче построено приближенное решение чаплыгинского типа. Доказывается теорема 2 о сходимости чаплыгинских приближений к точному решению соответствующей автономной дифференциальной системы в общем случае.

Во второй части четвертой главы регуляризованное движение материальной точки в экваториальной плоскости сфероида при условии возмущения гравитирующей точки, движущейся по круговой орбите, представлено в виде разложений по степеням малого параметра. В последнем параграфе данной главы выводится в конечном виде общее решение векторного дифференциального уравнения возмущенного кеплеровского движения в случае, когда векторы положения и возмущающего ускорения коллинеарны, показывается применимость этого решения в осредненной задаче нескольких тел и релятивистской задаче К. Шварцшильда.

В пятой главе производится определение траекторий движения по граничным условиям в некоторых случаях задачи нескольких тел.. Вначале рассматривается ориентированное на последующее применение решение

двухточечной краевой задачи в ньютоновском поле тяготения, это решение получено с помощью нетрадиционного метода цепной дроби, затем двухточечная краевая задача решается в поле притяжения сфероида, а также - в соответствующем центральном силовом поле. Приводится числовой пример для орбиты ИСЗ геодезического типа. Показано, что полученный способ решения двухточечной краевой задачи распространяется на случай осредненного силового поля нескольких тел. В последнем параграфе данной главы задача определения орбиты по трем векторам скорости решается для кеплеровских и посткеплеровских орбит; на основании этих решений показывается, что в осредненной задаче трех тел определение орбиты по аналогичным условиям приводится к решению системы нелинейных трансцендентных уравнений стандартного типа.

Приложение 1 посвящено вопросам продолжимости полученных решений на конечные или бесконечные интервалы изменения аргументов. В приложении 2 проводится вычисление орбиты астероида Икар на основании методики, разработанной в первой главе. В приложении 3 рассмотрены выражения для функции типа Энке, которые могут применяться при различных значениях фазовых координат. В приложении 4 проведено исследование структуры периодического движения спутника в задаче трех тел земной сфероид - спутник - Луна

на основании усовершенствования с помощью теоремы 3 метода асимптотического разложения нелинейных колебаний.

В заключении приведены основные результаты работы.

На защиту выносятся следующие положения

1. Общее представление ( на основе регуляризации ) движения материальной точки относительно основного центра притяжения

в рамках пространственной круговой ограниченной задачи нескольких тел ( в частности, трех тел, включая предельный хилловский вариант), его приложение к вычислению орбиты астероида Икар; приближённые решения задачи шести тел Юпитер - Ио - Европа - Ганимед - Каллисто -Солнце для прямоугольных координат галилеевых спутников Юпитера.

2. Алгоритм вычисления промежуточной регуляризованной орбиты ИСЗ в спутниковой задаче земной сфероид - спутник - Луна - Солнце при наличии светового давления и способ нахождения соответствующей ковариационной матрицы.

3. Новый класс квазипериодических промежуточных орбит астероидов -"греков" в рамках задачи четырех тел Юпитер - астероид - Солнце Сатурн.

4. Разработка асимптотического разложения общего решения плоской регуляризованной ограниченной круговой задачи трех тел, вывод

приближенных локальных интегралов в задаче Земля - Луна - частица. 5. Способы определения орбит материальной точки по векторам

положения (осредненная задача нескольких тел), а также по векторам скорости ( осредненная задача трех тел).

Публикации. Основное содержание диссертации опубликовано в работах [16, 18, 24, 28, 32,46, 48, 56, 57, 58, 68, 70, 71, 72, 75, 82, 83, 90, 91, 94, 154 ], написанных без привлечения соавторов.

В общий список литературы включены наряду с упомянутыми выше публикациями [1] - [150] следующие работы: монография [151] о методе обобщенной планетно-лунной теории, статьи [152], [153] о представлении точных решений в плоской задаче п тел (в работе [153] также найдено многомерное множество соответствующих начальных значений), тезисы доклада [154] о приближенном выражении орбит галилеевых спутников, а также статьи [155], [156] соответственно о периодических и квазистационарных орбитах в задаче нескольких тел.

Заключение диссертации по теме «Астрометрия и небесная механика», Кузьминых, Валерий Алексеевич

ВЫВОДЫ О ПРОДОЛЖИМОСТИ РЕШЕНИЙ.

Запишем полученные выше решения для ограниченной круговой регуляризированной задачи нескольких тел (формула 1.16) и плоской ограниченной регуляризированной задачи трех тел ( формула 9. 8): которые были определены на некоторых интервалах изменения аргументов.

Изучим вопрос о продолжимости каждого из этих решений на бесконечный интервал независимого переменного. Такое единое рассмотрение представляется возможным, так как правые части соответствующих дифференциальных систем являются аналитическими функциями фазовых переменных и, кроме того, компоненты решения аналитически зависят от аргументов и начальных данных.

Согласно теореме Соколова и Холшевникова [ 9 ], если в качестве области в] изменения начальных значений исходных фазовых координат принять прямое произведение шаров, построенных отдельно в подпространствах прямоугольных координат и скоростей, то при некоторых ограничениях соответствующие решения, зависящие аналитически от времени и

Г. 1)

Г. 2) начальных данных, определены для всех действительных значений времени. Область 0[ считается авторами [ 8 »9 ] « довольно широкой ».

В силу переходных формул регуляризации ( 1. 4) и ( 9. 4) при этом решения (Г. 1) и (Г. 2) с начальными значениями из соответствующих областей являются бесконечно продолжимыми по аргументу 5>0.

Теоретические оценки максимальной (-продолжимости получены в работах [144 ], [ 145 ] Д^ общего случая задачи нескольких тел.

Переходим к рассмотрению продолжимости решений ( 3. 19) пространственной регуляризированной задачи Хилла. Придерживаясь принятых обозначений, рассмотрим наиболее интересный с точки зрения приложений А случай /г > 0, со • Следуя методу вариации постоянных [97 ], запишем решение канонической системы ( 13. 15) в следующем виде (см. §13): г = С) со5СОв + + УПЩ со

Г п I я Л -БШгда--^тЗбш- —соБЙЙ' .

32а>2 32со1 8 со У

Рг=Ч\ + К ^ / = 1,2,3,4. (Г. 3)

Зависимости представляют собой полиномы третьей степени.

Функции с, (л), с/+4 (я) при этом удовлетворяют системе дифференциальных уравнений [97] с> = {сиН-Щ1 с;+4={с(+4,Н-Н0}. (Г. 4) в которой символы { , } обозначают скобки Пуассона. Правые части системы (Г, 4) содержат только члены типа т2§ке($ ВВИДУ структуры гамильтониана

1 4 ( 1 > 2/=л 2 ;

Дифференциальная система (Г. 4), дополненная уравнением /=1, удовлетворяет условиям теоремы [ 146 ] сходимости классических разложений небесной механики. Поэтому выражения (Г. 3) представляют собой степенные ( относительно параметра т ) ряды, сходящиеся при ^\

Далее найдем интервал продолжимости [О, Б] чаплыгинского приближения решения дифференциальной системы (14. 2) промежуточного движения спутника.

Вначале определим интервал существования [О, Б]] решения системы (14. 2) в рамках классической теории. На основании [ 126 ] имеем где М = шах/,; у = 1,2.8; О. гх < и2 < г2.

Величина Б равна расстоянию начальной точки и() до границы области в.

Решение системы (14. 5), определяющей чаплыгинское приближение, имеет вид [ 107 ] л о

Поэтому вектор-функция одновременно с матричным рядом для фундаментальной матрицы Ф(я,т) [ 98 ] сходится на интервале [0, 8]].

В данном случае в силу разложения (§14) со к=1 интервал продолжимости [0, 82] решения Ляпунова-Пуанкаре определяется согласно [127 ].

В результате получаем 8=тах(8ь Бг).

В двух последних случаях максимальным значениям регулярного времени 8 соответствуют максимальные значения физического времени I , определяемые с помощью квадратуры г = /0 +1 гс (г)с/г. о

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Перечислим основные результаты работы. Разработан метод регулярного представления движения точки относительно основного центра притяжения в рамках круговой ограниченной задачи нескольких тел. Приведен иллюстрирующий пример, относящийся к орбите астреоида Икар, которая по некоторым параметрам аналогична траекториям межпланетных космических аппаратов. Составлен алгоритм вычисления прямоугольных координат галилеевых спутников Юпитера, в котором учитываются внутренние гравитационные взаимодействия в поле притяжения сфероидального Юпитера и Солнца.

Выведены регуляризированные уравнения промежуточного движения спутника в рамках задачи четырех тел земной сфероид-ИСЗ-Луна

Солнце при учете светового давления без эффекта тени. Составлены асимптотические разложения общего решения этой задачи; приведены расчеты для высокоэллиптической траектории типа орбиты ИСЗ "Астрон".

Предложен способ вычисления ковариационной матрицы вектора отклонений фазовых координат ИСЗ, возникающих в результате влияния случайного параметра светового давления на промежуточное движение.

Доказана теорема 1 о решении линейной периодической дифференциальной системы; с помощью теоремы 1 построен новый класс квазипериодических промежуточных орбит астероидов "греков" в рамках задачи четырех тел

2 3 1

Юпитер-астероид-Солнце-Сатурн. Рассмотрен численный пример для астероида "Ахиллес". В этой задаче возможна замена астероида на космический аппарат, запущенный в окрестность лагранжевой точки либрации.

На базе полученного теоретического результата, относящегося к аналитическим дифференциальным системам общего вида, разработано сходящееся разложение решения плоской регуляризированной задачи трех тел для произвольных начальных значений.

Выведены приближенные локальные интегралы в плоской задаче трех тел Земля-Луна-частица в окрестности эйлеровых решений.

Составлены: регулярная дифференциальная система уравнений движения точки и пространственной задаче Хилла и соответствующее сходящееся разложение общего решения. В плоском случае задачи Хилла выведна сходящаяся цепная интегральная дробь в окрестности траектории соударения. В общем случае колебаний, описываемых комплексным дифференциальным уравнением Льенара, такая цепная дробь является локальным интегралом.

Рассмотрен случай промежуточного движения ИСЗ в поле притяжения земного сфероида при наличии возмущения хилловского типа. Приведено регулярное представление решения на основе метода чаплыгинского интегрирования, который с помощью теоремы 2 распространен на общий случай автономных дифференциальных систем.

В конечном виде получено решение векторного дифференциального уравнения, относящегося к осредненной задаче нескольких тел.

На основе описания движения экваториального спутника сфероидальной планеты в форме гармонического осциллятора предложена аппроксимация орбит в плоской спутниковой задаче трех тел.

Разработаны способы определения орбит либо по векторам положения (осредненная задача нескольких тел), либо по векторам скорости (осредненная задача трех тел).

Доказана теорема 3 о периодических решениях возмущенной дифференциальной системы; результаты этой теоремы использованы для установления структуры периодического решения в задаче трех тел земной сфероид-спутник-Луна.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Кузьминых, Валерий Алексеевич, 1998 год

ЛИТЕРАТУРА

1. Абалакин В.К., Аксенов Е.П., Гребеников Е.А, Демин В.Г, Рябов Ю.А. Справочное руководство по небесной механике и астродинамике. Под ред. Дубошина Г.Н. М: Наука, 1976, 864 с.

2. Субботин М.Ф. Введение в теоретическую астрономию. М.: Наука, 1968. 800 с.

3. Рой А. Движение по орбитам. М.:Мир, 1981,544 с.

4. Дубошин Г.Н. Небесная механика. Основные задачи и методы, 1968, 800с.

5. Брумберг В.А. Аналитические алгоритмы небесной механики. М.гНаука, 1980. 208 с.

6. Уинтнер А. Аналитические основы небесной механики. М.: Наука, 1967, 524с.

7. Арнольд В.И. Козлов В.В., Нейштадг А.И. Математические аспекты классической и небесной механики. Итоги науки и техники. Сер. "Современные направления математики. Фундаментальные направления.", М.:ВИНИТИ, 1985, т. 3, 304 с.

8. Соколов Л.Л, Холшевников К.В. Об интегрируемости задачи N тел. // Письма в астрономический журнал. 1986г., т. 12, №.7.

9. Соколов Л.Л., Холщевников К.В. Региональная интегрируемость задачи

N тел. // Дифференциальные уравнения. 1992, т.22, №3.

2 3 4

10 Тхай B.H. Симметричные периодические орбиты задачи многих тел. Ре-зонаненость и парад планет. // Прикладная математика и механика. 1995, т.59, Вып. 3

11. Мячин В.Ф. Регуляризация двойных соударений в задаче N тел и ее применение к численному интегрированию уравнений небесной механики. // Бюлл. ин-та теорет. астрономии АН СССР. Л.: Наука, 1974, т.13, N8

12. Heggie D.C. Global regularization of Gravitational N-body Problem. // Celest. Mech. 1974,v.23,N2

13. Штифель Г., Шейфеле Г. Линейная и регулярная небесная механика. М.: Наука, 1975,303 с.

14. Яров-Яровой М.С. Система регулярных квазилинейных уравнений возмущенного движения. Сб. статей "Почти периодические орбиты в небесной механике". Под ред. Аксенова Е.П. М.: Изд-во МГУ, 1990.

15. У штекер Б.Т. Аналитическая динамика. М.-Л.: Гостехиздат, 1937, 500с.

16. Кузьминых В.А. О глобальной регуляризации орбит в одном варианте задачи нескольких тел. // Прикладная математика и механика. 1997, т.61, Вып.1.

17. Брауэр Д., Клеменс Дж. Методы небесной механики, М.: Мир, 1964, 515с.

18. Кузьминых В.А. Об интегрируемом случае возмущенного кеплеровского движения. II Прикладная математика и механика. 1988, т.52, Вып.6.

19. Чеботарев Г.А. Аналитические и численные методы небесной механики. М.-Л.: Наука, 1965, 366 с.

20. Шарлье К. Небесная механика. М.: Наука, 1966,628с.

21. Рябов Ю.А. О некоторых способах построения промежуточной орбиты для малых планет троянской группы // Астрономический журнал. 1957. т.34, N2.

22. Deprit A., Delie A. Trojan orbits. I. d'Alembert series at L4 //Icarus. 1965, v.4, N.3

23. Маркеев А.П. Точки либрации в небесной механике и космодинамике. М.: Наука, 1978,312с.

24. Кузьминых В.А. О промежуточных орбитах астероидов в окрестности треугольной точки либрации системы Солнце-Юпитер // "Наблюдение естественных и искусственных тел Солнечной системы. Всеросс. конференция с международным участием." 1996. СПб.: Изд-во ИТА РАН.

25 Лукьянов Л.Г. Об устойчивости в первом приближении треугольных лагранжевых решений ограниченной эллиптической задачи трех тел. // Бюлл. ин-та теорет. астрономии АН СССР. Л.: Наука, 1969, т.11, №10

26. Баркин Ю.В. Вычисление характеристических показателей периодического решения Пуанкаре и устойчивость возмущенного движения небесных тел по законам Кассини //Письма в астрономический журнал, 1979, т.5, N2

г з в

27. Якубович В.А., Старжинский В.М. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения. М.: Наука, 1972,720 с.

28. Кузьминых В.А. Построение промежуточной квазипериодической орбиты спутника на основе нового способа вычисления характеристических показателей. // Изв. вузов. "Геодезия и аэрофотосъемка". 1997. №4

29. Феррае-Меллу С. Динамика Галлилеевых спутников Юпитера. М.: Мир, 1983.136 с.

30. Уральская B.C. Система Юпитера. Итоги науки и техники. Сер. "Исследования космического пространства". Динамика спутников планет. М.: ВИНИТИ, 1991, т.35.

31. Lieske J.H. Theory of motion of Jupiter's Galilean Satellites // Astron und Astrophys. 1977, v.56, №3

32. Кузьминых B.A. Об одном способе вычисления оскулирующих элементов галилеевых спутников Юпитера // "Наблюдения естественных и искусственных тел Солнечной системы. Всерос. конф. с международным участием. " 1996. СПб.: Изд-во ИТА РАН

33. Парс Л. Аналитическая динамика. М.: Наука, 1971,636 с.

34. Голубев В.Г., Гребеников ЕА. Проблема трех тел в небесной механике. М.: Изд-во МГУ, 1985,240с.

35. Sundman K.Memoire sur le probleme des trois eorps 11 Acta Math, 1912, v.36, 105 p.

36. Мерман Г.А. О представлении общего решения задачи трех тел сходящимися рядами // Бюлл. ин-та теорет. астрономии АН СССР, 1958, т.6

37. Герасимов И.А. Эволюция орбит астероидов в случае соизмеримоетей средних движений // Астрономический журнал. 1986, т.63, N3

38. Мушаилов Б.Р. Аналитическое решение для двухчастотный резонансной системы первого порядка в задаче трех тел. // Астрон. вестник, 1996, т.29, N1

39. Shinkin V.N. The integrable cases of the three-body problem at second-order resonance under the high oblateness of the central body //Celest. Mech. and Dyn. Astron. 1995-1996, v.63, №3-4.

40. Демин В.Г., Евтеев В.П. Эллиптическая задача трех тел. Душанбе. Изд-во "Дониш", 1988, 136 с.

41. Лидов МЛ., Вашковьяк М.А. Теория возмущений и анализ эволюции квазиспутниковых орбит в ограниченной задаче трех тел // Космические исследования. 1993, т.31, N2

42. Пуанкаре А. Избранные труды. Новые методы небесной механики, т.2. М.: Наука, 1972,804 с.

43. Себехей В. Теория орбит. Ограниченная задача трех тел. М.: Наука, 1982,656с.

44. Брюно А.Д. Ограниченная задача трех тел. Плоские периодические орбиты. М.: Наука, 1990, 296 с.

45. Timoshkova E.I. The formal integrals of the restricted planar problems of the three bodies //Celest. Mech. 1985, v.36, N2

46. Кузьминых B.A. Аппроксимация интегральных многообразий траекторий в плоской ограниченной задаче трех тел // "Проблемы небесной механики. Всеросс. конф. с междунар. участием ", 1997, СПб.: Изд-во ИТА РАН.

47. Гребеников Е.А., Киоса М.Н., Миронов С.В. Численно-аналитические методы исследования регулярно возмущенных многочастотных систем. М.: Изд-во МГУ, 1986, 192 с.

48. Кузьминых В.А. Об аналитическом представлении орбит в ретуляризи-рованной плоской ограниченной задаче трех тел // Космические исследования, 1997, т.35, N4.

49. Журавлев В.Ф., Климов Д.М. Прикладные методы в теории колебаний. М.: Наука, 1988,328 с.

50 Аксенов Е.П. Задача Хилла и ее периодические решения. Сб. статей "Почти периодические орбиты в небесной механике". Под ред. Аксенова Е.П. М.:Изд-во МГУ, 1990.

51. Сумароков С.И., Батхина Н.В., Батхин А.Б. Бифуркация периодических решений в задаче Хилла //"Проблемы небесной механики. Всерос. конф. с междунар. участием". 1997, СПб.: Изд-во ИТА РАН.

52. Ефимов И.Л.,Тхай В.Н. Некоторые результаты по исследованию задачи Хилла //"Проблемы небесной механики. Всерос. конф. с междунар. участием". 1997, СПб.: Изд-во ИТА РАН.

53. Козлов В.В., Фурта С.Д. Асимптотики решений сильно нелинейных систем дифференциальных уравнений. М.: Изд-во МГУ, 1996, 244с.

54. Вашковьяк М.А. О специальных частных решениях двукратно осред-ненной задачи Хилла с учетом сжатия центральной планеты //Письма в астрономический журнал. 1996, т.22, N3.

55. Салимова О.П., Белецкий В.В. Задача Хилла как динамический бильярд. Научн. конф. "Стохастические методы и эксперименты в небесной механике". Архангельск //1995.

56. Кузьминых В.А. Цепная интегральная дробь в плоской регуляризиро-ванной задаче Хилла //"Проблемы небесной механики. Всерос. конф. с междунар. участием". 1997, СПб.: Изд-во ИТА РАН.

57. Кузьминых В.А. О регуляризации задачи Хилла // Бюлл. ин-та теорет. астрономии АН СССР. Л.: Наука, 1981, т. 15, N1.

58. Кузьминых В.А. Асимптотическое разложение общего решения регуля-ризированной задачи Хилла //Астрономический журнал. 1987, т.64. Вып.2.

59. Дубошин Г.Н. Небесная механика. Методы теории движения искусственных небесных тел. М.: Наука, 1983, 352с.

60. Белецкий B.B. Об одной ограниченной задаче четырех тел. Сб. статей "Почти периодические орбиты в небесной механике". Под редакцией Аксенова Е.П., М.: Изд-во МГУ , 1990.

61 Рой А. Эмпирические критерии устойчивости в задаче многих тел. Сб. статей "Неустойчивости в динамических системах", под ред. Себехея В. Дж., М.: Мир, 1982.

62. Аксенов Е.П., Гребеников Е.А., Демин В.Г. Общее решение задачи о движении искусственного спутника в нормальном поле притяжения Земли. Сб. "Искусственные спутники Земли". 1961, Вып. 8.

63. Аксенов Е.П., Гребеников Е.А., Демин В.Г. Обобщенная задача двух неподвижных центров в теории движения искусственных спутников Земли // Астрономический журнал. 1963, т.40, вып.2.

64. Аксенов Е.П. Теория движения искусственных спутников Земли. М.: Наука, 1977, 360 с.

65. Емельянов Н.В. Методы составления алгоритмов и программ в задачах небесной механики. М.: Наука, 1983, 128 с.

66. Emelyanov N.V. The arcting analytical theory of artifical Earth satellites // Astron and Astrophys. Trans. 1992,v. 1, N2.

67. Вашковьяк C.H. Влияние Солнца на движение спутников Марса // Сообщения Гос. астрон. ин-та им П.К.Штернберга. N100, 1969.

68. Кузьминых В.А. Замечания о регуляризации спутникового варианта задачи трех тел // Астрономический журнал, 1993, т.70, вып. 3.

69. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Физматлит, 1958,408с.

70. Кузьминых В.А. О применении усовершенствованного метода Боголюбова в регулярном представлении промежуточного периодического движения спутника // Известия вузов "Геодезия и аэрофотосъемка". 1997, №1.

71. Кузьминых В.А. О регуляризации экваториальных орбит II Космические исследования. 1991, т.29, Вып.6

72. Кузьминых В.А. О применении обобщенного метода Чаплыгина в регулярном представлении возмущенного кеплеровского движения II Космические исследования. 1995, т.53, N5.

73. Чаплыгин С.А. Новый метод приближенного интегрирования дифференциальных уравнений //Тр. ЦАГИ. Вып. 30, 1932.

74. Воробьев Л.М. Метод С.А. Чаплыгина исследования дифференциальных уравнений. Сборник статей "Научные проблемы авиации и космонавтики". Под ред. Раушенбаха Б.В. М.: Наука, 1985.

75. Кузьминых В.А. Чаплыгинское решение векторного дифференциального уравнения //"Дифференциальные уравнения и применения. Международная научно-практическая конференция". 1996. СПб.: Изд-во СПбГТУ.

76. Брагазин А.Ф., Климов Д.М., Леонов В.В., Руденко В.М., Шмьшпевский И.П. Синтез алгоритмов прогноза орбитального движения искусственного спутника Земли. Препринт Института проблем механики РАН, 1992, N512, 29с.

77. Лидов М.Л. Эволюция орбит искусственных спутников планет под действием гравитационных возмущений внешних тел. Сб. "Искусственные спутники Земли". 1961. Вып.8

78. Емельянов Н.В. Влияние притяжения Луны и Солнца на движение ИСЗ. Итоги науки и техники. Сер. "Исследование космического пространства". Движение искусственных спутников Земли. М.:ВИНИТИ, 1980, т. 15.

79. Поляхова E.H. Возмущающее влияние светового давления Солнца на движение ИСЗ. Итоги науки и техники. Сер. "Исследование космического пространства". Движение искусственных спутников Земли. М.: ВИНИТИ, 1980, т. 15.

80. Васильев H.H., Вахидов A.A., Сокольский А.Г. Аналитическая теория гравитационных возмущений для спутников с большим эксцентриситетом орбиты //"Компьютерные методы небесной механики. Всерос. конф. с меж-дунар. участием". 1995, СПб.: Изд-во ИТАРАН.

81. Кантер A.A. О разложении функций от координат возмущающего тела в задаче вычисления лунно-солнечных возмущений в движении ИСЗ // Космические исследования. 1997, т.35, N3.

82. Кузьминых В.А. Регуляризация, приведение и аппроксимация промежуточной орбиты спутника //Космические исследования. 1993, Т.31, N6.

83. Кузьминых В.А. О влиянии светового давления на промежуточное движение спутника //Космические исследования. 1997, т.35, N1.

84. Ковтуненко В.М. Астрофизическая станция "Астрон". Сб. статей "Астрофизические исследования на космической станции "Астрон". Под ред. Боярчука A.A. М.: Физматлит, 1994.

85. Бэттин Р. Наведение в космосе. Мл Машиностроение, 1996,448 с.

86. Эскобал П.Р. Методы определения орбит. М.: Мир, 1970, 472 с.

87. Охоцимский Д.Б., Сихарулидзе Ю.Г. Основы механики космического полета. М.: Наука, 1990, 448 с.

88. Перов Н.И. К методу определения возмущающих орбит неизвестных космический объектов по оптическим наблюдениям //Астрономический журнал. 1987, т.64, N1.

89. Byrnes D.V. Application of the pseudostate theoiy to the three-body Lambert problem II J. Astronaut. Sei. 1989, v.37, N3.

90. Кузьминых B.A. Об определении орбит возмущенного кеплеровского движения по векторам положения //Астрономический журнал. 1995, т.72, N5.

91. Кузьминых В.А. К задаче Эйлера-Ламберта //Бюлл. ин-та теорет. астрономии АН СССР. Л.: Наука, 1984, т.15, N5.

92. Оньков И.В. Определение кеплеровской орбиты геодезического спутника по вектору скорости //Изв. вузов. "Геодезия и аэрофотосъемка". 1984, №2.

93. Манаков Ю.М., Портнов A.M. Определение орбиты ИСЗ по двум векторам его скорости // Изв. вузов "Геодезия и аэрофотосъемка". 1985, №6.

94. Кузьминых В.А. Определение орбит кеплеровского и посткеплеровского движений по векторам скорости // Изв. вузов. "Геодезия и аэрофотосъемка".

1994, №5.

95. Лидов М.Л., Ярская М.В. Интегрируемые случаи в задаче об эволюции орбиты спутника при совместном влиянии внешнего тела и нецентральности поля планеты //Космические исследования. 1974,т.12, вып. 12.

96. Гантмахер Ф.Р. Лекции по аналитической механике. М.: Наука, 1966, 300 с.

97. Лурье А.И. Аналитическая механика. М.: Физматлит, 1961. 864 с.

98. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.:Наука, 1965. 703с.

99. Стренг Г. Линейная алгебра и ее применения. М.: Мир, 1980. 454с.

100. The astonomical almanac for the year 1996. Washington. London. HMSO.

101. Румянцева Л.И. Численное интегрирование уравнений движения Луны с последующим улучшением начальных условий движения на БЭСМ-6. // Бюлл. ин-та теорет. астрономии АН СССР. Л.: Наука, 1974, т. 13, №8.

102. Аксенов Б.П. Специальные функции в небесной механике. М.: Наука, 1986.318с.

103. Кугаенко Б.В., Кузьминых В.А., Мерсов Г.А., Назиров P.P., Хавенсон Н.Г., Хацкевич И.Г., Эйсмонт Н.А., Эльясберг П.Б. Алгоритмы расчета навигационной информации. Препринт ИКИ АН СССР, 1975, N251,61с.

104. Математическая энциклопедия. М.: Советская энциклопедия, 1982, т.З.

105. Fliegel H.W. et al. The GPS radiation force-model //Proceedings of the first international Symposium on Precise Position with the Global Position System. Rockville. 1985. V.l.

106. Брайсон А., Хо-Ю-ши. Прикладная теория оптимального управления. М.: Мир, 1972. 544 с.

107. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967. 472с.

108. Былов Б.Ф., Виноград Р.Э., Гробман Д.М., Немыцкий В.В. Теория показателей Ляпунова. М.: Наука, 1966. 576с.

109. Пуанкаре А. Избранные труды. Новые методы небесной механики. М.: Наука, т.1. 1971.771с.

110. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. М.: Гостехиз-

дат, 1950. 472с.

111. Математическая энциклопедия. М.: Советская энциклопедия. 1979. Т.2.

112. Эфемериды малых планет на 1995 г. СПб. 1994. 591с.

113. Трикоми Ф. Дифференциальные уравнения. М.: Изд-во иностр. литер., 1962. 352с.

114. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1970. 720с.

115. Демин В.Г. Движение искусственного спутника в нецентральном поле тяготения. М.: Наука, 1968. 352с.

116. Кирпичников С.Н. Структура дифференциальных уравнений механики, приводимых к каноническому виду //Вестн. Ленингр. ун-та. 1973. Т. 19. Вып.4.

117. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. М.: Наука, 1970.664с.

118. Боголюбов H.H., Митропольекий Ю.А. Метод интегральных многообразий в нелинейной механике //Тр. Междунар. симп. по нелинейным колебаниям. Киев. Изд-во АН УССР. 1963. Т.1.

119. Стрыгин В.В., Соболев В.А. Разделение движений методом интегральных многообразий. М.: Наука, 1988. 256 с.

120. Скоробогатько В Л. Теория ветвящихся цепных дробей и ее приложение в вычислительной математике. М.: Наука, 1985. 312с.

2 4 7

121. Дубошин Г.Н. Небесная механика. Аналитические и качественные методы. М.: Наука, 1978. 455с.

122. Месседж П.Д. Оценки вековых членов в небесной механике. Сб. статей "Неустойчивости в динамических системах", под ред. Себехея В.Д. М.: Мир, 1982.

123. Моисеев H.H. Асимптотические методы нелинейной механики. М.: Наука, 1981.400с.

124. Ефимов A.B. Математический анализ (специальные разделы). М.: Высш. шк., 1980, 279с.

125. Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1980. 232с.

126. Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. М.-Л.: ГИТТЛ. 1949. 550с.

127. Холшевников К.В. Асимптотические методы небесной механики. Л.: Изд-во ЛГУ, 1985. 175с.

128. Математическая энциклопедия. М.: Советская энциклопедия, 1985. Т.5.

129. Бабкин Б.Н. Приближенное интегрирование системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка методом Чаплыгина // Изв. АН СССР. Серия матем. 1954. Т.20. N5.

130. Воробьев Л.И. Применимость метода Чаплыгина к к системе дифференциальных уравнений специального вида // УМН. 1965. Т.20. Вып. 4 (124).

131. Рудаков В.П. О двусторонней оценке норм решений одного класса нелинейных систем //Дифференциальные уравнения. 1970. Т.6. N2.

132. Белецкий В.В. Очерки о движении космических тел. М.: Наука, 1972.

133. Гутер P.C., Янпольский А.Р. Дифференциальные уравнения. М.: Высш. шк., 1976.304с.

134. Двайт Г.Б. Таблицы интегралов и общие математические формулы. М.: Наука, 1983. 176с.

135. Брумберг В.А. Релятивистская небесная механика. М.: Наука, 1972. 382с.

136. Хинчин А.Я. Цепные дроби. М.: Наука, 1978. 112с.

137. Marsden В., Williams H. Catalogue of cometaiy orbits. Cambridge. 1994. 12 lp.

138. Левантовский В.И. Механика полета к далеким планетам. М.: Знание, 1974.63с.

139. Бахшиян Б.Ц., Новак Б.Л. Об одном приложении теории размерности в механике космического полета // Космические исследования. 1975. Т. 13. N3.

140. Урмаев М.С. Орбитальные методы космической геодезии. М.: Наука, 1981.25с.

141. Урмаев М.С. Вычисление элементов орбиты ИСЗ по двум положениям и разности моментов //Известия вузов, "Геодезия и аэрофотосъемка". 1984, N6.

142. Бурдаев М.Н. Теория годографов в механике космического полета. М.: Машиностроение, 1975. 152с.

143. Токмалаева С.С. О расчете перелетов в поле притяжения одного притягивающего центра // "Искусственные спутники Земли." 1963. Вып. 16.

144. Babadzanjanz L.K. Existence of the continuations in the N-body problem //Celestial Mechanics. 1979. V.20. N1.

145. Wang Qin-Dong. The global solution of the N-body problem //Celestial Mechanics and Dymamical Astronomy. 1991. У.50. N1.

146. Холшевников К.В. Сходимость классических разложений небесной механики //Астрономический журнал. 1984. Т.61. Вып.З.

147. Эфемериды малых планет на 1997 г. СПб. 1996. 676с.

148. Боголюбов H.H. Одночастотные колебания в нелинейных системах со многими степенями свободы. Сб. трудов ин-та строит, механики. АН УССР. 1949.

149. Малкин И.Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний. М.: ГИТТЛ. 1956.204с.

150. Новоселов B.C. Аналитическая теория оптимизации в гравитационных

полях. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1972. 318с.

2 5 0

151. Brumberg V.A. Analytical Techniques of Celestial Mechanics. Heidelberg: Springer, 1995.

152. Elmabsout B. Sur l'existence de certaines configurations d'équilibré relatif dans le problème des n corps /7 Celest. Mech. and Dyn. Astron. 1988. V.4. №1.

153. Гребеников E.A. Теорема существования точных симметричных решений в плоской ньютоновой проблеме многих тел // Математическое модел-лирование. №5, 1998.

154. Кузьминых В.А. Нелинейный алгоритм вычисления орбит галилеевых спутников Юпитера. Науч. конф. "Новые теоретические результаты и практические задачи небесной механики". Москва //1997.

155. Hadjidemetriou J.D. The present status of periodic orbits // Celestial Mechanics. 1981. V. 23. №3.

156. Хентов A.A. О задаче многих тел при сложном резонансе // Астрономический журнал. 1997, т.74, №2.