Алгоритмы решения уравнения переноса нейтронов и гамма-квантов в задачах математического моделирования ядерных реакторов и их защиты тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Сычугова, Елена Павловна

• Сычугова, Елена Павловна
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Сычугова, Елена Павловна

ВВЕДЕНИЕ

На защиту выносятся результаты.

ГЛАВА I. Задачи математического моделирования ядерных реакторов и их защиты.

1.1. Математическое моделирование ядерных реакторов.

1.2. Постановка задач расчета ядерных реакторов и их защиты в многогрупповом приближении.

1.3. Приближение индикатрисы рассеяния полиномами Лежандра

Рт — приближение).

1.4. Угловые квадратуры Sn и ESn метода дискретных ординат.

ГЛАВА II. Итерационные методы решения.

2.1. Ускорение сходимости внешних итераций.

2.1.1. 8 - процесс ускорения сходимости итераций в задачах расчета значений Keff и источника деления.

2.1.2. Исследование скорости сходимости 8 - процесса в задаче поиска наибольшего собственного значения неотрицательной неразложимой квадратной матрицы А

2.1.3. Результаты тестовых расчетов критической сборки GODIVA в одномерной сферической геометрии.

2.1.4. Результаты расчета значений KcjJ и источника деления исходного состояния критической сборки BZD/1 в экспериментах «ZEBRA» в Х-Y-Z геометрии.

2.2.Ускорение сходимости внутренних итераций.

2.2.1. Дискретизация уравнения переноса и метод решения.

2.2.2. Метод пространственного ребаланса.

2.2.3. Фурье анализ устойчивости метода пространственного ребаланса совместно с «алмазной» схемой на примере одногрупповой плоской задачи для изотропного рассеяния в бесконечной среде.

2.2.4. Результаты тестовых расчетов железоводной борированной защиты в одномерной геометрии.

ГЛАВА III. Реализация метода дискретных ординат и эффективных методов ускорения сходимости в трехмерных модулях KIN3D, KINRTZ и KIN3D6 пакета

РЕАКТОР» для моделирования ядерных реакторов и их защиты.

3.1. Описание модуля KIN3D.

3.2. Описание модуля KINRTZ.

3.3. Описание модуля KIN3D6.

3.4. Входная информация к модулям.

3.5. Выходная информация модулей.

3.6. Информация для продолжения работы модулей.

3.7. Общая блок-схема управляющей программы KIN модулей KIN3D,

KINRTZ и KIN3D6 и основной подпрограммы DSNPN.

ГЛАВА IV. Проверка эффективности предлагаемых алгоритмов на математических моделях реальной ядерно-энергетической установки.

4.1. Расчет значений Keff и источника деления реактора СВБР 75/100.

4.2. Расчет радиационных полей в защите реактора СВБР 75/100.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Алгоритмы решения уравнения переноса нейтронов и гамма-квантов в задачах математического моделирования ядерных реакторов и их защиты»

Развитие безопасной ядерной энергетики является одной из актуальных задач современной технологии. Использование ядерной энергетики обеспечивает энергетическую независимость страны и дает явные экономические преимущества. Одним из новых направлений развития ядерной энергетики является создание ядерных реакторов малой и средней мощности на быстрых нейтронах с тяжелым жидкометаллическим теплоносителем, которые необходимы для развития регионов крайнего севера и дальнего востока. Продолжается дальнейшее развитие быстрых реакторов различного типа и назначения. При проектировании таких реакторов необходимо обеспечить выполнение всех норм ядерной и радиационной безопасности, правильно рассчитать дозы облучения и оценить надежность конструкционных материалов. Проектирование невозможно без эффективного решения задач математического моделирования ядерных реакторов, максимально приближенных к реальности.

Одной из таких задач является проблема численного решения уравнения переноса нейтронов и гамма-квантов с детальным описанием геометрии ядерного реактора и с подробной зависимостью от энергетической переменной. Возникающие при этом системы конечно-разностных уравнений обладают высокой размерностью. Итерационные методы решения таких систем, как правило, очень медленно сходятся. Проблема разработки и использования эффективных методов решения является весьма актуальной задачей, которой посвящена диссертация.

В течение более 20-ти лет в Институте Прикладной Математики им. М.В. Келдыша РАН под руководством A.B. Воронкова проводились работы по созданию численных методов и программ решения стационарных и нестационарных систем многогрупповых уравнений переноса частиц в приближении метода дискретных ординат [1] с учетом структуры расчетной области в различных геометриях [2] - [37]. Использование таких программ позволило в 1994 году впервые в нашей стране провести трехмерные расчеты уравнения переноса [8] для получения натриевого пустотного коэффициента реактивности критической сборки BZD/1 [9] - [10] в экспериментах «ZEBRA» [38] в SA приближении метода дискретных ординат, в Р{ приближении индикатрисы рассеяния и в 26 групповом разбиении по энергии. Численное решение получено методом итерации источника [1] без использования алгоритмов ускорения сходимости итераций в рамках пакета прикладных программ «РЕАКТОР» [39]. Пакет «РЕАКТОР» разработан по модульному принципу и использовался ранее для математического моделирования ядерных реакторов на быстрых нейтронах в диффузионном приближении. Поэтому все программы решения многогрупповых систем уравнений переноса оформлены в виде модулей. В состав пакета «РЕАКТОР» входят модули различного типа и назначения. Обмен информацией между модулями осуществляется через общий Архив. Системное обеспечение пакета служит для создания Архива данных, ввода информации и сопровождения работы каждого модуля. Имеются геометрические модули, модуль ввода ядерно-физических данных, модули расчета констант, модуль задания параметров рассчитываемой задачи, модуль обработки результатов расчета и др. Большинство модулей используются до расчета решения систем многогрупповых уравнений переноса частиц, подготавливая и записывая в Архив исходные данные.

Для решения уравнения переноса нейтронов и гамма-квантов в одномерной геометрии в пакете «РЕАКТОР» использовалась положительная AWDD схема метода дискретных ординат совместно с согласованной PXSA [И] схемой ускорения сходимости внутренних итераций. Пакет программ KINRZ дополнен двумя методами коррекции «алмазной» схемы [1] для получения положительного решения: схемой с «нулевой» коррекцией потока (DDO схема) и методом коррекции по шаговой схеме (DDST схема) [1], программами для расчета индикатрисы рассеяния в Рт приближении и DSA — методом ускорения внутренних итераций [16]. Разработан алгоритм [17] и создана программа решения многогруппового стационарного уравнения переноса нейтронов и гамма-квантов на сетках, согласованных со структурой расчетной области в двумерной R-Z геометрии. Разработана нестационарная методика решения уравнения переноса в R-Z геометрии на сетках, состоящих из произвольных выпуклых четырехугольников [18], [20] и получены результаты тестовых расчетов. Для проведения расчетов активной зоны ядерного реактора на быстрых нейтронах с гексагональной решеткой ТВЭЛов разработан метод и создана программа решения уравнения переноса в HEX-Z геометрии [21] с использованием DDO схемы на сетках, максимально согласованных с конфигурацией расчетной области. Первоначально написанные в однопроцессорном виде трехмерные программы решения уравнения переноса перенесены на параллельные ЭВМ кластерного типа [22] - [26] в пакете «REACTOR-P».

Настоящая работа посвящена разработке и исследованию новых эффективных методов ускорения сходимости итераций при решении однородных и неоднородных систем линейных уравнений, возникающих в задачах расчета ядерных реакторов и их защиты. При решении однородных задач расчета Kejf - эффективного коэффициента размножения и источника деления ядерного реактора в многогрупповом приближении различают внешние и внутренние итерации. Внешними итерациями называются итерации по источнику деления, а внутренними - итерации по внутригрупповому рассеянию с фиксированным источником, состоящим из источника за счет переходов из других групп и источника деления. При решении неоднородных задач защиты ядерных реакторов внешние итерации отсутствуют, если не учитывается рассеяние в верхние энергетические группы.

Наиболее полный обзор современных методов ускорения сходимости итераций для решения уравнений переноса частиц методом дискретных ординат дан в работе [40]. Плохую сходимость внешних итераций обычно связывают с близостью двух наибольших по модулю собственных значений матрицы Т системы уравнений ТО = АО, когда доминантное отношение модуля второго собственного значения к наибольшему первому близко к единице. Одним из известных методов ускорения сходимости внешних итераций является метод полиномов Чебышева [41], [42]. Этот метод организует внешние итерации вида = Сп(Т)^(р) с помощью полиномов Чебышева Сп(Т) степени п, построенных на основе информации о двух наибольших по модулю собственных значениях матрицы Т. Для его использования надо предварительно оценить величину доминантного отношения. Получение оценки сравнимо по сложности с решением исходной задачи. Кроме того, метод полиномов Чебышева слишком чувствителен к вычислительной погрешности [1], [43].

В методе сдвига [40] для ускорения сходимости внешних итераций предлагается подобрать положительную константу к: > для того, чтобы доминантное отношение у новой задачи стало меньше, чем у исходной. Новая задача получается путем добавления к обеим частям системы уравнений отрицательного слагаемого, записанного па разных итерациях в виде источника деления, деленного на к. В этом случае приходится переопределять источник деления на каждой внутренней итерации, что приводит к усложнению процесса сходимости внутренних итераций в каждой группе. Кроме того, в задачах с доминантным отношением близким к единице трудно заранее угадать наиболее подходящую константу к.

В методе обратных итераций Виланда [41] предлагается выбрать константу «/с» близкую к наибольшему собственному значению и затем организовать итерационный процесс, как в методе сдвига, чтобы получить соответствующий собственный вектор. Полученную задачу нельзя свести к последовательному решению одногрупповых уравнений [41].

В методе ребаланса на грубой сетке [43] предлагается ускорять внешние и внутренние итерации одновременно. Схема решения - двухступенчатая: расчеты чередуются на основной и на грубой сетке.

В итерационном методе подпространств Крылова [44] ищутся несколько собственных значений, близких по модулю к наибольшему собственному значению, и им соответствующие собственные векторы. Этот метод тем эффективнее, чем больше собственных значений и соответствующих им собственных векторов будут найдены, что, как правило, усложняет исходную задачу, т.к. вместо одного собственного значения ищутся несколько, и поэтому увеличивается трудоемкость решения реальных задач.

В методе квазидиффузии [45], [46] в основном решается многогрупповая система квазидиффузионных уравнений, а решение системы уравнений переноса используется для поправки диффузионного дробно-линейного функционала. Для расчета Кс/Г используется система кназидиффузионных уравнений, полученная суммированием исходной системы по энергетическим группам. Расчет Ке(Г происходит быстрее за счет того, что более трудоемкое решение системы уравнений переноса осуществляется редко. Метод квазидиффузии хорошо зарекомендовал себя в одномерной геометрии и в двумерной К-7, геометрии. Неизвестно, насколько этот метод эффективен в трехмерной геометрии.

На этом список известных методов ускорения сходимости внешних итераций практически заканчивается. Среди других методов ускорения выделяются методы, основанные на идее Л.А. Люстерника [47], предложенной для решения систем неоднородных линейных уравнений

Установлено [47], что при большом числе итераций р векторы х^р) - х(р+1) и х(р+,) — х(я+2) практически пропорциональны, а отношение компонент этих векторов приблизительно равно наибольшему собственному значению \ матрицы В. Если известны последовательные приближения х(/,),х(р+1),х(р+2), то можно оценить Л, по какой-либо /той компоненте: х = Вх + с в.1) методом простой итерации: х(р) = Вх{р-Х) +с.

Р+1) „(Р+2)

7 ">» в.2) а затем найти х, используя приближенное равенство: х(/,+1)-Зс(/,)). (в.З)

1-Я,

Метод Люстерника (в.2) - (в.З) был модифицирован и использован для ускорения сходимости итераций при решении неоднородной одногрупповой задачи (в.1) переноса нейтронов [48]. Величина параметра Л(р) < 1 вычислялась по формуле:

Л(р) = — j]^ -(p(p-X)\dV dV где (р(р) - приближение скалярного потока на итерации р , G - пространственная область, в которой рассматривается процесс переноса нейтронов. Линейная экстраполяция выполнялась через каждые четыре итерации по формуле:

V = (P(p)+~^{<P(p)-(P(p-X)) (в.4) с последующей нормировкой полученного результата для того, чтобы сохранить полный баланс частиц. Сделан вывод о том, что метод Люстерника может быть более эффективным, если его использовать в ходе итерационного процесса [48].

За рубежом метод Люстерника известен, как метод асимптотической экстраполяции источника ASE (Asymptotic Source Extrapolation) [40]. Этот метод применяется после выполнения нескольких простых итераций по источнику рассеяния. Оценка собственного значения Я с наибольшей амплитудой гармоники ошибки делается по формуле отношения двух норм: Я х(р+1)-х(р) в.5) а линейная экстраполяция по формуле: х = х(р+1/2) ч—^—(х{р+{12) —х(р)). 1-Я

Сделан вывод о том, что метод ASE не препятствует неприемлемо медленной сходимости внутренних итераций [40], если имеется много гармоник.

При использовании метода Люстерника для ускорения сходимости итераций возникает проблема разработки критериев его эффективного применения. В [49] описан близкий к методу Люстерника алгоритм ускорения сходимости итераций при решении неоднородной системы линейных уравнений (в.1), который называется «S2 - процесс». Этот метод рассмотрен для случая, когда матрица В имеет простую структуру. В 82 процессе компоненты приближения х(р) уточняются в ходе итерационного процесса после выполнения условия пропорциональности двух векторов [49]: х{р~1) -х(р~2\х{р) -х(р^) м(р) = не ii

1, (в.6) где в числителе стоит скалярное произведение векторов, а в знаменателе их евклидовы нормы. Если условие (в.6) выполнено, то вычисляется собственное значение Я\р) матрицы В задачи (в.1) по формуле:

П -Гп-2) -(п) ~Лп- 1К • (В-7)

Это собственное значение используется для уточнения приближения х к решению х : в.8)

В [49] получены следующие оценки ¿\р) = \ + / А, \р), х = х(р) + 0(|Я,|/') и х = у(р) +0(\А2\р), где х - точное решение (в.1). Сделан вывод о том, что у(р) является лучшим начальным условием для последующих итераций по сравнению с х(р). Производя время от времени уточнения (в.7) и (в.8), иногда удается существенно уменьшить общее число итераций. Для того чтобы делать такие уточнения, необходимо чтобы в разложении в ряд по собственным векторам п -мерной матрицы В невязки начального приближения:

1=1 одно из слагаемых преобладало над другими [49]. Условие (в.6) называется условием практической применимости линейной экстраполяции (в.7), (в.8). Кроме того, в [49] предложена возможная схема метода простой итерации с применением д2 - процесса ускорения сходимости. Отмечено наличие ряда моментов, затрудняющих реализацию метода и требующих серьезной математической подготовки и проведения большой серии численных экспериментов [49].

Ь(Р+1) -(Р+2)

В [50] предложено использовать метод Люстерника (в.З), где Я, = -ух<р) -х(/,+1) для ускорения сходимости итераций при решении задачи Ах = х, чередуя выполнение нескольких обычных итераций х(р) = Ах(р'1) с расчетом уточненного приближения, которое каждый раз принимается за новое начальное приближение.

В данной работе предложен разработанный автором новый метод ускорения сходимости итераций, который называется 5 - процесс, для решения задачи нахождения наибольшего по модулю собственного значения матрицы системы линейных уравнений. В задачах расчета Kcff этот метод служит для ускорения сходимости внешних итераций в случае их замедления и заключается в использовании линейной экстраполяции полученного приближения источника деления и соответствующих ему скалярных потоков вблизи положительных корней характеристического многочлена итерируемой матрицы, а также пересчета моментов угловых потоков. Этот метод является дальнейшим развитием метода Люстерника [47] и д2 - процесса Бахвалова [49] для решения однородных задач.

Проблема ускорения сходимости внутренних итераций возникает при решении уравнений переноса в одной энергетической группе методом итераций по столкновениям. Этот метод сходится быстро в задачах с оптически тонкой средой или с высокими скоростями реакции захвата. Однако он сходится медленно в задачах с оптически толстыми средами и в тех случаях, когда отношения с - s /Т,г для разных веществ близки к единице, где Eos - нулевой момент сечения рассеяния и Еу. - полное сечение.

Одним из способов ускорения сходимости внутренних итераций является метод ребаланса [51], [52], дополнительно требующий на каждой итерации относительно небольшого количества арифметических действий. В тех случаях, когда этот метод устойчив, он значительно ускоряет расчеты. Это нелинейный метод, основанный на дополнительном расчете на каждой итерации по столкновениям решения системы диффузионно-подобных разностных уравнений для мультипликативных пространственных поправок к нулевому и первому угловым моментам решения в Р] приближении индикатрисы рассеяния. Этот метод привлекателен еще и тем, что если решается задача в Рт приближении индикатрисы рассеяния, то для сохранения баланса частиц при ускорении все угловые моменты решения умножаются на соответствующие поправки в каждой пространственной точке. Такой возможности лишены DSA метод [53] и PXSA метод [54] ускорения сходимости внутренних итераций, т.к. в них используются аддитивные пространственные поправки. В DSA методе поправки ищутся к нулевому моменту решения, а в PXSA методе - к нулевому и первому угловым моментам решения.

Различают два способа ускорения методом ребаланса: на мелкой сетке (fine-mesh rebalance) и на грубой сетке (coarse-mesh rebalance). В методе ребаланса на мелкой сетке [55] уравнение для поправок записывается на сетке, заданной для решения уравнения переноса. В методе ребаланса на грубой сетке для расчета поправок используется более крупная сетка, объединяющая две или несколько ячеек мелкой сетки. Автором проведено теоретическое исследование устойчивости метода ребаланса в обоих случаях [56], [57] с помощью Фурье-анализа линеаризованного метода пространственного ребаланса совместно с «алмазной» схемой ^ метода дискретных ординат в одномерной плоской геометрии на равномерной сетке для случая изотропного рассеяния частиц на специальном классе задач: с постоянными сечениями и постоянным изотропным источником в бесконечной области. Результаты анализа показали, что для любого фиксированного 0 < с < 1 область устойчивости метода зависит от величины параметра Ег/г, где И - шаг сетки. Для достаточно малых значений с метод ребаланса устойчив и эффективно ускоряет в обоих случаях. При приближении значений с к 1 оба метода могут быть неустойчивыми. Скорость сходимости метода ребаланса становится медленной и метод даже расходится на сетках, образованных очень большим числом мелких ячеек [57]. Метод ребаланса на мелкой сетке устойчив в очень узкой области изменения параметра «1 для значений с « 1 [56], [40].

В [58] предложен способ повышения устойчивости метода ребаланса на мелкой сетке в одномерной геометрии путем введения фиктивных граничных токов на сторонах ячейки. Подтверждением устойчивости этого метода служат результаты численных расчетов [58]. Этот усовершенствованный метод называется методом пространственного ребаланса или методом частичных токов. Этот алгоритм обобщен на случай двумерной геометрии и предложена другая формула для фиктивных токов [59]. На основе результатов расчетов сделан вывод о том, что новая формула предпочтительнее для значений «с», близких к единице. Дальнейшее усовершенствование методики ускорения состоит из двух модификаций [60]: получены граничные условия для нахождения мультипликативных поправок, согласованные с граничными условиями уравнений переноса и способствующие ускорению и разработан алгоритм увеличения фиктивных токов с целью достижения эффективности ускорения в наиболее трудных задачах. Устойчивость окончательного варианта метода пространственного ребаланса исследована автором [61] с помощью Фурье-анализа линеаризованного метода в одномерной плоской геометрии.

Усовершенствованы имеющиеся программы в Х-У-^ геометрии (модуль К1№0) и в НЕХ^ геометрии (модуль КГЫЗБб) [26], [28] - [31] и разработаны новые программы (модуль КГЫЮ^) в трехмерной геометрии [27] для проведения трехмерных расчетов эффективного коэффициента размножения КС]Т ядерных реакторов на быстрых нейтронах и источника деления в однородных задачах, а также потоков нейтронов и гамма-квантов в задачах их защиты. В модулях КШЗБ и KINRTZ реализована взвешенная 0 - схема [62] (0-\¥ОО схема) метода дискретных ординат для расчета задач защиты. Во все трехмерные модули добавлены программы расчета индикатрисы рассеяния в Рт приближении. Для ускорения сходимости внутренних итераций реализован метод пространственного ребаланса, а для ускорения сходимости внешних итераций разработан и реализован новый метод 8 - процесс [36]. Результаты трехмерных расчетов реакторной установки СВБР 75/100 [63] (Свинцово-Висмутовый Быстрый Реактор) эквивалентной энергетической мощностью 75/100 МВт и его радиационной защиты, полученные по этим программам, доложены на конференциях [32] - [35], [37]. Данная работа построена следующим образом.

В первой главе описаны две основные задачи математического моделирования ядерных реакторов и их защиты. Раздел 1 посвящен проблеме математического моделирования ядерных реакторов на основе использования линеаризованного уравнения Больцмана для описания переноса нейтронов и гамма-квантов. В разделе 2 приведена постановка этих задач в многогрупповом приближении. В разделе 3 описано приближение индикатрисы рассеяния в виде ряда по полиномам Лежандра Рт до степени т, т.е. в Рт приближении. В разделе 4 описаны угловые квадратуры метода дискретных ординат, используемые в программах.

Во второй главе рассмотрены итерационные методы решения основных задач. Первый раздел посвящен новому методу 8 - процессу ускорения сходимости внешних итераций. В параграфе 1 описан степенной метод решения задачи расчета значений Ке]Г и источника деления, приведено свойство включения, позволяющее оценить на каждой внешней итерации верхнюю и нижнюю границы величины перечислены критерии окончания итерационного процесса. Обоснована возможность рассмотрения эквивалентной задачи, имеющей наибольшее собственное значение, равное единице, путем разложения начального приближения в ряд по собственным и присоединенным векторам итерируемой матрицы. Затем описан предлагаемый алгоритм ускорения сходимости внешних итераций и приведены его формулы. В параграфе 2 проведено исследование скорости сходимости 8 - процесса на примере решения вспомогательной задачи Ах = х поиска наибольшего собственного значения неотрицательной неразложимой квадратной матрицы А. Показано, что формулу линейной экстраполяции 8 - процесса можно интерпретировать, как шаг метода Ньютона [49], сделанный вблизи положительного корня характеристического уравнения итерируемой матрицы А. Представлена блок-схема 5 - процесса. В параграфе 3 приведены результаты тестовых расчетов Kejr критической сборки GODIVA [64] в одномерной сферической геометрии в SSP, приближении с различными значениями параметра S и без ускорения. Получена оценка эффективности ускорения. Показаны графики поведения значений параметров К(р) и Л(р) на внешних итерациях без ускорения и с использованием S - процесса ускорения для S = 0.9. В параграфе 4 рассмотрены результаты расчетов Kcjf и источника деления исходного состояния критической сборки BZD/1 в экспериментах «ZEBRA» [38] в X-Y-Z геометрии в 30-ти групповом приближении по энергии для SAPX и SsP3 приближений методом дискретных ординат. Сделан вывод о возможности выбора эффективного значения параметра д на основе анализа результатов предварительных расчетов в более низком SAP{ приближении.

Второй раздел посвящен методу пространственного ребаланса. В параграфе 1 описан алгоритм решения уравнения переноса в одной группе на одной внутренней итерации с использованием «взвешенной» схемы [1] в X-Y-Z геометрии. В параграфе 2 приведены формулы метода пространственного ребаланса и описана эффективная методика его использования. В параграфе 3 проводится исследование устойчивости метода пространственного ребаланса с «алмазной» схемой [61] с помощью Фурье-анализа линеаризованного метода в одномерной плоской геометрии на равномерной сетке. Рассмотрен случай изотропного рассеяния частиц на специальном классе задач: с постоянными сечениями и постоянным изотропным источником в бесконечной области. Устойчивость этого метода ранее не исследовалась. Результаты расчетов показали, что Фурье-анализ корректно предсказывает свойства устойчивости и сходимости нелинейного метода пространственного ребаланса [61]. В параграфе 4 приведены результаты тестовых расчетов железоводной борированной защиты [11] в одномерной геометрии 0-WDD схемой совместно с методом пространственного ребаланса. Для сравнения эффективности ускорения приведены результаты расчетов этой задачи AWDD схемой совместно с Р] SA методом, выполненные ранее в пакете «РЕАКТОР».

Третья глава посвящена реализации метода дискретных ординат и эффективных методик ускорения сходимости внутренних и внешних итераций [35] - [37], [61] в трехмерных программных модулях пакета «РЕАКТОР», предназначенных для расчета значений Keff и источника деления и задач защиты. Приведено описание каждого модуля.

В первом разделе описан модуль KIN3D расчета потока частиц в X-Y-Z геометрии в выпуклых областях, горизонтальное сечение которых задается на равномерной квадратной сетке. Во втором разделе описан модуль K1NRTZ, предназначенный для расчета потока частиц в R-(p-Z геометрии в цилиндрических областях с неравномерной сеткой. В третьем разделе описан модуль KIN3D6 расчета уравнения переноса в HEX-Z геометрии в выпуклых областях, горизонтальное сечение которых задается па сетке, состоящей из правильных шестиугольников. В четвертом разделе приведена общая блок-схема модулей и их основной подпрограммы DSNPN.

В четвертой главе приведены результаты решения задач математического моделирования проектируемого в настоящее время энергетического ядерного реактора СВБР 75/100 [63] и его защиты в трехмерной геометрии. Продемонстрирована эффективность предложенных алгоритмов и созданных программ. В первом разделе приведены результаты расчетов Ке(( и источника деления реактора СВБР 75/100 в HEX-Z геометрии в 30-ти групповом приближении для различных значений параметра 8 от 0.2 до 0.9 по DDO схеме. Эта же задача рассчитана в более высоком SsP\ приближении индикатрисы рассеяния с параметром S = 0.7, при котором результаты расчетов в SH Р] приближении были в 2 раза эффективнее по времени. По результатам расчетов разработаны рекомендации о выборе значения параметра 5. Во втором разделе рассмотрены результаты расчета радиационных полей в защите реакторной установки СВБР 75/100 (30 нейтронных групп и 19 гамма групп) в X-Y-Z и R-(p-Z геометрии с использованием 0-WDD схемы, в Ss приближении метода дискретных ординат и в Ръ — приближении индикатрисы рассеяния. Результаты расчетов сопоставлены с аналогичными результатами, полученными по программе TORT [65] при использовании одной и той же системы констант. Сделан вывод о том, что на эффективность ускорения внутренних итераций методом пространственного ребаланса влияют в основном два фактора: выбор номера итерации, с которой начинается ускорение итераций, и выбор 0 параметра схемы ©-WDD. Приведены рекомендации по оптимальному выбору этих параметров.

В Приложении I описан метод верхней релаксации, используемый для нахождения поправок метода пространственного ребаланса.

В Приложении II приведены основные формулы DDO схемы в HEX-Z геометрии.

В Приложении III описана 0-WDD схема и приведены ее основные формулы в X-Y-Z и R-cp-Z геометрии.

На защиту выносятся следующие результаты:

1. Предложен новый метод (3 - процесс) ускорения сходимости внешних итераций при решении задач расчета эффективного коэффициента размножения и источника деления, возникающих при математическом моделировании ядерных реакторов методом дискретных ординат в трехмерной геометрии.

2. Исследована устойчивость линеаризованного приближения метода пространственного ребаланса на одногрупповой задаче с изотропным рассеянием в бесконечной однородной среде с помощью Фурье-анализа. Доказана его устойчивость.

3. Реализованы эффективные методы ускорения внешних итераций (£- процесс) и внутренних итераций (метод пространственного ребаланса) в программных модулях пакета «РЕАКТОР» для решения уравнения переноса нейтронов и гамма-квантов, используемого при математическом моделировании ядерных реакторов и их защиты в трехмерной геометрии. Реализованы взвешенные схемы метода дискретных ординат с коррекцией.

4. Проведены численные исследования на тестовых и реальных задачах эффективности реализованных методов ускорения сходимости внутренних и внешних итераций. Разработаны рекомендации по выбору параметра 8 для эффективного ускорения внешних итераций при расчетах в 5\Рт приближении. Разработаны рекомендации по оптимальному выбору параметра в взвешенной схемы.

5. Выполнены трехмерные расчеты проектируемого в настоящее время энергетического ядерного реактора СВБР 75/100, которые были использованы в проектных работах.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Сычугова, Елена Павловна

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Предложен новый метод (д - процесс) ускорения сходимости внешних итераций при решении задач расчета эффективного коэффициента размножения и источника деления. Реализованы эффективные и адаптивные методики ускорения сходимости итераций для решения уравнения переноса нейтронов и гамма-квантов в задачах математического моделирования ядерных реакторов и их защиты. Эти методики универсальны, для их применения не требуется предварительных сведений о поведении и свойствах решения. Они могут быть использованы для решения задач математического моделирования ядерных реакторов различного типа и назначения и для расчета их защиты в трехмерной геометрии. Методы ускорения требуют на каждой итерации относительно небольшого количества дополнительных арифметических действий. 5 - процесс может быть использован при решении больших задач поиска наибольшего собственного значения неотрицательной неразложимой матрицы.

Выполнены расчеты проектируемого в настоящее время энергетического ядерного реактора СВБР 75/100 в трехмерной геометрии по разработанным программам решения уравнения переноса методом дискретных ординат.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Сычугова, Елена Павловна, 2009 год

1. Вычислительные методы в физике реакторов // Сб. статей под ред. X. Гринспена, К. Келбера, Д. Окрента, Атомиздат, Москва, 1972.

2. А.В. Воронков, Е.П. Сычугова. Характеристический метод дискретных ординат решения уравнения переноса // Препринт ИПМ АН СССР, 1987, №50, С. 1-20.

3. А.В. Воронков, Е.П. Сычугова. Комбинированные методы решения уравнения переноса//Препринт ИПМ АН СССР, 1988, №18, С. 1-31.

4. A.V. Voronkov, Е.Р. Sychugova. Combined Characteristic Methods for Solving the Transport Equation in (X,Y) Geometry // Тезисы докладов на Международном симпозиуме "Численные методы решения уравнения переноса", Москва, 26-28 мая 1992, С. 260-263.

5. Е.Р. Sychugova. Improvement of the Nodal CDSN Method of Discrete Ordinates for the Transport Equation in (X,Y) Geometry // Тезисы докладов на Международном симпозиуме "Численные методы решения уравнения переноса", Москва, 26-28 мая 1992, С. 244-247.

6. Е.П. Сычугова. Композиционный линейный характеристический CLC метод дискретных ординат для уравнения переноса в (X,Y) — геометрии // Препринт ИПМ РАН, 1992, №48, С.1-.15.

7. A.V. Voronkov, Е.Р. Sychugova. CDSN-Method for Solving the Transport Equation // Transport Theory and Statistical Physics, 1993, V. 22, Iss. 2-3, P. 221-245.

8. А.В. Воронков, Е.П. Сычугова. Решение уравнения переноса нейтронов в двумерной R-Z и трехмерной X-Y-Z геометриях методом дискретных ординат // Препринт ИПМ РАН, 1995, №6, С. 1-20.

9. А.В. Воронков, Е.П. Сычугова, E.B. Матвеева, A.H. Чебесков. Расчетные исследования натриевого пустотного коэффициента реактивности (НПЭР), измеренного в экспериментах «ZEBRA» // Препринт ИПМ РАН, 1996, №65, С. 1-24.

10. A.M. Волощенко, А.В. Воронков, Е.П. Сычугова. Согласованная P,SA схема ускорения внутренних и внешних итераций для уравнения переноса нейтронов и фотонов в одномерных геометриях в пакете РЕАКТОР // Препринт ИПМ РАН, 1996, №2, С. 1-29.

11. Л.В. Воронков, Е.П. Сычугова. CDSN метод решения уравнения переноса в трехмерной X-Y-Z геометрии // Препринт ИПМ РАН, 1996, №66, С. 1-15.

12. А.В. Воронков, Е.П. Сычугова. Линейный характеристический метод дискретных ординат для решения уравнения переноса в X-Y геометрии // Препринт ИПМ РАН, 1996, №91, С. 1-16.

13. А.В. Воронков, JI.П. Басс, Е.П. Сычугова. Пакет программ KINRZ для решения многогруппового уравнения переноса нейтронов и /-квантов в двумерной R-Z геометрии методом дискретных ординат // Препринт ИПМ РАН, 1999, №83, С. 1-30.

14. А.В. Воронков, Е.П. Сычугова. Нестационарная методика для расчета многогрупповых двумерных кинетических уравнений на сетках, состоящих из произвольных четырехугольников // Препринт ИПМ РАН, 2000, №80, С. 1-28.

15. А.В. Воронков, Ю.Н. Орлов, Е.П. Сычугова. Уравнение переноса нейтронов в движущейся среде // Препринт ИПМ РАН, 2001, №91, С. 1-16.

16. А.В. Воронков, Е.П. Сычугова. Решение уравнений переноса нейтронов в трехмерной HEX-Z геометрии // Тезисы доклада на 15-м семинаре «НЕЙТРОНИКА 2004» Нейтронно-физические проблемы атомной энергетики, 27-30 октября 2004, г. Обнинск.

17. V.I. Arzhanov, A.V. Voronkov, A.S. Golubev, N.A. Konovalov, V.A. Krukov, E.P. Sychugova. Development of portable program system for modeling neutron-physical processes in nuclear reactor on parallel computers // Proc. of Joint Int. Conf. on

18. Mathematical Methods and Supercomputing for Nuclear Applications, 5-9 October 1997, Saratoga, P. 1454-1463.

19. A.B. Воронков, Е.П. Сычугова, B.K. Смирнов, С.JT. Головков, А.Г. Рубин. Верификация пакета REACTOR-P на взаимосогласованных тестовых задачах // Отчет ИПМ РАН, 2003, №7-16-2003, С. 1-11.

20. A.B. Воронков, A.C. Голубев, Е.П. Сычугова, и др. Решение уравнения переноса в SnPm приближении в X-Y-Z и в HEX-Z геометриях па скалярных и параллельных ЭВМ // Отчет ИПМ PAII, 2005, № 7-09-2005, С. 1-65.

21. A.B. Воронков, Е.П. Сычугова. Решение уравнения переноса в SnPm приближении в R-FI-Z геометрии // Отчет ИПМ РАН, 2005, № 7-19-2005, С. 1-40.

22. A.B. Воронков, В.И. Журавлев, Е.А. Земсков, Е.П. Сычугова, Е.В. Аверченков, П.Б. Афанасьев, A.B. Дедуль, В.В. Кальченко. Новые возможности GNDL системы константного обеспечения расчета реакторов и защиты // Тезисы доклада на IX

23. Российской научной конференции «Радиационная защита и радиационная безопасность в ядерных технологиях» 24-26 октября 2006 г., Федеральное Агентство по Атомной Энергии, ГНЦ РФ Физико-Энергетический Институт им. А.И. Лейпунского, Обнинск, С. 78-80.

24. Е.П. Сычугова. Численные методы решения уравнения переноса в трехмерной геометрии в пакете «РЕАКТОР» // Тезисы докладов на 18-м семинаре НЕЙТРОНИКА-2007, Обнинск, 30 октября 2 ноября, 2007.

25. Е.П. Сычугова. Численные методы решения уравнения переноса в многогрупповом приближении в трехмерной геометрии в пакете «РЕАКТОР» // Препринт ИПМ РАН, 2007, №78, С. 1-24.

26. Е.П. Сычугова. Методы ускорения сходимости итераций в задачах математического моделирования ядерных реакторов и защиты в пакете «РЕАКТОР» // Тезисы докладов на 19-м семинаре НЕЙТРОНИКА-2008, Обнинск, 28-31 октября, 2008.

27. A.D. Knipe. Status of UKAEA Low Power Reactors // Proc. of Int. Top. Meeting on Safety, Status and Future of Non-Commercial Reactors and Irradiation Facilities in Boise, Idaho, 30 Sept.-4 Oct. 1990.

28. A. Voronkov, V. Arzhanov. "REACTOR" program System for Neutron - Physical Calculation // Proc. Int. Top. Meting: Advances in Mathematics, Computations and Reactor Physics, 1991, V. 1, April 28 - May 2, Pittsburg, USA.

29. Marvin L. Adams, Edward W. Larsen. Fast iterative methods for discrete-ordinates particle transport calculations // Progress in Nuclear Energy, v. 40, Issue 1, 2002, p. 3-159.

30. Варга P.C. Численные методы решения многомерных многогрупповых диффузионных уравнений // В кн.: Теория ядерных реакторов. Пер. с англ. под ред. Г.А. Батя, Госатомиздат, М., 1963.

31. Г.И. Марчук, В.И. Лебедев. Численные методы в теории переноса нейтронов // Атомиздат, М., 1971.

32. Шишков Л.К. Методы решения диффузионных уравнений двумерного ядерного реактора// Атомиздат, М., 1976.

33. J. S. Warsa, Т.А. Wareing, J.E. Morel, J.M. McGhee, R.B. Lehoucq. Krylov subspace iterations for deterministic k-eigenvalue calculations // J. Nucl. Sci. Eng., 2004, V. 147, P. 26-42.

34. В.Я. Гольдин, Д.Ю. Анистратов. Реактор на быстрых нейтронах в саморегулируемом нейтронно-ядерном режиме // Математическое моделирование, 1995, Т. 7, №10, С. 1232.

35. Е.Н. Аристова, В.Я. Гольдин. Экономичный расчет многогруппового уравнения переноса нейтронов для пересчета усредненных по спектру сечений // Математическое моделирование, 2008, Т. 20, №11, С. 41-54.

36. Л.А. Люстерник. Замечания к численному решению краевых задач уравнения Лапласа и вычислению собственных значений методом сеток // Труды математического института им. Стеклова, 1947, Т. 20, С.49-64.

37. В.Н. Морозов. О решении кинетических уравнений с помощью Sn -метода // В сб. «Теория и методы расчета ядерных реакторов», Госатомиздат, М., 1962, С. 91.

38. Н.С. Бахвалов. Численные методы // Наука, М., 1973.

39. М.А. Красносельский, Г.М. Вайникко, П.П. Забрейко, Я.Б. Рутицкий, В.Я. Стеценко. Приближенное решение операторных уравнений // Наука, М., 1969, С.36.

40. E.L. Wachspress. Iterative Solution of Elliptic Systems and Applications to the Neutron Diffusion Equations of Reactor Physics // Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1966.

41. E.E. Lewis, W.F. Miller. Jr. Computational Methods of Neutron Transport // John Wiley & Sons, New York, 1984.

42. R.E. Alcouffe. Diffusion Synthetic Acceleration Methods for the Diamond-Differenced Discrete-Ordinates Equations //J. Nucl. Sci. Eng., 1977, V. 64, P. 344-355.

43. A.M. Voloschenko. Completely consistent P} synthetic acceleration scheme for chargedparticle transport calculations // Proc. 1996 ANS Topical Meeting Radiation Protection and Shielding, April 21-25, 1996, No. Falmouth, USA. V. 1, P. 408-415.

44. W. W. Engle Jr., F. R. Mynatt. A Comparison of Two Methods of Inner Iteration Convergence Acceleration in Discrete Ordinates Codes // J. Trans. Am. Nucl. Soc., 1968, V. 11, P. 193-194.

45. G. Cefiis, E.W. Larscn. Stability Analysis of Fine-Mesh Rebalance // J. Trans. Am. Nucl. Soc., 1988, V. 56, P. 309-310.

46. G. R. Cefus, E. W. Larsen. Stability Analysis of Coarse-Mesh Rebalance // J. Nucl. Sci. Eng., 1990, V. 105, P. 31-39.

47. W. H. Reed. The Effectiveness of Acceleration Techniques for Iterative Methods in Transport Theory// J. Nucl. Sci. Eng., 1971, V. 45, P. 245-254.

48. W. A. Rhoades, R. L. Childs, W. W. Engle Jr. Comparison of Rebalance Stabilization Methods for Two-Dimensional Transport Calculations // J. Trans. Am. Nucl. Soc., 1978, V. 30, P. 583.

49. W.A. Rhoades. Improvements in Discrete Ordinates Acceleration // J. Trans. Am. Nucl. Soc., 1981, V. 39, P. 753.

50. Сычугова Е.П. Исследование устойчивости и эффективности метода пространственного ребаланса для ускорения сходимости итераций в задачах переноса частиц // Математическое моделирование, 2008, Т. 20, №9, С. 75-93.

51. W. A. Rhoades, W. W. Engle. A New Weighted-Difference Formulation for Discrete Ordinates Calculations // J. Trans. Am. Nucl. Soc., 1977, V. 27, P. 776-777.

52. International Handbook of Evaluated Criticality Safety Benchmark Experiments // NEA/NSC/DOC(95)03.

53. DOORS3.2 One, Two- and Tree Dimensional Discrete Ordinates Neutron/Photon Transport Code System // RSIC Computer Code Collection CCC-650, 1998.

54. B.B. Воеводин, Ю.А. Кузнецов. Матрицы и вычисления // Наука, М., 1984.

55. Lathrop K.D., Carlson B.G. Discrete Ordinates Angular Quadrature of the Neutron Transport Equation // LASL Report LA-3186 (February 1965).

56. B.G. Carlson. A Method of Characteristics and Other Improvements in Solution Methods for the Transport Equation // J. Nucl. Sci. Eng., 1976, V. 61, P. 408-425.

57. B.A. Треногин. Функциональный анализ // Наука, М., 1980, С.386.

58. А. Исимару. Распространение и рассеяние волн в случайно-неоднородных средах // Мир, М., 1981, Т. 1.

59. R. Е. MacFarlane. TRANSX-2: Code for Interfacing MATXS Cross-Section Libraries to Nuclear Transport Codes // LA-12312-MS, 1992.72. http://www.new.fT/dbforms/data/eva/evatapes/endfb6 re!8 Библиотека оцененных ядерных данных.

60. E.W. Larsen. Diffusion-Synthetic Acceleration Methods for Discrete-Ordinates Problems // J. Transport Theory and Statistical Physics, 1984, V. 13, Iss. 1-2, P. 107-126.

61. Г. H. Мантуров, M. H. Николаев, A. M. Цибуля. Программа подготовки констант CONSYST. Описание применения // Препринт ФЭИ-2828, 2000, Обнинск.