Положительные сеточные алгоритмы расчета радиационных полей в защитах сложной структуры тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Николаева, Ольга Васильевна

• Николаева, Ольга Васильевна
• кандидат физико-математических наук
• 2001

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Николаева, Ольга Васильевна

Введение

Глава I. Грубосеточные алгоритмы расчета регулярных компонент решений задач о протяженных плоских слоях

1. Решения точной и сеточной задач в плоской геометрии в приближении дискретных ординат

2. Сеточные задачи при существенном поглощении

3. Сеточные задачи при слабом поглощении

4. Результаты численных исследований

5. Задачи о многозонных плоских слоях

Глава И. Сеточные аппроксимации для сильно гетерогенных областей и пустот в задачах с (х, у) геометрией

6. Общие свойства рассматриваемых сеточных схем

7. SC (Step Characteristic) схема

8. SWDD (Special Weighted Diamond Difference) схема

9. Алгоритм VAC расчета вакуумных полостей

Глава III. Положительная и монотонная SWDD схема в задачах с (г, z) геометрией

10. WDD схема в (г, z) геометрии

11. SC схема (г, z) геометрии

12. SWDD схема в (г, z) геометрии

Глава IV. Результаты численных экспериментов

13. Результаты расчета радиационных полей в фрагменте защиты реактора БН-600, (х, у) геометрия

14. Результаты расчета модели защиты реактора ВВЭР-440, г, z) геометрия

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Положительные сеточные алгоритмы расчета радиационных полей в защитах сложной структуры»

Радиационные защиты современных ядерно-технических установок - это сложные многофункциональные системы, содержащие как протяженные однородные зоны, обеспечивающие необходимое ослабление потоков нейтронов и гамма-квантов, так и локальные неоднородности с элементами теплотехники, гидравлики, контроля и управления.

Для расчета характеристик радиационных полей в таких системах созданы и широко используются мощные программные комплексы, отечественные и зарубежные. Организация этих комплексов, как правило, опирается на реализацию единого метода во всей расчетной области. Используется один из вариантов либо метода статистического моделирования (Монте-Карло), либо сеточного метода решения уравнения переноса. Эти средства позволяют решать большое число задач радиационной защиты.

Однако в связи с повышением требований к полноте, точности и надежности расчетных результатов, а также к быстроте их получения в современных физических и технологических исследованиях продолжается поиск более эффективных алгоритмов. Чрезвычайно трудоемким оказывается определение радиационных полей в полномасштабных защитах с ослаблением потоков нейтронов на 10-14 порядков и требованием процентной точности в важных узлах защиты. Методы статистического моделирования (Монте-Карло) в таких задачах требуют расчета неприемлемо большого числа траекторий, а сеточные методы - больших пространственных и угловых сеток.

Численные методы, используемые в задачах радиационной защиты, традиционно опираются на многогрупповую аппроксимацию уравнения

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского Фонда Фундаментальных Исследований, грант № 01-01-00570. переноса по энергетической переменной, и центральной вычислительной проблемой является решение стационарного односкоростного уравнения

1) (Q • V) ¥( г, О) + crt (f)'ЧЧг, П) = F(f, Q), F(f, Q) = gs (r) Jy(f, Q • П') ¥(r, Q') dQ' + Q(r, Q),

471 определяющего значение потока частиц ¥(?, Q) в точке f расчетной области G, двигающихся в направлении единичного вектора Q. Здесь crt(?) и as(?) -полное сечение и сечение рассеяния, at(?)> as(r), y(r,Q-Q') - индикатриса, Q(r, Q) - внутренний источник. Граничные условия определяют входящий в расчетную область поток с учетом характерных условий симметрии распределений потоков, а также возможного отражения от окружающей среды:

2) ¥(г, Щ = (г, Q) + J ¥(r , С1') Щг , Q, Q') dQ'. ^ } n(r)-Q>0

Здесь dG - граница расчетной области, n(?) - внешняя нормаль к ней,

- функция отражения. Задачи (1)—(2) однозначно разрешимы и их решения положительны в G для всех Q при естественных предположениях о свойствах коэффициентов и источников, из которых наиболее существенными являются их положительность и отсутствие размножения частиц при столкновениях и отражениях [1].

В основном классе численных методов решения задач (1)-(2) используются сеточные аппроксимации по угловым и пространственным переменным.

Введение угловой сетки {Qm) с достаточно точным представлением интеграла столкновений соответствующей квадратурной формулой сводит задачу (1)-(2) к краевой задаче для системы дифференциальных уравнений, определяющей функции ^т(г) = ^(r,Qm) в приближении Дискретных

Ординат (ДО) [2]-[4]. Большое число работ посвящено развитию численных алгоритмов решения таких систем, исследованиям их свойств и программной реализации.

Аналитическое решение системы дифференциальных уравнений приближения ДО - крайне сложная задача, и опирающиеся на аналитическое решение расчетные алгоритмы реализованы только для случая плоской геометрии (см. например, [5]-[7]). При решении реальных задач введением сеток по пространственным переменным от уравнений приближения ДО переходят к аппроксимирующей их и, следовательно, задачу (1}-(2), системе сеточных уравнений (см. например, монографии [3]-[4]). Неизвестными величинами в таких системах в подавляющем большинстве случаев являются моменты (интегралы с некоторым весом) решения в ячейке и на ее гранях. Лишь в некоторых случаях в число расчетных величин включают значения решения в выбранных точках (точках пересечения граней, центрах граней и ячеек) [8]-[10].

В основу решения сеточных уравнений полагается метод итераций по столкновениям, в котором центральной проблемой является решение дифференциального уравнения (1) при заданной правой части F(r,Q). В настоящей работе рассматривается вопрос об аппроксимации уравнений приближения ДО по пространственным переменным. Проблема выбора угловой сетки не обсуждается.

Как правило, в расчетной практике используются консервативные схемы метода моментов, обеспечивающие выполнение точных уравнений баланса, получаемых интегрированием в каждой пространственной ячейке исходного уравнения (1) с набором весовых коэффициентов (обычно полиномиальных). Неконсервативные схемы использовались только в очень ранних расчетах [8]-[9], и опыт показал, что область их применимости значительно уже области применимости консервативных схем. К системе точных балансных уравнений присоединяются приближенные дополнительные соотношения, обычно линейные, связывающие моменты решения в ячейке с моментами на гранях. Положительными качествами моментных схем являются их простота и универсальность: они сравнительно легко распространяются на задачи со сложными геометриями.

В методе характеристик используется уравнение (1) в интегральной форме т

3) + tQ, Q) = , Q) exp(-at т) + Jdt F(r -1Q, Q) exp(-at t). 0

Здесь т > 0 - координата вдоль луча, проведенного из точки ? границы ячейки в направлении Q. Решение в ячейке и на "входных" гранях (Q • п(?)<0, где п(?) - внешняя нормаль к грани) в уравнении (3) заменяется его интерполянтами, и в качестве сеточных уравнений принимаются моменты (интегралы с некоторым весом) получившегося соотношения в ячейке и по "выходным" граням (Q-n(?)>0) [11]. При этом уравнения многих схем метода характеристик могут быть записаны в форме уравнений схем метода моментов.

При построении сеточных схем преимущественное внимание уделяется порядку погрешности аппроксимации уравнения (1). Она определяется погрешностью дополнительных соотношений и, как правило, оценивается величиной

4) 8 = 0(1) (Д/f)" DnvF, где А - характерный размер ячейки, I = l/at - средняя длина свободного пробега, 0<£<оо, п - порядок аппроксимации, DnvP - точная верхняя грань абсолютного значения полной производной порядка п от решения.

Повышения порядка аппроксимации естественно добиваться увеличением числа N включаемых в схему балансных уравнений. Так, на гладких решениях в задачах с плоской 1D геометрией известная DD схема, использующая лишь основное уравнение баланса (N=1) с весовым коэффициентом, равным единице, имеет второй порядок аппроксимации п = 2), а в родственных ей модальных схемах (где N>1) порядок n = 2N (Т.А.Гермогенова, [12]—[13]). В более сложных неплоских 1D, а также 2D и 3D геометриях для DD схемы п = 2, и п возрастает с увеличением числа уравнений баланса N.

В устойчивых схемах оценки вида (4) оказываются справедливыми и для погрешности сеточного решения. Они гарантируют высокую точность расчета п раз непрерывно дифференцируемых решений на достаточно густых сетках (А « £).

Однако решение задачи (1(2), как правило, имеет особенности на внешних граничных поверхностях, на поверхностях разрыва свойств среды и источников, в окрестности сосредоточенных источников [1]. Вблизи особенностей решение сингулярное-, обладает большими по абсолютной величине градиентами, или является недифференцируемым, или даже разрывным. Для надежности проводимых расчетов необходимо использовать схему, не только обеспечивающую хорошую аппроксимацию в каждой ячейке, но и правильно передающую важные качественные свойства точного решения, в частности, обладающую следующими свойствами: положительность (неотрицательность решения при неотрицательных источниках и индикатрисе) [ 14]—[ 15], монотонность (сохранение в сеточном решении числа и расположения экстремумов точного решения) [14]—[15], хорошая аппроксимация коэффициентов затухания всех гармоник Фурье преобразования точного решения [4], [16] аналогичными коэффициентами сеточного решения, корректность распределения потоков по граням ячейки [17].

Решение неположительной схемы может содержать отрицательные потоки. При использовании немонотонных схем расчет даже на густых сетках часто приводит к появлению у решения нефизических осцилляций большой амплитуды. Если высокие гармоники Фурье-преобразования сеточного решения затухают слишком медленно, амплитуда осцилляций практически не уменьшается с удалением от места их возникновения. Если высокие гармоники затухают слишком быстро, возникает эффект излишнего сглаживания сеточного решения.

Некорректность распределения потоков по граням ячейки приводит к большим ошибкам при расчете существенно сингулярных решений (например, в задачах с сильно гетерогенными средами или с сосредоточенными источниками). Требование корректности распределения потоков - основа построения некоторых одношаговых схем первого порядка точности (SC и VW схемы, K.D.Lathrop, [18]). Преобразование SC схемы к двухшаговой форме (K.A.Mathews, [17]) существенно повышает точность расчета задач с сосредоточенными источниками. Следующий шаг в этом направлении - методы длинных характеристик [19]—[22], в которых расчетная область покрывается набором характеристик уравнения (1) и используется интегральное представления решения (3). Такие методы обладают высокой точностью [23], но они трудоемки и очень чувствительны к угловой сетке.

Более значительные усилия направлены на улучшение качеств положительности и монотонности моментных схем высокого порядка аппроксимации.

Моментные DD и родственные ей нодальные схемы [12]-[13] не являются положительными и монотонными. Варьируя форму дополнительных соотношений (ДС) DD схемы, удается улучшить качество сеточного решения, не отказываясь от второго порядка аппроксимации. При этом прибегают, например, к учету в ДС эффекта криволинейности расчетной ячейки в (г, z) геометрии [24], к предположению о малости производных точного решения (И.Р.Суслов, [25]), к разбиению ячейки на части отрезками характеристик исходного уравнения (А.В.Воронков, Е.П.Сычугова, [26]-[27]) или отрезками, параллельными граням ячейки [28]—[29], к многошаговым схемам (А.М.Волощенко, [30]). Также используют ДС, полученные аппроксимацией исходного уравнения в интегральной форме (3) (Н.П.Плетенева, Р.М.Шагалиев, [31]), а также вытекающие из представления решения в ячейке билинейной [32] или экспоненциальной функцией [33] (в последнем случае ДС нелинейные). В других методах ДС получают из исходного уравнения (1), усредненного по всем переменным кроме одной [34]—[35].

Таким же образом удается улучшить качество нодальных схем с большим числом моментов. При этом используется полиномиальное [36]—[43], кусочно-полиномиальное [44]—[46] или экспоненциальное [37] представление решения. Однако эти улучшенные схемы не являются безусловно положительными и монотонными.

Разработка эффективных положительных и монотонных схем составляет другое важное направление развития сеточных методов. Одна из самых ранних таких схем - шаговая St схема, использующая одно уравнение баланса и обладающая первым порядком аппроксимации. В реальных задачах St схема имеет очень низкую точность. Более точные положительные и монотонные схемы, сохраняющие, однако, первый порядок аппроксимации, получают, вводя в ДС весовые параметры (WDD схемы, K.D.Lathrop, [18] и B.G.Carlson, [47]), а также используя представление решения кусочно-постоянной (K.A.Mathews, [50]), кусочно-линейной (В.Я.Гольдин, [8]-[9]), кусочно-параболической (М.И.Бакирова, В.Я.Карпов, [10] и В.Я.Гольдин, [48]) или кусочно-экспоненциальной функцией (SC схема, K.D.Lathrop, [18] и Ch.L.Castriani, [49]).

Порядок положительной и монотонной схемы можно повысить, увеличив число уравнений баланса (K.A.Mathews, W.F.Walters, T.A.Wareing, [51]—[54]). Однако в целом порядок аппроксимации этих схем меньше, чем порядок аппроксимации аналогичных (использующих те же уравнения баланса) схем, не удовлетворяющих условию положительности и монотонности.

Чтобы соединить в рамках единой сеточной схемы высокий порядок аппроксимации и свойства, положительности и монотонности, переходят к нелинейным схемам, т. е. взвешенным схемам с весовыми параметрами, зависящими от сеточного решения. Первоначально расчет ячейки выполняется со значениями параметров, отвечающих наибольшему из возможных порядков аппроксимации. Если полученное сеточное решение не удовлетворяют условию положительности и (или) монотонности, проводится коррекция (регуляризация) сеточного решения: ячейка пересчитывается со значениями параметров, гарантирующих полное или частичное выполнение рассматриваемых условий [4], [14]—[15], [56]. При коррекции порядок аппроксимации схемы снижается.

Большая группа нелинейных схем использует взвешенную WDD схему. Эта группа включает в себя известные положительные, но немонотонные DD/fix up, DD/St [4] схемы, положительные и частично монотонные 9WDD (W.A.Rhoades, A.Haghighat, [57]—[59]), VW [18] и адаптивные A WDD (B.G.Carlson, А.М.Волощенко, [4], [47]) схемы, положительные и монотонные MDSn [14]—[15] и DD/FCT [16] схемы. Ряд частично монотонных схем предназначен для решения уравнения переноса в вакууме [55]. Также разработаны адаптивные нодальные схемы (А.М.Волощенко, А.В.Швецов, [56], [60]—[61]).

Однако в расчетах по нелинейным схемам возникают определенные трудности. Жесткая коррекция, когда параметры меняются скачком, (например, в DD/St схеме) может приводить к циклическому изменению решения на соседних итерациях, и, как следствие, к несходимости итерационного процесса по столкновениям. Поэтому большое внимание уделяется разработке алгоритмов мягкой коррекции, когда параметры меняются плавно (например, в адаптивных схемах). Однако и при мягкой коррекции сходимость итераций в некоторых случаях ухудшается. Поскольку условие положительности и монотонности многих сеточных схем высокого порядка аппроксимации нарушается в каждой ячейке, то во многих положительных и полностью монотонных нелинейных схемах (например, MDSn) коррекцию приходится проводить в каждой ячейке, что существенно снижает порядок аппроксимации нелинейной схемы. Поэтому в таких схемах коррекцию часто проводят только в ячейках, прилегающих к внутренним границам. Но такая нелинейная схема уже не является полностью монотонной.

В положительных и частично монотонных нелинейных схемах (например, AWDD и 9WDD) необходимость проведения коррекции и выбор ее параметров определяются априори заданными параметрами монотонизации (сглаживания) решения. При этом сеточные решения с различными значениями параметров монотонизации при сгущении пространственной и угловой сеток могут сходиться к различным предельным функциям [62]. Решения частично монотонных схем могут содержать нефизические осцилляции, амплитуда которых зависит от параметров монотонизации.

В сильно гетерогенных областях с сильно меняющимся решением точной задачи коррекция может заметно исказить расчетные результаты.

Эти обстоятельства требуют тщательного подбора параметров коррекции, которые устанавливаются, как правило, эмпирическим путем. При этом информация о поведении решения, определяющая необходимость проведения коррекции и ее параметры, получается с помощью неположительной и немонотонной схемы, способной исказить решение качественно.

Моментные схемы с коррекциями и без них реализованы в следующих хорошо известных программах

- для одномерных геометрий: РОЗ-6.4 [63], P03-W.2 [64], ONEDANT [65];

- для двумерных геометрий: КАСКАД [66], РАДУГА [67], [67], TWODANT/SYS [69];

- для трехмерных геометрий: TORT [70], THREEDANT [70]. В конкретном расчете по каждой из таких программ во всей расчетной области реализуется некоторый универсальный алгоритм со сквозными сетками и единым алгоритмом коррекции. Во многих задачах эти программы дают надежные результаты.

Однако при использовании таких программ помимо перечисленных проблем, порожденных исходными принципами построения сеточных схем, возникают следующие существенные дополнительные трудности: проблема построения пространственной сетки, адекватно описывающей внешние и внутренние границы расчетной области и отвечающей характеру изменений решения; проблемы, порожденные несовпадением осей и центров симметрии различных зон; в этом случае приходится использовать геометрические модели большей размерности, чем модели, описывающие каждую зону; проблема "лучевых эффектов" в решении [72], связанная с выбором недостаточно густой угловой сетки; эта проблема особенно актуальна при расчете потоков в удаленных от источника неоднородностях; проблемы, связанные с возможной отрицательностью представления индикатрисы рассеяния разложением по полиномам Лежандра невысокого порядка; проблема медленной сходимости итерационного процесса по столкновениям, особенно актуальная при расчете тепловых групп нейтронов в протяженных зонах; проблемы, связанные с существенной сингулярностью решения в вакуумных полостях и в окрестности сосредоточенных источников, а также в задачах с сильно вытянутыми индикатрисами; проблема излишних вычислительных затрат при расчете на густых сетках протяженных зон.

Часть перечисленных проблем решается переходом к специализированным сеткам, привлечением алгоритмов ускорения сходимости итерационного процесса и специальным выбором представления индикатрис.

Для лучшего описания внешних и внутренних границ расчетной области используются нерегулярные сетки, и весьма актуальной задачей является как построение схем на таких сетках [28]-[29], [49], [73]—[74], так и разработка реализующих их программных кодов [43], [69]—[70], [75].

Для решения проблемы "лучевых эффектов" либо используют при расчете каждой ячейки дополнительный набор угловых направлений [76], либо возвращаются к непрерывному описанию угловой зависимости [77]. Последний подход особенно эффективен, если неоднородность окружена протяженной средой, внутри которой решение слабо анизотропное [78].

При знакопеременности представления индикатрисы линейной комбинацией полиномов Лежандра предлагается использовать специальные алгоритмы коррекции коэффициентов комбинации [85]—[86].

Наиболее эффективные из используемых сейчас алгоритмов ускорения сходимости итерационного процесса опираются на чередование итераций по интегралу столкновений с расчетом поправок в линейном KPj приближении (Г.И.Марчук, В.И.Лебедев, [3]) или DSA (Diffusion Synthetic Approximation) приближении [87], а также с пересчетом итераций в нелинейном квазидиффузионном приближении (В.Я.Гольдин, [88]), приближении средних потоков [89]. Такие алгоритмы хорошо работают лишь в расчетах со слабо анизотропным решением. Если искомое решение сильно анизотропное, необходимо использовать довольно сложные алгоритмы с большей системой уравнений для ускоряющих поправок [87].

Наконец, в некоторых случаях обращаются к специализированным алгоритмам, использующим качественные свойства точного решения. Эти алгоритмы, как правило, обладают как высоким порядком точности, так и свойствами положительности и монотонности.

В протяженных областях (с толщиной т* = D/£ »1, где D - диаметр области, I - длина свободного пробега) традиционно вводится малый параметр 8 = 1/х* «1, сечения, источники и решения считаются функциями

8 и задача рассматривается при 8 -»0 (G.Habetler, B.Matkowsky, [14]) в предположении о том, что решение регулярное (обладает небольшими по абсолютной величине градиентами). Решение представляется разложением по степеням параметра е. Коэффициенты этого разложения подчиняются "упрощенным уравнениям" метода сферических гармоник - SPL уравнениям (Simplified PL equations) (E.W.Larsen, В.П.Жарков, [91]-[94]). Важным является вопрос о выборе краевых условий для этих уравнений. Вариационный вывод этих условий естественным образом приводит к условиям Маршака, которые дают хорошие результаты для интегральных характеристик решения [91]—[93], но не обеспечивают равномерной оценки точности построенного приближения и приводят к значительным локальным погрешностям в результатах [95].

С помощью сингулярной теории возмущений (А.В.Васильева, В.Ф.Бутузов, [96]—[97]) построены асимптотические приближения к решению уравнения переноса (аппроксимирующие это решение с погрешностью 0(s ) при е -> О, где m - порядок приближения) в состоящем из нескольких протяженных зон плоском слое в виде суммы регулярной и сингулярной компонент (Т.А.Гермогенова, [78]). В каждой зоне регулярные компоненты представлены разложениями по степеням 8, коэффициенты которых определяются SPL уравнениями с краевыми условиями, обеспечивающими быстрое убывание сингулярных компонент с удалением от границ зоны. Этот результат дает возможность определять регулярную компоненту решением краевой задачи для SPL уравнений на грубых сетках (А > £), а сингулярную компоненту - расчетом по сеточной схеме на густых сетках, но только вблизи границ зон.

Открытым остается вопрос о точности грубосеточных схем при расчете регулярных компонент асимптотических приближений. Для исследования свойств грубосеточных аппроксимаций в сеточные уравнения вводится малый параметр е и они рассматриваются при е —» 0. Необходимое условие надежности грубосеточных расчетов - аппроксимация вырожденными (при в —»0) сеточными уравнениями уравнения для регулярной компоненты нулевого асимптотического приближения к решению точной задачи. Поскольку при слабом поглощении регулярная компонента подчиняется уравнению диффузии, в иностранной литературе этой условие называется условием существования диффузионного предела [79].

Проверка этого условия для вновь создаваемых схем считается обязательной [79]—[83]. Однако его выполнение не гарантирует точности грубосеточных расчетов: они могут порождать решения, содержащие нефизические осцилляции большой амплитуды. Амплитуду осцилляций не уменьшает даже использование адаптивных алгоритмов коррекции [84].

В задачах с сосредоточенными (3-образными) источниками оказывается необходимым предварительный расчет по аналитическим или полуаналитическим формулам, опирающимся на интегральное представление (3), нерассеянного, а иногда и однократно-рассеянного потоков. Тогда в задаче для многократно рассеянного потока источник распределен по всей расчетной области, и ее решение представляет собой гораздо менее сложную проблему, чем решение исходной задачи. Аналитические и полуаналитические алгоритмы расчета нерассеянного потока от точечного изотропного источника и нерассеянного и однократно-рассеянного потоков от точечного мононаправленного источника включены в известные программные комплексы [63]-[66], [68]—[70].

В задачах с сильной анизотропией рассеяния и источников привлекаются специализированные полуаналитические алгоритмы расчета наиболее анизотропной компоненты решения, отвечающей нерассеянному и однократно рассеянному потокам, а в расчете многократно рассеянного потока используются сглаженные индикатрисы [5], (Е.Н.Аристова, В.Я.Гольдин [98]) и упрощенная форма уравнения переноса - уравнение Больцмана-Фоккера-Планка.

В областях с пустотами используются специализированные сеточные алгоритмы, определяющие потоки в вакуумной полости при условии, что значения входящих в полость потоков известны (получены из краевых условий или расчетом плотной среды по какой-либо сеточной схеме). Большинство таких алгоритмов экономичные, но неуниверсальные: они привязаны и к форме полости, и к свойствам окружающей ее среды [99]— [102]. Универсальные алгоритмы в большинстве случаев неэкономичны: они требуют либо выполнения сложного логического анализа [103], либо больших объемов памяти компьютера для хранения коэффициентов расчетных формул [104].

Успехи, связанные с использованием нерегулярных сеток и специализированных алгоритмов в отдельных задачах, подтверждают преимущества комбинированных (гибридных) методов, опирающихся на разбиение исходной задачи на несколько более простых подзадач и использование для решения каждой подзадачи специализированного алгоритма, адекватного структуре решения подзадачи и точностным требованиям.

В самых ранних комбинированных методах декомпозиция исходной задачи проводилась по энергетической переменной. Например, расчет защиты опирался на численное решение уравнения переноса, а расчет реактора - на численное решение аппроксимирующего уравнение переноса диффузионного уравнения. Или же в высоких энергетических группах обращались к уравнению переноса, а в низких - к приближению метода сферических гармоник низкого порядка [105].

Следующий шаг в развитии комбинированных методов - использование в пределах одного энергетического интервала в каждой подобласти своего численного метода, адекватного свойствам решения в этой подобласти. Расчеты должны выполняться на локальных сетках в локальных системах координат, отражающих свойства симметрии подобласти. Это направление естественно для использования компьютерной техники с параллельной архитектурой, допускающей единовременный расчет системы квазинезависимых подзадач и последующее объединение результатов.

Для эффективной реализации комбинированных методов необходимо решать следующие три основные задачи: построение и исследование специализированных алгоритмов расчета подобластей; разработка, теоретическое и расчетное обоснование алгоритмов сопряжения расчетных результатов на границах подобластей; объединение этих алгоритмов в единой программе.

В задачах радиационной защиты сопряжение результатов на границах подобластей производится эмпирическим методом счета с перекрыванием [105], [ 107]—[108] или близким ему методом сопряжения по граничным значениям, опирающимся на теорию возмущений для исходного и сопряженного уравнений (В.В.Коробейников, В.И.Усанов, [109]). В известном методе суперэлементов (Р.П.Федоренко, Л.Г.Страховская, [110]) сопряжение решения на границах "суперячеек" опирается на решение системы алгебраических уравнений. Близок методу суперэлементов метод поверхностных псевдоисточников (Н.И.Лалетин, [111]), в котором для представления решения внутри подобласти используется главная часть разложения функции. Грина по собственным функциям кинетического уравнения этой подобласти.

Актуальной задачей является разработка представительного набора специализированных алгоритмов и алгоритмов сопряжения, способных эффективно справиться с трудностями, возникающими при использовании универсальных алгоритмов, и имеющих надежное теоретическое обоснование.

Основной целью диссертации является построение и обоснование специализированных алгоритмов решения задач радиационной защиты с двумя основными типами подобластей:

- протяженных однородных подобластей (регулярное решение вне пограничных слоев),

- существенно гетерогенных подобластей с пустотами (сингулярное решение).

Специализированные алгоритмы должны обладать хорошей локальной аппроксимацией, быть положительными и монотонными.

Используемый подход предполагает построение специализированных алгоритмов не для решения исходной задачи в целом, а отдельно для регулярной и сингулярной компонент этого решения [112]. Такое разделение дает возможность выполнять расчет регулярной компоненты на грубой сетке, а расчет сингулярной компоненты проводить только в тех подобластях, где она существенна.

На защиту выносятся следующие основные результаты.

1. Теоретическое и расчетное обоснование точности грубосеточных расчетов регулярных компонент в протяженных однородных плоских слоях при изотропных по угловым переменным внутренних источниках и рассеянии.

2. Построение и теоретическое исследование положительной и монотонной схемы, обеспечивающей правильное распределение потоков по граням ячеек для уравнения переноса в (х, у) и (г, z) геометриях.

3. Построение специализированного алгоритма расчета радиационных полей в вакуумной полости произвольной формы в (х, у) геометрии.

4. Построение комбинированного алгоритма расчета радиационных полей в многозонном плоском слое при анизотропных источниках и индикатрисах, опирающегося на грубосеточные расчеты регулярных компонент решений в протяженных однородных подобластях.

5. Программная реализация перечисленных алгоритмов.

6. Расчетные исследования предложенных алгоритмов как на модельных задачах, так и на защитах реальных ядерно-технических установок.

Практическая ценность построенных алгоритмов состоит в возможности с их помощью получать высокоточные тестовые результаты

V в многозонных плоских слоях;

V в двумерных областях с плотными неоднородностями и пустотами. Такие результаты могут быть использованы в анализе качеств различных сеточных схем в вакууме, неоднородностях и протяженных однородных подобластях.

Комбинированный алгоритм расчета плоских слоев может быть использован как основа в построении комбинированного алгоритма расчета гетерогенных многомерных областей.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, четырех приложений, заключения и списка литературы.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Николаева, Ольга Васильевна

Заключение

Диссертация посвящена построению, а также теоретическому и расчетному обоснованию представительного набора специализированных алгоритмов расчета радиационных полей в защитах сложной структуры. Построение алгоритмов опирается на представление искомого решения суммой регулярной (обладающей небольшими градиентами) и сингулярной (быстро меняющейся, возможно разрывной) компонент. Регулярную компоненту предлагается рассчитывать на грубых сетках (с характерным шагом А, превышающим длину свободного пробега), а сингулярную компоненту - на достаточно подробных сетках.

Основными являются следующие результаты.

1. Предложены и исследованы грубосеточные алгоритмы двух типов для расчета регулярных компонент в протяженных однородных плоских слоях при изотропных рассеянии и внутренних источниках и анизотропных граничных источниках. Алгоритмы опираются на грубосеточные варианты широко распространенных консервативных схем (2-го - 4-го порядка точности на густых сетках). Теоретические оценки точности всех алгоритмов выводятся при х , где т размер слоя в длинах свободного пробега, А > е. Проведены обширные методические расчеты, результаты которых согласуются с полученными оценками.

2. Развиты комбинированные алгоритмы расчета многозонных плоских слоев при анизотропных источниках и индикатрисах, в которых для определения регулярных компонент решений в протяженных зонах привлекаются построенные грубосеточные алгоритмы. Установлены преимущества таких алгоритмов по сравнению с традиционными сеточными алгоритмами.

3. Для расчета сингулярных решений в сильно гетерогенных плотных подобластях и пустотах в (х, у) геометрии развита и исследована консервативная SWDD схема, являющаяся вариантом известной взвешенной

WDD схемы. Показано, что SWDD схема сохраняет важные свойства решения точной задачи:

• положительность (неотрицательность решения при неотрицательных источниках и индикатрисе),

• монотонность (сохранение числа и расположения экстремумов точного решения),

• корректность распределения потоков по граням расчетной ячейки. Выполнен анализ поведения гармоник Фурье-преобразования сеточного решения и получены оценки аппроксимации коэффициентами затухания этих гармоник соответствующих коэффициентов затухания гармоник Фурье-преобразования точного решения.

Получены оценки точности SWDD схемы и известной SC схемы метода характеристик при расчете гладких решений в однородных областях на равномерных сетках в равномерной норме. Этот принципиально новый результат опирается на важные свойства этих сеточных схем: положительность и корректность распределения потоков по граням ячейки.

4. SWDD распространена на задачи с (г, z) геометрией.

5. Для расчета сингулярных решений в вакуумных полостях в (х, у) геометрии предложен специализированный алгоритм VAC, реализующий аналитическое решение в полости при условии, что значения входящего в полость потока известны. Алгоритм VAC обладает существенными преимуществами по сравнению с другими алгоритмами расчета вакуума:

• экономичностью (при расчете каждой ячейки совершается небольшое число арифметических операций),

• универсальностью (применимость к пустоте любой формы).

6. Выполнены расчеты защит реакторов БН-600 ((х, у) геометрия) и ВВЭР-440 ((г, z) геометрия). Результаты подтверждают полезные свойства предложенных алгоритмов SWDD и VAC, особенно при расчете существенно сингулярных угловых потоков в сильно гетерогенных подобластях и пустотах.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Николаева, Ольга Васильевна, 2001 год

1. Т.А.Гермогенова, Локальные свойства решений уравнения переноса, М, Наука, 1985.

2. С.Чандрасекар, Перенос лучистой энергии, М, ИЛ, 1953.

3. Г.И.Марчук, В.И.Лебедев, Численные методы в теории переноса нейтронов, М, Атомиздат, 1981.

4. Л.П.Басс, А.М.Волощенко, Т.А.Гермогенова, Методы дискретных ординат в задачах о переносе излучения, Монография ИПМ им. М.В.Келдыша РАН, 1986.

5. В.В.Соболев, Перенос лучистой энергии в атмосферах звезд и планет, Москва, 1956.

6. B.D.Ganapol, J.S Warsa, J.A.Dahl, Analytical Benchmark Comparisons for Matrix Eigenvalues- Symbolic-, p-Adaptive- and Standard SN formulations, Madrid, V. 2, pp.

7. C.F.Segatto, M.T.Vilhena, The State-of-the Art of the LTSN Method, Madrid, V. 2. pp. 1618-1631.

8. В.Я.Гольдин, Характеристическая разностная схема для нестационарного кинетического уравнения, ДАН, Т. 133, стр. 748-751,1960.

9. Л.П.Басс, О решении уравнения переноса методом характеристик, Препринт № 13 ИПМ им. М.В.Келдыша, 1969.

10. М.И.Бакирова, В.Я.Карпов, UV метод решения уравнения переноса, Препринт № 72 ИПМ им. М.В.Келдыша, 1984.

11. M.L.Adams, W.F.Walters, T.A.Wareing, Characteristics Methods in Thick Diffusive Regime, Portland, V. 1, pp.349-359, 1995.

12. Т.А.Гермогенова, Метод пространственных моментов в задачах о переносе излучения в слое, Препринт ИПМ им. М.В Келдыша, № 39,1997.

13. T.A.Germogenova, Discrete Transport Model Eigenfunctions, NSE, V. 124, pp. 63-71, 1996.

14. Д.А.Баюк, Т.А.Гермогенова, Простейшие разностные схемы решения уравнения переноса в (х, у) геометрии и способы их коррекции, Препринт № 91 ИПМ им. М.В.Келдыша, 1986.

15. K.A.Mathews, On the Propagation of Rays in Discrete Ordinates, NSE, V. 132, pp. 155180,1999.

16. K.D.Lathrop, Spatial Differencing of the Transport Equation: Positivity vs. Accuracy, J. of Сотр. Phys, V. 4, № 4, pp. 475-490, 1969.

17. И.Р.Суслов, Метод характеристик в областях со сложной геометрией, Атомная энергия, Т. 65, Вып. 1, стр 57-58, 1988.

18. T.Postma, J.Viujic, The Method of Characteristics in General Geometry with Anisotropic Scattering, Madrid, V. 2, pp. 1215-1224.

19. R.Roy, The Cyclic Characteristics Method with Anisotropic Scattering, Madrid, V. 2, pp. 1225-1234.

20. В.Д.Давиденко, В.Ф.Цибульский, Метод характеристик. Программа UNKGRO, Сборник докладов Нейтроника-99 семинара "Алгоритмы и программы для нейтронно-физических расчетов ядерных реакторов", 26-28 октября, стр. 195-199, 1999.

21. И.Р.Суслов, Результаты расчета трехмерного бенчмарка для простых геометрий с пустотами по программе MCCG3D, Обнинск, стр. 66-70.

22. С.Б.Серов, Сопряженно-согласованный DSn метод для решения многомерного уравнения переноса в криволинейных системах координат, ВАНТ, Серия "Математическое моделирование физических процессов", Вып. 4, 1993.

23. И.Р.Суслов, Анализ аппроксимационных свойств алмазной схемы на основе принципа квазистационарности производных, Обнинск, стр. 54-58.

24. A.V.Voronkov, E.P.Sychugova, DSn Method for Solving the Transport Equation, TTSP, V.22, № 2&3, pp. 221-245,1993.

25. А.В.Воронков, Е.П.Сычугова, Характеристический метод дискретных ординат решения уравнения переноса, Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша № 50, 1987.

26. J.E.Morel, E.W Larsen, A Multiple Balance Approach for Differencing the Sn Equations, NSE, V. 105, pp. 1-15, 1990.

27. M.L.Adams, A New Transport Discretization Scheme for Arbitrary Spatial Mesh in (x, y) geometry, Pittsburg, V. 3, pp. 13.2.2-1 13.2.2-9, 1991.

28. А.М.Волощенко, С.В.Гуков, Е.П.Кондратенко, К-шаговая полуявная схема для уравнения переноса, Препринт №54 ИПМ им. М.В.Келдыша, 1994.

29. J.E.Morel, J.E.Dendy, jr, T.A.Wareing, Diffusion-Accererated Solution of the Two-Dimensional Sn Equations with Bilinear-Discontinuous Difference, NSE, V. 115, pp. 304319, 1993.

30. P.Barbucci, D.Di Pasquantonio, Exponential Supplementary Equations for Sn Methods: The One-Dimensional Case, NSE, V. 63, pp. 179-187, 1977

31. Y.Y.Azmy, The Weighted Diamond-Difference Form of Nodal Transport Methods, NSE, V 98, pp. 29-40, 1988.

32. Xie Zhougsheng, Zhy Xuehua, Wu Honghun, Two-Dimensional Discrete Nodal Transport Method for Solving Neutron Transport Problems in Curvilinear Coordinates, Tel-Aviv, V. 3,pp. 688-694. 1994.

33. W.F.Walters, R.D.O'Dell, A comparison of linear nodal linear discontinuous and diamond schemes for solving the transport equation in (x, y) geometry, Trans. Am. Nucl. Soc., Y.43,pp. 465-467, 1981.

34. J.J.Ullo, J.J.Dorning, H.L.Dodds, R.E.Pevey, A Comparison of Nodal Transport Methods Based on Exponential and Polynomial Expansions, Trans. Am. Nucl. Soc., V. 43, pp. 367369, 1982.

35. W.F.Walters, Recent Development in Nodal and Characteristic Method in Transport Theory, Trans. Am. Nucl. Soc., V 43, pp. 611-612,1982.

36. A.Badruzzaman, An Efficient Algorithm for Nodal Transport Solution in Multidimensional Geometry, NSE, V 89, pp. 281-290,1985.

37. Y.Y.Azmy, Arbitrary High Order Characteristic Method for Solving the Neutron Transport Equation, Ann. Nucl. Energy, V. 19, pp. 593-606, 1992.

38. X.Warin, Recent results about Sn nodal method in neutron transport, Paris, pp. 325-337, 1996.

39. L.P.Hennart, E. del Valle, New Nodal Element Schemes for the Discrete Ordinates Transport Equation, Saratoga, V. 1. pp. 19-28, 1997.

40. I.Zmijarevic, Multidimensional Discrete Ordinate Nodal and Characteristics Methods for the Apollo2 Code, Madrid, V. 2, pp. 1587-1597.

41. A.B.Воронков, Е.П.Сычугова, Комбинированные методы для решения уравнения переноса, Препринт ИПМ им. М.В.Келдыша, № 18, 1988.

42. А.В.Воронков, Е.П.Сычугова, Линейный характеристический метод дискретных ординат для решения уравнения переноса в х, у геометрии, Препринт № 91 ИПМ им. М.В Келдыша, 1996.

43. A.V.Voronkov, E.P.Sychugova, Analysis of a Class of Characteristic Methods for Solving the Transport Equation in x-y and x-y-z geometry. Saratoga, V. 2, pp. 985-994.

44. B.G.Carlson, A Method of Characteristics and Other Improvements in Solutions Methods for the Transport Equations, NSE, V. 61, pp. 408^125, 1976.

45. В.Я.Гольдин, Н.Н.Калиткин, Т.В.Шишова, Нелинейные разностные схемы для гиперболических уравнений, ЖВМ и МФ, Т. 5, стр. 938-944, 1965.

46. Ch.L.Castriani, M.L.Adams, A Nonlinear Corner Balance Spatial Discretization for Transport on Arbitrary Grids, Portland, pp.916-927, 1995.

47. K.A.Mathews, B.M.Minor, Step Adaptive Characteristic Spatial Quadrature in Two-Dimensional Cartesian Coordinates, Pittsburg, V. 3, pp. 13.2.4-1 13.2.4-12, 1991.

48. W.F.Walters, T.A.Wareing, An Accurate Strictly Positive Nonlinear Characteristics Scheme for the Discrete Ordinate Equation, TTSP, V. 25, № 2, pp. 197-215, 1996.

49. K.A.Mathews, B.M.Minor, Adaptive Characteristic Spatial Quadratures For Discrete Ordinates Neutral Particle Transport The Rectangular Cell Case, TTSP, V. 22, pp. 655— 685, 1993.

50. W.F.Walters, T.A.Wareing, D.R Marr, The Nonlinear Characteristic Scheme for (x, y) Geometry Transport Problems, Portland, pp.340-348, 1995.

51. T.A.Wareing, An Exponential Discontinuous Scheme for Discrete-Ordinate Calculation in Cartesian Geometries, Saratoga, V. 2. pp. 1257-1266, 1997.

52. С.А.Ильин, Е.В.Тимофеев, Сравнение квазимонотонных разностных схем сквозного счета на задаче Коши для однородного линейного уравнения переноса. Мат. моделирование, т. 4, стр. 62-75, 1992.

53. T.A.Germogenova, A.V.Shwetsov, A.M.Voloschenko, Adaptive Positive Nodal Method for Transport Equation, TTSP, V. 23, pp. 923-970, 1994.

54. W.A.Rhoades, W.W.Engle, A New Weighted-Diamond Formulation for Discrete Ordinates Calculations, Trans. Am. Nucl. Soc., V 27, pp. 776-777, 1977.

55. B.Petrovic, A.Haghigat, New Directional Theta-Weitghed Sn Differencing Scheme and its Application to Pressure Vessel Fluence Calculations, Falmouth, V 1, pp. 3-10, 1996.

56. G.E.Sjoden, A.Haghighat, The Exponential Directional Weighed (EDW) Sn Differencing Scheme in 3D Cartesian Geometry, Saratoga, V. 2. pp. 1267-1276, 1997.

57. A.M.Voloschenko, Geometrical Interpretation of Family of Weighted Nodal Schemes and Adaptive positive Approximations for Transport Equations, V. 2. pp. 1517-1526, 1997.

58. A.V.Shwetsov, Solving the x-y Geometry Transport Equation by Linear Discontinuous Scheme with Consistent flux Correction, Saratoga, V. 2. pp. 1487-1496,1997.

59. E.T.Tomlison, W.A.Roades, W.W.Engle (jr.), Flux Extrapolation Models used in the DOT-IV Discrete Ordinates Neutron Transport Code, ORNL/TM-7033,1980.

60. A.V.Averin, A.M.Voloschenko, et al., The ROZ-6.4 One-Dimensional Discrete Ordinates Neutrons, Gamma-Rays and Charged Particles Transport Code, Pittsburgh, V 5, pp. 30.3.5-1 -30.3.5^,1991.

61. A.M.Voloschenko, S.V.Gukov, The ROZ-W.2 Time-dependent One-Dimensional Discrete Ordinates Neutrons, Gamma-Rays and Charged Particles Transport Code, Pittsburgh, V 5, pp. 30.3.6-1 30.3.6-4, 1991.

62. R.D.O'Dell, F.W.Brinkley, D.R.Marr, User's Manual for ONEDANT: A Code Package for One-Dimensional Diffusion Accelerated Neutral Particle Transport, LA-9184-M, 1982.

63. А.М.Волощенко, А.В.Швецов, КАСКАД-1.5 программа для решения уравнения переноса нейтронов, фотонов и заряженного излучения в двумерных геометриях, Обнинск, стр. 49-51, 1998.

64. L.P.Bass, A.N.Goncharov and others, RADUGA-4.0 Tow-Dimensional Transport Code, Pittsburgh, V. 5, pp. 30.3 7-1 - 30.3 7-4, 1991.

65. R.E.Alcouffe, F.W.Brinkley, B.D.Clark, D.R.Marr, R.D.O;Dell, W.F.Walters, TWODANT/SYS: A System of Discrete-Ordinates Neutron Particle Transport Code, Pittsburgh, V. 5, pp. 30.3.3-1 30.3.3^, 1991.

66. W.A.Rhoades, Y.Y.Azmy, Three-Dimensional Sn Calculations with the Oak Ridge Tort Code, Portland, V. 1, pp. 480-489,1995

67. R.E.Alcouffe. Threedant: A Code to Perform Three-Dimensional, Neutral Particle Transport Calculations, Portland, V. 1, pp. 461-469, 1995.

68. K.D.Lathrop, Remedies for Ray-Effects, NSE, V. 45, pp. 255-268, 1971.

69. R.E.Grove, R.E.Pevey, A Characterictics Based Multiple Balance Approach for SN on Arbitrary Polygonal Grids. Portland, pp. 928-937,1995.

70. E.N.Aristova, V.Ya.Goldin, A.V.Kolpakov, Multidimensional Calculations of Radiation Transport of Non-linear Quasi-diffesional Method, Madrid, V. 1, pp. 667-675, 1999.

71. R.E.Pevey, Minotaur: A Generalized Geometry Discrete Ordinates Research Code, Madrid, V.2,pp. 1413-1422, 1999.

72. W.L.Filippone, S.Wolf, R.J.Lavigne, Particle Transport Calculations with the Method of Streaming Rays, NSE, V. 77, pp. 119-136,1981.

73. G.G.M.Coppa, P.Ravetto, Quasi-Singular Angular Finite Element Methods in Neutron Transport Problem, TTSP, V. 24, pp. 155-172, 1995.

74. Т.А.Гермогенова, Регулярные компоненты асимптотических приближений к решениям уравнения переноса в оптически плотных средах, ЖВМиМФ, том. 37, стр.464-482, 1997.

75. E.W.Larsen, J.E.Morel, W.F.Miller, Asymptotic Solution of Numerical Transport Problems in Optically Thick, Diffusive Regime, J. of Сотр. Phys, V. 69, pp. 283-324, 1987.

76. E.W.Larsen, J.E.Morel, Asymptotic Solution of Numerical Transport Problems in Optically Thick, Diffusive Regime II, J. of Сотр. Phys, V. 83, pp. 212-236, 1989.

77. S.Jin, D.Levermore, Fully-Discrete Numerical Transfer in Diffusive Regimes, TTSP, V. 22, pp. 739-791, 1993.

78. M.L.Adams, Discontinuous Finite-Element Transport Solutions in the Thick Diffusion Limit in Cartesian Geometry, Pittsburg, V. 5, pp. 21.1.3-1 -21.1.3-15,1991.

79. Ch.L.Castriani, M.L.Adams, Asymptotic Diffusion Limit of Nonlinear Discontinuous Finite Element Transport Discretizations in One Dimension, Saratoga, V. 2, pp. 1476— 1486.

80. Т.А.Гермогенова, О.В.Николаева, Грубосеточные алгоритмы в задачах радиационной защиты, Сборник докладов Нейтроника-99 семинара "Алгоритмы и программы для нейтронно-физических расчетов ядерных реакторов", 26-28 октября, Обнинск, 1999, стр. 150-159.

81. Н.В.Коновалов, Е.Б.Павельева, Коррекция матриц рассеяния поляризованного излучения, препринт № 106 ИПМ им. М.В.Келдыша, 1996.

82. J.A.Dahl, B.D.Ganapol, J.E.Morel, Positive Scattering Cross Sections Using Constrained Least Squares, Madrid, V. 1, pp. 627-636.

83. А.М.Волощенко, Pi синтетическая схема ускорения внутренних итераций для уравнения переноса в двумерной геометрии, согласованная со взвешенной алмазной схемой, ЖВМиМФ, т. 41, стр. ?, 2001.

84. В.Я.Гольдин, Квазидуффузионный метод решения кинетического уравнения, ЖВМ и МФ, т. 4, стр. 1078-1087, 1964.

85. Т.А.Гермогенова, Т.А.Сушкевич, Решение уравнения переноса методом средних потоков, Сб. Вопросы физики защиты, вып. 3, стр. 34-46, Атомиздат, 1969.

86. G.Habetler, B.Matkowsky, Uniform Asymptotic Expansion in Transport Theory with Small Mean Free Paths and the Diffusion Approximation, J. Math. Phys, V. 16, pp. 846-854, 1975.

87. E.W.Larsen, J.E.Morel, J.M.McGhee, Asymptotic Derivation of the Multigroup Px and Simplified PN Equations with Anisotropic Scattering, Nucl. Sci. Eng., V. 123, pp. 328, 1996.

88. D.I.Tomasivic, E.W.Larsen, The Simplified P2 Approximation, NSE, V. 122, pp. 309, 1996.

89. P.S.Brantley, E.W.Larsen, The Simplified P3 Approximation, NSE, V. 134, pp. 1-21, 2000.

90. V.P.Zharkov, Theoretical Justification and Validation of the SPl Method for Shielding Calculation. Part 1, Saratoga, V. 1, pp. 741-749.

91. V.P.Zharkov, A.N.Kiselev, M.E.Netecha, Yu.V.Orlov, Theoretical Justification and Validation of the SPL Method for Shielding Calculation. Part 1, Saratoga, V. 2, pp. 750756.

92. А.В.Васильева, В.Ф.Бутузов. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. Москва, Наука, 1973.

93. А.В.Васильева, В.Ф.Бутузов. Сингулярно-возмущенные уравнения в критических случаях. Изд-во Моск. ун-та, 1979.

94. V.Ya.Gol'din, E.N.Aristova, The Method of Consideration of a Strong Scattering Anisotropy in Transport Equation, Saratoga, V 2, pp. 1507-1516.

95. E.Suetomi, H.Sekimoto, Derivation of Anisotropic Diffusion Coefficients in a Large Annular Cavity, NSE, V. 114, pp.168-175, 1993.

96. S.L.Schofield, M.Pouzand, Single-Pass Treatment of Voids in F.E. Transport Theory, Prog, in Nucl. Energy, V. 25, p. 217-229, 1991.

97. R.T.Acroyd, N.S.Rivait, Iteration and Extrapolation Methods for the Approximate Solution of the Even-Parity Transport Equation for Systems with Voids, Ann. Nucl. Energy, V. 16, pp. 1-32, 1989.

98. R.Garcia, Sh. Ono, A Comparison of Three Quadrature Schemes for Discrete-Ordinates Calculations of Neutral Particle Transport in Ducts, Madrid, V. 1, pp. 94-103.

99. В.Г.Золотухин, В.А.Климанов и др., Прохождение излучений через неоднородности в защите, Атомиздат, М., 1968.

100. Y.Watanabe, C.W.Maynard, The DCN-SN Hybrid Method for Neutron Transport Calculations in (r, z) Geometry, NSE, V. 92, pp. 212-217,1986.

101. А.А.Дубинин, Ю.А.Кураченко, В.М.Левченко, А.П.Пышко, Комплексные методики расчета защиты от излучений, ВАНТ, Серия "Физика ядерных реакторов", Вып. 1, стр. 76-78,1991.

102. Т.А.Гермогенова, Развитие численных методов решения кинетического уравнения в задачах физики защиты реакторов, Сб. Радиационная безопасность и защита АЭС, Вып. 5, 1981.

103. Т.А.Гермогенова, М.Н.Николаев, А.П.Суворов, Типичные задачи расчета полей нейтронов и гамма-квантов в радиационной защите реакторов, Препринт № 48 ИПМ им. М.В.Келдыша, 1981.

104. А.М.Волощенко, А.А.Дубинин, В.И.Кротов, Результаты расчетов тестовых задач по защите энергетических реакторов на быстрых нейтронах. Сб. Радиационная безопасность и защита АЭС. Вып. 8, стр. 253-258, 1984.

105. В.В.Коробейников, В.И.Усанов, Методы сопряжения в задачах переноса излучения, Энергоатомиздат, 1994.

106. Л.Г.Страховская, Р.П.Федоренко, Об одном варианте метода конечных элементов, ЖВМиМФ, т. 19, № 4, стр. 1979.

107. Н.И.Лалетин, Сравнение метода поверхностных псевдоисточников (Gn -приближения) с другими методами численного решения уравнения переноса нейтронов, Математическое Моделирование, Т. 5, стр. 111-124, 1993.

108. Т.А.Гермогенова, Комбинирование алгоритмов различных классов точности в расчетах радиационных полей, Обнинск, стр. 21-22.

109. Л.П.Басс, О.В Николаева, Методика расчета переноса излучения при наличии пустот, Сборник докладов Нейтроника-93 семинара "Алгоритмы и программы для нейтронно-физических расчетов ядерных реакторов", 26-28 октября, стр. 118-123, 1993.

110. Л.П.Басс, О.В.Николаева, Решение уравнения переноса излучения в средах с пустотами. Специализированный алгоритм в (х, у) геометрии, Препринт ИПМ им. М.В.Келдыша, № 130, 1995.

111. Л.П.Басс, О.В.Николаева, Улучшенная схема расчета переноса излучения в сильно гетерогенных средах и пустотах, Математическое Моделирование, Т. 9, стр. 63-72, 1997.

112. L.P.Bass, O.V.Nikolaeva, Correct calculation of angular flux distributions in strongly heterogeneous media and voids, Saratoga, V. 2, p. 995-1004, 1997.

113. Л.П.Басс, О.В.Николаева, Положительная схема для уравнения переноса излучения в сильно гетерогенных средах и пустотах. Часть I, Препринт № 1 ИПМ им. М.В.Келдыша, 1997.

114. Л.П.Басс, О.В.Николаева, Положительная схема для уравнения переноса излучения в сильно гетерогенных средах и пустотах. Часть II, Препринт № 2 ИПМ им. М.В.Келдыша, 1997.

115. Л.П.Басс, О.В Николаева, SWDD схема МДО и результаты методических расчетов, Сборник докладов Нейтроника-97 семинара "Алгоритмы и программы для нейтронно-физических расчетов ядерных реакторов", 25-27 октября, стр.76-83, 1997.

116. Л.П.Басс, О.В.Николаева, Многогрупповой расчет радиационных полей в защитах с каналами по SWDD схеме, Обнинск, стр. 52-54,1998.

117. Т.А.Гермогенова, О.В.Николаева, Диффузионный предел некоторых разностных схем метода дискретных ординат, Препринт № 50 ИПМ им. М.В.Келдыша, 1994.

118. Т.А.Гермогенова, О.В.Николаева, Грубосеточные аппроксимации уравнения переноса излучения. Задачи с существенным поглощением. ЖВМиМФ, т. 41, стр. 620-640, 2001.

119. Т.А.Гермогенова, О.В.Николаева, Грубосеточные аппроксимации уравнения переноса излучения. Задачи со слабым поглощением. ЖВМиМФ, т. 41, стр. 732-755, 2001.

120. T.A.Germogenova, O.V.Nikolaeva, Boundary Conditions for Asymptotic Approximations in Two-Region Transport Problem, Madrid, V. 2, pp. 1977-1986.

121. Самарский A.A., Теория разностных схем, М., Наука, 1989.

122. Л.П.Абагян, Н.О.Базазянц, М.Н.Николаев, A.M.Цибуля, Групповые константы для расчёта реакторов и защиты. Справочник. Энергоатомиздат, М., 1981.