Математическое моделирование переноса излучения и переноса нейтронов с учетом процессов в сплошных средах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, доктор физико-математических наук Аристова, Елена Николаевна

• Аристова, Елена Николаевна
• доктор физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Аристова, Елена Николаевна

Введение

Глава 1. Решение уравнение переноса в r-z геометрии в собственных характеристических переменных 1.1.1. Постановка задачи

1.1.2. Переход к переменным Владимирова

1.1.3. Угловая дискретизация 3 О

1.1.4. Характеристический и консервативно-характеристический методы решения

1.1.5. Анализ аппроксимации функции распределения на логарифмических разрывах

1.1.6. Интегрирование по углам

1.1.7. Результаты численного исследования

Глава 2. Решение уравнений квазидиффузии при слабой анизотропии рассеяния

§2.1. Построение комбинированной разностной схемы для уравнений диффузии на косоугольной ячейке

2.1.1. Постановка задачи

2.1.2. Построение разностной схемы

2.1.3. Метод решения системы разностных уравнений

2.1.4. Численные исследования

§2.2. Нелинейное ускорение итераций решения эллиптических систем уравнений

2.2.1. Введение

2.2.2. Метод моментов

2.2.3. Нелинейный метод ускорения

2.2.4. Результаты расчетов

§2.3. Квазидиффузионный метод решения многогрупповой системы уравнений переноса и энергии для вещества

2.3.1. Многогрупповая система уравнений переноса и квазидиффузии при слабой анизотропии рассеяния

2.3.2. Разностная схема для уравнения переноса

2.3.3. Разностная схема для уравнений квазидиффузии

2.3.4. Эффективная одногрупповая система уравнений квазидиффузии и уравнение энергии вещества

2.3.5. Совместное решение усредненных уравнений квазидиффузии и уравнения энергии

2.3.6. Введение производной Фреше от усредненного коэффициента поглощения

2.3.7. Организация итерационного процесса

2.3.8. Результаты расчетов

§2.4. Аналог монотонной схемы для несамосопряженной системы уравнений квазидиффузии

2.4.1. Постановка задачи

2.4.2. Различные формы записи многогрупповой системы уравнений квазидиффузии

2.4.3. Гибридная разностная схема для групповых уравнений квазидиффузии 104 2.4.5. Результаты расчетов

Глава 3. Метод учета сильной анизотропии рассеяния.

Климатические задачи

§3.1. Метод учета сильной анизотропии рассеяния в обычной схеме квазидиффузии

3.1.1. Введение

3.1.2. Квазидиффузионная система уравнений при наличии анизотропии рассеяния и граничные условия отражения

3.1.3. Учет сильной анизотропии в уравнении переноса

3.1.4. Исследование скорости сходимости метода

§3.2. Метод учета сильной анизотропии рассеяния в потоковой схеме квазидиффузии при наличии сосредоточенного источника излучения

3.2.1. Введение

3.2.2. Метод лебеговского усреднения

3.2.3. Разложение решения на компоненты

3.2.4. Численная схема

3.2.5. Результаты расчетов

§3.3. Использование предложенного метода учета анизотропии рассеяния в совокупности с методом лебеговского усреднения по частотам

Глава 4. LATRANT: двумерная лагранжевая методика расчета течений излучающего газа в приложении к задачам ИТС Программный комплекс LATRANT и его применение к решению задач УТС

§ 4.1. Введение

§ 4.2. Методика расчета

4.2.1. Постановка задачи

4.2.2. Дискретизация и алгоритмы решения разностных задач

4.2.3. Дискретизация и решение уравнений газовой динамики

4.2.4. Решение групповых уравнений переноса, определение коэффициентов квазидиффузии и решение системы уравнений квазидиффузии для групповых плотности и потока излучения

4.2.5. Усреднение групповых уравнений квазидиффузии

4.2.6. Решение усредненных уравнений квазидиффузии совместно с уравнениями энергии

4.2.7. Контроль энергетического баланса в системе

4.2.8. Сравнение квазиодномерных тестовых расчетов с использованием модели многогруппового переноса и трехтемпературной модели

4.2.9. Двумерные расчеты неоднородного радиационного сжатия внешним излучением

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование переноса излучения и переноса нейтронов с учетом процессов в сплошных средах»

5.1.2. Постановка задачи для многогруппового уравнения переноса 245

5.1.3. Многогрупповые уравнения квазидиффузии 251

5.1.4. Усреднение в одногрупповую систему уравнений квазидиффузии 255

5.1.5. Организация итерационного процесса 257

5.1.6. Результаты расчетов 259 Заключение 265 Литература 268

Введение

Во многих задачах математической физики, таких как математическое моделирование процессов, протекающих в звездах, в задачах управляемого термоядерного синтеза, при разработке теплозащиты летающих аппаратов, в медицинских приложениях использования лазера и многих других возникает необходимость численного решения многомерного уравнения переноса излучения [1-3]. При проектировании активных зон реакторов и в задачах защиты реакторов встает задача нахождения решения уравнения переноса нейтронов, во многом родственного уравнению переноса излучения [4-9]. Уравнение переноса является линейным интегро-дифференциальным уравнением первого порядка относительно функции распределения частиц (фотонов или нейтронов). Отличает эти два типа уравнений переноса структура правой части, отвечающая за источники возникновения частиц. Соответственно, могут отличаться и постановки задач для переноса излучения и нейтронов: если для переноса излучения ставится начально-краевая задача, то в задачах переноса нейтронов помимо начально-краевой задачи возможна постановка задачи на нахождение собственных значений. Однако многие проблемы решения для обеих разновидностей уравнения переноса являются общими.

Первые численные методы решения этого уравнения были созданы в ходе работы над советским и американским атомными проектами и касались, главным образом, решения уравнения переноса в одномерной сферической геометрии. Практически это был первый опыт численного решения уравнений в частных производных. Первые предложенные методы интегрирования уравнения переноса можно разделить на два больших класса: это методы, которые в дальнейшем стали называться Sn методами Карлсона (в советском атомном проекте его аналогом был КН метод В.Я.Гольдина)

10-13] и характеристические методы, самым знаменитым из которых является метод Владимирова [14-17]. Если Sn методы восходят к разностной аппроксимации непосредственно уравнения в частных производных, то характеристические методы базируются на сведении уравнения переноса к обыкновенному дифференциальному уравнению (ОДУ) вдоль некоторого набора характеристик или на представлении уравнения переноса в интегральной форме. Соответственно достоинства и недостатки у каждого из этих классов методов свои. К достоинствам Sn метода нужно отнести консервативность (при разностной аппроксимации уравнения, записанного в в дивергентной форме), возможность включения в расчет учета других физических процессов, легко достижимую аппроксимцию второго порядка точности, а к недостаткам — по теореме Годунова [17] следующую из второго порядка аппроксимации теоретичекую и практическую немонотонность метода [17], а во многих практически важных случаях и неположительность схемы. В свою очередь, методы характеристик тоже можно разделить на два больших подкласса: метод длинных характеристик и метод коротких характеристик. По-видимому, на сегодняшний день метод длинных характеристик может обеспечить любую точность решения при использовании, во-первых, соответствующего метода решения ОДУ и, во-вторых, тщательно подобранного набора характеристических направлений [20-22]. Метод Владимирова является примером блестящего сочетания метода длинных характеристик и относительной экономичности метода, достижимой в одномерных сферической и цилиндрической геометриях [1416]. Однако в более сложных геометриях метод длинных характиристик, для которого решение в заданной точке пространства получается численным интегрированием ОДУ по всей характеристике, начиная от границы, является слишком затратным. Кроме того, метод характеристик без дополнительных условий не обеспечивает консервативности, а неудачный выбор характеристических направлений может приводить к так называемому «эффекту луча» [23], при котором среди выбранных направлений в данной точке может отсутствовать направление «на источник», обеспечивающий главную часть, например, плотности частиц. Угловая гетерогенность решения в заданной точке является неотъемлемым свойством решения уравнения переноса при пространственной гетерогенности распределения источников. «Эффект луча» оказывается особенно неприятным при расчете потоков в удаленных от источника неоднородностях, что приводит к сильной чувствительности методов характеристик к выбору угловой сетки. В методах коротких характеристик решение в заданном узле разностной сетки ищется интегрированием не от границы всей расчетной области, а интегрированием вдоль отрезка характеристики, приходящей в узел с освещенной грани расчетной ячейки. Этот метод сталкивается с необходимостью многократных интерполяций на освещенных гранях для получения значения в точке ухода характеристики, что ухудшает качество получаемого численного решения по сравнению с методом длинных характеристик.

Примерно одновременно с Sn методом и методом характеристик был предложен метод прямого интегрирования Рихтмайера [24]. Несколько позже для случая сферической геометрии был предложен метод характеристических трубок Трощиева, объединяющий достоинства Sn и характеристического методов, однако тяжело распротраняемый на случай учета других физических процессов и многомерных геометрий [25]. Тогда же был предложен дискретный Sn метод (D Sn метод) [12].

Простота реализации Sn метода в многомерных геометриях, второй порядок аппроксимации и консервативность сделали Sn метод весьма привлекательным в глазах многих поколений вычислителей [26-38].

Следующим классом предложенных схем повышенного порядка аппроксимации для решения уравнения переноса стали моментная Diamond Difference (DD) схема, использующая только основное уравнение баланса, и родственные ей нодальные схемы, увеличивающие порядок аппроксимации с увеличением числа используемых уравнений баланса [39,40].

Варьируя форму дополнительных соотношений DD схемы, удается улучшить качество сеточного решения, не отказываясь от второго порядка аппроксимации. При этом прибегают, например, к учету в дополнительных соотношениях эффекта криволинейности расчетной ячейки в (r,z) геометрии [41], к разбиению ячейки на части отрезками характеристик исходного уравнения [32] или отрезками, параллельными граням ячейки [34,36], к многошаговым схемам [42], к аппроксимации уравнения в интегральной форме [43], а также представление решения в ячейке в виде билинейной [35] или экспоненциальной функции [33]. Аналогичным образом удается улучшить качество нодальных схем с большим числом моментов. При этом используется полиномиальное [21], кусочно-полиномиальное [43] или экспоненциальное представление решения [44]. Однако эти улучшенные схемы не являются безусловно положительными и монотонными. Как уже было сказано, решение, полученное из неположительной схемы, может содержать отрицательные скалярные потоки, и сгущение сеток все равно может приводить к появлению у решения нефизических осцилляций большой амплитуды. Метод, соединяющий характеристический подход с сохранением консервативности, предложен в [45]. Порядок положительной и монотонной схемы можно повысить, увеличив число уравнений баланса [46] Во всех методах такого типа встает задача распределения выходящего потока по граням ячейки. Некорректность распределения потоков по граням ячейки приводит к большим ошибкам при расчете сингулярных решений (например, в задачах с сильно гетерогенными средами или сосредоточенными источниками). Требование корректности распределения потоков - основа построения некоторых одношаговых схем первого порядка точности (SC и VW схемы, [48]). Преобразование SC схемы к двухшаговой форме [49] существенно повышает точность расчета задач с сосредоточенными источниками.

Чтобы соединить в рамках единой сеточной схемы высокий порядок аппроксимации и свойства положительности и монотонности, переходят к нелинейным схемам, т.е. взвешенным схемам с весовыми параметрами, зависящими от сеточного решения. Первоначально расчет ячейки выполняется со значениями параметров, отвечающих наибольшему из возможных порядков аппрксимации. Если полученное решение не удовлетворяет условию положительности и/или монотонности, проводится коррекция сеточного решения: ячейка пересчитывается со значениями параметров, гарантирующих полное или частичное выполнение рассматриваемых условий. При коррекции порядок схемы снижается. Наиболее известными из нелинейных схем являются взвешенная алмазная схема WDD [48], 9WDD [51-53], адаптивные AWDD [54,28], адаптивные нодальные схемы [55].

Расчет по нелинейным схемам тоже может вызывать ряд вычислительных неприятностей. Во-первых, в ситуации жесткой коррекции, когда параметры схемы меняются скачком, может приводить к отсутствию сходимости итераций по столкновениям из-за цикличности изменения решения на соседних итерациях. Однако даже в ситуации мягкой коррекции, когда параметры меняются плавно, сходимость в некоторых случаях ухудшается. Во-вторых, для схем высокого порядка аппроксимации условие положительности/монотонности может нарушаться в каждой ячейке, что влечет за собой либо ограничение области коррекции, и, следовательно, не полную монотонность, либо снижение порядка аппроксимации во всей области решения. В-третьих, в положительных и частично монотонных нелинейных схемах (например, AWDD и 9WDD) необходимость проведения коррекции и выбор ее параметров определяются априори заданными параметрами монотонизации. При этом сеточные решения с различными значениями параметров монотонизации при сгущении пространственной и угловой сеток могут сходиться к различным предельным функциям [56]. И, наконец, в сильно гетерогенных областях с сильно меняющимся точным решением задачи коррекция может заметно исказить результат. Эти обстоятельства требуют тщательного подбора параметров коррекции, которые устанавливаются, как правило, эмпирическим путем. При этом информация о поведении решения, определяющая необходимость проведения коррекции и параметры коррекции, получается с помощью неположительной и немонотонной схемы, способной исказить решение качественно.

Еще один класс монотонных нелинейных методов высокого порядка точности носит название TVD схем (Total Variation Diminish) [57-64], основанные на введение ограничений на потоки. Другой подход к построению нелинейных схем высокого порядка аппроксимации с подсеточным разрешением разрывов предложен в [65]. Этот метод использует плавающий шаблон, что позволяет определить возможное положение разрыва решения внутри ячейки. Эти методы наиболее полно применяются для конструирования схем газовой динамики.

Все, что было сказано выше, относится к разностной аппроксимации дифферетщалъного оператора в уравнении переноса. Исследование порядка аппроксимации уравнения переноса производится в предположении непрерывности и ограниченности частных производных функции распределения вплоть до некоторой степени п, отвечающей порядку главного члена погрешности аппроксимации. Однако решение задач для уравнения переноса, как правило, имеет особенности на внешних граничных поверхностях, в окрестности сосредоточенных источников, на характеристиках, касательных к поверхностям разрыва свойств среды. Это означает, что вблизи особенностей решение сингулярное, т.е. обладает большими по величине градиентами, или является недифференцируемым, или даже разрывным. Это приводит к тому, что, по утверждению Р.М.Шагалиева [66], в расчетах реальных гетерогенных задач порядок сходимости, оцениваемый по ошибке решения при сгущении сеток, в три раза меньше декларируемого порядка аппроксимации (в предположении гладкости функции и ее производных порядок сходимости и порядок аппроксимации для устойчивых разностных схем обязаны совпадать): для схем третьего порядка аппроксимации имеет место сходимость первого порядка, для схем второго порядка - сходимость порядка 0.7-0.6, а для схем первого - 0.3. При таком анализе становится ясно, что схемы первого порядка аппроксимации являются совершенно неудовлетворительными по порядку сходимости.

Для надежности проводимых расчетов необходимо использовать схему, не только обеспечивающую хорошую аппроксимацию в каждой ячейке, но и правильно передающую важные качественные свойства точного решения:

- положительность (неотрицательность решения при неотрицательных источниках и индикатрисе рассеяния);

- монотонность (сохранение в сеточном решении числа и расположения эктремумов точного решения);

- корректность распределения потоков по граням ячейки.

Трудности решения транспортного уравнения не исчерпываются только разностной аппроксимацией уравнения в частных производных. В общем случае функция распределения частиц зависит от семи переменных: трех пространственных, двух угловых, энергетической и времени. Современная эра суперкомпьютеров позволила во многом разрешить эту проблему с точки зрения памяти для задач со многими измерениями. Однако многомерные динамические расчеты в многорупповом приближении, обеспечивающем необходимую точность, даже сейчас возможны в единичных случаях на многопроцессорных вычислительных системах. Эффективные параллельные алгоритмы решения задач переноса разрабатываются во ВНИИЭФ и в ИПМ РАН им. М.В.Келдыша [66-71].

Спектральное описание решения задач переноса излучения (и переноса нейтронов) также представляет значительные трудности. Связаны они с двумя факторами. Общим местом уже является сложная зависимость коэффициентов уравнения переноса от энергии частиц. Эта сложная зависимость коэффициетов поглощения и других, входящих в уравнение, включающих как непрерывный, так и линейчатый спектры, приводит к необходимости либо использовать чрезвычайно подробную сетку по энергии (не менее 10 точек на каждую линию), либо применять некоторые приближения для описания и расчета задачи. На этом этапе введение иерархии вычислительных моделей является наиболее оправданным [72-74]. Например, в наиболее точных методах 'line-by-line' при учете всех линий поглощения атмосферными газами в задаче теплового баланса атмосферы Земли получается система уравнений переноса, содержащая порядка нескольких миллионов энергетических точек. Если учесть необходимую пространственную и угловую дискретизацию задачи, то такой расчет даже для одномерной пространственной геометрии становится возможен в единичных случаях, особенно при наличии рассеяния. Более простой моделью спектрального представления задачи является многогрупповое приближение, при введении которого используется эффективное усреднение по отрезкам частот, соответствующим некоторому разбиению энергетической шкалы. Строгое введение групповых коэффициентов поглощения возможно в ограниченном числе случаев: для оптически тонкого тела, для непрерывного спектра, для излучения, близкого к локальному термодинамическому равновесию [75]. Тем не менее, практика расчетов показывает, что для большого числа задач может быть использовано многогрупповое приближение при соответствующем выборе весовой функции. Вопрос выбора весовой функции при усреднении спектральных коэффициентов частично обсуждается в Главе IV. Аналогичная проблема усреднения возникает при расчете групповых микроконстант, требующихся для реакторных задач, т.к. при различных взаимодействиях нейтронов с ядрами также возникают резонансные области с изменением величины микросечений этих реакций на несколько порядков вблизи резонанса [6]. Еще более простой моделью является локальное представление спектральной плотности излучения в виде равновесной функции излучения абсолютно черного тела с локальной температурой, что приводит к так называемой трехтемпературной модели, требующей коэффициента поглощения, усредненного по Росселанду во всем энергетическом диапазоне. Это первый аспект проблемы спектрального представления решения. Второй заключается в том, что если трудность представляет собой вычисление и реальное использование спектральных коэффициентов поглощения в широком диапазоне температур и давлений даже в случе равновесной плазмы, для задач прохождения излучения по неравновесной плазме необходимым этапом является включение в общую схему расчета кинетики населенности уровней атомов, что ведет к дальнейшему экспоненциальному нарастанию сложности модели. Выстраивание правильной иерархии моделей и правильный выбор модели для конкретной задачи также является предметом математического моделирования.

Во многих практически важных случаях расчета задач переноса излучения нам важны его интегральные по спектру характеристики типа скалярного потока. Для этого случая А.В.Шильковым был предложен метод лебеговского усреднения по частотам, который позволяет сократить вычислительную трудоемкость задачи минимум на несколько порядков при предварительной обработке констант. Подробнее этот метод будет описан в Главе 3.

Еще одна проблема возникает в задачах с рассеянием', при наличии сильной анизотропии рассеяния метод итераций источника, который обычно применяется в этих задачах, медленно сходится. Кроме того, чем сильнее анизотропия рассеяния, тем больше членов разложения индикатрисы рассеяния по (присоединенным) полиномам Лежандра нужно использовать, и тем хуже сходятся старшие моменты функции распределения. При недостаточном количестве используемых членов разложения возможна неположительность восстановленной индикатрисы рассеяния. Ускорением итераций при сильной анизотропии рассеяния занимались многие авторы, отметим здесь работы [76-94]. Еще один возможный источник возникновения итераций - задачи на нахождение собственного значения в реакторных задачах. Обзор быстрых итерационных методов обоих типов, возникающих при решении уравнения переноса, можно найти в [95].

И, наконец, последняя проблема заключается в том, что обычно уравнение переноса должно решаться не само по себе, а в совокупности с дополнительными уравнениями, например, уравнениями газовой динамики для переноса света, или с уравнениями выгорания и реакторной кинетики для расчета активных зон ядерных реакторов. Как правило, взаимодействие различных компонентов решения такой объединенной системы приводит к нелинейности задачи, что необходимо учитывать при разработке алгоритмов численного решения.

В предлагаемой работе основой численного решения задач переноса света или частиц является метод квазидиффузии, предложенный В.Я.Гольдиным в 1964 году [93-94]. Он также относится к классу нелинейных методов решения уравнения переноса, но не к классу методов коррекции скалярного потока. Суть его сводится к постепенному понижению размерности задачи введением ряда дробно-линейных функционалов (нелинейность!), слабо зависящих от решения. Это обеспечивает, с одной стороны, автоматическую консервативность и большую точность решения, полученного из дополнительной системы уравнений квазидиффузии, а с другой - возможность эффективно строить численные алгоритмы для объединной системы полученных уравнений редуцированной размерности с уравнениями, отвечающими за другие физические процессы. Понижение размерности задачи проходит в два этапа: первый отвечает усреднению уравнения переноса по углам, после чего получаются уравнения квазидиффузии, эта процедура в каком-то смысле аналогична выводу уравнений газовой динамики из уравнения Больцмана (только с другой процедурой замыкания системы уравнений). На втором этапе происходит усреднение по энергии, результатом которого является эффективная одногрупповая система уравнений квазидиффузии для скалярного и вектроного потока (излучения или частиц), которая уже может быть объединена с уравнениями, описывающими другие физические процессы, происходящие в системе. Кроме того, использование уравнений квазидиффузии позволяет значительно уменьшить количество итераций источника в задачах с умеренной анизотропией рассеяния. В настоящей работе метод квазидиффузии был развит для эффективного расчета задач при сильной анизотропии рассеяния. Работы коллег [96-103] развивали метод квазидиффузии в одномерной геометрии и создавали начальные методики решения двумерных (квази)диффузионных уравнений, которые при неявной аппроксимации по времени приводят к эллиптическим пространственным задачам. Был создан одномерный комплекс программ для решения задач ВРГД [104-108]. Работа по исследованию устойчивости квазидиффузионного метода и по созданию методик решения двумерного уравнения переноса в методе квазидиффузии ведется параллельно в США [109-117]. В англоязычной литературе как многогрупповые уравнения квазидиффузии, так и эффективная одногрупповая система уравнений квазидиффузии называются уравнениями низкого порядка в противовес собственно уравнению переноса, которое называется уравнением высокого порядка. В большинстве работ по квазидиффузии используется регулярное вычисление интегралов, необходимых для замыкания системы уравнений квазидиффузии. Объединение квазидиффузионного подхода с методами Монте-Карло для вычисления интегралов предложено в [118].

Система уравнений ВРГД

При изучении таких физических явлений, как процессы в лазерных термоядерных мишенях, газовые разряды, динамика звездных атмосфер, мощные взрывы и т.п., важную роль играет правильный учет переноса энергии собственным излучением сильно нагретого вещества. Взаимодействие излучения с веществом является нелинейным и нелокальным. Прохождение излучения через вещество связано с состоянием вещества на всем пути следования, с другой стороны, проходящее излучение из-за поглощения и переизлучения меняет состояние вещества. Для корректного учета взимодействия излучения с веществом в диссертации представлено описание системы уравнений высокотемпературной радиационной газовой динамики (ВРГД) и необходимые алгоритмы для ее эффективного решения в двумерной r-z геометрии, развивающие методики, примененные для одномерных вариантов пространственной геометрии [107].

Запишем уравнения ВРГД без учета рассеяния излучения в сопутствующей системе координат в одножидкостном двухтемпературном приближении: + pdivw = 0, (1) dt du °Г Wv р— + gvad{pe + pi + pco) = I куа-dv, (2) dt о c ds p-f- + di vWe + (pe + ypa>)divu = pQie +Qr+ pQe, (3) dt dsp-^ + divWi + (Pi + (1 - r)pco)d\wu = -pQie + pQ., (4) dt

Здесь (1) - уравнение неразрывности, (2) - уравнение движения среды с учетом давления излучения (правая часть), (3),(4) - уравнения энергии для электронного и ионного компонентов плазмы с учетом теплопроводности, искусственной вязкости pcodivu и обмена энергией между веществом и собственным излучением. Обозначения газодинамических величин универсальны: р - плотность, й — скорость, р=р(Т,р) - давление, е=Е(Т,р) -внутренняя энергия вещества, We, Щ — потоки энергии за счет электронной и ионной теплопроводности, v - частота излучения, с — скорость света, W — спектральный поток излучения.

Член обмена энергией между электронной и ионной компонентами плазмы Т-Т

Qb^-1—*- (5)

Р¥ может быть взят либо в форме Брагинского [3], либо в форме Калиткина

П9], со

Qr=\{<Uv-KvaUvPl)dv (6) о

- член обмена энергией между излучением и веществом, V — спектральная плотность излучения, домноженная на скорость света, ttv , nv 8я7г v

UPl = 4 лВу = -----(7) pl съ Qxp(hv/kTe)-l

- планковская равновесная плотность излучения (h — постоянная Планка, к — постоянная Больцмана, сг - постоянная Стефана-Больцмана), куа — спектральный коэффициент поглощения с поправкой на вынужденное переизлучение. Остальные обозначения универсальны. В дальнейшем мы пренебрегаем членом давления излучения в уравнении движения (2), поскольку оно существенно только для сверхвысоких температур. Qe и Ог источники энерговыделения в электронной и/или ионной компонентах плазмы.

Система (1) - (7) должна быть дополнена уравнениями состояния:

Pe=Pe(P>Te\ Pi = Pi (Л ), ee=se{p,Te), s^SiipJi).

Уравнение переноса излучения, как было показано в [2,120,121], должно также записываться в сопутствующей системе координат. Однако аккуратный учет членов порядка и/с в уравнении переноса предъявляет чрезмерно жесткие требования к точности численных схем в ситуации, когда функция распределения близка к равновесной [104]. Использование квазидиффузионного метода [1034,105], в котором плотность излучения, входящая в обменный член Qr, определяется из системы уравнений, аналогичных моментным уравнениям газовой динамики для уравнения Больцмана, позволяет сохранить нужную точность и в этом случае. Эти квазидиффузионные уравнения в нерелятивистском приближении с точностью до членов порядка и/с были строго получены А.В.Шильковым и частично опубликованы в [103]. Без учета членов, соответствующих томпсоновскому рассеянию, они имеют вид:

Третьи члены в левых частях уравнений описывают работу сил давления излучения, а четвертые — существенное вблизи резонансов допплеровское смещение энергии фотонов из-за различия газодинамической скорости в разных точках пространства.

В уравнениях (9),(10) используются коэффициенты квазидиффузии Dy,

Щк, учитывающие угловую зависимость интенсивности излучения функции распределения) Iv = I(f,Q,v,t) KvaUvPl-KvaU\ (9)

-KVWV. a" j '

10)

J a£ljlvd& j QPjQkIvdQ

-~—, -=-. (11)

9 J/vq lJk \ivda y }

4 л an

Здесь Q - направление полета фотона, определяемое двумя углами: полярным углом 0 и азимутальным углом (р.

Полное уравнение переноса в сопутствующей системе координат имеет чрезвычайно сложный вид. Так как основные переносные эффекты учитываются уравнениями квазидиффузии (9),(10), в которых используются устойчивые дробно-линейные функционалы (11), слабо зависящие от функции распределения Iv, для вычисления последней допустимо использовать уравнение переноса, не содержащее членов порядка и/с (работа сил давления излучения и допплер-эффект): Q . v/v + кУаГ = KvaBv. (12) с dt

В физических приложениях принято как частоту, так и температуру измерять в энергетических единицах (например, в кэВ), в этих переменных планковские плотность и интенсивность излучения имеют вид

15 У3 RVssUb

4/Г

Bv=-P~, (13)

Помимо спектральных уравнений квазидиффузии (9),(10) рассматриваются интегральные по спектру уравнения с усредненными коэффициентами, в которых члены с производной по частоте пропадают, но работа сил давления излучения остается: р d U - ^ U дщ

--+ div W + D,-с dt р с дх • + di wW + Dy — = -Qr, (14) pdWj дЩи) щди- «

--J- +-J-— + —^—= Wjdv. (15) с dt p dxj с дх, о

При удачном выборе усреднения коэффициентов уравнений (9),(10) по решению спектральной задачи коэффициенты системы уравнений (14),(15) являются устойчивыми дробно-линейными функционалами спектральных функций. Заметим, что при усреднении по энергии непосредственно уравнения переноса член поглощения в левой части полученного уравнения зависел бы от направления полета фотонов (угловых переменных), так что пришлось бы вводить и решать сопряженное уравнение переноса.

Уравнения (1)-(15), дополненные соответствующими уравнениями состояния (8) и данными об оптических свойствах веществ куа = к(Т,р,у), составляют систему уравнений ВРГД в рамках квазидиффузионного подхода.

Для надежной аппроксимации уравнения переноса нам необходимы выпуклые сетки с близкими оптическими толщинами соседних ячеек (кроме случая контактных границ). Необходимость аккуратного описания газодинамического движения контактных границ накладывает серьезные ограничения на использование эйлеровой газодинамики. Возможности расчетов в лагранжевых переменных ограничены из-за сильных искажений ячеек сетки. Поэтому разумно ориентироваться на использование смешанных ларанжево-эйлеровых газодинамических алгоритмов.

Общим подходом, позволяющим решать сложные системы уравнений, является метод расщепления по физическим процессам. В алгоритме решения системы (1)-(15) можно выделить шесть вычислительных задач:

1. Решение спектрального (группового) уравнения переноса (12) для заданных распределений температур и плотностей в веществе. Вычисление спектральных коэффициентов квазидиффузии.

2. Определение спектральных (групповых) значений плотностей и потоков излучения из уравнений (9),(10). На основе полученных распределений проводится усреднение коэффициентов групповых уравнений для получения коэффициентов уравнений (14),(15).

3. Совместное решение интегральных по спектру уравнений квазидиффузии и уравнений внутренней энергии вещества для электронной и ионной компонент с замороженными потоками теплопроводности. Получение согласованных распределений температуры и плотности излучения. Автоматический учет обменного члена между электронной и ионной компонентами плазмы. Отметим, что при температурах больше 1 эВ и невысоких плотностях вещества основную роль в перераспределении энергии между элементами массы играет именно перенос излучения.

4. Расчет теплопроводности в (3),(4) при известных плотностях и радиационных членах.

5. Газодинамический расчет для определения плотностей, скоростей и температур в веществе, координат лагранжевой частицы из уравнений (1)-(4) при известных потоках тепла и радиационных членах.

6. Интерполяция величин, определяемых нестационарными уравнениями, на новую лагранжевую сетку. При решении уравнения переноса (12) вопрос интерполяции становится очень сложным ввиду большого числа переменных, от которых зависит функция распределения. В работе [101] показано, что использование квазидиффузионного подхода позволяет использовать в уравнении переноса так называемое X-приближение, снимающее эту проблему.

Диссертация посвящена созданию методов и программ решения уравнения переноса в двумерной цилиндрической геометрии в рамках квазидиффузионного подхода, объединению полученных программ с известными газодинамическими кодами для решения системы уравнений ВРГД и применению разработанных методов к задачам управляемого термоядерного синтеза. Кроме того, в диссертации предложен метод учета сильной анизотропии рассеяния, позволивший решить ряд задач атмосферной радиации. Аналогичные методы применены в исследованиях саморегулируемых нейтронно-ядерных режимов в быстрых реакторах.

Первая глава посвящена первой из указанных вычислительных задач, а именно, в первой главе изложен экономичный метод решения уравнения переноса, основанный на переходе к собственным характеристическим переменным. Предложены два варианта метода. Показано, что построение консервативно-характеристической разностной схемы значительно повышает точность численного решения по сравнению с характеристической схемой. Для оценки порядка точности схемы приведены результаты расчетов тестовой задачи, имеющей точное решение. Основные результаты данной главы опубликованы в работах [256-258,262].

Во второй главе приведена методика решения второй и третьей задач для единого уравнения энергии вещества без разделения на электронный и ионный компонент плазмы. Приведена неявная разностная аппроксимация многогрупповой системы уравнений квазидиффузии на произвольных матрично упорядоченных четырехугольных сетках. Предложен нелинейный метод ускорения сходимости итерационного процесса для решения эллиптической разностной системы уравнений с автоматической подстройкой итерационного параметра к оптимальному значению. Предложен почти монотонный вариант разностной схемы, основанный на приведении тензора квазидиффузии к собственным осям в плоскости (r,z) в середине расчетной ячейки. Используется комбинированная разностная схема: в областях гладкости решения - немонотонная, а на контактных границах - почти монотонная. Описан метод усреднения многогрупповой системы уравнений квазидиффузии в эффективную одногорупповую систему уравнений квазидиффузии и методы решения полученных одногрупповых квазидиффузионных уравнений совместно с уравнением энергии для вещества. Показана важность введения производной Фреше от усредненного коэффициента поглощения по температуре. Приведены результаты численного исследования ряда методических задач, основанных на первой и второй задачах Флека. Основные результаты данной главы опубликованы в работах [231-233, 235, 236, 244, 245, 248, 263].

В третьей главе изложен метод учета умеренной и сильной анизотропии рассеяния в задаче с сосредоточенными источниками (солнечное излучение). Метод учета сильной анизотропии рассеяния основан на выделении в индикатрисе рассеяния сингулярной и регулярной частей. В регулярной части индикатрисы рассеяния выделяются первые три члена разложения по полиномам Лежандра, главная часть сингулярной части эффективно уменьшает сечение рассеяния. В оставшихся интегралах возможна замена переменных, позволяющая учесть особенности индикатрисы рассеяния. Приведены результаты климатических расчетов для атмосферы Земли. При использовании метода лебеговского усреднения по частотам получены прецизионные результаты для теплового баланса атмосферы Земли при наличии не только поглощения, но и рассеяния атмосферными газами. Основные результаты данной главы опубликованы в работах [234, 237, 238-243, 246].

В четвертой главе описан программный комплекс LATRANT для моделирования задач инерциального термоядерного синтеза, построенный на основе предложенных автором методик, описанных в главах 1-3, и лагранжевой методики расчета газодинамических течений. В программном комплексе LATRANT используется двухтемпературное приближение для электронного и ионного компонента плазмы. На основе данного комплекса проведено сравнение трехтемпературной модели, широко используемой при моделировании задач УТС, с многогрупповым приближением. Показано, что эти трехтемпературная модель дает запаздывающую динамику сжатия центральной области горючего для сферических мишеней по сравнению с многогрупповым расчетом. Проведено сравнение результатов математического моделирования с результатами экспериментов, проведенных на установках PALS и LIL. Показано, что влияние различных факторов приводит к значительно меньшему поглощению лазерной энергии пеной на установке PALS, чем это предполагалось при постановке эксперимента. Показано, что введение в пену кластеров тяжелых металлов значительно повышает конверсию лазерного излучения в рентгеновское. Результаты сравнения с экспериментами на установке LIL показывают хорошее согласие численного и натурного экспериментов. Основные результаты данной главы опубликованы в работах [252-255,260, 264, 266]

В пятой главе на основании предложенных подходов была создана оригинальная методика решения многогруппового уравнения переноса нейтронов для исследования саморегулируемых нейтронно-ядерных режимов в быстрых реакторах. Предложенные методы необходимы для расчета критической сборки, а также для пересчета усредненных по спектру сечений в ходе динамического расчета. Было предложено усовершенствование полуторамерной динамической модели, на основе которой проводится оптимизация режима. Основные результаты опубликованы в работах [247, 249-251,259,261,265,268].

Основные положения, выносимые на защиту

1. Созданы эффективные методики и комплексы программ решения многогруппового уравнения переноса совместно с квазидиффузией для решения задач переноса излучения в сплошной среде. Предложенные методы обладают повышенными свойствами монотонности и учитывают особенности решения. Методы эффективного понижения размерности уравнения переноса позволили создать экономичную и точную методику, учитывающую взаимное влияние переноса фотонов и газодинамических процессов в системе.

2. Предложен метод учета сильной анизотропии рассеяния в уравнении переноса, значительно сокращающий количество итераций по рассеянию. Решен ряд задач атмосферной радиации с рассеянием на аэрозолях и облаках, обладающих особенностью преимущественного рассеяния вперед. Применение предложенного метода учета анизотропии рассеяния совместно с методом лебеговского усреднения по частоте (А.В.Шильков) позволило получить прецизионные результаты, не имевшие аналогов в мире, для задачи об энергетическом балансе атмосферы Земли.

3. На основании разработанных автором методик расчета переноса излучения и известных газодинамических методик создан программный комплекс LATRANT для моделирования задач радиационной газовой динамики в r-z-геометрии при существенной роли собственного излучения плазмы. Полномасштабное моделирование задач УТС позволило объяснить экспериментальные результаты, полученные на установках PALS и LIL.

4. Создан эффективный метод и комплекс программ расчета многогрупповой системы уравнений переноса нейтронов с квазидиффузией в двумерной r-z геометрии, значительно сокращающий число итераций по рассеянию и делению, применяемый для проведения поисковых работ по оптимизации активных зон быстрых реакторов нового типа, предложенных и разрабатываемых в ИММ РАН, которые обладают повышенными свойствами безопасности и экономичности.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Аристова, Елена Николаевна

Выводы и проблемы. Успехи экспериментального исследования воздействия мощных лазерных пучков на малоплотные среды вызвали ответный всплеск исследований такого рода задач на основе математического моделирования. Заметим, что в экспериментах температура вещества непосредственно измерена быть не может, и некоторые заключения о величине температуры делаются по косвенным признакам — по данным измерений с рентгеновских электронно-оптических камер. Это позволяет отследить области, в которых температура поднялась выше некоторого порогового значения (если регистрируется излучение с энергией выше 1.5 кэВ, то температура среды заведомо выше 130 эВ). Математическое моделирование позволяет получить интересующие физиков данные непосредственно в ходе расчетов. Однако моделирование таких сложных структурированных объектов как пена сопряжено либо с чрезвычайной трудоемкостью расчетов, если хоть приблизительная структура пены прописана подробно, либо с упрощением ситуации, связанным с гомогенизацией неоднородностей, и, как следствие, выпадением из адекватного рассмотрения интересных начальных стадий испарения малоплотного вещества. Упрощение связано с двумя факторами. Во-первых, в настоящее время в модели не учтено запаздывание давления по сравнению с энергией, связанное с разлетом твердых слоев пены и превращением ее в плазму. Такое запаздывание введено в одномерный программный комплекс DIANA [216]. При отсутствии запаздывания необходимо сопоставлять время гомогенизации и характерное время лазерного импульса. Во-вторых, равномерное размазывание по пространству плотности пены приводит к тому, что если средняя плотность оказывается подкритической, то гомогенизированная среда через малое время после начала импульса может начать пропускать лазерное излучение практически до подложки (при ее наличии), хотя для структурированной пены поглощение лазерного излучения происходит в надкритичных хлопьях пористого вещества, т.е. имеет несколько другое пространственное распределение энерговыделения на начальных стадиях процесса. По окончании процесса образования плазмы и ее гомогенизации плазма становится подкритичной, и соответствующий расчет адекватным физическому явлению. В настоящем параграфе две рассмотренные задачи относятся к надкритическим задачам, соответственно вторая проблема для них не является актуальной. Рассмотренные далее задачи для серии экспериментов на установке PALS также выбраны из соображений большей адекватности математической постановки физическому эксперименту, т.е. рассматриваются надкритические задачи, поэтому, например, не рассматривалось взаимодействие пен очень низкой плотности с лазерным излучением на третьей гармонике. Моделирование взаимодействия лазерного импульса с сильно подкритическими средами требует уточнения математической модели.

§ 4.6. Сравнение результатов математического моделирования с экспериментами на PALS

На установке PALS (Prague Asterix Laser System) была проведена серия экспериментов по взаимодействию излучения йодного лазера на первой (А,=1.315мкм) и третьей гармонике (А,=0.438мкм) с плоскими пористыми мишенями. Для этой серии экспериментов имеется обширный и доступный экспериментальный материал [217]. Использовались пористые мишени из триацетата целлюлозы на алюминиевой подложке толщины 5 мкм. Толщина пены около 400 мкм. При этом предполагались две основные плотности

3 3 3 3 пористого вещества-9.1-10" г/см и 4.5-10" г/см:

-0.0405<z<-0.0400 см А1 р=2.7 г/см3 (толщина слоя 5мкм),

-0.0400<z< 0.0000 см ТАС pf=9.1 • 10"3 г/см3; (толщина слоя 400мкм), р2=4.5-10"3г/см3.

Для ряда выстрелов использовалась пена с добавками 9.9% по массе атомов меди

ТАС +9.9% Си р\—9.1-10"3 г/см3. Энергия лазерного импульса в эксперименте оценивалась в 150-175 Дж. Длительность импульса около 0.8 не с шириной импульса на полувысоте 320 пс. Такие значения параметров соответствуют максимальному потоку

14 2 лазерной энергии порядка 5-10 Вт/см на поверхности мишени.

При аппроксимации лазерного импульса предполагалось, что временное и пространственное распределения интенсивности падающего лазерного излучения независимы: i(r,t)=i0m(r), по пространству импульс предполагался имеющим гауссовский профиль с полушириной 50 мкм, при этом гауссовский профиль вида

О 00

А, о г j(r) = — exp(-(r/r0) ) обеспечивает условие нормировки \Ix{r)rdr = 1. При го о аппроксимации временной зависимости лазерного импульса поиск среди функций вида /0 (/) = С (V/tmax )2" ехр{п - n{t/tmgx)2) при сравнении с экспериментальным профилем и заданной шириной импульса на полувысоте привел к выбору значений п—2, /тах=388 пс. Профиль был несколько уширен при значении времени максимума потока энергии ?тах=400 пс, при этом ширина импульса на полувысоте равна 325 пс. Константа С выбирается из

00 условия нормировки по времени jl0(t)dt - Elas. о

В эксперименте были выбраны две основные схемы фокусировки импульса - фокус на некотором расстоянии от мишени и фокус внутри мишени. В обоих случаях положение мишени выбиралось таким образом, чтобы диаметр фокального пятна на поверхности мишени составлял указанные 300 мкм. При математическом моделировании не учитывалось схождение или расхождение лазерных лучей: в любом случае прохождение и поглощение лучей за счет обратного тормозного механизма предполагалось параллельным оси z.

Диагностический комплекс для серии экспериментов состоял из рентгеновской электронно-оптической камеры (РЭОК), электронно-оптической камеры и установки трехкадровой теневой фотографии. РЭОК регистрировала рентгеновское излучение в диапазоне энергий выше 1.5 кэВ с разрешением 1.9 мкм/пиксель и 2 пс/пиксель. РЭОК располагалась в плоскости мишени и позволяла получать изображения процесса распространения фронта рентгеновского излучения по толщине мишени. Электронно-оптическая камера (ЭОК) располагалась перпендикулярно к тыльной стороне фольги и регистрировала оптическое свечение тыльной стороны фольги с временной разверткой 11 пс/пиксель. Для регистрации процесса разлета фольги с тыльной стороны мишени использовалась трехкадровая теневая фотография на основе ПСЗ-матриц. Схема эксперимента изображена на Рис. 1.

Рис.1. Диагностический комплекс установки PALS. РЭОК расположена в плоскости мишени, излучение на первой или третьей гармонике падает по нормали к поверхности пены.

Фотографии РЭОК по горизонтальной оси дают временную развертку регистрируемого рентгеновского излучения с полным временем 2 не по ширине фотографии, а по вертикальной оси - развертку по толщине мишени с полной толщиной 2000 мкм по высоте фотографии (Рис.2). По этим данным вычислялись две скорости: скорость распространения рентгеновского фронта как касательная к нижней части цветного изображения в носике на границе с черным фоном и скорость гидротепловой волны по сечению этого рисунка в максимуме регистрируемого излучения.

Первоначально для сравнения расчета с экспериментом в качестве поглощенной лазерной энергии была заложена энергия 130 Дж, потери оценивались в 25-50 Дж. На Рис.3 приведены распределения температур, полученные в расчете при энергии лазерного импульса 130 Дж, для моментов времени, соответствующих максимуму падающего излучения, и ближе к окончанию лазерного импульса. Максимальная электронная температура в расчете достигает 1800 эВ, ионная значительно меньше — порядка 1100эВ. На этих рисунках можно наблюдать приход ударной волны на алюминиевую подложку и ее отражение. Однако основными целями экспериментов с пенами является выявление эффективности и скоростей сглаживания неравномерности облучения. а) выстрел №28205: Elas=170,4 Дж; 2нс. Ь) выстрел 28232: Elas = 163 Дж; 2нс.

Рис.2. Показания РЭОК для пены ТАС (9.1 мг/см3, 3 гармоника лазера, толщина фольги 5 мкм) в экспериментах (а, б).

Программный комплекс позволяет моделировать показания РЭОК. Результат такого моделирования приведен на Рис.4 а). На Рис. 4 Ь) приведен покомпонентный баланс энергий, полученный при - моделировании эксперимента при данной энергии выстрела.

Скорости распространения рентгеновского фронта и гидротепловой волны, измеренные по приведенным расчетным данным для энергии выстрела 130 Дж, оказались значительно выше, чем соответствующие скорости, измеренные в эксперименте (Табл.1). Встал вопрос о несовпадении результатов численного и натурного экспериментов. Сравнение Рис. 2 а) и Рис. 2 Ь) показывает, что в экспериментах не достигается полной повторяемости результатов: если на левой картинке видно свечение алюминиевой подложки ко времени примерно 1.5 не, то на правой картинке это свечение гораздо слабее и наблюдается позже при примерно одинаковой энергии выстрелов.

В ФИ РАН им. П.Н.Лебедева по теории сильного взрыва были проведены оценки вложенной лазерной энергии, которые показали, что регистрируемые в эксперименте скорости волн, а также время выхода оптического излучения с противоположной от лазера стороны алюминиевой подложки (к 5-6 не) соответствуют значительно меньшим вложенным энергиям. Решение одномерных уравнений Максвелла, полученное численно также в ФИ РАН, показало, что на слоистой структуре пленок из ТАС отражается до 70% лазерной энергии. Поэтому было проведено исследование задач взаимодействия лазерного излучения с пенными структурами с меньшими значениями вложенной лазерной энергии. Результаты моделирования для пены 9.1 мг/см3 при облучении на третьей гармонике йодного лазера при энергиях лазерного импульса 50 Дж и даже 6 Дж приведены на Рис.4 с) и Рис.4 е).

Рис.3. Электронная температура для пены ТАС (9.1 мг/см3, 3 гармоника лазера) на моменты времени 400, 500 и бООпс, и ионная температура на момент бООпс.

Аналогичные данные, полученные для пены вдвое меньшей плотности 4,5 мг/см3, при облучении мишени на первой гармонике лазера в эксперименте представлены на Рис.5, а при математическом моделировании - на Рис. 6.

Добавление тяжелых кластеров меди (9.9% по массе) в пену ТАС очень значительно усиливает механизмы оптического сглаживания неоднородностей. Добавление кластеров тяжелых элементов приводит к значительной доли лазерного излучения, преобразованного в рентгеновское, которое в значительной степени выносится вовне из мишени, при этом, естественно, уменьшается интенсивность газодинамического движения.

Результаты показаний РЭОК можно увидеть на Рис.7, и соответствующие результаты моделирования показаний РЭОК и баланс энергии - на Рис.8. ч») a) Eabs= 130 Дж; 0,6нс b) Eabs= 130 Дж

-оог с) Eabs = 50 Дж; 1нс о N

-О От -0.02 d) Eabs = 50 Дж

1.00Е-010 З.ООЕ-ОЮ

5.00E-01Q

7.00Е-010

9.00Е-010 t,ps е) Eabs = 6 Дж, 1нс J) Eabs = 6 Дж

Рис. 4. Моделирование показаний РЭОК для пены ТАС (9Л мг/см , 3 гармоника лазера, толщина фольги 5 мкм) в расчетах при разных энергиях выстрелов (а, с, е) и энергетический баланс (b, d, f). а) выстрел 28256: Elas= 174 Дж; 2нс Ь) выстрел 28270: Elas = 177Дж ; 2нс

Рис. 5. Показания РЭОК для пены ТАС ТАС (4.5 мг/см3, 1 гармоника лазера, толщина фольги 5мкм) в экспериментах (а, Ь). a) Eabs = 50 Дж ; 1нс

0 04

0.02'

-002

-ом в ja о ш

E^-SOJ f-4.5401 gfem' .

ТАС /

1» / / / / ' / ' / ' / 1 / ' / * X A J'^'-'. —.

0.0

Ь) Eabs = 50 Дж

5,0x10"'° ((s) 1,0x10-'

1,5x10*

1,в

1.в-1,41.2-Е 1.0 0.80.6

TAC.NonEq

4,5mg/cc

10J Einn« * "* / ' / / / -EJ*L. t .-.

0.0 О.ООЕ+ООО

5.00Е-010

1.00Е-009

1,5ое-оов с) Eabs = 10 Дж, 1нс d) Eabs = 10 Дж

Рис. 6, Моделирование показаний РЭОК для пены ТАС (4.5 мг/см3, I гармоника лазера, толщина фольги 5мкм) в расчетах при разных энергиях выстрелов (а, с) и энергетический баланс (b, d). а) выстрел № 28211, Elas= 158,6 Дж б) выстрел М 28220, Etas= 155 Дж

Рис. 7. Показания РЭОК для пены ТАС+9.9%Си (9.1 мг/см3, 3 гармоника лазера, фольга 5мкм) в эксперименте.

База данных оптических коэффициентов DESOPLA содержит коэффициенты, равновесные по ионному составу, а также рассчитанные при учете неравновесности ионного состава плазмы. Как было показано в [218], эффекты неидеальности плазмы очень слабо влияют на термодинамические функции, но оказывают влияние на ионный состав. Сравнение результатов при одной и той же энергии выстрелов с равновесными по ионному составу коэффициентами поглощения из базы данных DESOPLA и с неравновесными (Рис.8), показывает, что при неравновесных коэффициентах значительно увеличивается вынос энергии вовне и замедляется скорость рентгеновского фронта. Таким образом, использование неравновесных по ионному составу коэффициентов в большей мере отвечает физической ситуации в эксперименте.

Сводные данные по скоростям рентгеновского и гидротеплового фронтов, наблюдаемых в экспериментах и полученных в расчетах, при различных значениях вложенных энергий представлены в Табл.1.

-1-- 1---г

4.00Е-010 6.00Е-010 8.00Е-010

J) Eabs = 18 Дж e) Eabs = 18 Дж; 1нс. Равновесные к-ты поглощения.

Рис. 8. Моделирование показаний РЭОК для пены ТАС+9.9%Си (9.1 мг/см3, 3 гармоника лазера, фольга 5мкм) в расчетах при разных энергиях выстрелов (а, с, е) и энергетический баланс (b, d, f). a) Eabs ~ 130Дж; 1нс. Равновесные к-ты поглощения с) Eabs = 130 Дж; 1нс. Неравновесные к-ты поглощения

I.OxlO"* 1,5x10'" 2.0x10'' tkne(i)

ТАС*9,9%Си 9.1 т&сс; 3w ЕЯ1 = 18J

5.0x10'

Ь) Eabs = 130ДЖ

ТДС+в.9%Си

1.0X10* 1.5x10* 2.0x10* tirmfs) d) Eabs = 130Дж

Заключение

1. В диссертации созданы методики решения многогруппового уравнения переноса с квазидиффузией в двумерной цилиндрической геометрии. Метод квазидиффузии обладает рядом преимуществ по сравнению с прямыми методами решения уравнения переноса. Он нелинеен, обеспечивает консервативность и большую точность получаемого решения, позволяет значительно сократить число итераций по рассеянию (и, возможно, делению), а также позволяет эффективно учесть взаимное влияние переноса излучения и/или нейтронов и других физических процессов, протекающих в сплошной среде. Уравнения метода квазидиффузии имеют иерархическую структуру с понижением количества независимых переменных, от которых зависит искомое решение. На первом этапе решения многогруппового уравнения переноса предложены характеристический и консервативно-характеристический методы с помощью перехода к переменным Владимирова. Эти методы позволяют разрешить структуру логарифмических разрывов решения, которые характерны для гетерогенных задач в сферической и цилиндрической геометриях. Порядок сходимости консервативно-характеристического метода на сетке Владимирова второй, при использовании более экономичной угловой сетки порядок сходимости метода снижается до первого. Однако точность вычисления коэффициентов квазидиффузии остается высокой. На втором этапе решения многогрупповой системы уравнений квазидиффузии была предложена гибридная схема, сочетающая схему более высокого порядка аппроксимации в областях гладкости решения и менее точную, но обладающую лучшими свойствами монотонности, на световых фронтах и контактных границах. Лучшие свойства монотонности достигаются за счет двух факторов. Во-первых, для самосопряженной задачи схема строится так, чтобы система разностных уравнений удовлетворяла принципу максимума. Во-вторых, для несамосопряженной задачи минимизируются недиагональные компоненты тензора квазидиффузии на сторонах расчетной ячейки приведением тензора к собственным осям в середине ячейки. На третьем этапе метода квазидиффузии получается эффективная одногрупповая система относительно полных скалярного и векторного потоков, которая может быть объединена с уравнениями, отвечающими за другие процессы в физической системе, например, с уравнениями энергии для вещества. На этом этапе была показана важность введения разностного аналога производной Фреше от усредненного коэффициента поглощения по температуре.

2. В диссертации предложен метод учета сильной анизотропии рассеяния в уравнении переноса. Наличие в индикатрисе рассеяния особенности преимущественного рассеяния вперед приводит к плохому затуханию коэффициентов разложения индикатрисы по полиномам Лежандра и плохой сходимости обычно используемых итерационных методов решения уравнения переноса. В диссертации предложено разделение индикатрисы на регулярную и сингулярную части, в каждой из которых выделяются главные члены, вычисляемые через скалярный и векторный потоки в уравнении переноса. Все остаточные члены преобразуются в дробно-линейные функционалы. В уравнениях квазидиффузии главные члены рассеяния переносятся в левую часть. Показано, что скорость сходимости такого итерационного метода очень высокая. Для решения ряда задач переноса солнечного излучения заданной частоты в атмосфере в присутствии облаков и аэрозолей использовался потоковый метод квазидиффузии, позволивший учесть поведение решения в окрестности сосредоточенного источника. На основании предложенного метода и метода лебеговского усреднения по частоте А.В.Шилькова были получены прецизионные результаты по тепловому балансу атмосферы Земли при наличии рэлеевского рассеяния всеми основными атмосферными газами.

3. На основе методик из п.1 и известного газодинамического кода ATLANT построен программный комплекс LATRTANT для решения задач У ТС. Комплекс использует базу данных групповых оптических коэффициентов DESOPLA, созданную в ФИАН им П.Н.Лебедева. Моделирование задач по сжатию сферических двухоболочечных мишеней потоком внешнего изотропного излучения показало, что более простая трехтемпературная модель дает запаздывающую динамику сжатия центральной области горючего. Учет переноса излучения в многогрупповом приближении приводит к худшим условиям сжатия для обеспечения условий горения центральной области термоядерного горючего по сравнению с трехтемпературной моделью. На основе программного комплекса LATRANT было проведено полномасшабное моделирование серии экспериментов, проведенных на установках PALS и LIL по взаимодействию мощных пучков лазерной энергии порядка 5-1014Вт/см2 с пенными мишенями. Было показано, что результаты экспериментов на PALS совпадают с результатами моделирования в предположении значительно меньших вложенных в мишень энергий лазера, что подтверждается одномерными расчетами уравнений Максвелла, показывающими, что отражается до 50% лазерной энергии, а также оценками вложенной энергии по теории сильного взрыва, проведенными в ФИАН. Результаты расчетов находятся в хорошем согласии с результатами экспериментов на установке LIL.

4. Создан оригинальный метод и комплекс программ расчета многогруппового уравнения переноса нейтронов для проведения поисковых работ по созданию быстрых реакторов нового типа, предложенных и разрабатываемых в ИММ РАН, обладающих естественной безопасностью по нейтронно-ядерным процессам. Возможность длительной работы реактора (до трех лет и более) без перегрузок топлива и без запаса реактивности с КВА порядка единицы делает предлагаемый реактор значительно более экономичным. Для проведения предварительных оптимизационных расчетов реакторов, способных работать в саморегулируемом нейтронно-ядерном режиме, предложено усовершенствование более экономичной полуторамерной методики.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Аристова, Елена Николаевна, 2009 год

1. Я.Б. Зельдович, Ю.П. Райзер. Физика ударных волн и высокотемпературныхгидродинамических явлений. М., Наука, 1966, 686с.

2. Д. Михалас. Звездные атмосферы, т. 1-2. М.: Мир, 1982.

3. В.В. Соболев. Перенос лучистой энергии в атмосферах звезд и планет. Москва, 1956.

4. С.И. Брагинский. Явления переноса в плазме. Вопросы теории плазмы, Вып.1 . Подред. М.А. Леонтович, М., Госатомиздат, 1963, 287 с.

5. Б.Довисон. Теория переноса нейтронов. М., Атомиздат, 1960.

6. А. Вейнберг, Е. Вигиер. Физическая теория ядерных реакторов. Изд-во Иностраннойлитературы, М., 1961, 732с.

7. Г.И. Марчук, В.И. Лебедев. Численные методы в теории уравнения переносанейтронов. М., Атомиздат, 1981, 454с.

8. Г.И Марчук. Численные методы расчета ядерных реакторов. М., Атомиздат, 1958,381с.

9. В.В. Смелое. Лекции по теории переноса нейтронов. М., Атомиздат, 1978.

10. В.Я. Голъдин. Методы расчета переноса нейтронов и горения в термоядерном изделии1948-1960гг.) Международный симпозиум, Дубна, 14-17 мая 1996г. В сб: «Наука и общество: история советского атомного проекта (49-50-е годы)», 1999, т.2, с. 497501.

11. Я Карлсон, Дж. Белл. Решение транспортного уравнения Sn методом. В сб.: «Физикаядерных реакторов», М., Атомиздат, 1959, с. 408-432.

12. B.C. Владимиров. Численное решение кинетического уравнения для сферы//

13. Вычислительная математика, т.З, 1958, с.3-33.

14. B.C. Владимиров. Математические задачи односкоростной теории переноса частиц. Тр.

15. Матем. ин-таим. Стеклова АН СССР, 1961, 158с.

16. B.C. Владимиров II Журн. вычисл. мат. и мат. физ., М., 1968, т. 8, № 4.

17. В.Я. Голъдин. Характеристическая разностная схема для нестационарногокинетического уравнения // ДАН, т.133, стр. 748-751, 1960.

18. С.К.Годунов, B.C. Рябенький. Разностные схемы (введение в теорию), М., «Наука», 1973.

19. Н.Н. Калиткин. Численные методы. М., Наука, 1978, 512с.

20. И.Р. Суслов. Метод характеристик в областях со сложной геометрией // Атомнаяэнергия, т. 65, вып. 1, стр. 57-58, 1988.21. 7.7. Azmy. Arbitrary High Order Characteristic Method for Solving the Neutron Transport

21. Equation // Ann. Nucl. Energy, v. 19, pp.593-606, 1992. 22.I.R. Suslov. WWER Benchmarking Characteristics vs. Monte-Carlo. Book of Abstract Int. Conf. on Transport Theory, July 22-28, Obninsk, Russia, 2007, pp. 129-131.

22. K.D. Lathrop. Remedies for Ray-Effects // Nuclear Science and Engineering, v.l, pp 461469, 1995.

23. P. Рихтмайер, К. Mopmon. Разностные методы решения краевых задач. М., Мир, 1972,418с.

24. А.В. Никифорова, В.А. Тарасов, В.Е. Трощиев. О решении кинетических уравнений дивергентным методом характеристик // ЖВМ и МФ, 1972, т.12, №4, с. 1041-1048.

25. В.Е. Трощиев. О математических свойствах Sn методов решения кинетическихуравнений //ЖВМ и МФ, 1975, т.15, №5, с. 1209-1221.

26. Н. Khalil. A Nodal Diffusion Technique for Synthetic Acceeration of Nodal Sn

27. Calculations // Nuc.Sci. and Eng., v.90, pp.263-280, 1985.

28. Л.П. Басс, A.M. Волощенко, Т.А. Гермогенова. Методы дискретных ординат в задачах опереносе излучения. Монография ИПМ им. М.В.Келдыша АН СССР, М., 1986.

29. О.С. Широковская. Об одной модификации DSn метода // Вопросы атомной науки итехники. Серия «Математическое моделирование физических процессов», 1989, Вып.1, с. 24-29.

30. P. Barbucci, D.Di. Pasquantonio. Exponential Supplementary Equations for Sn Methods:

31. The One-Dimensional Case //Nuc. Sci. Eng, v. 63, pp. 179-187, 1977.

32. J.E .Morel, E. W. Larsen. A Multiple Balance Approach for Differencing the Sn Equations //

33. Nuc. Sci. and Eng., v. 105, pp. 1-15, 1990.

34. J.E. Morel, J.E. Dendy jr., T.A. Wareing. Diffusion-Accelerated Solution of the Two

35. Dimensional S„ Equation with Bilinear-Discontinuous Difference // Nuc. Sci. and Eng., v.l 15, pp.304-319, 1993.

36. K.D. Lathrop. A Comparison of Angular Difference Schemes for One-Dimensional Spherical

37. Geometry SN equations //Nuc. Sci. and Eng.: 134, 239-264 (2000).

38. M.L. Adams. A New Transport Discretization Scheme for Arbitrary Spatial Mesh in (x,y)geometry. Proc. of Int. Top. Meeting Advances in Mathematics, Computations and Reactor Physics, Pittsburg, April 28-May2, v.3, pp.13.2.2-1-13.2.2-9, 1991.

39. Т.А. Гермогенова. Метод пространственных моментов в задачах о переносе излученияв слое. Препринт ИПМ им. М.В.Келдыша, №39, 1997.

40. A.M. Вологцепко, С.В. Гуков, Е.П. Кондратенко. К-шаговая полуявная схема дляуравнения переноса. Препринт №54 ИПМ им. М.В.Келдыша, 1994.

41. J.J. Ullo, J.J. Doming, H.L. Dodds, R.E. Pevey. A Comparison of Nodal Transport Methods

42. Based on Exponential and Polynomial Expansions // Trans. Am. Nucl. Soc., v. 43, pp.367-369,1982.

43. В.Е. Трощиев., А.В. Нифанова., Ю.В. Трощиев. Характеристический подход каппроксимации законов сохранения в кинетических уравнениях переноса излучений // ДАН, 2004, т. 394, № 4, с. 454-458.

44. W.F. Walters, Т.A. Wareing. An Accurate Strictly Positive Nonlinear Characteristics

45. Scheme for the Discrete Ordinate Equation // Transp. Theory and Stat. Phys., v. 25, № 2, pp. 197-215, 1996.

46. А.В. Воронков, Е.П. Сычугова. Линейный' характеристический метод дискретныхординат для решения уравнения переноса в x-y-z геометрии. Препринт №91 ИПМ им. М.В.Келдыша, 1996.

47. K.D. Lathrop. Spatial Differencing of the Transport Equation: Positivity vs. Accuracy // J. of

48. Сотр. Phys., v.4, № 4, pp. 475-490, 1969.

49. K.A. Mathews. On the propagation of rays in Discrete Ordinates // Nuc. Sci. Eng., v. 132,pp. 155-180, 1999.

50. K.A. Mathews, B.M. Minor. Adaptive Characteristic Spatial Quadratures for Discrete

51. Ordinates Neutral Particle Transport the Rectangular Cell Case // Transp. Theory and Stat. Phys., v.22, pp. 655-685, 1993.

52. W.A. Rhoades, W. W. Engle. A New Weighted-Diamond Formulation for Discrete Ordinates

53. Calculations //Trans. Am. Nucl. Soc., v.27, pp.776-777, 1977.

54. B. Petrovic, A. Haghighat. New Directional Theta-Weighted Sn Differencing Scheme and its

55. Application to Pressure Vessel Fluence Calculations, Proc. of Radiation Protection and Shielding Meeting, Falmouth, MA, v.l, pp3-10, 1996.

56. G.E. Sjoden, A. Haghighat. The Exponential Directional Weighted (EWD) Sn Differencing

57. Scheme in 3D Cartesian Geometry, Proc. of the Int. Conf. on Mathematical Methods and Supercomputing for Nuclear Applications, Saratoga Springs, Oct.5-9, v.2, pp. 1267-1276, 1997.

58. B.G. Carlson. A method of characteristics and other improvements in solution methods forthe transport equation //Nuc. Sci. and Eng.: 61, 408-425 (1976).

59. T.A. Germogenova, A. V. Shwetsov, A.M. Voloschenko. Adaptive Positive Nodal Method for

60. Transport Equation // Transp. Theory and Stat. Phys., v. 23, pp.923-970, 1994.

61. E.T. Tomlison, W.A. Roades, WW. Engle (jr.). Flux Extrapolation Models used in the DOT

62. Discrete Ordinates Neutron Transport Code, ORNL/TM-7033, 1980.

63. S. Osher, S.R. Chakravathy. High Resolution Shemes Using Flux Limiter for Hyperbilic

64. Conservation Laws // S1AM J. Numer. Anal., v.21, p. 985-1011, 1984.

65. A. Harten. Class of High Resolution Total Variation Stable Finite-Dofference Schemes //

66. SIAM J. Numer. Anal., v. 21, p. 1-23, 1984.

67. КВ. Вязников, В.Ф. Тишкин, А.П.Фаворский. Построение монотонных разностныхсхем повышенного порядка аппроксимации для систем уравнений гиперболического типа // Мат. Моделирование, т.1, №5, 1989.

68. Е.В. Диянкова, О.С. Широковская. LD-схема для уравнения переноса в сферическойгеометрии // Вопросы Атомной Науки и Техники, Сер. «Математическое моделирование физических процессов», 1989, вып.1, с.40-43.

69. Е.В. Диянкова, О.С. Широковская. Разностная схема повышенного порядкааппроксимации для уравнения переноса // Математическое моделирование, 1994, т.6, №2, с. 113-122.

70. В.М. Головизнин. Балансно-характеристический метод численного решения уравненийгазовой динамики // ДАН, 2005, т.403, №4, с.1-6.

71. А. С. Холодов. О построении разностных схем с положительной аппроксимацией дляуравнений гиперболического типа // ЖВМ и МФ, т. 18, №6, с.1476-1492, 1978.

72. A. Harten. ENO shemes with Subcell Resolution // J. Сотр. Phys., v.83, p. 148-184.

73. С.А. Лосев, С. Т. Сурэюиков и др. Моделирование радиационных процессов в механикесплошной среды. М., 1990.

74. С.Г. Суржиков. Вычислительный эксперимент в построении радиационных моделеймеханики излучающего газа. М., Наука, 1992, 157с.

75. С. Т. Суржиков. Радиационный перенос тепла в низкотемпературной плазме. ЭНТП,

76. МАИК Наука/Интерпериодика, т.1, с.417-462, 2000.

77. Б.Н. Четверушкин. Математическое моделирование задач динамики излучающегогаза. М.: Наука, 1985.

78. Сборник под ред. А.С.Монин "Оптика океана", т.1, М., Наука, 1983, с.307-338.

79. А.П. Васильков, Б.Ф. Келъбамехаиов. Дистанционные оптические пассивные методыисследования океана, Уральское отд. АН СССР, 1991, 108с.

80. Т.А. Гермогенова. О характере решения уравнения переноса для плоского слоя.// ЖВМи МФ, 1961г., т.1, №6, с. 1001-1019.

81. Т.А. Гермогенова. О дискретном спектре характеристического уравнения теориипереноса. //ЖВМ и МФ, т. 14, №6, с. 1526-1543, 1974.

82. В.Я. Голъдин, В.А. Кузюк, А.Х. Рахматулина. Нелинейный метод расчета переносаэлектронов //ЖВМ и МФ, т.16, №2, с.417-425, 1975.

83. М Landesman, J.E. Morel. Angular Fokker-Plank Decomposition and Representation

84. Techniques.//Nuc. Sci. and Eng., v. 103, p.1-11, (1989).

85. G. Cefus, E. W. Larsen. Stability Analysis of Fine-Mesh Rebalance // J. Trans. Am. Nucl.

86. Soc., v.56, p.309-310,1988.

87. G. Cefus, E. W. Larsen. Stability Analysis of Coarse-Mesh Rebalance // J. Nucl. Sci. Eng.,v.105, p.31-39,1990.

88. W. W. Engle Jr., F.R. Mynatt. A Comparison of Two Methods of Inner Iteration Convergence

89. Acceleration in Discrete Ordinates Codes // J. Trans. Am. Nucl. Soc., v.ll, p.193-194, 1968.

90. W.A. Rhoades, R.L. Childs, WW. Engle Jr. Comparison of Rebalance Stabilization Methodsfor Two-Dimensional Transport Calculations // J. Trans. Am. Nucl. Soc., v.30, p.583-583, 1978.

91. J.E. Aull, W.A. Rhoades, H.L. Dodds. A Modified Approach to Diffusion Acceleration in

92. Neutron Transport Problems // J. Trans. Am. Nucl. Soc., v.32, p.306-307, 1979.

93. W.A. Rhoades. Impovements in Discrete Ordinates Acceleration // J. Trans. Am. Nucl. Soc.,v.39, p.753-, 1981.

94. L.J. Lorence, J.E. Morel, E. W. Larsen. An S2 Synthetic Acceleration Scheme for the One

95. Dimensional Sn Equations with Linear Discontinuos Spatial Differencing.// Nuc. Sci. and Eng., v. 101,341 (1989)

96. M.M. Miften, E. W. Larsen. The Quasi-Diffusion Method for Solving Transport Problems in

97. Planar and Spherical Geometries. // Transport Theory and Statistical Physics, v. 22, № 2&3, p. 165 (1993).

98. Т.А. Сушкевич. Математические модели переноса излучения. М., БИНОМ, 2006, 661с.

99. А.Д. Гаджиев, С.Б. Серов. "Улучшенное полиномиальное представление для дельтаобразных индикатрис рассеяния" // ВАНТ, сер. «Матем. моделир. физ. процессов», 1990, вып.1, с.32-34.

100. J.H. Joseph, W.H. Wiscombe, J.A. Weinman. The Delta-Eddington Approximation for

101. Radiative Flux Transfer // J. Atmos. Sci., 1976, 33, 2452-2459.

102. В.Я. Голъдин. Квазидиффузионный метод решения кинетического уравнения. // Ж.вычисл. матем. и матем. физ., 1964, т.4, №~6, с. 1078-1087.

103. В.Я. Голъдин. О математическом моделировании задач сплошной среды снеравновесным переносом. В сб. «Современные проблемы матем. физ. и вычисл. матем.» М.: Наука, 1982, 340 с.

104. M.L. Adams, Е. W. Larsen. Fast iterative methods for discrete-ordinates particle transportcalculations. //Progress in Nuclear Energy, v. 40, Issue 1, 2002, pp. 3-159.

105. В.Я. Голъдин, H.H. Калиткин, Т.В. Шишова. Нелинейные разностные схемы длягиперболических уравнений // Журн. вычисл. мат. и мат. физ., М., 1965, т. 5, № 5., с. 938-944.

106. В.Я. Голъдин, Г.В. Данилова, Н.Н. Калиткин. Численное интегрирование многомерногоуравнения переноса // В сб. «Численные методы решения задач математической физики», М., 1966, С. 190-193.

107. В.Е. Трощиев. Решение кинетического уравнения и уравнений квазидиффузии посогласованным разностным схемам. В сб.: «Численные методы решения задач математической физики», М., Наука, 1966, с. 177-185.

108. В.Я. Голъдин, Д.А. Гольдина, А.В. Колпаков. О решении двумерной стационарнойзадачи квазидиффузии. М.: Ин.прикл.матем., 1982, препр. № 49, 13 с.

109. В.Я. Голъдин, А.В. Колпаков. Нелинейный метод потоковой прогонки для решения многомерного диффузионного уравнения. — М.: Ин.прикл.матем., 1982, препр. №22, 13с.

110. В.Я. Голъдин, А.В. Колпаков. Комбинированные методы решения многомерной стационарной системы уравнений квазидиффузии. В сб.: Вычислительные методы линейной алгебры, М., 1983г., Отдел Вычисл. Матем. АН СССР, Труды Всес. конф. М„ 1982г., с.60-71.

111. В.Я. Голъдин, В.А. Дегтярев, А.В. Колпаков. Приближенный учет нестационарности в уравнениях квазидиффузии. -М.: Ин.прикл.матем., 1984, препр. № 122.

112. А.В. Шилъков. Математическая модель для описания неравновесной излучающей плазмы. М.: Ин.прикл.матем., 1988, препр. №125.

113. В.Я. Голъдин, А.В. Шилъков. Уравнения высокотемпературной радиационной газовой динамики в квазидиффузионном виде. М.: Ин. прикл. матем., 1981, препр. № 43.

114. В.Я. Голъдин, Д.А. Гольдина, А.В. Колпаков, А.В. Шилъков. О моделировании задач высокотемпературной РГД. М.: Ин.прикл.матем., 1984, препр. № 102.

115. А.А. Чарахчъян, ЮД. Шмыглевскгш. Численные методы в динамике излучающего газа // ЖВМ и МФ, т.20, №5, с. 1249-1265, 1980.

116. В.Я. Голъдин, А.В. Колпаков. Математическое моделирование лазерного сжатия сферической термоядерной мишени со стеклянной оболочкой // Математическое моделирование, 1995, Т. 7, № 11, С. 29-38.

117. D.Y. Anistratov. The Generalized Quasidiffiision Method for Solving Adjoint Transport Problems with Alternating Solutions // Trans. Am. Nucl. Soc., v. 83, 348-350 (2000).

118. A. Constantinescu, D.Y. Anistratov. Stability Analysis of the Quasidiffiision Method for ID Periodic Heterogeneous Problems // Trans. Am. Nucl. Soc., v. 95, 565-567 (2006).

119. D.Y. Anistratov. Consistent Spatial Approximation of the Low-Order Quasidiffusion Equations on Coarse Grids //Nuclear Science and Engineering, v. 149, p. 138-161 (2005).

120. H. Hiruta, D.Y. Anistratov, M.L. Adams. 'Splitting Method for Solving the Coarse-Mesh Discretized Low-Order Quasidiffusion Equations // Nuclear Science and Engineering, v. 149, p. 162-181 (2005).

121. H. Hiruta, D.Y. Anistratov. Homogenization Method for 2D Low-Order Quasidiffusion Equations for Reactor Core Calculations // Nuclear Science and Engineering, v. 154, p. 328-352 (2006).

122. W. Wieselquist, D.Y. Anistratov. The Quasidiffusion Method for 2D Transport Problems on AMR Grids // Trans. Am. Nucl. Soc., v. 96, p. 565-567 (2007).

123. W.A. Wieselquist, D.Yu. Anistratov. The Quasidiffusion Method for Transport Problems in 2D Cartesian Geometry on Grids Composed of Arbitrary Quadrilaterals // Trans. Am. Nucl. Soc., v. 97, p. 475-478, (2007).

124. D.Y. Anistratov. Nonlinear Quasidiffusion Acceleration Methods with Independent Discretization // Trans. Am. Nucl. Soc., v. 95, p. 553-555 (2006).

125. E.W. Larsen, J. Yang. A Functional Monte Carlo Method for k-eigenvalue problems // Nuc. Sci. and Eng., v. 159, p. 107-126, 2008.

126. H.H. Калиткин. О двухтемпературной плазме. — М.: Ин.прикл.матем., 1971, препр. № 8, 9с.

127. J.I. Castor. Radiative transfer in spherically symmetric flows // The Astrophysical J., 1972, V. 178, P. 779-792.

128. N. Kaneko, K. Morita, M. Maekawa. The comoving-frame equation of radiative transfer in a curvilinear coordinate system // J. Astrophysics and Space Science, 1984, V. 87, №2, P. 333-346.

129. H.H. Калиткин. Свойства вещества и МРГД-программы // Современные проблемы математической физики и вычислительной математики. М.: Наука, 1982, 340 с.

130. Б.Н. Четверушкин. Построение тестов и некоторые вопросы численного решения уравнения переноса нейтронов. В сб.: «Вычислительные методы в теории переноса» под. ред. Г.И.Марчука, М., Атомиздат, 1969, с. 189-201.

131. Н.Н. Калиткин, JI.B. Кузьмина. Об естественных интерполяционных сплайнах // Математическое моделирование, 1994, т.6, №4, с.77-110.

132. М.И. Башрова, В.Я. Карпов, М.И. Мухина. Характеристико-интерполяционный метод решения уравнения переноса // Дифференциальные уравнения, 1986, т.22, №7, с. 1141-1148.

133. АД. Гаджиев, В.Н. Писарев, А.А. Шестаков. Метод расчета двумерных задач теплопроводности на неортогональных сетках // ЖВМ и МФ., т. 22, № 2., с. 339-347, 1982.

134. Б.Н. Четверушкин. Об одном итерационном алгоритме решения разностных уравнений //ЖВМ и МФ, 1976, т. 16, №2, с.519-524.

135. А.А. Самарский, Е.С. Николаев. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука, 1978.

136. А.А. Самарский. Теория разностных схем. М., Наука, 1989, 616с.

137. Дж. Деммелъ. Вычислительная линейная алгебра. М., «Мир», 2001, 429с.

138. Ю.В. Воробьев. Метод моментов в прикладной математике. — М., Гос. изд-во физ.-мат. литературы, 1958, 186с.

139. О.Ю. Милюкова, Б.Н. Четверушкин. Параллельный вариант попеременно-треугольного метода // ЖВМ и МФ, т.38, №2, с.228-238, 1998.

140. В.Я. Голъдин, С.В. Шилькова. Нелинейный метод решения системы разностных уравнений типа стационарной квазидиффузии // Математическое моделирование, т.16, №1, с.97-106, 2004.

141. Р.П. Федоренко. Введение вычислительную физику. М., Изд-во Моск. физ.-техн. института, 1994, 516с.

142. В.Е. Трощиев, В.Ф. Юдинцев, В.И. Федянин. Об ускорении сходимости итераций при решении кинетического уравнения // ЖВМ и МФ, 1968, т.8, №2, с. 452-458.

143. В.Е. Трощиев, В.А. Шумилин. Разностная схема решения двумерного уравнения переноса на нерегулярных четырехугольных сетках // ЖВМ и МФ, 1986, т.26, №2, с. 230-241.

144. В.Е. Трощиев. О классах сеток, допускающих консервативные аппроксимации двумерного оператора переноса треугольным разностным оператором // ЖВМ и МФ, т.16, №3, с.793-797, 1976.

145. А.Н. Москвин, В.А. Шумилин. Методика решения двумерного уравнения переноса на нерегулярных многоугольных сетках // ВАНТ, «Математическое моделирование физических процессов», 2005, Вып.1, с. 31-40.

146. J.A. Fleck, Jr. and J.D. Cummings. An Implicit Monte Carlo Scheme for Calculating Time and Frequency Dependent Nonlinear Radiation Transport // J. of Computational Physics, 1971, V. 8, № 3, P. 313-342.

147. Л.П. Федотова, P.M. Шагалиев. Конечно-разностный КМ-метод для двумерных нестационарных процессов переноса в многогрупповом кинетическом приближении // Математическое моделирование, 1991, т. 3, № 6, С.29-42.

148. В.В. Соболев. Рассеяние света в атмосферах планет. М., Наука, 1972, 111стр.

149. Д. Дейрменджан. Рассеяние электромагнитного излучения сферическими полидисперсными частицами, М., "Мир", 1971.

150. Д.Ю. Анистратов, В.Я. Гольдип. Решение многогрупповых уравнений переноса методом квазидиффузии М., Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР, 1986, № 128.

151. В.Я. Голъдин, А.В. Колпаков, А.В. Соколов. Методы решения многогруппового уравнения переноса методом квазидиффузии М., Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР, 1978, N 80.

152. P. Miazza, J. Ligou. The Exact Kernel I* Method Applied to the Charged-Particle Transport Equation.//Nuc. Sci. and Eng., v. 105, p.59-78 (1990).

153. K. Przybylski, J. Ligou. Numerical Analysis of the Boltzmann Equation Including Fokker-Planck Terms.//Nuc. Sci. and Eng., v. 81, p. 92-101, 1982.

154. AM. Voloschenko. Completely Consistent Pi Synthetic Acceleration Scheme for Charged-Particle Transport Calculations. Proceeding 1996 Topical Meeting Radiation Protection and Shielding, Falmouth, Massachusets, v.l, p.408-417, 1996.

155. М.И. Будыко. Справочник "Тепловой баланс Земли". Л. Гидрометеоздат, 1978.

156. Сборник под ред. А.С. Монин "Оптика океана", т.1, М., Наука, 1983, с.307-338.

157. А.П. Васильков, Б.Ф. Кельбамеханов. Дистанционные оптические пассивные методы исследования океана, Уральское отд. АН СССР, 1991, 108с.

158. И.Л. Цветкова, А.В. Шилъков. Осреднение уравнения переноса в резонансно поглощающей среде. // Математическое моделирование, 1989, т.1, № 1, с.91-100.

159. А.В. Шилъков. Методы осреднения сечений и энергетического спектра в задачах переноса нейтронов. //Ж. Матем. моделирование. 1991, т. 3 , No 2, с. 63-81.

160. А. V. Shilkov. Generalized Multigroup Approximation and Lebesque Averaging Method in Particle Transport Problems. // J. Transport Theory and Statistical Physics, 1994, v.23, №6, p. 781-814.

161. C.B. Можейко, И.Л. Цветкова, А.В. Шильков. Расчет переноса излучения в горячем воздухе. // Математическое моделирование, 1992, т. 4, № 1, с. 65-82.

162. А.В. Шильков, И.Л. Цветкова, C.B. Шилькова. Система кодов и банк данных "ATRAD" для прецизионных расчетов атмосферной радиации.// Математическое моделирование, 1994, т. 6, № 7, с. 91-102.

163. А.В. Шильков, ИЛ. Цветкова, С.В. Шилькова. Система "ATRAD" для расчетов атмосферной радиации: реконструкция микросечений поглощения и рассеяния.// Математическое моделирование, 1996, т. 8, № 8, с. 104-127.

164. А.В. Шильков, И.Л. Цветкова, С.В. Шилькова. Система "ATRAD" для расчетов атмосферной радиации: лебеговское осреднение спектров и сечений поглощения // Математическое моделирование, 1997, т. 9, № 6, с.3-24.

165. Т.А. Гермогенова. О характере решения уравнения переноса для плоского слоя // ЖВМ и МФ, 1961г., т. 1, №6, с. 1001-1019.

166. Т.А. Гермогенова. О дискретном спектре характеристического уравнения теории переноса// ЖВМ и МФ, 1974г., т. 14, №6, с. 1526-1543.

167. В.Я. Голъдин, В.А. Кузюк, А.Х. Рахматулина. Нелинейный метод расчета переноса электронов //ЖВМ и МФ, 1975г., т.16, №2, с.417-425.

168. В.Я. Голъдин, Г.В.Данилова, Б.Н. Четверушкин. Приближенный метод расчета нестационарного кинетического уравнения // В сб. «Вычисл. методы в теории переноса», М., Атомиздат, 1969, с.50-58.

169. Т.А. Гермогенова, Т.А. Сушкевич. Решение уравнения переноса методом средних потоков. // В сб. «Вопросы физ. защиты реакторов», Вып.З, М., Атомиздат, 1969, с.34-46.

170. В.Я. Голъдин, Е.Н. Аристова, А.В. Шильков. Разработка методов расчета, программы и тестирование методов расчета переноса излучения при сильной анизотропии рассеяния. // Отчет ИММ РАН N8, июнь 1997г.

171. Перенос радиации в рассеивающих и поглощающих атмосферах. Стандартные методы расчета. Под ред. Ж. Ленобль. JL: Гидрометеоиздат, 1990,230с.

172. М.Я. Маров, В.П. Шари, Л.Д. Ломакина. Оптические характеристики модельных аэрозолей атмосферы земли. ИПМ им. М.В.Келдыша АН СССР, М.: 1989, 230с.

173. О.В. Moskalev. The Reconstraction of a Positive Function From Its Finite Fourier Series // J. Transport Theory and Statistical Physics, 1993, v.22,N~2\&3, p.347-358.

174. Н.Н. Калиткин, JI.B. Кузьмина. Естественные интерполяционные сплайны высоких степеней // Математическое моделирование, 1997, т.9, №6, с.67-81.

175. А.В. Шилъков, С.В. Шшъкова. Система ATRAD для расчетов атмосферной радиации: Результаты расчетов переноса теплового излучения в безоблачной летней атмосфере средних широт // Математ. моделирование. 1999, т.11, № 1, с. 18-24.

176. В.A. Fomin, Yu.V. Gershanov. Tables of the Benchmark Calculations of Atmospheric Fluxes for ICRCCM Test Cases. Part 1: Long-Wave Clear-Sky Results. // Preprint of Russian Research Centre 'Kurchatov Institute', IAE-5981/1, Moscow,1996.

177. Y. Fouquart, B. Bonnel, V. Ramaswamy. Intercomparing Shortwave Radiation Codes for Climate Studies: Long Wave Results. // J. Geophysical Research, 1991,v. 96,N D5,p. 89558968.

178. R.A. McClatchey, R.W. Fenn, J.E.A. Selby, F.E. Volz andJ.S. Goring. Optical properties of the atmosphere, 3rd ed., 110 pp., Environ. Res. Pap. 411, Air Force Cambridge Res.Lab., Bedford, Mass., 1972.

179. R.A. McClatchey, et. al. A Preliminary Cloudless Standard Atmosphere for Radiation Computation. // World Climatic Research Program. 1986, WCP 112, World Met.Organ. /TD, № 24.

180. L.S. Rothman, et. al. The Hitran Molecular Data Base: 1992 edition. // J. Quant. Spectrosc. and Radiat. Transfer, 1992, v. 48, p. 467-507.

181. R.G. Ellingson, J. Ellis, S. Fels. The Intercomparison of Radiation Codes Used in Climate Models: Long Wave Results. // J. Geophysical Research, 1991, v. 96, № D5, p. 8929-8953.

182. С.Ю. Гуськов, Н.Н.Демченко, В.Б.Розанов и др. Симметричное сжатие мишеней «лазерный парник» малым числом лазерных пучков // Квантовая электроника, 2003, т.ЗЗ, с.95-104.

183. И.Г. Лебо, И.В.Попов, В.Б.Розанов, В.Ф. Тишкин. Численное моделирование теплового выравнивания и гидродинамической компенсации в мишенях «Лазерный парник» // Квантовая электроника, 1995, №22, с.1257-1261.

184. Н.И. Боков, А.А. Бунатян, А.А. Лыков и др. О возможности снижения чувствительности микромишени к несимметрии лазерного облучения. — Новосибирск, ПМТФ, 1982, №4, с20.

185. С.Ю. Гуськов, В.Б. Розанов. Взаимодействие лазерного излучения с пористой средой и образование неравновесной плазмы // Квантовая электроника, 1997, т.24, №8, с.715-720.

186. В.Б. Розанов. О возможности сферического сжатия мишеней с термоядерным горючим при использовании для облучения двух лазерных пучков // УФЫ, 2005, т,174, №4, с.371-382.

187. Н.Г. Борисенко, Ю.А. Меркулъев. Мишени с микрогетерогенной структурой для сферического облучения. Труды ФИАН. М., Наука, 1992, т.220, с.28-46.

188. Е.Н. Аврорин, А.И.Зуев, Н.Г. Карлыханов и др. Расчеты мишеней для JITC по программе «Заря». // Вопросы атомной науки и техники, сер. Методики и программы численного решения задач математической физики, 1985, вып.2, с.21-28.

189. М. Dunne, М. Borghesi, A. Ivase et al. Evaluation of a foam buffer target design for spatially uniform ablation of a laser-irradiated target // Phys. Rev. Lett., 1995, v.75, №21, p.3858-3861.

190. T. Afshar-rad, M. Desselberger, M. Dunne et al. Supersonic propagation of an ionizayion front in low density foam targets driven by thermal radiation // Phys. Rev. Lett., 1994, v.73, pp.74-77.

191. J. Limpouch, NN. Demchenko, S.Yu. Gus'kov et al. Laser interaction with plastic foam-metallic foil layered targets // Plasma Phys. Control. Fusion, 2004, v.46, p.1831-1846.

192. А.Э.Бугров, И.Н. Бурдонский, B.B. Гаврилов и др. Взаимодействие мощного лазерного излучения с малоплотными пористыми средами // ЖЭТФ, 1997, т.11, с.903-918.

193. А.Э. Бугров, И.Н. Бурдонский, В.В. Гаврилов и др. Процессы поглощения и рассеяния мощного лазерного излучения в малоплотных пористых средах // ЖЭТФ, 1999, т.115, №3, с.805-818.

194. W. Nazarov. An In-Situ Polymerization Technique for the Production of Foam-Filled Laser Targets // J. Moscow Phys. Soc., 1998, v.8, p.251-255.

195. A.B. Iskakov, I.G. Lebo and V.F. Tishkin, 2D Numerical Simulation of the Interaction of High-Power Laser Pulses with Plane Targets Using the "ATLANT-C" Lagrangian Code // Journal of Russian Laser Research, 2000, Vol. 23, № 3, p. 247-263.

196. Ю.В.Афанасьев, Е.Г. Гамалий, В.Б.Розанов. Основные уравнения динамики и кинетики лазерной плазмы. В сб. Труды ФИАН М., Наука, 1982, т. 134, №10.

197. И.Г. Лебо, В.Ф. Тишкин. Исследование гидродинамической неустойчивости в задачах лазерного термоядерного синтеза. М., Наука, Физматлит, 2006, с.208-218.

198. И.В.Авилова, JI.M. Биберман, B.C. Воробьев и др. Оптические свойства горячего воздуха. М. Наука, 1970, 320с.

199. Н.Ю. Орлов. Модели горячих конденсированных сред. ЭНТП, МАИК Наука/Интерпериодика, т.1, с.409-417, 2000.

200. Н.Ю. Орлов. Ионная модель вещества // Математическое моделирование, 1992, Т.4, №8, С. 19-30.

201. В.Г. Новиков, А.Ф. Никифоров, В.В. Валько. Коэффициенты поглощения фотонов в плазме по модели Дирака-Фока-Слэттера и их сравнение с результатами полуэмпирических методов // Теплофизика высоких температур, 1993, Т. 31, №6,1. C. 881-889.

202. R. Feynman, N. Metropolis, Е. Teller. Equations of state of elements based on the generalized Fermi-Thomas theory // Phys. Rev., 1949, 75, pp. 73-79.

203. B.F. Rozsnyai, Relativistic Hartree-Fock-Slater calculations for arbitrary temperature and matter density // Phys. Rev., 1972, 5A, No 3, pp. 1137-1149.

204. А.Ф.Никифоров, В.Б. Уваров. Описание состояния вещества в области высоких температур на основе уравнений самосогласованного поля // Численные методы механики сплошной среды, 1973, 4, с. 114-117.

205. B.F. Rozsnyai, An overview of the problems connected with theoretical calculations for hot plasmas // J. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer, 1982, 27, No. 3, pp. 211-217.

206. N.Yu. Orlov. Ion Model of a Hot Dense Plasma // Laser and Particle Beams, 1997, 15, pp. 627-634.

207. Н.Ю. Орлов, В.Е. Фортов. Сравнительный анализ теоретических моделей плотной высокотемпературной плазмы и метод функционала плотности // Физика плазмы, 2001, 27, № 1, с. 45-57.

208. Н.Ю. Орлов. Квантово-статистический расчет свойств смеси химических элементов с учетом флуктуаций чисел заполнения электронных состояний // ЖВМ и МФ, 1987, 27, с. 1058-1067.

209. N. Yu. Orlov. Calculation of the Radiative Opacity of a Hot Dense Plasma // Contributions to Plasma Physics, 1999, 39, pp. 177-180.

210. N. Yu. Orlov, Theoretical Models of Hot Dense Plasmas for Inertial Confinement Fusion // Laser and Particle Beams, 2002, 20, pp. 547-549.

211. N. Yu. Orlov, S. Yu. Gus 'kov, S.A. Pikuz, V.B. Rozanov, T.A. Shelkovenko, N. V. Zmitrenko,

212. D.A. Hammer. Theoretical and experimental studies of the radiative properties of hot dense matter for optimizing soft X-ray sources // Laser and Particle Beams, 2007, vol. 25, pp. 415-423.

213. C. Bowen, A. Decoster, C.J. Fontes, K.B. Fournier, O. Peyrusse, Yu.V. Ralchenko. Review of the NLTE emissivities code comparison virtual workshop // J. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer, 2003, vol. 81, p. 71.

214. С.Т. Суржиков. Оптические свойства газов и плазмы. Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2004.

215. Г.А. Вергупова, Е.М. Иванов, В.Б. Розанов. Расчет оптических характеристик неравновесной плазмы алюминия и меди. Препринт ФИАН им. П.Н.Лебедева, 1999, N74, 32 с.

216. Г.А. Вергунова, Е.М. Иванов, В.Б. Розанов. Спектры излучения плазмы при воздействии лазерных импульсов малой длительности и высокой интенсивности на твердотельные мишени // Квантовая электроника, 2003, 33, с. 105-109.

217. J.C. Stewart, K.D. Pyatt Jr. Lowering of ionization potentials in plasmas // Astrophysical Journal, 1966, 144, p. 1203.

218. W. Cunto, C. Mendoza, F. Ochsenbein, C.J. Zeippen. TOPbase at the CDS // Astronomy & Astrophysics, 1993, 275, p. L5.

219. P.А. Волкова, B.M. Головизнин, В.К. Коршунов, Двумерные вариационно-разностные схемы газовой динамики с мультиплетным числом термодинамических степеней свободы, М., 1982, препринт ИПМ им. М.В.Келдыша №64.

220. Н.Г. Борисенко, И. В. Акимова, А.И.Громов и др. Поглощение интенсивного1Слазерного излучения (до 10 Вт/см ) и перенос энергии в подкритических средах, в т.ч. содержащих добавки тяжелых элементов. Препринт ФИАН им. П.Н.Лебедева, — М., 2005, №26,45с.

221. Н.Н. Калиткин, И. А. Козлитин. Микрополевые поправки к термодинамике неидеальной плазмы. // Математическое моделирование, 2009, т. 21, № 5.

222. S. Depierreux, С. Labaune, D.T. Michel et al. Smoothing of a laser beam intensity fluctuations in a low density foam plasma // Phys. Rev. Letters, 2009 (в печати).

223. L. Spilzer, R. Harm. Transport phenomena in a completely ionized gas // Phys. Rev. 1953, v.89, № 5, p.977-981.

224. А.И. Лебо, И.Г.Лебо. Взаимодействие мощных лазерных импульсов с малоплотными мишенями в экспериментах на установке «PALS» // Матем. моделирование, 2009, т.21, №1, с.75-91.

225. Л.П. Феоктистов. Анализ одной концепции физически безопасного реактора. -Препринт ИАЭ-4605/4, 1988.

226. Л.П. Феоктистов. Безопасность ключевой момент возрождения ядерной энергетики // Успехи физ. наук, 1993, № 8, с. 89-102.

227. В.Я. Голъдин, Д.Ю. Анистратов. Реактор на быстрых нейтронах в саморегулируемом нейтронно-ядерном режиме // Мат. моделирование, 1995, т. 7, № 10, с. 12-32.

228. В.Я. Голъдин, Ю.В. Трощиев, Г.А. Пестрякова. Об управлении реактором на быстрых нейтронах в саморегулируемом режиме 2-го рода // ДАН, 1999, т. 369, №2, с. 170— 172.

229. В.Я. Голъдин, Г.А. Пестрякова, Ю.В. Трощиев. Усовершенствование математической модели саморегулируемого реактора // Мат. моделирование, 2002, т. 14, № 12, с. 3947.

230. В.Я. Голъдин, Г.А. Пестрякова, Ю.В. Трощиев. Управление быстрым реактором с оксидным уран-плутониевым топливом в саморегулируемом режиме без запаса реактивности // Атомная энергия, 2004 г., т. 97, вып. 1, с. 3-9.

231. В.Я. Голъдин, Ю.В. Трощиев. Управление мощностью быстрого реактора в саморегулируемом режиме и его пуск // Атомная энергия, 2005, т. 98, вып. 1, с. 1824.

232. М.Н. Николаев, A.M. Цибуля, А.ГЦикунов. и др. Комплекс программ CONSYST/ABBN — подготовка констант БНАБ к расчетам реакторов и защиты. Отчет ГНЦ РФ ФЭИ №9865, 1998.

233. О.Д. Казачковский, В.А. Елисеев, В.И. Матвеев и др. Перспективы использования смешанного оксидного топлива в быстрых реакторах с натриевым охлаждением // Атомная энергия, 2004, т. 96, вып. 5, с. 361-366.

234. Е.Н.Аристова, А.В. Колпаков. Комбинированная разностная схема для аппроксимации эллиптического оператора на косоугольной ячейке // Математическое моделирование, т.З, №4, 1991, стр.93-102

235. E.N. Aristova, А. V. Kolpakov. A Combined Finite Difference Scheme for an Elliptic Operator in an Oblique-Angled Cell // MMCE, vol.1, № 2., 1993, pp. 187-196.

236. Д.Ю. Анистратов, E.H. Аристова, В.Я. Голъдин. Нелинейный метод решения задач переноса излучения в среде // Математическое моделирование, т.8, №12, 1996, стр.З-29.

237. Е.Н. Аристова, В.Я. Голъдин. Метод учета сильной анизотропии рассеяния в уравнении переноса. Труды межд. конф. СМСР-96 (Computational Modelling and Computing in Physics) 16-21 сент., Дубна, 1997, c.77-81.

238. E.H. Аристова, В.Я. Голъдин, А.В. Колпаков. Методика расчета переноса излучения в теле вращения // Математическое моделирование, т.9, №3, 1997,с.91-108.

239. Е.Н. Аристова, В.Я. Голъдин, А.В. Колпаков. Перенос излучения через кольцевую щель в теле вращения // Математическое моделирование, т.9, №4, 1997, с.3-10.

240. Е.Н. Аристова, В.Я. Голъдин. Метод учета сильной анизотропии рассеяния в уравнении переноса // Математическое моделирование, т.9, №6, 1997, с.39-52.

241. E.N. Aristova, V.Ya. Gol'din. Calculation of Anisotropic Scattering of Solar Radiation in Atmosphere (Monoenergetic Case) // Aerosols (science, devices, sofitware& technologies of the former USSR), 1998, v.4e, №3, pp.103-114.

242. E.H. Аристова, В.Я. Голъдин. Расчет анизотропного рассеяния солнечного излучения в атмосфере (моноэнергетический случай) // Математическое моделирование, т.10, №9, 1998, с.14-34.

243. Е.Н.Аристова, В.Я. Голъдин, А.В. Шильков, С.В. Шилькова. Система ATRAD для расчетов атмосферной радиации: расчеты солнечного излучения для летней атмосферы средних широт // Математическое моделирование, т.11, №5, 1999, с.117-125.

244. А.В. Шильков, С.В. Шилькова В.Я. Голъдин, Е.Н. Аристова. Экономичные прецизионные расчеты атмосферной радиации на основе системы ATRAD // ДАН, 1999, т.З69, №5, с.611-613.

245. А. V. Shil'kov, S.V. Shil'kova, V.Ya. Gol'din, E.N. Aristova. Efficient Precise Computation of Atmospheric Radiation Based on the ATRAD System // Doklady Mathematics, vol.60, №.3, p.469-471.

246. E.H. Аристова, В.Я. Голъдин. Эффективное понижение размерности уравнения переноса. Энциклопедия низкотемпературной плазмы, 2000, вводный т.1, М., МАИК Наука/Интерпериодика, с. 462-471.

247. E.N. Aristova, V.Ya. Gol'din. Computation of anisotropy scattering of solar radiation in atmosphere (monoenergetic case) // Journal of Quantitative Spectroscopy & Radiative Transfer, v. 67, p.139-157, 2000.

248. В.Я. Голъдин, Г.А. Пестрякова, Ю.В. Трощиев, E.H. Аристова. Исследование саморегулируемого нейтронно-ядерного режима 2-го рода в быстром реакторе // Математическое моделирование, т. 12 (2000), № 4, с. 33-38.

249. Е.Н. Аристова, В.Я. Голъдин. Нелинейное ускорение итераций решения эллиптических систем уравнений // Математическое моделирование, т. 13-(2001), № 9, с. 82-90.

250. В.Я. Голъдин, Г.А. Пестрякова, Ю.В. Трощиев, Е.Н. Аристова. Саморегулируемый нейтронно-ядерный режим в реакторе с жестким спектром и карбидным топливом // Математическое моделирование, т. 14 (2002), № 1, с. 27-40.

251. В.Я. Голъдин, Г.А. Пестрякова, Ю.В. Трощиев, Е.Н. Аристова. Быстрый реактор на оксидном уран-плутониевом топливе в саморегулируемом режиме // Атомная энергия, (2003), т.94, вып.З, стр. 184-190.

252. E.N. Aristova, А.В. Iskakov, I.G. Lebo, V.F. Tishkin. 2D Lagrangian code LATRANT for simulation radiation gas dynamic problems. Proceedings of SPIE, v.5228, ECLIM2002, Editors: O.N.Krokhin, S.Y.Gus'kov, Yu.A.Mercul'ev, December 2003, pp.131-142.

253. E.H. Аристова, А.Б. Искаков. LATRANT: двумерная лагранжевая методика расчета течений излучающего газа в приложении к задачам УТС // Математическое моделирование, т. 16 (2004), №3, с.63-77.

254. Е.Н.Аристова, Д.И. Асоцкий, В.Ф. Тишкин. О параллельном алгоритме расчета течений излучающего газа LATRANT-P // Математическое моделирование, т. 16 (2004), №4, с.105-113.

255. Е.Н.Аристова, В.Я. Голъдин, А.С. Дементьев. Разностное решение двумерного стационарного уравнения переноса в переменных Владимирова // Математическое моделирование, т. 18 (2006), № 6, с. 44-52.

256. Е.Н.Аристова, Д.Ф. Байдин, В.Я. Голъдин. Два варианта экономичного метода решения уравнения переноса в r-z геометрии на основе перехода к переменным Владимирова // Математическое моделирование, т. 18 (2006), № 7, стр.43-52.

257. Е.Н. Аристова, В.Я. Голъдин. Расчет уравнения переноса нейтронов совместно с уравнениями квазидиффузии в r-z геометрии // Математическое моделирование, т. 18 (2006), № И, с.61-66.

258. E.N. Aristova, D.F. Baydin, V.Ya. Gol'din. Comparison of the efficiency of the transport equation calculation methods in characteristics variables // Transport Theory and Statistical Physics, 2008, v.37, № 2&4, p. 286-306.*

259. E.N.Aristova. Simulation of radiation transport in channel on the basis of quasi-diffusion method // Transport Theory and Statistical Physics, 2008, v.37, № 5&7, p. 483-503.

260. V. Rozanov, D. Barishpoltsev, E.N. Aristova et al. Energy transfer in low-density porous targets doped by heavy elements // Journal of Physics: Conference Series, v. 112 (2008), 022010, (4pp).

261. E.H. Аристова, В.Я. Гольдин. Экономичный расчет многогруппового уравнения переноса нейтронов для пересчета усредненных по спектру сечений // Математическое моделирование, т.20, №11, стр. 41-54, (2008).

262. Е.Н. Аристова. Аналог монотонной схемы для решения несамосопряженной системы уравнений квазидиффузии в r-z-геометрии // Математическое моделирование, 2009, т.21, №2, с.47-59.

263. В.Я. Гольдин, Г.А. Пестрякова, М.И. Стойнов, Е.Н. Аристова. Проект активной зоны реактора типа БН-800, работающего без запаса реактивности с минимальным управлением в течение длительного времени // Математическое моделирование, 2009, (в печати).