Алгоритмы и комплексы программ для решения задач математической физики с использованием метода неполной факторизации тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, доктор физико-математических наук Гинкин, Владимир Павлович

• Гинкин, Владимир Павлович
• доктор физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Гинкин, Владимир Павлович

Введение.

Глава 1. Метод неполной факторизации.

1.1 Основные теоремы.

1.2 Явные схемы.

1.3 Схемы для симметричных матриц.

1.4 Доказательство сходимости явной схемы Булеева для случая симметричных матриц.

1.5 Метод сопряженных градиентов с предобуславливателем по схеме неполной факторизации.

1.6 Неявные схемы.

1.7 Неявные схемы для пятидиагональных матриц.

Вторая схема неполной факторизации Булеева.

Схема А-факторизации (НФ).

1.8 Схема параболических прогонок (ПП).

Схема параболических прогонок (ПП) с tj, = 0.

Схема параболических прогонок (ПП) с 0 = 0.

С Асимптотические оценки для элементов матриц в схеме ПП.

Спектральный анализ сходимости схемы ПП.

Комбинированная схема НФПП.

1.9 Неявные схемы для семидиагональных матриц.

1.10 Численные примеры.

1.11 Конечно-разностное представление неявных схем неполной факторизации для двумерных задач с несимметричными матрицами.

Вторая схема Булеева.

Третья схема Булеева.

Четвертая схема.

Схема А-факторизации.

Схема параболических прогонок.

Комбинированные схемы.

Сравнение различных схем.

Неоднородная задача Дирихле.

Ф Однородная задача Неймана-Дирихле.

Несимметричные задачи.

1.12 Новая комбинированная схема неполной факторизации CIF для решения трехмерных задач с симметричными и несимметричными матрицами.

Численные примеры.

Выводы к главе 1.

Глава 2. Алгоритмы решения стационарных и квазистационарных нейтронно-физических задач.

2.1 Трехмерный стационарный комплекс программ WIMS.ВОЛГА.

2.2 Трехмерный квазистационарный комплекс программ WIMS-BOJ1HA.

2.3 Алгоритм пространственно-временного расчета реактора.

2.4 Исследование погрешности аппроксимации при расчете активной зоны реактора ВВЭР-1000.

2.5 Расчет реальной зоны реактора ВВЭР-1000.

2.6 Расчеты кампаний реакторов типа ВВЭР.

Блок номер 3 Запорожской АЭС в 10 топливной кампании.

Блок номер 1 Балаковской АЭС в 8 топливной кампании.

Блок номер 2 Калининской АЭС в 10 топливной кампании.

2.7 Схема расчета активной зоны реактора с измененной формой ТВС.

Дискретизация области.

Методика учета неравномерного водяного зазора между ТВС.

Аппроксимация уравнений.

Результаты параметрических расчетов активной зоны реактора

ВВЭР-1000 со смещенными ТВС.

2.8 Организация вычислений в комплексе программ WIMS-BOJ1HA.

Выводы к главе 2.

Глава 3. Алгоритмы решения нестационарных нейтронно-физических задач.

3.1 Методика решения нестационарного уравнения реактора.

3.2 Условно критическая и сопряженная задачи.

Конечно-разностный аналог условно-критической и сопряженной задач.

Уточнение аппроксимации.

3.3 Нестационарная задача.

Решение уравнений кинетики.

Форм-функция. Уравнение, аппроксимация.

Алгоритм решения уравнения для форм-функции.

Константное обеспечение.

3.4 Краткое описание комплекса VOLNA, блок-схема.

3.5 Комплекс программ GVA.

3.6 Описание моделируемой аварии с остановкой ГЦН.

3.7 Расчет переходного процесса.

3.8 Исследование точности аппроксимации нестационарных уравнений реактора по времени.

3.9 Учет расширения активной зоны реактора в (hex.z) геометрии.

3.10 Результаты расчетов аварии с учетом радиального расширения активной зоны.

3.11 Аварии, обусловленных несанкционированным извлечением стержней.

3.12 Описание моделируемой аварии с движением стержней.

3.13 Результаты расчетов аварий, связанных с движением стержней.

3.14 Пространственно-временное деформирование активной зоны быстрого реактора.

3.15 Трехмерная нестационарная модель деформаций ТВС в активной зоне реактора.

3.16 Расчет деформирования активной зоны реактора типа БНв результате аварии.

Выводы к главе 3.

Глава 4. Алгоритм решения трехмерных уравнений конвективного тепломассопереноса и магнитной гидродинамики.

4.1 Нестационарные уравнения магнитной гидродинамики в приближении Буссинеска.

4.2 Преобразование уравнений.

4.3 Разностная аппроксимация.

4.4 Уравнение для давления.

4.5 Алгоритм решения.

4.6 Случай переменной вязкости и аксиальной симметрии.

4.7 Численные примеры.

Выводы к главе 4.

Глава 5. Математическое моделирование процессов кристаллизации расплавов в условиях микрогравитации.

5.1 Внешняя задача.

5.2 Задача теплопроводности.

5.3 Уравнения конвекции.

5.4 Уравнения радиационного теплообмена.

5.5 Методика решения внешней задачи.

5.6 Реализация алгоритма.

5.7 Внутренняя задача.

5.8 Результаты расчетов.

5.9 Аномальные эффекты распределения примеси в монокристаллах Ge, выращенных в космосе.

5.10 Кластерная модель процесса кристаллизации.

Вычислительный алгоритм.

Тестирование модели.

Выводы к главе 5.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Алгоритмы и комплексы программ для решения задач математической физики с использованием метода неполной факторизации»

Бурное развитие вычислительной техники вызвало еще более бурное развитие и усложнение решаемых задач во всех областях науки и техники. Этот процесс вполне естественен. Он диктуется, с одной стороны, ускорением темпов научно-технического прогресса, с другой, неутомимым желанием исследователей заглянуть глубже в тайны природы, понять и научиться моделировать самые сложные явления. Для решения таких сложных задач необходимо иметь эффективные методы решения линейных систем разностных уравнений с разреженными матрицами коэффициентов.

Одним из наиболее эффективных методов решения систем линейных разностных уравнений является метод неполной факторизации. Среди множества различных вариантов этого метода выделяется предложенная автором схема А-факторизации (НФ). Ее главной отличительной чертой является быстрое подавление гладкой составляющей ошибки, тогда как другие схемы, наоборот, хорошо гасят негладкие компоненты ошибки. Затем автор предложил использовать комбинированные схемы неполной факторизации, в которых схема НФ чередуется с другой родственной схемой, в частности, со схемой параболических прогонок (ПП), также разработанной автором. Оказалось, что комбинированная схема (НФПП) обладает более высокой скоростью сходимости, чем каждая из схем, входящих в нее, в отдельности. Эффект ускорения сходимости в комбинированной схеме вполне аналогичен эффекту от использования многосеточных методов: одна схема быстро сглаживает произвольную начальную функцию ошибки, а другая - быстро уничтожает получающуюся гладкую составляющую ошибки.

Известно, что для симметричных матриц наибольшей скорости сходимости удается достичь при использовании метода сопряженных градиентов с хорошим предобуславливателем. Примером такого эффективного предобуславливателя является предложенный автором вариант явной схемы неполной факторизации с периферийной компенсацией итерируемых членов (PIF).

Для несимметричных матриц метод сопряженных градиентов не работает. Для таких задач автор разработал новый вариант комбинированной неявной схемы неполной факторизации (CEF), который в случае симметричных матриц не уступает по скорости сходимости методу сопряженных градиентов со схемой PIF в качестве пердобуславливателя, а в случае несимметричных матриц сходится значительно быстрее, чем в случае симметричных матриц.

Из множества разработанных автором приложений, в которых используются различные варианты метода неполной факторизации, в диссертацию, из-за ограничения объема, включены лишь некоторые. Это, прежде всего, комплекс программ WIMS.BOJirA для расчета ректоров в (х, у, z) и (г, в, z) геометриях, и комплекс программ WIMS-BOJ1HA для расчета кампаний реакторов на тепловых нейтронах типа ВВЭР в (hex, z) геометрии с прямым расчетом констант по прецизионной программе WIMSD4 в каждой пространственной точке реактора в каждый момент времени. С помощью этих комплексов программ было выполнено большое количество верификационных расчетов, и выполнены расчетные исследования топливных кампаний различных блоков реакторов на тепловых нейтронах применительно к проблеме деформаций тепловыделяющих сборок (ТВ С) в активных зонах реакторов типа ВВЭР-1000 в процессе эксплуатации.

Другой работой, включенной в диссертацию, является комплекс программ VOLNA для расчета быстрых переходных процессов в реакторах в квазистатическом приближении в (hex, z) геометрии, и созданный на его основе комплекс программ GVA (GRIF-SM, VOLNA, ARAMAKO) для расчета аварий в реакторах на быстрых нейтронах. Отличительной чертой комплекса GVA является совместный нейтронно-физический, теплогидравлический и термомеханический расчет реакторов на быстрых нейтронах. С помощью этого комплекса были просчитаны аварии в реакторе типа БН-800, вызванные остановкой главных циркуляционных насосов и несанкционированным движением группы компенсирующих стержней органов регулирования.

Из большого числа приложений в области тепловых расчетов автор включил в диссертацию лишь разработанный им новый метод решения уравнений магнитной гидродинамики, так как в нем отражены, с методической стороны, все основные особенности такого рода алгоритмов. На основе этого метода была написана программа GIGAN для расчета тепловой конвекции в трехмерной (х, у, z) геометрии и рассчитаны международные бенчмарки о конвекции воздуха в кубической полости, подогреваемой с одной из боковых сторон. Использование в программе GIGAN процедуры симметризации разностных уравнений и метода сопряженных градиентов с предобуславливателем по схеме PIF для решения линеаризованных систем с симметричными матрицами коэффициентов позволило решать задачи на сетках большой размерности (до миллиона узлов) на обычных PC.

В диссертацию включены также разработанные автором методы решения внешней и внутренней задач тепломассопереноса при выращивании кристаллов из расплава. Для внешней задачи - метод итераций по подобластям с учетом радиационного переноса тепла между излучающими поверхностями подобластей, для внутренней задачи - новый метод решения задачи Стефана в энтальпийных переменных, с учетом конвективного тепломассоперенса в расплаве и сегрегации примеси на границе фазового перехода.

Для учета структурных изменений расплава вблизи фронта кристаллизации автором разработаны две модели, одна из которых предполагает сильное возрастание вязкости в этой области, другая - наличие кластеров и силы сопротивления течению, обусловленной этими кластерами. С помощью построенных моделей удалось объяснить механизм переноса примеси при выращивании кристаллов германия, легированного галлием, в условиях космического полета, и в численных расчетах получить аномальные эффекты распределения примеси, которые наблюдались в космических экспериментах.

Актуальность работы. Важнейшей задачей вычислительной математики было и остается создание экономичных алгоритмов решения прикладных задач. Существуют различные подходы к решению одних и тех же задач, и для уверенной ориентации в них необходим определенный навык, опыт практической работы в области вычислительной математики и программирования. Этот опыт всегда субъективен, и поэтому рекомендации по применению тех или иных алгоритмов должны восприниматься, как некоторые альтернативные подходы к существующим методам. Универсальных подходов не существует.

Как и в любом разделе науки, в вычислительной математике основной способ проверки работоспособности алгоритма - теоретический, т.е. формулировка и доказательство соответствующих теорем сходимости и оценка скорости сходимости. Однако, наряду с этим, начиная с самого момента возникновения этой области математики, появился и получил широкое распространение другой способ обоснования работоспособности алгоритма — теоретико-экспериментальный. Формулируются алгоритм и теоремы, обосновывающие устойчивость и сходимость алгоритма, но в связи с тем, что объект исследования обладает сложной структурой, теоремы эти, по крайней мере, в полном объеме, теоретически доказать не удается. В то же время экспериментальная проверка их работоспособности дает положительные результаты, показывает высокое быстродействие алгоритмов для широкого круга задач, позволяет получить оценки скорости сходимости, пределы применимости алгоритма и дать надежные рекомендации по его использованию. Для практики такое теоретико-экспериментальное обоснование работоспособности алгоритма является актуальным.

Реальные задачи, как правило, являются нестационарными, нелинейными и несамосопряженными. В этих трех «не» заключена вся трудность решения пространственно-временных задач. Стандартный путь преодоления этих трудностей заключается в сведении исходной задачи к сериям или последовательностям более простых задач, являющихся стационарными, линейными и самосопряженными. Эти задачи могут быть решены известными методами теории аппроксимации и линейной алгебры. Таким образом, выделяется подзадача, от успешного и эффективного решения которой зависит в большой степени точность и быстрота решения исходной задачи. Этой подзадачей является плохо обусловленная алгебраическая система линейных уравнений большого порядка с разреженной матрицей коэффициентов. Поэтому важно и актуально продолжать развивать методы решения плохо обусловленных систем линейных уравнений с разреженными матрицами.

Методы решения нейтронно-физических задач хорошо известны. Однако практика ставит новые и все более сложные задачи. Пока эти задачи не решены, они являются актуальными. Так обстоит дело с трехмерным комплексом программ расчета кампаний реакторов типа ВВЭР. Он создавался для решения конкретной задачи, связанной с проблемой деформаций ТВС в активной зоне реактора в процессе его эксплуатации под воздействием неоднородных тепловых и нейтронных полей. Эта проблема стояла очень остро, так как большие деформации ТВС в активной зоне реактора могут приводить к заклиниванию органов регулирования в каналах. Она решалась объединенными усилиями физиков, математиков, материаловедов, и важнейшую роль в решении данной проблемы играл расчет нейтронно-физических характеристик реактора в течение кампании по комплексу программ WIMS-BOJ1HA.

Для решения нестационарного уравнения реактора одним из наиболее эффективных методов является квазистатический метод. Он позволяет выделить два временных масштаба- мелкий для расчета быстроменяющегося амплитудного фактора (мощности реактора), и крупный для расчета форм-функции (пространственных распределений групповых потоков нейтронов), и существенно сократить время расчета без потери точности. Этот подход позволяет реально рассчитать быстрые переходные процессы в реакторе в трехмерной постановке, и особенно актуален для анализа начальных стадий развития аварий.

Актуальность развития методов решения задач гидродинамики связана с сильной нелинейностью таких задач и необходимостью применять сетки очень большой размерности (более миллиона узлов) для хорошего разрешения функций в областях их резкого изменения. При этом высокая эффективность применяемых методов линеаризации и методов решения линеаризованных систем приобретает первостепенное значение, так как определяет эффективность алгоритма решения всей задачи в целом.

Развитие моделей и методов решения задач тепломассопереноса при выращивании кристаллов, особенно в условиях пониженной гравитации, является одной из наиболее актуальных проблем современного материаловедения и вычислительной математики в связи с крайней сложностью и многопараметричностью моделируемых явлений. Особенно перспективным и актуальным, по мнению автора, является кластерный подход к описанию структурных изменений расплава вблизи фронта кристаллизации. Он позволяет связать макроявления на уровне описания тепломассопереноса в расплаве с микроявлениями, сопровождающими процесс образования и роста кластеров в процессе кристаллизации.

Личный вклад автора. Все алгоритмы, методы и программы, представленные в диссертации, варианты схем метода неполной факторизации, их анализ и оценки скорости сходимости, развитая теория блочных итерационных методов, комбинированные схемы неполной факторизации разработаны диссертантом лично или под его непосредственным руководством.

Научная новизна результатов диссертации.

• Разработаны новые варианты метода неполной факторизации для решения систем конечно-разностных уравнений: метод параболических прогонок, явные и неявные схемы с периферийной компенсацией итерируемых членов, метод сопряженных градиентов с предобуславливателем по схеме неполной факторизации с периферийной компенсацией итерируемых членов, комбинированные схемы неполной факторизации. Дано доказательство явной схемы Булеева с диагональной компенсацией итерируемых членов, получены оценки оптимального значения итерационного параметра и скорости сходимости. Построена теория

Ф блочных итерационных методов, сделан анализ сходимости схемы А-факторизации, схемы параболических прогонок и комбинированных схем неполной факторизации.

• Написаны специализированные комплексы программ: WIMS.BOJirA для стационарного расчета реакторов на тепловых нейтронах и WIMS-BOJ1HA для расчета кампаний реакторов типа ВВЭР, в которых впервые организован прямой расчет констант и выгорания по прецизионной программе WIMSD4 в каждом пространственном узле расчетной сетки в каждый момент времени. В рамках комплекса программ WIMS-BOJIHA разработан алгоритм учета влияния формоизменения ТВС на нейтронно-физические характеристики реактора.

• Разработан комплекс программ VOLNA для расчета быстрых переходных процессов в реакторе в квазистатическом приближении в (hex, z) геометрии. На основе этого комплекса, а также комплексов программ теплогидравлического расчета GRIF-SM и расчета констант АРАМАКО, создан комплекс программ GVA для совместного трехмерного нейтронно-физического, теплогидравлического и термомеханического расчета аварий реакторов на быстрых нейтронах. С помощью этого комплекса программ выполнены трехмерные f нестационарные расчеты аварий реактора типа БН-800, вызванных остановкой главных циркуляционных насосов (ГЦН) и несанкционированным движением группы компенсирующих стержней органов регулирования. Разработаны метод и программа расчета деформаций ТВС и алгоритм учета теплового расширения активной зоны реактора на его нейтронно-физические характеристики.

• Разработан новый метод решения уравнений магнитной гидродинамики в естественных переменных. На основе этого метода разработаны алгоритм и программа GIGAN для трехмерного нестационарного расчета тепловой конвекции и выполнены расчеты бенчмарков по конвекции воздуха в кубической полости, подогреваемой с одной из боковых сторон, на сетках большой размерности (до миллиона узлов). Показано, что для чисел Релея 106 и выше необходимо использовать еще большее количество узлов или применять специальное сгущение сеток для обеспечения приемлемой точности расчетных значений чисел Нуссельта.

• Разработан метод расчета тепломассопереноса при выращивании кристаллов с учетом кондуктивного, конвективного и радиационного переноса тепла. Разработан метод решения задачи Стефана для кондуктивно-конвективного теплообмена в энтальпийных переменных. Построена новая математическая модель выращивания кристаллов методом бестигельной зонной плавки, с помощью которой дано объяснение механизма тепломассопереноса при выращивании кристаллов Ge, легированного Ga, в космосе и получен эффект аномального распределения примеси в расплаве, наблюдаемый в космических экспериментах. Впервые разработана кластерная гидродинамическая модель кристаллизации расплавов для описания тепломассопереноса в процессе кристаллизации с учетом структурных изменений расплава вблизи границы фазового перехода.

Достоверность полученных результатов. Высокая эффективность разработанных автором вариантов метода неполной факторизации, особенно комбинированных схем, подтверждается численными исследованиями и большим числом приложений.

Достоверность результатов нейтронно-физических и гидродинамических расчетов подтверждается расчетами численных бенчмарков и решениями тестовых задач.

Достоверность результатов расчетов тепломассопереноса по разработанным автором моделям роста кристаллов подтверждается физической корректностью и совпадением с данными экспериментов по выращиванию кристаллов в космосе.

Практическая ценность разработанных эффективных методов решения плохо обусловленных алгебраических систем линейных уравнений большой размерности с разреженными матрицами коэффициентов состоит в их применимости для решения широкого круга практических задач математической физики.

Практическая ценность разработанных комплексов программ нейтронно-физического расчета заключается в большом количестве конкретных рекомендаций и выводов, сделанных по результатам расчетов по этим программам.

Практическая ценность разработанных методов расчета конвективного тепломассопереноса и решения задачи Стефана заключается в рекомендациях по совершенствованию ростовых установок и режимов технологического процесса выращивания кристаллов из расплава.

Практическая ценность предложенной кластерной модели кристаллизации заключается в возможности корректного описания результатов экспериментов по выращиванию полупроводниковых кристаллов из расплава в условиях микрогравитации.

Автор выносит на защиту:

• Варианты метода неполной факторизации: метод А-факторизации, метод параболических прогонок, вариант метода сопряженных градиентов с предобуславливателем по схеме неполной факторизации с периферийной компенсацией итерируемых членов CGPIF, комбинированные схемы неполной факторизации HFPP, HFB3, HFB4, CIF. Анализ сходимости блочных итерационных методов неполной факторизации, доказательство сходимости метода /г-факторизации, метода параболических прогонок, явной схемы Булеева с диагональной компенсацией итерируемых членов.

• Алгоритмы и программы стационарного и квазистационарного трехмерного расчета реакторов ВОЛГА и ВОЛНА. Комплекс программ расчета реакторов WIMS.ВОЛГА для расчета реакторов в (х, у, т) и (г, в, z) геометриях. Комплекс программ WIMS-ВОЛНА расчета кампании реакторов типа ВВЭР в (hex, z) геометрии с учетом влияния формоизменения ТВС на нейтронно-физические характеристики реактора вследствие термомеханических деформаций.

• Алгоритм и комплекс программ VOLNA для расчета быстрых переходных процессов в реакторе в квазистатическом приближении в (hex, z) геометрии. Алгоритм и комплекс программ GVA для совместного нейтронно-физического, теплогидравлического и термомеханического расчета аварий реакторов на быстрых нейтронах типа БН-800 с учетом формоизменения ТВС вследствие термомеханических деформаций. Результаты расчетов аварий реакторов типа БН-800, вызванных остановкой главных циркуляционных насосов и несанкционированным движением группы компенсирующих стержней органов регулирования.

• Метод решения уравнений магнитной гидродинамики в естественных переменных. Алгоритм и комплекс программ GIGAN для трехмерного нестационарного расчета тепловой конвекции на сетках большой размерности.

• Метод расчета тепломассопереноса при выращивании кристаллов из расплава с учетом кондуктивного, конвективного и радиационного теплообмена. Метод решения задачи Стефана в энтальпийных переменных. Объяснение механизма тепломассопереноса и аномального распределения примеси при выращивании кристаллов Ge, легированного Ga, методом бестигельной зонной плавки в космосе. Кластерную гидродинамическую модель кристаллизации расплавов с учетом условия Стефана, сегрегации примеси и силы сопротивления течению расплава вблизи фронта кристаллизации, обусловленной кластерами.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались на IV Всесоюзном совещании по вычислительным методам линейной алгебры (Новосибирск, 1977), на встречах со специалистами ГДР по проблеме транспортирования отработавшего топлива (Берлин, 1980, 1982, 1984, 1986), на совещании стран-членов СЭВ (Ленинград, 1981), на VII, IX, X, XI школах по моделям механики сплошной среды (Батуми, 1983; Якутск, 1987; Казань, 1989; Владивосток, 1991), на 1 отраслевом совещании по методам и программам расчета (Обнинск, 1983), на межотраслевом семинаре «Сопряженные задачи теплообмена» (Москва, 1985), на IV международной конференции по численному моделированию полупроводниковых приборов и интегральных схем (Ирландия, 1985), на всесоюзном совещании по математическому моделированию приборов микроэлектроники (Новосибирск, 1987), на VIII Всесоюзной конференции по тепло- и массообмену, (Минск, 1988), на Всесоюзном совещании по математическому моделированию приборов микроэлектроники (Горно-Алтайск, 1989), на международном семинаре по математическому моделированию в микроэлектронике (Новосибирск, 1990), на Всесоюзном совещании по математическому моделированию в микроэлектронике (Ярославль, 1990), на Всесоюзном совещании по динамике реакторов (Гатчина, 1990), на международном семинаре «Теплофизика-90» (Обнинск, 1990), на 13 Международном конгрессе по вычислительной и прикладной математике IMACS'91 (Ирландия, 1991), на 7 международной конференции по численному анализу полупроводниковых приборов и интегральных схем NASE CODE VII (США, 1991), на XV Менделеевском съезде по общей и прикладной химии (Обнинск, 1993), на конференции по миграции радионуклидов в водных системах (Обнинск, 1993), на VI Российской конференции по радиационной защите ядерных установок (Обнинск, 1994), на 3, 4, 5 международных семинарах по моделированию устройств и технологий (Обнинск, 1994; Южная Африка, 1996, 1998), на 1, 2, 3, Российских национальных конференциях по теплообмену РНКТ (Москва, 1994, 1998, 2002), на 3 международном семинаре по математическому моделированию в микроэлектронике (Обнинск, 1994), на 9 международном совещании по безопасности ядерных реакторов (Москва, 1995), на III Минском международном форуме по тепло- и массообмену (Минск, 1996), на 5 международной конференции по моделированию устройств и технологий ICSDT'96 (Обнинск, 1996), на 2 международном симпозиуме ученых и исследователей России и США, выполняющих исследования по программе «НАУКА-НАСА» (Королев, 1996), на 1 и 2 международных симпозиумах по достижениям в вычислительном тепломассопереносе (Турция, 1997; Австралия 2001), на 2 Российском симпозиуме «Процессы тепломассопереноса и рост монокристаллов и тонкопленочных структур» HT&CG'97 (Обнинск, 1997), на международной алгебраической конференции памяти Д.К.Фадеева (С.-Петербург, 1997), на школе-семинаре МИФИ секции «Интегрированные математические модели и программные комплексы в ядерной энергетике» (Москва, 1998), на 5 Всероссийской научно-технической конференции с международным участием «Актуальные проблемы твердотельной электроники и микроэлектроники» (Дивноморское, Таганрог, 1998), на семинаре «Консультативная встреча специалистов IAEA по проблеме быстрых реакторов» (Обнинск, 1998), на семинарах «Нейтроника-98», «Нейтроника-99» (Обнинск, 1998, 1998), на XXXIII научных чтениях, посвященных разработке творческого наследия К.Э.Циолковского (Калуга, 1998), на 3,4, 5 международных конференциях «Рост монокристаллов и тепломассоперенос» (Обнинск, 1999, 2001, 2003), на международной конференции по вычислительному тепломассопереносу (Кипр, 1999), на рабочей группе по фазовым переходам с конвекцией, моделированию и валидации (Польша, 1999), на 1 и 2 Российских конференциях по космическому материаловедению (Калуга, 1999, 2003), на IX и X Национальных конференциях по росту кристаллов НКРК (Москва, 2000, 2002), на 4 Международной конференции по супервычислениям в ядерных приложениях SNA-2000 (Япония, 2000), на 4 Сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике ИНПРИМ-2000 (Новосибирск, 2000), на международной конференции по твердым кристаллам (Польша, 2000), на конференции, посвященной памяти академика А.Н.Тихонова (Обнинск, 2000), на 13 международной конференции по росту кристаллов ICCG-13 (Япония, 2001), на XVII научном совещании «Высокочистые материалы с особыми физическими свойствами» (Суздаль, 2001), на международной конференции «Математические идеи П.Л.Чебышева и их приложение к современным проблемам естествознания» (Обнинск, 2002), на I Всероссийской конференции «Физико-химические процессы в конденсированном состоянии и на межфазных границах» ФАГРАН-2002 (Воронеж, 2002), на IV Международной конференции по неравновесным процессам в соплах и струях NPNJ-2002 (С.-Петербург, 2002), на 1 международной конференции по приложениям пористых сред (Тунис, 2002), на 1 научной школе-конференции «Актуальные вопросы теплофизики и физической гидрогазодинамики» (Украина, 2003), на международной конференции по проблемам в тепловой конвекции (Пермь, 2003).

Основное содержание диссертации изложено в 8 статьях в реферируемых журналах, 29 докладах в сборниках трудов Международных и Российских конференций, 2 статьях в зарубежных журналах, 20 препринтах.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 5 глав и заключения (общие выводы по работе). Общий объем диссертации — 258 страниц, в том числе 123 рисунка и 46 таблиц, список литературы из 240 наименований на 25 страницах.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Гинкин, Владимир Павлович

Основные результаты и выводы

Основной итог представленной работы заключается в разработке алгоритмов и создании новых крупных комплексов программ, решающих сложные трехмерные нелинейные и нестационарные задачи в различных областях науки, а именно, нейтронной физики, гидродинамики и роста кристаллов. Все представленные в работе алгоритмы объединяет использование в них метода неполной факторизации в качестве эффективного инструмента для решения двумерных и трехмерных систем конечно-разностных уравнений эллиптического типа. Поэтому первая глава диссертации содержит описание разработанных автором эффективных вариантов метода неполной факторизации, теоретический и расчетно-экспериментальный анализ их сходимости.

Приведено описание различных вариантов метода неполной факторизации на сеточном и матричном языках. Дано доказательство сходимости явной схемы Булеева с диагональной компенсацией итерируемых членов и получены оценки оптимального значения итерационного параметра и скорости сходимости этой схемы. Развита теория блочных итерационных методов для анализа сходимости неявных схем метода неполной факторизации. Даны доказательства сходимости и оценки скоростей сходимости схем /z-факторизации и параболических прогонок.

Показано, что для решения трехмерных девятиточечных конечно-разностных задач с симметричными матрицами коэффициентов одним из наиболее эффективных методов является разработанный автором вариант метода сопряженных градиентов с предобуславливателем по схеме неполной факторизации с периферийной компенсацией итерируемых членов CGPIF. Скорость сходимости этого метода пропорциональна -Jn, где п - число узлов по одному направлению.

Предложен и исследован новый класс итерационных схем неполной факторизации, так называемых комбинированных схем, в которых схема /г-факторизации чередуется с другими родственными схемами. Показано, что при этом скорость сходимости комбинированной схемы значительно выше скоростей сходимости каждой из схем в отдельности, и дано объяснение этому факту. Эффект ускорения сходимости в комбинированной схеме аналогичен эффекту от использования многосеточных методов: одна схема быстро сглаживает произвольную исходную ошибку, а другая (схема /г-факторизации) - быстро уничтожает получающуюся гладкую составляющую ошибки.

Построена и численно исследована комбинированная схема неполной факторизации CIF для решения трехмерных конечно-разностных задач с симметричными и несимметричными матрицами коэффициентов. Показано, что для симметричных матриц по этой схеме зависимость числа итераций j от числа узлов п по одному направлению имеет вид j~0(4n), а для несимметричных матриц она существенно возрастает с ростом абсолютных значений конвективных членов в исходных уравнениях.

Разработанные схемы были использованы в многочисленных практических приложениях для решения задач нейтронной физики, теплообмена, гидродинамики и роста кристаллов. Использовались стационарные, квазистационарные, квазистатические и нестационарные постановки задач. Ниже кратко перечислены некоторые из этих приложений.

Разработан комплекс программ WIMS.ВОЛГА для трехмерного расчета реакторов в стационарном многогрупповом диффузионном приближении в (х, у, z) и (г, в, z) геометриях. Он прошел необходимую верификацию, включен в отраслевой фонд алгоритмов и программ расчета ядерных реакторов ОФАП ЯР, и широко использовался для исследований критичности гомогенных и гетерогенных размножающих систем.

Разработан комплекс программ WIMS-BOJIHA для расчета кампаний реакторов типа ВВЭР в квазистационарном многогрупповом диффузионном приближении в (hex, z) геометрии. Отличительной чертой комплекса является использование для расчета выгорания и констант в каждой пространственной точке реактора в каждый момент времени в процессе его эксплуатации с помощью прецизионной программы WIMSD4. При этом наиболее корректно учитываются реальные значения всех технологических параметров реактора. Разработан алгоритм учета влияния неравномерных водяных зазоров между ТВС на нейтронно-физические характеристики реактора. С помощью этого комплекса выполнены расчеты кампаний реакторов ВВЭР-1000 различных блоков Калининской, Запорожской и Балаковской АЭС при различных загрузках топлива и схемах его перегрузок с участием усовершенствованных ТВС новой конструкции, в обосновании работоспособности которых использовался комплекс программ WIMS-BOJIHA.

Разработан комплекс программ VOLNA для расчета быстрых переходных процессов в реакторах на быстрых нейтронах в квазистатическом многогрупповом диффузионном приближении в (hex, z) геометрии. Главной особенностью квазистатического метода является наличие двух временных сеток: крупной - для расчета пространственной форм-функции, и мелкой - для расчета амплитудного фактора. Это позволяет существенно экономить время расчета, не ухудшая при этом точность решения исходной нестационарной задачи.

На основе программ нейтронно-физического расчета VOLNA, теплогидравлического расчета GRIF-SM, и расчета констант АРАМАКО создан трехмерный комплекс Программ расчета аварий реакторов на быстрых нейтронах GVA. В рамках этого комплекса разработаны алгоритм и программа расчета термомеханического поведения активной зоны реактора и алгоритм учета влияния теплового расширения активной зоны на нейтронно-физические характеристики реактора. Разработанный комплекс программ GVA позволяет моделировать сложные аварийные процессы в реакторах на быстрых нейтронах, приводящих к значительным изменениям концентраций компонентов реактора в переходном процессе, а именно таких, как кипение натрия или перемещение расплавов стали и топлива после предполагаемого расплавления активной зоны. С помощью этого комплекса выполнены тестовые расчеты аварий реакторов типа БН-800, вызванных остановкой главных циркуляционных насосов с одновременным отказом органов регулирования, и извлечением группы шести компенсирующих стержней, которые продемонстрировали работоспособность и эффективность комплекса. Они показали, в частности, что локальные возмущения энерговыделения в активной зоне могут в несколько раз превышать интегральное изменение мощности реактора, что, в свою очередь, может привести к расплавлению ТВС в местах этих возмущений.

В части моделирования конвективного тепломассопереноса разработан новый метод решения трехмерных нестационарных уравнений магнитной гидродинамики с учетом конвективного переноса примеси. В нем исходная нелинейная и несимметричная система уравнений записывается в однородном виде, затем преобразуется к системе уравнений диффузионного типа, линеаризуется, и решается неявным методом установления, причем системы конечно-разностных уравнений с несимметричными матрицами коэффициентов предварительно симметризуются и сводятся к форме с монотонными и положительно определенными матрицами. Это позволяет использовать для решения линеаризованных систем уравнений метод сопряженных градиентов с предобуславливателем исходных матриц по схеме неполной факторизации. Практическое использование этого метода в программе GIGAN показало его высокую эффективность при решении гидродинамических задач на сетках большой размерности (до миллиона узлов).

Тестовые расчеты показали, что для чисел Релея Ra=104 и Ra=105 на этих сетках расчетные значения чисел Нуссельта получаются с приемлемой точностью. Однако при решении задач на равномерных сетках с числом Релея Ra=106 количества узлов порядка 10б уже не хватает, чтобы получить числа Нуссельта с хорошей точностью. Требуется либо увеличивать количество узлов на равномерных сетках, либо применять специальные сгущения сеток в областях резкого изменения искомых функций, в частности, в погранслоях.

В области расчета процессов кристаллизации из расплава разработаны метод решения внешней задачи с учетом кондуктивного, конвективного и радиационного переноса тепла между излучающими поверхностями, и метод решения внутренней задачи с учетом конвективного тепломассопереноса в области расплава, условия Стефана и сегрегации примеси на границе раздела фаз.

Использование описанной методики решения внешней задачи на примере расчета процесса кристаллизации расплава германия методом бестигельной зонной плавки в условиях космоса позволило получить зависимость функции мощности нагревателя от времени, обеспечивающую необходимую толщину зоны проплавления в течение всего процесса кристаллизации.

Характерной чертой разработанного метода решения внутренней задачи является использование энтальпийных переменных при решении уравнения сохранения энергии. Это приводит к устойчивому и эффективному алгоритму решения задачи Стефана совместно с конвективным тепломассоперносом в области расплава и кондуктивным переносом тепла в области кристалла.

С помощью разработанных методов выполнены многочисленные расчетные исследования процессов тепломассопереноса при выращивании кристаллов в земных и космических условиях для различных методов кристаллизации: метода Чохральского, бестигельной зонной плавки, и направленной кристаллизации.

Разработана математическая модель для исследования взаимодействия термокапиллярной и концентрационной конвекции в расплаве для выращивания кристаллов методом бестигельной зонной плавки в условиях космоса. С помощью этой модели удалось объяснить механизм переноса примеси в расплаве и получить в расчетах аномальный эффект распределения примеси, наблюдаемый в космических экспериментах по выращиванию кристаллов Ge, легированного Ga.

Разработана новая гидродинамическая модель течения расплава, в которой впервые учтено структурное предкристаллизационное состояние пограничного слоя в области раздела фаз. Переходная область описана, как двухфазная среда, наряду с расплавом содержащая объемные кластеры твердой фазы. Особенностью модели является описание процессов кластерирования и кристаллизации вещества в энтальпийных переменных, что дает возможность последующего сопоставления результатов моделирования с данными, полученными другими методами, в частности, методом молекулярной динамики.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Гинкин, Владимир Павлович, 2004 год

1. БулеевН.И. Численный метод решения двумерных уравнений диффузии 1. Атомная энергия. - 1959. - Т.б. - №3. - С.338-340.

2. OliphantT.A. An implicit numerical method for solving two-dimensional time-dependent diffusion problems = Неявный численный метод для решения двумерных, зависящих от времени задач диффузии) // Quart. Appl. Math. -1961. Vol.19. - P.221-229.

3. Булеев Н.И. Метод неполной факторизации для решения двумерных и трехмерных разностных уравнений типа диффузии II Вычислительная математика и математическая физика. 1970. - Т. 10. - №4. - С. 1042-1044.

4. Ильин В.П. Методы неполной факторизации для решения алгебраических систем. М.: Наука, 1995.-288с.

5. Гинкин В.П. Метод А-факторизации для решения двумерных уравнений эллиптического типа // Доклад на IV Всесоюзном совещании по вычислительным методам линейной алгебры / Вычислительные методы линейной алгебры. Новосибирск: ВЦ СОАН СССР, 1977. - С.123-132.

6. Гинкин В.П. О численном решении двумерных и трехмерных уравнений эллиптического типа. Препринт ФЭИ-767. - 1977. - 12с.

7. Гинкин В.П. О влиянии релаксации на сходимость схемы А-факторизации при решении двумерных уравнений типа диффузии // Физика и техника ядерных реакторов. ВАНТ, 1980. - Вып.4 (13). - С. 196-202.

8. Гинкин В.П. Метод параболических прогонок для решения двумерных уравнений эллиптического типа. Препринт ФЭИ-1153. - 1981. - 13с.

9. Гинкин В.П. Об одном варианте метода параболических прогонок для решения двумерных уравнений эллиптического типа. Препринт ФЭИ-1306. - 1982. - 14с.

10. Гинкин В.П. Решение эллиптических уравнений со смешанными производными методом параболических прогонок. Препринт ФЭИ-1365. - 1982. - 14с.

11. Гинкин В.П. Решение двумерных эллиптических уравнений методом параболических прогонок // Доклад на межотраслевом семинаре «Сопряженные задачи теплообмена» / ФЭИ, 1985. -Зс.

12. Гинкин В.П., Кончиц А.П. Элементы теории блочных итерационных методов. Препринт ФЭИ-1738. - 1985. -22с.

13. Гинкин В.П., Жиганова И.Г., ГадиякГ.В. Исследование сходимости метода параболических прогонок в областях непрямоугольной формы и гексагональной геометрии. Препринт ФЭИ-1841. - 1987. - Юс.

14. Гинкин В.П. Эффективный метод решения одного класса задач эллиптического типа при отсутствии диагонального преобладания // Доклад на всесоюзном совещании по математическому моделированию приборов микроэлектроники / Новосибирск, 1987. 7с.

15. Гинкин В.П. Эффективный метод решения одного класса задач эллиптического типа при отсутствии диагонального преобладания // Автометрия. 1988. - №5. - С.64-67.

16. Гинкин В.П. Метод неполной факторизации для решения трехмерных уравнений эллиптического типа // Доклад на международном семинаре по математическому моделированию в микроэлектронике / Новосибирск, 1990. 6с.

17. Гинкин В.П., Степанов И.Н. Распараллеливание трехточечной прогонки // Доклад на Всесоюзном совещании по математическому моделированию в микроэлектронике / Ярославль, 1990. 8с.

18. Алгоритмы решения сеточных уравнений для многопроцессорных ЭВМ : отчет о НИР / ФЭИ. Обнинск, 1991. - 19с. - Исполн.: Гинкин В.П., Ледовской В.М., Степанов И.А. -Инв. № 7869.

19. Гинкин В.П., Троянова Н.М. Использование метода неполной факторизации в трехмерной задаче нейтронно-физического расчета реакторов типа ВВЭР. Препринт ФЭИ-2104.- 1990.- 15с.

20. Гинкин В.П., Троянова Н.М. Метод неполной факторизации для решения трехмерных девятиточечных разностных уравнений эллиптического типа. Препринт ФЭИ-2181. -1991.- 17с.

21. Гинкин В.П., Троянова Н.М. Вариант метода неполной факторизации для решения трехмерных девятиточечных уравнений эллиптического типа // Доклад на 13-ом Международном конгрессе по вычислительной и прикладной математике / Дублин, Ирландия, 1991. 6с.

22. Гинкин В.П., Гущин Е.В. Блочный метод неполной факторизации для решения систем двумерных уравнений эллиптического типа. Препринт ФЭИ-2268. - 1992. - 8с.

23. Гинкин В.П., Ваньков К.А., Троянова Н.М. Метод сопряженных градиентов в сочетании с неполной факторизацией и компенсацией итерируемых членов. Препринт ФЭИ-2324. -1993.- 13с.

24. Гинкин В.П., Кулик А.В. Оптимальный предобуславливатель в методе сопряженных градиентов для трехмерной (hex.z) геометрии. Препринт ФЭИ-2786. - 1999. - 20с.

25. Transfer" (ICSC-2003), September 22-26 2003 / Proceedings. Obninsk: SSC RFIPPE, 2003. -Vol.1.-P.631-636.

26. Маркус M., Минк X. Обзор по теории матриц и матричных неравенств. М.: Наука, 1972. - 232с.

27. Schneider G.E., Zedan M. A modified strongly implicit procedure for the numerical solution of field problems = Модифицированная строго неявная процедура для численного решения пространственных задач // Numerical Heat Transfer. -1981. Vol.4. - P.1-19.

28. Дьяконов Е.Г. Разностные методы решения краевых задач. Издание МГУ, 1971. - Вып.1.

29. Самарский А.А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1977.

30. Артемьев В.К., Булеев Н.И. О сходимости явной схемы неполной факторизации при решении двумерных уравнений диффузии. // Вопросы атомной науки и техники. Сер. "Физика и техника ядерных реакторов". 1983. - Вып.5 (34). - С.19-25.

31. Лебедев В.И., Финогенов С.А. О порядке выбора итерационных параметров в чебышевском циклическом итерационном процессе // ЖВМ и МФ. 1971. - Т.П. - №2. -С.425-438.

32. Булеев Н.И. Методы неполной факторизации для решения двумерных уравнений эллиптического типа // Вопросы атомной науки и техники. Сер. "Физика и техника ядерных реакторов". 1980. - Вып.З (13). - С.3-14.

33. Ильин В.П. Сверхнеявные итерационные методы для решения систем уравнений с блочно-трехдиагональными матрицами // Сибирский математический журнал. 1985. -T.XXVI. - №1. - С.83-89.

34. VargaR.S. Matrix Iterative Analysis = Матричный итерационный анализ. New Jersey, 1962.

35. Birkhof G., VargaR., Young D. Alternating direction implicit method = Неявный метод переменных направлений // Advances in Comput. 1962. - V.4. - P.190-274.

36. Ильин В.П. Численные методы решения задач электрооптики. Сибирское отделение: Наука. - Новосибирск, 1974. - 202с.

37. Марчук Г.И. Численные методы расчета ядерных реакторов. М.: Атомиздат. - 1958. -381с.

38. Марчук Г.И. Методы расчета ядерных реакторов. М.: Госатомиздат. - 1961. - 667с.

39. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука. - 1977. - 455с.

40. Гинкин В.П., Крылова JI.M., Кухтин В.П. Комплекс программ WIMS.BOJirA // Аннотация в ВАНТ. Серия "Физика и техника ядерных реакторов". ИАЭ, 1987. - 6с.

41. Апробирование методов расчета гетерогенных уран-водных сборок : отчет о НИР / ФЭИ. Обнинск, 1981. - 22с. - Исполн.: Гинкин В.П. и др. -Инв. № 6505.

42. Гинкин В.П., Гурин В.Н. Фактор-ЗК комплекс двумерного расчета гомогенных реакторов на базе трехгрупповой библиотеки микроконстант. - Препринт ФЭИ-1152. -1982.- Юс.

43. MIX двумерный комплекс программ для расчета гомогенных и гетерогенных реакторов в малогрупповом диффузионном приближении : отчет о НИР / ФЭИ. - Обнинск, 1983. -22с. - Исполн.: Гинкин В.П. и др. - Инв. № 6839.

44. Гинкин В.П., Будникова Г.Г. ВОЛГА программа трехмерного расчета реактора в малогрупповом диффузионном приближении. - Препринт ФЭИ-1583. - 1984. - 22с.

45. Комплекс программ трехмерного расчета гомогенных и гетерогенных реакторов на основе программ WIMS-D4 и ВОЛГА : отчет о НИР / ФЭИ. Обнинск, 1986. - 40с. -Исполн.: Гинкин В.П., Крылова Л.М. - Инв. № 7192.

46. Расчет зависимости К3ф водных решеток твэлов и ТВС реакторов ВВЭР от шага решетки, плотности воды и выгорания с помощью программ WIMS-D4 и MIX : отчет о НИР / ФЭИ. Обнинск, 1986. - 51с. -Исполн.: Гинкин В.П., Налимова М.А. - Инв. № 7269.

47. Гинкин В.П. Предложения по содержанию каталога-справочника точных критических экспериментов // Доклад на встрече специалистов СССР и ГДР по проблеме транспортирования отработавшего топлива / Обнинск. ФЭИ, 1988. - 14с.

48. Гинкин В.П., Троянова Н.М. Использование метода неполной факторизации в трехмерной задаче нейтронно-физического расчета реакторов типа ВВЭР. Препринт ФЭИ-2104. - 1990. - 15с.

49. Гинкин В.П., Троянова Н.М. Использование метода неполной факторизации в трехмерной задаче нейтронно-физического расчета реактора ВВЭР-1000 // Доклад на Всесоюзном совещании по динамике реакторов // Гатчина, 1990. 15с.

50. Стационарный расчет реактора БН-800М по программам ВОЛНА и ВОЛГА : отчет о НИР / ФЭИ. Обнинск, 1992. - 25с. - Исполн.: Гинкин В.П. и др.

51. Развитие программного комплекса ВОЛНА нестационарного пространственного расчета реактора в групповом диффузионном приближении : отчет о НИР / ФЭИ. Обнинск, 1994. - 27с. - Исполн.: Гинкин В.П. и др. - Инв. № 8545.

52. Нейтронно-физический расчет кампании реактора на тепловых нейтронах с помощью комплексов программ ВОЛНА, ВОЛГА и WIMSD4 : отчет о НИР / ФЭИ. Обнинск, 1994. - Исполн.: Гинкин В.П. и др.

53. Альбом-PC. Программа комплексного расчета нейтронно-физических характеристик реакторов ВВЭР. Общее описание и инструкция для пользователя. ВНИИАЭС НПО «Энергия» : отчет о НИР / Москва, 1991. Инв. № 03-2950/91.

54. Расчет нейтронно-физических характеристик реактора ВВЭР-1000 с помощью комплекса программ WIMS-ВОЛНА : отчет о НИР / ФЭИ. Обнинск, 1995. - 51с. - Исполн.: Гинкин В.П. и др. - Инв. № 9188.

55. Тестирование трехмерного комплекса программ WIMS.BOJIHA нейтронно-физического расчета кампании реакторов применительно к активным зонам серийных ВВЭР-1000 : отчет о НИР / ФЭИ. Обнинск, 1995. - 37с. - Исполн.: Гинкин В.П. и др. - Инв. № 9068.

56. Проведение нейтронно-физических расчетов реальных состояний активной зоны реактора ВВЭР-1000 : отчет о НИР / ФЭИ. Обнинск, 1996. - 33с. - Исполн.: Гинкин В.П. и др. - Инв. № 9258.

57. Разработка метода и программы расчета трехмерной кинетики с учетом изменений конфигурации ячеек и водяных зазоров во время эксплуатации ректора : отчет о НИР / ФЭИ. Обнинск, 1997. - 75с. - Исполн.: Гинкин В.П. и др.

58. Расчет прогибов ТВС в процессе 10-й топливной кампании на блоке №2 Калининской АЭС : отчет о НИР / ФЭИ. Обнинск, 1998. - Исполн.: Лихачев Ю.И., Гинкин В.П. и др. -Инв. №9878.

59. Расчет прогибов серийных и циркониевых ТВС в процессе 10-й топливной кампании на блоке №3 Запорожской АЭС : отчет о НИР / ФЭИ. Обнинск, 1998. - Исполн.: Лихачев Ю.И., Гинкин В.П. и др. - Инв. № 9879.

60. Расчетный прогноз деформации всех ТВС активной зоны блока №1 Балаковской АЭС в процессе перегрузки и 8-й топливной кампании : отчет о НИР / ФЭИ. Обнинск, 1998. -Исполн.: Лихачев Ю.И., Гинкин В.П. и др. - Инв. № 9880.

61. Halsall M.J. A summary of WIMSD4. Input options = Описание WIMSD4. Входные опции // Winfrith, Dorchester, Dorset, Jul. 1980. AEEW-M 1327.

62. Белл Д., Глестон С. Теория ядерных реакторов. М.: Атомиздат. - 1974.

63. Хохлов В.Ф., Николаев M.H., Савоськин M.M. Комплекс программ АРАМАКО для расчета групповых макро- и блокированных микросечений на основе 26-групповой системы констант в подгрупповом представлении М.: Атомиздат. - 1972. - Ядерные константы: вып.8.

64. Алгоритм решения трехмерного нестационарного уравнения реактора в многогрупповом диффузионном приближении : отчет о НИР / ФЭИ. Обнинск, 1992. - 39с. - Исполн.: Гинкин В.П., Троянова Н.М., Шиманская Т.М., Юрина Г.П., Быков В.И. - Инв. № 8122.

65. Развитие программного комплекса ВОЛНА нестационарного пространственного расчета реактора в групповом диффузионном приближении : отчет о НИР / ФЭИ. Обнинск, 1994. - 22с. - Исполн.: Гинкин В.П., Волков Ю.В., Троянова Н.М., Ваньков К.А. -Инв. № 8545.

66. Гинкин В.П., Троянова Н.М., Ваньков К.А. ВОЛНА программа трехмерного нестационарного расчета реактора в квазистатическом приближении. - Препринт ФЭИ-2360.- 1994.-23с.

67. Гинкин В.П., Безбородов А.А., Волков А.В., Ганина С.М., Кузнецов И.А., Троянова Н.М., Швецов Ю.Е. Spatial and time-dependent calculation of fast reactor transients =

68. Пространственно-временной расчет переходных процессов в быстром реакторе // Доклад на семинаре «Consulting Meeting of IAEA specialists on fast reactor problem», 4 июня 1998. Обнинск.

69. Безбородов A.A., Волков А.В., Ганина С.М., Гинкин В.П., Кузнецов И.А., Троянова Н.М., Швецов Ю.Е. Пространственно-временной расчет переходных процессов в быстрых реакторах. // Доклад на отраслевом семинаре «Нейтроника-98», 27-29 октября 1998. -Обнинск.

70. ЮО.Шишков JI.K. Методы решения диффузионных уравнений двухмерного ядерного реактора. М.: Атомиздат. - 1974.

71. Ринейский А.А. Методы и программы подготовки групповых констант для расчета ядерных реакторов и исследование погрешностей группового приближения : диссер. канд. физ.-мат. наук. ФЭИ. - Обнинск, 1994.

72. Шиманская Т.М., Зродников А.В. Эффективный алгоритм интегрирования уравнений кинетики реактора на основе численных методов Гира. Препринт ФЭИ-1478. - 1983.

73. Ю5.Плетчер Р.Г.Достижения в области исследования турбулентной вынужденной конвекции // Современное машиностроение. Серия А. 1989. - №6. - С. 1-31.

74. Conference on Computational Fluid Dynamics = Конференция по вычислительной гидроаэродинамике, April 1995. Oxford.

75. Advances in Computational Heat Transfer = Достижения в вычислительном теплопереносе // Symposium organized by International Center for Heat and Mass Transfer (CHT'97), 2630 May 1997 / Proceedings. Ce§me, Turkey, 1997.

76. Proceedings of the International Conference on Computational Heat and Mass Transfer (CHMT99) = Труды международной конференции по вычислительному тепломассопереносу // Eastern Mediterranean University, Famagusta, April 26-29 1999.

77. Ю9.Булеев Н.И. Пространственная модель турбулентного обмена. М.: Наука, 1989. - 344 с.

78. Ю.Артемьев В.К. Явный метод неполной факторизации с чебышевским адаптируемым ускорением сходимости. Препринт ФЭИ-2095. - 1990. - 18с.

79. Ш.Артемьев В.К. Неявный метод для решения уравнений Навье-Стокса в естественных переменных // Моделирование в механике. Новосибирск, 1992. - Т.6 (23). - №1. - С.17-22.

80. Артемьев В.К. Развитие численных методов решения задач динамики вязкой жидкости : диссер. канд. физ.-мат. наук. ФЭИ. - Обнинск, 1997.

81. З.Полежаев В.И., БунэА.В., Гончаров АЛ., ВерезубН.А. и др. Математическое моделирование конвективного тепломассообмена на основе уравнений Навье-Стокса. -М.: Наука, 1987.-271с.

82. Гончаров A.JL, Фрязинов И.В. Сеточный метод решения трехмерных уравнений Навье-Стокса в параллелепипеде // Дифференциальные уравнения. 1991. - Т.27. - №7. - С.1137-1144.

83. Мажорова O.C., Марченко М.П., Фрязинов И.В. Монотонизирующие регуляризаторы и матричный метод решения уравнений Навье-Стокса для несжимаемой жидкости. // Математическое моделирование. 1994. - Т.6. - №12. - С.97-116.

84. Гинкин В.П., Корниенко Ю.Н., Кузеванов B.C. Расчетное определение локальных характеристик двухфазного потока на участке установления профиля газосодержания // Доклад на VII школе по моделям механики сплошной среды / Обнинск. ФЭИ, 1983. - Зс.

85. Гинкин В.П., Корниенко Ю.Н., Кузеванов B.C. Расчетное определение локальных характеристик двухфазного потока на участке установления профиля газосодержания // Физическая механика неоднородных сред. Новосибирск: ИТПМ СОАН СССР, 1984. -С.54-59.

86. Гинкин В.П., Корниенко Ю.Н., Кузеванов B.C. Локальная модель двухфазного неравновесного потока в круглой трубе // Доклад на II Международной школе по моделям механики сплошной среды / Владивосток, 1991. 6с.

87. Гинкин В.П., Корниенко Ю.Н., Кузеванов B.C. Локальная модель двухфазного неравновесного потока в круглой трубе. Препринт ФЭИ-2337. - 1993. г 10с.

88. Гинкин В.П., Кузеванов B.C., Иваненко И.Ю., Корниенко Ю.Н. Численное исследование профилей параметров неравновесного двухфазного потока на основе двумерной модели // Известия ВУЗов. Сер. «Ядерная энергетика». 1994. - №4-5. - 6с.

89. Решение нестационарного уравнения теплопроводности с сильно меняющимися коэффициентами в конечном слоистом цилиндре : отчет о НИР / ФЭИ. Обнинск, 1981. -14с. - Гинкин В.П. и др. - Инв. № 3115.

90. Гинкин В.П., Анисимов В.В., ГрошевА.И., КащеевВ.М., ХудаскоВ.В. Локальная теплоотдача при турбулентном течении жидкости в кольцевом канале при постоянной температуре стенки. Препринт ФЭИ-1619. - 1984. - 20с.

91. Гинкин В.П., Канухина С.В., Иванова Т.В. Численное решение нестационарной сопряженной задачи теплообмена в режиме начала кипения в трубе. Препринт ФЭИ-1834.-1986.-14с.

92. Программа расчета температурного поля в 2-х мерной радиационной защите : отчет о НИР / ФЭИ. Обнинск, 1987. - 12с. - Исполн.: Гинкин В.П., Кураченко Ю.Б. Инв. №7341.

93. Гинкин В.П., ГрошевА.И., Казанцев А. А. РЕССА программа расчета трехмерной кондуктивно-конвективной задачи теплообмена. - Препринт ФЭИ-1875. - 1987. - 17с.

94. Трехмерная методика теплогидравлического расчета испарителя установки БН-350 : отчет о НИР / ФЭИ. Обнинск, 1987. - Исполн.: Гинкин В.П. и др. - Инв. № 5132.

95. Гинкин В.П., ХудаскоВ.В., ДорошенкоВ.А., ЗининаГ.А. Методика трехмерного теплогидравлического расчета парогенераторов АЭС // Доклад на VIII Всесоюзной конференции / Минск, 1988. 10с.

96. Гинкин В.П., Худаско В.В., Зинина Г.А., Замирайлова Л.Г. Турбулентный теплообмен на входном гидродинамическом и тепловом участке в круглых каналах // Доклад на X Всесоюзной школе по моделям механики сплошной среды / ФЭИ, 1989. Зс.

97. Гинкин В.П., Гориченко В.А., ХудаскоВ.В. Методика расчета теплообмена в сборке твэлов с учетом анизотропии коэффициента переноса тепла // Доклад на международном семинаре «Теплофизика-90» / Обнинск, 1990. Юс.

98. Артемьев В.К., Гинкин В.П. Численное моделирование трехмерной естественной конвекции // Доклад на второй Российской национальной конференции по теплообмену (РНКТ2), 26-30 октября 1998 / Сб. трудов. Москва: изд-во МЭИ, 1998. - Т.З. - С.38-41.

99. Гинкин В.П., Ганина C.M. Новый метод расчета трехмерной конвекции на сетках большой размерности // Математическое моделирование. 2003. - Т. 15. - №6. - С.53-58.

100. Булеев Н.И., Тимухин Г.И. О составлении разностных уравнений гидродинамики вязкой нестационарной жидкости // Численные методы механики сплошной среды. — СО РАН, 1972. Т.З. - №4.-С. 19-26.

101. Мюллер Г. Выращивание кристаллов из расплавов. М.: Мир, 1991. - 150с.

102. Келли А., Гровс Г. Кристаллография и дефекты в кристаллах. М.: Мир, 1974. - 496с.

103. Мильвидский М.Г., Освенский В.Б. Получение совершенных монокристаллов // Сб. статей «Проблемы современной кристаллографии». М.: Наука, 1975. - С.79-109.

104. Смирнов Б.И. Дислокационная структура и упрочение кристаллов. М.: Наука, 1981. -236с.

105. Новиков И.И., Розин К.М. Кристаллография и дефекты кристаллической решетки. М.: Металлургия, 1990.-336с.

106. Бартел И., БурингЭ., ХайнК., КухаржЛ. Кристаллизация из расплавов. М.: Металлургия, 1987. - 320с.

107. Математическое моделирование получения монокристаллов и полупроводниковых структур. М.: Наука, 1986. - 197с.

108. Вабищевич П.Н. Численные методы решения задач со свободной границей. Изд-во Моск. универ., 1987. - 164с.

109. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. -М.: Мир, 1980. 616с.

110. Белоцерковский О.М. Численное моделирование в механике сплошных сред. М.: Наука, 1984.-520с.

111. Пасконов В.М., Полежаев В.И., Чудов JI.A. Численное моделирование процессов тепло-и массообмена. М.: Наука. - 288с.

112. Патанкар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости. — М.: Энергоатомиздат. 149с.

113. Артемьев В.К., Булеев Н.И. О решении уравнения Навье-Стокса в переменных "вихрь -функция тока". Препринт ФЭИ-1734. - 1985. - 28с.

114. ПейреР., Тейлор Т. Вычислительные методы в задачах механики жидкости. — Л.: Гидрометеоиздат, 1986. 352с.

115. Булеев Н.И. Пространственная модель турбулентного обмена. М.: Наука, 1989. - 344с.

116. Андерсон Д., Таннехил Дж., Плетчер Р. Вычислительная гидромеханика и теплообмен. — М.: Мир, 1990.-Т. 1-2.

117. Тарунин Е.Л. Вычислительный эксперимент в задачах свободной конвекции. Изд-во Иркут. универ., 1990. - 228с.

118. Sabhapathy P., Salcudean М.Е. Numerical analysis of heat in LEC growth of GaAr = Численный анализ теплообмена методом LEC при выращивании GaAr // J. Crystal Growth. 1989. - No.97. - P.125-135.

119. Бердников B.C., ПанченкоВ.И. Некоторые характеристики смешанной конвекции в лабораторной модели метода Чохральского // Сб. трудов «Теплофизика кристаллизации веществ и материалов». Новосибирск: ИТФ СО АН СССР, 1987. - С.5-15.

120. БердниковB.C., ПанченкоВ.И., СоловьевС.В. Тепловая гравитационно-капиллярная конвекция в методе Чохральского // Сб. трудов «Теплофизика кристаллизации высокотемпературной обработки материалов». Новосибирск: ИТФ СО АН СССР, 1990. -С. 162-199.

121. ПО.Гинкин В.П., Гориченко В.А., Глухов С.Б., Межерицкий Г.С., Худаско В.В. Методика расчета температурных полей в многослойной двумерной конструкции с лучистым теплообменом между слоями. -Препринт ФЭИ-1986. — 1989. — 17с.

122. Марченко М.П., Сенченков А.С., ФрязиновИ.В. Математическое моделирование процесса роста кристаллов из раствора-расплава методом движущегося нагревателя // Математическое моделирование. 1992. - Т.4. - №5. - С.67-79.

123. Марченко М.П., Фрязинов И.В. Комплекс программ КАРМА1 решения нестационарных задач выращивания монокристаллов в ампулах // Вычислительная математика и математическая физика. 1997. -Т.37. -№8. - С.988-998.

124. Авдеев А.Ю., Гончаров В.А. Решение задачи Стефана для нестационарного процесса роста кристаллов в условиях микрогравитации. // Изв. вузов. Сер. «Электроника». 1999. -№1. - С.9-15.

125. Гончаров В.А. Об одном методе решения двухфазной задачи Стефана с неплоской границей // Вычислительная математика и математическая физика. — 2000. — Т.40. №11. - С.1706-1715.

126. ArtemyevV.K., GinkinV.P., GusevN.V., ZininA.I., OzernykhI.L. Numerical Simulation of GaAs Crystal Growth of a Big Diameter by Bridgman Method = Численное моделирование выращивания кристалла GaAs большого диаметра методом Бриджмена // The 5-th Int.

127. Математическое моделирование приборов и технологий для системы МОПИТ : отчет о НИР / ФЭИ. Обнинск, 1992. -276с. - Исполн.: Гинкин В.П. и др. - Инв. № 8075.

128. Гинкин В.П., Гадияк Г.В., Шварц Н.Л., Обрехт М.С. Синица С.П. Программа расчета стационарных характеристик МДП-транзистора MOS-1 // Автометрия. 1987. - №1. -С.70-75.

129. Гинкин В.П., Артемьев В.К., Бердников B.C. Численное моделирование конвективного теплообмена на модели Чохральского // Доклад на 1-ой Российской национальной конференции по теплообмену (РНКТ), 21-25 ноября 1994 / Тез. докл. М.: МЭИ, 1994. -Юс.

130. Методика получения оценок времени нагревания и плавления образца кристалла и получающихся при этом температур и их градиентов : отчет по контракту №260 / ФЭИ. -Обнинск, 1994. 12с. - Исполн.: Гинкин В.П. и др.

131. Методика оценки риска полного расплавления затравочного стержня при подводимой мощности : отчет по контракту №260 / ФЭИ. Обнинск, 1994. - Юс. - Исполн.: Гинкин В.П. и др.

132. Гинкин В.П., Артемьев В.К., Денисов B.C., ЗининаГ.А., Корниенко Ю.Н. Численное моделирование процессов выращивания монокристаллов : обзор ФЭИ-0267 / М.: ЦНИИатоминформ, 1994. 13с.

133. Ginkin V.P. Problems of Numerical Simulation of the Single Crystal Growth Process // The Fifth International Conference on Simulation of Devices and Technologies, October 11-20 1998 / Proceedings. Cape-Town, South Africa, 1998.

134. August 2001 / Abstracts. Kyoto, Japan, 2001. - P.386.

135. Гинкин В.П., Забудько M.A., Картавых A.B., Мильвидский М.Г., Науменко О.М. Численное моделирование процесса тепломассопереноса с позиции кластерной модели строения расплава // Поверхность. 2004. - №6. - С.93-100.

136. Chen G., Roux В., Camel D., Tison P., Garandet G.P., Favier J.J., Senchenkov A.S., Moreau R. Numerical study of GEZON Experiment = Численные исследования эксперимента GEZON // Microgravity Sci. Technol. 1994. - Vol.7. -No.2.

137. Котов С.В., Лютиков А.Р., Хухрянский Ю.П. и др. О возможном механизме роста кристаллов из расплава в условиях невесомости // Письма в ЖТФ. 2002. - Т.28. - №14. -С.15-18.

138. Duffar Т., Serrano M.D., Moore C.D., CamasselJ., ContrerasS., DusserreP., Rivoallant A., Tanner B.K. Bridgman solidification of GaSb in space = Кристаллизация GaSb методом Бриджмена в космосе // J. Crystal Growth. 1998. - No.192. - P.63-72.