Вычислительные технологии решения задач рефракционной, векторной и тензорной томографии тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Деревцов, Евгений Юрьевич

• Деревцов, Евгений Юрьевич
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Деревцов, Евгений Юрьевич

Оглавление

Стр.

Введение

0.1. Классическая модель томографии

0.2. Задача рефракционной томографии

0.3. Векторная томография

0.4. Тензорная томография и интегральная геометрия

0.5. Восстановление разрывов

0.6. Численные методы

0.6.1. Метод наименьших квадратов

0.6.2. Метод сингулярного разложения

0.6.3. .В-сплайны

0.7. Цели, характеристика и краткое содержание работы

Глава 1. Тензорные поля на плоскости

1.1. Определения и предварительные результаты

1.1.1. Преобразование Радона

1.1.2. Векторные поля

1.2. Симметричные 2-тензорные поля

1.2.1. Лучевые преобразования

1.2.2. Формулы обращения

1.3. Симметричные т-тензорные поля

Глава 2. Численное решение задачи рефракционной томографии

2.1. Постановка задачи

2.2. Общая схема модифицированного алгоритма МНК

2.3. Конкретизация и особенности алгоритма

2.4. Задача рефракционной томографии в цилиндрической области

2.4.1. Метрики, допускающие наличие вполне геодезических под-

многообразий

/

2.4.2. Алгоритм решения трехмерной задачи по слоям

2.5. Численные эксперименты

Глава 3. Алгоритмы векторной томографии на основе метода наименьших квадратов. Евклидова метрика

3.1. Постановка задачи

3.2. МНК-алгоритм с использованием покоординатных базисов

3.3. Определение потенциальной части поля

3.4. Построение соленоидального базиса

3.5. Полиномиальное разложение векторных полей

3.6. Построение соленоидального базиса ЗЛ-векторных полей

3.7. Численные эксперименты

Глава 4. Восстановление векторных полей в среде с рефракцией

4.1. Постановка задачи

4.2. Восстановление потенциала векторного поля сеточными методами

4.3. Отображение областей и преобразование оператора Лапласа-Бельтрами

4.4. Численное решение эллиптической задачи в прямоугольной области

4.5. Численные эксперименты

Глава 5. Алгоритмы восстановления симметричного 2-тензорного поля

на основе МНК

5.1. Постановка задач и общие сведения

5.2. Аппроксимация тензорного поля. Покоординатный базис

5.3. Определение потенциальной части поля

5.4. Аппроксимация тензорного поля с помощью соленоидального базиса

5.5. Численные эксперименты и выводы

Глава 6. Восстановление полей на основе сингулярного разложения операторов лучевых преобразований

6.1. Предварительные сведения

6.2. Сингулярное разложение лучевых преобразований векторных полей

6.3. Сингулярное разложение лучевых преобразований симметричных 2-тензорных полей

6.4. Численные эксперименты

Глава 7. Восстановление сингулярного носителя

7.1. Поведение индикаторов разрыва векторного поля вблизи границы

7.2. Численное моделирование

Заключение

Литература

Приложения

8.1. Формулы и соотношения для алгоритма решения задачи рефракционной томографии

8.2. Описание метрик, распределений источников и потенциалов

8.3. Классические ортогональные многочлены

8.4. Численные эксперименты. Рефракционная томография

8.5. Численные эксперименты. Векторная томография

8.6. Численные эксперименты. Восстановление потенциала векторного поля сеточными методами

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Вычислительные технологии решения задач рефракционной, векторной и тензорной томографии»

ВВЕДЕНИЕ

0.1. Классическая модель томографии

Начавшееся во второй половине XX века, бурное развитие томографических методов в научных исследованиях и медицинской диагностике, необходимым условием которого было появление и массовое использование быстродействующих ЭВМ, продолжается и в настоящее время, захватывая все новые и часто неожиданные области человеческой деятельности.

Отметим существенное обстоятельство: математические основы томографии были заложены еще в начале прошлого века в работах П. Фун-ка [149] и И. Радона [192]. Исследуя чисто теоретические проблемы, они получили решения задач интегральной геометрии (формулы обращения), поставленных на плоскости и в пространстве, а также на сфере §2. Суть формул обращения заключается в указании последовательности действий, которой можно найти неизвестную функцию, заданную на плоскости, в пространстве или на единичной сфере в М3, по известным интегралам от нее, вычисленным вдоль всех прямых (на плоскости); по всем плоскостям (в М3); вдоль всех больших кругов сферы §2, соответственно.

Выделим основные черты и особенности томографических методов. Наиболее привлекательная черта состоит в том, что способы измерений не разрушают объект. Так, в трансмиссионной томографии используется активное зондирующее взаимодействующее со средой физическое поле, характеристики которого фиксируются после прохождения объекта. Измерения в эмиссионной томографии осуществляются с использованием собственных источников излучения, естественного или искусственного происхождения. В подавляющем большинстве математических моделей в томографии используется лучевое приближение; информация о среде "накапливается" вдоль луча и регистрируется на выходе. Наряду с рентгенов-

ским излучением, электромагнитными полями в оптическом, инфракрасном и радио- диапазонах, используется ультразвуковые источники излучения, упругие волны в сплошной среде, и др. Неотъемлемой чертой томографии является и многократное проведение однотипных измерений, чем достигается цель получения достаточного объема данных. В силу некорректности задачи томографии их недостаточность ведет к большому произволу в решении, а неточности в измерениях ведут к его неустойчивости.

Кратко очертим круг наиболее известных математических средств, на которых основаны приближенные методы и алгоритмы томографии. С математической точки зрения весьма привлекательны формулы обращения. Тем не менее основанные на них алгоритмы не обладают абсолютным преимуществом по сравнению с другими. Широкое распространение получили алгебраические методы, в которых задача сводится к системе линейных алгебраических уравнений, обычно переопределенной. Ряд алгоритмов томографии основан на Фурье-анализе и теореме о центральном сечении, связывающей преобразования Фурье и Радона. Применяются и хорошо известные мощные математические инструменты, истоки которых лежат в вариационном исчислении, функциональном анализе, теории вероятности и статистике. Таковы алгоритмы, базирующиеся на методе метод наименьших квадратов, сингулярном разложении (соответствующих томографических операторов), вероятностных подходах максимального правдоподобия и т.п.

Подавляющее большинство принятых в томографии математических моделей легко допускают включение в себя явления рефракции. Это делается путем задания римановой метрики с^2 = д^с1хгс1х-], которая (т.е. компоненты дг]{х)) предполагается известной. При этом необходимой платой за большую общность является усложнение, зачастую довольно серьезное, математического аппарата. Кроме того, теряется значительная часть методов решения, основанных на преобразованиях Фурье, Рисса и Гильберта,

теореме о центральном сечении, формулах обращения и других подходах, разработанных в предположении прямолинейного характера распространения лучей в исследуемом объекте. Тем не менее, усложнение модели оправданно, так как явление рефракции очень существенно в ряде задач, например при рассмотрении распространения сигналов в Земле. Строго говоря, эффект рефракции, которым в подавляющем большинстве моделей пренебрегают, обязательно присутствует в любой неоднородной среде. Следует отметить, что в моделях, построенных на основе практических постановок, мы не можем считать риманову метрику известной. Явление рефракции самым непосредственным образом связано с неизвестными характеристиками среды, которые мы хотим определить, поэтому в общей постановке необходимо одновременно определить характеристики среды и найти лучи, вдоль которых происходит распространение сигнала. Таким образом, задача нелинейна и с трудом поддается исследованию. Стандартный способ ее решения — метод линеаризации, который, в частности, и приводит к постановке, в которой риманова метрика считается известной.

0.2. Задача рефракционной томографии

В 1980-1990 гг. появилось значительное число публикаций, посвященных задаче эмиссионной томографии. Причины этого носили как прикладной (интенсивное развитие медицинской диагностике, основанной наРЕТ-и б'РЕ'СТ-методиках), так и математический характер. На последних остановимся подробнее. В то время как в области трансмиссионной томографии (простейшая математическая модель) можно говорить о наличии достаточно полной теории и значительного числа различных алгоритмов, достижения в обосновании подходов к решению задачи эмиссионной томографии (более сложная модель) были намного скромнее, а ее теория далека от завершенности. Это вынуждало исследователей строить алгоритмы эмпи-

рического характера, как правило основанные на идеях и методах, используемых при построении алгоритмов трансмиссионной томографии.

Задача эмиссионной томографии состоит в следующем. Пусть некоторая ограниченная область плоскости или пространства заполнена поглощающей рефрагирующей средой, в которой имеются источники частиц (излучения). По известному потоку частиц (излучения) на границе требуется найти функцию распределения источников и (или) коэффициент поглощения среды. Чаще всего коэффициент поглощения предполагаются известными.

Отметим некоторые теоретические результаты, большинство которых получено для евклидовой метрики. В работах [109], [175], [196], [180], [189], [188] при постоянном поглощении исследованы вопросы обратимости, структуры образов и процедуры обращения экспоненциального лучевого преобразования (ЭЛП) и различных вариантов обобщенного преобразования Радона (ОПР); приближенная формула обращения обоснована и построена в работах [154], [155]. Для переменного поглощения определенного вида, заданного на области евклидова пространства, в работах [158], [176], [156] показана обратимость ОПР, доказаны теоремы об инъективно-сти для ограниченного диапазона углов и о структуре образа, получены оценки устойчивости в соболевских пространствах при условии обратимости оператора ЭЛП.

В случае переменного поглощения, заданного на римановом многообразии, известны следующие результаты. В [146] в предположении малости поглощения и размеров области доказана обратимость ЭЛП и получены оценки устойчивости в задаче эмиссионной томографии. В [201] доказана обратимость ЭЛП при выполнении некоторого условия интегрального характера, связывающего характеристики метрики и поглощения. В [111] для ОПР исследуются вопросы единственности и характер неоднозначности решения задачи эмиссионной томографии с неизвестной мерой.

Физическим, технологическим и вычислительным аспектам данной задачи посвящено очень много работ. Наиболее употребительными при расчетах являются алгоритмы фильтрованной обратной проекции, метод сингулярного разложения (singular value decomposition, SVD), а также различные варианты метода конечных элементов, при котором задача сводится к решению разреженной системы линейных уравнений большой размерности. Рассматривается лишь прямолинейный характер распространения лучей, а коэффициент поглощения подбирается исходя из тех или иных эмпирических соображений и экспериментальных данных. Как правило, рассматриваются трехмерные постановки с конусными системами наблюдения, по геометрии которых также имеется значительное число публикаций. Краткий обзор может быть найден в [153].

0.3. Векторная томография

Наряду с интенсивным развитием численных методов и алгоритмов решения задач томографии, ставящих своей целью восстановление функций, в 70-80 гг. прошлого столетия появились и первые работы [152], [161], [162], [178], [179], [182], [114], в которых были приведены практические постановки, связанные с восстановлением векторных характеристик сред по известным данным томографического типа. В настоящее время направление в томографии, ориентированное на исследования векторных или тензорных характеристик сред неразрушающими методами, интенсивно развивается. И прежде всего благодаря тому, что области приложений томографических методов исследований нескалярных свойств объектов очень широки. Это исследование потоков жидкости или газа, физический эксперимент и астрофизика, изучение анизотропных свойств промышленных материалов и земных пород, медицинские и биологические приложения, и многое другое [22], [187], [107], [166], [165], [108]. Приведем наиболее распространенные по-

становки, приводящие к задачам векторной томографии, попутно отметив обзорную работу [200], содержащую ряд основных положений и результатов векторной томографии.

Течение жидкости или газа. Ограничимся двумерной постановкой, см. [182], [114]. Пусть И — ограниченная выпуклая область двумерного потока жидкости или газа с границей дИ, которая может не быть "физической" границей, а определяться областью исследования, на границе которой расположены источники и приемники. Поток определяется векторным полем скоростей и>(х), х = (хь^г) £ I). Рассматривается задача реконструкции векторного поля уо(х) по измерениям времен пробега акустического сигнала через область течения. Пусть с(х) — скорость звука в Ю. Предполагается, что |и>| <С с, а изменения с достаточно малы в Л, так что распространение сигнала можно считать прямолинейным. Тогда, полагая ту единичным касательным вектором акустического луча Ьрф, время пробега сигнала от источника, расположенного в точке Р, до приемника в точке $ есть

Г (II ГШ

где время £др вычислено с учетом замены направляющего вектора 77 прямой Ьр<2 на —г]. Суммируя,

(2)

получаем задачу традиционной скалярной томографии по определению скорости звука с(х) в среде. Вычитая,

- ¿др « -2 [ = [ (ш(х),г!)<11, (3)

~ —2т(х)

где IV(х) = — , получаем задачу векторной томографии определе-с2(х)

ния скорости потока ги(х) жидкости или газа по известному продольному лучевому преобразованию векторного поля т.

Таким образом, информации о временах пробега достаточно не только для восстановления скалярной функции с(х), соответствующей скорости звука в среде, но и для реконструкции векторного поля Ни, связанного с полем скоростей потока жидкости или газа. Заметим, что обратная пропорциональность {у квадрату с2(х) скорости звука и естественное условие |гу| с предъявляют повышенные требования к точности измерений.

Измерение температуры в газах на основе Шлирен-эффекта. Рассматривается задача измерения температуры в газах с использованием дистанционных измерений [162], [114]. По принципу Ферма, распространение световых лучей в неоднородной среде с показателем преломления п = п(х), х е И С Д3, слабо меняющимся по сравнению с длиной волны, описывается уравнением

-^-(пту) = Уп, (4)

где йв — дифференциал длины дуги вдоль светового луча. Тогда касательный вектор г] к световому лучу, прошедшему расстояние I в среде, есть

т) = -[ Уп<18 + —Г)0, (5)

п Уо п

где ?7о задает начальное направление светового луча, а щ — показатель преломления при я = 0. Оптическое устройство Шлирена преобразует разности направлений распространения в интенсивность отклонений,

к Г1

I = - / (0, (Уп х 77о))(1з. (6)

п Уо

Единичный вектор в вместе с константой к описывает чувствительность устройства в зависимости от направления. Если вектор 9 перпендикулярен плоскости томографических измерений, и в х 770 = где через £ обозначен единичный вектор нормали к лучу в плоскости исследований, то

1 = (7)

п Уо

где ги = Vп. Последнее уравнение показывает, что компонента (Уп, £) потенциального поля Vп перпендикулярна к направлению распространения

наблюдаемого оптического излучения. Таким образом, сформулирована задача векторной томографии по определению потенциального векторного поля ии по поперечному лучевому преобразованию. Ее решение дает как потенциальное поле Уп, так и показатель преломления п. В газах коэффициент преломления зависит от плотности, а в случае постоянного давления это и зависимость от температуры, поэтому она оценивается по восстановленному п.

Доплеровская томография. Одним из физических эффектов, на основе которого можно определить векторные характеристики среды, является эффект Доплера. Ставится задача найти поле скоростей V = у(х, £) в области И, заполненной жидкой или газообразной средой, по результатам измерений вне этой области.

Данная задача имеет важные приложения. Так, в физическом эксперименте на основе этого эффекта можно найти функцию распределение молекул по скоростям, если известны данные доплеровской спектроскопии, полученные при просвечивании ансамбля молекул лазерным излучением [165], [166]. В работе [141] и других исследовалась задача восстановления векторного поля средних скоростей ионов в плазме. В гидрометеорологии [22] ставится задача нахождения распределения скоростей больших воздушных масс. В гемодинамике необходимо найти поле скоростей крови в сосудах пациента с помощью акустических доплеровских измерений [163], [207], [121].

В качестве зондирующего сигнала в задаче доплеровской томографии применяются сфокусированные ультразвуковые пучки или лазерные источники. Взаимодействие физического поля с движущимися частицами среды приводит к появлению отраженных волн, частота которых и отличается от частоты со»о падающей волны на величину

= ^РЧ, (8)

С — V*

где с —скорость падающей волны, уТ1 — проекция скорости частицы, на которой волна отражается, на направление луча. В предположении, которое выполняется практически всегда, |г>| <С с, получаем 5и> « 2щут]/с хорошее приближение доплеровского смещения, которое регистрируется приемной аппаратурой и является исходными данными для задачи доплеровской томографии.

Остановимся кратко на простейшей физической модели рассматриваемой задачи [68]. Для определения поля скоростей ансамбля частиц (молекул, ионов, и т.п.), движущихся в некоторой области с разными скоростями и в разных направлениях, производятся непрерывные по времени измерения для всех возможных направлений зондирующей волны. Для фиксированного направления можно построить зависимость частоты си(т) = ыо + 5и{т) принимаемого сигнала от расстояния т, измеряемого вдоль луча от приемника. Интегрируя принимаемый сигнал по всему лучу I/, получим функцию времени

При определенных условиях эту функцию можно обратить и найти зависимость г = т(и — сио) от частоты. Тогда, переходя к интегрированию по частоте, имеем

где через т' обозначено дифференцирование параметра луча Ь по частоте и. Продолжая подынтегральную функцию нулем вне области/), мы видим, что а(Ь) представляет собой преобразование Фурье функции т'ш. Осуществляя обратное преобразование Фурье известной из эксперимента функции сг(£), находим т^ и, далее, поле г^ с использованием формулы для доплеровского смещения дш.

Предлагаемый путь решения задачи на практике почти не реализуем, так как обусловлен многими ограничениями, связанными с идеей замены

зависимости от параметра луча зависимостью от частоты. Трудности возникают и на пути использования формулы (8). В результате эта идея до последнего времени так и не обрела убедительной практической реализации, которая была бы осуществлена с достаточной точностью.

Намного чаще в исследованиях в качестве данных используется интегральный момент 1-го порядка,

который, очевидно, является продольным лучевым преобразованием векторного поля V, и, таким образом, рассматривается более простая постановка. Иными словами, в каждой точке пространства функция распределения частиц по скоростям заменяется одной средней скоростью, и в итоге стоит задача определения этого векторного поля средних скоростей. Следует отметить, что в -томографии тензора диффузии вновь переходят к б-мерной функции: в каждой точке пространства определяется трехмерная функция плотности вероятности в диффузионном пространстве [108].

Дадим краткое описание ряда работ, связанных с постановками и результатами доплеровской томографии. Дж. Кинси в 1977 году [165] впервые описал возможность восстановления трехмерной функции распределения Р(ух,уу,у2) = -Р('у) молекул по скоростям методом доплеровской спектроскопии. В его работе обоснована возможность регистрации доплеровского профиля спектра резонансного поглощения при просвечивании ансамбля молекул лазерным излучением с перестраиваемой длиной волны. Если длина волны поглощательного перехода есть Ад, то доплеровский сдвиг Д^д в частоте резонансного поглощения, вызванный компонентой скорости к;, параллельной направлению наблюдения п, опишется формулой

В работе показано, что зарегистрированный в эксперименте профиль линии поглощения (либо флуоресценции после перехода возбужденных ато-

Дг/д = гс/Ао-

мов или молекул в основное состояние) И (и), ф) описывается трехмерным интегралом

Здесь полярный и азимутальный углы (9, ф) задают направление наблюдения п. Очевидно, что данный интеграл представляет собой трехмерное преобразование Радона в пространстве скоростей от функции распределения частиц по скоростям F(v) в заданной точке пространства (х,у,г). При фиксированном направлении наблюдения измеренный профиль И {уд) представляет собой набор интегралов по плоскостям с фиксированным направлением нормалей п. Таким образом, в общем случае возникает шестимерная обратная задача по восстановлению в каждой точке пространства г своей трехмерной функции . Полученная обратная задача в работе была решена с помощью метода Фурье-преобразования, в современной терминологии, — методом Фурье-синтеза. Легко показать, что Фурье-образы измеренных одномерных доплеровских контуров представляют собой трехмерный Фурье-спектр неизвестной функции, заданный в сферической системе координат. И задача инверсии такого распределения легко решается переходом в декартову систему координат и взятием обратного трехмерного преобразования Фурье. В рассматриваемой работе было проведено численное моделирование, с целью проверки устойчивости к шумам разработанного алгоритма.

В работе Н. П. Ефремова с соавторами [141] в рамках задачи векторной томографии рассматривался доплеровский профиль спектральных линий излучения ионов в плазме. Для упрощения задачи авторы также восстанавливали не полную функцию распределения ионов по скоростям в каждой точке пространства, а векторное поле средних скоростей.

В кратком сообщении [163] описывается томографический метод реконструкции поля скоростей потока жидкости в цилиндре с помощью аку-

(10)

стических доплеровских измерений. Целью таких исследований являлось моделирование измерений поля скоростей крови в сосудах. Векторное поле раскладывается на соленоидальную и потенциальную составляющие. В предположении несжимаемости жидкости и отсутствии в ней источников, потенциальная часть обращается в нуль, и остается лишь соленоидальная компонента, восстанавливаемая по измерениям продольного лучевого преобразования.

В техническом отчете [121] приведена обширная библиография работ, в которых выполнены исследования задач векторной и тензорной томографии в разнообразных физических постановках. Там же приведены формулы обращения интегральных операторов для некоторых постановок таких задач при условии полноты проекционных измерений. Подходы, базирующиеся на методе наименьших квадратов и позволяющие получать приближенные решения задач векторной и 2-тензорной томографии, предложены в [44], [43], [125]. В постановке задачи векторной доплеровской томографии, сводящейся к инверсии трехмерного преобразования Радона, для малого числа ракурсов наблюдения хорошую оценку приближенного решения дает итерационный метод Гершберга-Папулиса [80], [81], [12].

0.4. Тензорная томография и интегральная геометрия

Остановимся кратко на задаче интегральной геометрии, так как именно она лежит в основе более общих томографических постановок, как в плане обобщения объекта исследований, так и в плане введения новых интегральных операторов, образы которых служат исходными данными в задачах нескалярной томографии, поставленных в том числе и на римановом многообразии.

Термин "интегральная геометрия" используется для определенного класса обратных задач, понимаемых в широком смысле, и тесно связан

с геометрическими объектами в n-мерном пространстве. Постановки задач интегральной геометрии и их исследования до поры до времени осуществлялись в теоретическом плане, имея фрагментарные и редкие практические применения. Мощным стимулом для развития новых постановок интегральной геометрии явились геофизические исследования внутренней структуры Земли с помощью естественных (землетрясения) и искусственных источников упругих и электромагнитных волн [90]. С появлением и быстрым становлением томографии как самостоятельной естественнонаучной и практической дисциплины интегральная геометрия получила "второе дыхание", а ее результаты оказались востребованы во многих областях, связанных с исследованиями неразрушающими дистанционными методами. Обратные задачи математической физики, задачи интегральной геометрии и томографии, в которых учитывается рефракция, рассматривались в работах многих авторов и, в частности, исследователями из научной школы, возглавляемой М.М. Лаврентьевым и В. Г. Романовым, см. М.М. Лаврентьев, В. Г. Романов, С. П. Шишатский [69], В. Г. Романов [82], Р. Г. Мухометов [76], Ю. Е. Аниконов, Л. Н. Пестов [9], [100], [101], [79], В. А. Шарафутдинов [97], [202], [204], [203], В. П. Голубятников [150], С. И. Кабанихин [60].

Задача интегральной геометрии в общей "классической" постановке [69] состоит в определении неизвестной функции и(х), х Е Мп, по известным интегралам

[ u(x)da = v{\) (11)

jm{\)

по многообразиям, зависящим от параметра А Е Mfc, из некоторого семейства {Л1(А)}. Полное математическое исследование задачи предполагает ответы на перечисленные ниже существенные вопросы.

Единственность. При каких условиях задание функции г>(А) однозначно определяет и(х)? Большая часть теоретических исследований и резуль-

татов в этой области отвечают именно на этот вопрос.

Существование. Каковы необходимые и достаточные условия принадлежности у(\) классу функций, представимых в форме интегралов (11)? Вопрос существования решения, как правило, более сложен. К счастью, в задачах, возникающих в связи с практическими постановками, имеется априорная информация о существовании решения, на том простом основании, что у исследователя имеются данные, в которых, в той или иной форме, "зашифрована" искомая величина (решение).

Метод решения. Как найти функцию и по известной у? Классический ответ на этот вопрос предполагает получение и в виде явных формул (формул обращения). В связи с развитием ЭВМ широкое распространение получил другой подход, а именно приближенное решение задач интегральной геометрии, с использованием как универсальных средств теории приближений, так и специальных методов, разрабатываемых с учетом специфики тех или иных задач интегральной геометрии.

Устойчивость. Каким образом ведет себя решение и в зависимости от ошибок, внесенных в данные г»? Задачи интегральной геометрии с полными данными, как правило, слабо некорректны. Существуют важные постановки с неполными данными, обладающими сильной некорректностью той же степени, что и хорошо известная задача аналитического продолжения. В качестве примера приведем обратную кинематическую задачу сейсмики, а также задачу томографии с ограниченными углами обзора. Несмотря на пессимизм, преобладающий среди исследователей относительно перспектив этих задач, продолжаются попытки разработать эффективные и устойчивые численные методы их решения.

Хорошо известно, что распространение электромагнитных и упругих волн в анизотропной среде сопровождается явлением поляризации. В приближении геометрической оптики поведение эллипса поляризации описывается системой дифференциальных уравнений, связывающей свойства

среды и значения электромагнитного поля, распространяющегося вдоль луча [67]. Таким образом, задача определения свойств среды по степени поляризации падающей волны и волны, прошедшей через среду, носит томографический характер (информация накапливается вдоль луча). Если же поляризационные измерения проведены в достаточном объеме, то мы имеем дело с задачей поляризационной томографии. Эта задача имеет приложения в диагностике плазмы [106], [160], [148], фотоупругости и волоконной оптике, см. например [1], [201], [185], [203]. Еще раз отметим, что характер взаимодействия поля с лучом при этом носит совершенно иной характер, по сравнению с рассматриваемым нами ранее поперечным лучевым преобразованием на плоскости. Существенно, что размерность пространства, в котором определяется "новое" преобразование, не может быть менее 3-х.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Деревцов, Евгений Юрьевич, 2014 год

Литература

1. Авен X. К. Интегральная фотоупругость.— Таллин: Валгус. — 1975. - 218 с.

2. аниконов Д. С. Использование особенностей решения уравнения переноса в рентгеновской томографии // Доклады РАН. — 1994. — Т. 335, № 6. - С. 702-704.

3. аниконов Д. С. Специальная задача интегральной геометрии // Доклады РАН. - 2007. - Т. 415, № 1. - С. 7-9.

4. аниконов д. е., Ковтанюк а. е., прохоров И. в. Использование уравнения переноса в томографии. — М.: Логос. — 2000. — 224 с.

5. Аниконов Ю.Е., Богданов В. В., Деревцов Е. Ю., Мирошниченко В. Л. Некоторые подходы к решению обратной кинематической задачи сейсмики с внутренними источниками. — Новосибирск, 2004. — 34 с. — (Препринт № 145 / РАН. Сиб. отд-ниею. Ин-т математики им. С. Л. Соболева).

6. Аниконов Ю.Е., Богданов В. В., Деревцов Е. Ю., Мирошниченко В. Л., сапожникова H.A. Численное решение обратной кинематической задачи сейсмики с внутренними источниками // Сиб. Ж. индустриальной математики — 2006. — T. IX, № 4(28). — С. 3-26.

7. Аниконов Ю.Е., Волков Ю.С., Горшкалев С. Б., Деревцов Е. Ю., Мальцева С. В. О задаче определения класса скоростей с заданной структурой линий уровня по кинематическим данным // Методы сплайн-функций. Российская конференция, посвященная 80-летию со дня рождения Ю. С. Завьялова: Тезисы докладов. — Новосибирск. - 2011. - С. 11-12.

8. Аниконов Ю.Е., Волков Ю.С., Горшкалев С. Б., Деревцов Е. Ю., Мальцева C.B. О критерии горизонтальной однород-

ности среды в обратной кинематической задаче сейсмики // Вестник НГУ. - 2011. - Т. И, вып. 3. - С. 3-19.

9. Аниконов Ю. Е., Пестов Л. Н. Формулы в линейных и нелинейных задачах томографии. — Новосибирск: Изд-во Новосибирского университета. — 1990. — 64 с.

10. Безуглова М. А., Деревцов Е. Ю., Сорокин С. Б. Приближенное решение задачи восстановления соленоидальной части векторного поля в круге разностными методами // Четвертый Сибирский Конгресс по прикладной и индустриальной математике (ШРШМ-2000): Тезисы докладов. Часть I. Новосибирск. — 2000. С. 99.

И. Безуглова М.А., Деревцов Е. Ю., Сорокин С. Б. Решение задачи векторной томографии сеточными методами. — Новосибирск, 2000. — 30 с. — (Препринт № 81 / РАН. Сиб. отд-ние. Ин-т математики им. С. Л. Соболева).

12. Бойко В. М., Оришич А. М., Павлов А. А., Пикалов В. В. Методы оптической диагностики в аэрофизическом эксперименте. — Новосибирск: НГУ. - 2009. - 450 с.

13. ВИШИК М.И. Метод ортогональных проекций для самосопряженных уравнений // ДАН СССР. - 1947. - Т. 56, № 2. - С. 115-118.

14. ВИШИК М.И. Метод ортогональных проекций для общих самосопряженных уравнений // ДАН СССР. - 1947. - Т. 58, № 6. - С. 957-960.

15. воеводин В. В. Вычислительные основы линейной алгебры. — м.: Наука. - 1977. - 304 с.

16. Волков Ю.С., Галкин В.М. О выборе аппроксимаций в прямых задачах построения сопла // ЖВМиМФ. — 2007. — Т. 47, №5. — С. 923-936.

17. гаевский X., Грегер К., Захарис К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. — Москва: Мир. - 1978.

18. Галкин В. М., Волков Ю. С. Сравнение базисных функций в прямой задаче профилирования сверхзвуковой части сопла // Сибирский журнал индустриальной математики. — 2004. — Т. 7, №4(20). — С. 4858.

19. Гельфанд И. М., Гиндикин С. Г., Граев М. И. Избранные задачи интегральной геометрии.— М.: Добросвет. — 2000. — 208 С.

20. Гельфанд И. М., Гончаров А. Б. Восстановление финитной функции, исходя из ее интегралов по прямым, пересекающим данное множество точек в пространстве // ДАН СССР. - 1986. - Т. 290, № 5. -С. 1037-1040.

21. Гельфанд И.М., Граев М.И., Виленкин Н.Я. Обобщенные функции. Интегральная геометрия и связанные с ней вопросы теории представлений, вып. 5. — М.: ГИФМЛ. — 1962.

22. Горелик А. Г., Стерлядкин В. В. Доплеровская томография в радиолокационной метеорологии // Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана. - 1990. - Т. 26, № 1. - С. 47-54.

23. гохберг И. Ц., крейн М. Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. — М.: Наука. — 1965.

24. ГРАДШТЕЙН И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений,— М.: Наука, ГФМЛ. — 1971. — 1108 С.

25. Деревцов Е.Ю. Об одном подходе к построению разностной аппроксимации ковариантной производной — II Сибирский Конгресс по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ-96): Тез. докл. 25-30 июня 1996. - Новосибирск. - С. 271-272.

26. деревцов Е.ю. Разностная аппроксимация дифференциальных операторов на римановом многообразии //VI Всероссийское совещание по проблемам построения сеток для решения задач математической физики: Тез. докл. 9-16 сент. 1996. — Екатеринбург. — 1 с.

27. деревцов е. ю. Приближенный метод решения задачи реконструкции тензорного поля по его лучевому преобразованию // Математические проблемы экологии. Труды III Международной конференции МАПЭК-96. Новосибирск. - 2-4 июня 1996. - с. 21-31.

28. деревцов Е. Ю. Численное решение задачи эмиссионной томографии в цилиндрической области, заполненной рефрагирующей средой с произвольным поглощением // Третий Сибирский Конгресс по прикладной и индустриальной математике (INPRIM-98): Тезисы докладов. Часть I. Новосибирск. — 1998. — С. 140.

29. деревцов е. Ю. Приближенное решение задачи восстановления тензорного поля второй валентности в полупространстве по измерениям на окружностях // Третий Сибирский Конгресс по прикладной и индустриальной математике (INPRIM-98): Тезисы докладов. Часть II. Новосибирск. - 1998. - С. 44.

30. деревцов е. Ю. Приближенное решение задачи восстановления векторного поля в рефрагирующей среде по измерениям доплеров-ского смещения // Третий Сибирский Конгресс по прикладной и индустриальной математике (INPRIM-98): Тезисы докладов. Часть III. Новосибирск. - 1998. С. 10-11.

31. деревцов Е.Ю. Реконструкция некоторых скоростных характеристик среды в полупространстве по кинематическим данным // Обратные задачи математической физики. Тезисы докладов Международной конференции (21-25 сентября 1998 года. Новосибирск. ИМ СО РАН). - С. 28-29.

32. деревцов е. Ю. Формулы обращения и единственность в трехмерной томографии. — Новосибирск, 2004. — 32 с. — (Препринт N5 144 / РАН. Сиб. отд-ние. Ин-т математики им. С. JI. Соболева).

33. деревцов е. Ю. Некоторые подходы к задаче визуализации сингулярного носителя скалярных, векторных и тензорных полей по томографическим данным // Сиб. Электронные Матем. Известия. — 2008. - Т. 5. - с. 632-646.

34. деревцов е.ю. Интегральные преобразования как основной математический аппарат томографии // Молодежная международная научная школа-конференция "Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач": Тезисы. — Новосибирск. — 2009. — с. 40.

35. деревцов е.ю. Томография сложных сред: модели, методы, алгоритмы. Часть I. Модели скалярной томографии. — Учебно-методическое пособие. — Горно-Алтайск, Горно-Алтайский государственный университет. — 2009. — 80 с.

36. деревцов е. Ю. Формулы обращения для продольных, поперечных и смешанных лучевых преобразований тензорных полей // Молодежная международная научная школа-конференция "Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач", 21-29 сентября 2010 г. — Новосибирск: Тезисы. — 1 с. — http://math.nsc.ru/confe-гепсе/опгЮДЬезАэ/аЬз^а^з.рсН.

37. деревцов е.ю. Некоторые задачи нескалярной томографии // Сиб. Электронные Матем. Известия. — Труды первой международной молодежной школы-конференции "Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач". Часть i. — 2010. — Т. 7. — С. С.81-С.111.

38. деревцов Е.Ю. Томография сложных сред: модели, методы, алгоритмы. Часть II. Модели векторной и тензорной томографии. — Учебно-методическое пособие. — Горно-Алтайск, Горно-Алтайский государственный университет. — 2010. — 84 с.

39. деревцов е.Ю. Численные методы в задачах нескалярной томографии / / Третья международная молодежная научная школа-конференция "Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач", 10-15 октября 2011. — Новосибирск: Тезисы докладов. — С. 11-12. — http://conf.nsc.ru/files/conference/tcmiip2011/87050/thesis.pdf.

40. деревцов Е. Ю. Особенности применения численных методов в задачах томографии 2-тензорных полей // Четвертая международная молодежная научная школа-конференция "Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач", 5-15 августа 2012. — Новосибирск: Тезисы докладов. — С. 52.

41. деревцов е. ю. Математические модели и вычислительные технологии решения задач нескалярной томографии // Пятая международная молодежная научная школа-конференция "Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач". 8-13 октября 2013. — Новосибирск: Тезисы докладов. — с. 35.

42. Деревцов Е. Ю., Кашина И. Г. Приближенное решение задачи векторной томографии с помощью полиномиальных базисов. — Новосибирск, 2000. — 28 с. — (Препринт № 74 / РАН. Сиб. отд-ние. Ин-т математики им. С. Л. Соболева).

43. Деревцов Е. Ю., Кашина И. Г. Приближенное решение задачи реконструкции тензорного поля второй валентности с помощью полиномиальных базисов // Сиб. Ж. индустриальной математики — 2002. — Т. V, № 1(9). - С. 39-62.

44. Деревцов е. Ю., Кашина И.Г. Численное решение задачи векторной томографии с помощью полиномиальных базисов // Сиб. Ж. вычислительной математики — 2002. — Т. 5, № 3. — С. 233-254.

45. Деревцов Е. Ю., Клещев А. Г. Численное решение задачи эмиссионной томографии для неоднородной среды с заданным приближенно

переменным коэффициентом поглощения // Алгоритмический и численный анализ некорректных задач: Тез. докл. Всероссийской конференции, 27 февр.-З марта. — 1995., Екатеринбург, 1995. — С. 57-58.

46. Деревцов Е.Ю., Клещев А. Г., Шарафутдинов В. А. Метод наилучшего приближения в задаче эмиссионной томографии. — Новосибирск, 1996. — 29 с. — (Препринт № 29 / РАН. Сиб. отд-ние. Ин-т математики им. C.JI. Соболева).

47. Деревцов Е. Ю., Кривцов Ю. В. Приближенное решение некоторых задач интегральной геометрии тензорных полей // Международная конференция, посвященная 100-летию С.Л.Соболева: Тезисы. — Новосибирск. - 2008. - С. 480.

48. Деревцов Е.Ю., Мальцева C.B. Приближенное обращение операторов лучевых преобразований в рефракционной томографии // Дифференциальные уравнения, функциональные пространства, теория приближений. Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С. Л. Соболева: Тезисы. — Новосибирск, Россия. - 18-24 августа 2013, ИМ СО РАН. - 2013. - С. 378.

49. Деревцов Е. Ю., Мальцева C.B. Приближенное восстановление векторного поля и его сингулярностей в рефракционной томографии // Методы создания и идентификации математических моделей. Международная научная конференция, посвященной 85-летию со дня рождения академика А. С. Алексеева: Тезисы. — Новосибирск, Россия. - 10-13 октября 2013. - 2013. - С. 33.

50. деревцов е.ю., мочалова И.Г. Приближенное восстановление соленоидальной части векторного поля в круге алгебраическими методами // Четвертый Сибирский Конгресс по прикладной и индустриальной математике (INPRIM-2000): Тезисы докладов. Часть I. Новосибирск. — С. 104.

51. Деревцов Е.Ю., Пикалов В. В. Некоторые подходы к задаче численного восстановления сингулярного носителя векторного поля // Международная конференция "Обратные и некорректные задачи математической физики", посвященная 75-летию академика М. М.Лаврентьева: Тезисы. — Новосибирск. — 2007. - 4 с.-http://ccfit.nsu.ru/%7Ebrednihina/MathConf/abstracts/Section2/ DerevtsovEYuPikalovVV.pdf

52. Деревцов е. Ю., Пикалов В. В. Восстановление векторного поля и его сингулярностей по лучевым преобразованиям // Сиб. Журн. вычислительной математики — 2011. — Т. 14, № 1. — С. 25-42.

53. деревцов Е.Ю., Полякова А. П. Решение задачи интегральной геометрии 2-тензорных полей методом сингулярного разложения // Вестник НГУ - 2012. - Т. 12, № 3. - С. 73-94.

54. деревцов Е. Ю., светов И. Е. Использование локальных базисов в задачах скалярной и векторной томографии рефрагирующих сред // Международная конференция "Обратные и некорректные задачи математической физики", посвященная 75-летию академика М.М.Лаврентьева: Тезисы. — Новосибирск. — 2007. — 2с.— http://ccfit.nsu.ru/%7Ebrednihina/MathConf/abstracts/Section2/ DerevtsovEYuSvetovIE.pdf

55. деревцов е. ю., Светов и. е. Формулы обращения в интегральной геометрии тензорных полей на плоскости // Международная конференция "Обратные и некорректные задачи математической физики", посвященная 80-летию со дня рождения академика М.М. Лаврентьева, 5-12 августа 2012 г. — Новосибирск. — 2012. — с. 193-194.

56. Деревцов Е. Ю., Светов И. Е., Волков Ю. С. Использование В-сплайнов в задаче эмиссионной 21)-томографии в рефрагирующей среде // Сиб. Ж. индустриальной математики. — 2008. — Т. XI, № 3(35). - С. 45-60.

57. Деревцов е. Ю., Шарафутдинов В. А. Восстановление тензорного поля в рефрагирующей среде по его лучевому преобразованию // Обратные задачи геофизики. Труды Международного семинара. Новосибирск. — 30 сент.-4 окт. 1996. — С. 84-85.

58. Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. — Москва: Наука. — 1979.

59. Завьялов Ю.С., Квасов Б. И., Мирошниченко В. JI. Методы сплайн функций // М.: Наука. — 1980.

60. КАБАНИХИН С. И. Обратные и некорректные задачи. — Сибирское научное издательство. — 2008. — 450 с.

61. КАЗАНЦЕВ С. Г. Обобщенные А-аналитические функции в задачах томографии // Доклады РАН. - 1997. - Т. 356. - С. 449-451.

62. КИРЕЙТОВ В. Р. Обратные задачи фотометрии // Новосибирск: ВЦ СО АН СССР. - 1983.

63. Кириллов А, А. Об одной задаче И. М. Гельфанда // ДАН СССР. — 1961. - Т. 137, № 2. - С. 276-277.

64. коновалов а. н. Сопряженно-факторизованные модели в задачах математической физики // Сибирский журнал вычислительной математики. - 1998. - т. 1(1). - С. 1-34.

65. Коновалов А.Н., Сорокин С. Б. Структура уравнений теории упругости. Статика // Препринт / РАН. Сиб. отд-ние. ВЦ. — № 665. — Новосибирск. — 1986. — 26 с.

66. Кочин Н.Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. — ОНТИ, Гос. технико-теоретическое изд., Ленинград — Москва. — 1934.

67. кравцов Ю. А., Орлов Ю.И. Геометрическая оптика неоднородных сред. — М.: Наука. — 1980. — 304 с.

68. кравчук А. С. Основы компьютерной томографии. — Москва. — 1999.

69. Лаврентьев М.М., Романов В. Г., Шишатский С. П. Некорректные задачи математической физики и анализа.— М.: Наука. — 1980. - 287 с.

70. ланс Дж. Н. Численные методы для быстродействующих машин. — М.: Изд-во иностр. лит. - 1962. — 208 с.

71. лебедев В. И. Разностные аналоги ортогональных разложений основных дифференциальных операторов и некоторых краевых задач математической физики. I // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 1964. — Т. 4, № 3. — С. 449-465.

72. лебедев в. И. Разностные аналоги ортогональных разложений основных дифференциальных операторов и некоторых краевых задач математической физики. II // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 1964. — Т. 4, № 4. — С. 649-659.

73. марчук Г. И. Методы вычислительной математики. — Москва: Наука. - 1989.

74. МИХЛИН С. Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения. - М.: ГИФМЛ. - 1962. - 256 с.

75. МИХЛИН С. Г. Вариационные методы в математической физике. — Москва: Наука. — 1970.

76. мухометов Р. Г. Об одной задаче восстановления римановой метрики // Сиб. мат. журнал. - 1981. - Т. 22, № 3. - С. 119-135.

77. наттерер Ф. Математические аспекты компьютерной томографии.— Москва: Мир. — 1990. — 279 с.

78. паламодов В. П. Некоторые сингулярные задачи томографии. В сб.: Математические проблемы томографии (Под ред. И.М. Гель-фанда и С. Г. Гиндикина) // Вопросы кибернетики. — 1990. — С. 132— 140.

79. пестов Л. Н. Вопросы корректности задач лучевой томографии.— Новосибирск: Сиб. науч. изд-во. — 2003. — 111 с.

80. Пикалов В. В., Лихачев A.B. Применение метода Гершберга-Папулиса в трехмерной доплеровской томографии // Выч. методы и программ. - 2004. - Т. 5, № 2. - С. 27-34.

81. пикалов В. В., мельникова Т. С. Томография плазмы. — Новосибирск: Наука. — 1995. — 229 с.

82. романов В. Г. Обратные задачи математической физики.— М.: Наука. - 1984. - 264 с.

83. Самарский A.A., Николаев Е. С. Методы решения сеточных уравнений. — Москва: Наука. — 1978.

84. Самарский A.A., Тишкин В.Ф., Фаворский А. П., Шаш-КОВ М.Ю. Операторные разностные схемы // Дифференц. уравнения. - 1981. - Т. 17, № 7. - С. 1317-1327.

85. Самарский A.A., Тишкин В.Ф., Фаворский А. П., Шлыков М. Ю. О представлении разностных схем математической физики в операторной форме // Докл. АН СССР. - 1981. - Т. 258, № 5. -С.1092-1096.

86. Самарский A.A., Тишкин В.Ф., Фаворский А. П., Шлыков М.Ю. Использование метода опорных операторов для построения разностных аналогов операций тензорного анализа // Дифференц. уравнения. - 1982. - Т. 18, № 7. - С. 1251-1256.

87. Светов И. Е., Деревцов Е. Ю., Волков Ю. С., Шустер Т. Численное решение задачи двумерной векторной томографии в рефраги-рующей среде с использованием В-сплайнов // Международная конференция "Обратные и некорректные задачи математической физики", посвященная 80-летию академика М.М. Лаврентьева, 5-12 августа 2012г. Тезисы. - Новосибирск. - 2012. - С. 227.

88. Светов И. Е., Полякова А. П. Сравнение двух алгоритмов численного решения задачи двумерной векторной томографии // Сибирские электронные математические известия. — 2013. — Т. 10. — С. 90-108.

89. сеге Г. Ортогональные многочлены. — м.: Государственное издательство физико-математической литературы. — 1962.

90. Сейсмическая томография. — Под редакцией Г. Нолета. — М.: Мир. - 1990. - 416 с.

91. Смирнов В. И. Курс высшей математики, том IV. — Москва: ГИТТЛ. - 1957. - 812 с.

92. Соболев С. Л. Об одной новой задаче математической физики // Изв. АН СССР, Сер. матем. - 1954. - Т. 18, № 1. - С. 3-50.

93. Статистические методы для ЭВМ / Под ред. К. Энслейна, Э. рэлстона, Г. С. Уилфа. - М.: Наука. - 1986. - 460 с.

94. треногин В. А. Функциональный анализ. — М.: Наука. — 1980. — 496 с.

95. Уилкинсон, райнш. Справочник алгоритмов на языке АЛГОЛ. Линейная алгебра. — М.: Машиностроение. — 1976. — 390 с.

96. форсайт Дж., Молер К. Численное решение систем линейных алгебраических уравнений. — М.: Мир. — 1969. — 167 с.

97. шарафутдинов В. А. Интегральная геометрия тензорных полей. — Новосибирск: Наука. — 1993. — 233 с.

98. Яно К., вохнер С. Кривизна и числа Бетти. — Москва: ИЛ. — 1957. - 152 с.

99. Abramowitz M, Stegun I. A. Handbook of Mathematical Functions. — National Bureau of Standards Applied Mathematics Series. - 1972.

100. Anikonov Yu. E. Multidimensional Inverse and Ill-posed Problems for Differential Equation. - VSP, Utrecht, The Netherland. - 1995. - 138 p.

101. Anikonov Yu. E. Formulas in Inverse and Ill-Posed Problems. — VSP, Utrecht, The Netherland. - 1997. - 203 p.

102. Anikonov Yu.E., Bogdanov V.V., Derevtsov E.Yu., mlroshnichenko V. L., plvovarova N. B., Slavina L. B. Some approaches to a numerical solution for the multidimensional inverse kinematic problem of seismics with inner sources // J. Inverse Ill-Posed Problems. - 2009. - V. 17, No. 3. - P. 209-238.

103. Anikonov Yu. E., Derevtsov E.Yu., Kleshchev F. G. Numerical solution of three-dimensional inverse kinematic seismic problems with internal sources // International symposium on computerized tomography: Abstracts, M.M. Lavrentiev ed., 10-14 August. — Novosibirsk, 1993. — 1 p.

104. Arbuzov E. v., Bukhgeim A. L., Kazantsev S. G. Two-dimensional tomography problems and the theory of A-analytic functions // Siberian Adv. Math. - 1998. - v. 8. - P. 1-20.

105. Bal G. On the attenuated Radon transform with full and partial measurements // Inverse Problems. — 2004. — V. 20. — P. 399-419.

106. Balandin A.L., Fuchs G., Pickalov V.V., Rapp J., Soltwisch H. Vector tomography of plasmas using Faraday rotation // Computerized tomography. Proc. Fourth Intern. Sympos. — Novosibirsk, Russia. - Utrecht: VSP. - 1995. - P. 78-81.

107. balandin A. L., Ono Y. Tomographic determination of plasma velocity with the use of ion Doppler spectroscopy // Eur. Phys. J.(D). — 2001. — V. 17, No. 3. - P. 337-344.

108. basser P.J. Relationships between diffusion tensor and q-space MRI / / Magn. Reson. Med. - 2002. - V. 47, No. 2. - P. 392-397.

109. Bellini S., Piacentini M., Cafforio C. Compensation of tissue absorption in emission tomography // IEEE Trans. Acoustics. Speech and Sygnal Proc. ASSP-27. - 1979. - P. 213-218.

110. Bezuglova M.A., Derevtsov E.Yu., Sorokin S.B. The reconstruction of a vector field by finite difference methods //J. Inverse Ill-posed Problems. - 2002. - V. 10, No. 2. - P. 125-154.

111. boman J. On generalized Radon transform with unknown measures // Integral geometry and tomography (Areata, CA, 1989). Contemp. Math., 113. Providence, RI: Amer. Math. Soc. - 1990. - P. 5-15.

112. bracewell R. n., Riddle A. c. Inversion of fan-beam scans in radio astronomy // The Astrophysical Journal. — 1967. — V. 150. — P. 427434.

113. bracewell R.N. Image reconstruction in radio astronomy // in: Herman G.T. (ed.). — Image Reconstruction from Projections. — Springer. — 1979.

114. braun h., hauck A. Tomographic reconstruction of vector fields // IEEE Trans. Signal Proc. - 1991. - V. 39, No. 2. - P. 464-471.

115. bukhgeim A. A., Kazantsev S. G. Inversion formula for the fan-beam attenuated Radon transform in a unit disk // Препринт N5 99, Институт математики им. С.JI. Соболева СО РАН, Новосибирск. — 2002, — 34 С.

116. Cherveny v., Molotkov I. a., Pshenchik I. Ray method in seismology. — Praha: Univ. Karlova. — 1977. — 284 P.

117. cormack A. M. Representations of a function by its line integrals with some radiological applications II // J. Appl. Physics — 1964. — V. 35. — C. 2908-2913.

118. Crowther R. A., De Rosier D.J., Klug A. The reconstruction of a three-dimensional structure from projections and its application to electron microscopy // Proc. R. Soc. London Ser. A. — 1970. — V. 317. — P. 319-340.

119. DAVISON M. E. A singular value decomposition for the Radon transform in n-dimensional Euclidean space // Numer. Funct. Anal, and Optimiz. — 1981.-V. 3. -C. 321-340.

120. Deans S. The Radon Transform and Some of its Applications. — New York, Wiley. - 1983. - 294 R

121. Defrise M., Gullberg G.T. 3D-reconstruction of tensors and vectors // Technical Report No. LBNL-54936. Berkeley: LBNL. - 2005. -24 P.

122. derevtsov E.Yu. Ghost distributions in the cone-beam tomography // J. Inverse Ill-posed Problems. — 1997. — V. 5, No. 5. - P. 411-426.

123. derevtsov E.Yu. Numerical solution for some tensor tomography problems // International Conference "111-Posed and Inverse Problems": Abstracts. — Novosibirsk, Sobolev Institute Press. — 2002. — P. 50.

124. derevtsov E. An approach of direct reconstruction in vector field tomography // International Conference "Inverse Problems: Modelling and Simulation": Abstracts - Fethiye, Turkey. - 2004. P. 46-47.

125. DEREVTSOV E. Yu. An approach to direct reconstruction of a solenoidal part in vector and tensor tomography problems // J. Inverse Ill-Posed Problems. - 2005. - V. 13, No. 3-6. - P. 213-246.

126. Derevtsov E.Yu., Dietz R., Louis A.K., Schuster T. Influence of refraction to the accuracy of a solution for the 2D-emission tomography problem // J. Inverse and Ill-Posed Problems. — 2000. — V. 8, No. 2. — P. 161-191.

127. Derevtsov E.Yu., Efimov A.V., Louis A.K., Schuster T. Singular value decomposition and its application to numerical inversion for ray transforms in 2D vector tomography // J. Inverse Ill-Posed Problems. - 2011. - V. 19, No. 4. - P. 611-637.

128. Derevtsov E.Yu., Kazantsev S.G., Schuster T. Polynomial bases for subspaces of potential and solenoidal vector fields in the unit ball of E? // Preprint Nr. 170, Universität des Saarlandes; Fachrichtung 6.1 - Mathematik, Saarbrücken. - 2006. - 41 P.

129. Derevtsov E.Yu., Kazantsev S.G., Schuster T. On singular value decomposition of the longitudinal ray transform for 3D vector fields // International Conference "Inverse Problems: Modelling and Simulation", May 29-June 02, 2006: Abstracts. - Fethiye, Turkey. -2006. - P. 105-106.

130. Derevtsov E.Yu., Kazantsev S.G., and Schuster T. Polynomial bases for subspaces of vector fields in the unit ball. Method of ridge functions //J. Inverse Ill-Posed Problems. — 2007. — V. 15, No. 1. - P. 1-38.

131. Derevtsov E.Yu., Kleshchev A.G., Sharafutdinov V.A. Numerical solution of emission tomography problems by the method of the best approximation // AMCA 95. International Conference on Advanced mathematics, Computations and Application: Abstracts, 2024 June. - NCC Publisher, Novosibirsk, 1995. - P. 298-299.

132. Derevtsov E.Yu., Kleshchev A.G., Sharafutdinov V.A. Numerical solution of the emission 2D-tomography problem for a medium with absorption and refraction //J. Inverse and Ill-Posed Problems. — 1999. - V. 7, No. 1. - P. 83-103.

133. Derevtsov E. Yu., Louis A. K., and Schuster T. Two approaches to the problem of defect correction in vector field tomography solving boundary value problems //J. Inverse Ill-Posed Problems. — 2004. — V. 12, No. 6. - P. 597-626.

134. Derevtsov E.Yu., Pickalov V.V. Reconstruction of vector fields and their singularities from ray transform // Numerical Analysis and Applications. - 2011. - V. 4, No. 1. - P. 21-35.

135. Derevtsov E.Yu., Pickalov V.V., Schuster T. Application of local operators for numerical reconstruction of a singular support of a vector field by its known ray transforms // Journal of Physics: Conference Series. IOP Publishing. - 2008. - Vol. 135, 012035. - 6th International Conference on Inverse Problems in Engineering: Theory and Practice. — June 15-19, 2008. - Dourdan (Paris), France. - 8 P.

136. Derevtsov E.Yu., Pickalov V.V., Schuster T., Louis A. K. Reconstruction of singularities in local vector and tensor tomography // International Conference "Inverse Problems: Modelling and Simulation", May 29-June 02, 2006: Abstracts. - Fethiye, Turkey. - 2006. - P. 38-40.

137. Derevtsov E.Yu., Sharafutdinov V. A. Numerical solution of emission tomography problem based on technique of Galerkin // International symposium on computerized tomography: Abstracts, M.M. Lavrentiev ed., 10-14 August. — Novosibirsk, 1993. — 1 p.

138. Derevtsov E.Yu., Sharafutdinov V.A. Numerical solution of a tensor tomography problem by the combined method of the best approximation and nets methods // International Conference on Inverse and Ill-Posed Problems: Abstracts, 9-14 Sept. — Moscow, 1996. — 1 p.

139. Derevtsov E.Yu., Sorokin S.B. Variational and finite difference approaches to the vector tomography problem for refracting medium // Book of abstracts of the Annual Scientific Conference GAMM 2002. — University of Augsburg, March 25-28. - 2002. - P. 31.

140. Derevtsov E. Yu., Svetov I. E., Volkov Yu. S. and Schuster T. Numerical B-spline solution of emission and vector 2.D-tomography problems for media with absorbtion and refraction // Proceedings 2008 IEEE Region 8 International Conference on Computational Technologies in Electrical and Electronics Engineering SIBIRCON-O8. — Novosibirsk Scientific Center, Novosibirsk, Russia. - July 21-25, 2008. - P. 212-217.

141. Efremov N. P., Poluektov N. P., Kharchenko V. N. Tomography of ion and atom velocities in plasmas // JQSRT. — 1995. — V. 53, No. 6. — P. 723-728.

142. Faridani A., Finch D.V., Ritman E. L., Smith K.T. Local tomography II // SIAM J. Appl. Math. - 1997. - V. 57, No. 4. -P. 1095-1127.

143. Faridani A., Keinert F., Natterer F., Ritman E. L., Smith K. T. Local and global tomography // Signal Process., IMA Vol. Math. Appl. — V. 23. - Springer-Verlag, New York. - 1990. - P. 241-255.

144. Faridani A., Ritman E. L., Smith K. T. Local tomography // SIAM J. Appl. Math. - 1992. - V. 52, No. 2. - P. 459-484.

145. Finch D. V. Cone-beam reconstruction with sources on a curve // SIAM J. Appl. Math. - 1985. - V. 45. - P. 665-673.

146. Finch D. Uniqueness for the attenuated X-ray transform in the physical range // Inverse problems. - 1986. - V. 2. - P. 197-203.

147. Finch D. The attenuated X-ray transform: recent development // In: Inverse Problems and Applications. — G. Uhlmann (ed.) Cambridge Univ. Press, Cambridge. — 2003.

148. fuchs G., plckalov V.V. Vector and scalar tomography on fusion plasmas using Hamiltonian and variational methods // Plasma Phys. Control. Fusion. - 1998. - V. 40, No. 1. - p. 91-96.

149. Funk P. Uber eine geometrische Anwendung der Abelschen Integralgleichung // Math. Ann. - 1916. - V. 77. - P. 129-135.

150. golubyatnikov V. P. Uniqueness questions in reconstruction of multidimensional objects from tomography-type projection data. — Inverse and ill-posed problems series. — VSP. — Utrecht, Netherlands. — 2000.

151. Gordon R., Bender R., Herman G.T. Algebraic reconstruction techniques (ART) for three-dimensional electron microscopy and X-ray photography // J. Theor. Biol. - 1970. - V. 29. - R 471-481.

152. Greenleaf J. F., Johnson S.A., Samayoa W. F., Duck F.A. Algebraic reconstruction of spatial distributions of acoustic velocities in tissue from their time-of-flight profiles // Acoustical Holography, Plenum Press, New York, N. Booth (Ed.). - 1975. - V. 6. - P. 71-90.

153. Gullberg G.T., Zeng G.L., Datz F.L., Christian P.E., Tung C.-H., morgan H. T. Review of convergent beam tomography in single photon emission computed tomography // Phys. Med. Biol. — 1992. — V. 37. - P. 507-534.

154. HAZON I.A., SOLMON D.C. Inversion of the exponential X-ray transform I // Analysis. Math. Methods Appl. Sei. — 1988. - V. 10, No. 5. - P. 561-574.

155. HAZON I.A., SOLMON D.C. Inversion of the exponential X-ray transform II j j Numerics. Math. Methods Appl. Sei. — 1990. — V. 13, No 3. - P. 205-218.

156. heike U. Die inversion der gedämpften Radontransformation ein Rekonstruktionsverfahren der Emissiontomogravarphie // Dessertation: Universität Munster. - 1984.

157. Herman G.T., Lent A. Iterative reconstruction algorithms // Comput. Biol. Med. - 1976. - V. 6. - P. 273-294.

158. Hertle A. On the injectivity of the attenuated Radon transform // Proc. Amer. Math. Soc. - 1984. - V. 92. - P. 201-204.

159. hounsfield G.n. Computerized transverse axial scanning tomography: Part 1, descripyion of the system // Br. J. Radiol. — 1973. — V. 46. — P. 1016-1022.

160. HOWARD J. Vector tomography applications in plasma diagnostics // Plasma Phys. Control. Fusion. - 1996. - V. 38, No. 4. - P. 489-503.

161. Johnson S.A., Greenleaf J.F., Hansen C.R., Samayoa W. F., Tanaka M., Lent A., Christensen D.A., Wolley R. L. Reconstruction three-dimentional fluid velocity vector fields from acoustic transmission measurements // Acoustical Holography, Plenum Press, New York, L. W. Kessler (Ed.). - 1977. - V. 7. - P. 307-326.

162. Johnson S.A., Greenleaf J.F., Tanaka M., Flandro G. Reconstructing three-dimentionai temperature and fluid velocity vector fields from acoustic transmission measurements // ISA Transactions. — 1997. - V. 16, No. 3. - P. 3-15.

163. juhlin S. P. Doppler tomography // Proc. 15th Annual Intern. Conf. IEEE, EMBS. - 1993. - P. 212-213.

164. Kazantsev S. G., Bukhgeim A. A. Singular value decomposition for the 2D fan-beam Radon transform of tensor fields //J. Inv. Ill-Posed Prob. - 2004. - V. 12, No. 4 - P. 1-35.

165. klnsey J. L. Fourier transform Doppler spectroscopy: A new means of obtaining velocity - angle distributions in scattering experiments // J. Chem. Phys. - 1977. - V. 66, No. 6. - P. 2560-2565.

166. koslover R., McWilliams R. Measurement of multidimensional ion velocity distributions by optical tomography // Rev. Sci. Instrum. — 1986. - V. 57, No. 10. - P. 2441-2448.

167. louis A. K. Orthogonal function series expansions and the null space of the Radon transform // SIAM J. Math. Anal. - 1984. — V. 15 — P. 621-633.

168. Louis A. K. Tikhonov-Phillips Regularization of the Radon Transform // in: Constructive Methods for the Practical Treatment of Integral Equations, Hàmmerlin G.; Hoffman K. H. (eds.). — Birkhâuser. — 1985. - P. 211-223,.

169. louis A. K. Incomplete Data Problems in X-Ray Computerized Tomography I: Singular Value Decomposition of the Limited Angle Transform // Numer. Math. - 1986. - V. 48 - P. 251-262.

170. louis A. K. Inverse und schlecht gestellte Probleme. — Teubner, - Stuttgart. - 1989.

171. LOUIS A. K. Feature Reconstruction in Inverse Problems // Inverse Problems. - 2011. - V. 27 - 065010 doi: 10.1088/0266-5611/27/6/065010.

172. Louis A.K., Maass P. Contour Reconstruction in 3-D X-Ray CT // IEEE Trans. Med. Imag. - 1993. - V. 12, No. 4. - P. 764-769.

173. Louis A. K., Schuster T. A novel filter design technique in 2D X-ray CT // Inverse Problems. - 1996. - V. 12. - P. 685-696.

174. maass P. The X-ray transform: Singular value decomposition and resolution // Inverse Problems. - 1987. - V. 3. - P. 727-741.

175. marcoe A. Fourier inversion of the attenuated X-ray transform // SIAM J. Math. Anal. - 1984. - V. 15. P. 718-722.

176. marcoe A., Quinto E. T. An elementary proof of local invertibility for generalized and attenuated Radon transform // SIAM J. Math. Anal. — 1985. - V. 16. - P. 1114-1119.

177. marr R. B. On the reconstruction of a function on a circular domain from a sampling of its line integrals // J. Math. Anal. Appl. — 1974. — V. 19. - P. 357-374.

178. Münk W., wunsch C. Ocean acoustic tomography: a scheme for large-scale monitoring // Deep-Sea Res. - 1979. - 26A. - P. 123-161.

179. Münk w., wunsch C. Observing the ocean in the 1990s // Phil. Trans. R. Soc. Lond. - 1982. - A307. - P. 439-464.

180. N atterer F. On the inversion of the attenuated Radon transform // Numer. Math. - 1979. - V. 32. P. 431-438.

181. NATTERER F. Inversion of the attenuated Radon transform // Inverse Problems. - 2001. - V. 17. - P. 113-119.

182. NORTON S.J. Tomographic reconstruction of 2-D vector fields: application to flow imaging // J. Geophys. - 1987. - V. 97. - P. 161-168.

183. NOVIKOV R. G. An inversion formula for the attenuated X-ray transformation // Preprint CNRS, UMR 6629. — Department of Mathematics, Universite de Nantes. — 2000.

184. NOVIKOV R. G. An inversion formula for the attenuated X-ray transformation // Ark. Math. - 2002. - V. 40. - P. 145-167.

185. NOVIKOV R., SHARAFUTDINOV V. On the problem of polarization tomography: I // Inverse Problems. - 2002. - Vol. 23, No. 3. - P. 12291257.

186. PESTOV L, UHLMANN G. On the Characterization of the Range and Inversion Formulas for the Geodesic X-Ray Transform // International Math. Research Notices. - 2004. - V. 80. - P. 4331-4347.

187. POLUEKTOV N.P., EFREMOV N.P. New tomographic approach for deconvolution of ion velocity and temperature profiles in a plasma centrifuge // Appl. Phys.(D). - 1998. - V. 31, No. 8. - P. 988-995.

188. QuiNTO E. T. The dependence of the generalized Radon transform on defining measures // Trans. Amer. Math. Soc. - 1980. - V. 257. P. 331346.

189. QuiNTO E. T. The invertability of rotation invariant Radon transform // J. Math. Anal. Appl. - 1983.'- V. 91. P. 510-522.

190. QuiNTO E. T. Singular value decomposition and inversion methods for the exterior Radon transform and a spherical transform //J. Math. Anal. Appl. - 1985. - V. 95. - P. 437-448.

191. quinto e.t. Singularities of the X-ray transform and limited data tomography in R2 and R3 // SIAM J. Math. Anal. - 1993. - V. 24. -p. 1215-1225.

192. RADON J. Über die Bestimmung von Funktionen durch ihre Integrabwerte längs gewisser Mannigfaltigkeiten // Ber. Verh. Sachs. Akad. Wiss. Leipzig Math. Nat. Kl. - 1917. - V. 69. - P. 262-277.

193. Ramachandran G.N., Lakshminarayanan A.N. Three-dimensional reconstruction from radiographs and electron micrographs: application of convolutions instead of Fourier transforms // Proc. Nat. Acad. Sei. US. - 1971. - V. 68. - P. 2236-2240.

194. RAMM A. G. New methods for finding discontinuities of functions from local tomographic data // J. Inverse and Ill-Posed Problems. — 1997. — V. 5, No. 2. - P. 165-175.

195. Ramm A.G., Katsevich A.I. The Radon transform and local tomography.— CRC Press, Boca Raton. — 1996. — 333 p.

196. tretiak O. J., metz C. L. The exponential Radon transform // SIAM J. Appl. Math. - 1980. V. 39. - P. 341-354.

197. schuster T. The 3D Doppler transform: elementary properties and computation of reconstruction kernels // Inverse Problems. — 2000. — V. 16 - P. 701-723.

198. schuster t. An efficient mollifier method for three-dimensional vector tomography: convergence analysis and implementation // Inverse Problems. - 2001. - V. 17. - P. 739-766.

199. schuster T. The Method of Approximate Inverse: Theory and Applications. — Lecture Notes in Mathematics 1906, Springer, Heidelberg. - 2007.

200. schuster T. 20 Years of Imaging in Vector Field Tomography: a Review // In: Mathematical Methods in Biomedical Imaging and Intensity-Modulated Dariation Therapy (IMRT), Y. Censor, M. Jiang, A. K. Louis (Eds.). — Series: Publications of the Scuola Normale Superiore, CRM Series. - 2008. - V. 7, Birkhauser. - P. 389-424.

201. Sharafutdinov V. A. Integral Geometry of Tensor Fields. - Utrecht: VSP, 1994. - 271 P.

202. Sharafutdinov V. A. On emission tomography of inhomogeneous media // SIAM J. Appl.Math. - 1995. - V. 55, No. 3. - p. 1-11.

203. Sharafutdinov V. A. The problem of polarization tomography: II. // Inverse Problems. - 2008. - V. 24, 035010. - 21 P.

204. Sharafutdinov V., Skokan M., Uhlmann G. Regularity of ghosts in tensor tomography // J. Geom. Analysis. — 2005. — V. 15, No. 3. P. 499-542.

205. Shepp l.a., logan B.F. The Fourier reconstruction of a head section // IEEE Trans. Nucl. Sci. - 1974. - V. NS-21. - P. - 21-43.

206. sorokin s.B. Numerical solution of elliptic problems with factorized operators // Bulletin of the Novosibirsk Computing Center. Numerical Analysis. - 1994. - V. 5. - P. 87-103.

207. Sparr G., Strahlen K., Lindstrem K., Persson H.W. Doppler tomography for vector fields // Inverse Problems. — 1995. — V. 11. — P. 1051-1061.

208. Svetov I.E., Derevtsov E.Yu., Volkov Yu.S., Schuster T. A numerical solver based on B-splines for 2D vector field tomography in a refracting medium // Mathematics and Computers in Simulation. — 2013. - V. 94. - P. 15-32.

209. Tuy H. K. An inversion formula for cone-beam reconstruction // SIAM J. Appl. Math. - 1983. - V. 43. - P. 546-552.

210. vainberg e. I., kazak I. A., faingoiz m.l. X-ray computerized back projection tomography with filtration by double differentiation. Procedure and information features // Soviet J. Nondest. Test. — 1985. — No. 21. - P. 106-113.

211. weyl H. The method of orthogonal projection in potential theory // Duke Math. J. - 1940. - No. 7. - P. 411-444.