Алгоритмы решения задач рефракционной тензорной томографии и обработки МРТ-изображений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Мальцева Светлана Васильевна

• Мальцева Светлана Васильевна
• кандидат наук
• 2015

Оглавление диссертации кандидат наук Мальцева Светлана Васильевна

Введение

Глава 1. Численное решение задач рефракционной томографии для скалярных и векторных полей

1.1. Постановка задачи

1.2. Свойства лучевых преобразований

1.2.1. Свойства лучевых преобразований векторных полей

1.2.2. Операторы обратной проекции

1.2.3. Алгоритм приближенного обращения лучевого преобразования

1.2.4. Алгоритмы приближенного обращения лучевых преобразований векторных полей

1.3. Численные эксперименты

Глава 2. Восстановление сингулярного носителя симметричного тензорного поля малого ранга

2.1. Элементы тензорной томографии. Постановка задачи

2.1.1. Операторы обратной проекции

2.1.2. Операторы индикатора сингулярностей

2.1.3. Этапы дискретизации задачи

2.2. Примеры использования дифференциальных операторов для восстановления множества точек разрыва тензорных полей

2.2.1. Поведение индикатора разрыва для скалярного поля

2.2.2. Поведение индикатора разрыва для симметричного 2-тензорного поля

2.3. Численные эксперименты

Глава 3. Восстановление параметров среды с линейной скоростью распространения сигнала вдоль выделенного направления

3.1. Постановка задачи

3.1.1. Зависимость скорости только от глубины

3.1.2. Линейная зависимость от глубины

3.2. Алгоритм решения задачи

3.2.1. Восстановление параметров среды, критерий горизонтальной однородности

3.2.2. Дискретизация задачи

3.3. Численные эксперименты

Глава 4. Восстановление разветвленной сосудистой сети по данным вы-

сокопольного МР-томографа

4.1. Основные аспекты МРТ

4.2. Математическая постановка задачи

4.3. Метод варьирования наклона сканирующей плоскости

4.3.1. Этапы алгоритма восстановления сосудистой сети, основанного на методе варьирования наклона сканирующей плоскости

4.3.2. Реализации метода варьирования наклона сканирующей плоскости

4.4. Тестирование алгоритма на реальных МРТ-данных

4.4.1. Реализация предлагаемого алгоритма на МРТ-данных головы мыши

4.4.2. Реализация предлагаемого алгоритма на МРТ-данных головы крысы

Заключение

Литература

ВВЕДЕНИЕ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Алгоритмы решения задач рефракционной тензорной томографии и обработки МРТ-изображений»

Актуальность работы.

Методы реконструктивной томографии для исследования внутренней структуры объектов различной природы широко используются в медицине и биологии, геофизике и дефектоскопии, при исследованиях жидких, газообразных и анизотропных сред. Преимуществом этих методов является их неразрушающая природа, сохраняющая целостность рассматриваемого объекта. Суть томографических методов состоит в многократных измерениях зондирующего поля, обычно приводящих к большим объемам данных, комплексной обработке собранной информации на ЭВМ с применением математических методов и наглядной визуализации результата обработки.

Задача компьютерной томографии [33] заключается в восстановлении функции, зависящей от двух переменных, по ее преобразованию Радона [И], [33], [38]. Образом функции под действием преобразования Радона является множество ее интегралов вдоль прямых. Преобразование Радона может быть определено и в пространствах большей размерности. Упомянем основные математические методы, которые успешно применяются для решения задачи компьютерной томографии. Прежде всего это формулы обращения [67], [65] и алгебраические методы, которые легли в основу численных методов и алгоритмов решения задачи. Проекционная теорема [65], связывающая преобразования Радона и Фурье, является теоретической основой Фурье-алгоритмов. Упомянем также метод наименьших квадратов (МНК), который был адаптирован для решения рассматриваемой задачи [55], [22]. Еще одним методом, зарекомендовавшим себя при решении вычислительных задач, является сингулярное разложение [33], [52], [53], [59].

В задачах физики атмосферы и океана, исследованиях неоднородных и анизотропных сред и многих других, состояние исследуемого объекта не может быть полностью описано лишь скалярными характеристиками. Так,

скорости распространения волн в средах, деформации и напряжения математически описываются векторными и тензорными полями. Увеличение ранга тензора (то есть переход от скалярных полей к векторным и тензорным) естественным образом приводит к новым данным томографического типа и новым математическим постановкам задач. Таким образом происходит переход от компьютерной (скалярной) томографии к томографии векторных и тензорных полей.

Теоретические результаты, полученные в рамках интегральной геометрии (см., например, [11], [71], [24]), могут быть использованы для решения задач скалярной, векторной и тензорной томографии. Формулы обращения [71] продольного лучевого преобразования симметричного ш-тензорного поля были модифицированы для обращения поперечных и смешанных лучевых преобразований векторных и 2-тензорных полей [20], [39]. МНК был успешно применен и для решения задач восстановления векторных и 2-тензорных полей по их лучевым преобразованиям [13], [14], [40]. В работах [54], [21], [58], [35] приведены сингулярные разложения операторов лучевых преобразований векторных и тензорных полей.

Еще одним обобщением задачи компьютерной томографии является задача восстановления тензорного поля по его интегралам вдоль кривых. Явлением рефракции, возникающим в любой неоднородной среде, в модели компьютерной томографии обоснованно пренебрегают, — отклонение луча от прямой является незначительным. Тем не менее, существуют постановки задач, в которых рефракция является существенным элементом модели. Такие более сложные постановки приводят к более сложному математическому аппарату для построения модели и сужают количество методов, которые можно применять для решения задачи. Отклонение луча от прямой линии описывается римановой метрикой, вообще говоря, неизвестной.

Включение в модель рефракции приводит к неприменимости ряда методов, которые дают хорошие результаты в случае модели среды с прямо-

линейным характером лучей. Так, неприменимыми оказываются методы восстановления, основанные на формулах обращения, проекционных теоремах и др. методы, существенным элементом которых является предположение о распространении сигнала вдоль прямой. Отметим однако, что для некоторых специальных случаев формулы обращения существуют, в качестве примеров см. [63], [66]. Возникает необходимость в разработке специальных алгоритмов, учитывающих рефракцию. Отметим, что МНК (с использованием полиномов или B-сплайнов в качестве аппроксимирующей последовательности) показал хорошие результаты и в случае модели среды с рефракцией [55], [22], [41].

Развитые в томографии численные методы и алгоритмические средства направлены на восстановление функций класса гладкости по крайней мере C1 и показывают существенно худшие результаты, если функция разрывна. Ввиду этого возникла необходимость в разработке специальных алгоритмических средств для восстановления разрывных функций. Впервые конструктивный подход к решению задачи визуализации множества точек разрыва функции по преобразованию Радона был предложен в работе [73]. Построенный алгоритм Вайнберга состоит из двух основных этапов: 1) к исходным данным, являющимся преобразованием Радона [Rp](s,^), применяется двойное дифференцирование по переменной s; 2) к результату первого шага применяется оператор обратной проекции R#. В результате применения оператора обратной проекции получаем функцию, показывающую множество точек разрыва функции p, при этом поведение гладкой составляющей искажается.

Позднее Д. С. Аниконовым [1] был предложен альтернативный способ визуализации множества точек разрыва функции p по ее преобразованию Радона [Rp](s,£). Он также включает в себя операции дифференцирования и взятия обратной проекции, и состоит из двух этапов, но принципиально отличается от подхода Вайнберга. А именно, на первом шаге к Rp

применяется оператор обратной проекции, на втором шаге применяется оператор однократного дифференцирования, например |У • Такая последовательность действий, включающая однократное дифференцирование (в отличие от подхода Вайнберга), позволяет визуализировать множество точек разрыва функции.

Один из подходов, предлагаемых для решения задачи восстановления разрывной функции по ее преобразованию Радона, состоит из следующих этапов [12]: 1) визуализация множества точек разрыва исследуемой функции; 2) дискретное описание найденного множества; 3) определение величины скачка, характеризующего разрыв; 4) по найденной величине скачка восстановление вспомогательной более гладкой функции; 5) по известным величине скачка и восстановленной гладкой функции строится искомая разрывная функция. Чаще всего под решением задачи восстановления множества точек разрыва функции понимается первый этап описанного алгоритма, т. е. визуализация множества точек разрыва.

В дальнейшем задача восстановления множества точек разрыва функции была обобщена в следующих трех направлениях. Была поставлена и успешно решена задача восстановления множества точек разрыва компонент векторных и симметричных 2-тензорных полей по их интегралам вдоль прямых. Помимо этого рассматривалась задача восстановления не только множества точек разрыва скалярных, векторных и симметричных 2-тензорных полей, но и множества точек разрыва производных, конечного порядка, их компонент. При этом для искомого объекта, — множества точек, в которых нарушается условие бесконечно гладкости компонент поля, — был введен термин "сингулярный носитель поля". В работах [12], [20] предложены подходы к восстановлению сингулярного носителя скалярных, векторных и симметричных 2-тензорных полей, приведены результаты численных экспериментов, демонстрирующих работоспособность построенных алгоритмов. При восстановлении сингулярного носителя поля могут быть

применены комбинации операторов обратной проекции и дифференциальных операторов. Обобщением упомянутой задачи восстановления сингулярного носителя является задача восстановления сингулярного носителя симметричного тензорного поля по его интегралам вдоль геодезических римановой метрики.

Методы исследования внутреннего строения Земли можно разделить на две группы: прямые и основанные на решении обратных задач. К прямым методам относим бурение, позволяющее извлекать керн для дальнейшего непосредственного исследования породы. Недостатками прямых методов является их реализуемость лишь в узком приповерхностном слое Земли и высокая стоимость их проведения. Это приводит к необходимости развития методов, основанных на решении обратных задач и использующих данные, полученные зондированием исследуемого объекта физическими полями. К таким данным относятся результаты сейсмо-, грави-, электро-, магниторазведки и т. д., содержащие информацию о свойствах среды.

Одной из первых обратных задач для дифференциальных уравнений является обратная кинематическая задача сейсмики (ОКЗС) [24], [36], ее постановка заключается в следующем. В ограниченной области пространства происходит волновой процесс, порожденный источником, находящимся на границе области. Данными для ОКЗС являются времена пробега сигнала по кривым, соединяющим источник и всевозможные точки границы. Требуется найти скорость передачи сигналов внутри среды. Исследование вопросов корректности ОКЗС можно найти, например, в работах [2], [7], [37]. С практической точки зрения интерес представляют конструктивные методы исследования и решения задачи.

В 1905-1910 годах Г. Герглотц и Е. Вихерт [57], [75] рассмотрели первую обратную кинематическую задачу для сферически симметричной модели Земли в предположении, что скорость распространения возмущений монотонно возрастает с глубиной. Были получены явные формулы для отыс-

кания скорости распространения сигнала. Это позволило, основываясь на данных сейсмических наблюдений за землетрясениями, сделать первые выводы о глубинном строении Земли. Кроме того, возможна постановка обратной кинематической задачи при наличии внутренних источников возмущений [3], [4]. Одним из подходов к решению ОКЗС является предположение о том, что среда является горизонтально-слоистой, и о каждом слое есть априорная информация о скорости распространения сигнала. Примеры конструктивных методов решения задачи в предположении принадлежности искомой скорости определенному классу функций можно найти в [8], [36], [69].

Важным примером неразрушаюгцего исследования (векторных) характеристик объектов является магнитно-резонансная томография (МРТ) [44], [45], [50], успешно применяющаяся при медицинской диагностике. Исследуемый объект помещается во внешнее магнитное поле и подвергается воздействию определенной комбинации электромагнитных волн. Томограмма представляет собой ЯМР-сигнал атомов водорода. Отметим, что математическая модель МРТ существенно отличается от модели, принятой в компьютерной томографии; регистрируемая информация не является интегральной характеристикой объекта вдоль лучей. Подготовительным этапом медицинских научных исследований, имеющих своей целью выявление и устранение патологических изменений человека, является решение аналогичной задачи на животных. Примерами лабораторных исследований на мышах и крысах являются, например, работы [32], [23]. Для изучения патологий церебральной (мозговой) сосудистой сети и определения оптимального метода их устранения необходимо выявление особенностей геометрической конфигурации сосудов [48] и моделирование гемодинамики (течения крови) [74], [77].

Данными МРТ-исследования является упорядоченный набор изображений в оттенках серого. Поэтому задачу построения сосудистой сети можно

рассматривать как задачу обработки изображений. При этом из всего набора изображений необходимо выделять только те его части (сегменты), которые соответствуют сосудам. Таким образом, основным этапом построения пространственной модели сети сосудов по МРТ является сегментация. Задача сегментации состоит в выделении интересующих подобластей по набору изображений. Если рассматривать эту задачу применительно к визуализации медицинских и биологических объектов, то она состоит в выделении подобластей, принадлежащих одной и той же анатомической области. Например, головной мозг, печень, скелет, кровеносная система, бронхи и т. д. На сегодняшний день имеется ряд методов, решающих задачу сегментации, таких как метод обнаружения границ [68], [72], метод змеек [76], метод геометрически активного контура [51], [70] и т. д., см. обзор [64].

Цель диссертационной работы состоит в разработке и исследовании новых алгоритмов для 1) решения задач восстановления тензорных полей малого ранга и их сингулярностей по интегралам вдоль геодезических заданной римановой метрики, 2) восстановления параметров слоистых сред в рамках постановки обратной кинематической задачи сейсмики, 3) обработки данных магнитно-резонансных томографов с целью построения геометрической конфигурации кровеносных сосудов. А также разработка и тестирование научно-исследовательского программного обеспечения для реализации всех разработанных алгоритмов.

Задачи исследования.

В соответствии с поставленными целями в диссертации рассмотрены следующие задачи:

1. Разработка численных методов и алгоритмов восстановления скалярных и векторных полей по их интегралам вдоль геодезических заданной римановой метрики. Подробное исследование построенных алгоритмов.

2. Разработка численных методов и алгоритмов восстановления сингу-

и

лярных носителей тензорных полей малого ранга (скалярных, векторных, симметричных 2-тензорных) по их интегралам вдоль геодезических заданной римановой метрики.

3. Восстановление параметров слоистых сред по временам пробега сигнала в рамках постановки обратной кинематической задачи сейсмики.

4. Разработка, реализация и тестирование алгоритма обработки данных магнитно-резонансного томографа с целью построения геометрической конфигурации кровеносных сосудов.

5. Разработка научно-исследовательского программного комплекса для реализации построенных алгоритмов.

Методы исследования.

Основные результаты получены с использованием аппарата тензорного анализа на римановом многообразии, методов вычислительной математики, математического моделирования, решения экстремальных задач, обработки изображений, вычислительного эксперимента. Для программной реализации построенных алгоритмов использованы методы прикладного программирования.

Научная новизна.

1. Разработан и построен новый алгоритм восстановления скалярных и векторных полей по их лучевым преобразованиям, вычисленным вдоль геодезических заданной римановой метрики.

2. Разработан и построен новый алгоритм восстановления сингулярного носителя тензорных полей по их лучевым преобразованиям, вычисленным вдоль геодезических заданной римановой метрики.

3. В рамках обратной кинематической задачи сейсмики предложен новый способ восстановления параметров слоистой среды на основе критерия горизонтальной однородности.

4. Предложен численный метод, на основе которого реализован эффективный алгоритм обработки данных магнитно-резонансного томографа,

позволяющий получать геометрические конфигурации кровеносных сосудов малых лабораторных животных, пригодные для дальнейших биологических и медицинских исследований.

Основные положения, выносимые на защиту.

1. Предложен, программно реализован и исследован на тестовом материале новый метод приближенного обращения операторов лучевых преобразований, действующих на скалярные и векторные поля. В математическую модель среды включено явление рефракции.

2. Построен, программно реализован и исследован на тестовом материале новый алгоритм восстановления сингулярного носителя симметричного тензорного поля ранга 0, 1, 2 по данным томографического типа. В математическую модель среды включено явление рефракции.

3. Предложен новый подход определения качественных характеристик сред в рамках обратной кинематической задачи сейсмики. На основе локального критерия горизонтальной однородности среды предложен его интегральный аналог.

4. Построен эффективный метод обработки данных магнитно-резонансного томографа, позволяющий строить однофрагментные пространственные конфигурации церебральных сосудистых сетей малых лабораторных животных.

Практическая ценность работы.

Построенные новые алгоритмы восстановления тензорных полей и их сингулярностей могут быть использованы для обработки экспериментальных данных при исследовании задач теории упругости, океанических течений, дефектоскопии, изучения слоистных сред. Алгоритм обработки данных МР-томографа может быть использован для изучения церебральной гемодинамики малых лабораторных животных.

Достоверность результатов.

Правомерность основных подходов подтверждена корректностью поста-

новок задач и использованием общепринятых фундаментальных результатов. Достоверность результатов подтверждена методами математического моделирования, численными экспериментами на тестовых полях, экспериментами на реальных данных с последующим сравнением полученных результатов с результатами других методов.

Апробация работы.

Результаты, представленные в диссертации докладывались и обсуждались на конференциях: XLVIII и 50-я юбилейная международных научных студенческих конференциях "Студент и научно-технический прогресс" (Новосибирск, 2010, 2012), Российской конференции, посвященной 80-летию со дня рождения Ю.С. Завьялова (Новосибирск, 2011), Третьей, четвертой, пятой международных молодежных школ ах-конференциях "Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач" (Новосибирск, 2011, 2012, 2013), Международной научной конференции "Методы создания, исследования и идентификации математических моделей", посвященная 85-летию со дня рождения академика Анатолия Семеновича Алексеева (Новосибирск, 2013), Международной конференции "Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений", посвященная 105-летию со дня рождения С. Л. Соболева (Новосибирск, 2013), 11th International Conference of Numerical Analysis and Applied Mathematics (Rhodes, Greece, 2013), Международной конференции "Mathematical Modeling and High Performance Computing in Bioinformatics, Biomedicine and Biotechnology" (Новосибирск, 2014), 6th International Young Scientists School "Systems Biology and Bioinformatics" (Новосибирск, 2014).

Публикации.

По теме диссертационной работы автором опубликовано 17 работ, из них 5 входят в перечень ВАК.

Личный вклад автора.

Основные результаты диссертационной работы получены автором лич-

но. В большинстве совместных статей диссертанту принадлежит ведущая роль в получении результатов исследований. Из остальных опубликованных в соавторстве работ в диссертацию вошли только те результаты, в получении которых автор принимал непосредственное творческое участие.

Структура и объем работы.

Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы из 79 наименований. Содержание основного текста работы изложено на 139 страницах, содержит 43 иллюстрации, 5 таблиц.

Первая глава посвящена разработке, исследованию и численной реализации алгоритмов восстановления двумерных скалярных и векторных полей по известным лучевым преобразованиям. При этом предполагается, что в среде присутствует рефракция. Предлагаемые алгоритмы являются модификациями алгоритмов, построенных на основе формул обращения.

В пункте 1.1 введены обозначения и сформулированы постановки задач восстановления скалярных и векторных полей по лучевым преобразованиям.

В пункте 1.2 приведены свойства операторов лучевых преобразований, дано определение оператора обратной проекции. Приведены предлагаемые алгоритмы восстановления скалярных и векторных полей, кратко изложены основные этапы программной реализации.

Пункт 1.3 содержит серию численных экспериментов, направленных на определение пределов применимости построенного алгоритма и определение оптимальных параметров программной реализации. На основании проведенных тестов сделаны выводы, сформулированные в конце параграфа.

Во второй главе рассматривается задача восстановления сингулярного носителя симметричного тензорного поля малого ранга по его лучевому преобразованию в области с римановой метрикой.

В пункте 2.1 приведены свойства симметричных 2-тензорных полей, да-

ны определения продольного, смешанного и поперечного лучевых преобразований. Сформулирована постановка задачи. Приведены примеры операторов (индикатора разрыва), применение которых к образу лучевого преобразования приводит к визуализации сингулярного носителя. Описан алгоритм восстановления сингулярного носителя и основные этапы его программной реализации.

В пункте 2.2 приведены примеры реализации предлагаемого алгоритма для разрывных скалярного и симметричного 2-тензорного полей. Показано действие операторов, реализующих индикатор разрыва.

В пункте 2.3 приведены описания и результаты численных экспериментов по восстановлению разрывов и разрывов производных скалярных, векторных и симметричных 2-тензорных полей. В конце главы содержатся выводы о рассматриваемой задаче и предложенном методе ее решения.

В третье главе предложен новый подход к восстановлению параметров неоднородных слоистых сред по временам пробега сигнала. Обратная кинематическая задача сейсмики рассматривается в трехмерном полупространстве.

В пункте 3.1 приведена постановка задачи, введена используемая терминология. Описан способ моделирования времени пробега сигнала между двумя точками дневной поверхности трехмерной горизонтально неоднородной среды.

В пункте 3.2 перечислены этапы предлагаемого алгоритма восстановления параметров среды. Описаны основные этапы дискретизации построенного алгоритма. Сформулирован локальный критерий горизонтальной однородности среды и построен его интегральный аналог.

В пункте 3.3 приведены численные эксперименты, показывающие работоспособность построенного алгоритма.

Четвертая глава посвящена решению прикладной задачи обработки данных магнитно-резонансного томографа и отличается от предыдущих

трех глав терминологией и стилем изложения. Рассматривается задача построения разветвленной сети кровеносных сосудов по набору томограмм, полученных с помощью магнитно-резонансного томографа.

В пункте 4.1 описаны основные принципы ядерного магнитного резонанса, устройства магнитно-резонансного томографа, формирования томограммы. Приведена схема проведения МРТ-исследования.

В пункте 4.2 сформулирована математическая постановка задачи восстановления сети кровеносных сосудов по томограмме. Указаны причины возникновения фрагментации (прерывания) сосудов при восстановлении сети сосудов по так называемого стандартному сканированию.

В пункте 4.3 сформулирован метод варьирования наклона сканирующей плоскости, позволяющий в значительной степени решить проблему фрагментации сосудов. Перечислены этапы построенного алгоритма восстановления сети сосудов, кратко приведены способы их реализации.

В пункте 4.4 приведены результаты применения построенного алгоритма для восстановления сосудистых сетей головы мыши и крысы. Проведено сравнение построенных сетей с сетями, полученными по данным стандартного сканирования. В конце главы приведены выводы и указаны перспективы применения предложенного метода для задач биологии.

Автор выражает благодарность научному руководителю, доктору физико-математических наук Деревцову Евгению Юрьевичу, за постановки и обсуждения задач, внимание к работе и помощь в преодолении возникающих трудностей.

Автор выражает благодарность за обсуждение задач и совместную работу Ивану Евгеньевичу Светову и Анне Петровне Поляковой.

За совместную работу над нестандартными прикладными задачами автор благодарит Александра Павловича Чупахина, Александра Александровича Черевко, Александра Канчеровича Хе.

Глава 1

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ РЕФРАКЦИОННОЙ ТОМОГРАФИИ ДЛЯ СКАЛЯРНЫХ И ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ

Под задачей рефракционной томографии для скалярного поля понимаем следующую постановку [55]. Пусть ограниченная область плоскости заполнена рефрагируюгцей средой, в которой задана неотрицательная функция, связанная с плотностью среды. Требуется найти эту функцию по значению сигнала, прошедшего через область. Рефракция в среде моделируется римановой метрикой. Лучи, вдоль которых распространяется сигнал, описываются геодезическими этой метрики. Величина сигнала, прошедшего через область, моделируется лучевым преобразованием вдоль геодезических.

В наиболее общей постановке задачи рефракционной томографии неизвестными в задаче являются как риманова метрика, так и искомая функция. Это связано с тем, что наличие неоднородностей создает искривление лучей, возникает рефракция. В данной главе рассматривается наиболее распространенная постановка задачи рефракционной томографии, в которой риманова метрика считается известной и требуется найти функцию, связанную с плотностью.

Под задачей рефракционной томографии для векторного поля понимаем следующую постановку [49]. Пусть ограниченная область плоскости заполнена рефрагируюгцей средой, в которой задано векторное поле. Задача состоит в восстановлении векторного поля и или его части по продольному и или поперечному лучевым преобразованиям, вычисленным вдоль геодезических римановой метрики. Как в задаче рефракционной томографии для скалярного поля, рефракция моделируется римановой метрикой. Рассматриваем наиболее распространенную постановку, в которой метрика известна.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Мальцева Светлана Васильевна, 2015 год

Литература

1. Аниконов Д. С. Использование особенностей решения уравнения переноса в рентгеновской томографии // Доклады РАН. — 1994. — Т. 335, № 6. - С. 702-704.

2. Аниконов Ю. Е. Теорема единственности для многомерной обратной кинематической задачи сейсмики. — В кн.: Математические проблемы геофизики. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР. — 1975. — Вып.5, 4.2. - С. 18-29.

3. Аниконов Ю.Е., Богданов В. В., Деревцов Е.Ю., Мирошниченко В. Л. Некоторые подходы к решению обратной кинематической задачи сейсмики с внутренними источниками // Новосибирск. — 2004. — 34 с. (Препринт / Ин-т математики им. С. Л. Соболева СО РАН; е 145).

4. Аниконов Ю.Е., Богданов В. В., Деревцов Е.Ю., Мирошниченко В.Л., Сапожникова H.A. Численное решение обратной кинематической задаче сейсмики с внутренними источниками // Сиб журн. ин-дустр. матем. - 2006. - Т. 9, № 4. - С. 3-26.

5. Аниконов Ю.Е., Волков Ю.С., Горшкалев С. Б., Деревцов Е. Ю., Мальцева C.B. О задаче определения класса скоростей с заданной структурой линий уровня по кинематическим данным // Методы сплайн-функций. Российская конференция, посвящцнная 80-летию со дня рождения Ю. С. Завьялова. — 2011. — С. 11.

6. Аниконов Ю.Е., Волков Ю.С., Горшкалев С. Б., Деревцов Е. Ю., Мальцева C.B. О критерии горизонтальной однородности среды в обратной кинематической задаче сейсмики // Вестник НГУ. Серия: математика, механика, информатика. — 2011. — Т. 11, № 3. — С. 3-19.

7. Бернштейн И. H., Гервер M. А. Условия разрешимости метрик по годографам // Методы и алгоритмы интерпретации сейсмологических данных. — М.: Наука. — 1980. — С. 50-73.

8. Бухгейм А. Л., Зеркаль С. М., Пикалов В. В., 1983, Об одном алгоритме решения трехмерной обратной кинематической задачи сейсмики, Методы решения обратных задач. Новосибирск: Наука. — 1983. — С. 38-47.

9. Васильев Ф. П. Методы решения экстремальных задач. M.: Наука. — 1981. - 400 с.

10. Градштейн И. С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений.^ M.: Наука, ГФМЛ. — 1971. — 1108 с.

11. Гельфанд И.М., Гиндикин С. Г., Граев М.И. Избранные задачи интегральной геометрии. M.: Добросвет, КДУ. — 2012. — 236 с.

12. Деревцов Е. Ю. Некоторые подходы к задаче визуализации сингулярного носителя скалярных, векторных и тензорных полей по томографическим данным // Сиб. Электронные Матем. Известия. — 2008. — Т. 5. - С. 632-646.

13. Деревцов Е. Ю., Кашина И. Г. Приближенное решение задачи векторной томографии с помощью полиномиальных базисов. — Новосибирск, 2000. — 28 с. — (Препринт № 74 / РАН. Сиб. отд-ние. Ий-г математики им. С. Л. Соболева).

14. Деревцов Е.Ю., Кашина И. Г. Приближенное решение задачи реконструкции тензорного поля второй валентности с помощью полиномиальных базисов // Сиб. Ж. индустриальной математики. — 2002. — T. V, № 1(9). - С. 39-62.

15. Деревцов, Е. Ю., Мальцева C.B. Восстановление сингулярного носителя тензорного поля, заданного в рефрагируюгцей среде, по его лучевому преобразованию // СибЖИМ. — 2014. — Т. 18, (-; 3. С. 11-25.

16. Деревцов, Е.Ю., Мальцева C.B. Приближенное восстановление векторного поля и его сингулярностей в рефракционной томографии // Сборник тезисов Международной научной конференции "Методы создания, исследования и идентификации математических моделей", посвященной 85-летию со дня рождения академика Анатолия Семеновича Алексеева. — 2013. — С. 33.

17. Деревцов, Е.Ю., Мальцева C.B. Приближенное обращение операторов лучевых преобразований в рефракционной томографии // Сборник тезисов Международной конференции "Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений", посвященной 105-летию со дня рождения С. Л. Соболева. — 2013. — С. 378.

18. Деревцов, Е. Ю., Мальцева С. В., Светов И. Е. Приближенное восстановление функции, заданной в области с малой рефракцией, по ее лучевым интегралам // СибЖИМ. — 2014. — Т. 17, с 4. С. 48-59.

19. Деревцов, Е.Ю., Мальцева C.B., Светов И.Е. Приближенное обращение оператора лучевого преобразования в рефракционной томографии // СЭМ И. - 2014. - Т. И. - С. 833-856.

20. Деревцов Е. Ю., Пикалов В. В. Восстановление векторного поля и его сингулярностей по лучевым преобразованиям // Сиб. Журн. вычислительной математики. — 2011. — Т. 14, № 1. — С. 25-42.

21. Деревцов Е.Ю., Полякова А. П. Решение задачи интегральной геометрии 2-тензорных полей методом сингулярного разложения // Вестник НГУ. - 2012. - Т. 12, № 3. - С. 73-94.

22. Деревцов Е.Ю., Светов И.Е., Волков Ю.С. Использование B-сплайнов в задаче эмиссионной 2^-томографии в рефрагирующей среде // Сиб. Ж. индустриальной математики. — 2008. — T. XI, № 3(35). - С. 45-60.

23. Колосова H. Г., Акулов А. Е., Стефанова H.A., Мошкин М. П., Саве-лов A.A., Коптюг И. В., Панов A.B., Вавнлнн В. А. Влияние малаги на развитие индуцированных ротеноном изменений мозга у крыс Вистар и OXYS: МРТ исследование // Доклады Академии наук. — 2011. _ Т. 437, №2. - С. 1-4.

24. Лаврентьев M. М., Романов В. Г., Шишатский С. П. Некорректные задачи математической физики и анализа. Москва: Наука. — 1980. — 288 с.

25. Ланс Дж. Численные методы для быстродействующих машин. Москва: Изд-во иностр. лит. — 1962. — 208 с.

26. Мальцева, C.B. Восстановление параметров среды с линейной вдоль выделенных направлений скоростью по кинематическим данным // IV Международная молодежная школа-конференция "Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач". — 2012. — С. 76.

27. Мальцева, C.B. Восстановление параметров среды с линейной по глубине скоростью по кинематическим данным площадной системы наблюдений // Материалы 50-й юбилейной международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс". - 2012. - С. 270.

28. Мальцева C.B. Определение локальной горизонтальности среды по кинематическим данным // Материалы XLVIII Международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс". — 2010. — С. 100.

29. Мальцева, C.B. Численное исследование критерия горизонтальной однородности среды по кинематическим данным // Методы сплайн-функций. Российская конференция, посвящцнная 80-летию со дня рождения Ю. С. Завьялова. — 2011. — С. 65.

30. Мальцева, C.B. Численное исследование критерия горизонтальной однородности среды по кинематическим данным // Сборник тезисов третьей международной молодежной школы-конференции "Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач". — 2011. - С. 38.

31. Мальцева, C.B. Численный метод визуализации сингулярного носителя скалярного поля в рефракционной томографии // Сборник тезисов Пятой международной молодежной школы-конференции "Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач", посвященной 85-летию со дня рождения академика Анатолия Семеновича Алексеева. — 2013. — С. 60.

32. Мошкин М.П., Акулов А. Е., Петровский Д. В., Сайк О. В., Петровский Е. Д., Савелов А. А., Коптюг И. В. МагнитноЦрезонансная спектроскопия метаболических изменений в мозге мышей при введении 2-дезокси-Б-глюкозы и липополисахарида // Российский физиологический журнал. — 2012. — №10. — С. 1264-1272.

33. Наттерер Ф. Математические аспекты компьютерной томографии.^ Москва: Мир. - 1990. - 279 с.

34. Ноздрачев А. Д. Анатомия крысы. СПб.: Лань. — 2001. — 464 с.

35. Полякова А. П. Восстановление векторного поля в шаре по его нормальному преобразованию Радона// Вестник НГУ. Серия: матемма-тика, механика, информатика. — 2013. — Т. 13, е4. — С. 119-142.

36. Романов В.Г. Обратные задачи для дифференциальных уравне-iiiiii. — Новосибирск: Новосибирский государственный университет. — 1973. - 252 с.

37. Романов В.Г. Обратные задачи математической физики. — M.: Наука. - 1984. - 264 с.

38. Сейсмическая томография / Под ред. Г. Нолета. — M.: Мир. — 1990. — 416 с.

39. Светов И. Е. Свойства лучевых преобразований двумерных 2-тензорных полей, заданных в единичном круге // Сиб. журн. ин-дустр. матем. - 2013. - Т. 16, №4. - С. 121-130.

40. Светов И. Е., Полякова А. П. Восстановление 2-тензорных полей, заданных в единичном круге, по их лучевым преобразованям на основе МНК с использованием B-сплайнов // Сиб. журн. вычисл. матем. — 2010. Т. 13, № 2. - С. 183-199.

41. Светов И. Е., Полякова А. П. Сравнение двух алгоритмов численного решения задачи двумерной векторной томографии // Сиб. электрон, матем. изв. - 2013. - Т. 10. - С. 90-108.

42. Статистические методы для ЭВМ / Под ред. К. Энслейна, Э. Рэлсто-на, Г. С. Уилфн. Москва: Науки. 1986. 460 с.

43. Трев Ф. Введение в теорию псевдодифференциальных операторов и интегральных операторов Фурье, Т. 1.— Москва: Мир. 1984. 400 с.

44. Фримэн. Р. Магнтииный резонанс в химии и медицине. М.: URSS. — 2009. - 331 с.

45. Хорнак Дж. Основы МРТ. http://www.cis.rit.edu/htbooks/mri/inside-r.htm

46. Яно К., Бохнер С. Кривизна и числа Бетти. Москва: Изд-во иностр. лит_ _ 1957. — 153 с.

47. Angenent S., Pichón Е., Tennenbaum A. Mathematical methods in medical image processing // Bulletin AMS. — 2006. — V. 43, No. 3. — P. 365-396.

48. Beckmann N., High resolution magnetic resonance angiography non-invasively reveals mouse strain differences in the cerebrovascular anatomy in vivo // Magn. Reson. Med. - 2000. - V. 44, No. 2. - P. 252-158.

49. Bezuglova M.A., Derevtsov E.Yu., Sorokin S. B. The reconstruction of a vector field by finite difference methods // J. Inverse Ill-posed Problems. - 2002. - V. 10, No. 2. - P. 125-154.

50. Bkink E. Basic MRI Physics, http://www.mri-physics.net/

51. Casselles V., Catte F., Coll T., Dibos F. A geometric model for active contours in image processing // Numerische Mathematic. — 1993. — V 66 _ p 1-31.

52. Cormack A. M. Representations of a function by its line integrals with some radiological applications II // J. Appl. Physics. — 1964. — V. 35. — P. 2908-2913.

53. Davison M. E. A singular value decomposition for the Radon transform in n-dimensional Euclidean space // Numer. Funct. Anal, and Optimiz. — 1981. - V. 3. - P. 321-340.

54. Derevtsov E.Yu., Efimov A.V., Louis A. K., Schuster T. Singular value decomposition and its application to numerical inversion for ray transforms in 2D vector tomography //J. Inverse 111-Posed Problems. —

2011. _ V. 19, No. 4. - P. 611-637.

55. Derevtsov E.Yu., Kleshchev A. G., Sharafutdinov V.A. Numerical solution of the emission 2D-tomography problem for a medium with absorption and refraction //J. Inverse and Ill-Posed Problems. — 1999. — V. 7, No. 1. - P. 83-103.

56. Grist T.M., Mistretta C.A., Strother C.M., Turski P.A., Time-resolved angiography: Past, present, and future //J. Magn. Reson. Imaging. —

2012. — V. 36, No. 6. - P. 1273-86.

57. Herglotz, G. Uber das Benndorfsche Problem der Fortpflanzungsgeschwindigkeit der Erdbebenstrahlen / / Zeitschr. für Geophys. - 1907. - Vol. 8. P. 145-147.

58. Kazantsev S.G., Bukhgeim A.A. Singular Value Decomposition for the 2D Fan-Beam Radon Transform of Tensor Fields // J. Inv. Ill-Posed Problems. - 2004. - Vol. 12, №. 4. - P. 1-35.

59. Maass P. The X-Ray Transform: Singular Value Decomposition and Resolution // Inverse Problems. - 1987. - Vol. 3. - P. 727-741.

60. Maltseva, S.V., Akulov E. E., Derevtsov E.Yu., Cherevko A. A., Chupakhin A. P., Khe A. K. Reconstruction of the mouse brain vascular net according to the data of high-field MRI-scanner // Abstracts of the Conference "Mathematical Modeling and High Performance Computing in Bioinformatics, Biomedicine and Biotechnology". — 2014. — P. 50.

61. Maltseva, S.V., Akulov E. E., Derevtsov E.Yu., Cherevko A. A., Chupakhin A. P., Khe A. K. Reconstruction of the mouse brain vascular net according to the data of high-field MRI-scanner // Abstracts of the 6th International Young Scientists School "Systems Biology and Bioinformatics". - 2014. - P. 18.

62. Miraux S., Franconi J.-M., Thiaudie're E. Blood Velocity Assessment Using 3D Bright-Blood Time Resolved Magnetic Resonance Angiography // Magnetic Resonance in Medicine. - 2006. - V. 56. - P. 469-1,1473.

63. Monard F. On reconstruction formulas for the ray transform acting on symmetric differentials on surfaces // Inverse Problems. — 2014. — V. 30, No. 6. arXiv:1311.6167v2 [math.AP],

64. Morel J.-M., Solimini S. Variational methods in image segmentation. Birkhauser, Boston, 1995.

65. Natterer F. Inversion of the attenuated Radon transform // Inverse Problems. - 2001. - №17. - P. 113-119.

66. Pestov L., Uhlmann G. On the Characterization of the Range and Inversion Formulas for the Geodesic X-Ray Transform. // International Math. Research Notices. - 2004. - V. 80. - P. 43311,14347.

67. Radon J. Uber die Bestimmung von Funktionen durch ihre Integrabwerte langs gewisser Mannigfaltigkeiten // Ber. Verh. Sachs. Akad. Wiss. Leipzig Math. Nat. Kl. - 1917. - V. 69. - P. 262-277.

68. Roberts L. Optical and electro-optical information processing // ch. Machine perception of 3-D solids, MIT Press. — 1965.

69. Sayfy A.M., Azzawi K.A., Makky S.M. Seismic inverse problems: determining seismic wave speeds using arrival times // International Journal of Computer Mathematics. - 2006. - V. 83, No. 11. - P. 797808.

70. Sethian J., Malladi R., Vemuri B. Shape modeling with front propagation: a level set approach // IEEE Trans. Pattern Anal. Machine Intell. — 1995. _ y. 17. - P. 158-175.

71. Sharafutdinov V. A. Integral Geometry of Tensor Fields. — Utrecht: VSP, 1994. - 271 P.

72. Sobel I.E. Camera models and machine perception // Ph.D. thesis, Stanford Univ., 1970.

73. Vainberg E. I., Kazak I.A., Faingoiz M.L. X-ray computerized back projection tomography with filtration by double differentiation. Procedure and information features // Soviet J. Nondest. Test. — 1985. — No. 21. - P. 106-113.

74. Vorobtsova N.A., Yanchenko A.A., Cherevko A.A., Chupakhin A. P., Krivoshapkin A. L., Orlov K. Yu., Panarin V. A., Baranov V. I. Modelling of cerebral aneurysm parameters under stent installation // RJNAMM. — 2013. - V. 28, No. 5. - P. 505-516.

75. Wiechert, E. Bestimmung des Weges der Erdbebenwellen im Erdinnern. I. Theoretisches // Phys. Z. - 1910. - Vol 11. - P. 294-304.

76. Witkin A., Kass M., Terzopoulos D. Snakes: active contour models // Int. Journal of Computer Vision. - 1987. - V. 1. - P. 321-331.

77. Yanchenko A.A., Cherevko A.A., Chupakhin A. P., Krivoshapkin A. L., Orlov K.Yu. Nonstationary hemodynamics modelling in a cerebral aneurysm of a blood vessel // RJNAMM. - 2014. - V. 29, No. 5. -P. 307-317.

78. Yushkevich P. A., Piven J., Hazlett H.C., Smith R. G., Ho S., Gee J.C., Gerig G. User-guided 3D active contour segmentation of anatomical structures: Significantly improved efficiency and reliability // Neuroimage. - 2006. - V. 31, No. 3. - P. 1116-1128.

79. http://medical.nema.org/