Автоморфизмы нильтреугольных подколец алгебр Шевалле классических типов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат наук Литаврин, Андрей Викторович

• Литаврин, Андрей Викторович
• кандидат наук
• 2017

Оглавление диссертации кандидат наук Литаврин, Андрей Викторович

Оглавление

Введение

Глава 1. Автоморфизмы нильтреугольных подколец алгебр Шевалле симплектического типа

1.1 Алгебры Шевалле и ассоциированные с ними алгебраические системы. Постановка основных задач

1.2 Стандартные автоморфизмы и центральные ряды

1.3 Представление алгебр Ли NФ (К) классических

типов

1.4 Автоморфизмы кольца Ли NФ(К) симплектического типа

Глава 2. Автоморфизмы нильтреугольных подколец алгебр Шевалле ортогональных типов

2.1 Гиперцентральные автоморфизмы

2.2 Группа автоморфизмов кольца Ли N0,^)

2.3 Группа автоморфизмов кольца Ли N3,^)

2.4 Функция наивысшей высоты гиперцентральных автоморфизмов

Заключение

Список литературы

Наиболее употребительные обозначения

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Автоморфизмы нильтреугольных подколец алгебр Шевалле классических типов»

Введение

Следуя [22], алгеброй Шевалле Ск мы называем алгебру Ли над ассоциативно-коммутативным кольцом К (с единицей) с базисом Шевалле [18, § 4.4], [26], сопоставленным произвольной системе корней Ф. Подалгебру в Ск с базисом из элементов ег (г Е Ф+) базиса Шевалле называем нильтреугольной и обозначаем через NФ(К). Для типа Ап-1 она изоморфна алгебре Ли, ассоциированной с алгеброй NT(п, К) (нижних) нильтреугольных п х п матриц над К.

В работе [17] изучается следующая проблема

(А): Описать автоморфизмы алгебр Ли NФ(К).

Предметом диссертации является более общая проблема

(Б): Описать автоморфизмы нильтреугольных подколец NФ(К) алгебр Шевалле Ск.

Исследования автоморфизмов классических линейных групп отражаются в известных обзорах [9], [21] и др., а для алгебр и групп Шевалле см. [25], [12], [16]. Взаимосвязанное описание автоморфизмов кольца NT(п, К), его ассоциированного кольца Ли (т.е. лиева кольца NФ(К) типа Ап-1) и присоединенной группы, изоморфной унитреугольной группе иТ(п,К), найдено в [8].

Автоморфизмы унипотентного радикала и в подгруппе Бореля групп лиева типа над полем К описал в 1970 году Дж. Гиббс [20] при К = 2К = 3К, см. также [4, Проблема (1.5)]. Описание группы

автоморфизмов ЛпЬ и завершил В. М. Левчук [7] в 1990 году. Задача (Б) ставилась в [7] и была решена там же для типа 04.

С теориями автоморфизмов и изоморфизмов линейных групп и колец связаны теоретико-модельные исследования, восходящие к А.И. Мальцеву, см. [10], [28], [27] [13], [15], [3]. Для групп иТ(п,К), и и колец ЫТ(п, К), ЫФ(К) см. Роуз [24], Велер [28], Видела [27], О.В. Белеградек [14]. Тесно связанные вопросы описания автоморфизмов и элементарных эквивалентностей как групп и, так алгебр и колец Ли NФ(К) отмечаются в обзоре [5].

При переходе от алгебр к кольцам Ли группа автоморфизмов расширяется. Так, расширяется подгруппа центральных автоморфизмов, т.е. действующих тождественно по модулю центра, добавляются кольцевые автоморфизмы, индуцированные автоморфизмами основного кольца.

Для решения вопросов (А) и (Б) мы переносим методы [7], в частности, используя следующее обобщение понятия центральных автоморфизмов. Автоморфизм группы или кольца Ли Я, являющийся единичным по модулю т-го гиперцентра и внешним автоморфизмом по модулю (т — 1)-го гиперцентра, называем гиперцентральным высоты т или, кратко, гиперцентральным автоморфизмом, когда Я не совпадает с т-м гиперцентром.

Ступень нильпотентности кольца Ли NФ(К), а поэтому и функция х = х(Ф, К) наивысшей высоты его гиперцентральных автоморфизмов ограничены числом Кокстера Н = Н(Ф) системы корней Ф.

В связи с вопросом (Б), естественно, возникает вопрос о наилучшей оценке функции х(Ф, К) и, в частности, следующий вопрос.

(Б1): Всегда ли функция х(Ф,К) ограничена константой, не зависящей от ранга Ф ?

Вопрос (А) исследовался в [17] при К = 2К = 3К - как и вопрос об АпЬ и Гиббсом [20], а для некоторых типов при более слабых ограничениях, например, К = 2К для типов Вп,Сп и во всех случаях аннулятор А2 элемента 2 в К нулевой.

По существу, в этих описаниях появляется только один тип нестандартных автоморфизмов, называемых в [20] и [17] экстремальными; в нашей терминологии это гиперцентральный автоморфизм высоты 3 (тип Сп) или 2.

Оказывается, когда А2 = 0, как раз и появляются разнообразные исключительные автоморфизмы, что и потребовало для их систематизации ввести в [7] гиперцентральные автоморфизмы.

Оценка х(Ф,К) < 5 функции высоты установлена в описаниях автоморфизмов групп и над полем (с исключением для типа Вп) в [7] и АпЬ NФ(К) для типа Ап [8].

Целью диссертации является решение вопросов (А), (Б) для классических типов.

Наряду с классическими методами общей теории групп и колец, используются методы исследования алгебр Шевалле и групп лиева типа, разработанные в красноярской алгебраической школе.

Все основные результаты диссертации являются новыми. Работа носит теоретический характер.

Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы, включающего 37 наименований.

В § 1.1 главы 1, наряду с постановкой основных задач, приводятся определения алгебр Шевалле и ассоциированных с ними алгебраических систем. В параграфе 1.2 определены стандартные автоморфизмы лиевых колец NФ(К). В § 1.3, с помощью известного специального представления алгебр NФ(К) классических типов завершено описание их верхнего центрального (гиперцентрального) и нижнего центрального рядов; они оба стандартны лишь при 2К = К.

В § 1.4 устанавливается основная в главе 1 теорема.

Теорема 1.4.1. Пусть К - ассоциативно коммутативное кольцо с единицей. Всякий автоморфизм кольца Ли NФ(К) симплек-тического типа Сп (п > 4) есть произведение стандартного и гиперцентрального высоты < 5 автоморфизмов.

В отличие от исследованных в теореме симплектического типа Сп и ранее типа Ап, в § 2.1 выявляется зависимость при 2К = К функции х(Ф, К) от лиева ранга для типов Вп и Оп. Для тех же алгебр NФ(К) в параграфах 2.1 и 2.2 найдены автоморфизмы, действующие как нестандартный автоморфизм по модулю 2-го централа.

Полное решение вопросов (А) и (Б) для типа Оп в § 2.2 дает при п > 4 теорема 2.2.1; исключительный тип был изучен ранее

(теорема 2.2.9). Для типа Вп вопросы решают предложение 2.1.1 (случай п = 2) и теорема 2.1.2, доказываемая в § 2.3.

Теорема 2.4.1 в § 2.4 отвечает на вопрос (Б1) о функции наивысшей высоты гиперцентральных автоморфизмов.

Теорема 1.4.1 опубликована автором в [33] (она анонсировалась в [34]). Теоремы 2.1.2, 2.2.1 и 2.4.1 опубликованы в нераздельном соавторстве в работе [37]; соавтор В.М. Левчук.

Список публикаций [30] - [37] основных результатов диссертации включает публикации в изданиях из перечня ВАК.

Результаты диссертации апробировались на Красноярском алгебраическом семинаре при СФУ, на семинаре "Теория групп"(Новосибирск, ИМ СО РАН им. С.Л. Соболева) и на международных конференциях "Алгебра и логика: теория и приложения" (Красноярск, 2013), "Алгебра и приложения" (Нальчик, 2014), "Мальцевские чтения"(Новосибирск, 2015), "Молодежь и наука"(Красноярск, 2016).

Автор благодарен научному руководителю профессору Левчуку Владимиру Михайловичу за постановку задач и внимание к работе. Признателен сотрудникам кафедры алгебры и математической логики Института математики и фундаментальной информатики СФУ за хорошие условия работы над диссертацией.

Глава 1. Автоморфизмы нильтреугольных подколец алгебр Шевалле симплектического типа

В § 1.1 главы 1 приведены определения группы и алгебры Ше-валле над ассоциативно-коммутативным кольцом К с единицей, ассоциированных с произвольной системой корней Ф. Отражено состояние исследований вопроса об автоморфизмах нильтреугольной подалгебры NФ(K) (проблема (А)) и более общей проблемы (Б) описания автоморфизмов кольца Ли NФ(К).

Основные исключительные (нестандартные) автоморфизмы, возникающие, в первую очередь, при 2К = К, предлагается систематизировать вместе с введенными гиперцентральными автоморфизмами. Изучается также вопрос (Б1) об оценке функции наибольшей высоты гиперцентральных автоморфизмов кольца Ли NФ(К).

Нижний и верхний центральные ряды колец Ли NФ(К) стандартны при некоторых ограничениях на (Ф,К) (см. § 1.2); их описание для классических типов завершено в § 1.3 с использованием специального представления подалгебр NФ(К).

Описание автоморфизмов кольца Ли NФ(К) симплектического типа устанавливает в § 1.4 основная в главе 1 теорема 1.4.1.

1.1 Алгебры Шевалле и ассоциированные с ними алгебраические системы. Постановка основных задач

Известно [19], [18, Главы 2 и 3], что с произвольной простой конечномерной комплексной алгеброй Ли Сс ассоциируется единственная, с точностью до эквивалентности, система корней Ф евклидова пространства, которое выбирают с помощью формы Киллинга в подалгебре Картана Н. Подалгебра Н абелева и К. Шевалле [19] составляет в ней базу из ко-корней Кг := 2г/(г,г). Числа Картана АГ5 = (Кг, й) (г, й Е Ф) - целые числа. Базу П системы корней Ф и систему положительных корней Ф+ Э П фиксируем.

В разложении Картана алгебра Сс представляется прямой суммой Н и одномерных Н-инвариантных подалгебр Сег (г Е Ф). Базис

{ег (г Е Ф); К (5 Е П)} (1.1)

алгебры Сс Шевалле находит с следующими правилами умножения: [ег, е-г] = кг, [К5, ег] = А5Гег (г Е Ф, й Е П); [Кг, К5] = 0 (г, й Е П);

[ег, е,] = (г, й, г + й е Ф); [ег, е,] = 0 (г + й Е Ф \ {0}).

Здесь, N^,5 = ±(р + 1), где р = р(г, й) - наибольшее целое число г > 0 с условием й — гг Е Ф. В частности,

1 < < р(Ф) := шаж{(г,г)/(й, й) | г, й Е Ф}.

Целочисленность структурных констант базиса Шевалле алгебры Сс позволяет перейти ([18, § 4.4], [26]) к алгебре Ли Ск с ана-

логичным базисом над произвольным ассоциативно-коммутативным кольцом К с единицей. Следуя [22], называем ее алгеброй Шевалле.

Известно [18, § 4.3], что корневые автоморфизмы хг(£) алгебры Шевалле Ск, действующие при любых г € Ф и £ € К по правилу

Хр (^) • е — г ^ е — р I ^ , ^ ер (5 ^Е П) ,

ч

ер ^ ер, ^ У^ Мг^гегг+5 (5 € Ф \ {±г}),

:= туN^N^+8 • ... • N^-1^+5 (1 < % < д), Мг,5,о := 1 %»

(д = д(г, й) - наибольшее целое число ^ > 0 с условием й + ^г € Ф), порождают (элементарную) группу Шевалле над К типа Ф.

Всего имеем 9 семейств алгебр Шевалле Ск: классические типы Ап, Вп, Сп, Оп и исключительные типы F4 и Еп (п = 6, 7,8).

Подалгебру в Ск с базисом {ег | г € Ф+} называют нильтре-угольной. Ее обозначаем через NФ(К). Для типа Ап-1 она изоморфна алгебре Ли, ассоциированной с алгеброй NT(п, К) нижних ниль-треугольных п х п матриц над К.

В работе [17] изучается следующая проблема

(А): Описать автоморфизмы алгебры Ли NФ(К).

Предметом диссертации является более общая проблема

(Б): Описать группу автоморфизмов нильтреугольного под-кольца NФ(К) алгебры Шевалле Ск.

Ясно, что всякий автоморфизм в основного кольца индуцирует на кольце Ли NФ(К) кольцевой автоморфизм

О : хег ^ хвег (г Е Ф+, х Е К),

являющийся автоморфизмом алгебры Ли NФ(К) лишь при в = 1. При переходе к кольцам Ли расширяется и подгруппа центральных автоморфизмов, т.е. действующих тождественно по модулю центра.

В [8] получено взаимосвязанное описание автоморфизмов кольца NT(п, К), его ассоциированного кольца Ли (т.е. NФ(K) типа Ап—1) и присоединенной группы; она допускает изоморфизм а ^ 1 + а на унитреугольную группу иТ(п, К) = 1 + NT(п, К).

К группам лиева типа относят, помимо групп Шевалле, еще скрученные группы, определяемые как централизатор скручивающего автоморфизма в группах Шевалле типа Ап, Дп, ^4, С2, и В2, [18].

В 1970 г. Дж. Гиббс [20] описал автоморфизмы унипотентного радикала и в подгруппе Бореля групп лиева типа над полем К при К = 2К = 3К, см. также [4, Проблема (1.5)]. В 1990 г. описание АпЬ и завершил В. М. Левчук [7]. Для групп Шевалле типа Ф имеем

и = иФ(К) := ( хг(Ь) | г Е Ф+, Ь Е К ),

причем и ~ иТ(п, К) для типа Ап—1.

Исследования автоморфизмов классических линейных групп отражают обзоры [9], [11], [21], а для алгебр и групп Шевалле - [25], [12], [2], [16] и др. С теорией автоморфизмов и изоморфизмов линейных групп и колец тесно связаны восходящие к А.И. Мальцеву

теоретико-модельные исследования, [10], [28], [27], [13], [14], [15], [3]. Вопросы описания автоморфизмов и элементарных эквивалентно-стей колец Ли NФ(К) отмечаются в обзоре [5].

Исследования Ам£ и в [20] и вопроса (А) в [17] предполагали, что аннулятор А2 = Аппк(2) элемента 2 в кольце К нулевой, более того, К = 2К для типов Вп, Сп и F4 в [17], К = 2К = 3К в [20]. В этих работах группа автоморфизмов расширяла подгруппу стандартных автоморфизмов, по существу, за счет одного типа автоморфизмов (называемых экстремальными), тождественных по модулю 2-го или - для типа Сп - 3-го гиперцентра.

Задача описания автоморфизмов кольца Ли NФ(К) ставилась в [7] и там же решена для типа Д4. Для решения вопросов (А) и (Б) мы переносим методы работы [7], выявившей, что разнообразные исключительные (не стандартные) автоморфизмы возникают именно при А2 = 0. Для их систематизации используется следующее обобщение понятия центральных автоморфизмов.

Определение 1.1.1. Автоморфизм группы или кольца Ли Я, являющийся единичным по модулю т-го гиперцентра и внешним автоморфизмом по модулю (т — 1)-го гиперцентра, называют гиперцентральным высоты т или, кратко, гиперцентральным автоморфизмом, когда Я не совпадает с т-м гиперцентром.

Функция х = х(Ф,К) наивысшей высоты гиперцентральных автоморфизмов кольца Ли NФ(К) и ступень нильпотентности кольца Ли NФ(К) ограничены числом Кокстера К = К(Ф). В описаниях

АпЬ NФ(К) для типа Ап в [8] и АпЬ и в [7] установлена оценка высоты < 5. Естественно, возникает следующий вопрос.

(Б1): Всегда ли функция х(Ф,К) ограничена константой, не зависящей от ранга Ф ?

Далее в этой главе и главе 2 мы решаем вопросы (А) и (Б) для классических типов Ф, устанавливая для этих случаев наилучшую оценку функции х(Ф,К). Поставленный в (Б1) вопрос в общем случае получает отрицательный ответ.

1.2 Стандартные автоморфизмы и центральные ряды

Кольцо Ли NФ(К) порождают множества Кег, г Е Ф+, а если р(Ф)!К = К, то даже Кег, г Е П. В этих порождающих выписываются основные соотношения - помимо соотношений в кольце коэффициентов. Отсюда вытекает

Лемма 1.2.1. Автоморфизм ф аддитивной группы кольца Ли NФ(К) является его автоморфизмом тогда и только тогда, когда ф сохраняет основные соотношения:

хег + уег = (х + у)ег (г Е Ф+, х,у Е К);

[хег, уе, = ху^ег+, (г, й, г + й е Ф+), [хег, уе5] = 0 (г, й е Ф+,г + йЕ Ф+).

Выделим сейчас основные элементарные автоморфизмы и стандартные автоморфизмы, по аналогии с автоморфизмами групп Ше-валле [18, Глава 12] и унипотентных подгрупп и = иФ(К) [20].

Внутренним автоморфизмом алгебры Шевалле Ск называют всякий автоморфизм, порождаемый корневыми автоморфизмами хг (Ь) для всевозможных г € Ф и Ь € К. Ограничения на NФ(К) корневых автоморфизмов хг (Ь) в случае г € Ф+ порождают подгруппу внутренних автоморфизмов алгебры Ли NФ(К), изоморфную фактор-группе унипотентной подгруппы и = иФ(К) по центру.

Если граф Кокстера системы Ф ранга п корней одной длины в евклидовом п-мерном пространстве V допускает симметрию порядка т > 1, то она определяет изометрию т пространства V, индуцирующую подстановки " на Ф и на Ф+, причем либо т = 2 и Ф типа Ап, Дп или Е6, либо т = 3 и Ф типа Д4. Согласно [18, Предложения 12.2.2, 12.2.3], для определенных констант 7Г = ±1 (г € Ф) с условием 78 = 1 (й € П) графовый автоморфизм алгебры Шевалле Ск определяется по правилу

ег ^ 7Ге^ (г € Ф), Кг ^ (г € П).

Ограничение этого автоморфизма на подалгебре NФ(К) дает графовый автоморфизм подалгебры NФ(К).

Диагональный автоморфизм К(х) : ег ^ х(г)ег (г € Ф+) алгебры Ли NФ(К) сопоставляют любому К-характеру х решетки корней, то есть гомоморфизму подгруппы (Ф)+ аддитивной группы V + в

мультипликативную группу К * обратимых элементов кольца К [18, § 7.1]. Хорошо известно, что х определяется однозначно значениями на простых корнях.

Автоморфизм кольца Ли NФ(К) называем стандартным, если он порождается внутренними, диагональными и графовыми автоморфизмами, а также кольцевыми и центральными автоморфизмами, которые определены в § 1.1.

Далее нам потребуются центральные ряды. Аналогично группам в произвольном кольце Ли Я вводят нижний центральный ряд

Я = Г1 Э Г2 Э • • • Э Гп Э • • • , Гп+1(Я) := [Гп(Я), Я] (п > 1), и верхний центральный или гиперцентральный ряд 0 = С С ^ С • • • , ^(Я) := Е Я | [р,Я] С ^(Я)} (г > 0).

Как в [1] и [18], используем функцию высоты КЬ(г) на корнях г системы Ф, максимальный корень р и число Кокстера К := КЬ(р) +1. В алгебре Ли NФ(К) стандартным центральным называют ряд

¿1 Э ¿2 Э • • • Э 1 Э Ь = 0,

Ьг := (Кег| г Е Ф+, КЬ(г) > г) (1 < г < К _ 1).

По аналогии с [7, Лемма 1] справедлива

Лемма 1.2.2. Верхний и нижний центральные ряды кольца Ли NФ(K) при р(Ф)!К = К совпадают с её стандартным центральным рядом: Г = Ь = { (1 < г < К).

В системе корней Ф ранга > 1 всегда существует и, кроме типа An, единствен простой корень q такой, что s = р — q £ Ф+. По аналогии с [20] (см. также лемму 1.2.1), линейное продолжение отображения

eq ^ eq + fes, ea ^ ea (а = q) (1.2)

является автоморфизмом алгебры Ли NФ(К) для любого f £ K. Для типа Cn это внутренний автоморфизм, а в остальных случаях при f = 0 это гиперцентральный автоморфизм высоты 2.

Для Ф типа Cn (n > 3) имеем s — q £ Ф+ и к гиперцентральному автоморфизму высоты 2 или 3 приводит отображение

eq ^ eq + tes —q, ea ^ ea (а £ Ф+ \ {q}, t £ K). (1.3)

Когда Ф типа Bn или Cn, условие на кольцо коэффициентов K в лемме 1.2.2 равносильно ограничению 2K = K. Описание центральных рядов завершается в § 1.4 для классических типов (см. леммы 1.3.4 и 1.3.6).

1.3 Представление алгебр Ли NФ(K) классических типов

Нам потребуется представление из [7] алгебр NФ(К) классического типа. Как и в [1, Таблицы ¡-ГУ], системы корней классического типа Ап—1, Вп, Сп и Дп выберем в евклидовом пространстве с ортонормированным базисом £1, ..., £п. Выбирая базу П и положительные корни в Ф согласно [7], приходим к таблице 1.

Таблица 1 - Системы корней классического типа

ф ф+ П

Ап £ — £ (1 < ^ < г < П +1) £7+1 — £7 (1 < .7 < п)

Вп £ (1 < г < п), £ ± (1 < ] < г < п) £1, £7+1 — £7 (1 < ] < п)

Сп 2£ (1 < г < п), £ ± (1 < ] < г < п) 2£1, £7+1 — £7 (1 < ; < п)

£ ± £7 (1 < ] < г < п) £2 + £1, £7+1 — £7 (1 < ] < п)

Положительные корни систем классических типов записываются в виде

^ — т^ = , 1 < ] < г < п, т £ {0, -1, +1}.

Сумма корней р ^ + есть корень лишь когда к = ^ или V = г или (для типа = Ап) V = —^.

Полагая ег = при г = , произвольный элемент из

NФ(К) представляем суммой ^ а^е^ и Ф+-матрицей || над К. В частности, В+ и С+- матрицы имеют вид, соответственно

а10

а2,—1 а20 а21

ап,—п+1 . . . ап,— 1 ап0 ап1 . . . ап,п—1, а1,—1 а2,—2 а2,—1 а21

ап,—п . . . ап,—2 ап, —1 ап1 . . . ап,п—1.

Отбрасывая в В+-матрице нулевой столбец, получаем Д+-матрицу:

а2,—1 а21

ап,—п+1 . . . ап, —1 ап1 . . . ап,п—1 .

Согласно [7, Лемма 2], справедлива

Лемма 1.3.1. Знаки структурных констант базиса Шевалле можно выбрать так, что [е^, б^] = е^ и верны равенства:

Ф = Вп, : [е^, ег_^] = ег_^ (г > з > |V| > 0);

Ф Сп : [бjm, бг,—т] [бim, б7,—т] бг, —7 (г > 3 > т > 1);

Ф = Вп : [ею, 67о] = 2бг,—7 (г > 3); Ф = Оп : [бу, ег,—^] = 2ег_г (г > 3 > 1).

Центральные ряды и порождающие множества кольца Ли ЖФ(К) классического типа выписаны в § 1.2, кроме случаев, когда 2К = К и Ф типа Вп или Сп. Из леммы 1.3.1 легко вытекает

Лемма 1.3.2. Кольцо Ли ЖВп(К) (п > 2) порождают

(Кегг—1 (1 < г < п); Кб2,—1}. (1.4)

Кольцо Ли ЖОп(К) (п > 2) всегда порождают множества

(Кегг—1 (2 < г < п); Кеь_г (1 < г < п)}, (1.5)

причем ни одно из них нельзя отбросить, если 2К = К. □

Замечание. Как сразу же следует из леммы, кольца Ли ЖОп(К) и ЖВп(К) при п > 3 всегда не изоморфны. Подчеркнем это существенное отличие от унипотентных подгрупп и типа Вп и Сп; они изоморфны, когда основное поле или кольцо коэффициентов является совершенным характеристики 2.

Завершим сейчас описание центральных рядов.

Через Т;т будем обозначать идеал алгебры NФ(К) всех Ф+-матриц || с условием = 0, если и < г или V > т. Пользуясь леммой 1.3.1, находим централизаторы С(Т;т) для типа Сп.

Лемма 1.3.3. Для кольца Ли NФ(K) типа Сп (п > 3) имеем: С(Ту-) = Т1,—^—1 (—г < ^ < г < п), С(Ту) = Т1,—¿—1 + А2Тпп—1 (—п < ; < п). □

Через Т0 обозначим подмодуль алгебры NCn(K), в котором базу образуют всевозможные элементы е^, |V| < г. Положим также

Ц. := Ь П Т0 (1 < г < 2п).

Лемма 1.3.4. Центральные ряды кольца Ли NCn(K) (п > 2) записываются в виде:

Г; = Ь + ^ 2Ке^,—< (1 <г< 2п),

;/2<^<п

^ = ^2п—г + А2^2п—г—1 (1 < г < 2п — 1), ^2п—1 = Ьь

Доказательство. С помощью леммы 1.3.3, идеалы Г;, ^ легко вычисляются индукцией по г. □

В кольце Ли NBn(K) выделяем подмодули Яу := Ке;0 при 1 < ^ < п. Подмодуль в с базой | 0 < v<u < п, и — V > г} обозначаем через ь|0. Используя лемму 1.3.1, аналогично случаю NCn(K) получаем следующие две леммы.

Лемма 1.3.5. В кольце Ли ЖВп(К) при 0 < г < п имеем С№т) = Т1,—т—1 (—г<т< 0),

С (Тгт) = Т1, —т— 1 + л • Ят+1 (о < т < г).

Равенства будут верны и при г = п, если в правых частях прибавить Тпп—1. В частности, идеал Т2,—1 + Тп0 + А2 • Л1 самоцентрализуемый и поэтому максимальный абелев. □

Лемма 1.3.6. Центральные ряды кольца Ли ЖВп(К) (п > 2) записываются в виде:

Г = + Ьг+2 + 2Ьг (1 < г < п), Г = 2Ьг (г > 2п — 2),

Г = Ьг+2 + 2Ьг (п < г < 2п — 3);

= Ь2п—г + ^2^+1—г (1 < г < п — 2), = Ьп—г + ^2^1 + л4°— г—2 (0 < г < п — 3), ^п—1 = Ьп+1 + А2Д2 + А2бп1, ^2п—2 = ^2 + ^2^1. □

1.4 Автоморфизмы кольца Ли NФ(К) симплектического

типа

В этом параграфе устанавливается описание автоморфизмов кольца Ли NCn(K). Основным результатом является

Теорема 1.4.1. Пусть К - ассоциативно коммутативное кольцо с единицей. Всякий автоморфизм кольца Ли NФ(К) симплек-тического типа Cn (n > 4) есть произведение стандартного и гиперцентрального высоты < 5 автоморфизмов.

Для доказательства теоремы вначале выявим некоторые характеристические идеалы.

Лемма 1.4.2. В кольце Ли NCn(K) (n > 3) идеал Tj является характеристическим при i < n.

Доказательство. Ясно, что идеалы Г^, Zi характеристичны, как и их централизаторы. Используя лемму 1.3.3, вычисляем централизаторы:

С (rn+j ) = T1,j + A2en,j+1,

С(Г) = Ti,_(n_j)_1 + A2en,_(n_j) (1 < j < n).

Покажем характеристичность идеалов Tj при i < n.

Идеал Ti,_i является максимальным абелевым, так как он самоцентрализуемый, в силу леммы 1.3.1. Это же верно и для его образа относительно любого автоморфизма ф £ Aut NФ(К). Поэтому

Гп С T1,_1 с С(Гп) = Ti,_i + Л2бп,1 = Ti,_i + Zn,

Zn = Ln + A2^n_i, Ti,_i = Т1ф,_1 mod Zn. Далее находим

(T2,_1 П To) + Tn,_i с Zi + [Tt_i, Li] С тф_1 с

С C((T2,_1 П To) + Tn>_i) С C(Tn,_!) = Ti,_i + A2Tn,n-i.

Если сейчас идеал Т1ф>_1 не лежит в T1>_1, то он обязан содержать элемент а = aen>1 mod T1>_1 при a = 0. Это приводит к противоречию:

0 = [б2>_1, а] = [б2,_1, авпд] = aen>_2.

Это дает равенство Т1ф_1 = T1>_1 и характеристичность T1>_1. Как следствие, получаем характеристичность идеала

T2>_1 = T1>_1 П [T1>_1, L1] + (T1>_1 П Z2n_2).

Идеал T2>1 содержит идеал T2>_1 и, по его модулю, есть максимальный абелев идеал подалгебры с базисом {e^ | i > 2, _i < v < i}. Следовательно, T2>1 и T2>_2 = C(T2>1) - характеристические идеалы.

Из описания автоморфизмов кольца Ли NAn(K) [8] и изоморфно-сти NCn(K)/T2>_2 ~ NAn(K) следует характеристичность идеалов T1>j (1 < j < n _ 2) и их централизаторов C(T^-) = T1>_j_1.

Характеристичность идеала Ti>i_1 (1 < i < n) получаем из того, что он содержит характеристический идеал Ti>_i = T1>_i и по его модулю есть абелев идеал. Поскольку Ti>j = Ti>i_1 П T1>j, то идеалы Ti>j (i < n) также характеристичны. Лемма доказана. □

Выявим гиперцентральные автоморфизмы алгебры Ли NCn(K). Очевидно, автоморфизм (1.3) при любом t G K записывается в виде

а 11 auv 11 ^ а + tann_ 1 en_ 1 >_n+1 . (1.6)

Любому элементу £ £ А3 = Аппк(3) соответствует автоморфизм

а = 11 ^ а + £(апп—1еп—1,—п+2 + апп—2еп—1,—п+1). (1.7)

Для любого элемента £ £ А2 гиперцентральный автоморфизм получаем как линейное продолжение ф отображения

епп—1 ^ епп—1 + £еп—2,—п+3, епп—2 ^ епп—2 + £еп—1,—n+3, (1.8)

епп—3 ^ епп—3 + £еп—1,—п+2

(образ опускаем, если действие тождественное). Оно тождественно на всех элементах е^ базиса Шевалле, кроме трех из (1.8). Так как [епп—1, е^] = 0 при г < п — 2, то соотношения

[епп—1,ег-у]Ф [епп—1, еф-у] [£еп—2,—n+3, ег-у] 0

для V = п — 3, г = п — 2 дают 2£еп—2,—п+2 = 0, откуда 2£ = 0. При этом условие ф-инвариантности основных соотношений в случаях г = п, п — 1 также легко проверяется. Аналогично проверяются условия

[епп—2,ег« ]Ф = [еФп—2,4] (ег« = епп—2), [епп—3,ег« ]Ф = [епп—3,еф] (е«« = епп—3).

Несложно проверяется, что при £ £ А2 определены автоморфизмы:

а = ||ам« 11 ^ а + £(апп—1еп—2,—п+2 + апп—2еп—1,— п+2); (1.9) а ^ а + £ап—1,п—2еп,—п+2; (1.10)

а ^ а + £(ап—1п—2еп,—п+3 + ап—1п—3еп,—п+2); (1.11)

а ^ а + t(an_1n_2en_1>_n+1 + ann_2en>_n+1). (1.12)

Пусть ф - произвольный автоморфизм кольца Ли NCn (K) при n > 5. Леммы 1.4.3, 1.4.4, 1.4.5 и 1.4.6 описывают его действие на порождающих (1.5).

Лемма 1.4.3. Всякий автоморфизм ф кольца Ли NCn(K) при n > 5 тождественен по модулю T2>_2 + Ln, с точностью до умножения на стандартные автоморфизмы.

Доказательство. Пусть ф - автоморфизм кольца Ли NCn(K) (n > 5). Тогда, в силу характеристичности, по лемме 1.4.2, идеала T2>_2, получаем, что ф индуцирует автоморфизм на факторкольце NCn(K)/T2>_2 ~ NAn(K) ~ NT(n + 1, K).

С учетом характеристичности идеала T1>_1 и известного описания Aut NAn(K) [8, Теорема 1], получаем тождественность ф на Kenn_1 (аналогично, на Keiv, v < i < n ) по модулю характеристического идеала T2>_2 + Tn_2>_1 (соответственно, T2>_2 + Ln), с точностью до умножения на стандартный автоморфизм (произведение диагонального, индуцированного кольцевого и внутреннего автоморфизмов). Поэтому для любых x,y G K и подходящих y/,y// G K получаем

0 = [xe21,yenn_1^ = [(хе21)ф, (yenn_1^] = xy/en_2>_2+

+xy//en_1>_2 mod Tn>_1, то есть (Kenn_1)^ С T2>_2 + Ln. Таким образом, лемма доказана. □

Лемма 1.4.4. Автоморфизм ф кольца Ли NCn(K), п > 5, тождественный по модулю Т2,—2 + Ьп, с точностью до умножения на внутренний автоморфизм, действует на множествах Keii—1, 2 < г < п — 3 как центральный автоморфизм. Кроме того,

(хепп—1)Ф £ хепп—1 + Тп—2,—п+2 + ^п—2,— п+3,

(хеп—2п—3)Ф £ хеп—2п—3 + Тп,—п+2 + Ken—2,—n+2, (хеп—1п—2)Ф £ хеп—1п—2 + —1, —п+1 + Тп,—п+3.

Доказательство. Исследуем образы

(жегг—1)ф = ||х2||, 1 < г < п, х £ K.

По лемме 1.3.1, с точностью до умножения ф на сопряжение элементом из Т2,—2 + Ьп—1, можно считать выполненными равенства:

ет = 0, 1 < т < г < п; 1^,—г = 0, 1 < г < п.

Учитывая перестановочность образа ||х1г]|| и еф+1у- (1 < г < ] < п),

II (г) II

получаем, что ненулевые элементы матрицы ||х^ || лежат лишь в г -той и п - той строках.

Когда г < п — 3, имеем х^,—т = 0 при всех т = г,п,п — 1, поскольку элемент (хегг—1)ф перестановочен с элементами е^ 1т (1 < т < п — 2, т = г).

Из перестановочности хеп—2п—3 с элементами еп—1т (т = 1, 2,..., п—3) получаем, что х^,—т = 0 при т = г, п, п—1, п—2. Аналогично перестановочность хеп—1п—2 с элементами е ;1 (2 < г < п — 3)

дает ХП-1 = 0, 0 < й < п — 3. Перестановочность жепп-1 с элементами бй_1 (2 < г < п — 2) дает включение

(хепп-1)Ф £ Хепп_1 + Тп-2,-п+2 + Кеп-2,-п+3.

Далее, при 1 < г < п _ 2, х,у £ К находим произведение

[(увг+1г)ф, (жей_1 )ф] = «_1

= Ухег+1г_1 + ^ Х1,_тУе»+1,_т ± ХП,_*уеп-*_1±

т=2

I ( («) _ («+1) )

±(Х«-«у у«+1,-«+1Х)е«+1,_«.

Его (г + 1,т) - координата равна (-г < т < 0), а (п, -г - 1) -координата равна Пользуясь симметричностью по х,у £ К,

(«) («) Т/Г «1

получаем равенство ух«т = ху«т. Из него подстановкой х = 1 получаем у(т = 0 и, аналогично, уП«- = 0 при всех у £ К. Аналогично

симметричность произведения [(уепп-1)ф, (жеп-1,п-2)ф] относительно

(п_ 1)

х, у £ К дает равенства хП-1 - = 0 при й < п - 1.

Далее находим, при определенном выборе знаков ±, следующие равенства

(ухе«+1«_1 )ф = [(уег+1«)ф, 1 )ф] = ужвг+1г_1 ± уж(г_¿е«+1,_«,

(уХбг+2,г)Ф = [(уе«+2,«+1)Ф, (Жбг+1г)ф] = уЖбг+2,г ± уЖ(«_гбг+2-г_1,

0 = [(аЬбг+2,г)ф, (ухе«+1,«_ 1 )ф] = ±аЬж(г_¿уе«+2 ,-¿-1,

откуда ж(г_« = 0 при 2 < г < п - 3. Используя ф-инвариантность перестановочности (2 < г < п-3) с элементом епп-1, получаем

также хП«,)-п+1 £ А2.

По доказанному получаем, ф действует тождественно на множествах Кбй_1 при 2 < г < п — 3, с точностью до умножения на внутренний и центральный автоморфизмы, а для случаев г = п _ 2, п _ 1, п имеем:

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Литаврин, Андрей Викторович, 2017 год

Список литературы

[1] Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли. // М.: Мир, 1972.

[2] Бунина Е.И. Автоморфизмы групп Шевалле некоторых типов над локальными кольцами /Е.И. Бунина // Успехи математических наук. - 2007. - Т. 62, - вып. 5. - С.143-144.

[3] Бунина Е. И. Элементарная эквивалентность групп Шевалле над локальными кольцами / Е. И. Бунина // Мат. сб.. - 2010. -Т. 201. - № 3. - С. 3-20.

[4] Кондратьев А. С. Подгруппы конечных групп Шевалле / А. С. Кондратьев // Успехи математических наук. - 1986. - Т. 41. -№ 1 (247). - С. 57-96.

[5] Левчук В.М. Теоретико-модельные и структурные вопросы алгебр и групп Шевалле / В.М. Левчук // Математический форум, группы и графы.-Владикавказ: ЮМИ ВНЦ РАН и РСО-А. - 2011. - Т. 6. - С. 71-80.

[6] Левчук В. М. Элементарная эквивалентность и изоморфизмы локально нильпотентных матричных групп и колец/ В. М. Лев-чук, Е. В. Минакова // Докл. АН РФ. - 2009. - Т. 425. - № 2. -С. 165-168.

[7] Левчук В.М. Автоморфизмы унипотентных подгрупп групп Шевалле / В.М. Левчук // Алгебра и логика. - 1990. - Т. 29. -№ 2. - С. 141-161. №3. - С. 316-338.

[8] Левчук В.М. Связи унитреугольной группы с некоторыми кольцами. Ч. 2. Группы автоморфизмов / В.М. Левчук // Сибирский матем. журнал. - 1983. - Т.24. - № 4. - С. 543-557.

[9] Мерзляков Ю.И. Автоморфизмы классических групп. // М.: Мир. 1976.

[10] Мальцев А. И. Об одном соответствии между кольцами и группами /А. И. Мальцев // Мат. сб.. - 1960. - Т. 50. - С. 257-266.

[11] Петечук В. М. Автоморфизмы матричных групп над коммутативными кольцами / В. М. Петечук // Математический сборник. - 1982. - Т. 117. - № 4. - С. 534-547.

[12] Abe E. Automorphisms of Chevalley groups over commutative rings / E. Abe // Algebra and Analysis. - 1993. - Vol. 5. - No. 2. - P.74-90.

[13] Beidar C.I. On Malcev's theorem on elementary equivalence of linear groups / C.I. Beidar , A.V. Mikhalev // Contemporary Math.. - 1992. - Vol. 131. - C. 29-35.

[14] Belegradek O. V. Model theory of unitriangular groups / O. V. Belegradek // Amer. Math. Soc. Transl.. - 1999. - Vol. 195. - No. 2. P. 1-116.

[15] Bunina E.I. Combinatorial and logical aspects of linear groups and Chevalley groups / E.I. Bunina, A.V. Mikhalev // Acta Applicandae Mathematicae. - 2005. - Vol. 85. - No. 1-3. - P. 57-74.

[16] Bunina E. I. Automorphisms of Chevalley groups of different types over commutative rings / E.I. Bunina //J. Algebra. - 2012. - Vol. 355. - No.1. - P. 154-170.

[17] Cao Y. Automorphisms of certain nilpotent algebras over commutative rings / Y. Cao, D. Jiang, D. Wang // International Journal of Algebra and Computation. - 2007. - Vol. 17. - No. 3. -P. 527-555.

[18] Carter R. Simple groups of Lie type // New York: Wiley and Sons. 1972.

[19] Chevalley C. Sur certain groupes simples / C. Chevalley // Tohoku Math. J. - 1955. - Vol. 7. - P. 14-66.

[20] Gibbs J. Automorphisms of certain unipotent groups / J. Gibbs // J. Algebra. - 1970. - Vol. 14. - No. 2. - P. 203-228.

[21] Hahn A. J. Homomorphisms of algebraic and classical groups: a survay / A. J. Hahn, D. G. James, B. Weisfelier // Can. Math. Soc. - 1984. - No. 4. - P. 249-296.

[22] Hurley J. F. Ideals in Chevalley algebras / J. F. Hurley // Trans. Amer. Math. Soc. - 1969. - Vol. 137. - No. 3. - P. 245-258.

[23] Levchuk V. M. Chevalley groups and their unipotent subgroups / V. M. Levchuk // Contemp. Math., AMS. - 1992. - Vol. 131. - Part 1. - P. 227-242.

[24] Rose B.I. The xi—categoricity of strictly upper triangular matrix rings over algebraically closed fields / B.I. Rose // J. Symbolic Logic. - 1978. - Vol. 43. - No. 2. - P. 250-259.

[25] Seligman G.B. On automorphisms of Lie algebras of classical type / G.B. Seligman // Trans.Amer. Math. Part I. - 1959. - Vol. 92.-P. 430-448. Part II. - 1960. - Vol. 94. - P. 452-481. Part III. - 1960. - Vol. 97. - P. 286-316.

[26] Stein M. R. Generators, relations and coverings of Chevalley groups over commutative rings / M. R. Stein // Amer. J. Math. - 1971. -Vol. 93. - No. 4.- P. 965-1004.

[27] Videla C. R. On the model theory of the ring NT (n, R) / C. R. Videla // J. of Pure and Appl. Algebra. - 1988. - Vol. 55. - P. 289-302.

[28] Wheeler W.H. Model Theory of strictly upper triangular matrix ring / W.H. Wheeler //J. Symbolic Logic. - 1980. - Vol. 45. - P. 455-463.

[29] Li Fu-an Recent Progress on Classical and Algebraic K-Theory in China / Fu-an Li , Hong You //In book Group Theory in China (Eds. Zhe-Xian Wan and Sheng-Ming Shi). - 1996. - P. 41-56.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[30] Литаврин А. В. Автоморфизмы нильподалгебр алгебр Шевалле малых лиевых рангов / А.В. Литаврин // Алгебра и логика :

теория и приложения : тезисы докладов Международной конференции, посвященной памяти В. П. Шункова. Красноярск, 21-27 июля 2013 г. - Красноярск, 2013. - С. 86-87. - 0,06 п.л.

[31] Литаврин А. В. Автоморфизмы максимальной нильпотентной подалгебры алгебры Шевалле симплектического типа / А. В. Литаврин // Алгебра и приложения : труды Международной конференции по алгебре, посвященной 100-летию со дня рождения Л. А. Калужнина. Нальчик, 06-11 сентября 2014 г. - Нальчик, 2014. - С. 81-82. - 0,06 п.л.

[32] Литаврин А. В. Автоморфизмы нильпотентной подалгебры КФ(К) алгебры Шевалле / А. В. Литаврин // Мальцевские чтения : тезисы докладов международной конференции, посвященной 75-летию Ю. Л. Ершова. Новосибирск, 03-07 мая 2015 г. -Новосибирск, 2015. - С. 165. - 0,07 п.л.

[33] Литаврин А. В. Автоморфизмы нильпотентной подалгебры КФ(К) алгебры Шевалле симплектического типа / А. В. Ли-таврин // Известия Иркутского государственного университета. Серия «Математика». - 2015. - Т. 13. - С. 41-55. - 1 п.л.

[34] Левчук В. М. Нильтреугольные подалгебры алгебр Шевалле и их обобщения / В. М. Левчук, А. В. Литаврин, Н. Д. Ходюня, В. В. Цыганков // Владикавказский математический журнал. - 2015. - Т. 17, вып. 2. - С. 37-46. - 0,87 / 0,22 п.л.

[35] Левчук В. М. Автоморфизмы нильтреугольных подколец алгебр Шевалле ортогональных типов / В. М. Левчук, А. В. Ли-таврин // Вестник Сибирского государственного аэрокосмического университета им. академика М. Ф. Решетнева. - 2016. -Т. 17, № 2. - C. 324-327. - 0,53 / 0,26 п.л.

[36] Литаврин А. В. Автоморфизмы нильтреугольных подколец алгебр Шевалле классических типов [Электронный ресурс] / А. В. Литаврин // Проспект Свободный - 2016 : электронный сборник материалов Международной конференции студентов, аспирантов и молодых учёных, посвящённой Году образования в Содружестве Независимых Государств. Красноярск, 15-25 апреля 2016 г. - Красноярск, 2016. - C. 39-41. - 0,19 п.л.

[37] Левчук В. М. Гиперцентральные автоморфизмы нильтре-угольных подалгебр алгебр Шевалле [Электронный ресурс] / В. М. Левчук, А. В. Литаврин // Сибирские электронные математические известия. - 2016. - Т. 13. - С. 467-477. - DOI: 10.17377/semi.2016.13.040. - URL: http://semr.math.nsc.ru/v13/p467-477.pdf (дата обращения: 12.05.2017). - 0,92 / 0,46 п.л. (Scopus)

Наиболее употребительные обозначения

Ф - система корней евклидова пространства, П - ее база, Ф+ -система положительных корней;

К - ассоциативно коммутативное кольцо с единицей, Еп^(К+) -кольцо эндоморфизмов аддитивной группы К + := (К, +);

Ат - аннулятор {х £ К | х • т = 0} в К элемента т £ К;

- алгебра Шевалле над К с базисом Шевалле [18, § 4.3] и умножением [, ];

NФ(К) - подалгебра в , базис которой дают элементы базиса Шевалле ег (г £ Ф+);

хг (£) - корневой автоморфизм алгебры Шевалле при

г £ Ф, г £ К;

и(Ф, К) - унипотентная подгруппа (хг(г) | г £ Ф+, г £ К) группы Шевалле.