Классификационные проблемы в теории групп автоморфизмов многообразий малой размерности. тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.04, доктор физико-математических наук Малютин, Андрей Валерьевич

• Малютин, Андрей Валерьевич
• доктор физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Малютин, Андрей Валерьевич

Введение

1 Группы гомеоморфизмов прямой и окружности

§ 1.1 О классификации действий групп на прямой и окружности

§1.2 Предварительные сведения.

§1.3 Дистальные действия •.

§ 1.4 Несколько лемм.

§ 1.5 Минимальные действия на прямой, не являющиеся ни проксимальными, ни дистальными

§ 1.6 Минимальные недистальные действия на окружности

§1.7 Минимальные проксимальные действия на окружности

§ 1.8 Доказательства классификационных теорем.

§ 1.9 Инварианты Пуанкаре.

§ 1.10 Леммы о гомеоморфизмах и перемежающихся парах

2 Поверхности и их автоморфизмы. Общие сведения

§2.1 Вспомогательные определения и сведения.

2.1-а Сведения из неевклидовой геометрии.

2.1-Ь Гиперболические пространства по Громову.

2.1-е Сведения из теории групп.

2.1-d Сведения из комбинаторной геометрии поверхностей

2.1-е Группы классов отображений.

§ 2.2 Универсальные накрывающие и их компактификации

§2.3 Кривые и геодезические.

§ 2.4 Геодезические ламинации и лучи.

§2.5 Действие автоморфизмов на геодезических.

§ 2.6 Классификация Нильсена-Тёрстона.

3 Структуры на поверхностях с краем

§3.1 Техническая подготовка: описание основных пространств

§ 3.2 Ориентация и порядки.

§ 3.3 Свойства геометрических порядков.

§3.4 Пересечения и простота элементов.

§ 3.5 Структура множества простых геодезических.

§ 3.6 Типы петель и замкнутых кривых

§ 3.7 Одна гомологическая лемма.

4 Представления групп классов отображений поверхностей

§4.1 Действия группы классов отображений на

§4.2 Действие группы классов отображений на малой идеальной окружности.

§ 4.3 Некоторые дополнительные конструкции.

§ 4.4 Действия отдельных гомеоморфизмов.

§ 4.5 Закрученность гомеоморфизмов поверхности.

5 Косы

§5.1 Группы кос

§ 5.2 Геометрические косы и представление зацеплений косами

§ 5.3 Преобразования кос.

§5.4 Л'-инварианты.

§ 5.5 О количестве классов сопряженности кос, получаемых в результате однократных стабилизаций и дестабилизаций одного класса сопряженности.

§5.6 Косы и автоморфизмы диска.

§5.7 Классификация Нильсена-Тёрстона для кос.

6 Псевдохарактеры групп кос

§6.1 Сведения из теории псевдохарактеров

§ 6.2 Псевдохарактеры групп кос.

§ 6.3 Трансфер псевдохарактеров.

§6.4 Высвобождение нитей: доказательство теоремы 6.2.

§6.5 Закрученность кос

7 Алгоритм распознавания

Марковской дестабилизируемости

§ 7.1 Критерий дестабилизируемости.

§ 7.2 Дестабилизируемость кос периодического типа.

§ 7.3 Отображения Ц.

§ 7.4 Несколько вспомогательных лемм.

§ 7.5 Еще одна вспомогательная лемма.

§ 7.6 Фундаментальный алгоритм.

§ 7.7 Специальные системы интервалов для псевдоаносовских кос.

§ 7.8 Флип-кривые и звенья косы.

§ 7.9 Дестабилизируемость приводимых кос.

§7.10 Алгоритм распознавания Марковской дестабилизируемости

8 Случайные блуждания в группе кос

§8.1 Введение.

§8.2 Группа кос и нормальная форма Маркова-Ивановского.

Определения.

§ 8.3 Случайные блуждания на группе. Определения.

§ 8.4 Случайные блуждания на группе. Леммы.

§ 8.5 Достаточный признак /л-проксимальности.

§ 8.6 Свободная группа. Определения.

§ 8.7 Свободная группа. Леммы.

§8.8 Доказательство теоремы 8.1.1.

§ 8.9 Теорема о выборочной сходимости

§ 8.10 Доказательство теоремы 8.1.2.

§ 8.11 Стабильность нормальной формы Маркова-Ивановского

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Классификационные проблемы в теории групп автоморфизмов многообразий малой размерности.»

Исследования автоморфизмов и групп (классов) автоморфизмов многообразий малой размерности формируют обширную, бурно развивающуюся область современной математики, находящуюся на стыке топологии, алгебры и теории динамических систем. Эта область охватывает изучение групп гомеоморфизмов прямой и окружности1, теорию автоморфизмов поверхностей и теорию групп классов отображений поверхностей, важнейшим частным случаем которых являются группы кос Артина2, — в силу чего указанная область тесно связана практически со всеми разделами маломерной топологии (в первую очередь — с теорией узлов и зацеплений), с дифференциальной и гиперболической геометрией, теорией ламинаций и теорией Тайхмюллера, с комбинаторной'и геометрической теорией групп, теорией упорядоченных групп, и даже с криптографией.

Автоморфизмам и группам автоморфизмов одно- и двумерных многообразий посвящены фундаментальные работы Клейна, Фрике, Пуанкаре, Гурвица, Дена, Данжуа, Александера, Нильсена, Артина, Кере-къярто, A.A. Маркова (мл.). Позже указанной проблематикой занимались В. Магнус, В. Бурау, Дж. Бирман, X. Цишанг, В. И. Арнольд, Г. А. Маргу-лис, У. Тёрстон, О. Я. Виро, Ф. Гарсайд, В.Джонс, Э.Гиз и многие другие. В последние десятилетия в этой области получены такие замечательные результаты, как решение С. Керкхофом проблемы Нильсена о реализации, открытие порядка Деорнуа, доказательство линейности групп кос (Д. Краммер, С. Бигелоу) и др. Решение подобного рода проблем требует самой разнообразной техники, а новые достижения теории (групп) автоморфизмов применимы (и, как правило, имеют существенные следствия) в смежных областях.

1 Отметим, что в группу гомеоморфизмов прямой входят все счетные односторонне-инвариантно упорядоченные группы, а группа гомеоморфизмов окружности содержит группу изометрий гиперболической плоскости — вместе со всеми фуксовыми группами.

2 У групп кос, как и у всех групп классов отображений незамкнутых поверхностей, имеются естественные точные представления в группах гомеоморфизмов одномерных многообразий, что придает рассматриваемой области внутреннюю целостность.

Вопросы классификации в исследуемой области (как и во многих других разделах маломерной топологии, динамики, теории групп) являются ключевыми.

Для гомеоморфизмов одномерных и двумерных многообразий известны, соответственно, классификации Пуанкаре и Нильсена-Тёрстона, представляющие собой важные и полезные инструменты при решении самых различных задач. На основе классификации Нильсена-Тёрстона Н. В. Иванов, Дж. Бирман, А. Любоцкий и Дж. Маккарти3 получили серию классификационных теорем для подгрупп групп классов отображений поверхностей, дающую аналоги классических классификационных результатов теории линейных групп, в том числе аналог альтернативы Титса. Для групп, действующих на окружности, аналог альтернативы Титса, известный как альтернатива Гиза, был доказан в 2000 г. Г. А. Маргулисом4. Несомненно важным и актуальным представляется следующий шаг — построение эффективной классификации групп гомеоморфизмов маломерных многообразий (т. е. классификации маломерных топологических динамических систем или действий групп на многообразиях малой размерности). Один из основных результатов диссертации — классификация действий групп на прямой и окружности.

К классификационным вопросам естественно примыкают теории всевозможных инвариантов. Одним из новейших направлений здесь является теория квази- и псевдохарактеров групп. Функционал </э : £ —» М на группе (7 называется квазихарактером или квазиморфизмом, если множество р(аЬ) — у (а) — <р(Ь) : а, Ь е С} ограничено. Если, кроме того, для любых выполняется равенство <р{ак) = к<р(а), то </? есть псевдохарактер5.

Псевдохарактеры являются инвариантами сопряженности; они имеют непосредственное отношение к ограниченным когомологиям групп и широко применяются в геометрической теории групп. Хорошо известные

3 См. монографию Н.В.Иванова [60] и указанную там литературу.

4 Альтернатива Гиза-Маргулиса утверждает следующее: если группа С? действует на окружности гомеоморфизмами, то либо на окружности существует С-инвариантная вероятностная борелевская мера, либо в <? найдется свободная неабелева подгруппа; см. [92]; ср. [5].

5 Также используется термин однородный квазиморфизм. примеры псевдо- и квазихарактеров, не являющихся гомоморфизмами, — число переноса Пуанкаре и функция Радемахера6. Теория псевдохарактеров активно развивается в течение последнего десятилетия. Псевдохарактеры групп кос и групп классов отображений поверхностей представляют особый интерес и применяются как в теории узлов, так и в маломерной ; динамике (Э. Гиз, Ж.-М. Гамбодо, К. Хонда, У. Казес, Г. Матис, С. Баадер и др.; см. также работы автора [79, 83, 86, 87, 89, 90]). Как показывают представленные в диссертации результаты, теория псевдохарактеров тесно связана и с обсуждаемой ниже проблемой Маркова (как и с некоторыми родственными ей задачами), и с действиями групп кос и групп классов отображений поверхностей на окружностях и прямых, изучение которых является одним из центральных сюжетов работы.

Начиная с- работ П. С. Новикова и А. А. Маркова, все возрастающее г/ внимание в топологии малых размерностей привлекают также вопросы алгоритмической классификации. В теории автоморфизмов, групп классов отображений поверхностей и групп кос наряду с общими задачами алгоритмического характера (проблемы тождества и сопряженности в группе, их многочисленные обобщения и т.д.) рассматривается широкий круг специальных алгоритмических вопросов (таких как задачи распознавания типов автоморфизмов в классификации Нильсена-Тёрстона и распознавания* сильной неприводимости автоморфизма, вычисление расстояний' в комплексе кривых поверхности).

Среди имеющихся здесь сложных задач7 особое место занимает проблема Маркова о дестабилизируемости, состоящая- в том, чтобы построить алгоритм, определяющий, применимо ли к классу сопряженности заданной косы преобразование дестабилизации. Эта проблема относится к • представлению классических узлов и зацеплений в I3 с помощью кос и восходит к знаменитой работе А. А. Маркова [93] 1936 года, в которой введены понятия стабилизации и дестабилизации кос и представлена теорема, утверждающая, что две косы (3\ и 02 задают одно и то же зацепление в

6 Отметим, что число переноса определено на группе гомеоморфизмов вещественной прямой, ком-</ мутирующих с единичным сдвигом, а функция Радемахера — на группе которая действует ^ на окружности.

7 См., например, [68], а также [43]. том и только в том случае, когда от ß\ можно перейти к ft с помощью конечной цепочки сопряжений, стабилизации и дестабилизации. Проблема о дестабилизируемости допускает переформулировки в терминах автоморфизмов поверхностей и действий групп классов отображений поверхностей на окружностях и прямых и имеет ряд родственных нерешенных задач как на алгебраическом, так и на топологическом уровне.

После того, как в 1968-1969 гг. Г. С. Маканин и Ф. Гарсайд решили для группы кос проблему сопряженности, проблема Маркова стала наиболее заметным препятствием к решению задачи алгоритмической классификации и эффективного распознавания узлов и зацеплений в!3с помощью кос. Впервые алгоритм распознавания дестабилизируемости был предложен в 1980 г. Дж. Маккулом [95], однако, как указал впоследствии сам Мак-кул [96], его алгоритм в значительной степени опирался на одну ошибочную теорему Дж. Бирман [10] и оказался неверен. В 2005 г. У. Менаско8 предложил алгоритм поиска дестабилизации, основанный на технике прямоугольных диаграмм узлов, принадлежащей И. А. Дынникову. Однако результат настоящей диссертации о существовании классов сопряженности кос, дестабилизируемых бесконечным числом различных способов, косвенно свидетельствует о том, что алгоритм Менаско также неверен9.

В настоящей работе представлен алгоритм, распознающий деста-билизируемость класса сопряженности кос с помощью классификации Нильсена-Тёрстона и представления группы кос в виде группы гомеоморфизмов прямой. Развитая в работе техника применима не только к распознаванию дестабилизируемости, но и к распознаванию некоторых других преобразований кос, а также к задаче определения сильной неприводимости автоморфизмов сферы с проколами10. Кроме того, в диссертации получены критерии допустимости дестабилизации и других преобразований классов сопряженности кос в терминах псевдохарактеров.

8 W.W.Menasco, Monotonie simplification and recognizing exchange reducibility, arXiv:math/0507124.

0 Локализовать ошибку в препринте Менаско не представляется возможным, поскольку там содержится большое количество неточностей и неполных формулировок.

10 Автоморфизм поверхности называется сильно неприводимым, если каждая существенная простая замкнутая кривая переводится этим автоморфизмом в кривую, пересекающую — даже после произвольной изотопии — свой прообраз. Насколько известно автору, проблема распознавания сильной неприводимости не решена ни для одной неэлементарной поверхности.

Еще одно современное направление в изучаемой области возникло на пересечении с теорией случайных блужданий на группах. В своих недавних работах блуждания на группах (классов) автоморфизмов многообразий малой размерности исследовали А. М.Вершик, К. Сериес, В. А. Кайманович, Г.Мазур, Б.Фарб, С.К.Нечаев, Р. Вуатюрье, А. Ю. Гросберг, Р.Бикбов, В. А. Клепцын, М. Б. Нальский, Т. Кайзер и др. Эта деятельность по преимуществу ориентирована на решение (типично классификационной) задачи описания вероятностных границ группы и, в первую очередь, границы Пуассона. В. А. Кайманович и Г. Мазур [63] показали, что граница Пуассона группы классов отображений замкнутой поверхности реализуется в виде границы Тёрстона пространства Тайхмюллера этой поверхности. Аналогичное описание границы в виде пространства действия группы имеет место и для случая незамкнутых поверхностей и групп кос [44].

А. М.Вершиком и его школой были развиты мощные'методы алгебраического описания (т.е. описания непосредственно в терминах самой группы — в терминах образующих и соотношений) границ с помощью стабильных нормальных форм. При этом для группы кос известно более десятка (типов) нормальных форм (формы Гарсайда [51], Маркова-Ивановского [94], Тёрстона [40], Бирман-Ко-Ли [12], Брессо [22] и др. [36]), однако проблема алгебраического описания границы Пуассона для групп классов отображений и групп кос до последнего времени оставалась открытой. В настоящей работе в развитие подходов А. М. Вершика и X. Фюрстенберга получен ряд новых результатов о границах; в частности, мы показываем, что в группе кос нормальная форма Маркова-Ивановского стабильна. Эти результаты в комбинации с результатами В. А. Каймановича и Г. Мазура позволяют дать алгебраическое описание границы Пуассона для групп кос и для групп классов отображений некоторых поверхностей.

Заметим, что — кроме классификационной тематики — задачу о стабильных нормальных формах в группах классов отображений и группах кос связывают с прочими вышеупомянутыми вопросами общие методы, применяемые при их исследовании и решении; так, при поиске стабильных нормальных форм удобно использовать представления групп классов отображений и групп кос в виде групп гомеоморфизмов окружности.

В настоящей работе развивается теория автоморфизмов и групп классов) автоморфизмов многообразий размерности 1 и 2 (групп кос, групп классов отображений поверхностей, групп гомеоморфизмов прямой и окружности). Целью работы является получение новых результатов по следующим направлениям:

- классификация действий групп на одномерных многообразиях;

- развитие теории псевдохарактеров групп кос и групп классов отображений поверхностей;

- исследование преобразований кос (сохраняющих тип представленного косой зацепления) и вопросов о применимости различных преобразований к косам;

- изучение границ случайных блужданий, поиск стабильных нормальных форм в группах кос и группах классов отображений.

Среди полученных в работе результатов отметим следующие.

1. Получена общая классификация действий групп па прямой и окружности. В частности, доказано, что всякое минимальное непрерывное действие группы на прямой (на окружности) либо сопряжено с действием изометриями, либо проксимально, либо накрывает некоторое проксимальное действие на окружности.

2. Введены новые типы левоинвариантных циклических порядков на свободных группах и изучены их свойства.

3. Описана структура пространства простых геодезических, выходящих из точки края метрически полной ориентированной гиперболической поверхности конечной площади с компактным геодезическим краем.

4. Определены и исследованы новые серии псевдохарактеров и инвариантов сопряженности на группах кос и на группах классов отображений поверхностей с краем.

5. Доказано, что любой узел в М3 представим косой, класс сопряженности которой дестабилизируем бесконечным числом различных способов.

6. В терминах псевдохарактеров групп кос найдены критерии простоты представленного косой зацепления, а также критерии неприменимости стандартных преобразований к классу сопряженности кос, из которых, в частности, следуют (в усиленном виде) гипотезы Менаско о применимости некоторых преобразований к косам.

7. Решена проблема Маркова о дестабилизируемости: построен алгоритм, определяющий, допускает ли класс сопряженности заданной косы дестабилизацию Маркова.

8. Доказано, что в группе кос Артина нормальная форма Маркова-Ивановского является стабильной (по отношению к случайному блужданию с любым допустимым распределением).

Общей отправной точкой для всех присутствующих в работе сюжетных линий послужила одна восходящая к работам Нильсена специальная конструкция (отдельно описанная ниже), дающая серию представлений групп классов отображений поверхностей с краем в виде групп гомеоморфизмов прямой и окружности. Так, попытка классификации именно этих представлений привела в итоге к вышеупомянутой общей классификации действий произвольных групп на прямой и окружности. Из этой же конструкции при обращении к классическим инвариантам Пуанкаре возникли и исследуемые в работе псевдохарактеры групп. В случае групп кос изучение именно этих представлений и связанных с ними псевдохарактеров дало алгоритм распознавания марковской дестабилизируемости и критерии допустимости преобразований, доказывающие гипотезы Менаско. Представления той же серии и их связь с автоморфизмами свободной группы и нормальной формой Маркова-Ивановского позволяют обнаружить на группах кос и группах классов отображений семейство стабильных функционалов, при изучении которого и были получены представленные в работе результаты о случайных блужданиях и их границах (хотя приведенные ниже соответствующие доказательства из технических соображений и проводятся исключительно в терминах автоморфизмов свободной группы).

Приведем краткое содержание работы по главам.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Малютин, Андрей Валерьевич, 2009 год

1. J.W.Alexander, A lemma on system of knotted curves, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 9 (1923), 93-95.

2. J. W. Alexander, A proof and extension of the Jordan-Brouwer separation theorem, Trans. Amer. Math. Soc. 23 (1922), 333-349.

3. E.Artin, Theorie der Zopfe, Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg 4 (1925), 47-72.

4. S. Baader, Asymptotic Rasmussen invariant, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 345:4 (2007), 225-228.

5. JI. А. Бекларян, Группы гомеоморфизмов прямой и окружности. Топологические характеристики и метрические инварианты, Успехи мат. наук 59:4 (2004), 3-68.

6. R. Bell, D. Margalit, Injections of Artin groups, Comment. Math. Helv. 82:4 (2007), 725-751.

7. M. Bestvina, K. Fujiwara, Bounded cohomology of subgroups of mapping class groups, Geometry and Topology 6 (2002), 69-89.

8. M. Bestvina, M. Handel, Train-tracks for surface homeomorphisms, Topology 34:1 (1995), 109-140.

9. J.S.Birman, Braids, links, and mapping class groups, Ann. of Math. Stud., vol.82, Princeton Univ. Press, Princeton, NJ, 1974.

10. J. S. Birman, Errata for "Braids, links and mapping class groups", Errata: On the conjugасу problem in the braid group, Canad. J. Math. 34:6 (1982), 1396-1397.

11. J.S.Birman, Т. E. Brendle, Braids: a survey, in "Handbook of Knot Theory", W. Menasco, M. Thistlethwaite, eds., Amsterdam: Elsevier B.V., 2005, pp. 19-103.

12. J. S. Birman, S. J. Lee, К. H. Ко, A new approach to the word and conju-gacy problems in the braid groups, Adv. in Math. 139:2 (1998), 322-353.

13. J. S. Birman, W. W. Menasco, Studying links via closed braids I: A Fini-teness Theorem, Pacific J. Math. 154:1 (1992), 17-36.

14. J. S. Birman, W. W. Menasco, Studying links via closed braids II: On a theorem of Bennequin, Topology Appl. 40 (1991), 71-82.

15. J. S. Birman, W. W. Menasco, Studying links via closed braids III: Classifying links which are closed 3-braids, Pacific J. Math. 161:1 (1993), 25-113.

16. J. S. Birman, W. W. Menasco, Studying links via closed braids IV: Split links and composite links, Inv. Math. 102 (1990), 115-139.

17. J.S.Birman, W. W. Menasco, Erratum: studying links via closed braids IV, Inv. Math. 160:2 (2005), 447-452.

18. J.S.Birman, W. W.Menasco, Studying links via closed braids V: Closed braid representations of the unlink, Trans. Amer. Math. Soc. 329:2 (1992), 585-606.

19. J.S.Birman, W.W.Menasco, Studying links via closed braids VI: A non-finiteness theorem, Pacific J. Math. 156:2 (1992), 265-285.

20. J. S. Birman, W. W. Menasco, Stabilization in the braid groups I: MTWS, Geometry and Topology, 10 (2006), 413-540.

21. F. Bonahon, Geodesic laminations on surfaces, in "Laminations and foliations in dynamics, geometry and topology (Stony Brook, NY, 1998)", Contemp. Math. 269; Amer. Math. Soc., 2001, 1-37.

22. X. Bressaud, A normal form for braid groups, J. Knot Theory Ram. 17:6 (2008), 697-732.

23. К.С.Браун, Когомологии групп, Наука, М., 1987.

24. L. E. J. Brouwer, Uber die periodischen Transformationen der Kugel, Math. Ann. 80 (1919), 39-41.

25. A. M. Вершик, Динамическая теория роста в группах: энтропия, границы, примеры, Успехи мат. наук 55:4 (2000), 59-128.

26. A. M.Vershik, S.K.Nechaev, R. Bikbov, Statistical properties of locally free groups with applications to braid groups and growth of random heaps, Comm. Math. Phys. 212:2 (2000), 469-501.

27. S.K.Nechaev, A. Yu. Grosberg, A. M.Vershik, Random walks on braid groups: Brownian bridges, complexity and statistics, Journal of Physics A Math. Gen. 29 (1996), 2411-2433.

28. V. V. Vershinin, Braids, their properties and generalizations, Published in the Handbook of Algebra, Handbook of algebra, vol.4. North-Holland, Amsterdam, 2006, pp. 427-465.

29. R.D.Canary, D.B.A.Epstein, P.Green, Notes on notes of Thurston, in "Analytical and Geometrical Aspects of Hyperbolic Spaces", Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1987, 3-92.

30. D. I. Cartwright, P. M. Soardi, Convergence to ends for random walks on the automorphism group of a tree, Proc. Amer. Math. Soc. 107 (1989), 817-823.

31. A. Casson, S. Bleiler, Automorphisms of surfaces after Nielsen and Thurston, London Math. Soc. Stud. Texts, vol.9, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1988.

32. A. Constantin, B. Kolev, The theorem of Kerekjdrto on periodic homeo-morphisms of the disc and the sphere, Enseign. Math. (2) 40 (1994), 193204.

33. M. Dehn, Papers on group theory and topology, Springer-Verlag, New York, 1987.

34. P. Dehornoy, I. Dynnikov, D. Rolfsen, B. Wiest, Why are braids orderable?, Panor. Syntheses, vol. 14, Soc. Math. France, Paris, 2002.

35. P. Dehornoy, I. Dynnikov, D. Rolfsen, B.Wiest, Ordering braids, Math. Surveys and Monographs, vol.148, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2008.

36. P. Dehornoy, Alternating normal forms for braids and locally Garside monoids, J. Pure Appl. Algebra, 212:11 (2008), 2413-2439.

37. Y. Derriennic, Entropie, théorèmes limites et marches aléatoires, Probability measures on groups, vol. VIII (Oberwolfach, 1985), Lecture Notes in Math., 1210, Springer-Verlag, Berlin, 1986, 241-284.

38. J. Dyer, E. Grossman, The automorphism groups of the braid groups, Amer. J. Math. 103 (1981), no. 6, 1151-1169.

39. I. A. Dynnikov, Arc-presentations of links. Monotonie simplification, Fund. Math. 190 (2006), 29-76.

40. D. B. A. Epstein, J.W.Cannon, D.F.Holt, S. V.F.Levy, M. S. Paterson, W.P.Thurston, Word processing in groups, Jones and Bartlett Publ., Boston, MA, 1992.

41. I. V. Erovenko, On bounded cohomology of amalgamated products of groups, Int. J. Math. Math. Sci. 2004 (2004), no. 40, 2103-2121.

42. JI. Зибенман, Возвращение к теореме Осгуда-Шёнфлиса, Усп. мат. наук, 60:4(364) (2005), 67-96.

43. В. Farb (Ed.), Problems on mapping class groups and related topics, Proc. Symp. Pure Math. 74, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2006.

44. B. Farb, H. Masur, Superrigidity and mapping class groups, Topology 36:6 (1998), 1169-1176.

45. B.Farb, D.Margalit, A primer on mapping class groups, working draft, 2008.

46. A. Fathi, F. Laudenbach, V. Poenaru (eds.), Travaux de Thurston sur les surfaces, Séminaire Orsay, Astérisque, vol. 66-67, Soc. Math. France, Paris, 1979.

47. V. A. Faiziev, The Stability of the Equation f(xy) — f(x) — f{y) = 0, Acta Math. Univ. Comenianae 69:1 (2000), 127-135.

48. H. Furstenberg, A Poisson formula for semi-simple Lie groups, Ann. of Math. (2), 77:2 (1963), 335-386.

49. H. Furstenberg, Random walks and discrete subgroups of Lie groups, Adv. Probab. Related Topics, voll, Dekker, New York, 1971, 1-63.

50. H. Furstenberg, Boundary theory and stochastic processes on homogeneous spaces, Harmonic analysis on homogeneous spaces (Proc. Sympos. Pure Math., Vol. XXVI, Williamstown, MA, 1972), Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1973, 193-229.

51. F. A. Garside, The braid group and other groups, Quart. J. Math. Oxford20 (1969), 235-254.

52. J.-M. Gambaudo, E. Ghys, Commutators and dijfeomorphisms of surfaces, Ergodic Theory Dynam. Systems 24:5 (2004), 1591-1617.

53. J.-M. Gambaudo, Ё. Ghys, Braids and signatures, Bull. Soc. Math. France 133:4 (2005), 541-579.54. Ё. Ghys, Groups acting on the circle, Enseign. Math. (2) 47 (2001), 329407.

54. Э.Гис, П.деляАрп, Гиперболические группы по Михаилу Громову, Мир, М., 1992.

55. R. I. Grigorchuk, Some results on bounded cohomology, Combinatorial and geometric group theory (Edinburgh, 1993), London Math. Soc. Lecture Note Ser., vol.204, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1995, 111-163.

56. M. Gromov, Hyperbolic groups, Essays in group theory, Math. Sci. Res. Inst. Publ., 8, Springer-Verlag, New York, 1987, 75-263.

57. K. Honda, W. Kazez, G. Matic, Right-veering diffeomorphisms of compact surfaces with boundary /, Invent. Math. 169:2 (2007), 427-449.59