Классы скрученной сопряженности в линейных группах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат наук Насыбуллов, Тимур Ринатович

• Насыбуллов, Тимур Ринатович
• кандидат наук
• 2015

Оглавление диссертации кандидат наук Насыбуллов, Тимур Ринатович

Оглавление

Введение

Глава 1. Предварительные сведения

1.1 Общая теория групп

1.2 Классы скрученной сопряженности

1.3 Теория колец и полей

1.4 Теория линейных групп

1.4.1 Общая и специальная линейные группы

1.4.2 Симплектические группы

1.4.3 Ортогональные группы

1.5 Группы Шевалле

1.5.1 Группы Шевалле нормального типа

Глава 2. Свойство Яоо для линейных групп

2.1 Группы Шевалле над кольцом

2.1.1 Группы Шевалле типа Л/

2.1.2 Группы Шевалле типа В^ Д

2.1.3 Группы Шевалле типа С;

2.2 Группы Шевалле над полем

Глава 3. Класс скрученной сопряженности единичного элемента

3.1 Простейшие свойства, известные результаты и примеры

3.2 Внутренние автоморфизмы

3.3 Простые группы и группы подстановок

3.4 Абелевы, нильпотентные и разрешимые группы

3.5 Группы Шевалле

Заключение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Классы скрученной сопряженности в линейных группах»

Введение

Актуальность и степень разработанности темы исследования

Классы сопряженности в группе отражают свойства самой группы. Например, один из вопросов, сформулированный на заре развития комбинаторной теории групп, звучал так: существует ли бесконечная группа с конечным числом классов сопряженности? В 1949 Г. Хигман, Б. Нойман и X. Нойман [1] построили бесконечно порожденную группу с конечным числом классов сопряженности. Позднее С. Иванов (см. [2, теорема 41.2]) построил пример конечно порожденной группы с этим свойством. Затем Д. Осин [3] привел пример конечно порожденной бесконечной группы, в которой любые два неединичных элемента сопряжены, т. е. имеющей два класса сопряженных элементов.

Обобщением классов сопряженности являются классы скрученной сопряженности. Более точно, элементы х и у группы С называются (скру-ченно) ¡/^-сопряженными, где - некоторый эндоморфизм группы, если существует такой элемент л € С, что х = гу(р(г~г). В последние годы много работ посвящено изучению классов скрученной сопряженности в различных классах групп (см. обзоры [4-6]).

Изучение свойств скрученной сопряженности мотивировано топологической теорией неподвижных точек отображений, именуемой также теорией Нильсена-Райдемайстера. В 1927-1932 гг в цикле статей [7-9] Я. Нильсен изучал гомеоморфизмы поверхностей и определил классы неподвижных точек. Впоследствии К. Райдемайстер использовал алгебраические методы в теории Нильсена для произвольного компактного многогранника [10]. В этой работе появляются классы скрученной сопряженности групп гомеоморфизмов.

Пусть / : X —X — отображение компактного топологического пространства X на себя; р : X —> X - универсальное накрытие пространства X

и / : X —X - поднятие отображение /, т. e.pof = fop. При этом два поднятия /. f называются сопряженными, если существует 7 G Г = 7í"i(X), такое что f = 70 /о'-у-1. Подмножество p(Fix(f)) называется классом неподвижных точек отображения /, определенным классом поднятия [/]. Класс неподвижных точек называется существенным, если его индекс отличен от нуля. Число классов поднятий отображения / (и, следовательно, число классов неподвижных точек) называется числом Райдемайстера отображения / и обозначается R(f). Число существенных классов неподвижных точек называется числом Нильсена отображения / и обозначается N(f). При этом числа N(/) и R(f) являются гомотопическими инвариантами отображения /. Числа Лг(/) и R(f) тесно связаны между собой и являются главными объектами изучения теории Нильсена-Райдемайстера.

С другой стороны отображению / соответствует эндоморфизм ip = (автоморфизм, в случае когда / - гомеоморфизм) фундаментальной группы 7Ti(X). При этом число классов ^-сопряженности эндоморфизма (р совпадает с числом Райдемайстера /?,(/), и потому называется числом Райдемайстера эндоморфизма </? и обозначается символом R(ip). Таким образом топологическая задача нахождения числа R(f) сводится к чисто алгебраической задаче нахождения числа R((p).

Если G — конечная группа, то классическая теорема Берпсайда [11, §10] утверждает, что число классов сопряженности в группе G равно числу классов эквивалентности ее комплексных (и, следовательно, унитарных) неприводимых представлений. В настоящее время активно изучается аналог этой теоремы для классов скрученной сопряженности. Ищется связь между числом R(<p) и числом неподвижных точек отображения, индуцированного автоморфизмом <р на множестве всех классов эквивалентности унитарных представлений группы G.

Говорят, что группа обладает свойством Rесли число R{tp) бесконечно для всякого автоморфизма ср. Вопрос о том, какие группы обладают

свойством Rqo сформулировали А. Фелыптын и Р. Хилл [12]. Этот вопрос привлекал внимание многих исследователей [6,13-21]. В частности, А. Фель-штын, Г. Левитт и М. Люстиг показали, что неэлементарные гиперболические (по Громову) группы обладают свойством R^ [13,14]. Другой не менее широкий класс групп, обладающих свойством R^, указали А. Фелыптын и Е. Троицкий [6]. Они установили, что конечно порожденные финитно аппроксимируемые неаменабельные группы также обладают свойством Roo. Из этого результата, в частности, следует, что конечно-порожденные свободные группы обладают свойством Roo. В. Романьков и Е. Кукина показали, что свойством Roo обладают также некоторые свободные нильпотентные и свободные разрешимые группы [18,20].

В диссертации свойство Roo изучается для групп Шевалле над целостными кольцами и полями нулевой характеристики. Группы Шевалле являются естественным обобщением как алгебраических групп, так и классических линейных групп над коммутативными кольцами. Частными случаями групп Шевалле являются многие классические группы матриц, такие как SL/(i2), SOi(R) и Sp2i{R)- Группы Шевалле изучали такие известные математики, как К. Шевалле, Э. Абе, Р. Стейнберг, Дж. Хамфри, Н. Вавилов, В. Левчук, С. Колесников и многие другие.

Группа Шевалле над полем положительной характеристики не может обладать свойством R^. Это следует из результата Р. Стейнберга [22, теорема 10.1] о том, что связная линейная алгебраическая группа над алгебраически замкнутым полем, обладающая автоморфизмом ip с конечным числом неподвижных точек, совпадает с множеством элементов вида xip{x~l), т. е. с классом (/^-сопряженности единичного элемента. Следовательно R(ip) — 1 и такая группа не может обладать свойством R^. Для групп Шевалле над полем ненулевой характеристики такой автоморфизм </? всегда существует (автоморфизм Фробениуса).

Особый интерес при изучении классов скрученной сопряженности

представляет класс скрученной сопряженности единичного элемента. Часто, опираясь на свойства этого класса, можно делать выводы о числе классов скрученной сопряженности, а также о свойствах самой группы.

А. Фельштын и Е. Троицкий установили [23], что если - абеле-ва группа, то класс скрученной сопряженности [е]^ единичного элемента е является подгруппой группы С для любого автоморфизма <р группы С. При этом любой другой класс ^-сопряженности является смежным классом по этой подгруппе. Отсюда, в частности, следует, что число классов (/^-сопряженности в абелевой группе совпадает с индексом класса скрученной (/^-сопряженности единичного элемента

Используя этот факт, Е. Кукина в своей кандидатской диссертации описала спектр Райдемайстера (множество чисел Райдемайстера для всех автоморфизмов группы) конечно порожденных абелевых групп.

В работе Е. Кукиной и В. Романькова [20] для нильпотентиых групп без кручения была предложена формула вычисления чисел Райдемайстера: Пусть С - конечно порожденная нильнотентная группа без кручения ступени нильпотентности к, а <р - некоторый ее автоморфизм. Пусть также - г-й член верхнего центрального ряда, Аг = (г+1С/^гС, <рг - автоморфизм, индуцированный <р на Аг. Тогда

к-1

1=0

если число Я(<р) конечно. При помощи этой формулы найден спектр Райдемайстера некоторых свободных нильпотетных групп малых рангов и ступеней нильпотентности.

Как было отмечено выше, в случае абелевых групп класс скрученной сопряженности единичного элемента является подгруппой для любого автоморфизма группы. В диссертации рассматривается вопрос о том, для каких

еще групп класс [е]^ является подгруппой, а также при каких условиях на автоморфизм (р это выполнено в группах Шевалле. Цели и задачи

К основным целям диссертации относятся:

1. Исследование свойства в группах Шевалле (нормального типа) над различными кольцами и полями.

2. Описание групп, для которых класс скрученной сопряженности единичного элемента является подгруппой для всех автоморфизмов (внутренних автоморфизмов).

3. Исследование класса скрученной сопряженности единичного элемента в группах Шевалле (нормального типа), нахождение критериев того, что этот класс является подгруппой.

Основные результаты диссертации

Обозначим через 71 класс целостных колец нулевой характеристики, состоящий из колец, у которых группа автоморфизмов периодична, и из полей конечной степени трансцендентности над простым подпол ем.

К основным результатам диссертации относятся следующие утверждения.

1. Пусть Я е 71, тогда группы Шевалле типов А^ В^ С^ А над кольцом Я обладают свойством Я^. Если при этом Я является полем, то свойством Я0о обладают также группы Шевалле типов .Е/, [32,33].

2. Класс ^-сопряженности [е]^ единичного элемента группы Шевалле над полем Ее 71 является подгруппой тогда и только тогда, когда </? - центральный автоморфизм [33].

3. Группа, в которой класс [е]^ является подгруппой для любого внутреннего автоморфизма </?, принадлежит классу Куроша-Черникова ^ и обладает строго убывающей цепочкой нормальных подгрупп.

В частности, конечная группа, для которой класс [е]^ является подгруппой для любого внутреннего автоморфизма </?, нильпотентна [31].

Научная новизна и значимость работы

Работа носит теоретический характер. Все основные результаты диссертации являются новыми. Полученные результаты и методы могут найти применение в дальнейших исследованиях по теории групп и алгебраической топологии. Доказанные в диссертации утверждения могут быть включены в спецкурсы для студентов и аспирантов.

Методы исследования

В работе используются методы работы в группах Шевалле, также привлечены элементы теории колец, полей и их расширений. Активно используется известная теорема Стейнберга [24,25] о строении групп автоморфизмов групп Шевалле над полями и ее аналоги [26-30] над различными кольцами.

Апробация работы

Результаты диссертации докладывались на международной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс» (Новосибирск, 2011, 2012, 2014); международной конференции по теории колец посвященной 90-летию со дня рождения Анатолия Илларионовича Ширшова (Новосибирск, 2011); международной молодежной школе-конференции «Алгоритмические вопросы теории групп и смежных областей» (республика Алтай, 2012); международной конференции «Nielsen Theory and Related Topics» (Корея, Тэджон, 2013); международной конференции по теории групп, посвященной 70-летию Виктора Даниловича Мазурова (Новосибирск, 2013); международной научной конференции «Алгебра и логика, теория и приложения» (Красноярск, 2013); международной конференции «Knots, Braids and Automorphism Groups» (Новосибирск, 2014); международной конференции «Winter Braids V» (Франция, По, 2015).

Результаты диссертации неоднократно обсуждались на семинаре «Теория групп» лаборатории теории групп Института математики им. С. JI. Соболева СО РАН а также на семинарах «Алгебра и логика» и «Эварист Га-

луа» Новосибирского национального исследовательского государственного университета.

Публикации

Результаты автора по теме диссертации опубликованы в работах [31-38], при этом работы [31-33] опубликованы в изданиях, которые входят в перечень ВАК российских рецензируемых научных журналов, в которых должны быть опубликованы основные результаты диссертаций на соискание ученых степеней доктора и кандидата наук. Результаты работы [31] получены в неразделимом соавторстве с В. Г. Бардаковым и М. В. Нещадимом с равнозначным вкладом каждого участника.

Благодарности

Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю Валерию Георгиевичу Бардакову за неизменную всестороннюю помощь и поддержку. Автор благодарен Евгению Петровичу Вдовину за регулярную помощь и консультации в ходе выполнения работы, а также за стимулирование мотивации и стремления заниматься. Автор благодарит Александра Леопольдовича Фелыптына и Елену Игоревну Бунину за полезные советы и консультации. Также автор признателен всем сотрудникам лаборатории теории групп ИМ СО РАН и кафедры алгебры и математической логики НГУ за дружескую творческую атмосферу и полученные знания.

Глава 1. Предварительные сведения

1.1 Общая теория групп

В работе используются стандартные обозначения (см. [39]). Если С -группа, то записи Я < (? (Я < (?) и Я<(? (Я<С) обозначают, что Я является подгруппой (подгруппой, отличной от С) или нормальной подгруппой группы С (нормальной подгруппой, не совпадающей с С). Символом : II| обозначается индекс подгруппы Я в группе С, т. е. число левых (или, что эквивалентно, правых) смежных классов по подгруппе Я, символом Л^(Я) обозначается нормализатор подгруппы II в группе С. Если подгруппа Я нормальна в (7, то через С/Я обозначается факторгруппа группы С по подгруппе Я. Запись 1 ^ А С —> В —1 означает, что А < С и группа С/А изоморфна группе В. Если М - некоторое подмножество группы С, то символом (М) обозначается подгруппа, порожденная множеством М, символом \М\ мощность множества М. Если х - некоторый элемент группы С, то символом |ж| обозначается порядок элемента х.

Сопряжение элемента х при помощи элемента у группы С обозначается через ху = у~1ху. Если х - некоторый элемент группы С, то символом хс обозначается множество всех элементов группы С, сопряженных с х. Символом [х,у] = х~1ху обозначается коммутатор элементов х, у группы (?. Во всякой группе справедливы следующие коммутаторные тождества

Символом [А, В] обозначается взаимный коммутант подгрупп Аи В группы (7, т. е. подгруппа, порожденная всеми коммутаторами [х,у] элементов х из А, у из В. Через Z{G) обозначается центр группы С, символом

[ху,г] = [х,г]у[у,г} = [х, г][[х, г],у][у, г],

(1.1)

[х,уг] = [х,г][х,у]г = [х, г][х,у][[х,у], г] [х,у]~1 = [у,х].

(1.2) (1.3)

и

обозначается г-й гиперцентр группы С, т.е. г-й член верхнего центрального ряда

СоС = е, СтС/СгС = г{С/СгС).

Если Н - подгруппа группы а х € Мс(Н) - некоторый элемент нормализатора группы Н в С, то символом срх обозначим автоморфизм группы Н действующий по правилу

4>х(д) = хдх~1 = дх~\

Автоморфизм такого вида называется автоморфизм-сопряжение группы Н, индуцированный элементом х группы С. Если при этом х лежит в Н, то (рх - внутренний автоморфизм группы Н. Символами Аи^С) и 1пп(С) обозначаются соответственно группа автоморфизмов и группа внутренних автоморфизмов группы С. Через Епс1(С) обозначается множество всех эндоморфизмов группы С. Если (р - эндоморфизм группы С, Н - некоторая подгруппа группы (7, то символом ф{Н) обозначается образ подгруппы Н под действием эндоморфизма </?. Подгруппа Н группы С называется характеристической если <р(Н) = Н для любого автоморфизма ср группы С.

1.2 Классы скрученной сопряженности

В данном параграфе изложены основные определения, а также формулировки и доказательства вспомогательных утверждений об отношении скрученной сопряженности, справедливые для произвольной группы. Пусть далее С - группа, <р - некоторый автоморфизм группы С.

Определение 1 Два элемента х и у группы С? называются скручен-но ф-сопряэюенными (или просто ^-сопряженными), если для некоторого элемента г группы С выполнено равенство

х — гу<р(г~1).

Автоморфизм </? в этом определении можно заменить эндоморфизмом. Для обозначения того, что элементы х, у группы С являются скрученно </?-сопряженными, используется запись х у. Если <р - тождественный автоморфизм, то определение 1 есть ничто иное, как определение сопряженных элементов.

Предложение 1 Отношение ср-сопряженности является отношением эквивалентности.

Доказательство. Так как является автоморфизмом группы С, то для нейтрального элемента е группы С имеем (р{е) = е. Отсюда следует, что для любого элемента х группы С выполнено равенство

х — ехц)(е~1).

Следовательно отношение ^-сопряженности является рефлексивным.

Покажем симметричность отношения (/^-сопряженности. Если х у: то для некоторого элемента г группы С выполнено равенство х = гу^р{г~1). Из этого равенства вытекает, что у — и симметричность

установлена.

Если х у и у 2, то для некоторых элементов а и Ь группы С имеем

х = ау(р(а~1), у = Ъгф(Ъ~1).

Отсюда следует, что

х = аЬг(р{Ь~1)(р(а~1) = аЪгф({аЬ)~1).

Мы установили, что отношение (/^-сопряженности рефлексивно, симметрично и транзитивно, а значит, является отношением эквивалентности. □

Классы эквивалентности отношения скрученной (/^-сопряженности называются классами ^-сопряженности. Класс (/^-сопряженности элемента х

обозначается через [х]^. Если <р = <ру - автоморфизм-сопряжение, то класс скрученной (/^-сопряженности элемента х обозначается через [х]у. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2 Количество классов (р-сопряженности называется числом Райдемайстера автоморфизма <р и обозначается символом Я(ф).

Число Райдемайстера может быть как конечным натуральным числом, так и произвольным кардинальным числом. Однако в данной работе бесконечные кардинальные числа не различаются и обозначаются символом оо.

ЛЕММА 1 Пусть <р - некоторый автоморфизм, а ¡рд - внутренний автоморфизм группы С. Тогда Я(<рд<р) — Я(<р).

Доказательство. Рассмотрим отображение /, действующее из множества классов </?5(/>сопряженности в множество классов (/^-сопряженности по правилу

/ : [А<РдЧ> ^ N1^'

Пусть [ж]^, [у]^ - различные классы (/^-сопряженности. Допустим, что их образы [хд}^, {уд]<р иод действием отображения / совпадают. Это значит, что элементы хд и уд являются (/^-сопряженными, т.е. для некоторого элемента 2 группы С выполнено равенство

хд = гуд^г'1).

Умножив это равенство справа на получаем

х = гудр{г~1)д~1 = гурдр(г):

откуда следует, что х ^ у, что противоречит выбору элементов х, у. Следовательно отображение / инъективно.

Сюрьективность отображение / следует из того, что каждый класс [х}^ имеет в качестве прообраза относительно отображения / класс [ЗД-1]^; следовательно / устанавливает биекцию между всеми классами (/>-сопряженности и всеми классами (/^-сопряженности. □

Определение 3 Говорят, что группа С обладает свойством Яоо (или С является Я^-группой), если число Я(<р) бесконечно для любого автоморфизма группы С.

Справедливо следующее утверждение, связывающее число классов скрученной сопряженности в группе и факторгруппе. ЛЕММА 2 Пусть имеет место короткая точная последовательность

I ^ N ^ С А 1,

где N - характеристическая подгруппа группы С. Пусть такэ/се ср - некоторый автоморфизм группы С, (р - автоморфизм группы А, индуцированный автоморфизмом (р, а ф - суэюение автоморфизма <р на группу N. Тогда

1. ад > Я(<р).

2. Если А - конечная группа и Я(т/>) = оо; то Я(<р) = со.

3. Если N - конечная гргуппа и Я{^р) = оо; то Я(ф) = сю. Доказательство. Обозначим через х образ элемента х под действием естественного гомоморфизма С? —> Л = С/N, тогда (р{х) =

1. Если для элементов х, у группы (У выполнено х ^ у: то для некоторого элемента г группы С выполнено равенство х = Факторизуя это равенство по подгруппе N получаем х = гуф^'1). Таким образом доказано, что образы (относительно естественного гомоморфизма) скрученно (/^-сопряженных элементов группы (7 являются скрученно ^-сопряженными в группе А, т.е. образ класса [х]^ в группе А полностью содержит класс [х\<р. Следовательно число Я(р) не меньше числа Я(<р).

2. Пусть Ж1,Ж2) • ■ ■ _ бесконечное множество таких элементов группы N, что Х{ х^ при г ^ 3 (такое множество элементов существует, так как Я{ф) = оо). Допусти, что Я(^>) < оо, тогда среди элементов £1,2:2,. . . существует бесконечное подмножество (/^-сопряженных элементов. Не ограничивая общности, можно считать, что все элементы 2:1,0:2,... являются

с^-сопряженными, т.е. для некоторых элементов у2,уз,--- выполнены равенства

XI = угХ^у'1), г = 2, 3,... (1.4)

Произвольный элемент у^ единственным образом представим в виде уг = где г{ - фиксированный представитель смежного класса ггМ, ¿г - некоторый элемент группы И, при этом <р(у{) — р(г{)ф(Ьг). Тогда (1.4) примет вид

XI = ^¿яЖ^М-гГ1). г = 2,3,... (1.5)

Так как группа А конечна, то для некоторых г ф з выполнено равенство г1 = г]: следовательно, в силу равенств (1.5) имеем

Умножив это равенство на слева и на ср(1г)ф(гг) справа, приходим

к равенству хг — которое означает, что хг х3, что

противоречит выбору набора х\, Х2,.. •

3. Пусть х\, х2,... - такое бесконечное множество элементов группы (2, что Х( оо^ X] при г ф 3- Рассмотрим образы Х\,Х2,... элементов Х\,Х2, ■ ■ ■ в группе А и предположим, что Я(ср) < со. Это значит, что среди множества XI, х2, • ■ ■ существует бесконечное подмножество (^-сопряженных элементов. Не ограничивая общности, можно считать, что все элементы Х\, х2, ■ ■ ■ являются (^-сопряженными, то есть для некоторых элементов у2, Уз, ■ ■ ■ группы А выполнены равенства

хг = у[Хг{р(уг), г = 2,3,...

Переходя к прообразам в группе С, имеем для некоторых элементов г/1, у2) ■ ■ • группы (7 и для некоторых элементов г\, ¿2,... группы N равенства

х1 = у1хцр(у{)г{, ¿ = 2,3,...

Так как N - конечна, то для некоторых индексов i ^ j выполнено равенство z7 = Zj, следовательно

ylxlip{y~l)zl = Xí = yJxJ(p(y~1)zl.

Умножая это равенство на у'1 слева и на справа приходим к ра-

венству хг — (y^y^Xjip^y^yj)-1), которое означает, что хг ^ х0, что противоречит выбору набора х\, Х2, ■.. □

Из этого предложения вытекает, в частности, следующее утверждение следствие 1 Пусть имеет место короткая точная последовательность

1-+N-+G-+A-+1,

где N - характеристическая подгруппы группы G. Тогда

1. Если группа А обладает свойством Roo; тпо группа G maKoice обладает свойством Roo-

2. Если А - конечная группа и N обладает свойством Roo, тгьо G такэюе обладает свойством Roo-

3. Если N - конечная группа, G обладает свойством Roo и всякий автоморфизм группы А поднимается до автоморфизма группы G, то А обладает свойством R^.

В работе [21] изложено другое доказательство следствия 1, которое содержит неточность в формулировке третьего пункта: отсутствует условие того, что произвольный автоморфизм группы А поднимается до автоморфизма группы G, однако этот факт неявно используется при доказательстве.

Определение 4 Множество SpecR{G) = {R((p) | tp G AutG} всех чисел Райдемайстера автоморфизмов группы G называется спектром Рай-демайстера группы G.

Очевидно, что группа G обладает свойством R^ тогда и только тогда, когда Specfí{G) = {оо}.

1.3 Теория колец и полей

Под целостным кольцом в данной работе понимается ассоциативное, коммутативное кольцо без делителей нуля, которое содержит нейтральный по умножению элемент 1. Если Я - целостное кольцо, то символом Я* обозначается мультипликативная группы кольца Я. Для поля Р символом с11аг(Р) обозначается характеристика поля Р. Так как произвольное целостное кольцо Я вкладывается в некоторое поле Р, то можно определить характеристику целостного кольца Я, положив ее равной характеристике поля Р. Запись Ь обозначает, что поле Р является расширением поля Ь (или I/ является подполем Р).

Символами Ъ, Zp и Ъ[г\ обозначаются соответственно кольцо целых чисел, кольцо целых р-адических чисел и кольцо гауссовых целых чисел. Через ((]), М, (Зр обозначаются соответственно поле рациональных чисел, поле вещественных чисел и поле р-адическнх чисел.

Символом Р обозначается алгебраическое замыкание поля Р. Если Я и Р - соответственно кольцо и поле, а Т2:... - некоторые переменные, то символами Я[Тх, Т2,... ] и Р(Т\, Т2:...) обозначаются соответственно кольцо многочленов над Я и поле рациональных функций над Р от переменных ТЬТ2,.... Если кольцо Я содержится в кольце К (поле Р содержится в поле Ь), а х2,... - некоторые элементы кольца К (соответственно, поля Ь), то символом Я[х 1,х2,... ] (Р(х\, х2, • • •)) обозначается минимальное по включению подкольцо в К (подполе в Ь), содержащее кольцо Я (поле Р) и элементы х\, х2,...

Пусть Р\Ь - расширение поля Ь. Элементы х1:...,х& называются алгебраически независимыми над Ь, если ни для какого многочлена /(Тх,... ф 0 с коэффициентами из поля Ь не выполняется равенство /(о?!,..., х/с) = 0. Максимальное множество алгебраически независимых элементов поля Р над Ь называется базисом трансцендентности поля Р

над L. Мощность базиса трансцендентности поля F над L не зависит от выбора базиса трансцендентности и называется степенью трансцендентности поля F над L. Степень трансцендентности расширения полей обозначается через tr.degLF.

Пусть Q - множество рациональных чисел, 7г - множество всех простых чисел, а 2п - множество всех его подмножеств. Определим функцию

V : Q -> 2п

правилом: если х = а/Ь Е Q, где а и b - взаимно простые целые числа, то

и(х) = {все простые делители a] U {все простые делители Ь].

Пример. 1/(1) = 0, v{2) = {2}, и{-\) = {2}, и(0) = тг, i/(|) = {2,3}. ЛЕММА 3 Пусть F - поле нулевой характеристики, х\,..., х^ - алгебраически независимые над Q элементы поля F, a x^+i - такой элемент из F, что xi,..., Xk+i алгебраически зависимы над Q. Пусть также автоморфизм 6 поля F действует на этих элементах по правилу

Ô : Xi ь-> tQtiXii i = 1,..., k + 1,

где ¿O; • ■ ■ ) tk+i ~ рациональные числа и ti,... отличны от единицы.

Тогда, если v(U) П v(tj) — 0 при i ф j, то Xk+i = 0.

Доказательство. Так как элементы х\,... алгебраически зависимы

над Q, для некоторого многочлена /(Ti,..., Tk+i) ф 0 с рациональными коэффициентами выполнено f(xi,... ,Xk+i) — 0. Пусть / - многочлен минимальной (в лексикографическом порядке) степени с этим условием. Пусть

№,...,ты) = г;-...+ X] «Ü.....wtf. ..TÉí.

где Т[ч ... - старший моном.

Определим отображение Ô : {ж1?..., Xk+i} —У Q, которое действует по правилу ô(xi) = ¿o¿¿- Очевидно, что ô(xi) — 5(xí)xí.

Рассмотрим теперь многочлен д(Т\,..., Тк+х) с рациональными коэффициентами, который имеет вид

д(Ти ..., Тк+г) = /(?(х!)Ть ..., 6(хк+1)Тк+1)

и заметим, что

д(хь ..., хк+1) = ¡{5(х1),..., ¿(^+1)) = 6(/(хь ..., хк+1)) = (5(0) = 0.

Рассмотрим многочлен ..., Тк+г) следующего вида

И = /(Ть ..., Тк+1) - 6(Х1)-п*... 6(хк+1уп^д(Тг,..., Тк+1).

Так как многочлены / и д обращаются в нуль на наборе х\,... ,хк+1, то и многочлен И также принимает нулевое значение на этом наборе. Степень многочлена И меньше степени многочлена /, и в силу минимальности многочлена / получаем, что ... ,Тк+1) = 0. Выпишем многочлен /г(Гь .. .,Тк+1):

Е (1 - ^хх)— ... ... ^.

Так как /¿(Т^ ..., Тк+1) = 0, то

(1 - 8(Х1у^ .. .6(хк+1у™-»™) ач_гк+1 = 0

для всех ¿1,..., гк+\. Если предположить, что аг-1]...1гк+1 ф 0, то получим, что 1 - ¿(хх)г'1_П1 ... 5(хк+1у^-п^ = 0. Так как 6{хг) = имеем

к+1

3=1

Следовательно

к+1 \ -----1-77.1.11^ — ^11-1-----й'р. Г .п.—г- I - . ^

что противоречит условиям, наложенным на ¿¿. Поэтому = 0 для

всех ¿1,..., ik+i. Следовательно, /(Ti,..., T^+i) = Т"1... Т^1, и равенство

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Насыбуллов, Тимур Ринатович, 2015 год

Список литературы

1. G. Higman, В. Neumann, Н. Neumann. Embedding theorems for groups //J. London Math. Soc. - V. 24. - 1949. - P. 247-254.

2. А. Ю. Ольшанский. Геометрия определяющих соотношений в группах. - М.: Наука. - 1989.

3. D. V. OsiN. Small cancellations over relatively hyperbolic groups and embedding theorems // Ann. Math. - V. 172, №1. - 2010. - P. 1-39.

4. A. L. Fel'SHTYN. New directions in Nielsen-Reidemeister theory // Topology Appl. - V. 157, №10-11. - 2010. - P. 1724-1735.

5. A. L. Fel'SHTYN. New directions in Nielsen-Reidemeister theory // ArXiv:0712.2601.

6. A. L. Fel'SHTYN, E. V. Troitsky. Twisted conjugacy classes in residually finite groups // ArXiv:1204.3175.

7. J. Nielsen. Untersuchungen zur Topologie der geschlossenen zweiseitigen Flachen I // Acta Math. - V.50. - 1927. - P. 189-358.

8. J. Nielsen. Untersuchungen zur Topologie der geschlossenen zweiseitigen Flachen II // Acta Math. - V.53. - 1929. - P. 1-76.

9. J. nielsen. Untersuchungen zur Topologie der geschlossenen zweiseitigen Flachen III // Acta Math. - V. 58. - 1932. - P. 87-167.

10. k. reidemeister. Automorphismen von Homotopiekettenringen // Ann. Math. - V. 112. - 1936. - P. 586-593.

11. А. А. кириллов. Элементы теории представлений. - М.: Наука. -1978.

12. A. L. Fel'shtyn, R. Hill. The Reidemeister zeta function with applications to Nielsen theory and a connection with Reidemeister torsion // K-Theory. - V. 8, №4. - 1994. - P. 367-393.

13. A. JI. фельштын. Число Райдемайстера любого автоморфизма гро-мовской гиперболической группы бесконечно // Зап. научн. сем. ПОМИ. - Т. 279. - 2001. - С. 229-240.

14. G. Levitt, М. Lustig. Most automorphisms of a hyperbolic group have very simple dynamics // Ann. Scient. Ec. Norm. Sup. - V. 33. - 2000. -P. 507-517.

15. A. L. Fel'shtyn, D. L. goncalves. Reidemeister numbers of any automorphism of Baumslag-Solitar group is infinite // Geometry and Dynamics of Groups and Spaces, Progress in Mathematics. - V. 265. -2008. - P. 286-306.

16. G. Levitt. On the automorphism group of generalised Baumslag-Solitar groups // Geom. Topol. - V. 11. - 2007. - P. 473-515.

17. A. L. Fel'shtyn, Yu. G. Leonov, E. V. Troitsky. Twisted conjugacy classes in saturated weakly branch groups // Geom. Dedicata. - V. 134. -2008. - P. 61-73.

18. V. A. roman'kov. Twisted conjugacy classes in nilpotent groups // J. Pure Appl. Algebra. - V. 215. - 2011. - P. 664-671.

19. K. Dekimpe, D. L. Goncalves. The i?oo property for free groups, free nilpotent groups, and free solvable groups // Bull. London Math. Soc. -V. 46. - 2014. - P. 737-746.

20. e. G. Kukina, v. A. roman'kov. On the Reidemeister spectrum and the Rqq property for some free nilpotent groups // ArXiv:0903.4533.

21. T. mubeena, P. sankaran. Twisted conjugacy classes in abelian extensions of certain linear groups // Canadian Mathematical Bulletin. - V. 57. - 2014. - P. 132-140.

22. R. steinberg. Endomorphisms of Linear Algebraic Groups // Memoirs of AMS. - V. 80. - 1968.

23. A. L. Fel'shtyn, E. V. troitsky. Geometry of Reidemeister classes and twisted Burnside theorem // K-theory. - V. 1. - 2008. - P. 1-40.

24. R. STEINBERG. Automorphisms of finite linear groups // Canad. J. Math. -V. 121. - 1960. - P. 606-615.

25. J. E. humphreys. On the automorphisms of infinite Chevalley groups // Canad. J. Math. - V. 21. - 1969. - P. 908-911.

26. L. McQueen, B. R. McDonald. Automorphisms of symplectic group over local ring //J. Algebra. - V. 30, №1-3. - 1974. - P. 485-495.

27. в. Я. блощицын. Автоморфизмы симплектической группы Sp4 над локальным кольцом // Матем. заметки. - Т. 33, №4. - 1983. - 481-487.

28. Е. И. БУНИНА. Автоморфизмы элементарных присоединённых групп Шевалле типов Ai, Di, Ei над локальными кольцами с 1/2 // Алгебра и Логика. - Т. 48, №4. - 2009. - С. 443-470.

29. Е. И. БУНИНА. Автоморфизмы групп Шевалле типов Ai, Di, Ei над локальными кольцами с необратимой двойкой // Фундамент, и прикл. матем. - Т. 15, №7. - 2009. - С. 48-80.

30. Е. И. бунина. Автоморфизмы групп Шевалле типа Bi над локальными кольцами с 1/2 // Фундамент, и прикл. матем. - Т. 15, №7. -2009. - С. 3-46.

31. В. Г. Бардаков, Т. Р. Насыбуллов, М. в. Нещадим. Классы скрученной сопряженности единичного элемента // Сибирский математический журнал. - Т. 54, №1. - 2013. - С. 20-34.

32. Т. Р. Насыбуллов. Классы скрученной сопряженности в общей и специальной линейных группах // Алгебра и Логика. - Т. 51, №3. -2012. - С. 331-346.

33. Т. Р. Насыбуллов. Классы скрученной сопряженности в группах Шевалле // Алгебра и Логика. - Т. 53, №6. - 2014. - С. 735-764.

34. Т. R. NASYBULLOV. Twisted conjugacy classes in Chevalley groups // Hot topic workshop on Nielsen Theory and Related topics, Program Sz Abstract, Daejeon, Korea. - 2013. - P. 12.

35. Т. P. НАСЫБУЛЛОВ. Классы скрученной сопряженности в линейных группах // Материалы XLIX Международной научной студенческой конферецнии «Студент и научно-технический прогресс», Новосибирск. -2011. - С. 19.

36. Т. Р. НАСЫБУЛЛОВ. Обобщение классов сопряженности в общей и специальной линейных группах // Международная конференция по теории колец, посвященная 90-летию со дня рождения А.И.Ширшова, Тезисы докладов, Новосибирск. -2011. - С. 51.

37. Т. Р. насыбуллов. Классы скрученной сопряженности в нилыю-тентных группах // Материалы юбилейной 50-й международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс», Новосибирск. - 2012. - С. 18.

38. Т. Р. НАСЫБУЛЛОВ. Классы скрученной сопряженности в группах Шевалле // Материалы 52-й международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс», Новосибирск.

- 2014. - С. 12.

39. М. И. Каргаполов, Ю. И. Мерзляков. Основы теории групп. -М.: Наука. - 1982.

40. Ж. ДьЁДОННЕ. Геометрия классических групп. - М.: Мир. - 1974.

41. Автоморфизмы классических групп (сб. переводов с англ. и франц.).

- М.: Мир. - 1976.

42. J. Е. Humphreys. Introduction to Lie algebras and representation theory. - Springer-Verlag, New York. - 1978.

43. R. W. carter. Simple groups of Lie type. - Wiley, London et al. - 1989.

44. P. СТЕЙНБЕРГ. Лекции о группах Шевалле. - М.: Мир. - 1975.

45. Дж. ХАМФРИ. Линейные алгебраические группы. - М.: Наука. - 1980.

46. D. ROBINSON. Finiteness Conditions an Generalized Soluble Groups, Part 1,2,- Springer-Verlag. - 1972.