Об оценках сумм мультипликативных характеров тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Волостнов Алексей Сергеевич

• Волостнов Алексей Сергеевич
• кандидат наук
• 2024

Оглавление диссертации кандидат наук Волостнов Алексей Сергеевич

2.4 Множества Бора

3 Основные результаты об оценках сумм мультипликативных характеров

3.1 Теорема об оценке \БХ(А,В,С)|

3.2 Теорема об оценке двойной суммы по множествам мощности хотя бы рзт+

3.3 Теорема об оценке МХ(А, В ,С)

3.4 Теорема об оценке двойной суммы по множествам мощности хотя бы рт+

3.5 Теорема об оценке суммы мультипликативных характеров по множеству Бора

4 Энергия корней

4.1 Нормы Гауэрса

4.2 Доказательство теоремы

4.3 Доказательство теорем 4.3 и

4.4 Доказательство теоремы

Заключение

Глава 1. Введение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Об оценках сумм мультипликативных характеров»

Актуальность темы исследования

В 1837 году Лежён Дирихле [1] показал, что каждая бесконечная арифметическая прогрессия, первый член и разность которой — натуральные взаимно простые числа, содержит бесконечное число простых чисел. В своём замечательном доказательстве Л. Дирихле вводит функцию целочисленного аргумента, которая позднее стала называться характером Дирихле и которая нашла многочисленные применения в математике. Характеры Дирихле можно определять двумя способами: аксиоматически и конструктивно. Не смотря на то, что сам Дирихле определял характеры конструктивно (см., например, [2, с. 296-309]), мы сперва дадим аксиоматическое определение. Везде ниже часто вместо "характер Дирихле" будем просто говорить "характер" или "мультипликативный характер".

Определение 1.1. Характером называется функция х : Ъ ^ С, удовлетворяющая следующим условиям:

1) х(1) = 1;

2) х(п) — вполне мультипликативная функция, т. е. для любых п,т Е Ъ выполняется равенство

Х(пт) = хЫхМ;

3) существует к Е Ъ, к ^ 1, такое, что х(п) — периодическая функция с периодом к, то есть для любого п Е Ъ выполняется равенство

Х(п + к) = х(п).

Можно показать, что любой период х кратен наименьшему периоду т, который называется главным периодом. Число т называется также модулем х, а х — характером по модулю т. Тривиальным характером по модулю т называется характер такой, что

{1, если (п, т) = 1;

0, если (п, т) > 1.

Наименьшее натуральное число d такое, что

(X(n))d = Хо(п), называется порядком характера х- Несложно доказать, что

(х(п)Т(т) = х(п),

поэтому порядок всегда существует.

Как правило, арифметические проблемы связаны с характерами, модуль которых равен простому числу. Везде далее будем считать р нечётным простым числом и % — характером по модулю р. В этом случае конструктивное определение Дирихле, упоминавшееся ранее, можно записать в следующем довольно компактном виде:

{0, если п = 0 (mod р);

f ■ л \

exp Ыг^—г) , если п = 0 (mod р).

Здесь а — целое число, 0 ^ а < q — 1, ind п — индекс числа п по модулю р при основании д, где д — первообразный корень по модулю р. При а = 0 получаем тривиальный характер по модулю р. Интересно, что при а = -1 получается символ Лежандра (^j, введённый Адриеном Мари Лежандром [3] за столетие до Дирихле.

Символ Лежандра определяется следующим образом:

(;)

0, п делится на р;

1, если п является квадратичным вычетом;

— 1, если п является квадратичным невычетом.

Наиболее важными арифметическими проблемами, которые связаны с характерами, являются проблемы распределения степенных вычетов и невычетов по заданному модулю и проблемы распределения первообразных корней по заданному модулю (см. [4]). Пусть п — делитель р — 1. Число а, не кратное р, называется вычетом степени п по модулю р, если существует b такое, что а = bn (mod р). В противном случае а называется невычетом степени п по модулю р. При п = 2 вычеты (невычеты) называются квадратичными, при п = 3 — кубическими, при п = 4 — биквадратичными.

Первые вопросы о распределении квадратичных вычетов и невычетов поставлены Эйлером и Гауссом [5]; им же принадлежат и первые теоремы, отвечающие на эти вопросы, в частности теорема о том, что в приведенной системе вычетов по модулю р содержится 2—1 квадратичных

вычетов и квадратичных невычетов.

Оказывается, вопрос о квадратичных вычетах и невычетах в подмножествах А множества приведенной системы вычетов по модулю р можно легко переформулировать в терминах сумм характеров по модулю р, а именно всё сводится к вопросу о верхней грани модуля суммы символов Лежандра. Действительно, для любого числа п, не кратного р, выражение 2 + ^^ равно единице, если п — квадратичный вычет, и равно нулю, если п — квадратичный невычет. Следовательно, если V (А) и N (А) — соответственно число квадратичных вычетов и число квадратичных невычетов в множестве А С Е*, то получаем:

V (А) = ^ + 2 5 (А), (1.0.1)

N(А) = ^ - 25(А), (1.0.2)

где

5 (А)

^ ().

пеА у-г/

Таким образом, если доказать, что Б (А) = о(|А|), то формулы (1.0.1) и (1.0.2) станут асимпто-

|А|

тическими с главным членом 2 .

Аналогичным образом решается задача о степенных вычетах по модулю р произвольной степени п. А этом случае формула для количества элементов а Е А, которые являются вычетами степени п по модулю р принимает вид:

141 1 п—

Уп(А) = О + - £ вХк(А), (1.0.3)

к= 1

где

^ (А) =^ Хк (а)

еА

и \к определяется формулой

( к ind а\ ( к1 ind а\

Хк (а) = ехЫ 2тг—-— I = ехЫ 2тг ^ — 1 ,

0 < к1 = к(р — 1)/п < р — 1, то есть хк — нетривиальный характер по модулю р. Формула (1.0.3)

т=ах (А)| = о(1А\).

Хк=Х 0

Похожими методами решается задача о количестве первообразных корней во множестве А

становится асимптотической, если

(см., например, [6]).

Разумеется, не может существовать никакой нетривиальной оценки для простой суммы вх(А) в общем случае, так как равенство |5'Х(А)| = |А| возможно даже для больших множеств А. Например, если в качестве А взять множество всех квадратичных вычетов, а в качестве х — символ Лежандра. Однако, для множеств с хорошей аддитивной структурой есть весьма интересные результаты. Наиболее простым примером таких множеств являются отрезки, то есть множества вида [а..Ь] = {а, а + 1,... , Ь}. Частным случаем суммы 5Х(А) является следующая:

N

БХ(М) = вх([1.Л]) = ^х(х).

Х=1

В 1918 году Иван Матвеевич Виноградов [7], [8] и независимо Дьёрдь Пойя [9] при изучении закона распределения квадратичных вычетов и невычетов по простому модулю доказали, что

( М)1 < ^р 1пр. (1.0.4)

Свои доказательства они проводили для сумм символом Лежандра, но рассуждения остаются в силе и для произвольного нетривиального характера.

Позднее неравенства, подобные (1.0.4), с многочленом /(х) произвольной степени п, /(х) ф дт(х) (mod р), где т — порядок характера х, были получены Д. Морделлом [10], Х. Хассе [11] и А. Вейлем [12]. Из результатов последней работы, в частности, следует оценка неполной суммы характеров вида

Ёх(/(х))

х=1

^ 'Щ^р) 1пр.

Пусть ( ) — максимальное расстояние между соседними квадратичными невычетами, п( ) — наименьший квадратичный невычет и ( ) — наименьший простой квадратичный вычет по модулю р среди чисел 1, 2,... ,р — 1. В 1926 г. Виноградов [13], пользуясь своей оценкой (1.0.4) и соображениями типа решета Бруна, доказал, что при любом е > и р ^ р(е)

п(р) ^ р21^+£ .

Виноградовым был высказан ряд гипотез о поведении величин ¿(р), п(р) и г(р), а именно: для любого заданного 6 > 0

¿м ^ о, пМ ^ 0, ^ о. р р р°

при р ^ то.

В 1942 г. Юрий Владимирович Линник [14] с помощью созданного им метода большого решета [15] доказал, что гипотеза Виноградова справедлива для почти всех модулей р. Более

точно теорему Линника можно сформулировать в следующем виде, предложенном Сигэнори Учиямой (см. [4, с. 136, с. 217-218]): для ж(х)(1 — о(1)) значений р, р ^ х, величины п(р) и г(р) не превосходят величины с(е) 1п2+£ х.

В 1957 году Бёрджесс улучшил границу в задаче Виноградова, получив оценку

п(р) ^ р

при любом £ > и р ^ р(е). Его доказательство основано на новой границе для 8х(Ы).

Теорема 1.1 (Бёрджесс, 1957, [16]). Пусть х — нетривиальный мультипликативный характер по модулю р. Тогда для любого натурального к и любого £ > 0 выполнено

х(п)

М 4п4М

г1 1 +£

Т1— -П , ,2

< N1— к р 4к2

1

Нетривиальная оценка получится при условии N ^ р4+д, если взять параметр к достаточно большим. Оценка более коротких интервалов до сих пор остаётся открытой проблемой в аналитической теории чисел. Метод Бёрджесса (в форме Карацубы) основан на том, что любую арифметическую прогрессию можно представить в виде А + ВС, что позволяет свести теорему к оценке смешанной тернарной суммы У] х(а + Ьс). Этот метод оказался применим для оценки многих других сумм характеров, в частности, он используется и в настоящей диссертации.

В настоящее время человечество далеко от доказательства гипотез Виноградова, и особенно трудной представляется гипотеза про ¿(р). Из расширенной гипотезы Римана для ¿-рядов Дирихле следует [17], что

п(р) = 0(1п2р), г(р) = 0(1п2р).

В то же время для подтверждения справедливости гипотезы о величине ¿(р) не удаётся получить даже подобного рода условных результатов.

Ещё одним примером множеств с хорошей аддитивной структурой являются множества Бора. Для заданного порождающего множества Г С и параметра е > 0 множество Бора В (Г, е) определяется как

В(Г,е)

{

х е

хг

Р

^ £ для любого Г Е Г

.

Здесь || • || обозначает расстояние до ближайшего целого числа. В статье [18] Брандон Хансон оценивает | вх (В) |, где В = В (Г, е) —множество Бора, удовлетворяющее специальному условию регулярности, см. определение 2.1.

Теорема 1.2 (Хансон). Пусть В = В(Г,£) — регулярное множество Бора, |Г| = к — натуральное число, х — нетривиальный мультипликативный характер.Тогда при |B| ^ /р

имеется оценка

5 -1

^' *"(® "( |В| ) ^ ■

а при 1В | < /р имеется оценка

, . -1

|*(в ж<^|в|.р1& и) ж (М)

Обычно для множества Бора выполнено |В| ^ еАр, и в этом случае нетривиальная оценка в теореме 1.2 получается при |В | ^ рв+. В данной работе результат Хансона был улучшен, а именно доказана следующая теорема.

Теорема 1.3. Пусть регулярное множество Бора В = В (Г, е) удовлетворяет условиям |Г| = д и

р1 + ^ |В| = СеЛр < ^р. Тогда существует т = Щ ^), такое что для всех простых р > р(д, 8, С) и для любого муль-

ч d /

т,ипликат,ивного характера х по модулю р выполнено

\SX(B)| < р- \в\.

Разумеется, оценки сумм мультипликативных характеров по множеству Бора также имеют приложения в вопросах распределения степенных вычетов и первообразных корней по модулю . В частности, пользуясь своей оценкой, Хансон доказал, что для любого -элементного множества Г и для любого к найдётся такой х, что

max гег

С /у»^ qf> ^

1 Т J P-1/2d l0SP ' к1/Л'

а также найдётся такой первообразный корень g по модулю р, что

p1/2d logp

f xr \

ma^ — }

гег [ p J ip(p — 1)1/d

В настоящей работе, помимо сумм вх(■), рассматриваются также и кратные суммы вида

Sx (Ai,..., Ап) = x(«i + ... + ап),

-1.0.5)

aieAi

где Аг С Стоит отметить, что суммы с большим числом переменных могут быть сведены к

суммам с меньшим числом переменных с помощью неравенства треугольника

ISX (Аъ...,Ап)1 ^ lSx (А1,...,Ап-1 + ап)1 .

ап еАп

Тригонометрические суммы такого вида изучались во множестве разных работ, например, [4], [6], [19], [20], [21], [22]. Кроме того, при оценке сумм (1.0.5) методом Бёрджесса приходится сталкиваться с суммами вида

где А, В, С С Оценкам таких сумм тоже будет уделено достаточно много внимания в настоящей работе.

Касательно двойных сумм вх(А,В) стоит упомянуть известную гипотезу графа Пэли, см. историю вопроса, например, в [19] или в [23].

Гипотеза 1.1 (О графе Пэли). Пусть 5 > 0 — действительное число, А, В С — произвольные множества, причем |А| > рё и |B| > рё. Тогда существует такая константа г = т(5), что для любого достаточно большого простого числа р и любого нетривиального мультипликативного характера х имеет место неравенство

Поясним, откуда взялось название этой гипотезы. Графы Пэли — это плотные неориентированные графы, построенные из элементов подходящего конечного поля путём соединения пар элементов, различающихся квадратичным вычетом.

Графом Пэли называется граф G(V, Е) с множеством вершин V = Fp и рёбер Е таким, что (a, b) Е Е тогда и только тогда, когда а — b является квадратичным вычетом. Для того, чтобы этот граф был неориентированным необходимо также потребовать р = 1 (mod 4).

Графы Пэли названы в честь Рэймонда Пэли. Они тесно связаны с конструкцией Пэли для построения матриц Адамара из квадратичных вычетов (см. [24], 1933). Они были введены независимо Саксом (1962, [25]) и Эрдёшом и Реньи (1963, [26]). Сакс интересовался ими из-за их свойств самодополнимости, в то время как Эрдёш и Реньи изучали их симметрии.

Графы Пэли являются хорошей моделью псевдослучайного графа. В частности, у него мало как число независимости, так и кликовое число. Например, граф Пэли при р =17 является графом Рамсея R(4, 4), то есть таким графом c наименьшим числом вершин, что в нём нет ни независимого множества на 4 вершинах ни клики размера 4 (см. [27]). Если положить в гипотезе 1.1 В = —А, а в качестве характера взять символ Лежандра, то получится, что среди сумм

(1.0.6)

ъе в, се с аеА

ISX(A,B)| <Р- 1АЦВ1 .

(1.0.7)

вида а1 — а2 присутствуют примерно поровну квадратичных вычетов и квадратичных невычетов. Поэтому множество А уж никак не может быть ни кликой, ни независимым множеством в графе Пэли. Таким образом, кликовое число графа Пэли, также как и его число независимости, растет медленнее, чем рё для любого положительного 8.

Рисунок 1. Граф Пэли для р = 17.

На сегодняшний день продвижения относительно этой гипотезы крайне скудны. Наилучшая верхняя оценка на кликовое число графа Пэли (также как и на его число независимости) ^2р—1+1 принадлежит Гельмуту Петридису и Брандону Хансону [28]. Утвердительный ответ на гипотезу 1.1 известен лишь в случае |А| > р1 +г, |B| > рё, см. [4] и [6].

Теорема 1.4 (Карацуба). Пусть А, В С Fp — произвольные множества, х — нетривиальный мультипликативный характер по модулю р, причём

|А| ^ р&, |B| ^ р°'5+г,

где 8 — произвольное положительное число, не превосходящее 0.5. Тогда

X х(а+ь)

аеА, ьев

« тв ь

—0.05(52

где постоянная в знаке ^ зависит только от 6.

Удивительно, что даже для |А| ~ |В| ~ р1 неравенство (1.0.7) остается неизвестным, см. [4]. Однако, для множеств А и В с хорошей аддитивной структурой могут быть получены нетривиальные оценки для двойной суммы ^ х(а + Щ при более слабых ограничениях на их размер. Так, в 2008 году Мей-Чу Чанг доказала такую оценку, в предположении, что одно из множеств А или В имеет малую сумму.

Теорема 1.5 (Чанг, 2008, [19]). Пусть А, В С — произвольные множества, х — нетривиальный мультипликативный характер по модулю р, а К, 5 — положительные числа такие, что

|А| > р9+,

В | > р4 +, |В + В| < К|В|.

Тогда существует = ( , К) > 0 такое, что неравенство

13Х(А,В)| < р- |А| |В|

выполнено для всех простых чисел > ( , К).

Доказательство Чанг использует структурную теорему Фреймана, которая по сути позволяет любое множество с достаточно малым удвоением вложить в обобщённую арифметическую прогрессию. С другой стороны, обобщённую арифметическую прогрессию несложно представить в виде множества вида А + ВС. Эти наблюдения и позволили Чанг применить метод Бёрджесса для доказательства своей теоремы.

4 г 4 г 12 £

В этой работе граница Чанг |А| > р4 +д, |В| > р4+д ослаблена: сначала до |А| > рзг+д, |В| >

12 г 1 г 1 г

рзт+д, потом до |А| > р1 +д, |В| > рз+д.

Теорема 1.6. Предположим, что подмножества А, В С ¥р и положительные числа К,Ь,5 таковы, что

|А| > рзг , |В| > р31, |А + А| <К |А|, |А + В| <Ь |В|.

Тогда для любого нетривиального мультипликативного характера х по модулю р выполнено при всех простых числах р > р(8, К, Ь).

Теорема 1.7. Предположим, что подмножества А, В С Fp и положительные числа К,Ь,8 таковы, что

|А| , |Б| > р, + A| < К|А|, |В + В | <Ь Щ .

Тогда существует такое т = т(8,К) = 82(log2K)—3+о(1), что

^(АВ)| <Р-Г И \в|

для всех простых чисел р > р(8, К, Ь), где х — нетривиальный мультипликативный характер по модулю р.

Вопросы, связанные с оценками сумм мультипликативных характеров, часто приводят к задачам аддитивной комбинаторики, в том числе об оценках аддитивной энергии множеств.

Для произвольного множества А С Fp и многочлена / Е Fp[ж] определим величину Е ; (А; р) как количество решений (в Fp) уравнения

Х1 + Х2 = Хз + хА, /(Ж1), /(Х2),/(хз),/(х4) Е А.

Если /(ж) = х, то эта величина называется аддитивной энергией множества А и обозначается просто Е(А). Более того, несложно видеть, что при deg/ = 1, величина Ef(А;р) также равна аддитивной энергии множества А. Для deg £ > 1 число Е ; (А; р) можно интерпретировать как аддитивную энергию «корней» из элементов множества А.

В настоящей работе мы изучаем верхние оценки для Е ; (А; р) в предположении, что множество А имеет малое удвоение. Данная задача возникла в недавних работах [29], [30] в связи с некоторыми задачами теории чисел. Так, А. Захареску, И.Д. Шкредов и И.Е. Шпарлинский показали, что если ^ + A| ^ Ь|А|, то при deg £ = 2 справедлива оценка

Е;(А;р) ^ ро(1) (+ Ь2^11^ . 12

Позже они в соавторстве с Б. Керром получили оценку для многочленов степени к ^ 3. А именно, если I А + А| ^ Ь|А|, |А| ^ р2/3 и deg/ = к ^ 3, то

Б,(А;р) ^ |А|3-№ро(1),

где

1 I 2й+2р к, при к Е {3, 4};

Рк = 7 ок_ 1-о и ^ = Л

7 ■ 2 - 9 [2к+3рк, при к ^ 5.

В данной работе мы уточняем значение величины рк и, тем самым, усиливаем верхнюю границу на аддитивную энергию корней по простому модулю.

Теорема 1.8. Пусть множество А С Fp таково, что |А| ^ р!/11, а также |А + А| ^ L|A| или IA — А| ^ Ь|А|. Тогда для любого многочлена f G Fp[;r] степени k ^ 3 имеем

Ef (А;р) |А|3-№ ,

где

1 I 2k+1pk, при k ^ 4;

pk = -о и = Л

2 — 9 8/7, прик = 3.

Объём и структура работы

Диссертация организована следующим образом. В главе 2 даются формулировки основных используемых утверждений, также представлены доказательства многих из них и приводятся ссылки на доказательства остальных. Глава 3 посвящена доказательству теорем об оценках сумм мультипликативных характеров. Глава 4 содержит доказательство теоремы об аддитивной энергии корней, а также её аддитивно-комбинаторных следствий.

Полный объём диссертации составляет 65 страниц с 1 рисунком и 0 таблицами. Список литературы содержит 67 наименований.

Цель работы

Целью данной работы является нахождение нетривиальных оценок для сумм мультипликативных характеров по простому модулю, в частности усиление уже известных результатов.

Основные положения, выносимые на защиту

• Ослаблена граница |А| > р9+, IB| > р9+ в теореме Чанг о сумме мультипликативных характеров по аддитивной свёртке множеств, обладающих свойством малого удвоения.

• Усилен результат Хансона о сумме мультипликативных характеров по множеству Бора.

• Улучшена оценка на аддитивную энергию корней элементов множества, обладающего свойством малого удвоения.

Научная новизна

Все приведённые результаты являются новыми.

Теоретическая и практическая значимость

Диссертация носит теоретический характер.

Апробация результатов

Степень достоверности полученных результатов обеспечивается приведёнными строгими доказательствами.

По теме диссертации были сделаны доклады на следующих научных конференциях и семинарах:

• конференция «Vilnius Conference in Combinatorics and Number Theory», Вильнюс, 2017;

• семинар «Современные проблемы теории чисел», МИАН, Москва, 2019;

• конференция «Combinatorial and Additive Number Theory», Нью-Йорк, 2024;

• конференция «Современные проблемы теории чисел», Сириус, Сочи, 2024.

Результаты диссертации опубликованы в 3 работах, представленных в конце списка литературы. Все эти работы входят в перечень ВАК и опубликованы в журналах, индексируемых базой Scopus.

Благодарности

Автор благодарит своего научного руководителя Илью Дмитриевича Шкредова за бесчисленные обсуждения и постоянную поддержку в научной работе.

Глава 2. Обозначения и вспомогательные

утверждения

Везде, если не сказано обратное, р обозначает простое число, а Fp — поле вычетов по модулю

.

Характеристическую функцию подмножества А С Fp будем обозначать той же буквой А. Таким образом, функция А : Fp ^ С определяется по правилу

{1, если х Е А: 0, иначе.

Аддитивной свёрткой функций ¡,д : Fp ^ С называется функция

( f * д)(%) = ^2 1(у)д(х — у).

у

Ьд -нормой функции / : Fp ^ С называется величина, задаваемая формулой

няк = | > ;| /нг

(? i f{x)iq)

На протяжении всей статьи обозначения U = О(V), U ^ V и V ^ U эквивалентны условию |U | ^ сV для некоторой положительной константы с. Мы пишем U < V и V > U, если U = 0(V • logcV) для некоторой абсолютной константы с. Для произвольного растущего параметра V > 1 запись U = Vo(1) (при V ^ <х>) означает, что U является функцией от V, удовлетворяющей условию |U| ^ Vе для любого е > 0 при всех достаточно больших V.

Запись log обозначает логарифм по основанию два.

Кроме того, мы будем обозначать

[а, b] = [iE Z : a b} .

2.1. Аппарат аддитивной комбинаторики

Мы используем стандартные обозначения для суммы и разности (по Минковскому) подмножеств абелевой группы

Если А и В являются подмножествами некоторого коммутативного кольца, можно определить их произведение и частное аналогичным образом, а именно

Кроме того, для произвольного элемента g G G обозначим через g + А аддитивный сдвиг множества А на g, то есть сумму множеств {g} + А. Аналогично можно определить мультипликативный сдвиг g А, как {g} • А.

Нам понадобится замечательное неравенство Плюннеке-Ружи.

Теорема 2.1 (неравенство Плюннеке-Ружи). Предположим, что непустые подмножества А и В некоторой абелевой группы G удовлетворяют условию |А + В| ^ L^| для некоторого вещественного L. Тогда для любых неотрицательных целых чисел s и t выполнено

В частности, подставляя сначала В = А, затем В = —А, получим, что любое из двух условий |А + А| ^ L|А| или |А — А| ^ L|А| влечёт неравенство |sА — ¿А| ^ L^^l для любых неотрицательных целых чисел s и t.

Немного более слабая версия этого неравенства была первоначально доказана Гельмутом Плюннеке и опубликована в 1970 году ([31]). Имре Ружа позже опубликовал ([32]) более простое доказательство более общей версии неравенства. Ещё более простое доказательство этого неравенства нашёл Г. Петридис в 2011 году ([33]).

Одним из важнейших ингредиентов в доказательстве Ружи является обнаруженное им неравенство треугольника, связывающее все попарные множества разностей трёх множеств в произвольной группе.

А + В := {a + b : a G А, b G В} А — В := {a — b : a G А,Ь G В} s А = А + ... + А.

раз

А В = { a : a G А, G В} ;

lsВ — гВ| ^ L^^l

Теорема 2.2 (неравенство треугольника Ружи, [34]). Для любых непустых подмножеств А, В, С произвольной абелевой группы справедливо неравенство

| А-СК |А - ^ - С|.

Для произвольных подмножеств А и В можно определить расстояние Ружи с1(А, В) по формуле

¿(А,В) = log |А -В|

л/РРГ'

Эта функция не является метрикой, потому что для неё не выполняется равенство с1(А, А) = 0, но она, очевидно, симметрична, и из неравенства Ружа напрямую следует неравенство треугольника для неё:

¿(А, С) ^ ¿(А,В) + д(В,С). Отметим, что имеется ещё одно неравенство, аналогичное неравенству треугольника Ружи:

|А + В ||В + С |

|А + С| ^

| В|

Интересно, что оно доказывается гораздо сложнее, чем классическое.

Напомним, что аддитивная энергия Б(А,В) (или Б+(А,В)) множеств А, В есть количество решений уравнения

а1 + Ьг = а2 + Ь2, а1, а2 Е А, Ь1, Ь2 Е В.

При А = В эта величина назывется аддитивной энергией множества А и обозначается Б (А) (или Б+(А)). Если А и В являются подмножествами некоторого коммутативного кольца (например, А, В С Ер), то можно определить мультипликативную энергию БХ(А,В) как количество решений уравнения

а1 1 = 2 2, а1, а2 Е А, 1, 2 Е В.

Частные случаи этих понятий встречались в аддитивной теории чисел. Однако общие определения ввели Теренс Чи Шен Тао и Ха Ван Ву в своей монографии [34] именно в связи с аддитивной комбинаторикой.

Для энергий множеств справедливо соотношение

Б(А,В) ^ ^Б(А)Б(В). (2.1.1)

Если аддитивная энергия множеств мала, то множества имеют большую сумму, а именно справедливо неравенство

Б(А,В)|А ±В | ^ | А |21В |2. (2.1.2)

Доказательства (2.1.1) и (2.1.2), также как и другие свойства аддитивной энергии, можно найти в [34].

Соглано теореме Балога-Семереди-Гауэрса множество с большой аддитивной энергией всегда содержит подмноджество с малым удвоением. Мы будем использовать следующий вариант этой теоремы.

Теорема 2.3. Предположим, что непустое подмножество А С Fp удовлетворяет условию Е(А) = |А|3/К для некоторого вещественного К. Тогда найдётся А' С А, такое что |А'| > |А|/К и |А' — А'| <К4|А'|3/|А|2.

Доказательство представляет собой комбинацию лемм 2.2 и 2.4 из [35].

Существуют два основных обобщения уравнения, определяющего аддитивную энергию — по количеству слагаемых и по количеству равенств:

Ек (А) = |{«1 — Ь = а.2 — Ь2 = ••• = ак — Ьк : аг, Ьг е А}| = ^ |А П (А — з)^

и

Т к (А)

!к к Л

= X уг : xг, Уг е А\

г=1 г=1 )

Они называются старшими энергиями и иногда возможно получить оценки на них, не получая оценок на обычную аддитивную энергию. В то же время неравенство Гёльдера позволяет (со значительным ухудшением) оценивать обычную энергию через старшие.

Аналогично определяются и их мультипликативные аналоги: Е£(А) и Т£(А).

2.2. Полные суммы характеров и теорема Вейля

Бывает, что сумму характеров можно посчитать явно. Например тождество

£ (^) = о,

Кг/

где а не делится на р, отражает тот факт, что квадратичных вычетов столько же, сколько квадратичных невычетов. Аналогичный факт справедлив для произвольного нетривиального характера.

Полную сумму символов Лежандра можно посчитать и для квадратного трёхчлена

р~1 / ( I 1\\ р~1 / 2\ /1 I -1 \ р / 4

/х(х + 1)\ ^[х2\(1 + х ^^(у , (221)

^ /х(х + 1)\ = у1 /х!^ (1+х~^ = А

¿Л р ) р )

Для произвольного квадратного трёхчлена тождество выглядит следующим образом

^ ^ах2 + Ьх + с^ _ |— (§) , если Р не делит &2 - 4аЬ

Р У ^^ (р — 1), если р делит Ь2 — 4ас.

Довольно широко известно, что р представимо в виде суммы двух квадратов целых чисел р = а2+Ь2 тогда и только тогда, когда р при делении на 4 даёт остаток 1. Чуть менее известно, что а и Ь можно записать красивой формулой, имеющей непосредственное отношение к эллиптическим кривым. Этот результат 1907 года принадлежит Эрнсту Якобсталю (см. [36, с. 123]).

Теорема 2.4 (Якобсталь, 1907). Пусть р — нечётное простое число вида 4к + 1, К — какой-нибудь квадратичный вычет по модулю р, а N — какой-нибудь квадратичный невычет по модулю р. Тогда

2 ' ■■= (2 К ^)) + (11 (^))

Доказательство этого результата не очень трудно и основано главным образом на умелом применении равенства (2.2.1). Следствием является то, что для любого а справедлива оценка

^^^ / п(п2 — а) \

п=0 ^ Р '

< 2^. (2.2.2)

Это наблюдение приводит нас к предположению, что многочлен х(х2 — а) можно заменить произвольным многочленом третьей степени. Это предположение было сформулировано в качестве гипотезы Эмилем Артиным в его диссертации и доказано ещё одним немецкий математиком Хельмутом Хассе в 1934 году ([11]; элементарное доказательство см. в [37, глава 10]).

Теорема 2.5 (Хассе, 1934). Пусть числа а,Ь € ¥р таковы, что 4а3 + 2762 не делится р, N — количество точек из Е2 на эллиптической кривой, заданной уравнением

23

х + ах + Ь.

Тогда N — р| < 2^р.

Несложно показать, что из теоремы Хассе следует оценка, аналогичная (2.2.2), для произвольного кубического многочлена.

В 1940-е Андре Вейль обобщил результат Хассе на случай многочлена произвольной степени (см. [38]), что стало знаковым событием как для теории чисел, так и для алгебраической геометрии.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Волостнов Алексей Сергеевич, 2024 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Dirichlet P. G. L. Beweis des Satzes, dass jede unbegrenzte arithmetische Progression, deren erstes Glied und Differenz ganze Zahlen ohne gemeinschaftlichen Factor sind, unendlich viele Primzahlen enthält // Abhandlungen der Königlichen Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin. — 1837. — Т. 48. — С. 45—71. — URL: https://babel.hathitrust.org/cgi/pt? id=chi.56785536;view=1up;seq=305.

2. Дирихле П. Г. Л. Лекции по теории чисел. — Объединенное научно-техническое издательство НКТП СССР. Главная редакция общетехнической литературы и номографии, 1936.

3. Legendre A. M. Essai sur la Theorie des Nombres. — Cambridge University Press, 2009. — ISBN 9780511693199. — DOI: 10.1017/cbo9780511693199. — URL: http://dx.doi.org/10.1017/ CBO9780511693199.

4. Карацуба А. А. Арифметические проблемы теории характеров Дирихле // Успехи математических наук. — 2008. — Т. 63, № 4. — С. 43—92. — ISSN 0042-1316. — DOI: 10.4213/ rm9234. — URL: http://dx.doi.org/10.4213/rm9234.

5. Гаусс К. Труды по теории чисел. — Издательство Академии Наук СССР, 1959. — (Классики науки). — URL: https://books.google.ru/books?id=DKkS0AEACAAJ.

6. Карацуба А. А. Распределение значений характеров Дирихле на аддитивных последовательностях // Докл. АН СССР. — 1991. — Т. 319, вып. 3. — С. 543—545.

7. Виноградов И. М. Sur la distribution des residus et des nonresidus des puissances // Журн. физ.-матем. об-ва при Пермском ун-те. — 1918. — Т. 1. — С. 94—98.

8. Виноградов И. М. Об одном асимптотическом равенстве теории квадратичных форм // Журн. физ.-матем. об-ва при Пермском ун-те. — 1918. — Т. 1. — С. 18—28.

9. Polya G. Uber die Verteilung der quadratischen Reste und Nichtreste // Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Gättingen, Mathematisch-Physikalische Klasse. — 1918. — Т. 1918. — С. 21—29. — URL: http://eudml.org/doc/59009.

10. Mordell L. J. On a sum analogous to a Gauss's sum // The Quarterly Journal of Mathematics. — 1932. — Т. os—3, № 1. — С. 161—167. — ISSN 0033-5606. — DOI: 10.1093/qmath/os-3.1. 161. — eprint: https://academic.oup.com/qjmath/article-pdf/os-3/1/161/4486685/os-3-1-161.pdf. — URL: https://doi.org/10.1093/qmath/os-3-1.161.

11. Hasse H. Zur Theorie der abstrakten elliptischen Funktionenkorper III. Die Struktur des Meromorphismenrings Die Riemannsche Vermutung. // Journal fur die reine und angewandte Mathematik. — 1936. —

Т. 175. — С. 193—208. — URL: http://eudml.org/doc/149968.

12. Weil A. On Some Exponential Sums // Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America. — 1948. — Т. 34, № 5. — С. 204—207.

13. Виноградов И. М. О границе наименьшего невычета п-й степени // Известия Академии наук СССР. VI серия. — 1926. — Т. 20, вып. 1/2. — С. 47—58.

14. Линник Ю. Замечание о наименьшем квадратичном невычете // Докл. АН СССР. — 1942. — Т. 36, вып. 4/5. — С. 119—120.

15. Линник Ю. Большое решето // Докл. АН СССР. — 1941. — Т. 30, вып. 4. — С. 292—294.

16. Бёрджесс Д. А. Распределение квадратичных вычетов и невычетов // Математика. — 1958. — Т. 2, вып. 6, № 6. — С. 3—9. — ISSN 1439-6912. — URL: http://mi.mathnet.ru/mat71.

17. Ankeny N. C. The Least Quadratic Non Residue // The Annals of Mathematics. — 1952. — Т. 55, № 1. — С. 65. — ISSN 0003-486X. — DOI: 10.2307/1969420. — URL: http://dx.doi. org/10.2307/1969420.

18. Hanson B. Character Sums Over Bohr Sets // Canadian Mathematical Bulletin. — 2015. — Т. 58, № 4. — С. 774—786. — ISSN 1496-4287. — DOI: 10 . 4153/cmb-2015-036-2. — URL: http://dx.doi.org/10.4153/CMB-2015-036-2.

19. Chang M.-C. On a question of Davenport and Lewis and new character sum bounds in finite fields // Duke Mathematical Journal. — 2008. — Т. 141, № 3. — С. 409—442. — ISSN 00127094. — DOI: 10 . 1215 / 00127094 - 2008 - 056. — URL: http : / / dx . doi . org / 10 . 1215 / 00127094-2008-056.

20. Davenport H., Erdos P. The distribution of quadratic and higher residues // Publ. Math. Debrecen. — 1952. — Т. 2, № 3/4. — С. 252—65.

21. Hanson B. Estimates for character sums with various convolutions // Acta Arithmetica. — 2017. — Т. 179, № 2. — С. 133—146. — ISSN 1730-6264. — DOI: 10.4064/aa8404-5-2017. — URL: http://dx.doi.org/10.4064/aa8404-5-2017.

22. Карацуба А. А. Распределение степенных вычетов и невычетов в аддитивных последовательностях // Докл. АН СССР. — 1971. — Т. 196, вып. 4. — С. 759—760.

23. Shkredov I. D. Sumsets in quadratic residues // Acta Arithmetica. — 2014. — T. 164, № 3. — C. 221—243. — ISSN 1730-6264. — DOI: 10.4064/aa164-3-2. — URL: http://dx.doi.org/ 10.4064/aa164-3-2.

24. Paley R. E. A. C. On Orthogonal Matrices // Journal of Mathematics and Physics. — 1933. — T. 12, № 1—4. — C. 311—320. — ISSN 0097-1421. — DOI: 10.1002/sapm1933121311. — URL: http://dx.doi.org/10.1002/sapm1933121311.

25. Sachs H. Uber selbstkomplementare Graphen // Publicationes Mathematicae Debrece. — 1962. — T. 9. — C. 270—288.

26. Erdos P., Renyi A. Asymmetric graphs // Acta Mathematica Academiae Scientiarum Hungaricae. — 1963. — T. 14, № 3/4. — C. 295—315. — ISSN 1588-2632. — DOI: 10 . 1007/ bf01895716. — URL: http://dx.doi.org/10.1007/BF01895716.

27. Greenwood R. E., Gleason A. M. Combinatorial Relations and Chromatic Graphs // Canadian Journal of Mathematics. — 1955. — T. 7. — C. 1—7. — ISSN 1496-4279. — DOI: 10.4153/cjm-1955-001-4. — URL: http://dx.doi.org/10.4153/CJM-1955-001-4.

28. Hanson B., Petridis G. Refined estimates concerning sumsets contained in the roots of unity // Proceedings of the London Mathematical Society. — 2020. — T. 122, № 3. — C. 353—358. — ISSN 1460-244X. — DOI: 10.1112/plms.12322. —URL: http://dx.doi.org/10.1112/plms.12322.

29. Shkredov I. D., Shparlinski I. E., Zaharescu A. Bilinear Forms With Modular Square Roots and Twisted Second Moments of Half Integral Weight Dirichlet Series // International Mathematics Research Notices. — 2021. — T. 2022, № 22. — C. 17431—17474. — ISSN 1687-0247. — DOI: 10.1093/imrn/rnab220. — URL: http://dx.doi.org/10.1093/imrn/rnab220.

30. Energy bounds for modular roots and their applications / B. Kerr [h gp.] // Journal of the Institute of Mathematics of Jussieu. — 2024. — C. 1—42. — DOI: 10.1017/S1474748023000397.

31. PlUnnecke H. Eine zahlentheoretische Anwendung der Graphtheorie // Journal fur die reine und angewandte Mathematik (Crelles Journal). — 1970. — № 243. — C. 171—183. — ISSN 14355345. — DOI: 10 . 1515/crll. 1970 . 243 . 171. — URL: http : //dx. doi . org/10 . 1515/crll. 1970.243.171.

32. Ruzsa I. An application of graph theory to additive number theory // Scientia. — 1989. — T. 3. — C. 97—109. — (A).

33. Petridis G. New proofs of Pluannecke-type estimates for product sets in groups // Combi-natorica. — 2012. — T. 32, № 6. — C. 721—733. — ISSN 1439-6912. — DOI: 10.1007/s00493-012-2818-5. — URL: http://dx.doi.org/10.1007/s00493-012-2818-5.

34. Tao T., Vu V. H. Additive Combinatorics. — Cambridge University Press, 2006. — ISBN 9780511755149. — DOI: 10 . 1017/cbo9780511755149. — URL: http : //dx . doi . org/10 . 1017/CB09780511755149.

35. Bourgain J., Garaev M. Z. On a variant of sum-product estimates and explicit exponential sum bounds in prime fields // Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. — 2009. — Т. 146, № 1. — С. 1—21. — DOI: 10.1017/S0305004108001230.

36. Дэвенпорт Г. Высшая арифметика: введение в теорию чисел. — Мир, 1965.

37. Гельфонд А. О., Линник Ю. В. Элементарные методы в аналитической теории чисел. — Гос. изд-во физико-математической лит-ры, 1962.

38. Iwaniec H., Kowalski E. Analytic Number Theory. — American Mathematical Society, 2004. — ISBN 9781470431983. — DOI: 10 . 1090/coll/053. — URL: http : //dx . doi . org/10 . 1090/ coll/053.

39. Davenport H., Lewis D. J. Character sums and primitive roots in finite fields // Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo. — 1963. — Т. 12, № 2. — С. 129—136. — ISSN 1973-4409. — DOI: 10.1007/bf02843959. — URL: http://dx.doi.org/10.1007/BF02843959.

40. Growth Estimates in Positive Characteristic via Collisions / E. A. Yazici [и др.] // International Mathematics Research Notices. — 2017. — Т. 2017, № 23. — С. 7148—7189. — ISSN 1687-0247. — DOI: 10.1093/imrn/rnw206. — URL: http://dx.doi.org/10.1093/imrn/rnw206.

42. Фрейман Г. А. Начала структурной теории множеств. — Типография "Татполиграф", 1966. — URL: https://t-library.org.ua/showBook.php?id=3304.

43. Ruzsa I. Z. Generalized arithmetical progressions and sumsets // Acta Mathematica Hungarica. — 1994. — Т. 65, № 4. — С. 379—388. — ISSN 1588-2632. — DOI: 10 . 1007/ bf01876039. — URL: http://dx.doi.org/10.1007/BF01876039.

44. Green B., Ruzsa I. Z. Freiman's theorem in an arbitrary abelian group // Journal of the London Mathematical Society. — 2007. — Т. 75, № 1. — С. 163—175. — ISSN 0024-6107. — DOI: 10.1112/jlms/jdl021. — URL: http://dx.doi.org/10.1112/jlms/jdl021.

45. Sanders T. The structure theory of set addition revisited // Bulletin of the American Mathematical Society. — 2012. — Т. 50, № 1. — С. 93—127. — ISSN 1088-9485. — DOI: 10.1090/ s0273- 0979- 2012- 01392-7. — URL: http : //dx . doi . org/10 . 1090/S0273-0979-2012-01392-7.

46. On a conjecture of Marton / W. T. Gowers [и др.]. — 2023. — arXiv: 2311.05762 [math.NT]. — URL: https://arxiv.org/abs/2311.05762 (дата обр. 23.10.2024).

47. Marton's Conjecture in abelian groups with bounded torsion / W. T. Gowers [и др.]. — 2024. — arXiv: 2404.02244 [math.NT]. — URL: https://arxiv.org/abs/2404.02244 (дата обр. 23.10.2024).

48. Croot E., Sisask O. A Probabilistic Technique for Finding Almost-Periods of Convolutions // Geometric and Functional Analysis. — 2010. — Т. 20, № 6. — С. 1367—1396. — ISSN 14208970. — DOI: 10.1007/s00039-010-0101-8. — URL: http://dx.doi.org/10.1007/s00039-010-0101-8.

51. Rudnev M. On the Number of Incidences Between Points and Planes in Three Dimensions // Combinatorica. — 2017. — Т. 38, № 1. — С. 219—254. — ISSN 1439-6912. — DOI: 10. 1007/ s00493-016-3329-6. — URL: http://dx.doi.org/10.1007/s00493-016-3329-6.

52. Bukh B., Tsimerman J. Sum-product estimates for rational functions // Proceedings of the London Mathematical Society. — 2012. — Т. 104, № 1. — С. 1—26. — ISSN 0024-6115. — DOI: 10.1112/plms/pdr018. — URL: http://dx.doi.org/10.1112/plms/pdr018.

53. Gowers W. A new proof of Szemeredi's theorem for arithmetic progressions of length four // GAFA Geometric And Functional Analysis. — 1998. — Т. 8. — С. 529—551.

54. Gowers W. A new proof of Szemeredi's theorem // GAFA Geometric And Functional Analysis. — 2001. — Т. 11, № 3. — С. 465—588. — ISSN 1420-8970. — DOI: 10.1007/s00039-001-0332-9. — URL: http://dx.doi.org/10.1007/s00039-001-0332-9.

55. Green B., Tao T. The primes contain arbitrarily long arithmetic progressions // Annals of Mathematics. — 2008. — Т. 167, № 2. — С. 481—547. — ISSN 0003-486X. — DOI: 10.4007/ annals.2008.167.481. — URL: http://dx.doi .org/10.4007/annals.2008.167.481.

56. Green B., Tao T. The quantitative behaviour of polynomial orbits on nilmanifolds // Annals of Mathematics. — 2012. — Т. 175, № 2. — С. 465—540. — ISSN 0003-486X. — DOI: 10.4007/ annals.2012.175.2.2. — URL: http://dx.doi .org/10.4007/annals.2012.175.2.2.

57. GREEN B., TAO T. An equivalence between inverse sumset theorems and inverse conjectures for the U3-norm // Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. — 2010. — Т. 149, № 1. — С. 1—19. — ISSN 1469-8064. — DOI: 10.1017/s0305004110000186. — URL: http://dx.doi.org/10.1017/S0305004110000186.

58. Green B., Tao T. Quadratic uniformity of the Mobius function // Annales de l'institut Fourier. — 2008. — Т. 58, № 6. — С. 1863—1935. — URL: http://eudml.org/doc/10365.

59. Шкредов И. Д. Структурные теоремы в аддитивной комбинаторике // Успехи математических наук. — 2015. — Т. 70, 1(421). — С. 123—178. — ISSN 2305-2872. — DOI: 10.4213/ rm9647. — URL: http://dx.doi.org/10.4213/rm9647.

60. AUSTIN T. On the norm convergence of non-conventional ergodic averages // Ergodic Theory and Dynamical Systems. — 2010. — Т. 30, № 2. — С. 321—338. — DOI: 10.1017/S014338570900011X.

61. Host B., Kra B. Nonconventional ergodic averages and nilmanifolds // Annals of Mathematics. — 2005. — Т. 161, № 1. — С. 397—488. — ISSN 0003-486X. — DOI: 10.4007/annals.2005.161. 397. — URL: http://dx.doi.org/10.4007/annals.2005.161.397.

62. Host B., Kra B. Convergence of polynomial ergodic averages // Israel Journal of Mathematics. — 2005. — Т. 149, № 1. — С. 1—19. — ISSN 1565-8511. — DOI: 10. 1007/bf02772534. — URL: http://dx.doi.org/10.1007/BF02772534.

63. Tao T. A Quantitative Ergodic Theory Proof of Szemeredi's Theorem // Electron. J. Comb. — 2004. — Т. 13. — С. 1—49. — URL: https://api.semanticscholar.org/CorpusID:6797306.

64. TAO T. Norm convergence of multiple ergodic averages for commuting transformations // Ergodic Theory and Dynamical Systems. — 2008. — Т. 28, № 2. — С. 657—688. — ISSN 1469-4417. — DOI: 10 . 1017/s0143385708000011. — URL: http : //dx . doi . org/10 . 1017/ S0143385708000011.

65. Tao T., Ziegler T. The Inverse Conjecture for the Gowers Norm over Finite Fields in Low Characteristic // Annals of Combinatorics. — 2011. — Т. 16, № 1. — С. 121—188. — ISSN 02193094. — DOI: 10. 1007/s00026-011-0124-3. — URL: http://dx.doi.org/10.1007/s00026-011-0124-3.

66. Шкредов И. Д. Теорема Семереди и задачи об арифметических прогрессиях // Успехи математических наук. — 2006. — Т. 61, № 6. — С. 111—178. — ISSN 0042-1316. — DOI: 10.4213/rm5293. — URL: http://dx.doi.org/10.4213/rm5293.

67. Shkredov I. Energies and Structure of Additive Sets // The Electronic Journal of Combinatorics. — 2014. — Т. 21, № 3. — С. 1—53. — ISSN 1077-8926. — DOI: 10.37236/4369. — URL: http://dx.doi.org/10.37236/4369.