Квантование и S-матрица калибровочных теорий с ферми-бозе связями общего вида тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Фрадкина, Татьяна Ефимовна

• Фрадкина, Татьяна Ефимовна
• кандидат физико-математических наук
• 1984

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Фрадкина, Татьяна Ефимовна

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. КВАНТОВАНИЕ ФЕРМИ-БОЗЕ СИСТЕМ СО СВЯЗЯМИ ОБЩЕГО

ВИДА.

§ I. Канонический формализм для систем со связями в классике и проблема квантования.

1. Динамика системы со связями.

2. Классическая динамика калибровочных систем.

3. Проблема квантования.

§ 2. Релятивистская калибровка и обобщенный канонический подход. .".

§ 3. Обобщенный канонический формализм для ферми-бозе систем со связями произвольного рода и ранга.

1. Калибровочная инвариантность jS~ матрицы.

2. Уравнения для структурных коэффициентов.

§ 4. Операторный аспект теории.

§ 5. S - матрица для релятивистских ферми-бозе систем со связями первого и второго рода в конфигурационном по гостам пространстве.

§ 6. Невырожденная калибровка в рамках обобщенного канонического формализма.

§ 7. Обобщенные соотношения Уорда для произвольных динамических ферми-бозе систем со связями общего вида и произвольного ранга.

ГЛАВА П. КВАНТОВАНИЕ СИСТЕМ GO СВЯЗЯМИ ОБЩЕГО ВИДА МЕТОДОМ

КОМПЕНСИРУЩЕГО ФУНКЦИОНАЛА. УНИВЕРСАЛЬНОЕ ВЫРАЖЕНИЕ

ДЛЯ $- МАТРИЦЫ.

§ I. Постановка задачи и метод.

§ 2. Универсальное выражение для $- матрицы.

ГЛАВА Ш. ТЕОРИЙ ИНДУЦИРОВАННЫХ КАЛИБРОВОЧНЫХ ПОЛЕЙ.

§ I. Индуцированные теории с тривиальной S~ матрицей.

1. Индуцированная двумерная швингеровская электродинамика.

2. Спинорная индуцированная электродинамика продольного электромагнитного поля.

§ 2. Индуцированная электродинамика.

1. Электродинамика скалярных частиц.

2. Индуцированная электродинамика спинорных и скалярных частиц.

§ 3. Индуцированная теория Янга-Миллса.

§ 4. Индуцированные теории, генерируемые динамическим образом как связанные состояния перво-поля.

1. Скалярное поле с самодействием, билинейные связанные состояния.

2. Квантовая электродинамика динамически индуцированная из фундаментальных фермионов.

3. Калибровочное поле Янга-Миллса динамически индуцированное на квантовом уровне из существенно нелинейного самодействия скалярного поля (скалярного и спинорного полей).

§ 5. Заключительные замечания.

ГЛАВА 1У. КВАДРАТИЧНЫЕ ПО ИМПУЛЬСАМ КАЛИБРОВОЧНЫЕ СИСТЕМЫ. ЮЗ

§ I. Гравитация.ЮЗ

§ 2. Общий случай систем с квадратичными по импульсам связями.III

§ 3. Релятивистская мембрана.П

1. Лагранжевая формулировка теории.

2. Канонический формализм.

3. Обобщенный канонический формализм, генератор калибровочной алгебры и структруные коэффициенты.

4. Производящий функционал в конфигурационном пространстве.

5. Квазиклассическое приближение в рамках конфигурационного пространства.

6. N - частичные амплитуды рассеяния.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Квантование и S-матрица калибровочных теорий с ферми-бозе связями общего вида»

Построение единой теории всех взаимодействий элементарных частиц остается важнейшей проблемой современной теоретической физики.

Построение моделей "Большого Объединения", объединяющих сильные, слабые и электромагнитные взаимодействия является как бы первой ступенью к разрешению этой фундаментальной проблемы. Модели "Большого Объединения" базируются, как известно, на векторных калибровочных теориях бозе-типа.

В последние годы особый интерес приобрели попытки построения суперсимметричных моделей "Великого Объединения", объединяющих сильные, слабые, электромагнитные и гравитационные взаимодействия на основе моделей расширенной супергравитации. В этих моделях бо-зе-класс калибровочных полей существенно расширен за счет введения в них, помимо векторных калибровочных полей Янга-Миллса и фотонного поля, также тензорного калибровочного поля гравитона (гравитации) и тензорных антисимметричных полей. При этом, вследствие учета локальной суперсимметрии построенных моделей, в них с необходимостью также входят соответствующие суперпартнеры ферми-статистики. Так, в частности, в простейшей супергравитации вступает в действие калибровочное ферми-поле гравитино, спина 3/2.

Таким образом, современное развитие теории элементарных частиц привело к тому, что в физике роль переносчиков взаимодействия выполняет широкий класс калибровочных полей как бозе, так и ферми-типа. В этих калибровочных системах число независимых степеней свободы меньше, чем число компонент рассматриваемого поля, при этом физическое фазовое пространство (поля и канонические импульсы к ним) оказывается уже исходного фазового пространства полей.

Обстоятельство это обусловлено наличием вполне определенных устойчивых во времени соотношений (так называемых, связей), которые и обеспечивают переход к независимым физическим степеням свободы. Связи могут быть как бозе, так и ферми-типа, в зависимости от того, четны либо нечетны они по ферми-полям. Далее, по классификации Дирака / I /, они разделяются на связи первого и второго рода, что обусловлено равенством или отличием от нуля детерминанта матриц соответствующих суперкоммутаторов связей (классический аналог которым, суперскобки Пуассона) на самой поверхности связей.

Отметим, что, по-существу, все теории современной теоретической физики представляют собой теории со связями. Так, калибровочные теории обладают обязательно связями первого рода, которые и генерируют их калибровочную алгебру. Теории с высшим спином (S > I), а также все теории ферми-полей, включая и теорию спина половина ( S s 1/2), являются, как правилго, обладателями связей второго рода. В супергравитации, к примеру, мы имеем дело с ферми связями второго рода и бозе-ферми связями первого рода, поскольку там присутствуют бозе и ферми-калибровочные поля (гравитонное и гравитинное).

Так, построение теории единых взаимодействий, вызвало особый интерес к калибровочным системам, обладающим связями самого общего вида. Квантование таких теорий стало фундаментальной проблемой современной теоретической физики.

Важнейший вклад в классическую теорию динамических бозе-сис-тем со связями внес Дирак / I /, им же были сформулированы начальные элементы канонического квантования таких систем. Континуальное выражение для S- матрицы бозе-систем со связями первого рода в канонических калибровках было впервые получено в работе / 2 /.

Каноническое квантование ферми-бозе систем со связями первого и второго рода впервые проведено в работе / 3 /, где сформулированы и континуально решены Гейзенберговские уравнения динамики с учетом соответствующих коммутационных соотношений для Ферми-бозе теорий со связями второго рода, выраженных впервые в / 3 / через введенные супердираковские (и суперпуассоновские) скобки. Далее, впервые найдена £>- матрица для случая ферми-бозе связей второго рода, а также для теорий с ферми-бозе связями первого и второго рода в канонических калибровочных условиях. Этим был завершен метод канонического квантования ферми-бозе систем со связями общего вида в канонических калибровочных допусловиях.

Оставалась открытой проблема построения теории квантования систем со связями в релятивистских калибровках. Этот случай, как выяснилось, включает дополнительные трудности, связанные с совмещением калибровочной инвариантности релятивистской теории и унитарности в физическом пространстве состояний.

Обстоятельство это вызвано значительным расширением исходного гильбертова пространства состояний (в противоположность случаю канонических калибровок) в сравнении с физическим пространством состояний. Последнее обусловлено возникновением дополнительных степеней свободы за счет приобретших динамическую активность в релятивистском случае лагранжевых множителей к калибровкам и связям.

Проблема эта впервые была решена применительно к релятивистским бозе теориям со связями первого рода в работах / 4-5 /, где была получена корректная $- матрица в рамках построенного обобщенного фазового пространства / 4 /. При этом, бшю показано, что построение jS - матрицы в релятивистских калибровках сводится к нахождению унитаризующего гамильтониана в обобщенном фазовом пространстве, явная форма которого была найдена в/4/и/5 / при- менительно к бозе-системам со связями первого рода, генерирующими калибровочную алгебру ранга один. Одновременно, было сделано в работе / 4 / важное наблюдение относительно вида полученного унитаризирующего гамильтониана, а именно,что его калибровочную часть можно представить посредством суперпуассоновской скобки фермионного функционала (в дальнейшем, названного генератором калибровки) , в который входит вся зависимость от калибровки и другого фермионного функционала (названного генератором калибровочной алгебры), построенного из связей и соответствующих коэффициентов инволюции. В работе / б / было замечено важное свойство супергенератора калибровочной алгебры и унитаризирующего гамильтониана, введенных в / 4-5 /, а именно, что соответствующие суперпуасооновские скобки этих величин оказываются равными нулю. Эти уравнения явились основой для дальнейшего построения теории со связями первого рода и с помощью их в / 6 / было найдено решение для jS-матрицы ферми-бозе систем со связями первого рода, генерирующими калибровочную алгебру ранга один. Таким способом было получено в / 6 / обобщение результатов / 4-5 / на случай теорий с ферми-бозе связями первого рода, ранга один.

Заметим, что результаты работ / 4-6 / применимы к релятивистским системам первого ранга по связям первого рода, генерирующим замкнутую калибровочную алгебру. К числу таких теорий относятся, к примеру, Янг-Миллс и гравитация. Однако рассмотрение супергравитации показало, что она представляет собой значительно более сложную калибровочную систему с ферми-бозе связями как первого, так и второго рода, генерирующими открытую лагранжеву калибровочную алгебру. Так, развитие супергравитационных моделей теории элементарных частиц вызвало потребность в построении последовательной теории квантования релятивистских ферми-бозе систем со связями первого и второго рода, генерирующими открытую калибровочную алгебру, вообще говоря, произвольного ранга. Это было сделано в работе / 7 / применительно к самому широкому классу систем с независимыми (неприводимыми) связями любой статистики и произвольного ранга. В работе / 7 / в результате проведенного обобщения основных уравнений для генератора калибровочной алгебры и унитаризиру-ющего гамильтониана на общий случай теории с ферми-бозе связями как первого рода, так и второго рода, а также нахождения решений полученных основных уравнений в классе теорий со связями, генерирующими калибровочную алгебру произвольного ранга S , получено корректное выражение для унитаризируюгцего гамильтониана и калиб-ровочно-инвариантной, унитарной S- матрицы квантовой теории с ферми-бозе связями общего вида. При этом, в выражении для S- матрицы релятивистской ферми-бозе теории со связями первого и второго рода (как в фазовом, так и в конфигурационном пространствах) / 7 /, наряду с членами двугостовского взаимодействия, характерными для теорий первого ранга, вошли члены, вообще говоря, много-гостовского взаимодействия и соответствующий ответ выписывался для теорий каждого ранга в отдельности, что обусловлено спецификой незамкнутости конкретной лагранжевой калибровочной алгебры теорий.

К числу первых и важных результатов применения обобщенного канонического метода квантования относятся корректное квантование и получение матрицы в Эйнштейновской гравитации, включая нахождение гравитационной локальной меры / 8 / и корректного учета калибровок, зависящих от гостов / 5,8 /. Проведение квантования в случае обычной и расширенной супергравитации, и получение корректной £- матрицы /9,10 /. Нахождение лагранжевого ответа для S- матрицы в общем случае квадратичных по импульсу систем в произвольных калибровках, в том числе, зависящих от гостов / II /.

Метод обобщенного канонического квантование оказался универсально применимым ко всем моделям современной физики и в произвольном классе калибровок. В то же время, ранее развитые методы квантования / 12-19 / были применимы лишь к частным калибровочным теориям в узком классе калибровок. В частности, даже для простейшей калибровочной системы - теории Янгаё-Миллса - эти методы были уже неэффективны в случае калибровок, зависящих от гостовских полей и корректный ответ для $-матрицы в этом случае был впервые получен в / 5 / с помощью обобщенного канонического метода квантования.

Как уже указывалось выше, решение для S- матрицы для теорий с неприводимыми ферми-бозе связями первого и второго рода, строится для каждого конкретного ранга и не имеет универсального (единого) вида. И хотя полученное выражение для матрицы / 7 / для данного конкретного ранга является наиболее адекватным и удобным для построения соответствующей диаграммной техники Фейнмана рассматриваемой теории, представляет несомненно большой интерес нахождение универсального (единого) ответа для- jS- матрицы произвольной теории общего вида в релятивистских калибровках. Обстоятельство это весьма важно как с точки зрения исследования" структуры теорий со связями в калибровках общего вида, так и с точки зрения преодоления возможного технического усложнения нахождения явного ответа в случае полей высокого ранга (такие поля уже фигурируют в физике элементарных частиц, а по мере дальнейшего развития единых моделей универсального взаимодействия и включения высших спинов, их число, по всей видимости, существенно увеличится).

В статье / 20 / был впервые получен такой универсальный ответ для случая динамических систем с неприводимыми бозе связями первого рода. Результат этот получен в рамках метода, так называемого компенсирующего функционала, подходящий выбор которого обеспечивал калибровочную инвариантность $ - матрицы при сохранении её унитарности в случае релятивистских калибровок. Заметим, что компенсирующий функционал был введен в работе / 21 / в связи с квантованием массивного поля Янга-Миллса. В дальнейшем, в работах автора / 22,23 / был найден универсальный ответ для S- матрицы применительно к ферми-бозе теориям произвольного ранга с неприводимыми связями первого и второго рода в рамках метода, развитого в / 20 / и обобщенного на общий случай ферми-бозе теорий с произвольными ферми-бозе связями обоих родов.

Отметим, что универсальный ответ для $- матрицы в рамках этого метода выписывается в терминах решений соответствующих уравнений характеристик, при этом не требуется введения фиктивных гос-товских полей со статистикой противоположной статистике связей.

Среди других актуальных проблем на современном этапе развития единой теории взаимодействия элементарных частиц, отметим в первую очередь проблему удержания цветных состояний в хромодинамике, а также проблему динамического нарушения симметрии и возникновения связанных состояний (новых частиц) и их взаимодействий за счет механизма индуцирования при учете квантовых поправок (индуцированная электродинамика, поле Янга-Миллса, гравитация и поле Хиггса) / 24-34 /.

Что касается проблемы удержания, то здесь большое внимание привлекли различные протяженные геометрические объекты типа моделей струн и мембран, которые, как полагают, эффективно описывают инфракрасное поведение элементарных частиц / 38-43 /{подразумевая, что эти модели эффективно эквивалентным образом передают взаимодействие исходных безмассовых калибровочных полей (к примеру, цветного векторного поля Янга-Миллса) в области сильной связи.

Применительно к индуцированным теориям, а также к теории мембран до последнего времени оставалось важной задачей корректное проведение квантования и построение $ - матрицы.

Представленная диссертация и посвящена построению метода квантования и получению матрицы для калибровочных теорий со связями самого общего вида и произвольного ранга, а также, применению этого метода для широкого класса моделей современной теории элементарных частиц.

Кратко касаясь структуры диссертации, состоящей из введения, четырех глав, заключения и приложения, заметим, что основное содержание настоящей диссертации опирается на результаты опубликованных работ / 7,11,22,23,35,36,37,44 /.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Фрадкина, Татьяна Ефимовна

Основные результаты настоящей диссертации сводятся к следующим:

1. Предложен метод квантования произвольной динамической сис' темы с ферми-бозе связями первого и второго рода, произвольного ранга (Глава I, §§ 3-4). а) Сформулированы основные уравнения для определения структурных коэффициентов, генератора калибровочной алгебры и унитаризирующего гамильтониана в случае теории с независимыми ферми-бозе связями первого и второго рода. б) Введено понятие ранга калибровочной теории по связям. в) Получены решения основных уравнений для обобщенных структурных коэффициентов в классе ферми-бозе теорий со связями первого и второго рода, генерирующими калибровочную алгебру произвольного ранга.

2. Найдено корректное выражение для производящего функционала (и матрицы) теории с ферми-бозе связями первого и второго рода, произвольного ранга в обобщенном фазовом пространстве. Доказана калибровочная инвариантность и унитарность построенной

5 - матрицы теории (Глава I, § 3).

3. Для релятивистских ферми-бозе систем со связями общего вида найдено унитарное и калибровочно-инвариантное выражение для

-матрицы в конфигурационном по гостам пространстве. Особенностью полученного ответа для матрицы является появление в обобщенном гамильтониане добавочных, ранее неизвестных в рамках обычных ковариантных методов квантования, взаимодействий гостовских частиц мевду собой. При этом, число гостовских полей, принимающих участие во взаимодействии, вообще говоря, зависит от ранга теории

- 129 и ответ выписывается для кавдого ранга в отдельности (Глава I, § 5).

4. Методом компенсирующего функционала получено универсальное (вне зависимости от ранга теории) выражение для $- матрицы произвольной динамической ферми-бозе системы со связями первого и второго рода (Глава П, §§ 1-2).

5. Получены обобщенные соотношения Уорда для динамических ферми-бозе систем со связями первого и второго рода в обобщенном фазовом пространстве (Глава I, § 7).

6. Проведено детальное рассмотрение квантования калибровочной теории со связями общего вида в произвольной невыротвденной калибровке. Показано, что и в этом случае корректный ответ для

5-матрицы также получается в рамках метода обобщенного канонического квантования, без введения добавочных гостов, а так называемые "третьи госты" уже содержатся в этом формализме и представляют собой лагранжевы множители к калибровке, входящие в качестве динамических переменных обобщенного фазового пространства теории (Глава I, § б).

7. Эффективность метода обобщенного канонического квантования продемонстрирована также на примере полей Янга-Миллса, рассматриваемых в формализмах первого и второго порядка, а также применительно к единым моделям теории элементарных частиц (Приложение).

8. Проведено квантование и получена корректная матрица в фазовом и в конфигурационном пространствах для индуцированных теорий, в которых отсутствующий лагранжиан калибровочного поля генерируется за счет квантования поля материи (спинорных и скалярных частиц), взаимодействующей с калибровочным полем. Рассмотрение проведено для случая взаимодействия спинорных и скалярных частиц с векторными полями Янга-Миллса и электромагнитным (Глава Ш,

- ISO

§§ 2-3). В том числе, исследованы индуцированные теории векторных калибровочных полей, приводящие к теориям с тривиальной $ - матрицей, что обусловлено существенным сокращением степеней свободы в рамках индуцированных теорий (Глава Ш, §§ 1,5).

9. Проведено корректное квантование модели фермионного перво-поля, в которой электромагнитное поле появляется динамически на квантовом уровне, как связанное состояние фермионов (Глава Ш, § 4, п.2).

10. Предложена модель скалярного поля (скалярного и спинорного полей) с существенно нелинейным самодействием, в рамках которой динамически на квантовом уровне генерируется поле Янга-Миллса в качестве связанного состояния перво-поля модели (Глава Ш, § 4, п.З).

11. Показано, что во всех случаях индуцированных теорий, а также в моделях существенно-нелинейного самодействия фундаментальных фермионов и бозонов, генерирующих индуцированные калибровочные теории в качестве связанных состояний, наивный лагранжев ответ для CJ- матрицы, вообще говоря, не корректен и появляются добавочные диаграммы, обусловленные появлением локальной континуальной меры (Глава Ш, §§ 2-4).

12. Проведено квантование и получена корректная $- матрица в конфигурационном пространстве в общем случае калибровочных систем с квадратичными по импульсам связями в классе калибровок, включающих гостовские поля (Глава 1У, §§ 1-2).

13. Проведено квантование и найдена в рамках обобщенного канонического формализма $ - матрица в конфигурационном пространстве для модели релятивистской мембраны в расширенной пространственной реализации, представляющей калибровочную систему высшего ранга по связям. Получено квазиклассическое приближение модели многомерной релятивистской мембраны (Глава 1У, § 3).

В заключение автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю академику АН GGGP М.А.Маркову за всестороннюю помощь и подцержку во время работы над представленной диссертацией, а также заведующему Лаборатории Электронов Высоких Энергий А.А.Комару за постоянное внимание.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Фрадкина, Татьяна Ефимовна, 1984 год

1. Дирак П.A.M. Лекции по квантовой механике. М.: Мир, 1968, 83 с.

2. Фаддеев Л. Д. Интеграл Фейнмана для сингулярных лагранжианов.- ТМФ, 1969, L. № I, с.3-17.

3. Fradkin E.S* Hamilton formalism in covariant gauge and the measure in quantum gravity. Acta Univ. Wratisl. (Proc.

4. X-th winter School of TP in carрасу), 1973* N 207, p.93-115.

5. Fradkin E.S., Vilkovisky G.A. Quantization of relativistie sistems with constraints. Phys. Lett., 1975, B55« N 2,p.224-226.

6. Fradkin E.S., Vilkovisky G.A. Unitarity in quantum gravidy-namics and general covariance in quantum domain. Lett. Kuovo Cim., 1975, 12л. И 2, p.187-192.

7. Batalin I.A., Vilkovisky G.A. Relativistie s-matrix of dynamical sistems with Boson and Fermion constraints. Phys. Lett., 1977, B69.N 3, p.309-312.

8. Fradkin E«S#, Fradkina Т.Е. Quantization of relativistie sistems with Boson and Fermion first and second-class constraints. Prepr. Vancouver Univ., 1977; - Phys. Lett., 1978, B72. К 3, p.343-347.

9. Fradkin E.S.», Vilkovisky G.A. Quantization of relativistie systems with constraints. Prepr. CERN, 1977, IH-2332, 53 p.

10. Fradkin E*S., Vasiliev M.A* Hamiltonian formalism, quantization and s-matrix for supergravity. Phys. Lett., 1977, B72. К 1, p.70-74.

11. Fradkin E.S., Vasiliev M.A. Minimal set of auxiliary fields and s-matrix for extended supergravity. Lett. Kuovo Cim.,1979,22.,1Г Ч» p.79-87.

12. Pradkin E.S., Vilkovisky G.A* S-matrix for gravitational field. Phys. Eev., 1973,H 12, p.4241-4285.

13. Batalin I.A., Pradkin E.S. Compensating functional and quantization of relativistic constrained sistems. Phys. Lett., 1979,B86,H 2, p.263-266.

14. Batalin I.A» A compensating functional in the massive Yang-Mills theory. Uucl. Phys.,1974,B76, N2, p.347-364.- 145

15. Фрадкина Т.Е. Квантование релятивистских ферми-бозе систем со связями первого и второго рода методом компенсирующегофункционала I. Препр.ШАН, 1979. № 168, 9 с.

16. Фрадкина Т.Е. Квантование релятивистских ферми-бозе систем сосвязями первого и второго рода методом компенсирующего функционала П.-Письма в ЖЭТФ, 1980, 3L,. ЖЕ, с.70-75.

17. Сахаров А.Д.Вакуумные квантовые флуктуации в искривленном пространстве и теория гравитации. ДАН СССР, 1967, 177,Ж,1. С.IU—(d.

18. Зельдович Я.В.Интерпретация электродинамики как следствия к квантовой теории.-Письма в ЖЭТФ,1967, 6,J5,с.922-924.

19. Adler S.L.,Lieberman J., Kg Y.J., Tsao H.S. Photon pairing instabilities: a microscopic origin for gravitation? Phys. He v., 1976, ДДД, И" 2, p. 35 9-378.

20. Atkatz D. Dynamical method for generating the gravitational interaction. Phys. Rev., 1978. D17. F8, p.1972-1976.

21. Hasslacher В., Mottola E. Gauge field model of induced classical gravity. Phys. Lett., 1980, £21,112, p.237-240.

22. Adler s.L. A formula for the induced gravitational constant. -Phys. Lett., 1980. В95.1Г 2, p.241-243.

23. Akama chikashige I., Matsuki I., Terazawa H. Gravity and electromagnetism as collective phenomena of fermion-antifermion pairs. Progr. of Theor. Phys., 1978, 6Qj, N 3, p.868-878.

24. Akama K. An attempt at pregeometry. Progr. of Theor. Phys., 1978, N 6, p.1900-1909.

25. Zee A. Spontaneously generated gravity, phys. Eev. ,1981, D23. IT 4, p.858-866.

26. Amati D., Barbieri E., Davis A.C., Veneziano G« Dynamicalgauge bosons from fundamental fermions I,II. Prepr. СЕЕЖ,1981, ТН-3049, Юр, Phys, Lett., 1981, В102. Н 6, р,408-412.

27. Фрадкина Т.Е. Квантование индуцированных теорий П. Ядерная Физика, 1984, 39, № 4, с.1021-1035.38, Hambu Y, Strings, monopoles and gauge fields* Phys. Eev#, 1974. Б10. N 12, p.4262-4268.

28. Becchi С., Rouet A., stora R. Renormalization of "the abelian Higgs-Kibble model. Comm. Math. Phys., 1975, 42. Ж 1,p. 127-162.

29. Тютин И.В. Калибровочная инвариантность в теории поля и статистической физике в операторной формулировке. Препр. ФЙАН, 1974, № 39, 28 с.

30. Batalin I.A., Pradkin E«S« Operator quantization of relati-vistic dynamical systems subject to first class constraints.- Phys. Lett., 1983, В128» IT 3, p.303-308.

31. Каллош P. О калибровочной инвариантности в супергравитации.- Письма в ЖЭТФ, 1977, 26^ № 6, с.573-578.

32. Batalin I.A., Pradkin E.S. A generalized canonical formalism and qunatization of reducible gauge theories. Phys. Lett., 1983, B122. N 2, p.157-164.

33. Phys., 1978, fi141. N 2, p.141-152. 53* Nielsen N.K. BRS invariance of supergravity in a gauge involving an extra ghost. Phys. Lett., 1981, B1Q3. N 3, p.197-199»

34. Фрадкин Е.С.О некоторых общих соотношениях в квантовой электродинамике. ЖЭТФ, 1955, 29j№2, с.258-261.

35. Takahashi Y. On the generalized Ward identity. ITuovo Cim.,1957,N 5, p.371-376.

36. Славнов A.A. Тождества Уорда в калибровочных теориях. ТМФ, 1972, 13,№ I, с.174-185.59 . Taylor J.С. Ward identities and charge renormalization of the Yang-Mills field. ITuol. Phys., 1971, рзз. N4, p.436-450.

37. Rebbi С. Dual models and relativistie quantum strings. -Phys. Rep., 1974. C12. S 1, p.1-73.

38. Mandelstam S. Dual resonance models. Phys. Rep., 1974, C13. N 3, p.259-363.

39. Chodos A., Jaffe R.L., Thorn C.B., Weisskopf V.F. New extended model of hadrons. Phys. Rev., 1974, 2SU. N 12, p.3471-3495.

40. Chodos A., Jaffe R.L., Johnson R., Thovn C.B. Basyon structure in the bag theory. Phys. Rev., 1974, Blfi, N9, p. 25 992604.

41. Hasenfratz P., Kuti J. The quark bag model. Phys. Rep., 1978, Q40. IT 1, p.175-179.

42. Gervais J.L., Ueveu A. The quantum dual string wave fractional in Yang-Mills theories. Hadronic and supersymmetric string states in chromodynamics. Phys. Lett., 1979,

43. Ю, p.255—258} Nucl. Phys., 1979, B155. II 1, p.75-92.

44. Makeenko Yu.M., Migdal A.A. Exact equation for the loop average in multicolor QCD. Quantum chromodynamics as dynamics of loops. Phys. Lett., 1980, B89. IT 4, p.437-440} - Hud. Phys., 1981, £188, IT 2, p.269-316.- 149

45. Migdal A.A. QCB-fermi string theory. Nucl. Phys., 1981, B188. H 2, p.253-294.

46. Aref*eva i.Ya. Quantum contour field equations. Gauge theory and bags. Phys. Lett., 1980, XT 3, p.347-353; B95« N 2,p. 269-272.

47. Sugamoto A. Theory of membranes. Hucl. Phys., 1983, B215? H 3, p.381-407•

48. Collins P»A., Tucker R.W« Classical and quantum mechanics of free relativistic membranes. Uucl. Phys., 1976, B112.1. H 1, p.150-177.

49. Henneaux M# Transition amplitude in the quantum theory of relativistic membrane. Phys. Lett., 1983, B120. N 2, p.179-183.

50. Polyakov A.M. Quantum geometry of bosonic and fermionic strings. -Phys. Lett,, 1981, B103.N 3> p.207-213.

51. PradkinE.S», Tseytlin A.A. Quantization of two-dimensional supergravity and critical dimensions for string modes. Quantized string models. Phys. Lett., 1981. B106. К 1, p. 6368-, - Ann. of Phys., 1982, 2, p.413-447.

52. Brink L., Scherk J., schwarz J.H. supersymmetric Yang-Mills theories. Nucl. Phys., 1977, р121? N 1, p.77-92.

53. Cremmer E., Julia в., Scherk J. Supergravity in eleven dimensions. Phys. Lett., 1978, B76f H 4, p.409-412.

54. Green M.B., Schwarz J.H., Brink L. N=4 Yang-Mills and N=8 supergravity as limits at string theories. Nucl. Phys,, 1982, £198. К 3, p,474-492.

55. Kibble T.W., Lazarides G., Sbafi Q. Strings in S0(10). Phys. Lett., 1982,- B113.U 3, p.237-240.