Задачи усреднения в частично перфорированных областях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, доктор физико-математических наук Шапошникова, Татьяна Ардолионовна

• Шапошникова, Татьяна Ардолионовна
• доктор физико-математических наук
• 1999

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Шапошникова, Татьяна Ардолионовна

Содержание

Введение Глава 1.

§1.

§з.

§4.

Приложение

Глава 2. §1.

§2.

§3

Усреднение краевых задач для оператора Лапласа в областях с непериодической структурой

Об усреднении задачи Дирихле в частично перфорированной области общего вида с непериодической структурой О задаче усреднения в частично перфорированной области с граничным условием смешанного типа на границе полостей, содержащим малый параметр Об усреднении краевых задач в перфорированных областях с непериодической структурой

Об усреднении краевых задач для оператора Лапласа в областях, перфорированных вдоль многообразий

Усреднение задачи Дирихле для уравнений высокого порядка в частично перфорированных областях

Об усреднении задачи Дирихле для полигармонического уравнения в областях, перфорированных вдоль многообразий большой коразмерности

Об усреднении бигармонического уравнения в области, перфорированной вдоль многообразий малой размерности Об усреднении решений задачи Дирихле для уравнения А3ие = / в областях, перфорированных вдоль многообразий коразмерности

стр. 4

22

32

52

84

98

103

170

195

Глава 3.

1.

2.

Список литературы

Усреднение некоторых краевых задач 220 в перфорированных областях с периодической структурой

Об усреднении оператора Лапласа в 220 области, часть которой содержит периодически расположенные канала с условием Неймана на их границе Об усреднении решений уравнения 239 Пуассона в перфорированной области с различным типом краевых условий на границе различных полостей

257

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Задачи усреднения в частично перфорированных областях»

Введение

Настоящая работа посвяшена вопросам усреднения решений краевых задач в перфорированных и частично перфорированных областях с периодической и непериодической структурой. Этим вопросам посвяшено большое число работ российских и зарубежных авторов (см. [1 ]-[9] и приведенную там библиографию). В диссертации продолжены исследования, изложенные в монографиях [1], [2]. В частности, предложены новые подходы к построению асимптотик краевых задач в перфорированных и частично перфорированных средах с непериодической структурой. Изучены задачи усреднения в таких областях с различными краевыми условиями на границе полостей. Предложенные здесь методы позволяют исследовать различные задачи усреднения в частично перфорированных областях с непериодической структурой. Также исследованы вопросы усреднения задачи Дирихле для эллиптических уравнений высокого порядка в областях, перфорированных вдоль многообразий большой коразмерности. Отметим, что в случае, когда коразмерность многообразия равна 1 эта задача была исследована Марченко В.А. и Хрусловым Е.Я. (см. [1]). В случае , изученном в диссертации, предельное поведение решений, когда диаметры полостей уменьшаются, существенным образом зависит от коразмерности многообразия, порядка оператора, размерности пространства а также от того, с какой скоростью диаметры отверстий стремятся к нулю по отношению к скорости стремления к нулю расстояния между соседними отверстиями. В работе рассмотрены все возможные случаи различного качественного поведения решений задачи Дирихле, а также исследована асимптотика собственных значений соответствующих спектральных задач. Кроме того, в настоящей работе исследована задача усреднения в области, часть которой занимают периодически расположенные тонкие каналы, ось которых перпендикулярна плоскости раздела однородной и неоднородной частей. В этом случае существенную трудность составило получение правильных условий сопряжения на границе раздела двух сред для предельной задачи. Приведем некоторые результаты работы.

В §2 гл. 1 изучена задача усреднения в частично перфорированной

области для уравнения Пуассона с граничным условием смешанного типа на границе полостей и малым параметром при неизвестной функции в граничном условии.

Пусть П— ограниченная область в Я" с гладкой границей, О П {г : xi = 0} = 7 ф 0, 0+ = О П {г : xi > 0}, Q" = Г> П {х : xi < 0}, ш-неограниченная область в Щ с 1 - периодической структурой и гладкой границей дш, у = г~хх, е > 0 - малый параметр; us = ееи, Qf = П+ п ие, Q = {зг 6 Rnx : 0 < xj < 1, j = l,...,n}, Y = QDw, S = dY Пдси, \Y\-объем области Y .

Положим : = 0+ и ГГ U 7, Se = 8Q, П П, T£ = П 50, Ы1Реу= Ир+0~ Ир-0 ДЛЯ любой точки Р € у и функции </?. В рассмотрим краевую задачу

Аи? = / в fL, —--Ь г a<rUe = 0 на Se,

ov

ut = 0 на Гг, (1)

где / £ ¿2(0), ¡у = - единичный вектор внешней нормали к

Ss, к € R1 и ае = а(£-1:г) — г— периодическая функция, заданная на дш, ае > ао > 0, ао = const.

Пусть к < 1 и v € ^(О-)- обобщенное решение краевой задачи:

&v = f при х е г> = 0 на ЭГГ. (2)

Имеет место

Теорема 1. Пусть ие - обобщенное решение задачи (1), v - решение задачи (2) и к < 1. Тогда имеют место оценки

1И«п» < ¿И4. IK - »Jk<0-) ^

где a{k) = 1 при к < —1, а (к) = |(1 — к) при к €: [—1,1).

Замечание. Теорема 1 имеет местои для более сложных частично-перфорированных областей с непериодической структурой. Пусть к = 1 и г»о - решение задачи

п д2г>о

Av0 - f в х £ hij-z—«--hvQ = / при х 6

i,j=l OXjUX i

i»o = 0 на dQ, bo = \Y\ 1 J a(y)dsy = const > 0, (3)

5

{hij}— матрица усредненных коэффициентов,

hij = \Y\-1 f(dNt/dyj + 5tj)dy, (4)

г

ог] - символ Кронекера, М]{у) = 1,..., п) являются 1- периодическими по у решениями задач:

<9

= 0, у € У, = (5)

(Щг = ^Г11 М^у = 0. г

Теорема 2. Пусть ие - обобщенное решение задачи (1) и к = 1,ьо-решение задачи (3), - решение задачи (5). Тогда

IК - г>011^(0-) + 1К ~ г^о - £ £ — Ня^) ^ КъуД-

}-\ ахз

Пусть к > 1 и г^о - решение задачи

д2ъи0 дх^дхг

и>а = О на дП.

Справедлива

Теорема 3. Пусть и5 - решение задачи (1) и к > 1, г^о - решение задачи (6), А^-— решение задачи (5). Тогда

ДГ(г) q^

|ue -WQ-гТ Nj{e~lx)—~||Я1(а+) + II"5 ~ ^оЦя^п-) <

j=1 OXj

Дги0 = / при х е & , £ а—= f ПРИ х € (б)

где ß(к) = min(l, к — 1).

В §2 гл. 1 рассмотрена соответствующая спектральная задача и получены оценки отклонения собственных значении исходной и предельной задач. Приведем одну из спектральных теорем, содержащуюся в §2.

Рассмотрим спектральную задачу, соответствующую задаче (1):

Auf + Xfuf = 0 при х £ Пе,

дит

—+ екаЛх)и? = 0 на 5,, uf = 0 на Г,.

öv

Теорема 4. Пусть к < 1, {Аш} - неубывающая последовательность с.з, (собственных значений) и {ит} - соответствующая последовательность с.ф. J собственных функций) спектральной задачи

Аит + Хгпит = 0, х <Е iT, ит = 0 на д(2~, т = 1,2,...,

причем каждое с.з. в неубывающей последовательности {Ат} повторяется столько раз, какова его кратность. Тогда

| JL _ J_| < К5е°М*,

Хт \т —

с

где а (k) = 1, к < 1 и а (к) = 1/2(1 - к) при к € [-1,1).

В §3 гл. 1 изучены различные краевые задачи в перфорированных областях с непериодической структурой.

Пусть Q - гладкая ограниченная область в Я" с границей дП. Пусть область G{ С fi, j = 1 ,...,N(e), е— малый параметр, G{ П G\ = 0 при i ф j, G{ имеют кусочно-гладкую границу dG3s.

Положим: Ge = NZGi, Пе = Ü\G~S, St = dG£, Se = Ге = dÜe\Se.

j=i

Будем предполагать, что G{ таковы, что любую функцию и € Н\(0,е, Г£) можно продолжить на О, как функцию и £ Hi(Q,Ts) так, что выполнены неравенства

|й||я1(п) < #6|М|я1(а), 11^1^(0) < Кг\\Чи\\ыъ). (7)

А. Условие Неймана, яа границе полостей.В области ГЬ рассмотрим краевую задачу

— Aus = / в Qs, — 0 на Sc, us = 0 x £ Г£, (8)

где /— гладкая в U функция. Имеет место

Теорема 5. Пусть и£ - решение задачи (8), г»о - решение задачи

— ¿Ivq = / при х € О, г»о = 0 ма <9П. (9)

Тогда

если 5* П = 0, и

K-v0|k(ili) < ^{IG.I1/'2 + |М£р/2},

если 5е П <9П = Ме ф 0.

Примеры. Пусть G^ имеет диаметр а^ и N(s) < dse~s, 0 < s < n, (¿s = const > 0. Этот случай включает области, перфорированные вдоль многообразий М3 С размерности s: s < п, либо G{ могут быть расположены произвольным образом внутри Q, s = п. Тогда

Ike ~ ^оИя^п,) < К10 max

если 5* П дП = 0, и

||u£ - voЦя^п,) < Kn(mj.x\a{\n~ls~k + max

если S*£f\dVt ф Ь и число полостей таких, что дО, П dGJs ф 0, не превосходит dks~k, причем \dG{\ < Къ(а{)п~1.

Заметим, что из Теоремы 5 следуют оценки для (us — i»o) , если G{ или часть из них представляют собою узкие каналы с малым объемом.

Рассмотрим задачу

— А ие = / в Пе,

(/If

^ + {3(x)ur = 0 на Se, ue = 0 на (10)

OU

где ,в{х) > (3q > 0 на 5е. Справедлива

Теорема 6. Пусть us - обобщенное решение задачи (10), vq - решение задачи (9) и |5г| —¥ 0 при е —у 0. Тогда

IK-^olltf^) ^ Kn\Se\.

Примеры. Пусть \dG{\ < K(aJ£)n~а{- диаметр области GJS и пусть N{г) < Dse~~s. Тогда из Теоремы 7 следует

IK ~ ио||я1(пе) < -^13(niaxaje)n~1s~s. Заметим, что в разделе Б мы не использовали условий (7).

В.Предположим, что имеется конечное число геометрически различных множеств вида Yj — Q\G3, j = 1,... , М, Q— единичный куб, GJ С Q. Обозначим YjS = sQ \ a{Gi, a3s < 6. Предположим, что

\dGJ\

lim —^--— = Со = const > 0, (11)

j = 1,...,М.

Пусть - неограниченная область в i?R, которую можно разбить на ячейки, причем каждая из ячеек геометрически совпадает с одним из множеств YSJ, j = 1...., М.

Пусть область О. содержит множество П*, которое состоит из конечного числа связных областей i — 1,..., /. Положим Q*e = О,1 П ше, =

U Обозначим 0£ = (Q \ П„) U Щ. i — 1

Изучим поведение при г —У 0 решения задачи (11), где (3{х) = b = const > 0.

Определим функцию vq(x) как решение задачи:

-Ava = f в xe£l\Q*,v о = 0 на dfi, (12)

-Avq + bC0vq = f в О,, Ы1ап,=

где постоянная Со задана соотношением (11). Справедлива

Теорема 7.Пусть ие - обобщенное решение задачи (10), vq - решение задачи (12). Предположим, что выполнено равенство (11)- Тогда

11«. - щ\\2нм < А'14{та ^^е^'Ч

Прямеры.Предположим, что суммарная площадь поверхности полостей, лежащих в разных ячейках одна и та же, т.е. \dGJ\ — то, aJ£ = ае для произвольного j и Бта"-1£_г1 = т\. Тогда Со =

Г.Предположим, что структура области Qs такая же, как и в предыдущем разделе и выполнено условие: для любого j = 1,... , М

lim(a{)"-1c~n = оо. (13)

Пусть г>о - решение задачи

-Avq = / при х £ CI \ П*, vq = 0 на d(Q \ П9). (14)

Имеет место

Теорема 8.Пусть и£ - обобщенное решение задачи (10), vq - решение задачи (1¿¡.). Предположим, что (13) верно. Тогда Цг^Ц.^^) —> 0 и

IK ~ vo|U2(n\ii,) 0 пРи £ 0-

Глава 2 посвящена усреднению решений задачи Дирихле для уравнений высокого порядка в частично перфорированных областях.

В §1 гл. 2 изучена задача усреднения для полигармонического уравнения в области Q пространства Rn, перфорированной вдоль многообразий, размерность которых не превосходит (п — 2), с условием Дирихле на всей границе области. В частности рассмотрен, так называемый, критический случай, когда в предельной задаче появляются новые члены, имеющие вид произведения дельта-функции Дирака, сосредоточенной на многообразии Mn-S, и производных от решения, соответствующего порядка.

1) Пусть'Q - ограниченная гладкая область в Я", Mn-S - гладкое многообразие в О, размерности (п — s) и s > 2. Пусть Pl~s - точки, принадлежащие Mn-S, j = 1,... ,N(e) и N(s) < daes~n, do = const > 0. Обозначим через T* - шар радиуса a£)S < cq€, cq = const > 0, с центром в точке

Pn-s, малый параметр. Предположим, что T{r s П T*ts = 0 при i ф j.

Будем предполагать, что точки Ph-S расположены так, что шары T^q£ с центрами в этих точках радиуса Cqs образуют конечно-кратное покрытие многообразия Mn-S) причем кратность этого покрытия ограничена постоянной, независящей от г.

гт ,( - 1 •

Пусть О)? = Е Т3^. Определим частично перфорированную область Пг, полагая

в

В области 0€ рассмотрим задачу

Дтие = / при х 6 (15)

ди€ дт~1ив

= — = • • • = -г на о\1€.

ди ди™-1

где и - внешняя единичная нормаль к / 6 ^(П), т > 2.

Далее будем предполагать, что иг € Нт{£1е, продолжено нулем на

Приедем некоторые результаты, содержащиеся в этом параграфе.

1). Пусть п < 2т, п = 2к + 1жз = 2к или 5 = 2к + 1, т.е. П содержит

многообразия Мо, Мь Определим г»о как решениу задачи

Атг»о = /, если х € П \ р = О или р = 1,

Д-^о — 0 на если 0 < У < т — к — 1, ^26)

£>*г>0 = О на ЯП, 0 < г < т — 1.

Аналогично определяется задача, когда п = 2к и я = 2/:, т.е. П содержит нульмерное многообразие Мо-Имеет место

Теорема 1. Пусть п < 2т, п = 2к + 1 ( или п = 2к). Предположим, что П содержит многообразие Мп-3 при з = 2к или 5 = 2к + 1 ^ соответственно з = 2к), ае>5 —О при г —> 0. Тогда ие г»о при е —> 0 слабо в Нт($1), где г/о - обобщенное решение задачи (16),

Пусть теперь п < 2т, гг = 2к + 1 и содержит многообразие Мп-3 , где й < 2£. Положим 5 = 2/ или з = 2/ + 1. В §1 гл. 2 доказана следующая Теорема 2 .Пусть п < 2т, п = 2к + 1 и содержит многообразие Мп-з, где й < 2к, в = 21 или в = 21 + 1. Предположим, что

Цта^^^Н+^о, если з = 2/,

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Шапошникова, Татьяна Ардолионовна, 1999 год

Список литературы

■ I] Марченко В. А.. X русло в Е.Я. Краевые задачи в областях с мелкозернистой границей. Киев. 1974.

[2] Олейник О.А.. Иосифьян Г.А.. Шамаев А.С. Математические задачи теории сильно неоднородных упругих сред. М.. МГУ. 1990.

l3j Oleinik О.A.. Shamaev A.S.. Yosifian G.A. Mathematical problems in Elasticity and Homoi?enization. Amsterdam. 1992.

¡4

[S

[6

i"

[8

[9

[10

[П [12

[13

[14

Жиков В.В.. Козлов С.М.. Олейник О.А. Усреднение дифференциальных операторов. М.. Физ.-матем. л-ра, 1992.

Jikov V.V., Kozlov S.M., Oleinik О.A. Iiomogenization of differential Operators and Integral Functionals. Springer-Verlag, 1994.

Бахвалов H.C.. Панасенко Г.П. Осреднение процессов в периодических средах. М.. Наука. 1984.

Санчес - Паленсия Е. Неоднородные среды и теория колебаний. М., Мир. 1981.

Bensoussan A.. Lions J.-L.. Papanikolaou . Asymptotic analysis for periodic structures. North-Holland. Amsterdam. 1978.

Скрыпник PI.В. Методы исследования нелинейных эллиптических граничных задач. М. Наука, 1990.

Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физикё. М.. Наука. 1988.

Мазья В.Г. Пространства Соболева. Ленинград, 1985.

Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. М., Наука, 1973.

Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М., Наука, 1976.

Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т.1 - Т.о. М., 1967.

[15] Лионе Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. М.. Мир. 1971.

[16] Oleinik О.A. Some asymptotic problems iii the theory of partial differential equations. Lezioni Lincei. Accademia. Naz. dei Lincei. Cam-bridge:Cambridge University Press. 1995.

[17] C'ioranescu D.. Saint Jean Paulin J. Homogenization in open sets with holes.// J.Math. Anal.and Appl. 1979.71.509-607.

¡18] Cioranescu D.. F. Murat Un terrn etranger venu d'ailleurs 1.2. In: H.Brezis- J.-L.Lions (eds.). Non-Linear Partial Differential Equations and their Application. Coilege de France Seminar, vol. 2-3. Research in Math.. 60-70.Pitman. 1968, 98-138. 154-178.

[19] Олейник О.А.. Шамаев А.С. Об усреднении решений краевой задачи для уравнения Лапласа в частично перфорированной области с условиями Дирихле на границе полостей. // Докл. РАН. 1994. 337, N 2 . С. 18-21.

[20] Олейник О.А. Краевые задачи для линейных уравнений эллиптического и параболического типа с разрывными коэффициентами. Изв-я Академ. Наук СССР, сер. Математика., т.25, N 1, 1961, с. 3-20.

[21] Кондратьев В.А. О гладкости решения задачи Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка в кусочно-гладкой области. // Дифференц. уравнения. 1970. Т.6, N 10. С. 1831-1843.

[22] Арефьев В.Н. Регулярность решений эллиптических уравнений с разрывными коэффициентами. Тезисы конференции по уравнениям с частными производными посвященной 75- летию И.Г.Петровского. Из-во МГУ, 1978. 257-258.

[23] Арефьев В.Н. О задаче Дирихле для эллиптических уравнений второго порядка с разрывными коэффициентами. В : Проблемы Математики и Механики деформируемых сред. М., N 173, 1979, 7-11.

[24] Арефьев В.Н. Регулярность решений параболических уравнений второго порядка с разрывными коэффициентами. Изв-я Высшей Учеб. Завед. Матем. 1987. N :, С. 11-19.

[25] G.Fichera Analisi esistenziale per le soluzioni dei problemi al contorno misti. relativi alLequazione e ai sistemi di equazioni del secondo ordine di tipo ellipttico. autoaggiunti. Ann.Sc.Norm. Sup. Pisa. II. 15. 1946. 75-100.

[26] Олейник O.A., Иосифьян Г.А.. Шамаев A.C. О предельном поведении спектра последовательности операторов, заданных в различных пространствах.// Успехи матем. наук. 1989. 44 . N 3. 157-158.

[27] E.De Giorgi. S.Spagnolo. Sylla convergenza degii integrali dellenergia per operatori eliiptici de! secondo ordine. Boil. Unione Mat.Ita.1. 8. 1973, p.391-411.

[28] Егер В.. Олейник O.A.. Шамаев A.C. О задаче усреднения для уравнения Лапласа в частично перфорированной области. Докл. РАН. 1993. Т.33. N 4. С.424-427.

[29] Jaeger W.. Mikelich A., A study of a contact between porius media and ordinary media for the case of the Laplace equation. Heidelberg, 1993.( Preprint of the University of Heidelberg).

[30] Jaeger W.. Oleinik O.A., Shamaev A.S. On homogenization problem for the Laplace operator in partially perforated domains with the Neumann condition on holes. Heidelberg, 1993. (Preprint/ Universität Heidelberg:93-53).

[31] Стернин Б.Ю. Эллиптические и параболические задачи на многообразиях с границей, состоящей из компонент различной размерности.// Труды ММО. .1996. Т.15. С. 346-382.

[32] В.Егер. О.А.Олейник. А.С.Шамаев Об усреднении решений краевой задачи для уравнения Лапласа в частично перфорированной области с краевыми условиями третьего рода на границе полостей. Труды Моск. Мат. Об-ва, т.58, 1997, с.187-223.

[33] Jaeger W.. Oleinik O.A., Shamaev A.S. On a homogenization problem for the Laplace operator in a partially perforated domains with the Neumann condition on holes. Proceedengs of the second workshop on Composite media, homogenization theory. Triest, Italy, World Scientific, 1995, p. 167188.

3 iJ О.А.Олейник. Т.А.Шапошникова Об одном методе построения приближений в задаче усреднения в частично перфорированной области. Дифферент!, уравнения. 1994. т.30. N 11. с. 1994-1999.

¡35] О.А.Олейник, Т. А. Шапошников а Об усреднении задачи Дирихле в частично перфорированной области общего вида с непериодической структурой. Вестник МГУ. 1995. N 2. с. 49- 55.

[36] О.А.Олейник. Т.А.Шапошникова О задаче усреднения в частично перфорированной области с граничным условием смешанного типа на границе полостей.содержащим малый параметр. Дифференп. уравнения. 1995. т.31. N 7. с. '1140-1150.

[37] О'.А.Олейник, Т.А.Шапошникова О задачах усреднения в частично перфорированных областях. УМН, 1995, т.50. N 4, с. 100-101.

[38] O.A.Oleinik. T.A.Shaposhnikova On the Neumann problem for the Lapiace operator in partially perforated domains with the small density of cavities. Rendiconti Lincei: Matematica e Applicazioni, 1995, ser.9, v.6. N 3. p.133-142.

[39] O.A.Oleinik. T.A. Shaposhnikova On the homogenization of the Poisson equation in partially perforated domains with the arbitrary density of cavities and mixed type conditions on their boundary. Rendiconti Lincei, Matematica e Applicazioni, 1996, ser.9, v.7, N 2, p.129-142.

[40] O.A.Oleinik. T.A.Shaposhnikova On spectral problems in partially perforated domains. Proceedings conf. in Nice, 1995. (ed. by D. Cioranescu)

[41] О.А.Олейник, Т.А.Шапошникова Об усреднении бигармонического уравнения в области, перфорированной вдоль многообразий малой размерности. Дифференц. уравнения, 1996, N 6, с. 830-842.

[42] О.А.Олейник, Т.А.Шапошникова О задаче Дирихле для бигармонического уравнения в области, перфорированной вдоль многообразия малой размерности. Доклады РАН, 1996, т.350. N 6, с. 742-746.

[43] О.А.Олейник, Ж.Тронель, Т.А.Шапошникова Об усреднении оператора Лапласа в области, часть которой содержит периодически расположенные каналы с условием Неймана на их границе. Вестник МГУ, 1996, N 5.

[44] О.А.Олейник, Т.А.Шапошникова Об усреднении смешанной задачи для уравнения теплопроводности в области, часть которой содержит тонкие, периодически расположенные каналы. Труды сем. имени И.Г.Петровского, N 20. стр. 27-47.

[45j W.Jaeger, O.A.Oleinik. T.A.Shaposhnikova On homogenization of solutions of the Poisson equation in a partially perforated domain with different types of boundary conditions on different cavities. Applicable Analysis, v.65, N 3-4, 1997. p. 205-223.

146] В. Егер. О.А.Олейник, Т.А.Шапошникова Об усреднении решений уравнения Пуассона в области, перфорированной вдоль гиперплоскости. со смешанными краевыми условиями на границе полостей. Труды ММ О, т. 59, 1997, с. 47-71.

[47] W.Jaeger, O.A.Oleinik, T.A.Shaposhnikova On homogenization of solutions of the Poisson equation in a. perforated domain with different types of boundary conditions on different cavities. Universität Heidelberg. IWR, Preprint 96-51 (SFB 359), 1996.

[48] М.Лобо, О.А.Олейник. М.Е.Перес, Т.А.Шмпошникова Ограничных задачах в областях, перфорированных вдоль многообразий. УМН, т. 52. N 4, 1997, с. 205-206.

[49] M.Lobo, M.E.Perez, O.A.Oleinik, T.A.Shaposhnikova On homogenization of solutions of boundary value problems in domains, perforated along manifolds. Annali della scuola Normale. Superiore.classe di scienza, v. 25, 1998.

[50] W.Jaeger, O.A-.Oleinik, T.A.Shaposhnikova On homogenization of solutions of the Poisson equation in a domain, perforated along a hyperplane, with mixed conditions on the boundary of cavities. Universität Heidelberg, IWR, Preprint 97-33 (SFB 359), 1997.

[51] О.А.Олейник, Т.А..Шапошникова Усреднение эллиптических краевых задач в перфорированных областях с непериодической структурой. УМН. 1998, т.52(6), с. 179-180.

[52] О.А.Олейник, Т.А.Шапошникова Об усреднении краевых задач в перфорированных областях с непериодической структурой. Дифференц. уравнения, 1998. N 5 .

[53] Шапошникова Т.А. О краевых задачах для эллиптических уравнений высокого порядка в частично перфорированных областях. УМН, 1996, т. 51, вып. 5(311), стр. 165-166.

[54] T.A.Shaposhnikova. On homogenization of the Dirichlet problem for higher order elliptic equations in partially perforated domains. Abstracts of the International Symposium dedicated to the 90 birthday anniversary of academician I.N.Vekua. 1997, p. 93.

[55] Ладыженская О.А., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М. Наука, 1973.

[56] Берс Л., Джон Ф., Шехтер М. Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1966.

[57] Рисс Ф., Секефальви - Надь Б. Лекции по функциональному анализу. М.: Мир, 1979.