Усреднение вариационных неравенств для оператора Лапласа и для бигармонического оператора с ограничениями на множествах, периодически расположенных вдоль многообразий тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Зубова, Мария Николаевна

• Зубова, Мария Николаевна
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Зубова, Мария Николаевна

0.1 Введение.

0.2 Вспомогательные утверждения

1 Вариационное неравенство для оператора Лапласа

1.1 Постановка задачи.

1.2 Случай многообразия большой коразмерности

1.3 Случай образования препятствия вдоль многообразия

1.4 Случай исчезновения препятствия

1.5 Критический случай.

1.6 Случай, когда ограничения заданы на множествах вдоль границы.

2 Вариационное неравенство для бигармонического оператора

2.1 Постановка задачи.

2.2 Случай малой размерности объемлющего пространства

2.3 Случай многообразия большой коразмерности

2.4 Случай образования препятствия вдоль многообразия

2.5 Случай исчезновения препятствия.

2.6 Критический случай.

2.7 Случай, когда ограничения расположены на множествах вдоль границы.

3 Литература

4 Иллюстрации

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Усреднение вариационных неравенств для оператора Лапласа и для бигармонического оператора с ограничениями на множествах, периодически расположенных вдоль многообразий»

Вариационные неравенства возникают в различных задачах физики, таких, как, например, задачи ол полупроницаемых стенках, задачи фильтрации, задачи управления температурой. Вариационные неравенства для бигармонического оператора и оператора Лапласа с ограничениями типа неравенств соответствуют задачам о равновесии пластины или мембраны, расположенной над препятствием. При большом числе подмножеств, на которых заданы ограничения, области в которых ставятся подобные задачи, имеют весьма сложную структуру. Сложная структура области не вносит дополнительных трудностей в доказательство теорем существования и единственности этих задач, однако нахождение этих решений как точными, так и приближенными методами не представляется возможным. Лишь привлекая различные физические соображения, иногда удается приближенно найти основные характеристики изучаемого процесса при помощи замены решений исходных задач решениями более простых приближенных задач. В одних случаях задачи с ограничениями типа неравенств на подмножествах заменяются решениями вариационных неравенств с ограничениями на всем пространстве или на поверхности, вдоль которой были расположены эти подмножества, в других - решениями краевых задач с "усредненньши"граничными условиями или условиями сопряжения на некоторой поверхности.

Подобными задачами занимается теория усреднения, начало которой было положено в работах Пуассона, Максвелла, Релея. Как самостоятельная наука теория усреднения была развита в работах таких математиков, как Н.С. Бахвалов, В.В. Жиков, В.А. Марченко, Е.Я. Хруслов, Е. Де Джорджи, Ж. Лионе, Э. Санчес - Паленсия, Г. Дель Мазо , Л. Тартар и многие другие ([2|- [22] ). Особую роль в теории усреднения занимают работы O.A. Олейник ее учеников ([311, [35], [37], [36], ]38]).

Примерами задач, решаемых теорией усреднения, могут служить краевые задачи для уравнений с частными производными, моделирующие процессы в сильно неоднородных средах, перфорированных материалах, с быстро меняющимися граничными условиями, задачи со сменой граничного условия на малом участке границы, задачи в областях с быстро осциллирующей границей и т.д. Примерами задач, связанных с усреднением вариационных неравенств могут служить задачи с ограничениями типа неравенств на перфорированной части границы области, задачи с быстро меняющимися ограничениями (см., например, работы [9], [171, f19l> i18l> f25l> i31l> i32l> f43D

В 60-х - 70-х годах прошлого столетия в работах В.А. Марченко и Е.Я. Хруслова [9], [10] впервые были рассмотрены задачи усреднения в областях с так называемой мелкозернистой границей. Краевое условие в такого рода задачах ставится на границе множества сложной структуры, состоящего, например, из большого количества (как правило, непересекающихся) малых областей, расположенных близко друг к другу. При этом изучается поведение решения, когда число областей неограниченно возрастает, а расстояние между ними и их размеры стремятся к нулю. Задачи в подобного рода областях возникают при исследовании, например, дифракции волн различной природы на экранах с большим числом мелких дырок, деформации упругих сред с большим числом мелких неоднородностей (пустот, трещин и т.п.). Позднее, методы, разработанные в теории усреднения дифференциальных уравнений с частными производными, позволили получить дальнейшее продвижение в задачах, рассмотренных В.А. Марченко и Е.Я. Хрусловым, для областей со сложной границей, обладающей периодической структурой.( [35], [44] и др.)

Основы теории вариационных неравенств были заложены в 60-х годах прошлого века в работах Ж.-Л. Лионса и Г. Стампаккьи [5], [6], Г. Дель Мазо [2], [3], Г. Фикеры [11[, Е. Санчес - Паленсия [12]. В работах этих авторов были изучены вопросы существования и единственности решений вариационных неравенств при достаточно общих предположениях об операторе, задаче на нахождение минимума которого соответствует вариационное неравенство, а так же получены некоторые результаты о регулярности решений. Впервые задачи усреднения вариационных неравенств с ограничениями, зависящими от параметра, были рассмотрены в работах Г. Дель Мазо. К. Пикар. Например, в работах Г. Дель Мазо [4] изучалась асимптотика решений задачи минимизации функционала / | Du |2 +д(х,и)с1х на множестве функций с двусторонними ограничениями фп < и < фп, в случае, когда ограничения являются элементами некоторых функциональных последовательностей. В монографии К. Пикар [1] была рассмотрена задача усреднения вариационного неравенства для бигармонического оператора с ограничениями типа односторонних неравенств на подмножествах, зависящих от малого параметра, расположенных с малым периодом по всей области.

При изучении задач усреднения вариационных неравенств в работах Г. Дель Мазо [2] и К. Пикар [1], [7|, [8] использовалось понятие Г - сходимости, емкости множеств и техника интегральных представлений. В работах [7|, [8] было изучено асимптотическое поведение решений вариационных неравенств для эллиптических операторов с односторонними ограничениями, составляющими сходящуюся в некотором пространстве последовательность. В зависимости от предельного поведения функций, задающих ограничения, были выделены несколько качественно различных типов предельных задач. В первом случае предел последовательности решений будет решением вариационного неравенства с ограничением типа неравенства на множестве меньшей размерности, причем в этом случае предельная функция более гладкая, чем решения допредельной задачи. Во втором случае предел последовательности решений будет решением задачи другого типа. В зависимости от асимптотического поведения функций, задающих ограничения, могут возникнуть интегральные слагаемые или слагаемые, содержащие меру области, на которой заданы вариационные неравенства. В этом случае ограничения типа неравенств отсутствуют. Позднее, в работах [12], [15]. [41], [42] были изучены асимптотики решений вариационных неравенств для операторов второго порядка с периодическими быстро меняющимися коэффициентами в случае, когда функции, задающие препятствие, являются элементами некоторых функциональных последовательностей или ограничения заданы на перфорированной части границы. При этом в рассматриваемых задачах обычно доказывалась Г - сходимость и слабая сходимость, в то время, как вопрос скорости сходимости исходных задач к усредненным не затрагивался.

В диссертации рассматривается задача усреднения вариационных неравенств для бигармонического оператора и оператора Лапласа с ограничениями типа неравенств, заданными на подмножествах, которые расположены вдоль некоторых многообразий. При этом диаметр подмножеств, на которых заданы ограничения и расстояние между множествами зависят от малого параметра. При исследовании асимптотики решений автор применяет методы теории усреднения дифференциальных операторов, общей теории уравнений в частных производных а также методы функционального анализа и теории пространств Соболева.

Задачи усреднения задачи Дирихле для бигармонического и полигармонического операторов в областях перфорированных вдоль многообразий большой коразмерности были изучены в [33]. [37].

Первая глава диссертации посвящен а задаче усреднения решений вариационного неравенства для оператора Лапласа с ограничениями типа односторонних неравенств на множествах расположенных как по всей области Q (s = 0), так и вдоль некоторого многообразия M„s С размерности п — s. Диаметры подмножеств, составляющих а£ < 2е, их количество Ne = d^e9-11, где е -малый параметр, an- размерность пространства.

Сформулируем основные результаты, полученные в первой главе. Пусть О, - ограниченная область в Rn с гладкой границей ¿Ю; пусть Mn—g— гладкое многообразие размерности п — s, s > 0. В случае, когда s = 0, Mn-S совпадает с Q. Пусть Pl~s— точка принадлежащая Mn-S, j = 1,., Ne и N£ = do£s~n, do = const > 0. Через Tj в дальнейшем будем обозначать шар радиуса т с центром в точке Pl~s, а через границу этого шара. Предположим, что Т1а ПТ^ = 0 для г ф j, i,j = 1,., N£, a£jS < е. Будем предполагать, что точки Pis расположены так, что шарьт радиуса е с центрами в этих точках образуют конечнократное покрытие многообразия Mns, причем кратность этого покрытия ограничена постоянной, не зависящей от

В параграфах 1.2 - 1.5 при заданных функциях /(х) е Ь2^1) и ф(х) € Сд (О) исследуется асимптотика при е —> 0 решений следующей задачи: найти элемент и£ е К£ = {д б Я?(ПМ®) > Ф{х) п.в.на Î1) е. Пусть Gts) = Е%3. N удовлетворяющий вариационному неравенству где V - произвольный элемент К£. Существование и единственность обобщенного решения задачи (1), (2) следует, например, из теоремы существования и единственности решений вариационных неравенств для оператора с выпуклыми ограничениями (см. |26])(гл.2,§3).

В параграфе 1.2 исследован случай, когда коразмерность многообразия Мп-$ 5 > 2 и П С Яп, п > 3. Доказана следующая теорема: Теорема 1. Пусть С Яга, п > 3 и О, содержит многообразие Мп-$, 2 < в < п. Пусть и£ - решение задачи (1), (2). Тогда и£ сходится к щ в //1 (Г2) при е —> 0, где щ - гладкое решение краевой задачи

Ам0 = 6 и0\дп = 0. (3)

Справедлива оценка: ||и£ - «оИя^п) < Ка£~2е3~п.

Пусть О, с п > 2 содержит многообразие Мп-3, причем 0 < в < 2. Пусть последовательности {е} и {а£} удовлетворяют одному из следующих трех условий:

1та1.п£п 8 = 0, если п > 3, £-.0 £>5 ' ~

Птг Ьа^! = 0, если п = 2;

Ита2 ,п£п в = +оо, если п > 3, £-»0 £'3 ' —

1ш1е2~5|1па£ с| = +оо, если п = 2; £—»0 ' ' '

Ит а2~пеп-$ = С > 0, если п > 3,

Нт£25|1па£з| = С > 0, еслип = 2. £-+0 ' ' '

4)

5)

6)

В каждом из случаев (4) - (6) автор исследует асимптотику решения задачи (1), (2) при е —► 0, выписывает предельную задачу, доказывает сходимость последовательности и£ к решению усредненной задачи и в случае (5) находит оценку ее скорости.

В параграфе 1.3 исследован случай (4) и доказана следующая теорема:

Теорема 2. Пусть и£ - решение задачи (1), (2) и выполнено условие (4). Тогда щ сходится слабо в Н^О) к щ при £ —► О, где щ - решение задачи: найти элемент щ е К0 = {у е Я?^) | у(х) > ф(х) п. в. в М„3}, (7) удовлетворяющий неравенству

IVи0У(к - и0)(Ь > / /(Л - щ)йх (8) п п для любой функции к £ Ко.

В параграфе 1.4 исследован случай (5) и доказана следующая теорема:

Теорема 3. Пусть и£ - решение задачи (1), (2); щ - решение задачи (3), и выполнены условия (5). Тогда и£ сходится в #х(Г2) к щ при е —> 0, и справедливы оценки: 11ме ~~ ^оЦя^п) < Ка%~2е3~п, если п > 3 и

Ни£ - ио||я,(П) ^ Ке*~2 I 1пае Г1, еСЛи п = 2.

В параграфе 1.5 исследован так называемый "критический"случай (6) предельного поведения решений и£ задачи (1), (2) и доказана следующая теорема

Теорема 4. Пусть выполнены условия (6); и£ - решение задачи (1), (2). Тогда и£ слабо сходится в к щ при е —► 0, где «о €

Н^П) - функция, удовлетворяющая интегральному тождеству

I УиоУМх + С I (щ- ф)~Ш = I /Мх, (9) п м„-в п для произвольной функции Н € Я^П), причем имеют место оценки:

1К - иоИзд 0, когда е О,

-ф)+ + ф + и)£{щ - ф)~ - и£)Над 0, когда е 0.

Здесь и)£ 6 Я° 10С(П,п) - срезающая функция, построенная следующим образом: положим = {\х ~ РЛ2~п ~ (а£)2-п}/{(еЬ)2~п - (ае)2""}, з = 1,., ДГ£, для х е Т*Ь\Т1, где Ь = сопбЬ, а£ <еЬ < е/2, Ие -количество шаров, составляющих .

Построим функцию ги£, полагая ю£ = и){ при х € \ и ю£ = 0 при х Е гп£ = 1 при хеЯп\ и

В зависимости от коразмерности многообразия Мп-8 и его расположения, интегральное тождество (9) может быть записано в терминах различных уравнений и краевых условий. В случае, когда 5 = 0, и множества С?^ расположены по всей области П, щ(х) является обобщенным решением задачи:

-Ди0 + С{щ - ф)~~ = /, х е О, и0 = 0, х е дП, (10) где С = а){п){п - 2)С~1, для п > 3.

В случае, когда в = 1 и Мп-\ С О, Ио(я) является обобщенным решением задачи: Ои '

-Ащ = /, х е й, щ = 0, х 6 dv с(щ-ф)~ = о,хе мпi, где (7 = си{п)(тг — 2)С\ если п > 3, [у] - скачек функции v на гиперповерхности Мп-\, (щ - ф)~ = inf{wo - 0,0}.

Результаты, полученные в случае s = 0, были опубликованы в статье [47].

В параграфе 1.6 рассмотрена задача усреднения аналогичного вариационного неравенства с ограничениями, расположенными вдоль границы области. Предполагается, что Q - ограниченная область в Rn с липшицевой границей dQ, расположенная в полупространстве хп > 0; Ti = {dfi П {хп = 0}} ф 0; дП \ = Г2. Обозначим Go = {х в Rn : \х - Ро| < а}, где Ро - центр куба Q = {х € Rn : 0 < Xj < 1 = 1 ,.,п}. Предположим, что Go С Q. Положим G£ = Y,z€z'{aeGo + — U^G^, где Z' - множество векторов вида z = (zi,.zn-1,0), Zj (j = 1,. ,n - 1) - целочисленные; G¿£ — n— мерный шар с центром в точке Pj радиуса а£а, 0 < а£а < е/2. Не ограничивая общности, считаем, что G^,., G^}^ - Ree те шары из совокупности Ge, для которых У3£ С Q U Гь j = 1,., N(e), где Y¡ = {х : \xí - P¡| < e/2, i = 1,. ,n}; N{e) * e^mesY^

Задача состоит в том, чтобы при заданных функциях f(x) 6 £г(Г2) и ф(х) е Gq(Q) исследовать асимптотику при е —> 0 решений следующей задачи: найти элемент и£(х) £ К'£ = {v £ Гг)| > ф(х) п.в. наGle, j = 1,. ,N(e)}] ф(х) е #i(f2,r2), удовлетворяю-]ций вариационному неравенству

J Vw£V(t> - u£)dx > J f(v - u£)dx, (12) n n где v- произвольный элемент K'£, f £ ¿2^), VuV<? = £ fj?.

7 = 1 J ^

В параграфе 1.6 приведены следующие результаты, аналогичные результатам пунктов 1.3-1.5, а именно:

Теорема 5.Пусть выполнены условия (4) с s = 1, и£ - решение неравенства (12). Тогда ||и£—здЦя^п) 0 прие —» 0, гдещ G К'0 = {f G Hi(p*, Г2) I v > ф п.в. на Г1} удовлетворяет вариационному неравенству

J Vu0V(h - u0)dx > J /(Л - u0)dx, (13) п n для любого h G К'е.

Теорема 6. Пусть выполнены условия (5) щ- обобщенное решение задачи (3). Тогда и£ -1 но слабо в Я^П) при е —► 0.

В так называемом критическом случае щ является обобщенным решением из пространства #i(fi,r2) нелинейной краевой задачи:

Дио = / в Q; «о = 0 Г2; ' % + А{п)(щ - ф)~ = 0 на Гь (14) где А(п) = (n — 2)(j(n)an-2Ci, п > 3; А{2) = 27гС^"1. Доказана следующая

Теорема 7. Пусть выполнены условия (6), и£ - решение вариационного неравенства (12); щ - обобщенное решение краевой задачи (Ц). Тогда

Нио-Мвд -►0,

II v[(«0 - Ф)+ + ф + Юе(щ - Ф)~] - Vw£|U2(n) 0, если е —> 0.

Вторая глава диссертации посвящена задаче усреднения решений вариационного неравенства для бигармонического оператора с ограничениями типа односторонних неравенств на множествах расположенных как по всей области Q (s = 0), так и вдоль некоторого многообразия M„s С £1 размерности п — s. Диаметры подмножеств, составляющих а£>3 < их количество N£ = do£s~n, где е - малый параметр, а п - размерность пространства.

Сформулируем основные результаты, полученные во второй главе. Пусть ft - ограниченная область в Я" с гладкой границей Ш;

Mn—g— гладкое многообразие размерности n — s и s > 2. Пусть Pn-S— точка принадлежащая M„s, j = 1,., Ns и Ne = does~n, do = const > 0. Обозначим через шар радиуса o£)S с центром в точке Pn~si где £ малый параметр, о^« < е. Предположим, что Тде< П7*. =0 для г Ф j, i,j = 1,.,Ne. Через Г/ в дальнейшем будем обозначать тар радиуса т с центром в точке Рп-$, а через дТ-j. Гранину этого шара. Будем предполагать, что точки Ph-S расположены так, что шары радиуса е с центрами в этих точках образуют конечнократное покрытие многообразия Mns, причем кратность этого покрытия ограничена постоянной, не зависящей от е.

Пусть Gts)=%Tle.

В параграфах 2.2 - 2.6 при заданных функциях f(x) 6 Ьг(^) и ф{х) G Cq(Q) исследуется асимптотика при е —» 0 решений следующей задачи: найти элемент и£ е К£ = {д е Н$(П)\д(х) > ф{х) п.в. на G^}, (15) удовлетворяюгций вариационному неравенству j D2u£D2{v - u£)dx > J f(v - uE)dx, (16) n n где v— произвольный элемент K£. Здесь D2vD2u = £ ofdxj dtdx,'

Существование и единственность решения задачи (15), (16) следует, например, из утверждений, доказанных в [26] (гл.2,§3).

В параграфе 2.2 исследован случай, когда Q С Rn, п = 2, 3 и коразмерность многообразия, вдоль которого расположены подмножества, 5 > 0. Доказана следующая теорема:

Теорема 8. Предположим, что размерность пространства п = 2 или п = 3, а£<$ —0, когда е —> 0, ие - решение задачи (15), (16). Тогда и£ слабо сходится к щ в Я°(П) при е —» 0, где щ решение задачи: найти элемент u0£K0 = {ve Я2°(0) | v{x) > ф(х) в Mns}, (17) удовлетворяющий неравенству

J D2uQD2(h - u0)dx > J f(h- u0)dx, (18) для любой функции ¡г е Ко.

В параграфе 2.3 исследован случай, когда С Яп, п > 4, и множество расположено вдоль многообразия 4 < к < п. Доказана следующая теорема:

Теорема 9. Пусть п > 4 и П содержит многообразие Мп-к, 4 < к < п. Тогда решение задачи (15), (16) ие сильно сходится к ио в #2(П), гари £ —► 0 где щ - гладкое решение задачи ll

A2u0 = f,xeü, и0\т = 0. (19) дп

При этом справедливы оценки: \\и£—«о|1я°(п) ^ Ka£*k | ln(2a£jfc) 1 если к> 5, ||ие — ^na£,4 I-1) к = 4.

Пусть область П С /2", п > 4 содержит многообразие Mns, причем 0 < s < 3. Пусть последовательности {е} и {öe)S} удовлетворяют одному из следующих трех условий: lim a\~nen~s = 0, если п > 5, е-о £ lime4 s| Ina£-J= 0, если гг = 4; £-+0 1 * 1 * ' limaj чпеп 5 = +00, если п > 5, £—»0 ~ lime4-s| lnae J =+оо, если п = 4; £-♦0 1 ' 1 lim a4Tn£n~3 = С > 0, если п > 5, lim. | lna£)S| = С > 0, если п = 4.

20)

21)

22)

В каждом из случаев (20) - (22) автор исследует асимптотику решения задачи (15), (16) при е —> 0, выписывает предельную задачу, доказывает сходимость последовательности и£ к решению усредненной задачи и в случае (21) находит оценку ее скорости.

В параграфе 2.4 исследован случай (20) и доказана следующая теорема:

Теорема 10. Пусть выполнено условие (20) и О, С Яп, п > 4 содержит многообразие Мп-3, причем 0 < 5 < 3. Тогда решение задачи (15), (16) и£ сходится слабо в к решению щ(х) задачи (17), (18) при е -> 0.

В параграфе 2.5 исследован случай (21) и доказана следующая теорема:

Теорема 11. Пусть выполнено условие (21). Тогда решение задачи (15), (16) и£ сходится сильно в #г(^) к щ - решению задачи (19) при е —у 0 , причем имеют место следующие оценки: ||«£ ~ уо|1я2°(п) < Ка"~4е$~п, когда п > 5 и \\и£ - ио||я°(п) ^ к I 1па£)5 |-1 е8~4, когда п = 4.

В параграфе 2.6 исследован так называемый |,критический"случай (22) предельного поведения решений и£ задачи (15), (16) и доказана теорема:

Теорема 12. Пусть выполнено условие (22); и£ - решение задачи (15), (16). Тогда и£ слабо сходится в Н^О,) к щ при е —> 0, где щ € #2(Г2) - функция, удовлетворяющая интегральному тождеству

I й2иоВ2Ш + В(п) | (и0 - ф)~Ш = I //«¿ж, (23) п м„, п для произвольной функции К е ЩКонстанта В = П(га-2)(^~4М") в случае п > 5 и В = ^ когда п = 4.

В случае, когда з = О, и множества расположены по всей области О, задача, соответствующая интегральному тождеству (23) может быть записана в терминах уравнений и краевых условий, а именно: щ(х) является обобщенным решением задачи:

А2и0 + В(п){и0-ф)- = / в П, (24)

В параграфе 2.7 рассмотрена задача усреднения аналогичного вариационного неравенства с ограничениями, расположенными вдоль границы области. Пусть подмножества С^71-1) расположены вдоль части границы области £1. Пусть - область с липшицевой границей дО,, расположенная в полупространстве хп > 0; Рх = {Ш П {хп = 0}} ф 0; ЯДГх = Г2. Пусть С<?~1) = £ (То, + ег) = где Ъ' множество векторов с целочисленными координатами вида 2 = (¿1,., 0) таких, что С^1-1) С Л

В области П рассмотрим задачу: найти элемент и£ек£ = {де Я2(П,г2)|д(х) > ф{х) п.в.на С?^}, (25) удовлетворяющий вариационному неравенству

J D2ueD2(v - u£)dx > J f(v- us)dx, (26) n n где v - произвольный элемент K£. Здесь ф{х) G С2(П), / 6 ^г(^), под пространством Ят(П, 7) мы понимаем пополнение по норме Hm(Si) множества бесконечно дифференцируемых в Q функций, обращающихся в нуль в окрестности 7, где 7 некоторое s - мерное многообразие в П. Существование и единственность обобщенного решения задачи (1), (2) следует, например, из утверждений, доказанных в [26j(cM. гл. 2, § 1). Получены следующие результаты:

Теорема 13. Пусть выполнены условия (20) с s = 1. Тогда решение задачи (25), (26) ие щ при е —» 0 в H^ity, где щ— решение задачи: найти элемент u0eK0={ve Я2(П, Г2) | v(x) > ф(х) п. в. на Гх>, (27) удовлетворяющий неравенству

J D2u0D2(h - u0)dx > J f(h - u0)dx, (28) n n для любой функции h G Ко.

Теорема 14. Пусть выполнены условия (21) cs = 1. Тогда решение задачи (25), (26) щ сходится сильно kuq - решению задачи (19) при £ —► 0 в Яг(О), причем имеют место оценки: ||ие — щ\\2н2(п) < Ка"~*е1~п, когда п > 5 и ||и£ - «о||я2(П) < К \ Ыа£ \ е-3, когда п = 4.

Теорема 15. Пусть выполнены условия (22) с s = 1. Тогда последовательность решений задачи (25), (26) и£ сходится слабо в Яг(О) к щ(х) при £ —► 0, где функция щ(х) £ Яг^Гг) удовлетворяет интегральному тождеству

J D2u0D2hdx + В(п) J{и0 - ф)-hdx = J fhdx (29) п rt п для произвольного h б Н$(П), где В = "("-2)fo-4Mn) когда п > 5 и В = ^ когда п = 4.

Отметим, что случай пространственного распределения подмножеств, на которых заданы ограничения, был опубликован в [47].

Аналогичные задачи (случаю расположения подмножеств по всей области) рассматривались в работе [1] и использованием понятия Г - сходимости.

Благодарности. Автор искренне благодарен своему научному руководителю, доктору физико - математических наук профессору Татьяне Ардолионовне Шапошниковой за постановку задач и постоянное внимание к работе.

0.2 Вспомогательные утверждения

В этом параграфе мы сформулируем ряд утверждений из функционального анализа, которые будут нам необходимы в дальнейшем. На основании следующей леммы можно утверждать о существовании предела у ограниченных в Н^П) и Яг(П) последовательностей: Лемма. (Реллиха) Пусть - ограниченная область в Нп с лип-шицевой границей, {ип}, ип £ Н1{0) - последовательность функций, ограниченных в Я^П) равномерно по п. Тогда существует функция щ 6 Н1{0) и подпоследовательность {«т} С {ип}, такая, что ит —► Щ сильно в ^ ~1 слабо в Ьг(^), г = 1 ,.,п.

В следующей лемме приводится неравенство для нормы слабого предела последовательности в гильбертовом пространстве. Доказательство этой леммы можно найти, например, в [27]. Лемма. Если последовательность {ип} сходится к и слабо в гильбертовом пространстве Н, то

N1 <Й8эЫ <Йш |Ы, причем правая часть этого неравенства конечна.

Также мы будем пользоваться теоремой о полной непрерывности оператора вложения И^^ в Ьд* [20]:

Теорема. Если 1 < р < оо, п > 1р, э > п -1р, < область

0 представляет собой сумму конечного числа ограниченных областей, каждая из которых является звездной относительно своего шара, то оператор вложения пространства V/® в Ья. на сечении О. любой гиперплоскостью 5 измерений вполне непрерывен, то есть для всякого ограниченного мноэ/сества {0} С У/® множество {ф} является компактным в Ьч* на этом сечении, где функции ф совпадают с ф почти всюду на О.

Замечание. Пусть в области О, задана суммируемая функция ф(х Пусть Е С П - гладкое многообразие в измерений.

Будем говорить, что ф{х\,. ,хп) непрерывна в смысле если

1 | ф(Р + АР) - ф(Р) йЕ 0 при АР 0, каково бы ни е было многообразие Е, лишь бы сдвиг Е на вектор АР лежал в £1 Из теоремы, приведенной выше, следует, что для всякой функции ф 6 функция {ф} непрерывна в смысле Ьд*г3, если б > п — 1р и

В [29| доказано неравенство Фридрихса в следующей форме: Лемма.(Неравенство Фридрихса) Пусть П - ограниченная область в П,п с липшицевой границей и Ь - подмножество дС1, имеющее ненулевую меру Лебега на 80,. Тогда для любой д{х) € Н1(р.,Ь) справедливо неравенство

1Ы11(п) < с константой С > О, не зависящей от д(х). Если Ь = 80,, то оценка справедлива для любой ограниченной области П.

Для доказательства существования и единственности решений различных вариационных неравенств неоднократно будет применяться теорема [26]:

Пусть V - рефлексивное банахово пространство и О - непустое замкнутое выпуклое подмножество V. Возьмем функцию ^ : О —> Я и предположим, что

Р выпуклая, собственная и полунепрерывная снизу (30) Мы будем изучать задачу минимизации

ЫР(и). (31)

Любой элемент иеб такой, что называется решением задачи (31). Необходимое условие существования решения дается в следующем предложении:

Теорема. Допустиль, в дополнение к (30), что множество О ограничено, или что функция F коэрцетивна на С, то есть что Пш^(и) = +оо при и € С, когда ||и|| —> оо. Тогда задача (31) имеет по меньшей мере одно решение. Решение единственно, если Р строго выпукла на (?.

Нас будет интересовать непосредственно из этой теоремы получаемое следствие:

Замечание. Пусть а(и, у) - непрерывная симметричная билинейная форма на V, коэрцетивная в том смысле, что а(и, и) > с*||и||2

Уи £ V, где а > 0. Если задать I е V*, то найдется единственное и, на котором достигается минимум на (? функционала F(t;) = а(у,у) -2 <1,у > .

Неоднократно нам понадобится лемма Минти [23]. Пусть X - рефлексивное банахово пространство, X' его двойственное относительно билинейной формы (•,•): X' х X —> В, и К С X - замкнутое выпуклое множество.

Определение Отображение А: К X' называется монотонным, если (Аи - Ау, и-у)> 0 для любых и, у € К. Определение Отображение А: К —у X' называется непрерывным на конечномерных подпространствах, если для каждого конечномерного подпространства М С X отображение А : К П М X' слабо непрерывно.

Лемма. (Минти) Пусть К - замкнутое выпуклое подмножество X и А: К —► X' монотонное а непрерывное на конечномерных пространствах отображение. Тогда для того, чтобы элемент и € К удовлетворял неравенству

Аи, у - и) > 0 \/у е К, необходимо и достаточно, чтобы

Ау,у-и)>0\/у е К.

Приведем так же формулировку теоремы единственности, доказательство которой можно найти [28] (см. гл.2 §2):

Теорема Пусть V — рефлексивное сепарбанахово пространство. Пусть оператор А: V —» V' обладает следующими свойствами: оператор А семинепрерывен, оператор А монотонный; лу,у) „ м

I, „ —> оо при М —» оо, И норма \\у\\ строго выпукла на единичной сфере б V,

А(и) = А(у) ||м|| = ||г;||.

Тогда уравнение А(и) = /, / € V' допускает единственное решение.

Сформулируем важную лемму, доказательство которой можно найти в [35]

Лемма 1. Пусть и 6 Н1{У£), где У£ = ¿>о = Я - единичный куб, Со— объединение конечного числа непересекающихся областей в (3, таких, что Со С <3 и каждая из них диффеоморфна шару. Тогда

II «\\ЪМ)< К{аГ1£~п || и \\12{уе) +а£ || Vu |||2(п)}, если п > 3,

Докажем две леммы, в которых выводятся оценки для отрицательных частей функции, при условии, что на некоторых подмножествах функция положительна:

Лемма 2 Для любой функции V € Н^Тсе) такой, что ь(х) > О п.в. в Тв£, а£ < Се, где Тй£ и Тс£ - концентрические шары с радиусами а£ и Се соответственно, справедливо следующее неравенство:

II Н1(7Ы< Кепа2Г || Vu \\1{ТсЛТае) если п > 3, (34) II v- \\12{Тс£)< Ке21 lrnfe HI Vv \\12(тСе\тае) если n = 2. (35)

Доказательство: Рассмотрим последовательность гладких в Тс£ функций vT таких, что vT > 0 в Та£, ||uT —ьЦн^Тсе) О ПРИ т 0. Имеем:

32)

II и ||ЪМ)< К {а£е~2 II « II12Ш +а£\п~ || Vu ||2ад)} если п = 2.

33) откуда

Тогда

Умножая обе части этого неравенства на якобиан сферической замены гп1Ф(0ь., фп) и интегрируя по ., фп, получим, что | v~ |2 ds < Ar"1a2-n||VvT||Li{TCe\Tac) в случае n > 3,

11 v~ I2 ds < Krn~l I In a, I \\VvT\\L2{Tce\Tae) в случае n = 2. sr

Проинтегрируем обе части неравенства по г от а£ до Се:

II vr |Ц(гсдтае)< Кепа2~п || Vv ||l2{Tce\Tas) в случае п> 3,

II vr lli2(rC£\ra£)< Кеп | lnae HI Vv |||2(Гсдтаг) в случае п = 2.

Переходя к пределу при т 0, получим утверждение леммы 2.

Лемма 3 Для любой функции v 6 #2{Тс£) такой, что v(x) > О п.е. в Та£, гдеТсе иТае - концентрические шары с радиусами Се и ае соответственно, ае < Се, справедливы следующие неравенства:

II 1Й,(ЗД< II V. ||ij(ib>Vrj +atv || Л Щ^дщ},

36) если п > 5,

II II1свд< 1| V« ||!2№дт«,) + 1I 1| D2v |Цг№ЛТи)} ,

37) если п= 4,

II »■ 111(ГС.\Т«)< К{ег II W 1| D2v \\ll(TaArJ,

38) если п=3,2.

Доказательство: Рассмотрим последовательность гладких в Тс£ функций vT таких, что vT > 0 в Та£, \\vT - v\\нг{тС£) О ПРИ т —» 0. Имеем:

Щ = J ТГ^' а£,г]П{фт(*)<0} °6 откуда и dvT 1 д > (111 11 г П ij=laF dXi dvT дх. edg.

Тогда v. дут дх, вЛе]

Умножая обе части этого неравенства на якобиан сферической замены гп1Ф(01,. ,фп) и интегрируя по 01,., фп, получим, что I V- I2 <1з < К - г2 / I Чут I2 <1з + а*пгп1 / I ЧУг I2 йз+ п . А дх; дут дхэ i а€

Проинтегрируем обе части неравенства по г от а£ до Се:

II «Г \\Ъ(тс,\т.,)< К {сг II V* ||2МЗЬдг«) II Щ^дщ + когда тг > 5,

II ^ II 1(тсе\тае)< К [е2 II V,, \\\2{тслтае) + 11п— | 41 ^Уг || 12{тсе\та£) + когда п = 4,

II ^ 1112(тсдта£)< К {с2 II II 12{ТсЛТае) +е3 II \\12{ТсЛТае) + когда п = 2,3.

Для оценки последних слагаемых воспользуемся леммой 1. Применяя (32). (33) получим, что | Чут |Чх<К {аГ1^ || Чщ || 12(ТсЛТае) +а£ || В2ут \\ЪрсЛТи)}, при п > 3, | Чут |2 йх < К |а£Г21| \\12{ТсАтаЕ) " ^ '

При 71 — 2. Отсюда

II «Г Н12(гС£\га£)< К {с2 II VI;, II 12{ТсЛТае) +а*Г£п II \\1{тсЛта£) + а?||У^г||12(ГсДГа£)}, в случае п > 5,

II »Г 1|2й(Тс\т„)< К {г II V»г [[1(гсДГ„, II \\1,(тсЛт'1} + в случае п = 4,

II Щ(тслтв£)< К{£2 II \Ц{ТсЛТа£) II \\12{ТсЛТае)}, в случае п = 3,

II I\Ъсг*\ти)< «{е2 II \\%(тС£\та£) Н ИЫтС£\тае) [, в случае п = 2.

Переходя к пределу при т —> 0 в полученных неравенствах, получим утверждение леммы 3.

В [33] доказана следующая лемма:

Лемма 4. Пусть у Е Ня(П,дС1), Мп-3 - гладкое многообразие размерности п — в, в < 2д, Мп-8 бП, « пусть шары радиуса Ье образуют покрытие Мп5 конечной кратности, не зависящей от е. Тогда е1'5 J vds — В(п) J vdx

Ujdri Мп-, КеЦу\\1Ю, где В{п) = bn~lu(n) - площадь единичной сферы в Rn, 7 = const > 0.

Докажем утверждение, которое содержит аналогичный результат для случая, когда многообразие Mns представляет собой часть границы:

Лемма 5. Пусть ф £ Hi(Q). Покажем, что £ / Ф2ds - bn~lu{n) J фЧх Н 0 j=ldci г при е —> 0, где и>(п) - площадь единичной сферы в В,п.

Доказательство. Введем функцию £{у){у — €~1х), являющуюся решением краевой задачи: А£ = 0у ЕС}\(ГЬ1 Сь = {у : \у - Р0\ <Ь}; й\дсь = 1; |к = -МЬ = Ъп~1ф), /1 = {уедЯ-.уп = 0}; 0; = 0; 'ь где и(п) - площадь поверхности единичной сферы в Нп.

Продолжим функцию периодически на каждую ячейку У^ = и полученную функцию обозначим ££(х). Имеем

Ще) £ / ф^-Ь^ф) 1^(1x1 = ^(е) , „ Т-РЗ I Е / <

3=1уз- е

• „ Х-РЗ г Е /-)|&<СЕ / у; £ ;=! у;

Ьг Ьс

С(Е / №|2 Над - 0, когда е - 0.

7=1 уз

1Ье

Здесь П = (и^Г/) П {хп = 0}. Таким образом, мы получаем утверждение леммы.

Распространим утверждение Леммы 4 на случай, когда 5 = 0 и подмножества распределены по всей области П периодически с малым периодом £. Пусть С£ = иг€2(а£Со + 4ег) П П£, 0£ = {х € С1\р(х,д&) > £•}, аЛ)о С £<2, £• - положительный параметр. 0 < а£ < ¿е, £ - множество векторов г с целочисленными координатами. Имеет место

Лемма 6. Для любого д € Я^О) имеет место оценка:

Ее I дйх — В(п)Удс1х •?=1 ад? п ^И^Няцп), где В(п) = и(п)— площадь единичной сферы в К1. Доказательство: Рассмотрим функцию £ = £(у), у — § : Д£ = /х в^Л?!

§ \т=1. и |а?4=°

Здесь = {х \ —2 < Х{ < 2, г = 1,. .п}, Т\ - единичный шар, а число (1 выбрано так, чтобы существовало решение задачи Неймана: » = гЩту Пусть (««да = 0.

Введем вектор - функцию Р£{х) = (Ре\., Р£") , где Р3£ = Ц^-. Здесь £(|) - решение задачи Неймана на ячейке. Рассмотрим интеграл

I (Цух{Р£д{х))йх = I д{х)йз. Я1\П №

Левая часть этого равенства может быть преобразована в виде:

I (Иух(Р£д{х))йх = е~1ц / д(х)<Их + / | 11 Чхд | ёх. QL\W &ехп ода

Оценим разность: е J д{х)йэ - ц J д{х)йх

Ке I | Уд | дх. сШ

Таким образом, просуммировав по у, получим е I д(х)с18 — ¡1 ! д{х)йх ияШ Ке\\д\\нт. (39)

Теперь покажем, что д / д(х)йх -> В(п) / дс1х при е 0. Расхода п смотрим функцию а(у) = ЦХя^ХГ^у) ~ Продолжим ее периодически с периодом (^4 на все К1. Среднее этой функции по ячейке а(у))ддТ1 = 0. Воспользуемся леммой ([31], гл.1, §1). Получим, что йх Се\\д\\нт, х I д{х)<Ы - — / д{х)(кс иМЛП п

Из неравенств (39), (40) следует утверждение леммы. Ке\\д\\ит. (40)

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Зубова, Мария Николаевна, 2007 год

1. E. De Giorgi G. Dal Maso - P. Longo Г- limiti di ostacoli// Atti Accad. Naz. Lincei, Rend. Cl. Sci. Fis. Mat. Natur., (8) 68 (1980), pp 481-487

2. H. Attouch C. Picard Variational inequalities with varying obstacles: The general Form of the limit problem // J. of Functional Analysis 50, 1983, pp 329-386.

3. Марченко В.А. Хруслов Е.Я. Краевые задачи в областях с мелкозернистой границей Киев. 1974• 279 с

4. Spagnolo S. Convergence of energy for elliptic operators // Numerical Solutions of Partial Differential Equations III, Synspade 1975, Academic Press, 1976, pp. 469-498.

5. Bensusann A., Lions J.-L., Papanicolau G. Asymptotic analysis for periodic structures Amsterdam: Noth- Holland, 1978

6. G. Dal Maso, Trebeschi P. Г limit of periodic obstacles // Acta Appl. Math. 2001. v. 65. p 207-215.

7. Бахвалов H.C., Папасенко Г. П. Осреднение процессов в периодических средах М. Наука, 1984, 352 с.

8. Панасенко Г.П. Асимптотики высших порядков решений задачи о контакте периодических структур // Мат. сб. 1979, т. 110 (152), №4(12) с. 505-538.

9. Сапчес-Паленсия Э. Неоднородные среды и теория колебаний М. Мир, 1984. Щс.

10. D. Cioranescu, J. Saint Paulin Homogenizatioin open sets with holes //J. Math. Anal. Appl, 71,1974, 599-607

11. De Georgi E., Spagnolo S. Sulla convergenza degli integrali delVenergia per operatori elliptici del secondo ordine // Boll. Unione Math. Ital. 8 (1973), pp. 391-411

12. Tartar L. Homogenization. Cours Peccot. Coll'ege de FranceParis, 1977.

13. Экланд И., Темам Р. Выпуклый анализ и вариационные проблемы. М.: Мир, 1979 .

14. Ладыженская О.А. Уралъцева Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М. Наука 1964 г

15. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.:Мир, 1972.

16. Ректорис Уравнения математической физики

17. Shaposhnikova Т.A., Zubova M.N. On gomogenization of variational inequalities whith obstracles on e -periodically situated inclusions // FDE v. 12, p. 463-473, 2005.

18. Lions J.L. and G. Stampacchia Variational Inequalities // Pure and Applied Math, v XX, n. 3, 1967

19. Сандраков Г. В. Осреднение вариационных неравенств для задач с препятствиями // Мат. сборник т 196, е4 2005г42J Иосифъян Г.А. Об усреднении некоторых задач с быстро осциллирующими ограничениями // Труды семинара имени И. Р. Петровского вып 23, 2003