О некоторых вопросах теории граничного усреднения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, доктор физико-математических наук Чечкин, Григорий Александрович

• Чечкин, Григорий Александрович
• доктор физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Чечкин, Григорий Александрович

Введение

1 Обзор литературы и описание проблемы.

2 Структура работы.

Уравнение Лапласа в области с концентрированными массами

§ 1.1 Постановка задачи в области с концентрированными массами около границы.

§ 1.2 Теорема усреднения и оценки.

§ 1.3 Построение асимптотических разложений в случае часто расположенных концентрированных масс.

1.3.1 Простые собственные значения.

1.3.2 Кратные собственные значения.

§ 1.4 Построение асимптотических разложений в случае редко расположенных концентрированных масс.

1.4.1 Формальный асимптотический анализ.

1.4.2 Обоснование построенной асимптотики.

1.4.3 Вспомогательные утверждения для построения "промежуточного" разложения.

1.4.4 Вспомогательные утверждения для построения "внутреннего" разложения.

§1.5 Асимптотические разложения в круговой области с часто расположенными "лёгкими" массами.

1.5.1 Постановка задачи.

1.5.2 Построение первого корректора в разложении.

1.5.3 Полное разложение в случае простого собственного значения.

1.5.4 Полное разложение в случае кратного собственного значения.

1.5.5 Обоснование асимптотики.

2 Операторный пучок в области с концентрированными массами. Скалярный аналог линейной гидродинамики

§2.1 Постановка задачи.

§ 2.2 Об усреднении краевых задач в областях с концентрированными массами, периодически расположенными вдоль границы.

2.2.1 Обозначения и формулировка основных результатов.

2.2.2 Предварительные замечания и утверждения.

2.2.3 Доказательство теоремы об оценке.

2.2.4 Доказательство основных утверждений.

§ 2.3 Асимптотическое поведение собственных элементов операторного пучка.

2.3.1 Сведение задачи к операторному пучку.

2.3.2 Свойства операторных пучков.

2.3.3 Необходимые замечания.

2.3.4 Теорема усреднения.

2.3.5 Малые колебания вязкой неоднородной жидкости в открытом неподвижном сосуде с жёсткой сеткой на поверхности. Нормальные колебания.

3 Уравнение Гельмгольца в неограниченной области с концентрированными массами

§3.1 Об усреднении решений задачи для оператора Лапласа в неограниченной области с большим количеством концентрированных масс на границе.

3.1.1 Постановка задачи и основное утверждение

- 43.1.2 Построение и аналитическое продолжение решений214 3.1.3 Доказательство основной теоремы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «О некоторых вопросах теории граничного усреднения»

1 Обзор литературы и описание проблемы.

Задачи с сингулярными возмущениями (уравнения с сингулярно возмущёнными коэффициентами, сингулярно возмущённые граничные условия, задачи в сингулярно возмущённых областях и т.д.) привлекают внимание исследователей на протяжении длительного времени. Для исследования такого рода задач оказались наиболее эффективными инструментами— тория усреднения и асимптотические методы. Отметим труды таких учёных в этой области, как В.М.Бабич, Н.С.Бахвалов, A.Bensoussan, Н.Н.Боголюбов, Б.С.Булдырев, В.Ф.Бутузов, А.Б.Васильева, M.D.Van Dyke, М.И. Вишик, P.P. Гадылыпин, G.Dal Maso, В.В.Жиков, А.М.Ильин, Г.А.Иосифьян, С.М.Козлов, О.А.Ладыженская, J.-L.Lions, Л.А.Люстерник, В.Г.Мазья, В.А.Марченко, В.П. Маслов, Ю.А. Митропольский, Е.Ф. Мищенко, F. Murat, С.А.Назаров, О.А.Олейник, Г.П.Панасенко, G.Papanicolau, Б.А.Пла-меневский, Л.С.Понтрягин, А.Л.Пятницкий, Н.Х.Розов, Е. Sanchez-Pa-lencia, И.В.Скрыпник, L.Tartar, А.Н.Тихонов, М.Ф.Федорюк, Е.Я.Хрус-лов, А.С.Шамаев (см., например, [2], [5], [59], [60], [199], [195], [180], [80], [125], [129], [55], [И], [7], [162], [56], [184], [174], [68], [69], [70], [74], [37], [154], [140], [16], [18], [93], [141], [142], [98], [44], [67], [10], [61], а также см. обзор в [89]).

В диссертации рассматриваются задачи в областях с сингулярной плотностью около границы. Предполагается, что сингулярных уплотнений ("концентрированных масс") — много. Их диаметр, а также расстояние между ними являются малыми параметрами, а плотность масс и их количество — большими параметрами. В зависимости от соотношения между этими параметрами выводятся усреднённые задачи и строятся асимптотики собственных элементов исходных задач.

Поведение тел с неоднородной плотностью достаточно сложное и его изучение представляется интересной задачей, которая не может быть успешно решена без соответствующего математического аппарата. Вопрос о поведении тел, нагруженных присоединенными или концентрированными массами, интересовал исследователей давно. Наличие сингулярных возмущений плотности (концентрированные или присоединенные массы) существенно меняет, например, частоты собственных колебаний тел, и знание величины этого влияния позволяет более точно рассчитывать поведение структур с такими сингулярными возмущениями. На разных уровнях строгости были выведены формулы, описывающие эффективное поведение таких тел. Отметим недавние исследования, проведенные на физическом уровне строгости (см., например, [99][153], [43], [122], [118], [172], [175], [183], [157], [143], [35], [91], [127], [48], [148], [115], [124], [147], [160], [159], [170], [188], [200]), которые касались вопросов поведения струн, балок и пластин с конечным числом концентрированных масс. С появлением серьёзного математического аппарата в конце XIX - начале XX веков начинается бурное развитие этого направления исследований. Основным инструментом исследований сейчас являются методы асимптотического анализа, спектральной теории возмущений и теории усреднения.

Строгие математические работы, посвященные исследованиям таких моделей, впервые стали появляться в начале прошлого века (см. [47], [97], [22]). Первая математическая работа, положившая начало глубоким исследованиям в этой области, выходит в 1913 году ([47]). Там автор рассматривает задачу о колебаниях струны, нагруженной сосредоточенными массами.

С развитием аэродинамики и самолётостроения стало важным изучение устойчивости поведения крыльев и фюзеляжа летательных аппаратов под воздействием вибрации. На крыльях находятся сосредоточенные массы (моторы, вооружение), фюзеляж также испытывает точечные нагрузки (пассажирские кресла, шасси и т.д.), см. рисунок. Такая задача тоже сводится к изучению собственных частот колебаний нагруженной струны.

Предполагалось, что дополнительная масса М сосредоточена в точке, и рассматривалось предельное поведение решений задачи при стремлении массы к нулю и бесконечности. Особенностью этой модели является точечное прикрепление массы, при этом не учитываются размеры того множества, где фактически сосредоточена масса. В приложении к главе 2 книги [97] изучаются собственные частоты колебаний струны, нагруженной сосредоточенной массой в одной точке. Там рассматривается предельное поведение решений задачи при стремлении массы к нулю и бесконечности. В книге [96] рассмотрена струна с точечной присоединенной массой. Ставится задача со спектральным параметром в условиях сопряжения - вместо функции Дирака в плотности. В конце 70-х годов Е. Sanchez-Palencia рассмотрел задачу, где присоединейная к системе масса сконцентрирована в ^-окрестности внутренней точки, г — малый параметр, описывающий концентрацию и размер массы (см. [193]). В этой работе были использованы методы спектральной теории возмущений.

Другой подход был предложен в работах О.А.Олейник [75], [77], [76], [178], [78]. Базировался этот подход на введении нового основного параметра колебательных систем с локально присоединёнными массами — отношения присоединённой массы к массе всей системы. При этом удалось описать локальные колебания системы вблизи сосредоточенной массы. В [77], [76], [178], [78] использованы методы интегральных оценок в соболевских пространствах. Подробное обоснование модели Олейник — Sanchez-Palencia, а также анализ размерностей в задаче о спектральных свойствах колебательных систем с присоединёнными массами сделал Ю.Д. Головатый (см.[23]).

Рассмотрим общую постановку задачи. Предположим, что колебания механической системы в области О С Ип происходят по закону р(х) ^ = Lo х)' (*»х) е х lij) = {t,x)e R+xdQ, j = 1,., где u{t, x) — смещение точки x 6 О относительно положения равновесия в момент времени t. Здесь Lq, = 1,. — дифференциальные операторы, а р(х) — плотность распределения масс. Примерами таких систем могут служить струна, стержень, мембрана, пластина, упругое тело и т.п. В случае плоской волны u(t,x) = v(x) егк1 мы приходим к спектральной задаче:

Lq v(x) + к2 р(х) v(x) = 0, х е О,

Пусть имеется следующее распределение масс. Предположим, что в области О, компактно содержится открытое множество ш, и р(х) = рп(х) + рш(х)хш(х), где рп(#) > 0 в ^^(ж) > 0 в Ш, а Хы{х) ~~ характеристическая функция множества из. Рассматривая случай локально сосредоточенной массы, естественно предполагать, что отношение объёмов ш и О, есть малый параметр при е 0, а отношение средних значений плотностей — большой, т.е.

Я J Pu(x)dx

---= £~т, т € М+. щ I pn(x)dx п

Таким образом, е можно считать параметром возмущения задачи. При этом ставится задача изучить влияние сосредоточенной массы на спектр колебательной системы при различных значениях параметра т. Приведём некоторые из полученных результатов.

В [193] Sanchez-Palencia рассмотрел эту задачу в случае, когда Lq — оператор Лапласа, а на границе выставлено условие Дирихле и п = т = 3. В работах О. А. Олейник [77] [76], [178], [78] такая задача решена для всех тип. В [27] авторы исследовали случай одной концентрированной массы для Lq = ^ с граничным условием Дирихле. В случае конечного числа концентрированных масс это работа была проделана Олейник О.А. и Соболевой Т.С. в [79]. Задача о колебаниях упругого стержня и упругой пластинки с концентрированными массами изучена в работах Ю.Д. Головатого [24], [25] (см. также [176], [121], [30], а также работы других авторов, где рассмотрены задачи о колебании плит и стержней с концентрированными массами [50], [58], [131], [132], [133], [182], [187], [190], [197], [198]). Случай, когда L0 - оператор Лапласа, а на границе выставлено условие Неймана разобран в [28] и [71]. В [90] исследуются первая и третья краевые задачи для оператора Лапласа (п > 2) в случае, когда плотность возмущена конечным числом концентрированных масс (см. также [80]). Асимптотические разложения собственных значений и собственных функций задачи Дирихле для оператора Лапласа получены в [26] и [29]. Случай, когда Lq — оператор системы теории упругости рассмотрен Sanchez-Palencia Е. и Tchatat Н. в [194] (см. также [150]). Отметим также работу [34], в которой рассмотрена система теории упругости с условиями Неймана на границе. Предполагается, что имеется точечное возмущение (одна масса). О колебании мембраны см. [161]. Статья [144] посвящена исследованию моделей с присоединёнными массами. Авторы ищут лакуны в спектре соответствующих операторов. В работах [163], [164], [165], [166], [167], [168], [151], [169], [36], [134], [84], [116], [117], [104], [106], [108], [185] и [186] рассматривается асимптотика колебаний тела, имеющего много небольших включений большой плотности, расположенных периодически вдоль границы. Предполагается, что L$ — оператор Лапласа. Изучены вопросы асимптотического поведения собственных значений. В этих работах разобрано много различных случаев, которые характеризуются размерностью пространства, плотностью маленьких включений и расстояниями между ними. Предполагается, что расстояние между массами много меньше, чем их диаметр. В этом предположении была доказана слабая сходимость решений задач к решениям предельных задач, сходимость собственных значений, получены оценки отклонения решений и собственных элементов предельных задач от, соответственно, решений и собственных элементов исходных задач. Аналогичные задачи были рассмотрены в [179], [191], [192]. В работе [36] рассматривается краевая задача для стационарной системы линейной теории упругости с непериодическими быстро меняющимися граничными условиями и большим количеством концентрированных масс около границы, её асимптотическое поведение, а также предельное поведение спектра этой краевой задачи. Разобран случай краевой задачи для системы теории упругости, когда предельная задача имеет третье краевое условие на границе области, а плотность включений не слишком велика (значение параметра т < 2). Получены оценки скорости сходимости решения исходной задачи к решению усреднённой, а также поведение собственных элементов такой краевой задачи.

Во всех этих моделях предполагается, что закон колебания груза или уплотнения должен описываться теми же уравнениями, которыми описываются колебания самой системы. В работе [189] рассматривается задача для линейной стационарной системы теории упругости в областях с концентрированными массами. Рассмотрены различные случаи поведения собственных элементов таких задач. В работе рассматривается ситуация, когда включения достаточно жёсткие. При этом законы колебания тела и масс — различны. В работе [155] обсуждаются вопросы существования и единственности обобщённых решений нестационарных уравнений, моделирующих колебание струны с присоединёнными массами, колебания которых также подчиняются разным законам.

В работе [108] рассматривается случай, когда Lo — оператор Лапласа, п > 3 и массы расположены периодически на границе. Даются в соответствующих нормах оценки отклонения (оценки скорости сходимости) решений поставленных задач от решений предельных задач при стремлении малого параметра к нулю, а также аналогичные оценки получены для собственных значений соответствующей спектральной задачи. Базовые оценки работы частично анонсированы в [104].

В [107], [136] рассмотрен случай, когда Lo — оператор Лапласа, а расстояние между массами, расположенными на границе, имеет тот же порядок, что и их диаметр, при этом предполагалось, что массы достаточно "лёгкие". Некоторые частные случаи (т = 0, т.е. концентрированные массы отсутствуют, но тип граничного условия быстро меняется) изучены в [100], [101], [102], [89], [103], [105], [81], [181], [82].

В работе [111] рассматривается ситуация, аналогичная [107], [136], когда концентрированные массы находятся на расстоянии друг от друга порядка своего диаметра, но имеют другую плотность. Работа [134] (см. также [84]) посвящена детальному изучению поведения собственных элементов оператора Лапласа в области с непериодическими "лёгкими" концентрированными массами. В работе [108] (см. также [104]) рассматривается многомерная задача в области с периодическими "лёгкими" массами. Доказана теорема усреднения и получены оценки скорости сходимости собственных чисел и собственных функций исходной задачи к соответствующим собственным числам и функциям предельной задачи. В работах [136], [107], [109] и [110] построены полные асимптотические разложения собственных элементов для оператора Лапласа в областях с близко расположенными "лёгкими" концентрированными массами в случае двумерной и многомерной областей. Рассматривались случаи простых и кратных собственных значений предельной задачи. В работе [106] анонсированы результаты исследования задач с концентрированными массами в случае "критической" плотности. Отметим также работу [149], где впервые применен ВКБ-метод для задач с концентрированными массами, позволяющий более точно построить схему поведения собственных чисел в окрестности предельных точек. В [149] рассматривалась струна с произвольным возмущение плотности и построена асимптотика глобальных колебаний. Работа [4] посвящена изучению глобальных собственных колебаний. Показано, что сходимость собственных значений сильно неравномерна относительно номера. Для каждого значения малого параметра г > 0 только конечное число собственных значений являются малыми, а соответствующие собственные функции имеют вид локальных колебаний (см. работу [3]). Также построены ВКБ-разложения собственных функций. В работе [32] рассматривается случай, когда Lo — бигармонический оператор, на границе выставлено условие Дирихле, плотность возмущается в окрестности гладкой замкнутой кривой, лежащей внутри области. Описан случай т < 4, а также построена асимптотика локальных колебаний при т > 4. Предельная задача имеет очень интересный вид. Динамическая задача (когда Lq — гиперболический оператор, описывающий колебание струны) рассмотрена в [33]. Рассматривается стандартное возмущение плотности, т > 2, и ставится краевая задача для уравнения колебания струны. Исследуется асимптотика решения u£(t, х). В структуре асимптотических разложений можно узнать локальные и глобальные колебания, а также рассмотреть характер их взаимодействия в динамической модели.

В работе [109] рассмотрена двумерная задача в области с периодически расположенными "лёгкими" массами. Предполагается, что расстояния между массами и их диаметр имеют один и тот же порядок малости. Методом согласования асимптотических разложений [41], [18] строятся полные асимптотические разложения собственных значений и собственных функций. Эти разложения обосновываются. Результаты частично анонсированы в [136] и в [107].

Работа [112] (см. также [138]) посвящена изучению двумерной задачи в области с периодически расположенными "лёгкими" массами. Предполагается, что в отличие от работ [136], [107], [109] и [110], массы расположены на границе достаточно редко, как предполагалось в работах [163], [164], [165], [166], [167], [168], [151], [152], [169], когда расстояние между массами существенно больше их диаметра. При этом предполагается, что предельным граничным условием остаётся условие Дирихле (см. аналогичную ситуацию в [108] и [104]). Методом согласования асимптотических разложений [41], [19] строятся полные асимптотические разложения собственных значений и собственных функций. Оказывается, что в отличие от случая "близко" расположенных масс (см. [109]), в этой задаче появляется промежуточный слой разложения. Построенные формальные асимптотики строго обоснованы.

В работе [137] строятся полные асимптотические разложения собственных элементов для оператора Лапласа в круговой области с концентрированными массами, расположенными чисто периодически около границы. Рассматривается случай как простого собственного значения, так и кратного собственного значения предельной задачи. Для построения использован метод погранслойных функций (см. [11]).

В работе [135] исследована задача о низкочастотных колебаниях тяжёлой вязкой несжимаемой жидкости в сосуде с наброшенной на поверхность жидкости сетью в случае, когда плотность жидкости около сети неоднородна. Рассматривается случай нормальных колебаний, т.е. ситуация, когда зависимость скорости жидкости от времени имеет экспоненциальную форму e~xt. Для простоты рассмотрен модельный скалярный случай. В таком предположении получается спектральная задача для квадратичного операторного пучка, которая исследована с помощью схемы Крейна (см. [46]). О задачах, приводящих к подобным пучкам, см. также в [171] и [196].

В работе [113] рассматривается задача в области с концентрированными массами около границы в случае, когда область неограничена. Предполагается, что Lq — Оператор Гельмгольца. В этом случае исходная задача имеет непрерывный спектр. После усреднения задача распадается на две. Одна из них в неограниченной области, а вторая — в ограниченной. У задачи в ограниченной области спектр состоит из счётного числа собственных значений. Доказано, что у аналитического продолжения решения исходной задачи есть полюса, которые сходятся к этим собственным значениям. Эффекты, возникающие в этой задаче, аналогичны эффектам, которые возникают в задачах о резонаторе Гельмгольца (см. обзор [16]). Методы, применённые в этой работе, были впервые использованы в [20] для систем резонаторов, а затем применены в работах [146] и [21] для задач теории усреднения.

2 Структура работы

Диссертация занимает 247 страниц текста и состоит из введения, трёх глав, разбитых на девять параграфов, и списка литературы, содержащего 200 наименований. Нумерация формул, теорем и лемм тройная -номер главы, номер параграфа и собственный номер, например, лемма 3.2.1 - лемма 1 второго параграфа третьей главы. Обозначения в каждой главе, как правило, независимы. Обратное оговаривается в каждом случае отдельно.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Чечкин, Григорий Александрович, 2006 год

1. Агмон С., Дуглис А.,Ниренберг Л. Оценки решений эллиптических уравнений вблизи границы. М.: ИЛ, 1962.

2. Бабич В.М., Булдырев B.C. Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн. М.: Наука, 1972.

3. Бабич Н. О., Головатий Ю.Д. Спектральна задача Неймана для сингулярно збуреного диференщального оператора четвертого порядку. // BicH. Льв1в. ун-ту, сер. мех. матем. 1998. Вип. 51. С. 118-127.

4. Бабич Н. О. Короткохвильова асимптотика глобальних коливань у задач1 i3 локально-збуреною густиною // Мат. методи та ф1з.-мех. поля. 1999. Т. 42, № 3. С. 36-44.

5. Бахвалов Н.С., Панасенко Г.П. Осреднение процессов в периодических средах. Математические задачи механики композиционных материалов. М.: Наука, 1984.

6. Беляев А.Г. О сингулярных возмущениях краевых задач; Дисс. к. ф.-м. н. М.: МГУ, 1990.

7. Боголюбов Н.Н., Митрополъский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. Москва: Наука, 1974.

8. Борисов Д. И. О краевой задаче в цилиндре с частой сменой типа граничных условий. // Мат. сборник. 2002. Т. 193. № 7. С. 37-68.; translated in Sb. Math. 2002. V. 193. № 7. P. 977-1008.

9. Борисов Д. И. Асимптотики и оценки собственных элементов лапласиана с частой непериодической сменой граничных условий. // Известия РАН. Серия математическая. 2003. Т. 67. № 6. С.23-70.

10. Васильева Л.Б., Бутузов В. Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущённых уравнений. М.: Наука, 1973.И. Вишик М.И., Люстерник Л. А. Регулярное вырождение и пограничный слой. // Успехи матем. наук. 1957. Т. 12. Вып. 5. С. 3-122.

11. Гадыльшин P.P. Асимптотика собственного значения сингулярно возмущенной эллиптической задачи с малым параметром в граничном условии. // Дифференц. уравнения. 1986. Т.22. № 4. С. 640-652.

12. Гадыльшин P.P. Расщепление кратного собственного значения задачи Дирихле для оператора Лапласа присингулярном возмущении граничного условия. // Матем. заметки. 1992. Т. 52. Nfi 4. С. 42-55.

13. Гадыльшин P.P. Поверхностные потенциалы и метод согласования асимптотических разложений в задаче о резонаторе Гельм-гольца. // Алгебра и анализ. 1992. Т.4. № 2. С. 88-115.

14. Гадыльшин P.P. Расщепление кратного собственного значения в краевой задаче для мембраны, закреплённой на малом участке границы. // Сиб. матем. ж. 1993. Т. 34. № 3. С. 43-61.

15. Гадыльшин P.P. Существование и асимптотики полюсов с малой мнимой частью для резонатора Гельмгольца. // Успехи матем. наук. 1997. Т. 52. № 1. С. 3-76.

16. Гадыльшин P.P. О краевой задаче для лапласиана с быстро осциллирующими граничными условиями. // Докл. РАН. 1998. Т. 362. № 4. С. 456-459.

17. Гадыльшип P.P. Об асимптотике собственных значений для периодически закрепленной мембраны. // Алгебра и анализ. 1998. Т.10. № 1. С. 3-19.

18. Гадыльшин P.P. Асимптотики собственных значений краевой задачи с быстроосциллирующими граничными условиями. // Дифферент уравнения. 1999. Т. 35. № 4. С. 540-551.

19. Гадыльшин P.P. Системы резонаторов, // Изв. РАН. Сер. матем. 2000. Т. 64. № 3. С. 51-96.

20. Гадыльшин P.P. Об аналогах резонатора Гельмгольца в теории усреднения. // Матем. сб. 2002. Т. 193. № 11. С. 43-70.

21. Гантмахер Ф. Р., Крейн М. Г. Осцилляционные матрицы, ядра и малые колебания механических систем. M.-JL: Гос. тех. изд. 1950.

22. Головатый Ю.Д. Спектральные свойства колебательных систем с присоединенными массами; Дисс. к. ф.-м. н. М.: МГУ, 1988.

23. Головатый Ю.Д. О собственных колебаниях и собственных частотах упругого стержня с присоединенной массой. //УМН. 1988. Т.43. N 4. С. 173-174.

24. Головатый Ю.Д. О собственных колебаниях и собственных частотах закрепленной пластинки с присоединенной массой. // УМН. 1988. Т.43. N 5. С. 185-186.

25. Головатый Ю.Д., Назаров С.А., Олейник 0.А. Асимптотика собственных значений и собственных функций в задачах о колебаниях среды с сингулярным возмущением плотности. //УМН. 1988. Т.43. № 5. С. 189-190.

26. Головатый Ю.Д., Назаров С.А., Олейник О.А., Соболева Т.С. О собственных колебаниях струны с присоединенной массой. // Сиб. мат. журнал. 1988. Т.29. № 5. С. 71-91.

27. Головатый Ю.Д. Спектральная задача Неймана для оператора Лапласа с сингулярно возмущенной плотностью. //УМН. 1990. Т.45. № 4. С. 147-148.

28. Головатый Ю.Д., Назаров С.А., Олейник О.А. Асимптотические разложения собственных значений и собственных функций задач о колебаниях среды с концентрированными возмущениями. // Тр. Мат. Ин-та им. В.А.Стеклова АН СССР. 1990. Т. 192. С. 4260.

29. Головатый Ю.Д. Спектральные свойства колебательных систем с присоединёнными массами: эффект локальных колебаний. // Тр. Моск. Мат. О-ва. 1992. Т. 54. С. 29-72.

30. Головатий Ю. Д., Головач I. А. Про асимптотику глобальних власних коливань сильно неоднор1дно'1 струни. // BicH. Льв1в. ун-ту, сер. мех. матем. 1997. Вип. 48. С. 88-99.

31. Головатий Ю. Д. , Лавренюк А. С. Про локальш власш коли-вання Е. Санчез-Паленсн для пластини i3 збуренням густини в окол1 одновим1рного многовиду // BicH. Льв1в. ун-ту, сер. мех. -матем. 1998. Вип. 51. С. 134-141.

32. Головатий Ю. Д., Флюд В. М. Про взаемодда локальних та глобальних коливань сильно неоднор1дно1 струни // Сучасш про-блеми математики: Матер1али М1жнар. наук, конф.: в 4-х части-нах. Чершвщ - Кшв. 1998. Ч. 1. С. 138-141.

33. Грабчак Г. 6. Спектральна задача Неймана для системи р1внянь лшшно1 теорц пружност1 i3 сингулярним збуренням густини // BicH. Льв1в. ун-ту, сер. мех матем. 1996. Вип.45. С. 124-140.

34. Дзыра Б.И., Дидковский B.C., Павловский М.А. Нелинейные собственные колебания двух упруго соединённых стержней, несущих концентрированные массы. // Прикл. механика. 1984. Т.20. № 4. С. 125-129.

35. Доронина Е.И., Чечкин Г.А. О собственных колебаниях тела с большим количеством непериодически расположенных концентрированных масс. // Труды МИРАН им. В.А. Стеклова. 2002. Т. 236. С. 158-166.

36. Жиков В.В., Козлов С.М., Олейник О. А. Усреднение дифференциальных операторов. Москва: ФизМатЛит, 1993.

37. Ильин A.M. Краевая задача для эллиптического уравнения второго порядка в области с узкой щелью. I. Двумерный случай. // Матем. сб. 1976. Т.99. С. 514-537.

38. Ильин A.M. Краевая задача для эллиптического уравнения второго порядка в области с узкой щелью. II. Область с малым отверстием. // Матем. сб. 1977. Т.103. С. 265-284.

39. Ильин A.M. Исследование асимптотики решения эллиптической краевой задачи в области с малым отверстием, j j Труды семинара им. И.Г.Петровского. 1981. № 6. С. 57-82.

40. Ильин A.M. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач. М.: Наука, 1989.

41. Иосида К. Функциональный анализ. Москва: Мир, 1967.

42. Козлов В.В., Онищенко Д. А. О движении в идеальной жидкости тела, содержащего движущуюся концентрированную массу. // Прикл. мат. и мех. 2003. Т. 67. К0- 4. С. 620-633.

43. Колесов А.Ю., Мищенко Е.Ф., Розов Н.Х. Асимптотические методы исследования периодических решений нелиненых гиперболических уравнений. М.: МАИК "Наука", 1998.

44. Кондратьев В. А., Олейник О. А. Об асимптотике в окрестности бесконечности решений с конечным интегралом Дирихле для эллиптических уравнений второго порядка. // Труды семин. им. И. Г. Петровского. 1987. № 12. С. 149-163.

45. Копачевский Н.Д., Крейн С.Г., Нго Зуй Кан. Операторные методы в линейной гидродинамике. Эволюционные и спектральные задачи. Москва: Наука, 1989.

46. Крылов А.Н. О некоторых дифференциальных уравнениях математической физики, имеющих приложения в технических вопросах. // Известия Николаевской морской академии. 1913. Вып.2. С. 325-348.

47. Культербаев Х.Р., Джанкулаев А.Я. Свободные продольные колебания стержней с концентрированными массами на них. // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. 2002. № 4. С. 14-18.

48. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1987.

49. Лавренюк А.С. Сингулярно збурена спектральна задача для 6i-гармошчного оператора з умовами Неймана // Укр. мат. ж. 1999. Т. 51, № 1. С. 1467-1475.

50. Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973, 407 с.

51. Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1977.

52. Ландис Е.М., Панасенко Г. П. Теорема об асимптотике решений эллиптических уравнений с коэффициентами, периодическими по всем переменным, кроме одной. // Доклады Академии Наук СССР. 1977. Т. 18. № 4. С. 1140-1143.

53. Ландкоф Н.С. Основы современной теории потенциала. М.: Наука, 1966.

54. Лионе Ж.Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. Москва: Мир, 1972.

55. Мазья В.Г., Назаров СЛ., Пламеневский Б.А. Асимптотика решений эллиптических краевых задач при сингулярном возмущении области. Тбилиси: Изд-во Тбил. ун-та, 1981.

56. Мазья В.Г., Назаров СЛ., Пламеневский Б.А. Асимптотические разложения собственных чисел краевых задач для оператора Лапласа в областях с малыми отверстиями. // Известия Академии Наук СССР. Серия математическая. 1984. Т.48. № 2. С. 347-371.

57. Максудов Р. Осцилляция ненагруженной вязкоупругой плиты с концентрированными массами. // Исследов. интегро-диффе-ренц. уравнен. 1981. Т. 14. С. 220-226.

58. Марченко В.А., Хруслов Е.Я. Усреднённые модели микронеоднородных сред. Киев: Наукова думка, 2005.

59. Марченко В.А., Хруслов Е.Я. Краевые задачи в областях с мелкозернистой границей. Киев: Наукова думка, 1974.

60. Маслов В.П. Асимптотические методы и теория возмущений. М.: Наука, 1988.

61. Мельник Т. А., Назаров С. А. Асимптотическая структура спектра в задаче о гармонических колебаниях ступицы с тяжелыми спицами. // Докл. РАН. 1993. Т. 133. № 1. С. 13-15.

62. Мельник Т. А., Назаров С. А. Асимптотический анализ задачи Неймана на соединении тела с тонкими тяжелыми стержнями. // Алгебра Анализ. 2000. Т. 12. № 2. С. 188-238.

63. Мельник Т. A. Vibrations and pseudovibrations of thick periodic junctions with concentrated masses. // Доповда HAH Укра'ши. 2001. № 9. С. 47-53.

64. Митропольский Ю.А. Метод усреднения в нелинейной механике. Киев: Наукова Думка, 1976.

65. Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1983.

66. Мищенко Е.Ф., Колесов Ю.С., Колесов А.Ю., Розов Н.Х. Периодические движения и бифуркационные процессы в сингулярно возмущённых системах. М.: ФизМат Лит, 1995.

67. Назаров С.А. Введение в асимптотические методы теории упругости. Ленинград: Изд-во Лен. ун-та, 1983.

68. Назаров С.А., Паукшто М.В. Дискретные модели и осреднение в задачах теории упругости. Ленинград: Изд-во Лен. ун-та, 1984.

69. Назаров С.А. Асимптотические разложения собственных чисел. Ленинград: Изд-во Лен. ун-та, 1987.

70. Назаров С.А. Об одной задаче Санчес-Паленсия с краевыми условиями Неймана. // Изв. вузов. Математика. 1989. N2 И. С. 60-66.

71. Назаров С.А., Пламеневский Б.А. Эллиптические задачи в областях с кусочно гладкой границей. М.: Наука, 1991.

72. Назаров С.А. Соединения сингулярно вырождающихся областей различных предельных размерностей. I. // Труды семинара И.Г.Петровского. 1995. Т. 18. С. 3-78.

73. Назаров С.А. Асимптотическая теория тонких пластин и стержней. Новосибирск: Изд-во "Научная книга", 2002.

74. Олейник О. А. Лекции по уравнениям с частными производными. М.: Изд-во МГУ, 1976, 108 с.

75. Олейник О.А. О спектрах некоторых сингулярно возмущенных операторов. // УМН. 1987. Т. 42. Вып.З. С. 221-222.

76. Олейник О.А. О собственных колебаниях тел с концентрированными массами. В кн. Современные проблемы прикладной математики и математической физики. М.: Наука, 1988, с.101-128.

77. Олейник О. А. О частотах собственных колебаний тел с концентрированными массами. В кн. Функциональные и численные методы математической физики. Киев: Наукова думка, 1988, с.165-171.

78. Олейник О.А., Соболева Т. С. О собственных колебаниях неоднородной струны с конечным числом присоединенных масс. // УМН. 1988. Т.43. № 4. С. 187-188.

79. Олейник О.А., Иосифъян Г.А., Шамаев А.С. Математические задачи теории сильно неоднородных упругих сред. Москва: Изд. МГУ им. М.В.Ломоносова, 1990.

80. Олейник О. А., Чечкин Г. А. О краевых задачах для эллиптических уравнений с быстро меняющимся типом граничных условий. // Успехи мат. наук. 1993. Т. 48. № 6. С. 163-164.

81. Олейник О. А., Чечкин Г. А. Об одной задаче граничного усреднения для системы теории упругости. // Успехи мат. наук. 1994. Т. 49. №.4\ С. 114.

82. Олейник О.А. Лекции об уравнениях с частными производными. Второе издание. Классический университетский учебник. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2005, 260 с.

83. Перес М.Е., Чечкин Г.А., Яблокова (Доронина) Е.И. О собственных колебаниях тела с "лёгкими" концентрированными массами на поверхности. // УМН. 2002. Т. 57. Вып. 6. С. 195-196.

84. Планида М.Ю. О сходимости решений сингулярно возмущённых краевых задач для лапласиана. // Матем. заметки. 2002. Т. 71. № 6. С. 867-877.

85. Планида М.Ю. Асимптотика собственных значений для цилиндра теплоизолированного на тонкой полоске. // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2003. Т. 43. № 3. С. 403-413.

86. Планида М.Ю. Асимптотики собственных элементов оператора Лапласа со сменой типа граничного условия на узкой уплощенной полосе. // Математические заметки. 2004. Т. 75. С. 236-252.

87. Полиа ГСегё Г. Изопериметрические неравенства в математической физике. М.: Физматгиз, 1962.

88. Пятницкий A. JI., Чечкин Г. А., Шамаев А. С. Усреднение. Методы и приложения. Белая серия в математике и физике. Новосибирск: Изд-во "Тамара Рожковская". 2007 в печати].

89. Рахманов Н.У. О собственных колебаниях систем с концентрированными массами; Дисс. к. ф.-м. н. М.: МГУ, 1991.

90. Сажпидинов А. Исследование механических систем с распределёнными и концентрированными массами, j j Вопросы вычислительной и прикладной математики. 1981. Т. 64. С. 83-91.

91. Сандраков Г.В. Осреднение нестационарных задач теории сильно неоднородных упругих сред. // Доклады РАН. 1998. Т. 358. № 3. С. 308-311.

92. Скрыпник И. В. Методы исследования нелинейных эллиптических граничных задач. М.: Наука, 1990.

93. Соболев C.JI. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. М.: Наука, 1988.

94. Соболев С. Л. Избранные вопросы теории функциональных пространств и обобщённых функций. М: Наука, 1989.

95. Тимошенко С. П. Прочность и колебания элементов конструкций. К.: Наукова думка, 1972.

96. Тихонов А.П., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1972.

97. Федорюк М.В. Задача Дирихле для оператора Лапласа во внешности тонкого тела вращения. // Труды семинара С.Л. Соболева. № 1. Новосибирск. 1980. С. 113-131.

98. Христенко А.С. Колебания непологих оболочек, загруженных распределенными и сосредоточенными массами // Изв. АН СССР сер. Мех. тв. тела. 1972. № 4. С. 116-122.

99. Чечкин Г.А. О краевых задачах для эллиптического уравнения второго порядка с осциллирующими граничными условиями. // Неклассические дифференциальные уравнения в частных производных.- Новосибирск.: ИМ СОАН СССР, 1988. с. 95-104.

100. Чечкин Г. А. О частично закрепленной мембране. // Бюллетень СМО, Новосибирск. 1989. С. 30-32.

101. Чечкин Г.А. Спектральные свойства эллиптической задачи с быстро осциллирующими граничными условиями. // Краевые задачи для неклассических уравнений в частных производных.-Новосибирск.: ИМ СОАН СССР, 1989. с. 197-200.

102. Чечкин Г.А. Усреднение краевых задач с сингулярным возмущением граничных условий. // Мат. сборник. 1993. Т. 184. № 6. С. 99-150.

103. Чечкин Г.А. О колебаниях тел с концентрированными массами, расположенными на границе, j j УМН. 1995. Т. 50. Вып. 4. С. 105-106.

104. Чечкин Г.А. Асимптотическое разложение решения краевой задачи с быстро меняющимся типом граничных условий. // Труды семинара им. И.Г.Петровского. 1996. Т. 19. С. 323-337.

105. Чечкин Г.А. Граничное усреднение в областях с сингулярной плотностью. // Дифференциальные уравнения. 2003. Т. 39. № 6. С. 855.

106. Чечкин Г.А. Расщепление кратного собственного значения в задаче о концентрированных массах. // УМН. 2004. Т. 59. Вып. 4. С. 205-206.

107. Чечкин ГА. Об оценке решений краевых задач в областях с концентрированными массами, периодически расположенными вдоль границы. Случай "лёгких" масс. // Мат. заметки. 2004. Т. 76. № 6. С. 928-944.

108. Чечкин Г.А. Усреднение модельной спектральной задачи для оператора Лапласа в области с большим количеством близко расположенных "тяжёлых" и "средних" концентрированных масс. // Проблемы математического анализа. 2006. Т. 32. С. 45-76.

109. Чечкин Г.А. Об усреднении решений задачи для оператора Лапласа в неограниченной области с большим количеством концентрированных масс на границе. // Проблемы математического анализа. 2006. Т. 33. С. 103-111.

110. Эскин Г. И. Краевые задачи для эллиптических псевдодифференциальных уравнений. М.: Наука, 1973.

111. Эшматов X., Абдикаримов Р.А., Вобоназаров Ш.Р. Влияние концентрированных масс на устойчивость вязко-упругих трубопроводов. // Доклады Академии Наук Узбекистана. Математические и технические науки естествознания. 1996. № 7. С. 20-23.

112. Яблокова (Доронина) Е. И. О собственных колебаниях тела с концентрированными массами критической плотности, расположенными непериодически на поверхности. // Успехи мат. наук. 2003. Т. 58. № 6. С. 171-172.

113. Яблокова (Доронина) Е. И. О колебаниях тела с тяжелыми концентрированными массами около границы. // Современная мат. прил. 2003. Т. 10. С. 216-226.

114. Achong A. Vibrational analysis of circular and elliptic plates carrying point and ring masses and with edges elastically restrained. // J. Sound Vibration. 1995. V. 183. № 1. P. 157-168.

115. Allaire G., Amar M. Boundary Layer Tails in Periodic Homogeniza-tion. // ESAIM Control, Optimisation and Calculus of Variations. 1999. V. 4. P. 209-243.

116. Amirat Y., Simon J. Riblets and Drag Minimization. // In: Optimization Methods in PDE's. (Eds. S. Cox and I. Lasiecka; Contemporary Mathematics AMS). 1997. P. 9-17.

117. Argatov 1.1., Nazarov S.A. Junction problem of shashlik (skewer) type. // C. R. Acad. Sci. Paris Ser. I Math. 1993. V. 316. № 12. P. 1329-1334.

118. Chang Т.-P., Wu M.-H. On the use of characteristic orthogonal polynomials in the free vibration analysis of rectangular anisotropicplates with mixed boundaries and concentrated masses. // Comput. Struct. 1997. V. 62. № 4. P. 699-713.

119. Chechkin G.A., Perez M&E., Yablokova E.I. Non-Periodic Boundary Homogenization and "Light" Concentrated Masses. // Indiana University Mathematical Journal. 2005. V. 54. № 2. P. 321-348.

120. Chechkin G.A. On Vibration of Partially Fastened Membrane with Many "light" Concentrated Masses on the Boundary. // С R Meca-nique. 2004. V. 332, № 12. P. 949-954.

121. Damlamian A., Li Ta-Tsien (Li Daqian). Boundary Homogenization for Elliptic Problems. // J.Math.Pure et Appl. 1987. V. 66. P. 351 -361.

122. Dal Maso G. An Introduction to Г-convergence. Boston, MA: Birk-hauser Publ. 1993.

123. De Giorgi E. Convergence problems for functionals and operators. // Proc. Int. Meeting on "Recent Methods in Nonlinear Analysis Rome 1978, ed. E. De Giorgi, E. Magenes, U.Mosco, Pitagora ed Bologna, 245-256 (1979).

124. De Giorgi E., Spagnolo S. Sulla convergenza delli integrali dell energia per operatori ellitici del secondo ordine. // Boll. Unione Mat. Ital. 1973. V. 8. P. 391-411.

125. Erol H. Vibration analysis of stepped-pipe strings for mining from deep-sea floors. // Ocean Engineering. 2005. V. 32. № 1. P. 37-55.

126. Figotin A. and Kuchment P. Spectral properties of classical waves in high-contrast media // SIAM. J. Appl. Math. 1998. V.58. № 2. P. 683-702.

127. Gadyl'shin R.R. Asymptotics of the minimum eigenvalue for a circle with fast oscillating boundary conditions. // C. R. Acad. Sci., Paris, Ser. I. 1996. V. 323. № 3. P. 319-323.

128. Gadyl'shin R.R. On an analog of the Helmholtz resonator in the averaging theory. 11 C. R. Acad. Sci. Paris. Ser. I. Math. 1999. V. 329, № 12. P. 1121-1126.

129. Gbadeyan J.A., Oni S.T. Dynamic response to moving concentrated masses of elastic plates on a non-Winkler elastic foundation. // J. Sound Vibration. 1992. V. 154. № 2. P. 343-358.

130. Glabisz W. Vibration and stability of a beam with elastic supports and concentrated masses under conservative and nonconservative forces. // Comput. Struct. 1999. V. 70. № 3. P. 305-313.

131. Golovaty Yu. D. On WKB-approximation of high frequency vibrations of a singular perturbed string. // Proc. of Int. Conf. "Nonlinear partial differential equations". Kiev, August 26-30. IX. 1997. -P. 62.

132. Golovaty Yu. D.} Lavrenyuk A. S. Asymptotic expansions of local eigenvibrations for plate with density perturbed in neighbourhood of one-dimensional manifold. // Mat. Stud. 2000. V. 13. № 1. P. 51-62.

133. Gomez D., Lobo M., Perez M-E. On the Eigenfunctions Associated with the High Frequencies in Systems with a Concentrated Mass. // J. Math. Pures Appl. 1999. V. 78. P. 841-865.

134. Gomez D., Lobo M., Perez M-E. On a Vibrating Plate with Concentrated Mass. // C.R. Acad.Sci.Paris. Serie lib. 2000. V. 328. P. 494-500.

135. Howland R.C.J. The whirling speeds of shafts carrying concentrated masses. // Philos. Magazine. 1925. V. 49. № 6. P. 1131-1145.

136. Jikov V. V., Kozlov S. M., Oleinik O. A. Homogenization of Differential Operators and Integral Functional. Berlin-New York: Springer Verlag, 1994.

137. Kasprzyk S., S§dziwy S. Vibrations of an elastic body carrying a number of concentrated masses. // Bull. Pol. Acad. Sci., Tech. Sci. 1999. V. 47. № 3. P. 209-220.

138. Kato T. Perturbation theory for linear operators. Berlin-Heidelberg: Springer-Verlag, 1966. (Пер. на рус. яз.: Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М: Мир, 1972, 740 с.)

139. Kocaturk Т., Sezer S., Demir С. Determination of the steady state response of visco elastically point-supported rectangular specially orthotropic plates with added concentrated masses. // J. Sound Vibration. 2004. V. 273. № 4-5. P. 789-806.

140. Kondratiev V.A., Oleinik O.A. Asymptotic properties of the elasticity system // In: Proceed. Intern. Conference: Application of Multiple Scaling in Mechanics, Paris: Masson, 1987, pp. 188-205.

141. Lakin W.D., Kvaternik R.G. An integrating matrix formulation for buckling of rotating beams including the effects of concentrated masses. // Int. J. Mech. Sci. 1989. V. 31. № 8. P. 569-577.

142. Laura P.A.A., Laura P.A., Diez G., Cortinez V.H. A note on vibrating circular paltes carrying concentrated masses. // Mech. Res. Commun. 1984. V. 11. P. 397-400.

143. Leal C., Sanchez-Hubert J. Perturbation of the Eigenvalue of a Membrane with a Concentrated Mass. // Quarterly Appl. Math. 1989. V. XLVII. № 1. P. 93-103.

144. Lions J.-L. Asymptotic Expansions in Perforated Media with a Periodic Structure. // Rocky Mountain J. Math. 1980. V. 10, № 1. P. 125-140.

145. Lobo M., Perez M&E. Asymptotic Behavior of the Vibrations of a Body Having Many Concentrated Masses Near the Boundary. // C.R. Acad. Sci. Paris. Serie II. 1992. V. 314. P. 13-18.

146. Lobo M., Perez M-E. On Vibrations of a Body With Many Concentrated Masses Near the Boundary. // Math. Models and Methods in Appl. Sci. 1993. V. 3. № 2. P. 249-273.

147. Lobo M., Perez M&E. Vibrations of a Body With Many Concentrated Masses Near the Boundary: High Frequency Vibrations. // In Spectral Analysis of Complex Structures. Paris: Hermann, 1995: 85101.

148. Lobo M., Perez M&E. Vibrations of a Membrane With Many Concentrated Masses Near the Boundary. // Math. Models and Methods in Appl. Sci. 1995. V. 5. № 5. P. 565-585.

149. Lobo M., Perez M-E. The skin effect in vibrating systems with many concentrated masses. // Math. Methods Appl. Sci. 2001. V. 24. № 1. P. 59-80.

150. Madan V.P. Vibration of viscoelastic beams carrying an arbitrary number of concentrated masses. // Rev. Roum. Math. Pures Appl. 1970. V. 15. P. 267-277.

151. Marietta M., Shkalikov A.A., Tretter C. Pencils of differential operators containing the eigenvalue parameter in the boundary conditions, // Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A 133. 2003. № 4. P. 893-917.

152. McMillan A.J., Keane A.J. Shifting resonances from a frequency band by applying concentrated masses to a thin rectangular plate. // J. Sound Vibration. 1996. V. 192. № 2. P. 549-562.

153. MeVnyk T.A. Vibrations of a thick periodic junction with concentrated masses. // Math. Models Methods Appl. Sci. 2001. V. 11. № 6. P. 1001-1027.

154. Murat F., Tartar L. Calcul des variations et homogeneisation. R 84012. Paris. Universite Pierre et Marie Curie, Centre National de la Recherche Scientifique, Laboratoire d'analyse numerique, 1984.

155. Naguleswaran S. Transverse vibrations of an Euler-Bernoulli uniform beam carrying several particles. // Intern. J. Mech. Sci. 2002. V. 44. № 12. P. 2463-2478.

156. Nazarov S.A. Concentrated masses problems for a spatial elastic body. //C.R. Acad. Sci. Paris Ser. I Math. 1993. V. 316. № 6. P. 627-632

157. Nazarov S.A. Interaction of concentrated masses in a harmonically oscillating spatial body with Neumann boundary conditions. // RAIRO Model. Math. Anal. Numer. 1993. V. 27. № 6. P. 777-799.

158. Oleinik O.A. Homogenization problems in elasticity. Spectrum of singularly perturbed operators. // In: Non classical continuum mechanics., 1987. - Lecture Notes series. 122, - Cambridge University Press. - p. 188-205.

159. Oleinik O.A., Sanchez-Hubert JYosifian G.A. On vibration of membrane with concentrated masses. // Bulletin des Sciences Ma-thematiques. 1991. V. 115. № 1. P. 1-27.

160. Oleinik O.A., Shamaev A.S., and Yosifian G.A. Mathematical Problems in Elasticity and Homogenization. Amsterdam: North-Holland. 1992.

161. Onizczuk Z. Free transverse vibrations of an elastically connected double-beam system with concentrated masses, elastic and rigid supports. // Mech. Teor. Stosow. 1989. V. 27. № 2. P. 347-361.

162. Ozkaya E. Non-linear transverse vibrations of a simply supported beam carrying concentrated masses. // J. Sound Vibration. 2002. V. 257. № 3. P. 413-424.

163. Panasenko G.P. Asymptotic Analysis of Rod Structures. Dordrecht-Boston-London: Kluwer Academic Publishers, 2001.

164. Raskovic D. Transverse bending vibrations of beam on many supports carried by a series concentrated masses. // Zbornik masinskog. Faculteta 1954-55. 1956. P. 42-52.

165. Rossi R.E., Laura P.A.A., Avalos D.R., Larrondo H. Free vibrations of Timoshenko beams carrying elastically mounted concentrated masses. // J. Sound Vib. 1993. V. 165. № 2. P. 209-223.

166. Rybalko V. Vibration of Elastic Systems with a Large Number of Tiny Heavy Inclusions. // Asymptotic Analysis. 2002. V. 32. № 1. P. 27-62.

167. Sadiku S., Leipholz H.H.E. On the dynamics of elastic systems with moving concentrated masses. // Ing.-Arch. 1987. V. 57. P. 223-242.

168. Sanchez-Hubert J., Sanchez-Palencia E. Vibration and Coupling of Continuous System. Asymptotic methods. Berlin Heidelberg: Springer - Verlag, 1989, 421p.

169. Sanchez-Hubert J. Perturbation des valeurs propres pour des systemes avec masse concentree. . // C. R. Acad. Sci. Paris Ser. II Mec. Phys. Chim. Sci. Univers Sci. Terre. 1989. V. 309. № 6. P. 507-510.

170. Sanchez-Palencia E. Perturbation of eigenvalues in thermoelasticity and vibration of system with concentrated masses. // In: Trends andApplication of pure Math, to Mechanics. Lecture notes in Phisics, 195, Berlin: Springer Verlag. 1984, p. 346-368.

171. Sanchez-Palencia E.} Tchatat H. Vibration de systemes elastiques avec masses concentrees. // Rendiconti del Seminario matematico della Universita e politecnico di Torino. 1984. V. 42. W 3. P. 43-63.

172. Sanchez-Palencia E. Homogenization Techniques for Composite Media. Berlin New York: Springer-Verlag. 1987.

173. Shkalikov A.A. Operator pencils arising in elasticity and hydrodynamics: the instability index formula. Recent developments in operator theory and its applications (Winnipeg, MB, 1994). Oper. Theory Adv. Appl., 87. Basel: Birkhauser. 1996, p. 358-385.

174. Simsonas A.-I. The natural oscillations of thin plates with concentrated masses. // Lith. Math. J. 1978. V. 17. P. 275-279.

175. Solecki R. Vibration of plates with concentrated masses. // Bull. Acad. Pol. Sci., Ser. Sci. Tech. 1961. V. 9. P. 209-215.

176. Van Dyke M.D. Perturbation Method in Fluid Mechanics. New York: Academic Press. 1964.

177. Verma M.K., Krishna Murthy A. V Non-linear vibrations of nonuniform beams with concentrated masses. // J. Sound Vibration. 1974. V. 33. P. 1-12.