Задачи Трикоми и Пуанкаре-Трикоми для уравнений смешанного типа с гладкой и негладкой линиями вырождения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Аманов, Джумаклыч

• Аманов, Джумаклыч
• кандидат физико-математических наук
• 1984

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Аманов, Джумаклыч

В В Е Д Е Н И Е . t

ГЛАВА I. КРАЕВАЯ ЗАДАЛА ПУАНКАРЕ-ТРИКОМИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ СМЕШАННОГО ТИПА. С РАЗРЫВ-НЬМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

§ I. Постановка задачи Пуанкаре-Трикоми и доказательство единственности решения. . •

1.1. Постановка задачи • ••••••••

1.2. Единственность решения задачи РТ.

§ 2. Основное соотношение между СХ} и f (X).

2.1. Задача Коши - Гурса.

§ 3. Существования решения задачи РТ.

3.1. Схема доказательства существования решения задачи РТ.

3.2. Функция Грина задачи К для уравнения Лапласа •••••••••••

3.3. Задача JVT для уравнения (I.I). . 33 3.4. Сингулярное интегральное уравнение относительно ^(Х).

3.5. Существование решения задачи РТ.

ГЛАВА П. КРАЕВЫЕ ЗАДАЛИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ СМЕШАННОГО ТИПА С НЕГЛАДКОЙ ЛИНИЕЙ ВЫРОЖДЕНИЯ В НЕОГРАНИЧЕННОЙ ОБЛАСТИ.

§ I. Краевые задачи для уравнения в первом квадранте

1.1. Постановка задач и теоремы единственности

1.2. Задача

1.3. Исследование задач , ^^ и К

§2. Задача Трикоми для уравнения в неограниченной области

2.1. Постановка задачи Т и единственность ее решения

2.2. Доказательство существования решения задачи Т

ЛИТЕРА ТУ РА

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Задачи Трикоми и Пуанкаре-Трикоми для уравнений смешанного типа с гладкой и негладкой линиями вырождения»

Теория уравнений смешанного типа является одним из важнейших разделов современной теории дифференциальных уравнений с частными производными. Первым фундаментальным исследованием по уравнениям смешанного типа явилась работа Ф.Трикоми [54] .

Дальнейшее интенсивное развитие и интерес к уравнениям смешанного типа вызван, прежде всего, их исключительной прикладной важностью.

Впервые Ф.И.Франкль 157] обратил внимание на то, что ряд задач околозвуковой газовой динамики приводится к различным краевым задачам для уравнений смешанного типа. Уравнения смешанного типа находят приложения также в теории бесконечно малых изгибаний поверхностей, магнитной гидродинамике и в других областях естествознания.

Довольно подробно изучены основные краевые задачи для модельных уравнений смешанного типа и некоторые задачи для более общих уравнений. Основная библиография содержится в книгах 1б] ,18] ,19] , ^20] , ^48] ,^52] . В этих работах в основном изучаются задача Трикоми, задачи Г еллерстедта, общая смешанная задача А.В.Бицадзе, задача Франкля и т.д.

Немногочисленные работы посвящены краевым задачам с конормальной (нормальной) производной или линейной комбинацией искомой функции с ее конормальной производной для общих линейных уравнений смешанного типа [13] , [14] ,[49], 155] ,159] . •

Краевая задача Трикоми и ее обобщения для общего уравнения Лаврентьева-Бицадзе рассмотрены С.П.Пулькиным 145] , Т.Каратопраклиевым [24] » Л.Е.Востровой [14] • Краевая задача с условием Пуанкаре на эллиптической части границы смешанной области изучена для уравнений Трикоми и Лаврентьева-Бицадзе Б.В.Мелентьевым [35] , [36] .

Начиная с 1969 года, после работ А.В.Бицадзе [ю], [il] и А.М.Нахушева [41] в теории уравнений смешанного типа с гладкой и негладкой линиями вырождения появилось новое направление, где рассматриваются нелокальные краевые задачи (задачи со смещением), когда на эллиптической части границы задается условие Дирихле или конормальная производная искомого решения, а на гиперболической части - некоторое нелокальное условие, поточечно связывающее значение решения и его производной, вообще говоря дробной, определенного порядка, зависящей от порядка вырождения. С краевыми задачами со смещением тесно связаны также задачи типа задачи Бицадзе - Самарского [12] • Упомянутым выше задачам для уравнений смешанного типа с гладкой линией вырождения посвящены работы [I] ,[21] ,[26] ,[42],[43],[53] .

Уравнения смешанного типа с негладкой линией, но с одинаковым порядком вырождения рассмотрены в работах [22], [23],[32], [50] и др. Задача Трикоми с локальными и нелокальными краевыми условиями в конечной смешанной области для уравнения смешанного типа с различным порядком вырождения исследованы в [47],[58] .

Исследованиям краевых задач в неограниченных областях посвящены работы [2] , [I7],[l8],[29},[30],[32],[33],[56], [62].

Настоящая диссертационная работа, состоящая из введения и двух глав, посвящена исследованию краевой задачи Пуанкаре - Трикоми для уравнения i) причем I ~ 1 при > 0 , при < 0, в конечной области и задачи Трикоми для уравнения

О, m,n.=«mbQ (2) в неограниченной области.

В первой главе, состоящей из трех параграфов ставится и исследуется задача РГ (Пуанкаре - Трикоми) для уравнения

I).

Пусть J)^ - область в полуплоскости V >0 ограниченная кривой <г> , опиращейся на точки Л (-1,0), В (1,0) и отрезком

ЛБ прямой Vj •

В полуплоскости IJ < 0 рассмотрим область Д)^ » ограниченную тем же отрезком оси IJ и двумя характеристиками уравнения (I).

Введем обозначения:

Определение, Обобщенным решением уравнения (I) из класса в характеристическом треугольнике

ЗУ—jfl0B0C-0 в который переходит область при ^ , X называется функция

VI , У^) , которая может быть представлена в области Формулой Римана Ч где е CL ) П С.Ч"^ 1 , ^ (X) - абсолютно интегрируемая функция на ^J и ^ С.^!)) . Здесь приняты следующие обозначения

T^X^lHX-O) , ^^X^U^X^O) и ^ ' Ч. •> ^ > ^С) ~ функция Римана уравнения (I). В первом параграфе приводится постановка задачи и доказывается единственность ее решения.

Зада ч а РТ, Требуется определить функцию со следующими свойствами:

I) ^ ^ ^х) и удовлетворяет в уравнению (I) а в области Д)^ является обобщенным реше

- 8 нием уравнения (I) класса R ;

2) U CX,lpe , 1 = 4,1 ;

3) Ux , U^ е С ifb^AM^*]), причем в точках J} и В они могут обращаться в бесконечность порядка ниже единицы;

4) выполняются условия склеивания u^tx о ь^х^сх^ хез, заданные функции со следующими свойствами: удовлетворяет условию Гельдера на t) ;

X) и $ (JX} удовлетворяют условию Гельдера на 5 и VX€?

5) tl(X,lp удовлетворяет граничным условиям

DS Von to где L - длина дуги , отсчитываемая от точки 1-1,0), удовлетворяют условию Гельдера.

Для задачи РТ устанавливается аналог принципа экстремума А.В.Бицадзе, из которого следует единственность решения задачи РТ.

Не ограничивая общности можно предполагать, что

У W ^ t ^ =- С? СХ^ — 0, дальнейшем задача РТ изучается при У(ЭС) = .

При доказательстве существования решения задачи РТ, относительно кривой СЕ> параметрическое уравнение которой имеет вид ^ ^ ^ ^S^ , предполагается,что

1) Функции С."5" , причем вторые производные удовлетворяют условию Гельдера при CUS^l ;

2) кривая оканчивается двумя сколь угодно малой длины дугами нормальной кривой о , а в остальной части отклоняется от этой кривой наружу.

Для доказательства существования решения задачи РТ используется однозначная разрешимость следующей задачи.

Задач а Тр • Требуется определить функцию обладающую свойствами I) - 4) задачи РТ (Д - $ (X) =■ 0 , ^ СХЛ - i) и удовлетворяющую граничным условиям

С помощью решения этой задачи попытаемся удовлетворить условиям задачи РТ. Для этого необходимо подобрать

- ю так, чтобы выполнялось условие Рц ^ • При этом получается сингулярное интегральное уравнение относительно Lf'(S) • Регуляризуя его известным способом получим интегральное уравнение Фредгольма второго рода, безусловная разрешимость которого следует иа единственности решения задачи РТ. Учитывая условие UL ^ — 0 получим • Тогда определяется единственным образом. Подставляя IjHS) в решение задачи Тр получим решение задачи РТ.

Второй параграф посвящен выводу основного функционального соотношения между (X) и ^ .

В третьем параграфе методом интегральных уравнений доказывается существование решения задачи РТ.

Во второй главе, состоящей из двух параграфов изучаются краевые задачи для уравнения (2).

В первом параграфе ставятся и исследуются краевые задачи в первом квадранте.

Введем следующие обозначения: у. 0<х<-о, Vj = 0 j, п , г, vt+г « л wi+i = Х?0, ^ >0 \ .

Задача . Найти решение ЦДОС,уравне

- II ния (2) из класса , удовлетворяющее условиям (3)

UWL (5) сю где Т^Х^ , T^Vp - заданные непрерывные функции, причем

Задача JsT°°, Найти решение Yi(3C,ip уравнения (2) из класса с^пс.члиз^'зопсчл), удовлетворяющее условиям (5)

6) (7) где ^^х^ , ~ заДанные непрерывные функции, причем в начале координат они могут обращаться в бесконечность интегрируемого порядка.

Задача -К ^ . Найти решение U (0C,lj) уравнения (2) из класса удовлетворяющее условиям (4), (5), (6), причем при может обращаться в бесконечность интегрирумого порядка. со

Задача ЛИ^ . Найти решение уравнения (2) из класса сс^пеЧ^и^псЧлу удовлетворяющее условиям (3), (5), (7), причем ^iC^j) в точке может обращаться в бесконечность интегрируемого порядка.

Единственность решения поставленных задач доказывается с помощью принципа экстремума JfTvf^ ? кгсо и методом интегралов энергии (JH ) • Решения всех вышеперечисленных задач выписаны в явном виде.

Во втором параграфе изучается задача Трикоми для уравнения (2).

Пусть si = п* изи гг , где

Л - часть полуплоскости < 0 ограниченная характеристикой

VU1 ууиЛ

О уьл VYU^4 уравнения (2) и лучом 0 ^ «с °° прямой ^ •

Под регулярным в области Л. решением уравнения (2) понимается любая функция UioX,^ из класса удовлетворяющая уравнению (2) в области U JV и такая, что U-^O^O) исчезает на бесконечности, а при Х-О может обращаться в бесконечность порядка ниже единицы.

Задача • Найти регулярное в области Pi решение \Цх?\^) уравнения (2), удовлетворяющее условиям

ULo^> (В)

UI = \jJ(oq, > О) ч

Hiwl гЦх,т=:0, do) где » "ЦН^) ~ заданные непрерывные функции, причем *Ц) = 10V

Для доказательства единственности решения задачи

ЯМ ^У^ предполагается, что Yi < VVJ. .

Используя решение задачи Коши для уравнения (2) в области Pi , выводится основное функциональное соотношение между t^X) -1ЦХ,0) и при этом учитывается условие (9). Оно имеет вид ч $0, l-v A

-1- 1 W-i

OX 1 ' ' ' *

Ир X Н х ^^гicvV^ где ^ ' Xl " известные постоянные, х Цач^Г1F е-, ) к i^di есть интеграл обобщенного дробного порядка С (С >0) от функции t34] , [47] Д58] ДбЗ] .

С помощью соотношения (II) нетрудно показать, что решение Щ задачи \ , равное нулю на характеристике ^ , положительный максимум и отрицательный минимум в замкнутой области не может достигать во внутренних точках интервала # В силу этого утверждения, с учетом (Ю) легко доказывается единственность решения задачи Т °° • Существование решения задачи Т °° доказывается методом интегральных уравнений, с использованием решения задачи К^Т в области

Основные результаты диссертации докладывались на I - республиканской конференции математиков по дифференциальным уравнениям (г«Ашхабад, 1972 г.), на семинаре отдела дифференциальных уравнений Института математики им. В.И. Романовского АН УзССР, на отчетных научно-теоретических конференциях профессорско-преподавательского состава ТашГУ имени В.И.Ленина (1983 г.) и опубликованы в работах [66 .

67 , 68] .

Пользуясь случаем выражаю искреннюю благодарность моему научному руководителю академику АН УзССР Махмуду Сала-хитдиновичу Салахитдинову за постановку задач и постоянное внимание к работе.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Аманов, Джумаклыч, 1984 год

1. А б р е г о в М.Х. Некоторые задачи типа задачи Бицад-зе-Самарского для уравнения смешанного типа. Дифференциальные уравнения, 1974, т.Х, JS I, с.3-6.

2. БейтменГ.,Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. T.I. М.: "Наука", 1965, 294 с.

3. Бейтмен Г.,Эрде йи А. Таблицы интегральныхпреобразований. T.I. М.: "Наука", 1969, 344 с.

4. Бейтмен Г.,Эрдейи А. Таблицы интегральныхпреобразований. Т.2. М.: "Наука", 1970, 328 с. .

5. Б е р с Л. Математические вопросы.дозвуковой и околозвуковой газовой динамики. М.: ИЛ., 1961, 208 с.

6. Бицадзе А.В. Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка. М.: "Наука", 1966, 204 с,

7. Бицадзе А.В. Уравнения смешанного типа. М.: Изд--во АН СССР, 1959, 164 с.

8. Бицадзе А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных. М.: "Наука", 1981, 448 с. 10. Бицадзе А.В. К теории одного класса уравнений смешанного типа. Некоторые проблемы математики и механики. М.: "Наука", 1970, с. II2-II9.

9. Бицадзе А.В. К теории уравнений смешанного типа,порядок которых вырождается вдоль линии изменения типа. Механика сплошной среды и родственные проблемы анализа. (К 80-летию академика Н.И.Мусхелиш-вили). М.: "Наука", 1972, с.47-52.

10. Бицадзе А.В., Сам арский А.А. О некоторых простейших обобщениях линейных эллиптических краевых задач. Докл. АН СССР, 1969, т.185, Jfi 4, с.739-740.

11. Б о с т р о в а Л.Е. Смешанная краевая задача дляуравнения ^S^llj-Ll^-ll-ОУченые записки Куйбышевского гос. пединститута, Куйбышев, 1958, вып. 21, с. 219-267.

12. В о с т р о в а Л.Е. Смешанная краевая задача для общего уравнения Лаврентьева-Бицадзе. Ученые записки Куйбышевского гос. пединститута, Куйбышев,1959, вып. 29, с. 45-66.

13. Г а х о в Ф.Д. Краевые задачи. М.: ГШМЛ, 1963, 640 с.

14. Г р адштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: ГШМЛ, 1962, 1100 с.

15. Денисова З.Г. Об одной краевой задаче со смещением для уравнения Sl^H^llll^ tlxx+U,^ ~0в неограниченной области. Дифференциальные уравнения, 1978, т. Х1У, & I, с. 170-173.

16. Денисова З.Г., К и ш е в а Л.А. Краевая задачадля уравнения смешанного типа в неограниченной области. Нелокальные краевые задачи для нагруженныхУравнений смешанного типа и родственные проблемы непрерывного анализа. Нальчик, 1982, с.96-99.

17. Д ж у р а е в Т.Д. К теории уравнения ^Q.Изв. АН УзССР, серия физ.-мат.наук, 1964, 15 3, с. 5-Ю.

18. Джураев Т.Д. Краевые задачи для уравнений смешанного и смеданно-составного типов. Ташкент, "ФАН", 1979, с.240.

19. Елеев В.А. О некоторых задачах типа задачи Кошии задачи со смещением для одного вырождающегося гиперболического уравнения. Дифференциальные уравнения, 1976, ТХП, II, с.46-58.

20. Зайнул абидов М.М. 0 некоторых краевых задачах для уравнений смешанного типа с двумя перпендикулярными линиями вырождения. Дифференциальные уравнения, 1969, Т У, iS I, с.91-99.

21. Исамухамедов С.С., Орамов К. О краевых задачах для уравнений смешанного типа второго рода с негладкой линией вырождения. Дифференциальные уравнения, 1982, Т ХЭД1, Я 2, с.324- 334.

22. Каратопраклиев Г. Об одной краевой задаче для уравнения смешанного типа с разрывными коэффициентами. Доклады Болгарской академии наук, 1966, Т 19, Я 7, с. 571-574.

23. Каратопраклиев Г. Об одной обобщении задачи Т Для уравнения U^^S^Vt^-Ll^ . Докл. АН СССР, 1963, T.I5I, Л 6, с.

24. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. М.-Л.: СГИЗ, Т.П, 1945, 620 с.

25. Крикунов Ю.М. 0 некоторых задачах для уравнения М.А.Лаврентьева. Известия высших учебных заведений, Мат. 1961, № 6 (25), с. 60-70.

26. Макаров И.А. Решение краевых задач для уравнений с разрывными коэффициентами в неограниченных областях. Волжский математический сборник, 1971, вып. 8, с. 138-145.

27. М а р и ч е в О.И. Метод вычисления интегралов отспециальных функций. Минск: "Наука и техника". 1978, 312 с.

28. М а р и ч е в О.И. Краевые задачи для уравнения смешанного типа с двумя линиями вырождения. Изв.АН БССР, 1970, 15,.с. 21-29.

29. М а р и ч е в О.И. Сингулярные краевые задачи дляобобщенного двуосесимметрического уравнения Гельм-гольца. Докл. АН СССР, 1976, т.230, J6 3, с.523-526.

30. М а р ич е в О.И. Два уравнения Вольтерра с функциямиГорна. Докл. АН СССР, 1972, т.204, Jfi 3, с.546-549.35; м елентьев Б.В. Об одной граничной задаче для уравнений смешанного типа. Док л .АН СССР, 1964, т.154, Л 6, с. 1262-1265.

31. Мелентьев Б.В. 0 теореме существования решения одной граничной задачи для уравнения смешанного типа. Докл.' АН СССР, 1962, т.142, to 6,с. I25I-I254.

32. Михайлов Л .Г. Новый класс особых интегральных уравнений и его применения к дифференциальным уравнениям с сингулярными коэффициентами. Труды АН Тадж.ССР, Душанбе, 1963, 184 с.

33. М и х л и н С.Г. Лекции по линейным интегральным уравнениям. М.: ГШМЛ, 1959, 232 с.

34. М о н о в Б.Т. Об одной краевой задаче для уравнениясмешанного типа в неограниченной области. Изв.АН УзССР, серия физ^-мат.наук,1972, Я 2, с.26-29.

35. Мусхелиш.вили Н.И. Сингулярные интегральныеуравнения. М.: ГШМЛ, 1962, 600 с. 41 ,Н а х у ш в в А.М; 0 некоторых краевых задачах для гиперболических уравнений и уравнений смешанного типа. Дифференциальные уравнения, 1969, т'.У, to I, с. 44-59. , .

36. Нахушев А.М. Обратные задачи для вырождающихся уравнений и интегральные уравнения Вольтерра третьего рода;. Дифференциальные уравнения, 1974, т.Х,to I, с. ЮО-Ш.

37. Нахушев А.М. Нагруженные уравнения и их приложения." Дифференциальные уравнения, 1983, т. ХИ, to I, с. 86-94.- 146

38. П е с т у н Л.В. Решение задачи Коши для уравнения iW,- X^Uvn, —0.Волжский математический сборник, 1965, вып.З, с. 289-295.

39. Пулькин С.П. Задача Трикоми для общего уравнения Лаврентьева-Бицадзе. Докл. АН СССР, 1958, т.П8,В I, с.38-41.

40. Пулькин С.П. Интегральное представление решения задачи Коши-Гурса. Ученые записки Куйбышевского гос. пединститута, Куйбышев, 1959, вып.29, с.25-44.

41. Сал'ахитдинов М.С., X а с а н о в А. ЗадачаТрикоми для уравнения смешанного типа с негладкой линией вырождения. Дифференциальные уравнения, 1983, т.XIX, JS I, с. II0-II9.

42. Салахитдинов М.С. Уравнения смешанно-составного типа. Ташкент, "ФАН", 1974, 156 с.

43. Салахитдинов М.С., С а м а т о в Т.С. Окраевых задачах для уравнения смешанного типа. Сб. "Краевые задачи для дифференциальных уравнений". Ташкент, "ФАН", 1972, 2, с.164-174.

44. Салахитдинов М.С., Менгзияев Б.Об одной краевой задаче со смещением для уравнения смешанного типа с двумя линиями вырождения. Дифференциальные уравнения, 1977, т.ХШ, J£ I, с. 133-139.

45. С м и р н о в М.М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения. М.: "Наука", 1966, 292 с.

46. Смирнов М.М. Уравнения смешанного типа. М.:Наука", 1970, 296 с.

47. Смирнов М.М. Краевая задача для уравнения смешанного типа 2-го рода со смещением. Дифференциальные уравнения. 1977, т.ХУ, IS 5, с.931-943.

48. Трикоми Ф. О линейных уравнениях смешанного типа. М.-Л.: Гостехиздат, 1947, 192 с.

49. Усанеташвили М.А. Задача с наклонной дробнойпроизводной для уравнения Геллерстедта. Республиканский симпозиум по дифференциальным уравнениям. Тезисы докладов. Ашхабад, 1978, с.40-41.

50. Флайшер Н.М. Краевые задачи для уравнений смешанного типа в случае неограниченных областей.Revue Roumaine de mathematiques pures et Appliquies. 1965, tome X, Ho 5, 607-613.

51. Ф p а н к л ь Ф.И. Избранные труды по газовой динамике,М,: "Наука", 1973, 712 с.

52. X а с а н о в А. Об одной смешанной задаче для уравнения Sl^vl^. 1 ^ 1101 И хзс -t Х*1 LL эд о .Изв. АН УзССР, серия физ.-мат. наук, 1982, JS 2, с. 28—32.

53. Ч у б е н ко Л.С. Задача с конормальной производнойдля общего уравнения смешанного типа первого рода на плоскости. Волжский математический сборник,1968, вып. 6, с. 271-286.- 148

54. Gellerstedt Quelques problemes mixtesArkiv for Mat., Astr. och Pysik", В 26A, No 3, 1938, p, 1-32.

55. Love E,R. Some integral equations involvinghypergeometric functions. Proc. Edinburgh. Math. Soc.", 15, Wo 3, 1967, p. 169-198.

56. Srivastava G.P., S a r a n S. Integralsinvolving Kampe de Periet Function. "Math.Z," 98, 1967, p. 119-125.7

57. Appell P.,Kampe de Periet M.T.Ponctions hypergeometriques et hyperspheriques. Polynomes d'Hermite, Gautheier-Villars,1926,440 p.

58. Am анов Д. Некоторые краевые задачи для вырождающегося эллиптического уравнения в неограниченной области. Изв. АН УзССР, серия физ.-мат.наук, 1984, J8 I, с. 8-13.

59. Аманов Д. Краевая задача для уравнениянеограниченной области. Изв. АН УзССР, серия физ.-мат.наук, 1984, J 2, с. 8-Ю.