Краевые задачи для уравнений гиперболического и смешанного типов со специальными условиями сопряжения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Плотникова, Юлия Александровна

• Плотникова, Юлия Александровна
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Плотникова, Юлия Александровна

Введение

1. Краевая задача для уравнений гиперболического типа с условиями сопряжения на характеристике

1.1. Вспомогательные утверждения

1.2. Задача Дг для уравнений (I) и (II), |1(,,

1.3. Задача для уравнения (III) i k

1.4. Задача Д2 для уравнения (IV).

1.5. Задача Д2 для уравнения (V).

2. Краевая задача для уравнения смешанного типа с характеристической линией изменения типа .,

2.1. Постановка задачи К. Вспомогательные утверждения , . i

2.2. Единственность решения задачи v j

2.3. Задача Хольмгрена . .а

2.4. Существование решения задачи V . ,.

3. Краевая задача для уравнения смешанного типа со специальным условием сопряжения.~

3.1. Постановка задачи Т. Вспомогательные утверждения в

3.2. Единственность решения задачи Т.~

3.3. Существование решения задачи Т

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Краевые задачи для уравнений гиперболического и смешанного типов со специальными условиями сопряжения»

Теория дифференциальных уравнений с частными производными, берущая начало с работ Леонарда Эйлера [57], и в настоящее время является одним из важнейших разделов современного математического анализа и находит обширные приложения в различных разделах механики и физики, в частности, в аэро- и гидродинамике, теории упругости и акустики, в без-моментной теории оболочек с кривизной переменного знака, трансзвуковой газодинамике, теории пластичности. Важную роль в развитии теории дифференциальных уравнений с частными производными в XX веке сыграли работы Ф. Трикоми [54], Ф.И. Франкля [59], [58], C.JL Соболева [51], [52], И.Г. Петровского [39], М.А. Лаврентьева, А.В. Бицадзе [26], Л. Берса [5], К.И. Бабенко [3] и других.

Одним из важнейших разделов в теории дифференциальных уравнений с частными производными является теория уравнений смешанного типа. Впервые внимание на практическую значимость уравнений смешанного типа обратил С.А. Чаплыгин в 1902 году в работе "О газовых струях". Дальнейшие теоретические основополагающие результаты были получены Ф. Трикоми [54], который поставил и решил первую граничную задачу для уравнения уихх + иуу = 0, (1) и С. Геллерстедтом [61], [62], развившем результаты Ф. Трикоми для уравнения у2тп+1ихх + иуу = 0. В 1945 году Ф.И. Франкль [56] впервые показал приложения краевых задач для уравнений смешанного типа в трансзвуковой газовой динамике.

М.А. Лаврентьевым [26] была предложена более простая модель уравнения смешанного типа ихх + sgny • иуу = 0, (2) для которого технические затруднения, связанные с вычислениями, минимальны по сравнению с аналогичными задачами для уравнения (1).

А.В. Бицадзе [7] был исследован ряд краевых задач для уравнения (2), в том числе и задача Трикоми, при более общих предположениях для кривой ег, ограничивающей область в верхней полуплоскости. В дальнейшем существенный вклад в развитие теории смешанных уравнений внесли математики К.И. Бабенко, В.Ф. Волкодавов, В.Н. Врагов, Т.Д. Джура-ев, В.И. Жегалов, Г.Д. Каратопраклиев, А.И. Кожанов, Т.Ш. Кальменов, Ю.М. Крикунов, А.Г. Кузьмин, М.Е. Лернер, Е.И. Моисеев, A.M. Нахушев, Н.Б. Плещинский, С.П. Пулькин, О.А. Репин, К.Б. Сабитов, М.С. Сала-хитдинов, М.М. Смирнов, Р.С. Хайруллин, Л.И. Чибрикова, S. Moravetz, М. Protter и др. Отметим, что подробную библиографию работ по уравнениям смешанного типа можно найти в монографиях [7], [48].

Одним из направлений современной теории дифференциальных уравнений с частными производными является постановка новых задач как по з краевым условиям, так и по условиям сопряжения, и поиск методов решения поставленных задач. В этом направлении во второй половине XX века был опубликован ряд статей, среди которых следует отметить работы А.В. Бицадзе, А.А. Самарского, В.И. Жегалова, Г.Д. Каратопраклиева, A.M. Нахушева, М.М. Смирнова.

Одну из задач для вырождающихся уравнений гиперболического типа под названием Д2 поставил В.Ф. Волкодавов. Задача Д2 состоит в отыскании решения уравнения гиперболического типа, когда решение задается на параллельных характеристиках, а условия сопряжения по функции и производной по нормали задаются на линии вырождения. Постановка и решение задачи Д2 для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу впервые были опубликованы в работе [1]. Решение задачи Д2 в случае различных параметров уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу приведено в работах В.Ф. Волко-давова, Н.Я. Николаева [16], [38], Р.С. Хайруллина [60], В.З. Вагапова [10], O.K. Быстровой [9], Г.Н. Зайнуллиной [20] и др. Задача Д2 изучалась в ряде работ в случае неограниченных областей и различных условий склейки. Сюда относятся работы J1.A. Лазаренко [27], И.Н. Родионовой [43] и других авторов.

В последние годы В.Ф. Волкодавовым рассмотрены краевые задачи для уравнений смешанного эллиптико - гиперболического типа, линия изменения типа которых является их характеристикой. В постановках этих задач условие сопряжения на линии изменения типа состоит в склеивании производной по нормали из области эллиптичности с производной дробного порядка из области гиперболичности. Отметим, что первые результаты в данном направлении были опубликованы в статье В.Ф. Волкодавова и О.Ю. Наумова [15], где исследуется краевая задача для уравнения

Настоящая диссертационная работа, состоящая из трех глав, посвящена исследованию ряда краевых задач для уравнений гиперболического и смешанного типов, в постановке которых условия сопряжения содержат производные дробного порядка от искомой функции. Такие условия сопряжения позволяют обосновать корректную постановку краевых задач (в том числе Д2) в случае, когда склейка осуществляется на характеристической линии уравнения.

Первая глава посвящена решению краевой задачи для частных случаев уравнения

0 =

Uxx + Uyyi если у > 0, иху, если у < 0.

Lu = Uxy + а(х, у)их + Ь(х, у)иу + с(х, у)и = 0 на множестве G = G [J G+, где

G- = {(яг, у)\ — h < х < 0, — х < у < h}, 4

G+ = {(я, у)\0 < х < h, 0 < у < h - х}. Рассматриваются следующие частные случаи уравнения (3):

Ь{х, у) = с(х, у) ее 0, а(х, у) ф 0; (7)

Ь(х, у) = с(х, у) ее О, а(х, у) = О < р < 1; (//) х + у а(х, у) = с(х, у) = О, Ь(х, у) ф О; (III) а(х, tj) = с(х, ?/) = О, у) = —, О < а < 1; (/V) ж + у у) = Ь(х, у) = О, с{х, у) = с{у) ф О. {V)

П. 1.2 содержит решение краевой задачи для случаев (I) и (И) уравнения (3) в следующей постановке. Задача Д2. Найти функцию и(х, у) со следующими свойствами:

1) и(х,у) е С^ПСЧС), иху е C(G);

2) Lu = 0 па множестве G;

3) и(х,у) удовлетворяет краевым условиям: и(х, К) = uj(x), х е [—/г, 0], (4) и(х, 0) = ip{x), х е [О, Л]; (5)

4) и(х,у) подчиняется условию сопряжения: lim v-{x,y) = q(y) • lim v+(x,y), у <S (0, h), (6) х—0 х—>+0 где X д I х,у) = — I (x-t)-^u(t,y)dt,

-у h-y д С / ~ x)-X2u+(t, y)dt, cj(ж), ф{х), ~ заданные достаточно гладкие функции, 0 < Лг- < 1, г = 1,2.

Задача Дг для случаев (I), (II) уравнения (3) исследована следующим образом. Используя решения и-(х,у) и и+(х,у) вспомогательных задач Гурса в областях G- и G+ с данными (4),

0,0) =¥>(у), У е [О, Л], (7) 5 и (5), (7) соответственно, найдены выражения для функций lim V-(x,y) х—*—0 и lim v+(x, у). Принимая во внимание условие сопряжения (6), получаем х—>+0 выражение для функции (р(у) следующего вида: где функция д(у) G С[0, h] и зависит только от краевых функций ш(х) и ф{х). Используя выражение (8) и решения и^(х,у) и и+(х,у) вспомогательных задач Гурса, получаем решение поставленной задачи в явном виде. Доказаны следующие утверждения.

Теорема 1. Если функции ш(х) Е Сг1[—Л-,0], ф{х) Е Сх[0,/г], а(х,у) € C(G), ах(х,у) е C{G), q(y) € С[0, h] + (h- y)x* ф 0, то существует едипствсппое решение задачи Д2 для случая (I) уравнения (3).

Теорема 2. Если функции и{х) € C1[—h, 0] f| С2(-/г; 0), ш"{х) в L[~h, 0], q(y) е С[0, h] П Сг{0, h), q{y)yА' + (h - у)х* ф 0, ф(х) е С1 [0, Л], то существует единственное решение задачи Д2 случая (II) уравнения (3).

В п. 1.3 - п. 1.5 решается краевая задача для случаев (III) - (V) уравнения (3) в следующей постановке. Задача Д2. Найти функцию и(х, у) со следующими свойствами:

1) и(х,у) € C{G)f\Cl(G), иху 6 C(G);

2) Lu = 0 на множестве G;

3) и(х,у) удовлетворяет краевым условиям (4) и (5);

4) и(х,у) подчиняется условию сопряоюения: где limji-(x,y) = т(у) • lim и+(х,у), у е (0,h), г—*—0 х—»+0 х

-у h-y д С fi+(x,y) = — J (t-x)-x4r*u+(t,y)dt, х uj{x), ф{х), m(y) - заданные достаточно гладкие функции, 0 < Xi < 1, Лг- < г if г — 1,2.

Задача Д2 для указанных случаев уравнения (3) исследована следующим образом. Используя решения и-(х,у) и и+(х,у) вспомогательных задач Гурса в областях G- и G+ с данными (4), (7) и (5), (7) соответственно, найдены представления для функций lim /л^(х,у) и lim fi+(x, у). Используя х—»-0 х~<•+0 полученные выражения, доказан характеристический принцип локального б экстремума. Приведем формулировку принципа для случая (III) уравнения (3).

Лемма 1. Пусть: 1) функция и(х,у) G C{G-) и является решением уравнения (III) в области G-; 2) u(x,h) = ы{х) = 0; 3) Ь'у(х,у) < 0 в

G-. Тогда, если и(0,у) = <р(у) достигает наибольшего положительного (наименьшего отрицательного) значения в точке £ : 0 < £ < h, то lim < 0(> 0). х—►—0

Доказательство единственности решения задачи Д2 для случаев (III), (IV) и (V) уравнения (3) проведено на основании установленных характеристических принципов локального экстремума. Вопрос существования решения эквивалентно редуцируется к вопросу разрешимости уравнения Фредгольма II рода относительно функции <р'{у) с непрерывным в целом ядром, а именно, с ядром, имеющим одну линию конечного разрывав = у. Разрешимость полученного уравнения следует из теоремы единственности решения задачи Д2. Для каждого из указанных случаев уравнения (3) сформулированы и доказаны теоремы существования и единственности решения задачи Д2. Приведем, например, теорему для случая (IV).

Теорема 3. Если функции си(х) £ С1{— h, 0], ф(х) е О1 [0, /г], i}j{h) — 0, т(у) £ С1 [0, h], т(у) > 0 для любого у G [0, h], r\ — Ai — а > 1, 1*2 — А2 ^ 1, то существует единственное решение задачи Дг для случая (IV) уравнения (3). Во второй главе рассматривается краевая задача для уравнения

Q | Uxx + иуу - А и, если у > 0, . .

1 иху 4- А и, если у < 0, А > 0, на множестве D = D- \JD+, где D+ - односвязная область, ограниченная простой кривой Жордана Г, лежащей в полуплоскости у > 0 с концами в точках Л(0,0), £?(1,0), и отрезком АВ\ D = {(ж,у)|0 < х < 1,— х < у < о}.

В п. 2.1 приводятся постановка задачи V и вспомогательные утверждения.

Задача V. Найти функцию и(х, у) со следующими свойствами:

1) и(х,у) е C(D)f)C\D)r)C2(D+), иху Е C(£L);

2) и{х,у) - решение уравнения (9) в областях и D+;

3) и(х, у) удовлетворяет краевым условиям: и\Г = ф), *€[0Д (10)

I - длина кривой Г, s - длина дуги кривой Г, отсчитываемая от точки

В, и(х, -х) = f{x), X е [0,1]; 7

4) и{х,у) подчиняется условию сопряжения: lim иу{х,у) = b{x) • Н-(х), х € (0,1), у->+о где у

Я(ге) = J {у- t)-p{-t)5u(x,t)dt, О < р < 1, р < 6, X b(x), <p(s), f(x) - заданные достаточно гладкие функции.

П. 2.2 содержит доказательство теоремы единственности решения задачи V. Доказательство проведено с применением рассмотренного в этом же пункте характеристического принципа локального экстремума.

В п. 2.3 рассмотрена задача Хольмгрена для уравнения (9) в области D+. В п. 2.4 доказывается существование решения задачи У в случае, когда D+ ограничена кривой Г = Го : у = — х). Вопрос существования решения задачи V эквивалентно сводится к вопросу разрешимости интегрального уравнения Фредгольма II рода, имеющего вид 1 т'(х) = J r'(s)K(x, s)ds + Q(x), о где т(х) = и(х, 0), ядро К(х, s) имеет слабую особенность наs = х и х = 1, свободный член Q{x) € С(0,1) f^|Z/[0,1]. В силу теоремы единственности решения задачи V и альтернативы Фредгольма полученное интегральное уравнение разрешимо и притом единственным образом. Доказано следующее утверждение.

Теорема 4. Пусть: 1) функция <р{х) G С[0,1] и удовлетворяет условию Гельдера с показателем a € [1/2,1] в достаточно малой окрестности точек х = 0 их = 1; 2) функции f{x) е С[0,1] П^Ч0* 1), f'(x) € L[ 0,1]; 3) Г = Г0 : у = у/х(\-х)у х € [0,1]; 4) Ь(х) = -1, 0 < А < In 2, р < 6 < 2 + р.

Тогда существует единственное решение задачи V. В третьей главе рассматривается аналог задачи Трикоми для уравнения Лаврентьева - Бицадзе с вещественным параметром

Uxx + sgny • иуу — Aw = 0, Л > 0, (11) в области Е, ограниченной простой кривой Жордана Г, лежащей в полуплоскости у > 0, с концами ^4(0,0), В( 1,0), и отрезками характеристик АС и ВС уравнения (11) при у < 0. Части области Е, в которых у > 0 и у < 0, обозначим соответственно через Е+ и Е-.

С.П. Пулькиным в работе [42] в качестве частного случая уравнения Лаврентьева - Бицадзе общего вида было рассмотрено уравнение ихх + sgny • иуу + с(х, у)и = 0, (с(х, у) < 0 при у > 0), 8 для которого доказана однозначная разрешимость задачи Трикоми при малом с(х, у). В.И. Жегаловым [19] была получена теорема единственности решения задачи Трикоми для уравнения (11) при А > 0. Там же и была показана идея сведения этой задачи к задаче Трикоми для уравнения (2).

Ряд работ Е.И. Моисеева посвящен исследованию краевых задач для уравнений смешанного типа со спектральным параметром. В монографии Е.И. Моисеева [33] получена теорема единственности решения задачи Трикоми для уравнения (11), когда А - комплексный параметр. Существование решения доказано методом разделения переменных. В статье [34] приведено решение задачи Трикоми для уравнения (11) при А € С в специальных областях.

Ряд работ К.Б. Сабитова и его учеников посвящен исследованию краевых задач для уравнения (11) (в случае, когда А - произвольное комплексное число). В работе К.Б. Сабитова [44] для уравнения (11), когда А е С, получена теорема единственности решения задачи Трикоми. В работах [45], [46] для уравнения Лаврентьева - Бицадзе с числовым параметром рассматриваются задачи в области гиперболичности, изучаются вопросы корректности постановок. В статье К.Б. Сабитова, Н.Г. Шмелевой [47] при более слабых граничных условиях, чем в [19], доказаны существование и единственность решения задачи Трикоми для уравнения (11) при А £ С. Там же доказана обратимость интегрального представления решений указанного уравнения.

В работе М.Е. Лернера и О.А. Репина [29] для уравнения (2) исследуется краевая задача в областях с бесконечными многосвязными подобластями гиперболичности. Далее в этой работе в указанных областях исследуется краевая задача для общего уравнения Лаврентьева - Бицадзе

Uxx + sgnxuyy + Л(х, у)их + В(х, у)иу + С(х, у)и = 0.

Отметим также интересные результаты по исследованию одного класса краевых задач для уравнения Лаврентьева - Бицадзе, опубликованные в работе М.Е. Лернера [28].

В данной главе рассматривается аналог задачи Трикоми для уравнения (11) с условием сопряжения, отличающимся от условий склейки в перечисленных работах, а именно, с условием сопряжения производной по нормали из области эллиптичности с дробной производной из области гиперболичности. Приведем постановку задачи.

Задача Т. Найти функцию и(х, у) со следующими свойствами:

1) и(х, у) е С(Ё) П С2(Е- и Е+);

2) и(х,у) решение уравнения (11) в областях Е- и Е+;

3) и(х,у) удовлетворяет краевым условиям (10) и и(х, -х) = в(х), х е [0,1/2];

4) и(х,у) подчиняется условию сопряжения: 9 lim uy(x,y) = a(x) • v~(x), x € (0,1), y-»+o где v-{x) в характеристических координатах £ = x + y,r) = x — у имеет вид

О л

1/-(0= lim — ^-t)^u(t,V)dt, 0< р<1, о s), а(:с) - заданные достаточно гладкие функции.

Доказательство единственности решения задачиТ основывается на принципе локального экстремума. Указано достаточное условие на параметр Л уравнения (11), при котором справедлив принцип локального экстремума.

Вопрос существования решения задачи Т рассмотрен в случае, когда Е+ ограничена кривой Г = Г0 : у = л/х( 1 — х), он эквивалентно сводится к разрешимости интегрального уравнения Фредгольма II рода с ядром со слабой особенностью. В силу теоремы единственности решения задачи Т полученное интегральное уравнение разрешимо и притом единственным образом. Справедливо следующее утверждение.

Теорема 5. Пусть: 1) функция ср(х) Е С[0,1] и удовлетворяет условию Гельдера с показателем а 6 [1/2,1] в достаточно малой окрестности точек х = 0 и х = 1; 2) Г = Го : у = \/а;(1 — х), х € [0,1]; 3) функции в(х) € С[0,1/2] П С2{0,1/2), в\х) € L[0,1/2]; 4) а{х) = 1, 0 < Л < —4 In р, 0 < р < 1.

Тогда существует единственное решение задачи Т.

Таким образом, автором на защиту выносятся следующие основные результаты, которые являются новыми.

1. Решение краевой задачи с условием сопряжения с дробными производными для случаев (I), (II) уравнения (3).

2. Доказательство характеристических принципов локального экстремума для случаев (III), (IV) и (V) уравнения (3).

2. Доказательство теорем существования и единственности решения краевой задачи со специальным условием сопряжения на характеристике для случаев (III), (IV) и (V) уравнения (3).

3. Доказательство теоремы существования и единственности решения краевой задачи для уравнения смешанного типа с характеристической линией изменения типа.

4. Доказательство теоремы существования и единственности решения аналога задачи Трикоми со специальным условием сопряжения для уравнения Лаврентьева - Бицадзе с вещественным параметром.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [63] - [74]. В работах [63], [65], [70], [72] соавтору В.Ф. Волкодавову принадлежат постановки задач. В работе [74] автору диссертации принадлежат исследования ю по краевой задаче для гиперболического уравнения в нижней полуплоскости. В работе [66] соавторам В.Ф. Волкодавову, O.K. Быстровой принадлежит постановка задачи.

Результаты диссертационной работы докладывались автором и обсуждались:

- на областном семинаре по дифференциальным уравнениям под руководством доктора физико-математических наук, профессора В.Ф. Волко-давова (г. Самара, СамГПУ, 2000 - 2004 гг.);

- на V международной летней школе-конференции "Теория функций, ее приложения и смежные вопросы"(г. Казань, 27 июня - 4 июля 2001 г.);

- на международной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения"(г. Самара, СамГАСА, 26 - 31 мая 2002 г.);

- на научных семинарах кафедры математического анализа, кафедры прикладной математики и механики и кафедры теоретической физики физико-математического факультета СГПА (г. Стерлитамак, 2004 - 2005 гг.);

-на научном семинаре Института механики УНЦ РАН (г. Уфа, 2005 год).

В заключение выражаю глубокую благодарность моему научному руководителю Виктору Филипповичу Волкодавову за предложенную тему, постоянную помощь и внимание к работе и доктору физико - математических наук, профессору Камилю Басировичу Сабитову за ценные замечания. и

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Плотникова, Юлия Александровна, 2004 год

1. Андреев А.А., Волкодавов В.Ф. О двух краевых задачах для одного гиперболического уравнения j j Волжский математический сборник. -1973. - Вып. 23. - С. 102 - 111.

2. Бабенко К. И. К теории уравнений смешанного типа. Дисс. . д-ра физ.-мат. наук. Москва: АН СССР, 1951.

3. Бабенко К. И. К теории уравнений смешанного типа // Успехи математических наук. 1953. - Т.8, №■ 2 (54). - С. 160.

4. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Гипергеометрическая функция. Функция Лежандра. М.: Наука, 1973. - Т.1 -296 с.

5. Берс Л. Математические вопросы дозвуковой и околозвуковой газовой динамики М.: ИЛ, 1961. - 208 с.

6. Бицадзе А.В. К теории одного класса уравнений смешанного типа // Некоторые проблемы математики и механики. М.: Наука, 1970.С. 112 119.

7. Бицадзе А.В. Уравнения смешанного типа. М.: АН СССР, 1959. - 164 с.

8. Бицадзе А.В., Самарский А.А. О некоторых простейших обобщениях линейных эллиптических краевых задач // ДАН СССР. 1969. - Т. 185, № 4. - С. 739 - 740.

9. Вагапов В.З. Задачи Ai, Д2 для уравнений Эйлера-Дарбу в прямоугольных ограниченных областях // Классические и неклассические задачи для дифференциальных уравнений. Куйбышев: КГПИ, 1989. - С. 118 - 126.

10. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1988. - 512 с.

11. Волкодавов В.Ф., Захаров В.Н. Таблицы функций Римана и Римана-Адамара для некоторых дифференциальных уравнений в n-мерных евклидовых пространствах. Самара: Самар. пед. ин-т, 1994. - 31 с.

12. Волкодавов В.Ф., Куликова Н.А. Задача Д2 для уравнения гиперболического типа с сопряжением пределов производных дробного порядка // Дифференциальные уравнения. 2003. - Т. 39, №■ 12. - С. 1704 - 1707.

13. Волкодавов В.Ф., Наумов О.Ю. Задача Трикоми для уравнения Лаврентьева-Бицадзе с пределами производной по нормали и дробной производной по линии параболичности // Тр. Матем. центра имениН.И.Лобачевского/Казань: "Унипресс". 2001. - Т.11 - С. 44 - 48.108

14. Волкодавов В.Ф., Наумов О. Ю. Для уравнения смешанного типа задача Т с сопряжением специального вида // Неклассические уравнения математической физики. Новосибирск: издательство Инст. матем. - 2002. -С. 41 - 49.

15. Волкодавов В.Ф., Николаев Н.Я. Краевые задачи для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу: Учеб. пособие к спецкурсу "Уравнения математической физики". Куйбышев: КГПИ, 1984. - 80 с.

16. Волкодавов В. Ф., Николаев Н.Я. Интегральные уравнения Вольтерра первого рода с некоторыми специальными функциями в ядрах и их приложения. Самара: Изд-во "Самарский университет", 1992. - 100 с.

17. Жегалов В.И. Краевая задача для уравнения смешанного типа с граничными условиями на обеих характеристиках и с разрывами на переходной линии // Ученые записки. Казань, 1962. - Т. 122, N° 3.С. 3- 16.

18. Жегалов В.И. Об одном случае задачи Трикоми // Тр. семинара по краевым задачам. Казань: изд-во Казанского У-та, 1966. - Вып. 3. -С. 28 - 36.

19. Зайиуллина Г.Н. Задача для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу в классе неограниченных функций // Изв. ВУЗов. Матем. 2003.3. С. 15 - 19.

20. Зайцев В.Ф., Полянин А. Д. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Физматлит, 2001. - 576 с.

21. Каратопраклиев Г.Д. Об одном обобщении задачи Трикоми // ДАН СССР. 1964. -Т. 158, №■ 2. - С. 271 - 274.

22. Кошляков Н.С., Глинер Э.В., Смирнов М.М. Основные дифференциальные уравнения математической физики. М.: ГИФ-МЛ, 1962. - 768 с.

23. Крикунов Ю.М. Краевые задачи для модельных уравнений смешанного типа. Казань: Издательство Казанского Университета, 1986. -148 с.

24. Кудрявцев Л.Д. Краткий курс математического анализа. М.: Физматлит, 2002. -Т.2 - 424 с.

25. Лаврентьев М.А., Бицадзе А.В. К проблеме уравнений смешанного типа // ДАН СССР. 1950. - Т. 70, №■ 3. - С. 373 - 376.

26. Лазаренко Л.А. Задача с ее обобщениями // Краевые задачи для дифференциальных уравнений с частными производными. Куйбышев: КГПИ, 1988. - С. 106 - 113.

27. Лернер М.Е. О постановке и разрешимости одного класса краевых задач для уравнения Лаврентьева Бицадзе // ДАН СССР. -1991. - Т. 317, № 3. - С. 361 - 365.

28. Лернер М.Е., Репин О.А. Краевая задача для уравнений смешанного типа в областях с многосвязными подобластями гиперболичности // Сибирский математический журнал. 2003. - Т. 44, N2 1. - С. 160 - 177.

29. Люк Ю. Специальные математические функции и их аппроксимации. -М.: Мир, 1980. 608 с.

30. Матвеев Н.М. Дифференциальные уравнения. Минск: Вышэйшая школа, 1968. - 347 с.

31. Михлип С.Г. Лекции по линейным интегральным уравнениям.- М.: Физматгиз, 1959. 232 с.

32. Моисеев Е.И. Уравнения смешанного типа со спектральным параметром. М: изд-во Моск. У-та, 1988. - 150 с.

33. Моисеев Е.И. Решение задачи Трикоми в специальных областях // Дифференциальные уравнения. 1990. - Т. 26, №-1. - С. 93 - 103.

34. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. СПб: Лань, 1999. - 560 с.

35. Нахушев A.M. Новая краевая задача для одного вырождающегося гиперболического уравнения // ДАН СССР. 1969. - Т. 187, №■ 4. - С. 736 - 739.

36. Нахушев A.M. О некоторых краевых задачах для гиперболических уравнений и уравнений смешанного типа // Дифференциальные уравнения. 1969. - Т. 5, N- 1. - С. 44 - 59.

37. Николаев Н.Я. Задача Д£ для уравнения Эйлера-Дарбу с параметрами разных знаков в рассматриваемой области // Дифференциальные уравнения с частными производными. Куйбышев: КГПИ, 1983. - С. 8 - 12.

38. Петровский И.Г. Лекции об уравнениях с частными производными. -М.-.Физматгиз, 1961. 400 с.

39. Привалов И.И. Интегральные уравнения. М.: Гостехиздат, 1937. -248 с.

40. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Специальные функции. М.: Наука, 1983. - 752 с.

41. Пулькин С. П. Задача Трикоми для общего уравнения Лаврентьева-Бицадзе // ДАН СССР. 1958. - Т. 118, №■ 1. - С. 38 - 41.

42. Родионова И.Н. Дг-задача для обобщенного уравнения Эйлера-Дарбу в правой полуплоскости // Классические и неклассические задачи для дифференциальных уравнений Куйбышев: КГПИ, 1989. - С. 135 - 138.

43. Сабитов К. Б. О задаче Трикоми для уравнения Лаврентьева Бицадзе со спектральным параметром // Дифференциальные уравнения. - 1986. -Т.22, №■ 11. - С. 1977 - 1984.

44. Сабитов К.Б. Построение в явном виде решений задач Дарбу для телеграфного уравнения и их применение при обращений интегральных уравнений // Дифференциальные уравнения. 1990. - N° 6.С. 1023 1033.

45. Сабитов К.Б., Ильясов P.P. О некорректности краевых задач для одного класса гиперболических уравнений // Изв. ВУЗов. Математика -2001. -№-Ъ.- С. 59 63.

46. Сабитов К.Б., Шмелева Н.Г. Краевые задачи для уравнения Лаврентьева-Бицадзе с комплексным параметром // Изв. ВУЗов. Математика 2003. -№-?>.- С. 49 - 58.

47. Смирнов М.М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения. М.: Наука, 1966.

48. Смирнов М.М. Краевая задача со смещением для уравнения смешанно-составного типа 4-ого порядка // Дифференциальные уравнения. -1975. Т. 11, №■ 9. - С. 1678 - 1686.

49. Смирнов М.М. Краевая задача для уравнения смешанного типа 2-ого рода со смещением // Дифференциальные уравнения. 1977. - Т. 13, №■ 5. - С. 931 - 943.

50. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. Л.: ЛГУ, 1956.

51. Соболев С.Л. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1992. -431 с.

52. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. -М.: Наука, 1977. 735 с.

53. Трикоми Ф. О линейных уравнениях в частных производных второго порядка смешанного типа. М.-Л.: Гостехиздат, 1947. - 132 с.

54. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. СПб.: Лань, 1997. -Т. 2. - 800 с.

55. Франкль Ф.И. Избранные труды по газовой динамике. М.: Наука, 1973. - 712 с.

56. Франкль Ф.И. Об исследованиях Леонарда Эйлера в области уравнений с частными производными // Историко-математические исследования. 1954. - Вып. 7. - С. 596 - 624.

57. Франкль Ф.И. Обобщение задачи Трикоми и его применение к решению прямой задачи теории сопла Л аваля // Матем. сб. -1961. Т. 54 (96), N-2. - С. 225 - 236.

58. Франкль Ф.И. О задачах С.А. Чаплыгина для смешанных до- и сверхзвуковых течений // Изв. АН СССР. 1945. - Т.9, №-2. - С. 121 - 142.

59. Хайруллин Р. С. Краевые задачи для модельных дифференциальных уравнений с сильным вырождением внутри области. Дисс. . канд. физмат. наук. Казань, 1986.

60. Gellerstedt S. Sur un probleme aux limites pour une equation lineaire aux derivees partielles du second ordre de mixte. These, Upsala, 1935.

61. Gellerstedt S. Sur un probleme aux limits pour l'equation y2s • zxx -zyy = 0 // Arkiv f.M.A.O.F. 1936. - 25A.10.Работы автора по теме диссертации

62. Волкодавов В.Ф., Илюшина Ю.А. Для частного вида уравнения Эйлера-Дарбу задача с заданием искомого решения на характеристических сторонах параллелограмма // 54-ая науч. конф. СамГПУ: Тез. докл. Самара, 2000. - 4.1 - С. 21 - 26.

63. Илюшина Ю.А. Для одного уравнения гиперболического типа задача Д2 в параллелограмме // 54-ая науч. конф. СамГПУ: Тез. докл. Самара, 2000. - 4.1 - С. 57 - 61.

64. Илюшина Ю.А. Задача А2 для одного уравнения гиперболического типа с непрерывным коэффициентом // Труды Матем. центра имени Н.И.Лобачевского/Казань: ДАС, 2001. С. 114 - 115.

65. Илюшина Ю.А. Задача А2 для двух частных случаев уравнения гиперболического типа общего вида с постоянными коэффициентами // 55-ая науч. конф. СамГПУ: Тез. докл. Самара, 2001. - С. 45 - 48.

66. Илюшина Ю.А. Задача А2 со специальным условием сопряжения на характеристике уравнения гиперболического типа // Труды Матем. центра им. Н.И.Лобачевского/Казань: Унипресс. 2001. - Т. 11 - С. 142 - 145.

67. Волкодавов В.Ф., Илюшина Ю.А. Характеристический принцип локального экстремума для одного уравнения гиперболического типа и его применение // Изв. ВУЗов. Математика 2002. -№-4.- С. 13 - 17.

68. Илюшина Ю.А. Единственность решения задачи Т' для одного уравнения смешанного типа // Дифференциальные уравнения и их приложения. Тр. междунар. науч. конф. 26 31 мая 2002 г. - Самара: СамГАСА, 2002. - С. 152 - 155.

69. Волкодавов В.Ф., Илюшина Ю.А. Для уравнения смешанного типа единственность решения задачи Т с сопряжением производной по нормали с дробной производной // Изв. ВУЗов. Математика 2003. -N- 9. -С. 6 - 9.