Задачи со свободными границами с учетом поверхностных и расклинивающих сил тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, доктор физико-математических наук Щербаков, Евгений Александрович

• Щербаков, Евгений Александрович
• доктор физико-математических наук
• 2002

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Щербаков, Евгений Александрович

Введение.

Глава 1. Существование обобщенного решения в задачах о кавитационном обтекании. Плоский и осесимметрический случаи.

§ 1. Краевая задача для кавитационного обтекания с учётом поверхностных сил.

§ 2. Вариационный принцип для осесимметрического • кавитационного течения.

§ 3. G - симметризация и её свойства. Существование экстремальных элементов.

§ 4. Необходимое условие существования экстремума вариационной задачи.

§ 5. Априорная оценка производной *PZ решения вариационной задачи.

§ 6. Обобщённое краевое условие в задаче об осесимметрическом кавитационном обтекании.

§ 7. Плоское течение в невесомости.

§ 8. Плоское кавитационное течение в поле гравитационных сил с учётом поверхностных сил (существование обобщённого решения).

Глава 2. Аналитичность свободной границы.

§1. Априорная оценка градиента функции тока в осесимметрическом случае.

§ 2. Бесконечная дифференцируемость свободной d границы.

§ 3. Плоские кавитационные течения.

Аналитичность границ.

§ 4. Аналитичность границы.

Осесимметрический случай.

Глава 3. Зависимость вариационного решения от данных задачи.

§1. Поведение свободной границы в концевых точках.

§ 2. Единственность вариационного решения задачи о кавитационном обтекании с учётом сил поверхностного натяжения.

§ 3. Зависимость решения вариационной задачи от параметров течения.

Глава 4. Кавитационное течение с учётом расклинивающих сил

§ 1. Постановка задачи. Физическая и математическая модели.

§ 2. Вариационная задача. Построение функционала гауссовой кривизны.

§ 3. Минимизирующие последовательности вариационной задачи.

§ 4. Существование решения вариационной задачи.

§ 5. Необходимое условие существования решения вариационной задачи.

§ 6. Конформные отображения, граничные оценки для | VT |.

§ 7. Обобщённое краевое условие.

§ 8. Аналитичность свободной границы.

§ 9. Единственность решения вариационной задачи со свободной поверхностью с учётом расклинивающих сил. Зависимость решения от параметров задачи.

§ 10 Квазиконформные отображения и задачи механики жидкости и газа.

Глава 5. Обобщённое условие Лапласа. 6 - минимальные поверхности. Вариационный принцип для 6 - минимальных поверхностей.

§ 1. Вариационные задачи и 6 - минимальные. поверхности

§ 2. Осесимметрические 6 - минимальные поверхности.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Задачи со свободными границами с учетом поверхностных и расклинивающих сил»

Теория краевых задач со свободными границами возникла в связи с многочисленными применениями в технике: смазка подшипников, изучение режимов водного баланса в водохранилищах, проблемы снижения силы сопротивления при движении тел в сплошных средах, изучение кавитационных эффектов, возникающих при движении аппаратов на подводных крыльях. Список таких проблем можно было бы продолжать неограниченно. Имеется большое количество научных работ, посвященных исследованию такого рода задач. Некоторые из них указаны в списке литературы, приводимом в диссертации.

Данная диссертационная работа посвящена в основном исследованию кавитационных безвихревых течений идеальной несжимаемой жидкости с учётом поверхностных сил. При этом нами изучаются в основном осесимметрические течения, в которых учитываются силы, действующие либо на поверхности, разделяющей жидкую и газообразную фазы в том случае, когда толщина слоя промежуточной фазы не учитывается, либо в промежуточном слое при учёте толщины последнего. Кроме того, нами изучаются экстремальные проблемы, связанные с обобщением условия Лапласа, определяющего равновесные капиллярные поверхности.

Несмотря на то, что математические модели, соответствующие течениям жидкости с учётом поверхностных сил известны уже давно, изучались в основном плоские задачи с применением теории конформных отображений. Кажущееся естественным обобщение такого подхода на осесимметрические течения осложняется трудностями, связанными с необходимостью изучения общих квазиконформных отображений. Это объясняется тем, что система уравнений осесимметрического безвихревого движения идеальной несжимаемой жидкости является вырождающейся на оси симметрии, что приводит к тому, что инъективные решения такой системы не являются К-квазиконформными.

Избранный метод исследования является вариационным и в нём мы следуем по пути, намеченному в работах П. Гарабедяна, Г. Леви, Д. Спенсера и М. Шиффера (см. [16], [17]). В этом методе используется симметризация функций и поверхностей, восходящие к работам Г. Сегё, Г. Полиа ( [71] ).Так как при исследовании новых краевых задач этим методом мы вводим новые функционалы, при этом не все из них являются выпуклыми, то возникает необходимость дальнейшего развития и симметризационных методов и самого вариационного метода.

Возможности предлагаемого нами метода исследования, являющегося развитием упомянутого метода, в наибольшей степени проявляются при исследовании осесиммметрических кавитационных течений, в которых учитывается толщина слоя, разделяющего жидкую и газообразную фазы. При этом принимаются во внимание силы, действующие на различных молекулярных уровнях, они получили в научной литературе название расклинивающих сил. Одним из ключевых моментов в изучении таких потоков вариационным методом является вывод общего вида функционала, чья вариация приводит к появлению гауссовой кривизны на неизвестной заранее поверхности, представляющей собой границу каверны в кавитационном течении. Анализ необходимого условия экстремальности допустимого элемента вариационной задачи, соответствующей модели, в которой не учитывается промежуточная фаза, приводит к обыкновенному дифференциальному уравнению второго порядка, решение которого определяет вид упомянутого функционала. Насколько нам известно, исследования такого рода моделей были предприняты впервые. То же самое может быть сказано и об исследовании математической модели осесимметрического кавитационного течения с учётом лишь поверхностного натяжения, несмотря на то, что его физическая модель, как уже было сказано, является классической и хорошо известной.

Заметим, наконец, что возможности метода простираются за пределы проблем гидродинамики. Он позволяет проводить исследования обобщенных минимальных поверхностей, вообще говоря не осесимметрических. Эти поверхности определяются нами как поверхности, у которых линейная комбинация средней и гауссовой кривизны равна нулю (либо произвольной неотрицательной константе в более общем случае). Такого рода поверхности могут быть получены с помощью нормальных смещений минимальных поверхностей. Их иногда называют поверхностями Вейнгартена.

В общих чертах мы уже описали предмет наших исследований. Опишем его более подробно освещением содержащихся в работе результатов. Они изложены в пяти главах диссертации.

Первая глава, состоящая из восьми параграфов, посвящена доказательству теоремы существования обобщённых решений краевых задач для кавитационных осесимметрических течений с учётом сил поверхностного натяжения и без учёта толщины промежуточного слоя, разделяющего жидкую и газообразную фазы.

Пусть В0 - тело, полученное вращением области В, лежащей в полуплоскости Е+ = {(х,у)|у>0} плоскости (х,у), вокруг оси симметрии Ох. Будем предполагать границу области В составленной из отрезка {х : |х|<1} , оси симметрии у=0 , монотонной дуги 8+, заданной уравнением у = у+(х), хе]к,1[, у+(1) = 0, у+(к) = Ь (0.1) для некоторого к, 0< к <1 , дуги 8~- зеркального отображения 8+ относительно оси ординат, и горизонтального отрезка {|х|<к} прямой {(х,у) | у=Ь = у+ (к)}.

Рассматривается следующая математическая модель об осесимметрическом кавитационном течении около тела В0. Найти область В, ограниченную осью симметрии {у = О}, дугами и свободной границей, кривой £, лежащей в полосе {(х,у)| -к<х<к , у>к}с концами в точках (±к,Ь) , а также функцию тока Ч/=Ч/(х,у), - такие что в меридиональном сечении

Б"1" =Е+ \В области течения, лежащем в верхней полуплоскости, и на его границе, выполнялись бы условия у-ХУх )+(>--%)= 0, (х,у)еП+

0, (х,у) едБ+ с \ = Л, (х,у) е £0

1 + Х'к V

-> 2 2 У

0.2) (0.3)

0.4)

0=£ \

2 „,.2 Г ^ \

Уау

2 (х2+уг) 27 2.3/2 + « х,у)-> СО (0.5)

Здесь к - средняя кривизна поверхности Б, образованной вращением £ вокруг оси Ох. Знаки главных кривизн плоских сечений определяются с помощью внутренней по отношению к области нормали.

Пусть, например, к=к(х) кривизна £ в точке (х,>>(*)). Тогда к(х)>0, если £ выпукла в сторону кавитационной полости ¡¥=В\В (вогнута в сторону жидкости) и &(х)<0, если £ вогнута в сторону кавитационной полости, выпукла в сторону жидкости. Такой выбор кривизны определяется условием равновесия на свободной поверхности, следующим из уравнений Бернулли.

Через А->0 в условии (0.4) обозначены постоянные, характеризующие поверхностные силы и давление внутри каверны .

Разложение (0.5), в котором а определяется решением Ч*, показывает, что поток на бесконечности имеет единичную скорость и является одномерным.

Аналогично предыдущему в первом параграфе формулируются задачи о кавитационном обтекании в плоском случае. При этом мы рассматриваем задачи как в невесомости так и в гравитационном поле.

В параграфе 2 определяются вариационные задачи, с помощью которых нами впоследствии будут найдены обобщённые решения краевых задач, соответствующих упомянутым кавитационным течениям. Здесь формулируется вариационная задача, соответствующая краевой задаче (0.2)-(0.5).

С этой целью вводится в рассмотрение функционал

1(ЧЛ,1)=М+( 1-2Л)-У+Х'Я (0.6) в котором 2яМ и 2зтУ присоединённая масса и объём тела, полученного вращением области BUW вокруг оси симметрии. При этом предполагается, что кривая И является спрямляемой, в таком случае корректно определяется площадь поверхности вращения, разделяющей жидкую и газообразную фазы, характеризуемая функционалом Я.

В том случае, когда спрямляемая кривая задана, значения функционала Ь однозначно определяются решением задачи Дирихле (0.2), (0.3), (0.5).

Областью определения функционала /,=£(Ч/,И), будет считаться совокупность пар(^/,Е), обладающих следующими свойствами: £-спрямляемая жорданова кривая, расположенная в полосе {(х,у): -к<х<к, концы которой находятся на ее границе, функция - функция тока в области /)+, образованной меридиональным сечением В и кривой Е, удовлетворяющая условиям (0.3), (0.5), а также условию хр у! е

Здесь Г; (в) - пространство функций, обладающих обобщенными производными первого порядка, интегрируемыми с квадратом по области О

Вариационная задача V,: Найти ш^ЦЧМ) нижнюю грань значений функционала Ьна множестве

При решении вариационной задачи У,нами используется метод симметризации функций и областей. В параграфе 3 описана в-симметризация функций и областей и изучается поведение функционала £ при С-симметризации. Обозначив через Е* - Ссимметризацию области С£>, а через 5"* - площадь поверхности, полученной вращением границы области Е*вокруг оси Ох, получаем, что Б* <Б .

На основании этого результата и известных результатов о поведении виртуальной массы при в -симметризации доказывается теорема о существовании экстремального элемент (хРэ,Еэ) проблемы У1 такого, что ¿(Ч^в котором Еэ является симметричной относительно оси у кривой, являющейся графиком функции у=у(х), |х|<Аг, убывающей при х > 0 . Для производных первого порядка функции в области Б здесь получаются чрезвычайно важные для дальнейшего неравенства

В параграфе 4 первой главы выводится необходимое условие экстремума в вариационной задаче . Для точного вывода необходимого условия существования экстремума в вариационной задаче V, мы используется метод внутренних вариаций, развитый в цитированных ранее работах [16], [17]. При этом в круговой окрестности К2=В(г0,г2) граничной точки го свободная граница вариируется с помощью преобразования г*=х+еГ(г,г),£&С, \ е |>0, 1т£>Р=0,геС, в котором функция , непрерывна в комплексной плоскости

С и обладает обобщенными производными первого порядка по ъ и 1 из пространства IV (К2) функций, имеющих обобщенные производные первого порядка, принадлежащие Ь°°(К2). Ясно, что при достаточно малом |е| преобразование г*: С—»С является топологическим. При этом необходимое условие существования экстремума имеет следующий вид

Ят^- яо^

П К2 п Кг дг

ЖГ\К2

-4 . дг. зтМ,- Л

X | У\ \dz-Z I —^=0 дг дг

0.7)

В параграфе 5 мы получаем априорную оценку для функции , заключающуюся в том, что квадрат этой функции имеет в определённом смысле граничные значения. Обозначая через область, ограниченную дугой окружности радиуса е с центром в граничной точке г0 и свободной границей мы доказываем, что существует функция

Ч** (г), представляющая собой граничные значения по некасательным путям на ¿Ю^ , и число 8 > 0 такие, что какой бы ни была функция имеет место равенство Jч/*2F ¿¿г =limjч/г2F¿¿г , в до* котором дуги 1Г являются образами окружностей радиуса г при конформном отображении единичного круга на область Б* с£).

В параграфе 6 с помощью априорной оценки из параграфа 5 кривой с помощью модификации метода внутренних вариаций Шиффера доказывается, что функция удовлетворяет почти всюду на свободной границе краевому условию (0.4) в обобщённом смысле. Именно с помощью этой оценки, подбирая специальным образом функцию Р, нам удаётся представить (0.7) как условие существования обобщённой производной у функции ¿ = ¿(5), представляющей собой производную функции, определяющей параметризацию свободной границы. Этот результат приближает нас к получению нужной степени гладкости свободной границы. Основной результат в этом параграфе заключается в следующей теореме.

Теорема. Для любых наперёд заданных, X > 0 , % > 0 существует функция и спрямляемая кривая £, симметричная относительно оси Оу и являющаяся графиком функции у=у(х),\х\<к, убывающей при х>0, такие, что функция является решением уравнения (0.2) в области Б, соответствующей кривой £, 2

ХР-—еИ^СО) и удовлетворяет условиям (0.3), (0.5). Для всех точек ге£0 функция ¿=—, соответствующая естественному Б параметрическому представлению 2=2(5) кривой £, является локально абсолютно-непрерывной и почти всюду на £ выполняется краевое условие (0.4).

В параграфе 7 аналогично сказанному исследуется плоское кавитационное течение и доказывается теорема существования обобщенного решения её, являющегося решением вариационной задачи. Заметим здесь, что в дальнейшем будет доказана, что это решение является классическим, при этом условия на гладкость обтекаемого тела являются минимальными.

В параграфе 8 исследуется плоское кавитационное течение с учётом гравитационных сил и также доказывается теорема существования обобщенного решения её, являющегося решением соответствующей вариационной задачи.

Глава 2 диссертации посвящена исследованию гладкости свободной границы, Основным результатом в ней является доказательство аналитичности свободной границы. В ней развиваются идеи, заложенные в работе [17]. Отметим сразу, что в связи с наличием в граничном условии нелинейности, связанной с неизвестной поверхностью, этот метод претерпевает существенные изменения даже в плоском случае. В новой ситуации рассматриваемой нами требуются более сильные априорные оценки градиента функции тока, да и рассмотрение самих интегральных уравнений, используемых для доказательства аналитичности свободной границы, существенно усложняется из-за необходимости обращать оператор, связанный с кривизной.

Доказательство аналитичности свободной границы естественным образом разбивается на три части: сначала устанавливаются нужные априорные оценки для градиента функции ¥, затем на основании этих оценок устанавливается, что кривая £э является локально кривой Ляпунова и, исходя из обобщённого краевого условия, отражающего зависимость от поверхностного натяжения, устанавливается локальная бесконечная дифференцируемость для почти всех точек Е; на последнем этапе с помощью модифицированного метода Пикара последовательных приближений устанавливается локальная аналитичность кривой Е.

В первом параграфе второй главы устанавливается оценка для функции | УЧ'э |2. Здесь мы доказываем, что ¡УЧ^ принадлежит пространству 1г(сгд) ,сг^с^ссг0,а0 с=Е0, - гладкая дуга, содержащая точку а число у- произвольное число, принадлежащее отрезку

0,оо[. При получении указанной оценки для [УЧ^ мы пользовались различными подходами: в одном из них мы использовали гладкость свободной кривой, во втором, менее ограничительном используется монотонность в каждом квадранте функции, представляющей кривую X. При первом подходе мы пользовались априорными оценками для градиента Ч*, полученными на основании необходимого условия экстремальности пары (ч^,^). Основой второго подхода является оценка производной конформного отображения, улучшенная за счёт учёта упомянутой монотонности. При этом используется одна идея Зигмунда, использованная им при изучении сингулярных интегралов. Этим подходом автор обязан П.И. Плотникову. Обозначая через

2 : конформное отображение верхней полуплоскости на ту

часть области течения, которая находится в ней, а через

- производную этого отображения, получим, что для любого q, 0 < q < 2, найдутся постоянная С1 ( а , я ), зависящая лишь от д и а а, и число у'>0 такие, что ||ги,(м+/у)| du<Cx(a,q)i\/v,0<v<v .Этот а результат позволяет получить улучшенную оценку для ¡УЧ*] вида 0<у<я, в которой , |и-и0 <я} К

В параграфе 2 второй главы первой части на основании оценок для |УТ| устанавливается бесконечная дифференцируемость свободной границы. Здесь с помощью обобщённого краевого условия (0.5) сначала доказывается, что кривая £э0 является кривой класса С^, \/а,0<а<1. Затем, используя оценки Шаудера, получаем бесконечную дифференцируемость границы.

В параграфе 3 второй главы рассматривается плоское кавитационное течение. На основании обобщённого граничного условия на кривой Е здесь выводится интегральное уравнение для производной локального параметрического представления свободной кривой, имеющее вид =С0 ехр с 1

2ж х^

-ехрС

20

Г,2/(£)ех р С в котором и

1о&-ф-50 )1 -хк+уГЛз-Р^^ )

О-0

О-0

С помощью полученного интегрального уравнения в параграфе 3 главы 2 устанавливается, что решение вариационной задачи, являющееся обобщённым решением краевой задачи о плоском кавитационном обтекании в действительности является классическим решением этой задачи.

Аналогичным образом здесь рассматривается плоское течение в канале в присутствии поверхностных сил и с учётом гравитации. Здесь доказывается результат, аналогичный сформулированному, об аналитичности свободной границы.

В параграфе 4 второй главы доказывается аналитичность свободной границы в осесимметрическом случае. Здесь, как и в плоском случае, выводятся интегральные уравнения, с помощью которых устанавливается аналитичность кривой определяющей свободную поверхность. Доказывается, что функции

Н=Н-Х=X

1 х кл—

У. ¿=¿(5), являются решениями следующей системы интегральных уравнений

1 / V 1

А{М,20)1 = -^--Г I <¡2 (0.8)

2 7Г1

20 I

20

0.9) г)=—[ ¿+—2

• 21 2 у 2 у

0.10)

Здесь функция А (ъ, т.; С,, С, ) является функцией Римана для гиперболического (относительно независимых комплексных переменных уравнения д2хР

1 дЧ

-х 1 дг дг 2{г—г) дг 2{г—г) дг Функция А имеет явное представление в виде х- = 0

I — \2

1 ' {с-С) .2' 2" №-<;) л где Р-гипергеометрический ряд, а функция Р определяется выражениями

I г; г0 )>

А - — 0 2 к + У 2 Л я

Для исследования нелинейной системы (0.8)-(0.10) применяется модифицированный метод Пикара, в котором для вычисления последовательных приближений на каждом шаге приходится решать линейные интегральные уравнения. Результатом исследования является аналитичность кривой Еэ.

В главе 3 рассматриваются вопросы, связанные с изучением поведения свободной кривой в концевых точках, а также проблема единственности решения и зависимости его от параметров задачи, классические проблемы, возникающие при изучении кавитационных течений, с той лишь разницей, что они изучаются в не классической ситуации, определяемой нелинейностью краевого условия исходной задачи. Здесь мы получаем результаты, характеризующие в определённом смысле гладкость сопряжения свободной границы с границей обтекаемого тела. В том случае, когда точка сопряжения принадлежит горизонтальному участку границы, не существует отрезка, целиком содержащегося в СИ .

В том случае, когда свободная линия отделяется от вертикали, для

71 любого О<0<— найдется отрезок Тв, наклоненный под углом 6 к оси х и целиком, лежащей в области СИ.

Далее, в параграфе 2 изучается вопрос о единственности решения вариационной задачи и зависимость этого решения от параметров задачи. При доказательстве теоремы единственности используются идеи А. Фридмана, К. Фридрихса, П. Гарабедяна, М. А. Лаврентьева, получающие в работе дальнейшее развитие.

Мы показываем, что для любых, наперед заданных действительных чисел А,>0, %>0, существует не более одного решения вариационной задачи У1.

В параграфе 3 третьей главы изучается зависимость решения вариационной задачи от параметров. Здесь доказывается, что последовательность решений соответствующих числам > О,

Лп> О, образующим сходящиеся последовательности {%п },{Яп), соответственно, сходится в определённом смысле к решению ,2) • вариационной задачи V,, соответствующему постоянным Л=ИтЛ„, п-*х>

X = Нш х„ •

П—>00

В четвёртой главе диссертации рассматривается новая модель кавитационных течений, в которой делается попытка учёта влияния промежуточного слоя. При этом мы рассматриваем не собственно трёхфазные течения а двухфазные, в которых делается поправка на наличие промежуточного слоя. С математической точки зрения это приводит к тому, что в условии Бернулли помимо средней кривизны, отвечающей за влияние поверхностных сил, появляется гауссова кривизна, вводимая для учёта влияния толщины промежуточного слоя. Краевая задача со свободной поверхностью приобретает следующую форму. Я D 2

-1 y~ldxdy<oо, (0.11) +(>>"%), =0 , {x,y)zD, (0.12)

0 , (whdD, (0.13) ly 2Y\V4>{x,y)\2+XH+eK{x,y)=X, (0.14)

Х,д>)е£ , y>h, х,у)-*«> (0-15)

В параграфе 2 формулируется вариационная задача для случая обтекания с учётом расклинивающих сил, действующих в промежуточном слое, попытка учёта которых приводит к появлению гауссовой кривизны в граничном условии на свободной поверхности. В качестве функционала, определяющего экстремальную задачу мы рассматриваем функционал L вида

L = M+(l-2A)V + zS + 20Z

Здесь М - виртуальная масса возмущённого потока жидкости вокруг тела, V - объём каверны, соответствующий свободной дуге X, S -поверхность вращения, образованная свободной дугой Е, S -функционал, вариация которого на некотором классе свободных кривых привела бы к появлению гауссовой кривизны в краевом условии на свободной границе. Мы предполагаем, что функционал S имеет вид н(Е) = | г(у)аз

Анализируя необходимое условие экстремума в задаче без учёта расклинивающих сил, приходим к выводу о том, что для появления гауссовой кривизны на свободной поверхности функция Г должна удовлетворять следующему дифференциальному уравнению 1

Выбор знака определяется локальным поведением рассматриваемой кривой имеет вид. Общее решение полученного уравнения имеет вид

Лу)=2~1 {-{зёпх)^2 х

Здесь Е, Е 0 - произвольные постоянные.

В главе 5 эта лемма получает обобщение на класс не осесимметрических поверхностей.

В заключение в параграфе 2 на классе Б ъ допустимых элементов, определяемых также, как и в параграфе 2 главы 1, формулируется вариационная задача: найти элемент (^0,Е0), принадлежащий множеству Б ь такой, что

УоД; оНпфсч' |СР }.

В параграфе 3 исследуется минимизирующая последовательность. Здесь, прежде всего, устанавливается, что кривые £п в ней можно считать аналитическими кривыми. Доказательство этого факта опирается на установленную в работе возможность аппроксимации допустимой кривой ГеА2 аналитическими кривыми

Жордана, параметризации $е[0,1,] которых сходятся к её естественной параметризации х=х(з), д^д^-у), в смысле сходимости в векторном пространстве ([0,1])ПС([0,Х])

При доказательстве существования экстремального элемента мы, как и в главе 1, используем симметризационные принципы. При этом нам приходится изучать поведение функционала Е при симметризации функций и областей относительно координатных осей. Мы выясняем, что , как и в случае использовавшихся в главе 1 функционалов, значения функционала Е не возрастают при симметризациях относительно координатных осей.

В этом параграфе, на основании свойств монотонности поведения функционала Ь при симметризациях относительно координатных осей, доказывается существование минимизирующей последовательности {/«„}, тп<=01 , /ил=(хРл,Ел ), в которой кривые Ел представляют собой графики монотонных в каждом из квадрантов {(*,у )|д;>0, >>>()}, х,>')|д;<0,-у>0} функций, а функции ХРЛ представляют собой функции тока в областях И п =£>„ (е п ).

В параграфе 4 доказывается существование экстремального элемента для вариационной задачи с расклинивающими силами. Здесь устанавливается существование константы с0>0 такой, что для всех чисел % , 0, удовлетворяющих условию %-с0в>0 существует элемент т0, такой, что ь(т0)=1

В параграфе 5 четвёртой главы выводится необходимое условие экстремума аналогично тому, как это было сделано в главе 1. Оно имеет вид сл А: ' У ОГК дР 1Т/2 ¿Хйу

2 Л[ ига

Г Г к* дг. хйу-х | у

ХГК дР. дР-г

-гЛ——г дг дг

П к 1

-гв\

2ГК

Лу)хЯе т йР 12-е а*

2-£

1$

В параграфе 5 обсуждается возможность применения априорных оценок полученных в главе 2 в новой ситуации. Так как эти оценки были получены лишь из учёта монотонности свободной кривой и локальной принадлежности градиента функции тока внутри области течения соболевскому пространству, то эти оценки остаются без изменений и при учёте расклинивающих сил.

Основным результатом в параграфе 7 главы 4 является теорема о существовании обобщенного решения краевой задачи с учётом расклинивающих сил. Здесь устанавливается существование числа С0 >0 такого, что для всех % , 0 , удовлетворяющих условию

Х~С00>0 , существует элемент т— являющийся решением вариационной задачи из параграфа 2. При этом функция у=у{х),хщ^-к0,кпредставляющая кривую Е, является монотонной в каждом квадранте Е+, а функции *(£),>>(.?) из естественного параметрического представления 2 имеют производные х=.х(.? ),>>=>>(£), которые являются абсолютно непрерывными на ]0,Е[ функциями. Функция хР=хР(г) является функцией тока в области £>=£>(е), удовлетворяющей условию (0.14), а её градиент Vх? имеет угловое предельное значение почти всюду на ] 0,| 21 [, удовлетворяющее условию (0.15).

В параграфе 8 , используя идею П. Гарабедяна, Г. Леви и М. Шиффера (см.[17]), в соответствии с которой эллиптическое в действительной области уравнение рассматривается как гиперболическое уравнение в плоскости двух независимых комплексных переменных, рассматриваем краевую задачу как задачу Коши, что позволяет получить систему интегральных уравнений, исследование которых приводит к выводу об аналитичности свободной границы. Одновременно мы получаем доказательство существования классического решения краевой задачи о кавитационном обтекании с учётом расклинивающих сил.

Девятый параграф четвёртой главы посвящён исследованию проблемы единственности вариационного решения и зависимости решения задачи от ёё параметров. Основной метод исследования восходит к работам К. Фридрихса, П.Р. Гарабедяна и использует выпуклое поведение определяющих вариационную задачу функционалов при гомотопических преобразованиях возможных различных решений её друг в друга. Однако необходимо оговориться сразу, что при исследовании кавитационных течений вариационным методом не все функционалы, составляющие основной функционал Ь, обладают свойством выпуклости. В частности, функционал Е этим свойством не обладает. В связи с этим параметры кавитационного течения подбираются нами таким образом, чтобы с учётом мер выпуклости и не выпуклости составляющих функционалов результирующий функционал Ь представлял бы собой выпуклый функционал. В результате такого рода рассмотрений мы получаем теорему единственности вариационного решения для произвольного неотрицательного действительного числа Л, и действительных чисел Х,Э удовлетворяющих условию 2-Х'Ь-5тг-с0-9>().

Аналогично тому, как исследовалась зависимость решений вариационных задач из главы 1, проводится исследований подобных вопросов в рассматриваемой ситуации. Здесь доказывается, что последовательность {(^,1^)} решений, определяемая числовыми последовательностями {А,п },{кп },{бп }, сходится к решению ), соответствующему постоянным X, к, 0,

1 = Нш)1п, к=Ншкп, 6 = Нт8п При этом сходимость

П—>00 П-ЮО П—>00 последовательности {(Ч^Д,,)} к решению ) понимается в том смысле, что функции уп = уп (х), графиками которых являются кривые сходятся поточечно к функции у=у(х), графиком которой является кривая а функции сходятся равномерно внутри области Б, определяемые кривой Е.

В десятом параграфе настоящей работы рассматривается связь общих квазиконформных отображений (вообще говоря, с неограниченными характеристиками) с задачами механики жидкости и газа. Здесь в частности доказывается теорема о существовании топологических отображений, осуществляемых решениями эллиптической системы, ассоциированной с уравнением Трикоми в области эллиптичности, и с их помощью выводится представление функции Грина 1-го рода для уравнения Трикоми. Кроме того, устанавливается, что безвихревые осесимметрические течения идеальной несжимаемой жидкости со свободной поверхностью топологически эквивалентны равномерно движущемуся потоку её в цилиндрическом канале.

Как уже было отмечено ранее, методы развитые в рассматриваемой работе позволяют осуществить исследования в смежных областях, которые традиционно связаны с задачами со свободными границами. Речь идёт о теории минимальных поверхностей. Минимальные и более общие поверхности постоянной средней кривизны возникают при рассмотрении условий равновесия в двухфазных средах. Они являются поверхностями разделяющими эти фазы. В работе [42] на основе второго принципа термодинамики было показано, что при рассмотрении таких явлений вместо традиционного условия Лапласа, приводящего к теории минимальных поверхностей, необходимо рассматривать обобщённое условие, состоящее в том, что линейная комбинация средней и гауссовой кривизны поверхности раздела должна обращаться в нуль.

В главе 5 обобщается лемма из четвёртой главы, определяющая общий вид функционала, чья вариация приводит к появлению гауссовой кривизны в случае осесимметрических поверхностей на регулярные поверхности. Эта лемма указывает на то, что такого рода поверхности можно рассматривать как естественное обобщение минимальных поверхностей.

Пусть z0gD - произвольная точка и B(z0,S) - круг радиуса 5 с центром в точке z0, содержащийся в круге D. Обозначим через X=/2+i-v, з произвольные финитные бесконечно дифференцируемые в B(z0,5) функции зДеСо (B(z0,5). Пусть

Y£{(0)=X£{(0)+6-3{(0)N{(0) вариация поверхности X в окрестности точки z0. Здесь Nico) нормаль к поверхности X в точке Х(со),

X£(CO)=Xowe(CD),W£(CD)=CD+£Z(CD)

Ясно, что для достаточно малых е, преобразование we является топологическим преобразованием комплексной плоскости на себя.

Так как вариация рассматриваемой нами вектор функции имеет вид

Х(со+£ Х)-Х(со)=Хи-е n+Xv -ev+ о ), то Y£ представляет собой вариацию поверхности X как в нормальном, так и в касательном направлении к ней. Обратим внимание на эту особенность рассматриваемой вариации; в теории минимальных поверхностей, как известно, рассматриваются лишь вариации в нормальном направлении. В первом параграфе 5-й главы устанавливается тип вариаций, для которых вариация функционала содержит члены, определяющие линейную комбинацию гауссовой и средней кривизны. Мы показываем здесь, что если X - регулярная поверхность, заданная с помощью глобальной полугеодезической параметризации, определяющей первую квадратичную форму вида da2 =du2 +G{a,ß) dv2. и{у- семейство поверхностей, представляющих собой вариацию поверхности X с помощью преобразования Ye в окрестности точки z0. Тогда для любой бесконечно дифференцируемой финитной в окрестности точки z0 функции 3gCq(B(z0,ö) существуют функции о,8)) такие' что на определяемом ими семействе поверхностей первая вариация 5Н функционала S имеет вид du dv D

Во втором параграфе главы 5 изучаются осесимметрические обобщённые минимальные поверхности. Мы называем 0 - минимальной поверхностью такую регулярную поверхность для которой линейная комбинация гауссовой и линейной кривизны удовлетворяет условию

Н+в-К=О

Здесь доказываются теоремы существования и единственности такого рода поверхностей в осесимметрическом случае. В этом параграфе устанавливается существование 0 - минимальных поверхностей вращения с осью симметрии Ох, проходящие через круги, расположенные в плоскостях х= ± Н. Кроме того здесь доказывается теорема единственности решения при определённых соотношениях между параметрами задачи.

Заключение диссертации по теме «Механика жидкости, газа и плазмы», Щербаков, Евгений Александрович

Заключение.

В результате выполненного исследования с помощью вариационного метода была доказана разрешимость краевой задачи с неизвестной границей, соответствующей кавитационному течению идеальной жидкости. Нами была доказана аналитичность свободной границы. С помощью методов, развитых при исследовании этой модели, мы рассмотрели краевую задачу для указанного течения с учётом расклинивающих сил. Здесь нами был получен общий вид функционалов, чьи вариации связаны с гауссовой кривизной. Это позволило нам применить вариационный метод для доказательства корректности такой задачи. Полученные результаты были применены к решению задачи об определении общего вида функционалов, чьи вариации приводят к обобщённому условию Лапласа, которое возникает при исследовании равновесных форм с учётом капиллярных сил. Намеченные в работе методы предполагают их дальнейшее развитие и применение при исследовании общих кавитационных течений, а также при изучении более сложных геометрических моделей.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Щербаков, Евгений Александрович, 2002 год

1. Amick C.J.&J.F. Tolland, On periodic water waves and their convergence to solitary waves in the long-wave limit, Phil. Trans. Roy. Lond. 303(1981), p. 633-669.

2. Amick CJ.&K. Kirchgasner, Solitary water-waves in the presence of surface tension, Dynamical Problems in Continuum Physics, IMA volumes in Mathematics and its Applications, vol. 4, Springer Verlag, 1986.

3. Amick C.J., Fraenkel, L.E.&J.F. Tolland, On the Stokes conjecture for the wave of extreme form, Acta Math. 148(1982), 193-214.

4. Бабский В.Г., Мышкис А.Д., Копачевский H. Д., Слобожанин Л.А., Тюпцов А.Д.(под редакцией А.Д. Мышкиса) Гидромеханика невесомости,М. Наука, 1976, 504с.

5. Базалий Б.В., Шелепов В.Ю. Об одной теплофизической квазистационарной задаче со свободными границами. В сб. "Краевые задачи теории теплопроводности". Киев, издание Института Математики АН УССР, 1975, с. 45-56.

6. Бакельман И. я. Вернер А.П., Кантор Б.Е. Введение в дифференциальнуюю геометрию в целом, М., Наука, 1973, с.439.

7. Beckert Н., Existenzbeweis fur permanente Kapillarwellen einer schweren Flussigkeitenlang eines Kanals, Arch. Rat. Mech. Anal. 13(1963), p. 15-45.

8. Бесов O.B., Ильин В.П., Никольский C.M. Интегральные представления функций и теоремы вложения, Наука, М., 1975, 489 с.

9. Биркгоф Гидродинамика, М., ИЛ, 1954,240 с.

10. Биркгофф Г., Сарантанелло. Струи, следы и каверны. М. Мир., 1964, 466 с.

11. Векуа И.Н. Обобщённые аналитические функцииМ., ГИФМЛ, 1959, 628 с

12. Wu T.Y. Cavity and wake flows Annual review of Fluid Mechanics, vol. 4M.Van Dyke, W.G. Vincenti and J.V. Wehaussen, eds.), Annual Review, 1972, p.243-283.

13. Garabedian P.R. Partial Differential Equations. New York-London-Sydney, J.Wiley, Inc., 1964, p.663.

14. Garabedian P.R. Proof of Uniqueness by Symmetrization, Studies in Mathematical Analysis and related topics, Essays in honor of George Polya. Stanford, Stanford University Press, 1962, p. 126-127.

15. Garabedian P.R. Spencer D.C. Extremal Methods in Cavitational Flow, Journal of Rational Mechanics, v.l, 1952; Indiana University, Indiana, p. 360-409.

16. Garabedian P.R., Lewy H., Shiffer M. Axially Symmetric Cavitational Flow. Annals of Mathematics, v.56, 1952, p. 560-602.

17. Gilbarg D. Jets and cavities, Handbuch der Physik, vol.IX(C. Trusdell, ed.), Springer Verlag, 1960, pp.311 445.

18. Gilbarg D. Uniqueness of axially symmetric flow swith free boundaries. J. Rath. Mech. Anal., vol.l(1952),pp.309-320.

19. Гилбарг Д. Трудингер Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными М., Наука, 1989, с. 433.

20. Годунов С.К. Уравнения математической физики, М., Наука., 1971, 416с.

21. Голузин Г.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного.М., ГИТТЛ, 1952, 540с.

22. Гуревич М. Теория струй идеальной жидкости, М. Физматгиз, 1961, 496с.

23. Гутлянский В., Рязанов В. О квазиконформных отображениях с интегральными ограничениями на характеристику М.А. Лаврентьева, Сибирский математический журнал, 1990, 31, N2, с. 21-36.

24. Данилюк И.И. Об интегральных функционалах с переменной областью интегрирования. Труды МИАН СССР, CXVIII, М., Наука, 1972, с. 111.

25. Данфорд Н, Шварц Д. Линейные операторы. Общая теория, ИЛ, М., 1962

26. Дао Чонг Тхи, Фоменко Н.Т. Минимальные поверхности и проблема Плато, Наука, М., 1987, 312 с.

27. Дерягин Б.В., Чураев Н.В., Муллер В.М. Поверхностные силы М., Наука, 1985.

28. Дерягин Б.В., Чураев Н.В., Смачивающие плёнки, М., Наука, 1984, 158с.

29. Джусти Э. Минимальные поверхности и функции ограниченной вариации М. Мир, 1989, 239 с.31. do Carmo. Differential Geometry of Curves and Surfaces, Prentice Hall, Inc., Englewood Cliffs, New Jersey, 1976, 503 p.

30. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко A.T. Современная геометрия М, Наука, Ч. 1 и 2, 1979, ч.З, 1984.

31. Дьеркс DierkesU.,HildebrandtS., Küster A., Wolhrat О. Minimal Surfaces Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, 296, New York, Heidelberg, Springer Verlag, Berlin, .1992,421p.

32. Дьеркс DierkesU.,HildebrandtS., Küster A., Wolhrat O. Minimal Surfaces Grundlehren der mathematischenWissenschaften, 295, New York, Heidelberg, Springer Verlag, Berlin, .1992, 507p.

33. ЕвграфовМ. А.Аналитические функции. М., Наука, 1968, 471с.

34. Жуковский Н.Е., Собрание сочинений, т.2, Москва, Ленинград, Гостехиздат, 1949.

35. Иосида И. Функциональный анализ, М., Мир, 1967, 624 с.

36. Кажихов А. О существовании течения типа Рябушинского в гравитационном поле с учётом капиллярных сил. Динамика сплошной среды, 1(1969),92-99.

37. Кикоин А. Н., Кикоин И.Н., Молекулярная физика, М. Наука, 1976, 480с.

38. Киндерлерер Д., Стампакья Г. Введение в вариационные неравенства и их приложения.М. Мир, 1983, с.256.

39. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М., Наука, 1972, с. 496

40. Коровкин В.П., Секриеру Г.В., Сажин Ф.М. Анализ связи капиллярного и расклинивающего давления, Математические исследования, Кишинёв, 108(1989),27-32.

41. Кругликов В., Миклюков В. О некоторых классах топологических отображений с неограничеенными характеристиками, Метр, вопросы теории функций и отбражений, 1973, вып.4, Киев, Наукова думка, с. 102-104.

42. Кусис П. Введение в теорию Нр пространств. M., 1984.С. 364

43. Kufner J., John О., Fucik. S. Function Spaces, Prague, Academia, 1977, 454 p.

44. Лаврентьев M.A. О некоторых свойствах однолистных функций с приложениями к теории струй.Матем.сб. 1938N4(46)c.391-458.

45. Лаврентьев М.А. Шабат Б.В. Проблемы гидродинамики и их математические модели. М. Наука, 1977, 407с.

46. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М. Физматгиз, 1958, 678с.

47. ЛадыженскаяО.А., Уральцева И.И. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М., Наука, 1973,с.576.

48. Ламб Г. Гидродинамика. М.-Л., Гостехиздат, 1947, с.926.

49. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т.6, Гидродинамика, М., Наука, 1988, 733 с.

50. Levi-Civita T. Scie е leggi di resistenza, Rend. Cire. Mat. Palermo, 18, 1907, p. 1-37.

51. Leray J. Les problèmes de representation conforme d'Helmholtz Theorie des sillages et des proues. Comment. Math. Helv. 8 pp. 149-180.

52. Lions J.L., Magenes E. Problèmes aux Limites non Homogenes Vol. 1-3, Paris Dunod, 1968-1970.

53. McLeod E.B., Jr. The explicit solution of a Free Boundary Value Problem involving Surface Tension, J. Rat. Mech., Anal. 4(1955), p.557-567.56