Дискретные кривизны, квазиизометрические отображения и квазиоптимальные расчетные сетки тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.07, доктор физико-математических наук Гаранжа, Владимир Анатольевич

• Гаранжа, Владимир Анатольевич
• доктор физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Гаранжа, Владимир Анатольевич

1 Введение

2 Нерегулярные многообразия и дискретные кривизны

1 . Двумерные многообразия ограниченной кривизны.

2 . Квазиизометрическая параметризация МОК.

3 . Дискретные кривизны и поверхности ограниченной кривизны.

4 . Сферическое отображение и внешняя кривизна.

5 . Сферическое и нормальное изображение для многогранников.

6 . Вариационные принципы для средней кривизны.

7 . Средняя кривизна многогранных поверхностей.

8 . Дискретные энергии изгибания.

9 . Поточечная и слабая сходимость дискретных кривизн.

10 . Выводы главы 2.

3 Внешние дискретные кривизны на основе принципа двойственности

1 . Полярные многогранники.

2 . Преобразование Лежандра, полярные многогранники, и разбиения Делоне и Вороного.

3 . Внешние кривизны полярных многогранников.

4 . Локальная полярность и сходимость внешних дискретных кривизн.

5 . Дискретные аппроксимации энергий изгибания.

6 . Меры кривизны для негладких поверхностей и дискретные кривизны.

7 . Оптимизация многогранных поверхностей.

8 . Эвристические методы построения дискретных поверхностей квазиминимальной кривизны

9 . Выводы главы 3.

4 Вариационный принцип для построения квазиизометрических отображений

1 . Корректные вариационные задачи построения обратимых отображений

2 . Теоремы существования и обратимости для задачи вариационного построения квазиизометрических отображений.

3 . Выводы главы 4.

5 Поливыпуклые потенциалы, обратимые деформации и термодинамически согласованная запись уравнений нелинейной теории упругости

1 . Каноническая форма записи систем гиперболических уравнений и энтропийные решения.

2 . Вариационный принцип нелинейной теории упругости в лагранжевых координатах

3 . Уравнения нелинейной акустики.

4 . Расширенная система уравнений нелинейной теории упругости в лагранжевых координатах.

5 . Построение канонического представления в лагранжевых координатах

6 . Симметризация в эйлеровых переменных.

7 . Примеры поливыпуклых упругих потенциалов и их поведение в пределе малых деформаций.

8 . Выводы главы 5.

6 Дискретные меры искажения и квазиоптимальные расчетные сетки

1 . Дискретизация квазиизометрического функционала и метод минимизации

2 . Управление свойствами отображений

3 . Меры искажения для криволинейных ячеек.

4 . Распутывание сеток.

5 . Численные примеры построения оптимальных сеток.

6 . Выводы главы 6.

7 Параметризация поверхностей и построение квазиоптимальных поверхностных сеток

1 . Методы локальной параметризации, распластывание и отображение поверхностей

2 . Численные проверки оценки искажения параметризации.

3 . Построение атласа и квазиоптимальные сетки на многосвязных поверхностях

4 . Выводы главы 7.

ГЛАВА

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Дискретные кривизны, квазиизометрические отображения и квазиоптимальные расчетные сетки»

Исследование и построение квазиизометрических отображений является одной из трудных задач современной вычислительной математики. Если гомеоморфное отображение некоторой области П С является квазиизометрическим, то отношение длины произвольной спрямляемой кривой 7 е к длине ее образа ограничено сверху величиной Ь, а снизу - величиной 1 /Ь, где Ь ^ 1 - постоянная квазиизометрии (или постоянная эквивалентности). Оптимальным квазиизометрическим отображением при заданных ограничениях будем называть отображение с наименьшим значением Ь.

Задача построения оптимальных квазиизометрических координат на криволинейных поверхностях была сформулирована П.Л. Чебышевым в 1856 г. в известной работе "О черчении географических карт". Квазиизометрические отображения возникают, в частности, в задачах компьютерной графики и анимации, в первую очередь, как задачи натягивания текстур на поверхность, в задачах вычислительной биологии и анатомии, например, для построения канонических отображений коры головного мозга на сферу, или в колоноско-пии для распознавания опухолей. Сходные задачи отображения поверхностей сложной формы на канонические поверхности с минимальным искажением возникают в геологии и стратиграфии, в молекулярной биологии, где также возникает необходимость построения отображений поверхности белков на канонические поверхности. При построении расчетных сеток принцип квазиизометричности есть не что иное как математическая формулировка принципа квазиравномерности сеток. Задача разработки численного метода построения квазиизометрических отображений была поставлена С.К. Годуновым в 90-х годах XX века, а первое решение этой задачи в классе конформных отображений было предложено С.К. Годуновым с соавторами в работе [107] применительно к задаче параметризации плоского криволинейного четырехугольника.

Число публикаций, посвященных практическим методам построения отображений с минимальным искажений достаточно велико, однако все они являются эмпирическими в том смысле, что не удается доказать, что полученное решение является квазиизометрией.

Можно сформулировать постановку задачи о построении параметризации в следующем общем виде.

Проблема 1. Сформулировать корректную вариационную задачу для построения квазиизометрических параметризаций многомерных нерегулярных многообразий, решение которого существует, единственно и устойчиво к малым возмущениям входных данных. Проблема 2. Доказать, что решение дискретной вариационной задачи существует, является квазиизометрическим отображением, единственно и устойчиво к малым возмущениям входных данных, и сходится к решению исходной задачи; получить оценки вычислительной сложности решения и скорости сходимости при измельчении сетки.

В такой постановке эти задачи до сих пор остаются нерешенными. В данной работе впервые предложено их частичное решение. Основная теоретическая трудность, препятствующая полному решению этих проблем, сформулирована ниже:

Проблема 3. Описать наиболее широкое подмножество класса квазиизометрических отображений, включающее кусочно-аффинные отображения, и такое, что для произвольного отображения ф из этого подмножества можно построить последовательность кусочно-аффинных квазиизометрических отображений ф^ таких, что константы эквивалентности для композиции отображений ф^1 о ф сходятся к 1 при к —> оо.

Заметим, что аналогичные задачи не решены и в теории упругости с конечными деформациями. Проблема 3 является весьма частным случаем известной нерешенной проблемы анализа, которую сформулировал Джон Болл [64]: построить сходящуюся последовательность кусочно-аффинных гомеоморфизмов в , аппроксимирующих заданный соболевский гомеоморфизм в пространстве Соболева 1У1,Р, р > (I. Тот факт, что в качестве класса квазиизометрических отображений, допускающих правильную аппроксимацию кусочно-аффинными гомеоморфизмами потенциально можно рассматривать отображения, пред ставимые в виде разности выпуклых функций [3], [111], и послужил поводом для приведенного в работе исследования о правильном приближении поверхностей ПРВ (представимых в виде разности выпуклых функций) двойственными многогранниками.

В второй главе диссертации представлен обзор теории многообразий ограниченной кривизны, результатов о существовании квазиизометрических параметризаций, а также описаны известные методы вычисления внутренних и внешних кривизн многогранных поверхностей, или "дискретных кривизн". В третьей главе рассматривается предложенный автором метод приближения тел двойственными или локально-полярными многогранниками, позволяющий аппроксимировать сферическое отображение для многогранных поверхностей кусочно-аффинным отображением, градиент которого является аппроксимацией кривизны поверхности.

В 2000г. автором был предложен вариационный принцип для построения квазиизометрических отображений между многомерными многообразиями [153]. В серии работ автора (в том числе одной работы в соавторстве с Н.Л. Замарашкиным), опубликованных в 2003-2005гг., была сделана попытка строгого обоснования этого вариационного принципа, используя аппарат теории упругости с конечными деформациями, разработанный Дж. Боллом [61], [63], а также аппарат теории многообразий ограниченной кривизны, исследованных в работах А.Д. Александрова и его научной школы [6], [128], [9]. Результаты этой работы изложены в четвертой главе диссертации.

В пятой главе описан метод квазиизометрической регуляризации уравнений теории упругости с конечными деформациями, сохраняющий поливыпуклость и постоянные Ламе, а также показано, что уравнения теории термоупругости с поливыпуклой внутренней энергией допускают каноническую симметризованную запись С.К. Годунова в лагранже-вых и эйлеровых координатах, удовлетворяющую условиям гиперболичности по Фри-дрихсу.

Шестая глава диссертации посвящена методам дискретизации функционалов и алгоритмам их минимизации, а также методам управления свойствами отображений и расчетных сеток, и методам построения допустимых отображения (методам распутывания сеток).

В седьмой главе приводятся примеры работы алгоритма распластывания поверхностей со свободными границами, и его применение для построения расчетных сеток на многосвязных поверхностях с выделением особых линий.

Основные результаты диссертации.

1. Предложен метод аппроксимации поверхностей парой локально полярных многогранных поверхностей, позволяющий строить кусочно-аффинную аппроксимацию сферического отображения, и, соответственно, кусочно-постоянную аппроксимацию кривизны, в окрестности невырожденных регулярных точек поверхностей ПРВ (представимых в виде разности выпуклых функций [3]).

2. Для двумерной кусочно-регулярной поверхности ПРВ М показано, что для площади сферического изображения каждого из двойственных аппроксимантов Рк и Р£ справедливо разложение Лебега на абсолютно непрерывную компоненту (интеграл от кривизны "регулярной части" многогранной поверхности), на сингулярную компоненту (площадь сферического изображения "острых ребер" многогранников), и на дискретную компоненту (площадь сферического изображения "конических вершин" многогранников). Разложения Лебега для Р^ и Р£ покомпонентно сходятся к разложению Лебега для М.

3. Предложен поливыпуклый вариационный принцип для построения многомерных квазиизометрических отображений как деформаций гипотетического упругого материала, исключающего сингулярные деформации. Для экстремальной задачи доказана теорема существования минимизирующего отображения, его обратимость и квазиизометричность. В двумерном случае, на основе теории многообразий ограниченной кривизны, доказана теорема существования, не требующая априорных предположений о непустоте множества допустимых отображений.

4. Предложен метод квазиизометрической регуляризации уравнений теории упругости с конечными деформациями, сохраняющий поливыпуклость и постоянные Ламе. Показано, что уравнения теории термоупругости с поливыпуклой внутренней энергией допускают каноническую симметризованную запись С.К. Годунова в лагран-жевых и эйлеровых координатах, удовлетворяющую условиям гиперболичности но Фридрихсу.

5. Предложена дискретная аппроксимация поливыпуклого функционала как некоторая мера искажения расчетной сетки. Для класса многомерных кусочно-полиномиальных отображений доказан локальный принцип максимума для поливыпуклых мер искажения, и предложены геометрические квадратуры, которые гарантируют, что непрерывный функционал мажорируется дискретным, так что теоремы существования, обратимости и квазиизометричности напрямую применимы в дискретной постановке, в том числе при измельчении сеток.

6. Предложен и реализован итерационный метод минимизации дискретных функционалов, для него строго доказана сходимость, предложена практическая схема сжатия допустимого множества для квазиминимизации постоянной квазиизометрии; предложен вариант функционала, приближенно ортогонализирующий отображения вблизи внешних и внутренних границ; предложен и реализован новый эффективный метод построения допустимых отображений, или, иными словами, метод "распутывания" сеток; на основе предложенного вариационного метода разработан практический алгоритм распластывания поверхностей со свободными границами с квазиоптимальными константами искажения.

Для доказательства теорем существования минимизирующих отображений (квазиизометрических упругих деформаций) использовался аппарат математической теории упругости с конечными деформациями [61], [63], [53], аппарат теории многообразий ограниченной кривизны [6], [9], [128], [70], [15], включая метод разрезания и склеивания А.Д. Александрова. При исследовании проблемы симметризации и гиперболичности нестационарных уравнений теории термоупругости использовался аппарат преобразований Лежандра и аппарат энтропийных решений [19], [34]. При рассмотрении задачи о приближении многогранниками поверхностей, представимых как разность выпуклых функций, использовался аппарат теории полярных многогранников [4], [86], и разбиений Делоне [26] и Вороного [16].

Апробация работы. Результаты работы докладывались на семинаре Института математики им. С.Л. Соболева СО РАН (рук. С.К. Годунов), 2010 г., 2008 г.; на семинаре ВЦ РАН (рук. A.A. Петров), 2009 г.; на семинаре ИВМ РАН (рук. В.И. Лебедев), 2009 г.; на семинаре ИПМ РАН, 2009 г.; на семинаре "Дискретная геометрия и геометрия чисел" мех.-мат. факультета МГУ (рук. Н.П. Долбилин), 2009 г.; па семинаре Института математики им. С.Л. Соболева СО РАН (рук. Ю.Г. Решетняк), 2009 г.; на семинаре Института математики им. С.Л. Соболева СО РАН (рук. И.А. Тайманов), 2009 г.; на семинаре Технологического института Хельсинки, Финляндия, 2008 г.; на семинаре Университета Кастилия - Ла Манча (рук. П. Педрегал), 2008 г.; на семинаре Института им. Макса Планка (рук. Х.-П. Зайдель), Саарбрюкен, Германия, 2006 г. и 2002 г.; на семинаре Института технической и прикладной математики им. Фраунгофера, Кайзерслаутерн, Германия, 2003 г.; на семинаре INRIA (рук. Ж. Жаффре), Рокенкур, Франция, 2002 г.; на Международной школе-конференции "Анализ pi геометрия", Новосибирск, 12-17 сентября 2009 г.; на Международной конференции "Дифференциальные уравнения и топология", посвященной 100-летию со дня рождения Л.С. Понтрягина, Москва, 17-22 июня 2008 г.; на Международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения С.Л. Соболева, Новосибирск, 5-12 октября 2008 г.; на Международной конференции "Numerical geometry, grid generation and scientific computing & Voronoi-2008", Москва, 10-13 июня 2008 г.; на XIV Международной Байкальской школе-семинаре "Методы оптимизации и их приложения", Северобайкальск, 29 июня-6 июля 2008 г.; на Международном семинаре MASCOT07: 7th Meeting on Applied Scientific Computing and Tools, Grid Generation, Approximation and Visualization, 13-14 сентября 2007 г., Рим, Италия; на Международном симпозиуме 19th Chemnitz FEM Symposium, 1-3 сентября 2006 г., Хемниц, Германия; на Всероссийской конференции "Численная геометрия, построение расчетных сеток и высокопроизводительные вычисления", 2006 г., Москва; на Международной школе-конференции по анализу и геометрии, посвященной 75-летию Ю.Г. Решетняка, 23 августа - 2 сентября 2004, Новосибирск.

Основные результаты диссертации опубликованы в виде 15 статей в российских и международных рецензируемых журналах, рекомендованных ВАК [152] - [166] и 12 статей в сборниках трудов конференций. Десять из пятнадцати основных публикаций по теме диссертации написаны без соавторов. Вклад автора в совместные работы состоит в постановке задачи и разработке метода минимизации дискретных функционалов [152],

163], [156], в постановке задачи и теоретическом анализе [160], в постановке задачи и совместной работе на доказательством теорем [155]. Диссертация состоит из семи глав, включая введение, а также списка литературы. Она изложена на 286 страницах текста, набранного в редакционного-издательской системе Ьа1ех2е, содержит 149 рисунков и 2 таблицы. Библиография содержит 166 наименований.

Заключение диссертации по теме «Вычислительная математика», Гаранжа, Владимир Анатольевич

§ 4. Выводы главы 7

• на основе вариационного метода разработан алгоритм распластывания поверхностей со свободными границами;

• эвристическая оценка искажения квазиизометрической параметризации многообразия ограниченной кривизны подтверждена численными экспериментами;

• квазиизометрические параметризации использованы для построения поверхностных сеток на многосвязных телах с автоматическим выделением особых линий поверхности.

Результаты этой главы опубликованы в [161], [154], [164].

Заключение

В диссертации получены следующие результаты:

1. Предложен метод аппроксимации поверхностей парой локально полярных многогранных поверхностей, позволяющий строить кусочно-аффинную аппроксимацию сферического изображения, и, соответственно, кусочно-постоянную аппроксимацию кривизны, в окрестности невырожденных регулярных точек поверхностей ПРВ.

2. Для двумерной кусочно-регулярной поверхности ПРВ М показано, что для площади сферического изображения каждого из двойственных аппроксимантов Рк и Р£ справедливо разложение Лебега на абсолютно непрерывную компоненту (интеграл от кривизны "регулярной части" многогранной поверхности), на сингулярную компоненту (площадь сферического изображения "острых ребер" многогранников), и на дискретную компоненту (площадь сферического изображения "конических вершин" многогранников). Разложения Лебега для Рк и Р£ покомпонентно сходятся к разложению Лебега для М.

3. Предложен поливыпуклый вариационный принцип для построения многомерных квазиизометрических отображений как деформаций гипотетического упругого материала, исключающего сингулярные деформации. Для экстремальной задачи доказана теорема существования минимизирующего отображения, его обратимость и квазиизометричность. В двумерном случае, на основе теории многообразий ограниченной кривизны, доказана теорема существования, не требующая априорных предположений о непустоте множества допустимых отображений.

4. Предложен метод квазиизометрической регуляризации уравнений теории упругости с конечными деформациями, сохраняющий поливыпуклость и постоянные Ламе. Показано, что уравнения теории термоупругости с поливыпуклой внутренней энергией допускают каноническую симметризованную запись С.К. Годунова в лагран-жевых и эйлеровых координатах, удовлетворяющую условиям гиперболичности по Фридрихсу.

5. Предложена дискретная аппроксимация поливыпуклого функционала как некоторая мера искажения расчетной сетки. Для класса многомерных кусочно-полиномиальных отображений доказан локальный принцип максимума для поливыпуклых мер искажения, и предложены геометрические квадратуры, которые гарантируют, что непрерывный функционал мажорируется дискретным, так что теоремы существования, обратимости и квазиизометричности напрямую применимы в дискретной постановке, в том числе при измельчении сеток.

6. Предложен и реализован итерационный метод минимизации дискретных функционалов, для которого строго доказана сходимость; предложена практическая схема сжатия допустимого множества для квазиминимизации постоянной квазиизомет-рии; предложен вариант функционала, приближенно ортогонализирующий отображения вблизи внешних и внутренних границ; предложен и реализован новый эффективный метод построения допустимых отображений, или, иными словами, метод "распутывания" сеток; на основе предложенного вариационного метода разработан практический алгоритм распластывания поверхностей со свободными границами с квазиоптимальными константами искажения.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Гаранжа, Владимир Анатольевич, 2011 год

1. Александров А.Д. К теории смешанных объемов выпуклых тел. 1. Расширение некоторых понятий теории выпуклых тел // Матем. сб. 1937. Т.2(44) №5. С.947-972.

2. Александров А.Д. Внутренняя геометрия выпуклых поверхностей. М.-Л., Гостех-издат, 1948. 387 С.

3. Александров А.Д. О поверхностях, представимых разностью выпуклых функций // Изв. АН Казах. ССР, серия матем. и мех. 1949. вып. 3. С.3-20.

4. Александров А.Д. Выпуклые многогранники. Москва, Ленинград: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1950. 428С.

5. Александров А.Д. Поверхности, представимые разностями выпуклых функций // Докл. АН СССР. 1950. Т. 72, №4. С. 613-616.

6. Александров А.Д., Залгаллер В.А. Двумерные многообразия ограниченной кривизны (основы внутренней геометрии поверхностей). Тр. Матем. ин-та им. В. А. Стеклова. 1962. Т. 63.

7. Бакельман И.Я. Дифференциальная геометрия гладких нерегулярных поверхностей // УМН. 1956. Т.Н. №2. С.67-124.

8. Бакельман И. Я. Чебышевские сети в многообразиях ограниченной кривизны // Тр. МИАН СССР. 1965. Т.76. С.124-129.

9. Бакельман И.Я., Вернер А.Л., Кантор Б.Е. Введение в дифференциальную геометрию "в целом". М.: Наука, 1973, 444С.

10. Беленький А.С, Бураго Ю.Д. Билипшицево эквивалентные поверхности Александрова, I // Алгебра и Анализ. 2004. Т. 16. Вып. 4. С.24-40

11. Белинский П.П., Годунов С.К., Иванов Ю.Б., Яненко И.К. Применение одного класса квазиконформных отображений для построения разностных сеток в областях скриволинейными границами // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1975. Т.15. N.6. С.1499-1511.

12. Бляшке В. Введение в дифференциальную геометрию. Ижевск: ИД "Удмуртский университет", 2000, 232С.

13. Blatz P.J., Ко W.L. Application of finite elastic theory to the deformation of rubbery materials // Trans. Soc. Rheology. 1962. V.6. P.223-251.

14. Бураго Ю.Д. О поверхностях ограниченной внешней кривизны // Укр. геом. сборник. 1968. Т.5-6. С.629-643.

15. Бураго Ю.Д. Билипшицево эквивалентные поверхности Александрова, II // Алгебра и Анализ. 2004. Т. 16, Вып. 6, С.28-52.

16. Вороной Г.Ф. Исследования о примитивных параллелоэдрах // Собр. соч. Т.2. Киев: Изд-во АН УССР, 1952. С. 239-368.

17. Васильев Ф.П. Методы оптимизации. М.: Факториал Пресс, 2002.

18. Д. Гильберт, С. Кон-фоссен. Наглядная геометрия. М.: УРСС, 2004. 344С.

19. Годунов С.К. Интересный класс квазилинейных систем // ДАН СССР. 1961. Т.139. N.3. С.520-523.

20. Годунов С.К. Проблема обобщенного решения в теории квазилинейных уравнений и в газовой динамике // Успехи матем. наук. 1962. Т.17. Вып.З. С.147-158.

21. Годунов С.К., Прокопов Г.П. О расчетах конформных отображений и построении разностных сеток// Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1967. Т.7. №5. С. 1031-1059.

22. Годунов С.К., Прокопов Г.П. Об использовании подвижных сеток в газодинамических расчетах// Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1972. Т. 12. №2. С. 429-440.

23. Годунов С.К., Забродин A.B., Иванов М.Я., и др. Численное решение многомерных задач газовой динамики. М.: Наука. 1976.

24. Годунов С.К., Роменский Е.И. Элементы механики сплошных сред и законы сохранения. Новосибирск: Научн. книга. 1998.

25. Дубнов Я. С. Ошибки в геометрических доказательствах М. : Физматлит, 1969. 64 С.

26. Иваненко С.А. Адаптивно-гармонические сетки, М.: ВЦ РАН. 1997, 182с.

27. Иваненко С.А., Чарахчьян A.A. Криволинейные сетки из выпуклых четырехугольников // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1988. Т.28. N.4. С.503-514.

28. Иваненко С.А. Управление формой ячеек в процессе построения сеток // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2000. Т.40. N.II. С.1596-1616.

29. Каменев Г.К. Оптимальные адаптивные методы полиэдральной аппроксимации выпуклых тел. М.: ВЦ РАН, 2007. 230 С.

30. Кондауров В.И. О законах сохранения и симметризации уравнений нелинейной термоупругости // Докл. АН СССР. 1981. Т.256. №4. С.819-823.

31. Красносельский М.А. Топологические методы в теории нелинейных дифференциальных уравнений. М.: Гостехиздат, 1956.

32. Кружков С.Н. Квазилинейные уравнения первого порядка со многими независимыми переменными // Матем. сборник. 1970. Т.81. №2. С.228-255.

33. Ланцош К. Вариационные приципы механики. М.: Мир. 1965.

34. Лисейкин В.Д. О конструировании регулярных сеток на п-мерных поверхностях // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1991. Т.31. N.II. С.47-57.

35. Лисейкин В.Д. Об универсальной мониторной метрике для построения разностных сеток // Докл. РАН. 2005. Т.400. Ш. С.21-25.

36. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука, 1980.

37. Мысовских И.П. Интерполяционные кубатурные формулы. М.: Наука, 1981.

38. Пальмов В.А. Колебания в упруго-пластичных средах. М.: Наука, 1976.

39. Погорелов A.B. Поверхности ограниченной внешней кривизны. Харьков: Изд. ХГУ, 1956.

40. Погорелов A.B. Дифференциальная геометрия, 1974. М.: Наука. 176С.

41. Решетняк Ю.Г. Об одном обобщении выпуклых поверхностей // Матем. сборник. 1956. Т.40. С.381-398.

42. Решетняк Ю.Г. О методе преобразования иевыпуклой ломаной в выпуклую // УМН. 1957. Т.12. №3. С.189-191.

43. Решетняк Ю.Г. Изотермические координаты на поверхностях ограниченной интегральной средней кривизны // Докл. АН СССР. 1967. Т. 174. №5. С. 1024-1025.

44. Решетняк Ю.Г. Отображения с ограниченным искажением как экстремали интегралов типа Дирихле // Сибирский мат. журнал. 1968. Т.9. N.3. С.652-666.

45. Решетняк Ю.Г. Теоремы устойчивости для отображений с ограниченным искажением // Сибирский мат. журнал. 1968. Т.9. N.3. С.667-684.

46. Роменский Е.И. Законы сохранения и симметричная запись уравнений теории упругости // Тр. семинара им. C.JI. Соболева. 1984. Т.1. С.132-143.

47. Сковпень А.В. Усовершенствованный алгоритм построения нерегулярных четырехугольных сеток // ЖВМ и МФ. 2005. Т.45. Ж8. С.1484-1497.

48. Соболев C.JL Некоторые применения функционального анализа в математической физике. М.: Наука, 1988. 336С.

49. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. 1977. М.: Мир. 349С.

50. Стренг Г. Линейная алгебра и ее применение. М.: Мир, 1980г. 456С.

51. Сьярле Ф. Математическая теория упругости, М.: Мир, 1992. 472 С.

52. Шилов Г. Е., Гуревич Б. Л. Интеграл, мера и производная -М.:Наука, 1967. 220С.

53. Экланд И., Темам Р. Выпуклый анализ и вариационные проблемы. М.:Мир,1979. 399С.

54. Alboul L. Curvature cruteria in surface reconstruction. In Proceedings of International workshop "Grid generation: theory and applications", Moscow, 2002, P.4-12.

55. Alboul L., Echeverría G., Rodrigues M. Discrete curvatures and gauss maps for polyhedral surfaces. 21st European Workshop on Computational Geometry, the Netherlands, March 9-11, 2005. P.69-72

56. Amenta N., Bern M. Surface reconstruction by Voronoi filtering // Discrete Comput. Geom. 1999. V.22. N.4. P.481-504.

57. Antman S.S. Nonlinear problems in elasticity. Applied Mathematical Sciences, V.107. New York: Springer. 2004.

58. Armijo L. Minimization of functions having Lipschitz-continuous first partial derivatives // Pacific Journal of Mathematics. 1966. V.16. P.l-3.

59. Ball J.M. Convexity conditions and existence theorems in nonlinear elasticity // Arch. Rat. Mech. Anal. 1977. V. 63. P. 337-403.

60. Ball J.M. Finite-time blow-up in nonlinear problems // Nonlinear Evolution Equations. AP. 1978. P. 189-205.

61. Ball J.M. "Global invertibility of Sobolev functions and the interpénétration of matter"// Proc. Roy. Soc. of Edinburgh. 1981. 88A. P. 315-328.

62. Ball J.M. Some open problems in elasticity. In Geometry, Mechanics, and Dynamics. New York: Springer. 2002. P.3-59.

63. Bellido J.C., Mora-Corral C. Approximation of Holder continuous homeomorphisms by piecewise affine homeomorphisms //To appear in Houston J. Math. 2009.

64. Bobenko A.I. A conformai energy for simplicial surfaces // Combinatorial and Computational Geometry, MSRI Publications. 2005. V. 52. 133-143, Preprint (2004) math.DG/0406128.

65. Bobenko A.I., Schroder P. Discrete Willmore Flow. Eurographics Symp. on Geometry Processing, 2005. P. 101-110.

66. Blaschke W. Vorlesungen iiber Differebtialgeometrie III, Berlin, 1929.

67. Bonk M., Lang U. Bi-Lipschitz parameterization of surfaces // Mathematische Annalen. 2003. V.327. N.l. P. 135-169.

68. Borelli V., Cazals F., Morvan J.-M. On the angular defect of triangulations and the pointwise approximation of curvature // Comp. Aided Geom Design. 2003. V.20. P.319-341.

69. Branets L.V. A Variational Grid Optimization Method, Based on a Local Cell Quality-Metric. Ph.D. dissertation, The University of Texas at Austin, 2005.

70. Buzeman H. Convex surfaces. New York: Intersc. publ. 1957. 238P.

71. Chew L.P. Guaranteed-quality mesh generation for curved surfaces. Proc. of 9th Annual Sympos. Comput. Geometry (San Diego, California). 1993. Association for Comput. Machinery. P.274-280.

72. Ciarlet P.G., Geymonat G. Sur les lois de comportement en élasticité non-lineaire compressible // C.R. Acad.Sci. Paris Ser.II. 1982. V.295. P.423-426.

73. Cohen-Steiner D., J.-M. Morvan J.-M. Restricted delaunay triangulations and normal cycle, Proc. 19th Annual ACM Symp. on Comput. Geometry, 2003. P.237-246.

74. Crowley W.P. An equipotential zoner on a quadrilateral mesh. Memo, Lawrence Livermore National Lab. 1962.

75. Dacorogna B. Direct Methods in the Calculus of Variations. Springer-Verlag. Berlin, Heidelberg, New York. 1989.

76. De-Giorgi E. Teoremi di semiconntinuita nel calcolo delle variazioni. Inst. Naz. Di Alta Matem., Roma, 1968.

77. Demoulini S., Stuart D.M.A., Tzavaras A.E. A variational approximation scheme for three-dimensional elastodynamics with polyconvex energy // Arch. Rat. Mech. Anal. 2001. V.157. P.325-344.

78. Demoulini S., Stuart D.M.A., Tzavaras A.E. Construction of entropy solutions for one-dimensional elastodynamics via time discretisation // Ann. Inst. H. Poincare Anal. Non Lineaire 2000. V.17. № 6, P.711-731.

79. Desbrun M., Meyer M., Schroder, Barr A. Discrete differential-geometry operators in nD. 2000. Preprint, the Caltech Multi-Res Modeling Group. 26 P.

80. Discrete Differential Geometry, eds., Alexander I. Bobenko, Peter Schroder, John M. Sullivan and Giinter M. Ziegler. Oberwolfach Seminars 38, Birkhâuser, 2008, 341 P.

81. Dyn N., Hormann K., Kim S.-J., Levin D. Optimizing 3d triangulations using discrete curvature analysis. Math. Methods for Curves and Surfaces, Nashville, TN: Vanderbilt Univ. Press. 2001. P.135-146.

82. Edelsbrunner H., Seidel R. Voronoi diagrams and arrangements // Discrete computational geometry. 1986. V.l, P.25-44.

83. Edelsbrunner H. Geometry and Topology for Mesh Generation. Cambridge monographs on Applied and Computational Mathematics, Vol. 6. New York: Cambridge Univ. Press, 2001.

84. Eells J.E., Lemair L. Another report on harmonic maps // Bulletin of the London Mathematical Society. 1988. V.20. N.86. P.387-524.

85. Erd 6s P. Problem 3763 // Amer. Math. Monthly. 1935. V.42. P.627.

86. Evans L.C., Gariepy R.F. Measure theory and fine properties of functions. CRC Press, 1992. 216P.

87. Evans L.C. A survey of entropy methods for partial differential equations // Bull. Amer. Math. Soc. 2004. V.41. N.4. P.409-438.

88. Farin G. Curves and surfaces for computer-aided geometric design. Academic Press. 4th edition. 1997.

89. Fary I. On Straight Line Representations of Planar Graphs. Acta Sci. Math. (Szeged( 11, 229-233, 1948.

90. Federer H. Curvature measure theory // Trans. Amer. Math. Soc. 1959. V.93. P. 418-491.

91. Federer H. Geometric measure theory. Springer-Verlag, New York, 1983.

92. Fenchel W. On conjugate convex functions // Canad. J. Math. 1949. V.l. P.73-77.

93. Floater M.S. Parameterization and smooth approximation of surface triangulations // Computer Aided Geometrical Design. 1997. V.14. P.231-250.

94. Floater M.S., Gotsman C. How to Morph Tilings Injectively // Journal of Computational and Applied Mathematics. 1999. V.101. P.117-129.

95. Floater M.S. One-to-one piecewise linear mappings over triangulations // Mathematics of Computation. 2003. V.72. P.685-696.

96. Floater M.S. Mean value coordinates // Computer Aided Geometric Design. 2003. V.20. P.19-27.

97. Frey P.J., Borouchaki H. Geometric surface mesh generation // Computing and Visualization in Science. 1998. V.l. P.113 -121.

98. Friedrichs K.O. Symmetric hyperbolic linear differential equations // Communs. pure appl. math. 1954. V. 7. №2. P.345-392.

99. Friedrichs K.O., Lax P.D. Systems of conservation equations with convex extension // Proc. Nat. Acad. Sci. USA. 1971. V.68. №8. P.1868-1688.

100. Fu J. Convergence of curvatures in secant approximations // J. Differential Geometry. 1993. V.37. P.177-190.

101. Garanzha V.A. Computation of discrete curvatures based on polar polyhedra theory. Proceedings of International Conference "Numerical geometry, grid generation and scientific computing", Moscow, 10-13 June 2008, M.: Folium, 2008. P.182-189.

102. Gauss C.F. Disquisitiones generales circa superficies curvas. Gottingen: Dieterich. 1827.

103. Godunov S.K., Gordienko V.M., Chumakov G.A. Quasi-isometric parametrization of a curvilinear quadrangle and a metric of constant curvature // Siberian Advances in Mathematics. 1995. V.5. N.2. P. 1-20.

104. Godunov S.K., Romensky E.I. Thermodynamics, conservation laws and symmetric forms of equations in mechanics of continuous media. In Computational Fluid Dynamics Review. Edited by M. Hafez K. Oshima. 1995. Chichester: John Wiley & Sons. P.19-30.

105. Gourod H. Continuous shading of curved surfaces // IEEE Transactions on Computers. 1971. V.20. N.6. P.623-629.

106. Hamann B. Curvature Approximation for Triangulated Surfaces. In G. Farin et al., editor, Geometric Modelling, 1993. Springer Ver- lag. P.139-153.

107. Hartman P. On functions representable as a difference of convex functions // Pacific J. Math. 1959. V. 9. N.3. P.707-713.

108. Hildebrandt K., Polthier K., Wardetzky M. On the convergence of metric and geometric properties of polyhedral surfaces // Geometriae Dedicata. 2006. V. 123. P. 89-112.

109. Holzapfel G.A. Biomechanics of soft tissue // Lemaitre handbook of materials behaviour models. London: Academic Press. 2001. P.1057-1071.

110. Hormann K., Greiner G. MIPS: an efficient global parameterization method. Curve and surface design. Nashville: Vanderbilt Univ. Press. 2000. P.163-172.

111. Iwaniec T. The failure of lower semicontinuity for the linear dilatation // Bulletin of the London Mathematical Society. 1998. V. 30. P.55-61.

112. Liseikin V.D. Grid generation methods. 1999. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York. 362P.

113. Liseikin V. D. A Computational Differential Geometry Approach to Grid Generation (Springer-Verlag, Berlin, 2003).

114. Max N. Weights for computing vertex normals from facet normals // Journal of Graphics Tools. 1999. V.4. N.2. P. 1-6.

115. Meek D.S., Walton D.J. On surface normal and Gaussian curvature approximations given data sampled from a smooth surface // Computer Aided Geometric Design. 2000. V.17. P.521-543.

116. Morgan F. Geometric measure theory: a beginner's guide, Academic Press, 1987.

117. Morrey C.B. Multiple integrals in the calculus of variations. Springer, Berlin. 1966.

118. Nagy B. Solution to problem 3763 // Amer. Math. Monthly. 1939. V.46. P. 176-177.

119. Necas J. Les Methodes Directes en Theorie des Equations Elliptiques. Praha: Academia, 1967.

120. Ogden R.W. Large deformation isotropic elasticity: on the correlation of theory and experiment for compressible rubber-like solids // Proc. Roy. Soc. London. 1972. A328. P.567-583.

121. Ogden R.W. Nonlinear elastic deformations. New York: Dover, 1997.

122. Qin T. Symmetrizing nonlinear elastodynamic system //J. Elasticity. 1998. V.50. P.245-252.

123. Papadrakakis M., Yakoumidakis M. On the preconditioned conjugate gradient method for solving Ax ABx = 0 // Int. J. Numer. Methods in Engrg. 1987. V.24. 1355-1366.

124. Reshetnyak Yu.G. Two-Dimensional Manifolds of Bounded Curvature. Geometry IV (Non-regular Riemannian Geometry). 1991. Berlin: Springer-Verlag. P.3-165

125. Rockafellar R.T. Convex analysis. Princeton University Press, Prinston, 1970.

126. Ruppert J. A new and simple algorithm for quality 2-dimensional mesh generation. Proc. 4th Annual Sympos. Discrete Algorithms. 1993. Assoc. for Comput. Machinery. P.83-92.

127. Steiner J. Jber Preuss. Akad. Wiss. 1840. P.114-118. In Gesammelte Werke, 1971, V.2. New York, Chelsea.

128. Sullivan J.M. Curvature measures for discrete surfaces, In: Proceedings of International Conference on Computer Graphics and Interactive Techniques, Los-Angeles, California, USA. 2005.

129. Taubin G. Estimating the tensor of curvature of a surface from a polyhedral approximation. In Proceedings of the International Conference on Computer Vision. P. 902-907, Cambridge, MA, June 1995.

130. Thurmer G., Wiithrich C. Computing vertex normals from polygonal facets // Journal of Graphics Tools. 1998. V.3. N.l. P.43-46.

131. Tutte W.T. How to draw a graph // Proc. London Math. Soc. 1963. V.13. P.743-768.

132. Ungor A. Off-centers: a new type of Steiner points for computing size-optimal quality-guaranteed Delaunay triangulations. LATIN2004: Theoretical Informatics, 6th Latin American Sympos. Lecture Notes in Comput. Science. V.2976. Springer. 2004.

133. Vavasis S.A. A Bernstein-Bezier Sufficient Condition for Invertibility of Polynomial Mapping Functions. Research report CoRR cs.NA/0308021, 2003.

134. Voronoi G.F. Nouveles applications des paramétrés continus a la theorie de formes quadratiques //J Reine Angew. Math. 1908. Y.134. P. 198-287.

135. Wagner D.H. Symmetric hyperbolic equations of motion for a hyperelastic material. J. Hyperbolic Different. Equations // 2009. V.3. P.615-630.

136. Willmore T.J. Riemannian geometry. Ocford Science Publications. Oxford: Clarendon Press. 1993. 318P.

137. Willmore T.J. Surfaces in conformai geometry // Annals of Global Analysis and Geometry. 2000. V.18. N.3-4. P.255-264.

138. Winslow A.M. Equipotential zoning of two-dimensional meshes // Journal of Computational Physics. 1966. V.l. P.149.

139. Winslow A.M. Numerical solution of the quasilinear Poisson equation in a nonuniform triangle mesh // Journal of Computational Physics. 1966. V.l. N.2. P.149-172.

140. Wintgen P., Normal cycle and integral curvature for polyhedra in Riemannian manifolds. Differential geometry (G. Soos and J. Szenthe, editors), North-Holland, Amsterdam, 1982.

141. Xu G. Discrete Laplace-Beltrami operators and their convergence // Computer Aided Geometric Design. 2004. V.21. N.8. P.767-784.

142. Xu G. Convergence analysis of a discretization scheme for Gussian curvature over triangular surfaces // Computer Aided Geometric Design. 2006. V.23. N.2. P. 193-207.

143. Xu G. Consistent approximations to some geometric differential operators. Research Report ICM N-07-02, Institute of Computational Mathematics, Chinese Academy of Sciences, 2007. 13P.

144. Xu G. Zhang Q. A general framework for surface modeling using geometric partial differential equations // Computer Aided Geometric Design. 2008. V.25. N.3. P.181-202.

145. K. Yosida K. Functional Analysis. 1966. Springer, Berlin.

146. Young W.H. On classes of summable functions and their Fourier series // Proc. Roy. Soc.(A). 1912. V.87. P.225-229.

147. Zahle M. Integral and current representations of Federer curvature measures // Arch. Math. (Basel). 1986. V.46. P.557-567.

148. Работы автора по теме диссертации.

149. Гаранжа В.А., Капорин И.Е. Регуляризация барьерного вариационного метода построения расчетных сеток // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1999. Т.39. №9. С.1489-1503.

150. Гаранжа В.А. Барьерный метод построения квазиизометрических сеток // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2000. Т.40, №11. С.1685-1705.

151. Гаранжа В.А. Управление метрическими свойствами пространственных отображений // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2003. Т.43. №6. С.818-829.

152. Гаранжа В.А., Замарашкин H.JI. Пространственные квазиизометричные отображения как решения задачи минимизации поливыпуклого функционала // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2003. Т.43. №3, С.854-865.

153. Гаранжа В.А., Капорин И.Е. О сходимости градиентного метода минимизации функционалов теории упругости с конечными деформациями и барьерных сеточных функционалов // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2005. Т.45. №8. С.1450-1465.

154. Гаранжа В.А'. Теоремы существования и обратимости для вариационного построения квазиизометричных отображений со свободными границами // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2005. Т.45. №3. С.484-494.

155. Гаранжа В.А. Поливыпуклые потенциалы, обратимые деформации и термодинамически согласованная запись уравнений нелинейной теории упругости // Ж. вычисл.

156. MaTCM. H MaTeM. <J>H3. 2010. T.50. №9. C.l-29.

157. Garanzha V.A. Barrier variational generation of quasi-isometric grids // Num. Linear Algebra Appl. 2001. V.8. №5. P.329-353.

158. Branets L.V., Garanzha V.A. Distortion measure for trilinear mapping. Application to 3-D grid generation // Num. Linear Algebra Appl. 2002. V.9. №6-7. P.511-526.

159. Garanzha V.A. Maximum norm optimization of quasi-isometric mappings // Num. Linear Algebra Appl. 2002. V.9 №6-7. P.493-510.

160. Garanzha V.A. Variational principles in grid generation and geometric modeling: theoretical justifications and open problems // Num. Linear Algebra Appl. 2004. V.ll.

161. Garanzha V.A., Kaporin I.E., Konshin I.N. Truncated Newton type solver with application to grid untangling problem // Num. Linear Algebra Appl. 2004. V.ll, №5-6.

162. Garanzha V.A. Quasi-isometric surface parameterization // Appl. Num. Math. 2005. V.55. №3. P.295-311.

163. Garanzha V.A. Approximation of the curvature of Alexandrov surfaces using dual polyhedra // Rus. J. Numer. Analys. Modeling. 2009. V.24. №5. P.409-423.

164. Garanzha V.A. Discrete extrinsic curvatures and approximation of surfaces by polar polyhedra // >K. bmihcji. matem. h matem. cJ)h3. 2010. T.50. №1. C.71-98.1. P. 535-563.1. P.525-533. •